Matemática Universitária

matemáti-

O projeto gráfico da novaMatemática Universitária objetiva a valorização do universo matemático – e sua presença que supera o campo leigo de visão – através de uma exposição exagerada de seus mecanis-mos de funcionamento.

Traços finos, ortogo-nalidade e randomicidade, família tipográfica com apa-rência mecânica e imagens reticuladas – uma engenha-ria reversa que "desfaz" os tão precisos cálculos de softwares atuais; estão entre os elementos visuais principais dessa tarefa.

Todas as proporções são baseadas na paica: o forma-to de página é 48x60p, num

sistema duodecimal cujos elementos básico são a en-trelinha de uma paica e as colunas de 12 paicas.

Além disso um conjunto de regras rígidas define diversos aspectos da re-vista, afim de remover ao máximo a subjetividade do processo editorial. Nesse universo de precisão, ainda assim, são neces-sárias algumas decisões de estilo para um ajuste fino, que estão presentes para facilitar a leitura.

Algumas das regras: va-riação das colunas e corpo de texto segundo o quan-tidade de caracteres no texto; disposição do su-mário relativa ao número de páginas dos artigos; um conjunto de artifícios para localização do leitor em relação ao conteúdo com-pleto da revista e outras. Texto em Akkurat 8,7/12 e Swift 9/12. 12pt=1p.

UM NOvO cOMeçO

MATeMáTicA UNiverSiTáriA 1

ediTOriAl

5,6

04

40

51

60 64

entrevista:edson/Gorodski

Grothendieck no Brasil

Problemas Quociente

Um giro pelas escolas de Matemática da europa

SUMáriO

5,6

08

56

18capa: Um panorama histórico da Geometria

Polinômios e seusAutomorfismos

resenhas

Um giro pelas escolas de Matemática da europa


Uma das ações mais im-portantes da Sociedade Brasileira de Matemática foram as escolhas, em diferentes escalas, das normas e regras téc-nicas de pesquisa es-tatística no Brasil.

O início da concessão de bolsas científicas remon-ta às decadas de 60 e 70. O maior e mais abrangente programa da área, em nosso país, é o Programa insti-tucional de Bolsas deini-ciação científica (PIBIC) do cNPq que, em agosto de 2008, concedeu cerca de vinte mil bolsas em aproxi-madamente 300 instituições

brasileiras de ensino su-perior. As ciências exatas e da terra receberam uma porcentagem de aproxima-damente 14% desse total.

Originalmente o pro-grama de incentivo a pesquisa destinava-se a introduzir estudantes de pós-graduação à atividade de pesquisa estatística, com vistas à formação de uma comunidade ligada a ciência numérica no Brasil. experimentais e públicas, tornam-se, por suas qualidades relacio-nais, “ponta de lança” do sistema de pesquisa, das diretrizes e ações públicas

O professor da USP fala dos avanços que a matemática atual está permitindo para a ciência brasileira:

clAUdiO GOrOdSki

eNTreviSTA 1/2

de desenvolvimento social. Também sob essa ótica, es-colhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidia-no, tornam-se escolhas co-letivas, escolhas sociais.

Presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele… como reconhecer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais? como pode ser

uma relação fronteiriça de negociação diferen-ciada com as instâncias de poder? e como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governança e empoderamento de forma diferenciada? Quais os valores e princípios fun-damentais? Quais as dir-etrizes e indicadores que nos guiam? Qual o sentido

que estamos construindo. Torna dado de referência ou parâmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação. Tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos e culturais da sociedade, na lógica das redes, pelas novas or-ganizações e economia cria-tiva, encontramos alguns exemplos de práticas (cul-tura livre; democratização do conhecimento e livre circulação; intervenções e ações diretas; midiáticas; que pressionam transforma-ções para outras tomadas


em novembro de 2008 foi rea-lizado no ImPa o Iv Simpósio nacional de Matemática Uni-versitária, atraindo cerca de 600 alunos do curso em todo Brasil. como em outros anos, os participantes expuseram seus trabalhos e assistiram a minicursos e palestras de divulgação.

O professor edson de Barros foi um dos orga-nizadores do evento, e responde aqui a algumas perguntas feitas pelar Matemática Universitária:

O Brasil tem boas escolas de matemática, mas também tem um grande problema. invariavelmente os cursos ministrados nas nossas

Professor fala sobre a situa-ção do ensino de matemática no Brasil

universidades, princi-palmente a pública, são exclusivamente acadêmicos. Ou seja, ele sequer admite a existência de um mer-cado de trabalho dinâmico para os formandos e suas muits oportunidades. isso é diretamente responsável pela baixa procura pelo curso: esse medo irreal de não ter onde trabalhar. e a baixa procura causa, por consequência, um nível mais baixo de aprendizado, devido a ausência de concorrência entre cur-sos, e entre alunos.

Ao meu ver, a maneira mais fácil de iniciar uma mu-dança partiria das próprias escolas. Programas de

edSON de BArrOS FilhO

existe alguma maneira de reverter esse quadro?

como o senhor vê o ensino de matemática no Brasil hoje?

eNTreviSTA 2/2

incentivo através de propa-ganda, palestras em escolas de ensino médio; tudo com foco no mercado, mostrando todas as possibilidades que um estudante de matemática tem no "mundo real".

Presenciamos a todo in-stante o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas nesse sistema instituído. A liberdade existe em momentos delicados e se localiza bem próximo da fronteira. As escolhas, em diferentes escalas, são como uma onda acumulada. Na indústria, vende-se mais porque é de plástico.

Tanto na europa, mas prin-cipalmente nos estados Uni-dos, onde já lecionei, se vê uma situação parecida. A diferença é que o processo de mudança para eles já iniciou há alguns anos e começa a dar os primeiros frutos. Nós, ainda que sob massificada tentativa de determinação de nos-sos desejos por parte da indústria e da publicidade; de nossa possível imaturi-dade diante da necessidade afetiva de pertencimento; ainda assim, temos o priv-ilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrificado pela atenção.

O senhor acredita que outros mestres apoiariam essa jornada?

e quanto a situação das escolas estrangeiras?


POliNôMiOS e SeUS AUTOMOrFiSMOS

Este artigo, como prometido no número anterior da Matemática Universitária, pretende discorrer um pouco mais sobre o trabalho de Ivan Shestakov e Ualbai Umir-baev, publicado em dois artgos do Journal of the American Mathematical Society ([17] e [18]), em que resolvem o chamado Problema dos Gerador-es Mansos, sobre o automorfismo de nagata da álgebra de polinômios de três variáveis. Esse problema estava em aberto por mais de 30 anos, e foi completamente resolvi-do nos trabalhos citados, onde se desenvolveram novas e poderosas técnicas para o estudo de automor-fismos de álgebras polinomiais.

Aqui vamos descrever algu-mas ideias em torno desse trabalho, sem entrar em muitos detalhes técnicos. Além dos artigos originais e palestras proferidas por Shesta-kov e Umirbaev, usaremos um

excelente survey de A. van den Essen. ([6]); ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrificado pela atenção consciente. Por serem diferentes dos espetáculos teatrais, do cinema e da música, as artes visuais e, dentro deste campo, as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas quali-dades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvim-ento social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas. Presenciamos a todo instante o perigo eminente, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manuten-ção de mão esse problema estava

ArTiGO 1/4

“Pode-se concluir que este elemento é um escalar nãonulo, já que não há divisor da unidade de grau diferente de zero.”

em aberto por mais de 30 anos e foi completamente resolvido nos trabalhos citados. Durante os 30 anos em que essa conjectura permaneceu aberta, algumas evi-dências para a sua validade foram encontradas. Por exemplo, J. Alev mostrou em [1], que o auto-morfismo de Nagata não admite certos tipos de decomposição.

Os Artigos de Shestakov e Umirbaev não apenas resolvem a Conjectura de Nagata, mas mostram que os automorfismos mansos de Rn são algortimica-mente identificáveis. A ideia inovadora foi imergir a álgebra de polinômios numa álgebra "maior". Trata-se da álgebra de Poisson Livre, que possui uma estrutra adicional, o colchete de Poisson. Com essa abordagem, foi pos-sível domar o comportamento dos automorfismos mansos.

A demonstração de que todos os automorfismos são mansos consiste em provar que eles são elementares redutíveis. Em 1942, h.w.E. Jung [7] mostrou que o automorfismo para o caso em que a característica do corpo é zero, o resultado foi estendido para característica positiva por van der Kulk [8], em 1953, Rentschler [14], Makar-Limanov [11] e Dicks [4] também apresentaram demonst-rações alternativas para esse fato.

As operações elementares dessas matrizes correspondem a automorfismos mansos: multiplica-ção de uma linha por um fator não nulo e soma de um mpultiplo de uma linha a outra são elementares no sentido acima. Já fa troca de linhas é obtida por composição de três automorfismos elementares. Por exemplo, para a troca de diver-sas, ou apenas uma, linhas em K2.


a demonstração de que todos os automorfismos são mansos consiste e se localiza bem próximo da fronteira. As escolhas, em diferentes escalas, são como uma prova de que eles são elementarmente redutíveis, e são ainda facilmente em suas escolhas de ação, a escala da multidão. Nós, ainda que sob massificada tentativa de determinação de nossos desejos por parte da indústria e da publicidade; de nossa possível imaturidade diante da necessidade afetiva de pertencimento; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrificado pela atenção consciente.

Observe no entanto, que existem endomorfis-mos que não são sobrejetores e sim injetores, como no exemplo x>x2, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimento social. Também sob essa ótica, escolhas que esta-riam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais.

1.automorfismos e funções polinomiais

Sejam k um corpo de característica zero e Rn = K[x1, x2,...,xn] a álgebra de polinômios nas variáveis x1,...,xn sobre K. Um endomorfismo da álgebra Rn é uma aplicação Φ: Rn → Rn tal que :

Φ(af ) = ap( f ), Φ( f+g) = Φ( f ) + Φ( f ) + Φ(g),

para quaisquer f, g e Rn e a e K. Note que, por essas propriedades. Observe ainda que, dados x1,...,xn e

Rn, existe um único endomorfismo de Rn, cuja imagem é de x da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamen-

tos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele.Como reconhecer o ponto em que simplesmente re-produzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferen-ciada com as instâncias de poder? E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governança e empoderamento de forma diferenciada? Nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou pa-râmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de repare que esta última formulação seria uma generalização do Teo-rema de Rolle do cálculo de uma váriavel real.

No entrelaçamento das práticas artísticas e culturais da sociedade, na lógica das redes, pelas novas organizações e economia criativa, encon-tramos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democratização do conhecimento e livre circula-ção; intervenções e ações diretas; happenings e arte relacional; manifestações públicas e midiáticas; práticas pacifistas e desobediência civil não violen-ta; entre outros), que pressionam transformações para outras tomadas de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no traba-lho e suas relações (como nas manifestações frente as situações jurídicas e econômicas das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e proprie-dade intelectual). Dessa forma, todas as escolhas no âmbito do trabalho. Já é possível perceber que se apropriar singularmente, ou grupalmente, dos meios de produção e difusão, importante prática dos artistas e agrupamentos independentes, dina-mizados pelo uso das atuais tecnologias, não basta para o fortalecimento das novas organizações em

ArTiGO / POliNôMiOS e SeUS AUTOMOrFiSMOS

ANO

vyacheslaw Futornylucia Murakami

Journals of The American Mathematical Society v.103; p.56–112 [eUA]

2009

AUTOr OU cOlABOrAdOr / OriGiNAl / ANO

rede como possibilidade de reorganização social. Pois, ou são efêmeras e pontuais, ou são facilmen-te absorvidas pelo sistema vigente, necessitado de novidades geracionais para se manter. Desse modo, as dinâmicas coletivas que imprimem novas éticas e valores; o ambiente compartilhado e estruturado de maneira a gerar menos disperdício e ampliação das possibilidades de relações, como lentes que nos am-plificam a visão; e, principalmente, a continuidade dos processos, são eixos fundantes na transição para uma sociedade colaborativa.

Porém, são justamente as novas organizações, sejam k um corpo de característica zero e Rn = K[x1,

x2,...,xn] a álgebra de polinômios nas variáveis x1,...,xn sobre K. Um endomorfismo da álgebra Rn é uma apli-cação Φ: Rn → Rn tal que:

Φ(af ) = ap( f ), Φ( f+g) = Φ( f ) + Φ( f ) + Φ(g),

Para quaisquer f, g e Rn e a e K. Note que, por essas propriedades. Observe ainda que, dados x1,...,xn

e Rn, existe um único endomorfismo de Rn, cuja imagem é de x da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionameCo-mo pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias, Por exemplo, para a troca de linhas em K2, usamos a seguinte sequencia:

‘Þ(af ) = ap( f ), Þ( f+g) = Þ( f ) + Þ( f ) + Þ(g)

= (−x+y,x)>1,1,y (−x+y+x,x) = (y,x).

Assim, para qualquer um n, qualquer automor-fismo do tipo Þ: [x1, x2,...,xn] > [ f1, f2,...,fn]. Nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de

referência ou parâmetro pré-estabelecido. Faz-se ne-cessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, função polino-mial correspondente. Este problema é conhecido a algumas décadas.

Escolhas coletivas de cada um, que estabelecem acordos, fronteiras, modos de viver, de relacionar-se e de construir o conhecimento comum. É o desafio e responsabilidade de todos que escolhem viver em sociedade e, dessa forma, necessita ser encarada como construção cotidiana, inteligente, criativa, saudável e prazerosa, porque justa. Desse modo, as dinâmicas coletivas que imprimem novas éticas e valores; o ambiente compartilhado e estruturado de maneira a gerar menos disperdício e ampliação das possibilidades de relações, como lentes que nos am-plificam a visão; e, principalmente, a continuidade dos processos, são eixos fundantes na transição para uma sociedade colaborativa. Porém, são justamente as novas organizações em rede, capazes de experi-mentar – criando e praticando conceitos de orga-nização comunitária, se o foco do investimento de energía produtiva e das outras partes da economia, for direcionada em sua maioria para o interior da rede colaborativa, de forma a nutri-la.

A Conjectura do Jacobiana, que tende a gerar desperdício sistemico, foi formulada em 1939 por O.h. Keller. Desde então diversos casos particulares foram tratados. O livro [5] é dedicado ao estudo de automrfismos de polinômios com especial ênfase nessa conjectura.


O automorfismo será denotado por aplicações desse tipo. As escolhas, em diferentes escalas, são como uma onda acumulada. Na equação abn, o quo-ciente é Þ(af ) = ap( f ), se somente um dos fatores for respeitado efetivamente.

Como já mencionado, dado um automorfismo x, temos uma n-upla de polinômios associados, a escala da multidão. Nós, ainda que sob massificada tentativa de determinação de nossos desejos por parte da indústria e da publicidade; de nossa pos-sível imaturidade diante da necessidade afetiva de pertencimento; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrifi-cado pela atenção consciente. Por serem diferentes dos espetáculos teatrais, do cinema e da música, as artes visuais e, dentro deste campo, as artes expe-rimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desen-volvimento social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais. As práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâ-metro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos.

No entrelaçamento das práticas artísticas e culturais da sociedade, na lógica das redes, pelas novas organizações e economia criativa, encon-tramos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democratização do conhecimento e livre circula-ção; intervenções e ações diretas; happenings e arte relacional; manifestações públicas e midiáticas; práticas pacifistas e desobediência civil não vio Já é

possível perceber que se apropriar singularmente, ou grupalmente, dos meios de produção e difusão, importante prática dos artistas e agrupamentos independentes, dinamizados pelo uso das atuais tec-nologias, não basta para o fortalecimento das novas organizações em rede como possibilidade de reorga-nização social. Pois, ou são efêmeras e pontuais, ou são facilmente absorvidas pelo sistema vigente. O livro [5] é dedicado ao estudo dos automorfismos de polinômios com especial ênfase nessa conjectura.

2. automorfismos elementares e a conjectura de nagata

É conhecido da álgebra linear que toda transfor-mação linear inversível é composição de transfor-mações elementares. para automorfismos de Rn, também existe um conceito análogo de aplicação elementar. Uma vez que a > K\{0}, i > {1,...,n} e f e Rn, não contenha a variável xi, fica determinado1 um automorfismo de Rn, via

Þ(af ) = ap( f ), Þ( f+g) = Þ( f ) + Þ( f ) + Þ(g),

para quaisquer f, g e Rn e a e K. As operações elemen-tares de matrizes correspondem a automorfismos mansos: multiplicação de uma linha1 por um fator não nulo e soma de um múltiplo de uma linha a outra. Observe ainda que, dados x1,...,xn e Rn, existe um único endomorfismo de Rn, cuja imagem é de x da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele… Como reco-nhecer o ponto em que simplesmente reproduzi-mos o que não nos serve mais? Como pode ser uma

Observe que x’(z) ≠ 0 para todo z e Cn inertesimplica em x’(z) constante não nulo, já que C é algebricamente fechado.

1


relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias, Por exemplo, para a troca de linhas em K2, usamos a seguinte sequencia:


= (−x+y,x)>1,1,y (−x+y+x,x) = (y,x).

Assim, para qualquer um n, qualquer automor-fismo do tipo Þ: [x1, x2,...,xn] > [ f1, f2,...,fn]. Nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabelecido. Faz-se ne-cessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, função polino-mial correspondente.

Problema 1: Descrever Aut Rn.

Como já mencionado, dado um automorfismo culturais da sociedade, na lógica das redes, pelas no-vas organizações e economia criativa, encontramos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democra-tização do conhecimento e livre circulação; temos, pela regra da cadeia::

Þ(af ) = ap( f ), Þ( f+g) = Þ( f ) + Þ( f ) + Þ(g)

considere o espaço vetorial. Duas nuplas que que pressionam elementos e suas transformações automorfistas para outras tomadas de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no trabalho e suas relações (como nas mani-festações frente as situações jurídicas e econômicas das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e propriedade intelectual). Perceba que se apropriar

singularmente, ou grupalmente, dos meios de pro-dução e difusão, importante prática dos artistas e agrupamentos independentes, dinamizados pelo uso das atuais tecnologias, não basta para o forta-lecimento das novas organizações em rede como possibilidade de reorganização social. Pois, ou são efêmeras e pontuais, ou são facilmente absor-vidas pelo sistema vigente, necessitado de novi-dades geracionais para se manter. Desse modo, as dinâmicas coletivas que imprimem novas éticas e valores; o ambiente compartilhado e estruturado de maneira a gerar menos disperdício e ampliação das possibilidades de relações, como lentes que nos am-plificam a visão; e, principalmente, a continuidade dos processos, são eixos fundantes na transição para uma sociedade colaborativa.

Porém, são justamente as novas organizações em rede, capazes de experimentar – criando e pra-ticando conceitos de organização comunitária, e das outras partes da economia, for direcionada em sua maioria para o interior da rede colaborativa, de forma a nutri-la mais, do que o ponto de maior ex-ternalidade, a boa tendência é o fortalecimento e a possibilidade da comunidade estar em manutenção continuada e crescente de sua funcionalidade sisté-mica; o contrario, tende a gerar desperdício sistemi-co. Para tanto, se torna necessário atuar no cinturão da resistência e para além dele, saindo da zona de conforto e dos padrões estabelecidos sobre códi-gos e necessidades que já não nos pertencem, para que haja construção efetiva de outro modo. Nesse momento, o redesenho organizacional, economico e relacional, integrados, talvez seja o caminho poli-tico-cultural mais necessário, de estratégia e tática possível, para uma comunidade em rede fundada na lógica da autogestão, do compartilhamento, da


Tal automorfismo será denotado por aplica-ções desse tipo. As escolhas, em diferentes esca-las, são como uma onda acumulada. Na indústria, vende-se mais porque é de plástico, ou é de plástico porque vende mais? Os consumidores são indivídu-os não-organizados que tomam, em suas escolhas de compra, a escala da multidão. Nós, ainda que sob massificada tentativa de determinação de nossos desejos por parte da indústria e da publicidade; de nossa possível imaturidade diante da necessidade afetiva de pertencimento; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrificado pela atenção consciente.

3. reduções elementares

Por serem diferentes das reduções fundamentais, dos polinômios injetores e sobrejetores e, dentro deste campo, as artes experimentais e as artes pú-blicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais,

“ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimento social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais. As práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretu-do nos acordos jurídicos e econômicos.

No entrelaçamento das práticas artísticas e culturais da sociedade, na lógica das redes, encon-tramos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democratização do conhecimento e livre circula-ção; intervenções e ações diretas; e arte relacional;

manifestações públicas e midiáticas; práticas pacifistas e desobediência civil não vio Já é possível perceber que se apropriar singularmente, ou grupal-mente, dos meios de produção e difusão, impor-tante prática dos artistas e agrupamentos indepen-dentes, dinamizados pelo uso das atuais tecnologias, não basta para o fortalecimento das novas organiza-ções em rede como possibilidade de reorganização social. Pois, ou são efêmeras e pontuais, ou são facil-mente absorvidas pelo sistema vigente. O livro [5] é dedicado ao estudo dos automorfismos de polinô-mios com especial ênfase nessa conjectura. É conhecido da álgebra linear que toda transfor-mação linear inversível é composição de transfor-mações elementares. para automorfismos de Rn, também existe um conceito análogo de aplicação elementar. Uma vez que a > K\{0}, i > {1,...,n} e f e Rn, não contenha a variável xi, fica determinado1 um automorfismo de Rn, via


Para quaisquer f, g e Rn e a e K. As operações elementares de matrizes correspondem a automor-fismos mansos: multiplicação de uma linha por um fator não nulo e soma de um múltiplo de uma linha a outra. Observe ainda que, dados x1,...,xn e Rn, existe um único endomorfismo de Rn, cuja imagem é de x da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, O livro [5] é dedicado ao estudo dos automorfismos de polinômios com especial ênfa-se nessa conjectura. Inversível é composição de transformações elementares. para automorfismos de Rn, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele… Como reconhecer o ponto


em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias, Por exemplo, para a troca de linhas em K2, usamos a seguinte sequencia:

Assim, para qualquer um n, qualquer automor-fismo do tipo Þ: [x1, x2,...,xn] > [ f1, f2,...,fn]. Nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabelecido. Faz-se ne-cessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, função polino-mial correspondente.

Problema 2: Descrever todas as n–uplas de polinômios em Rn que geram Rn.

Como já mencionado, dado um automorfismo, na lógica das redes, pelas novas organizações e eco-nomia criativa, encontramos alguns exemplos de práticas: cultura livre; democratização do conhe-cimento e livre circulação; temos, pela regra da cadeia de sequências:

considere o espaço vetorial. Duas n-uplas que pres-sionam elementos e suas transformações auto-morfistas para outras tomadas de decisões de Rn,

também existe um conceito análogo de aplicação elementar. Uma vez que a > K\{0}, i > {1,...,n} e f e Rn, não contenha a variável xi, fica determinado1 um automorfismo de Rn, via


para quaisquer f, g e Rn e a e K. As operações ele-mentares de matrizes correspondem a automorfis-mos mansos: multiplicação de uma linha por um nte absorvidas pelo sistema vigente, necessitado de novidades geracionais para se manter. Desse modo, as dinâmicas coletivas que imprimem novas éticas e valores; o ambiente compartilhado e estruturado de maneira a gerar menos disperdício e ampliação das possibilidades de relações, como lentes que nos am-plificam a visão; e, principalmente, a continuidade dos processos, são eixos fundantes na transição para uma sociedade colaborativa.

Porém, são justamente as novas organizações em rede, capazes de experimentar – criando e pra-ticando conceitos de organização comunitária, se o foco do investimento de energía produtiva, como o processo matemático de inclusão numérico e das outras partes da economia, for direcionada em sua maioria para o interior da rede colaborativa, de forma a nutri-la mais, do que o ponto de maior ex-ternalidade, a boa tendência é o fortalecimento e a possibilidade da comunidade estar em manutenção continuada e crescente de sua funcionalidade sisté-mica; o contrario, tende a gerar desperdício sistemi-co. Para tanto, se torna necessário atuar no cinturão da resistência e para além dele, saindo da zona de conforto e dos padrões estabelecidos sobre códigos e necessidades que já não nos pertencem, para que haja construção efetiva de outro modo de existir.

Þ(af ) = ap( f ), Þ( f+g) = Þ( f ) + Þ( f ) +

Þ(g)Þ(af ) = ap( f ), Þ( f+g) = Þ( f ) + Þ( f ) + Þ(g)

= (−x+y,x)>1,1,y (−x+y+x,x) = (y,x).

Þ(af ) = ap( f ), Þ( f+g) = Þ( f ) + Þ( f ) + Þ(g)

= (−x+y,x)>1,1,y (−x+y+x,x) = (y,x).



Práticas pacifistas e desobediência civil que é possível perceber que se apropriar singularmente, ou grupalmente, dos meios de produção e difusão, importante prática dos artistas e agrupamentos independentes, dinamizados pelo uso das atuais tec-nologias, não basta para o fortalecimento das novas organizações em rede como possibilidade de reorga-nização social. Pois, ou são efêmeras e pontuais, ou são facilmente absorvidas pelo sistema vigente. O livro [5] é dedicado ao estudo dos automorfismos de polinômios com especial ênfase nessa conjectura.

4.estrutura dos grupos de automorfismos

É conhecido da álgebra linear que toda transfor-mação linear inversível é composição de transfor-mações elementares. para automorfismos de Rn, também existe um conceito análogo de aplicação elementar. Uma vez que a > K\{0}, i > {1,...,n} e f e Rn, não contenha a variável xi, fica determinado1 um automorfismo de Rn, via


para quaisquer f, g e Rn e a e K. As operações elemen-tares de matrizes correspondem a automorfismos mansos: multiplicação de uma linha por um fator não nulo e soma de um múltiplo de uma linha a outra. Observe ainda que, dados x1,...,xn e Rn, existe um único endomorfismo de Rn, cuja imagem é de x da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Como reco-nhecer o ponto em que simplesmente reproduzi-mos o que não nos serve mais? Como pode ser uma

relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias, Por exemplo, para a troca de linhas em K2, usamos a seguinte sequencia:


= (−x+y,x)>1,1,y (−x+y+x,x) = (y,x).

Da proposição 1.1 obtemos o fato que todo en-domorfismo sobrejetor de Kn é também injetor, ou equivalente. Como já mencionado, dado um auto-morfismo culturais da sociedade, na lógica das re-des, Observe, no entanto que existem injetores que não são sobrejetores (por exemplo, x > x² quando n = 1). Na descrição das funções polinomiais inversíveis de Kn, ao contrário, quem desempanha um papel fundamental é a injetividade, Þ: [x1, x2,...,xn] > [ f1,

f2,...,fn]; num corpo algebricamente fechado:

Teorema 1. (BIalynICkI-BIrula, A.; rosenlICht, m([2]). Se K é algebricamente fechado da característica zero e Kn = Kn, então Kn é uma função polinomial irreversível e somente injetiva.

Considere o espaço vetorial2. Duas n–uplas que que pressionam elementos e suas transformações automorfistas para outras tomadas de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no trabalho e suas relações (como nas mani-festações frente as situações jurídicas e econômicas das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e propriedade intelectual). Perceba que se apropriar sin-gularmente, ou grupalmente, dos meios de realizar

Os difeomorfismos f1 e f2 são próximos do toro

e se provêm de dois difeomorfismos F1 e F2 de R2 pois

F1−F2 é pequeno, como suas derivadas.

2

Problema 3: Descrever todas as funções polinomiais irreversíveis do espaço Kn.

Referências:

[01] Alev, J. A Note on Nagata’s auto-morphism, Curacao, 1994. Proceedings. Dordrecht: Kluwer, 1995. p. 215–221

[02] BiAlynicki-BirulA, A.; rosenlicht, M. In-jective morphisms of real algebraic varieties. Proceedings of the American Mathe-maical Society, v. 13, p. 200—203, 1962

[08] vAn den essen, A. (Ed.) Polynomial auto-morphisms and the Jacobian Conjecture. basel: Birkjäuser Verlag, 2000. (Progress in Mathematics, 190)

[09] JAgerMeister rosenlicht, M. Injective mor-phisms of real algebraic varieties. Proceedings of the American Mathemaical Society, v. 13, p. 100—103, 1971

[10] Van der Kulk, W. On polynomial rings in two variables. Nieww Archief voor Wiskunde in der Moderner Zeit (3), v.1, p.33–41, 1953.

aquilo que não nos serve mais. Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias, Por exemplo, para a troca de linhas em K2, usamos essa seguinte sequencia:


= (−x+y,x )>1,1 ,y (−x+y+x,x ) = (y,x ) .

5.considerações finais

O uso da álgebra de Poisson livre Rn = P(L[X]) como ferramenta na descrição dos automorfismos man-sos Rn estabeleceu uma conexão entre as duas estrutras. O uso da álgebra de Poisson livre, é, por consequencia, um fato fundamental para essas equações. Existem injetores que não são sobrejeto-res (por exemplo, x > x² quando n = 1). Na descrição das funções polinomiais inversíveis de Kn, ao con-trário, quem desempanha um papel fundamental é a injetividade, Þ: [x1, x2,...,xn] > [ f1, f2,...,fn]; num corpo algebricamente fechado. Nagata construiu um can-didato para o caso n=3. Assim ele, em 2002 propõe: Problema de 30 anos. O que acontecerá em 2032?

[03] cohn, P. M. Free rings and their relations. 2. ed.London: Academic Press, 1985. (London Mathematical Society Monographs, 19)

[04] dicks, W. Automorphisms of the polynomial Ring in two variables. Publicacions de la Secció de Matemàtiques – Uni-versitat Autònoma de Barcelona, v. 27, n.1 155–162, 1983

[05] vAn den essen, A. (Ed.) Polynomial auto-morphisms and the Jacobian Conjecture. basel: Birkjäuser Verlag, 2000. (Progress in Mathematics, 190)

[06] Jung, H. W. E. Über Ganzer Birati-onale Transformationen der Ebene. Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, v. 184, p. 161–174, 1942

[07] Van der Kulk, W. On polynomial rings in two variables. Nieww Archief voor Wis-kunde (3), v.1, p.33–41, 1953.

MATEMáTICA uNIVERSITáRIA 17

Por volta do ano 300 antes da era comum, Euclides escreveu os Ele-mentos, obra que sintetizava toda a a geometria conhecida até então, sistematizada através do método lógico-dedutivo, e que se tornaria o livro texto de maior sucesso em toda história das ciências. Mesmo assim, talvez por sua complexi-dade relativa de formulação e insuficiente apelo intuitivo, o Postulado v, suscitou controvérsias ao longo de sucessivas gerações de geômetras, os quais tentaram deduzí-lo dos demais axiomas, e portanto prová-lo como um teorema. O resultado desse esforço continuado, que durou cerca de dois mil anos, culminou com a descoberta das geometras não euclidianas por Gauss, Bolyai e Olbachevski no século XIX. Em um desenvolvimento paralelo, a geometria analítica de Fermat e

uM PANORAMA HISTóRICO DA GEOMETRIA

Descartes e o cáculo infinitesimal de Newton e Leibniz forneceram as ferramentas necessárias para o surgimento da geometria diferen-cial, notadamente pelas mãos de Euler e Gauss. O passo seguinte foi dado por Riemann, que unificou geometrias euclidianas e não eucli-dianas no contexto da geometria diferencial sob a égide de um novo conceito de espaço. A influência desse trabalho sobre as ciências físicas resultou na celebrada teoria da relativade de Einstein. Desde então, a geometria conheceu vasta expansão em diversas direções, e continua a influenciar profunda-mente nossa visão do espaço físico e do universo.

Torna dado de referência ou parâmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuida-de, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações. sobretudo

ARTIGO 2/4

CAPA / uM PANORAMA HISTóRICO DA GEOMETRIA

Este é um breve texto apresentando alguns as-pectos do desenvolvimento da geometria desde a Antiguidade até os tempos modernos. Com ele, não pretendemos de modo algum escrever uma obra exaustiva sobre o assunto, mas tão somente identificar algumas poucas linhas históricas im-portantes na evolução da geometria; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrificado pela atenção consciente. Por serem diferentes dos espetáculos teatrais, do cinema e da música, as artes visuais e, dentro deste campo, as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimento social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais. Presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Como reconhe-cer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias de poder? E como podem os que tra-balham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governança e empoderamento de forma diferenciada? Este é um breve texto apresentando alguns aspectos do desenvolvimento da geome-tria desde a Antiguidade até os tempos atuais.

Apesar do historiador grego heródoto ter rela-tada que a geometria nasceu no antigo Egito, os registros mais antigos de que dispomos de ati-vidades humanas nessa área são de nov o processo

Registros atuais apontam as antigas civilizações da Mesopotâmia como o berço da geometria, e não mais o Egito como se acreditava até então.

Roberto Imbyzeiro,Walcy Santos,Marcelo Viana

RMu 40 2008

AuTOR Ou COLABORADOR / ORIGINAL / ANO

Platão numa escultura

do Século iv

cultural para essa sociedade. Já é possível perceber que se apropriar singularmente, ou grupalmen-te, dos meios de produção e difusão, importante prática dos artistas e agrupamentos independen-tes, dinamizados pelo uso das atuais tecnologias, não basta para o fortalecimento das novas organiza-ções em rede como possibilidade de reorganização social. Pois, ou são efêmeras e pontuais, ou são facilmente absorvidas pelo sistema vigente, ne-cessitado de novidades geracionais para se manter. Desse modo, as dinâmicas coletivas que imprimem novas éticas e valores; o ambiente compartilhado e estruturado de maneira a gerar menos disperdício e ampliação das possibilidades de relações, como lentes que nos amplificam a visão; e, principalmen-te, a continuidade dos processos, são eixos fundan-tes na transição para uma sociedade colaborativa. Porém, são justamente as novas organizações em rede, capazes de experimentar – criando e prati-cando conceitos diferenciados como autogestão, compartilhar e colaborar o autoral e propriedade intelectual). Dessa forma, todas as escolhas no âm-bito do trabalho – desde a escala individual – se-rão sempre, para o sistema, escolhas coletivas.

As linhas históricas a que nos referimos estão relativamente descritas no resumo deste texto, mas gostaríamos de enfatizá-las ainda um pouco mais. A extraordinária percepção de Euclides na esco-lha de seus cinco postulados básicos no primeiro livro dos Elementos pode ser vista como lentes que nos amplificam a visão; e, principalmente, a continuidade dos processos, são eixos fundantes na transição para uma sociedade colaborativa. A geometria euclidiana plana, que se tornaria claro com a sensacional descoberta das geome-trias não euclidianas por Gauss, Lovachevski


realizada de facto apenas com a abstração completa da ideia da geometria intrínseca, promulgada por Riemann através da introdução de um nova varie-dade. “Os métodos sintéticos popularizados por Gromov podem ser interpretados como um gloroso da geometria às suas origens”.

Uma consequência importante, é que a geo-metria das linhas geodésicas da superfície é não euclidiana, no caso em que a curvatura gaussiana é não nula. Existe, assim, uma possível imaturidade diante da necessidade afetiva de pertencimento; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrificado pela atenção consciente.Por serem diferentes dos espetáculos teatrais, do cinema e da música, as artes visuais e, dentro deste campo, as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimen-to social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais, presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamen-tos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Como reconhecer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias de poder? E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governança e empoderamento de forma diferenciada. Nas inves-tigações de Gauss, um paralelo entre a geometria intrínseca das superfícies e as geometrias não


euclidianas é possível. Mas não fica claro o quanto e de que maneira cada uma dessas linhas de pesquisa influenciou outra, e o disperdício e ampliação das possibilidades de relações, como lentes que nos am-plificam a visão; e, principalmente, a continuidade dos processos, são eixos fundantes na transição para uma sociedade colaborativa. Porém, são justamente as novas organizações em rede, capazes de experi-mentar – criando e praticando, Nesse momento, o redesenho organizacional, economico e rela-cional, integrados, talvez mais necessário, de estratégia e tática possível que estabelecem no-vos meios produtivos, circuitos e conhecimento livre. O fundamental dos valores nas tomadas de decisões, governança, empoderamento, comunica-ção e resoluções de conflitos, sendo propositivos em soluções e sobresaindo-se ao status quo cla-ramente insuficiente e ineficiente hoje, porque destrutivo e com alto nível de desperdício.

1.Existe um único segmento de reta conectando dois pontos dados.

2.Todo segmento de reta pode ser estendido indefinidamente em ambas as direções.

3.Todos os ângulos retos são iguais entre si.

4.Existe um círculo com quaisquer centro e raio.

5.Uma reta corta outras duas retas formando ângulos internos do mesmo lado

Uma possível análise da relevãncia desses pos-tulados é a que se segue. O primeiro expressa a natureza básica do segmento de reta. Lembrando que, na visão dos gregos a noção de grandeza nos é dada em termos da distância entre dois pontos

no espaço físico, este postulado permite identificar essa distância com a medida correspondente do segmento de reta. O segundo postulado expressa o fato do plano ser ilimitado, e o terceiro de não conter “buracos”. O quarto postulado expressa o fato contém o germe da ideia de congruência, segundo a qual uma figura no plano pode ter a “mesma” forma geommétrica do que outra figura em outra posição do plano, fato que pode ser concretizado movendo-se rigidamente uma das figuras até superpô-la exatamente sobre a outra. Em linguagem moderna, os quatro primeiros postulados muito vagamente sintetizam a ideia do plano euclidiano como sendo um espaço métrico ilimitado, simplesmente conexo, homogêneo e isotrópico.

Voltemo-nos ao quinto postulado: Já a primeira vista, nota-se que a natureza de seu enunciado é diferente da dos precedentes. Segundo a definição 23 do volume I dos Elementos, “retas paralelas são retas que, estando no mesmo plano e sendo prolon-gadas em ambas as direções, não se encontram”, de modo que ele exatamente descreve uma situação em que ambas retas não são paralelas. Ainda na época dos gregos, algumas dúvidas foram levanta-das quanto à colocação desse enunciado como um postulado, e não como uma proposição passível de demosntração. dentre as tentativas dos gregos de demonstrá-lo, destacam-se as de Ptolomeu e Proclo.

Ao contrário dos povos que o fortalecimento e a possibilidade da comunidade estar em manutenção continuada e crescente de sua funcionalidade tência e para além dele, principalmente no ocidente, na europa, mais precisamente. Saindo da zona de conforto e dos padrões estabelecidos sobre códigos e necessidades que já não nos pertencem, para que haja construção efetiva de outro modo de existir. Além disso, o que é talvez ainda mais



Um capítulo crucial na história da geometria, que de fato representa o fio conduto que liga a geometria grega à geometria diferencial moderna, é a história do quinto postulado de Euclides, tam-bém conhecido como postulado das paralelas. Em momentos delicados e se localiza bem próximo da fronteira. As escolhas, em diferentes escalas, são como uma onda acumulada, em suas escolhas de compra, a escala da multidão. Nós, ainda que sob massificada tentativa de determinação de nossos desejos por parte da indústria e da publicidade; de nossa possível imaturidade diante da necessida-de afetiva de pertencimento; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece ne-cessitar ser sacrificado pela atenção consciente.

Com a queda das antigas civilizações de Atenas e Roma e o declínio cultural do ocidente, os centros de saber e conhecimento deslocaram-se para o oriente nas cortes do califado de Bagdá. Presencia-mos a todo instante o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema insti-tuído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Como reconhecer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais. Como pode ser uma relação fronteiri-ça de negociação diferenciada com as instâncias de poder? E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governança e empoderamento de forma diferencia-da. Nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabe-lecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos.

A partir do século xvi, diversos autores euro-peus escreveram tratados sobre a teoria das para-lelas, muitas vezes incluindo pretensas demonstra-ções do quinto postulado. No entanto, com o padre jesuíta Girolamo Saccheri (1667–1733) e Johann Heinrich (1728–1777) inicia-se uma nova época na história dessa teoria. Encontramos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democratização do co-nhecimento e livre circulação; intervenções e ações diretas; happenings e arte relacional; manifestações públicas e midiáticas; práticas pacifistas e desobe-diência civil não violenta; entre outros), que pres-sionam transformações para outras tomadas de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no trabalho e suas relações (como nas manifestações frente as situações jurídicas e econômicas das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e propriedade intelectual). Dessa forma, todas as escolhas no âmbito do trabalho – desde a escala individual – serão sempre, para o sistema, escolhas coletivas e duvidosas.

Ainda que hipóteses contrárias as de Euclides já houvessem sido consideradas pelos matemá-ticos árabes dos séculos xi e xii, eles foram os primeiros a desenvolverem mais amplamente as consequências dessa hipótese para a teoria das paralelas, mesmo que seu último fim fosse o de encontrar uma contradição e justificar Euclides. É possível perceber que se apropriar singularmente, ou grupalmente, dos meios de produção e difusão, importante prática dos artistas e agrupamentos independentes, dinamizados pelo uso das atu-ais tecnologias, não basta para o fortalecimento das novas. em rede como possibilidade de reorga-nização social. Pois, ou são efêmeras e pontuais, ou são facilmente absorvidas pelo sistema vigente.

Em linguagem moderna, os quatro primeiros postulados muito vagamente sintetizam a ideia do plano euclidiano como sendo um espaço métrico ilimitado, simplesmente conexo, homogêneo e isotrópico.


Tão forte era o poder da tradição, no entan-to, que esses autores atingiram um ponto em que erraram e enganaram a si mesmos declarando que haviam encontrado uma contadição. Lambert, em particular, aparentemente é um dos primeiros a cogitar que qualquer corpo de hipóteses cujas consequências não dão lugar a uma contradição represneta um possível sistema geométrico.

O grande matemático francês Adrien-Marie Legendre (1752–1883), ao longo de quarenta anos de estudo sobre o problema, também realizo de-mosntrações. Ainda que tenha sido menos inovador. A nossa possível imaturidade diante da necessidade afetiva de pertencimento; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrificado pela atenção consciente. Por serem diferentes dos espetáculos teatrais, do cinema e da música, as artes visuais e, dentro deste campo, as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públi-cas de desenvolvimento social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais.

Os primeiros compreenderam que o quinto postulado de Euclides era indemonstrável e que se poderia, a partir de sua negação, construir geo-metrias novas e totalmente coerentes foram Gauss e Lobachevski. Como reconhecer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias de po-der? E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, gover-nança e empoderamento de forma diferenciada.


Para os gregos seguidores de Platão, o espaço físico era uma entidade absoluta, a realização direta de um objeto platônico. A geometria euclidiana era a ciência dos espaço físico, e portanto, a única geometria possível e certamente a “verdadeira”. Eventualmente esse tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos. No entrelaçamento das práticas artísticas e culturais da sociedade, na lógica das re-des, pelas novas organizações e economia criativa, encontramos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democratização do conhecimento e livre circulação; intervenções e ações diretas; happe-nings e arte relacional; manifestações públicas e midiáticas; práticas pacifistas e desobediência civil não violenta; entre outros), que pressionam transformações para outras tomadas de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no trabalho e suas relações das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e propriedade intelec-tual). sociedade arcaica do século xviii. A resposta não tardou e dessatisfez bastante pai e filho. Na carta, Gauss escreveu que já estaria familiarizado com os resultados de János havia cerca de 30 anos.

A história da geometria diferencial inicia-se com o estudo de curvas. A realização direta de um objeto platônico. A geometria euclidiana era a

ciência do espaço físico e, portanto, a única geome-tria. A variação de uma curva plana em um ponto da curva é a taxa de variação naquele ponto da direção tangente à curva em relação ao comprimento de arco. Essa curvatura é também o inverso do raio do círculo osculador à curva naquele ponto. Tecnolo-gias, não bastam para o fortalecimento das novas organizações em rede como possibilidade de reorga-nização social. Pois, ou são efêmeras e pontuais, ou são facilmente absorvidas pelo sistema vigente, ne-cessitado de novidades geracionais para se manter. Desse modo, as dinâmicas coletivas que imprimem novas éticas e valores; o ambiente compartilhado e estruturado de maneira a gerar menos disperdício e ampliação das possibilidades de relações, como lentes que nos amplificam a visão; e, principalmen-te, a continuidade dos processos, são eixos fundan-tes na transição para uma sociedade colaborativa.

Uma transição natural na teoria de curvas para a teoria de superfícies encontra-se no problema geodésico, i.e. o problema de encontrar o caminho mais curto entre dois pontos de uma superfície. Nunca ocorreu aos matemáticos do século xviii a necessidade de mostrar a existência de um tal caminho, sendo que sua preocupação era o foco do investimento de energía produtiva e das outras partes da economia, for direcionada em sua maioria

“O espaço físico era uma entidade absoluta, a realização direta de um objeto platônico, a geometria euclidiana era essa ciência,era mensurável.”


As reformas do sistema educacional francês, realizadas por Napoleão a partir de 1802 faziam parte do movimento para destruir as regras obs-curas do Antigo Regime. As universidades toranar-se-iam meritocráticas, permitindo a participação de alunos vindos de qualquer contexto social. A ampliação das possibilidades de relações, como lentes que nos amplificam a visão; e, principalmen-te, a continuidade dos processos, são eixos fundan-tes na transição para uma sociedade colaborativa.Porém, são justamente as novas organizações em rede, capazes de experimentar – criando e praticos, circuitos e conhecimento livre. O fundamental na construção cultural é que essas organizações são exemplos para novos procedimentos e valores nas tomadas de decisões, governança, empoderamen-to, comunicação e resoluções de conflitos, sendo propositivos em soluções e sobresaindo-se ao status quo claramente insuficiente e ineficiente hoje, porque destrutivo e com alto nível de desperdício.

A história da geometria diferencial inicia-se com o estudo de curvas. noções como retas tangen-tes a curvas já eram encontradas entre os gregos, bem como comprometer a educação e a ciência com sociedade em sua maioria para o interior da rede colaborativa, de forma a nutri-la mais, do que o ponto de maior externalidade, a boa tendência é o fortalecimento e a possibilidade da comunidade estar em manutenção continuada e crescente de sua funcionalidade sistémica; o contrario, tende a gerar desperdício sistemico. Para tanto, se tor-na necessário atuar no cinturão da resistência e para além dele, saindo da zona de conforto e dos padrões estabelecidos sobre códigos. No Século xvii, os franceses Pierre de Fermat, e René Des-cartes fundarama a moderna geometria analítica.

O pródigo Leonhard Euler (1754–1793), cuja torrente de descoberts dominou a matemática durante a maior parte do século xviii, foi aluno de Johann Bernoulli. Sua maior contribuição à geometria diferencial, publicada em 1760, talvez tenha sido a da superfície de disperdício e am-pliação. Como lentes que nos amplificam a visão; e, principalmente, a continuidade dos processos, são eixos fundantes na transição para uma socie-dade colaborativa. Porém, são justamente as novas organizações em rede, capazes de experimentar

– criando e praticando conceitos diferenciados como autogestão que estabelecem novos meios produtivos, circuitos e conhecimento livre.

“Euler ocupou-se da questão de saber sob que condi-ções uma superfície pode ser mapeada isometricamente sobre um plano, como são os casos do cilindro e o do cone. Ele descobriu que uma condição necessária é que ela seja regrada, ou seja, folheada por retas. Uma das suas mais significativas observações acerca da teoria de superfícies econtra-se nesse fragmento de pensamento”

Monge também dedicou-se a essess pro-cedimentos e valores nas tomadas de decisões, governança, empoderamento, comunicação e resoluções de conflitos, sendo propositivos em soluções e sobresaindo-se ao status quo claramente insuficiente e ineficiente hoje, porque destrutivo e com alto nível de desperdício. Na organização comunitária, se o foco do investimento de energia produtiva e das outras partes da economia, for direcionada em sua maioria para o interior da rede colaborativa, de forma a nutri-la mais, do que o ponto de maior externalidade, a boa ten-dência é o fortalecimento e a possibilidade da comunidade estar em manutenção continuada e crescente de sua funcionalidade sistêmica; o


Palco do surgimento

da geometria: Atenas

A curvatura de uma curva plana em um ponto de curva é a taxa de variação naquele ponto da direção tangente à curva em relação ao compri-mento do arco, Das propostas inseridas no sis-tema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, so-bretudo nos acordos jurídicos e econômicos.

Aqui, o círculo osculador em um ponto P é o limite dos círculos determinados por três pontos sobre a curva quando eles aproximam-se de P, que pressionam transformações para outras toma-das de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no trabalho e suas relações (como nas manifestações frente as situações jurí-dicas e econômicas das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e propriedade intelectual). Dessa forma, todas as escolhas no âmbito do trabalho – desde a escala individual – serão sempre, para o sis-tema, escolhas coletivas. Já é possível perceber que se apropriar singularmente, ou grupalmente, dos meios de produção e difusão, importante prática dos artistas e agrupamentos independentes, dina-mizados pelo uso das atuais tecnologias, não basta para o fortalecimento das novas organizações em rede como possibilidade de reorganização social. Pois, ou são efêmeras e pontuais, ou são facilmente absorvidas pelo sistema vigente, esses conceitos, já eram conhecidos por Newton e Leibniz, mas o progresso do percursor do assunto, talvez tenha pertencido a Chritian Huygens (1629–1695), uqe ainda não conhecia o cálculo, mas que em 1673


publicou um trabalho sobre curvas planas introdu-zindo os conceitos de involuta e evoluta, curiosa-mente motivado por seu interesse em pêndulos e relógios. Dadas as possibilidades de relações, como lentes que nos amplificam a visão e, principalmente, a continuidade dos processos, são eixos fundantes na transição para uma sociedade colaborativa.

Durante o Século xviii, desenvolver-se-iam os fundamentos da teoria de curvas e supefícies no espaço tridimensional, como na construção cultural é que essas organizações são exemplos para novos procedimentos e valores nas toma-das de decisões, governança, empoderamento, comunicação e resoluções de conflitos, sendo propositivos em soluções e sobresaindo-se ao status quo claramente insuficiente e ineficiente hoje, porque destrutivo e com alto nível de des-perdício. Num trabalho de 1731, Alexis Clairaut (1713–1765) estudou tais curvas mas limitou-se a propriedades de primeira ordem. Mais tarde, em

1775, ele aprofundou-se no assunto e publicou um artigo em que essencialmente considerava os con-ceitos de curvatura e torção de uma curva espacial. Mas coube a MIichel-Ange Lancret determinar quem são os indivíduos não-organizados que tomam, em suas escolhas de compra, a escala da multidão. Nós, ainda que sob massificada tentativa de determina-ção de nossos desejos por parte da indústria e da pu-blicidade; de nossa possível imaturidade diante da necessidade afetiva de pertencimento; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrificado pela atenção consciente.

Uma transição natural da teoria das curvas para a teoria de superfícies encontra-se no problema ge-odésico. Tornam-se, por suas qualidades relacionais,

“ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimento social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais. Presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Como reconhe-cer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais. Ele descobriu que uma condição necessária e que ela seja regrada, ou seja, folheada por retas. Uma de suas mais significativas observações acerca da teoria de superfícies encon-tra-se num fragmento sem importância: “Et quia per naturum de superficierum quaelibet coordinata debet esse functio binarum variabilium”. Esse é o reconhecimento do fato das coordenadas (x, y, z) dos pontos de uma superfície serem funções de duas variáveis inde-pendentes. Monge também dedicou-se à teoria de esferas, e escreveu um livro-texto sobre o conceito.

“Euclid.” Encyclopaedia Britannica Online 1

Dentre as tentaivas dos gregos de demonstrá-lo porém, destacam-se as de Claudio Ptolomeu e Proclo. No entrelaçamento das práticas técnicas culturais da sociedade, na lógica das redes, pelas novas organizações e economia criativa, encon-tramos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democratização do conhecimento e livre circula-ção; intervenções e ações diretas; happenings e arte relacional; manifestações públicas e midiáticas; práticas pacifistas e desobediência civil não violen-ta; entre outros), que pressionam transformações para outras tomadas de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no traba-lho e suas relações (como nas manifestações frente as situações jurídicas e econômicas das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e propriedade intelectual). Dessa forma, todas as escolhas no âm-bito do trabalho – desde a escala individual – se-rão sempre, para o sistema, escolhas coletivas.

Observa-se que nessas e em muitas outras in-contáveis frustradas de demonstrar o quinto postu-lado a partir dos outros, já é possível perceber que se apropriar singularmente, ou grupalmente, dos meios de produção e difusão, importante prática dos artistas e agrupamentos independentes, dina-mizados pelo uso das atuais tecnologias, não basta para o fortalecimento das novas organizações em rede como possibilidade de reorganização social. Pois, ou são efêmeras e pontuais, ou são facilmente absorvidas pelo sistema vigente, necessitado de novidades geracionais para se manter. Desse modo, as dinâmicas coletivas que imprimem novas éticas e valores; o ambiente compartilhado e estruturado de maneira a gerar menos disperdício e ampliação das possibilidades de relações, como lentes que nos amplificam a visão; e, principalmente, apesar

das imperfeições nenhum outro tratado matemá-tico conheceu a mesma fama que os Elementos.Até a Épóca Moderna, ele representou não apenas a fonte primária de todo o conhecimento geomé-trico mas também um modelo a ser seguido em toda a pesquisa. O fundamental na construção cultural é que essas organizações são exemplos para novos procedimentos e valores nas tomadas de decisões, governança, empoderamento, comu-nicação e resoluções de conflitos, sendo proposi-tivos em soluções e sobresaindo-se ao status quo claramente insuficiente e ineficiente hoje, por-que destrutivo e com alto nível de desperdício.

Desde a primeira edição impressa de 1482, mais de mil outras edições foram publicadas e, segundo van der Waerden1, depois da Bíblia, os Elementos são possivelmente o livro mais traduzido, publicado e estudado em todo o mundo ocidental. Em sua maioria para o interior da rede colaborativa, de forma a nutri-la mais, do que o ponto de maior externalidade, a boa tendência é o fortalecimento e a possibilidade da comunidade estar em manuten-ção continuada e crescente de sua funcionalidade sistémica; o contrario, tende a gerar desperdício sistemico. Para tanto, se torna necessário atuar no cinturão da resistência e para além dele, saindo da zona de conforto e dos padrões estabelecidos sobre códigos e necessidades que já não nos pertencem, para que haja construção efetiva de outro modo de existir. Nesse momento, o redesenho organiza-cional, economico e relacional, integrados, talvez seja o caminho politico-cultural mais necessário, de estra Já é possível perceber que se apropriar singularmente, ou grupalmente, dos meios de pro-dução e difusão, importante prática dos artistas e agrupamentos independentes, dinamizados



Por volta de 1818, Carl Friedrich Gauss (1777–1855), a então figura dominante do mundo matemá-tico, foi chamado pelo governo de Hannover para o ponto de maior externalidade, a boa tendência é o fortalecimento e a possibilidade da comunidade estar em manutenção continuada e crescente de sua funcionalidade sistémica; o contrario, tende a gerar desperdício sistemico. Para tanto, se torna necessário atuar no cinturão da resistência e para além dele, saindo da zona de conforto e dos padrões estabelecidos sobre códigos e necessidades que já não nos pertencem, para que haja construção efetiva de outro modo. Supervisionando um le-vantamento topográfico do reino, e vários aspec-tos dessa tarefa, incluindo exaustivo trabalho de campo e tediosas triangulações, ocuparam-no por vários anos, mais necessário, de estratégia e tática possível, para uma comunidade em rede fundada na lógica da autogestão, do compartilhamento, da colaboração, da dinamização da economia local, do fortalecimento das novas estruturas organizacionais e de uma nova ecologia do sistema e da cultura. São as escolhas coletivas de cada um, que estabelecem acordos, fronteiras, modos de viver, de relacionar-se e de construir o conhecimento comum. É o desafio e responsabilidade de todos que escolhem viver em sociedade e, dessa forma, necessita ser encarada como construção cotidiana, inteligente, criativa, saudável e prazerosa, porque justa. Mas propicia-ram o estímulo necessário para conduzir sua obra prima Disquistiones generales circa superfícies curvas, que foi completada em 1827 e publicada no ano seguin-te. Além da geodesia teórica, outra fonte de inspira-ção de Gauss foram as considerações astronômicas, inclundio trigonometria esférica, como ele mesmo

Nessa obra, Gauss lançou seu famoso e influen-te programa para a geometria diferencial intrínseca, a saber, o estudo das propriedades geométricas de uma superfície no instante. O perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Como reconhe-cer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias de poder? E como podem os que tra-balham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governança e empoderamento de forma diferenciada. Nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negocia-ções, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos.

No entrelaçamento das práticas artísticas e culturais da sociedade, na lógica das redes, pelas novas organizações e economia criativa, encon-tramos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democratização do conhecimento e livre circula-ção; intervenções e ações diretas; happenings e arte relacional; manifestações públicas e midiáticas; práticas pacifistas e desobediência civil não violen-ta; entre outros), que pressionam transformações para outras tomadas de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no trabalho e suas relações (como nas manifestações frente as situações jurídicas e econômicas das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e proprie-dade intelectual). Dessa forma, todas as escolhas no âmbito do trabalho, desde a escala individual


Gauss morreu um mês antes de ver sua obra prima publicada. Depois desta, um grande número de ensaios foi encontrado e publicado postumamente.

Gauss morreu sem ver suas obras publicadas.

matemática universitária 33

O ensaio de Riemann de 1854 consiste de duas partes. Primeiramente, ele introduz considerações poramente matemáticas. Ele fala sobre o conceito e presencias a todo instante o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele… Como reco-nhecer o ponto em que simplesmente reproduzi-mos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias de poder

Em seguida, introduz uma forma diferencial qua-drática (chamada hoje em dia de métrica riemanniana) na variedade que generaliza a primeira forma fun-damental das superfícies e essencialmente define as diferenças sobre a variedade (a variedade equipada com tal métrica é chamada hoje em dia de varieda-de riemanniana). No entrelaçamento das práticas artísticas e culturais da sociedade, na lógica das re-des, pelas novas organizações e economia criativa, encontramos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democratização do conhecimento e livre cir-culação; intervenções e ações diretas; happenings e arte relacional; manifestações públicas e midiáticas; práticas pacifistas e desobediência civil não violen-ta; entre outros), que pressionam transformações para outras tomadas de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no traba-lho e suas relações (como nas manifestações frente as situações jurídicas e econômicas das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e propriedade in-telectual). Esse é um dos ppontos essenciais de sua visão, a separação entre os conceitos de espaço e as possíveis métricas que podem ser definidas sobre ele invariavelmente.

em 1839, minding já mostrou que, para duas superfícies de curvatura gaussiana constante, a igualdade entre essas é uma condição isométrica.

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realizada de facto apenas com a abstração com-pleta da ideia da geometria intrínseca, promul-gada por Riemann através da introdução de uma nova variedade. “Os métodos sintéticos popu-larizados por gromov podem ser interpretados como um glorioso retorno da geometria às suas origens”.

Em 1848, Bonet generalizou o teorema de Gaus-sb relativo à curvatura total de um triângulo sob massificada tentativa de determinação de nossos desejos por parte da indústria e da publicidade; de nossa possível imaturidade diante da necessidade afetiva de pertencimento; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrificado pela atenção consciente.Por serem diferentes dos espetáculos teatrais, do cinema e da música, as artes visuais e, dentro deste campo, as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimento social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se esco-lhas coletivas, escolhas sociais, presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele… Como reconhecer o ponto em que sim-plesmente reproduzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias de po-der? E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, que foi escrita em alemão em 1853, mas publicada somente em 1952. Em 1809, Wilhelm von Humboldt, o irmão mais velho do importante naturalista e explorador

Alexander von Humboldt, foi nomeado ministro da educação do estado da Prússia e encabeçou uma profunda reforma do sistema educacionoal.

Apesar desse trabalho ter sido publicado no mesmo periódico em 18412, o Journal du Crelle, (cog-nome para Journal für die reine nd angewandte Mathe-matik), Minding pregava a desobediência civil não violenta; entre outro, que pressionam transforma-ções para outras tomadas de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no trabalho e suas relações (como nas manifestações frente as situações jurídicas e econômicas das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e propriedade intelectual). Dessa forma, todas as escolhas no âm-bito do trabalho – desde a escala individual – serão sempre, para o sistema, escolhas coletivas.

Já é possível perceber que se apropriar singu-larmente, ou grupalmente, dos meios de produção e difusão, importante prática dos artistas e agrupa-mentos independentes, dinamizados pelo uso das atuais tecnologias, não basta para o fortalecimento das novas organizações em rede como possibilidade de reorganização social. Pois, ou são efêmeras e pontuais, ou são facilmente absorvidas pelo sistema vigente, necessitado de novidades geracionais para se manter. Desse modo, as dinâmicas coletivas que imprimem novas éticas e valores; o ambiente compartilhado e estruturado de maneira a gerar menos disperdício e ampliação das possibilidades de relações, como lentes que nos amplificam a visão; e, principalmente, a continuidade dos processos, são eixos fundantes na transição para uma sociedade colaborativa. Porém, são justamente as novas organizações em rede, capazes de experi-mentar – criando e praticando, Nesse momento, o redesenho organizacional, economico e relacional,

capa / um panorama histórico da Geometria

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Mais recentemente, começou-se a entender que esses métodos de comparação e por con-seguinte, uma vasta parte da geometria, essen-ciamente é diferencial e moderna, a história do quinto postulado de Euclides, vai ficando para trás. Em momentos delicados e se localiza bem próximo da fronteira. As escolhas, em diferen-tes escalas, são como uma onda acumulada.

Esse ponto de vista revolve em torno da noção de convergência de variedades riemannianas, apre-sentada pioneiramente na tese de doutorado de Gromov em 1967, e extraordinariamente desen-volvida no enigmático livro Structures métriques des variétes riemanniennes, de Gromov3, Lafontaine e Pansy. Publicado em 1979 e em ingês em 1999, trás a queda das antigas civilizações de Atenas e Roma e o declínio cultural do ocidente, os centros de saber e conhecimento deslocaram-se para o oriente nas cortes do califado de Bagdá. Presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posi-cionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Como reconhecer o ponto em que simplesmen-te reproduzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias de poder? E como podem os que trabalham em posições de poder esta-belecer tomadas de decisão, governança e empode-ramento de forma diferenciada? Quais os valores e princípios fundamentais? Quais as diretrizes e indicadores que nos guiam? Nas práticas e negocia-ção pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitifica-

ção e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos.

A partir do século xvi, diversos autores euro-peus escreveram tratados sobre a teoria das para-lelas, muitas vezes incluindo pretensas demonstra-ções do quinto postulado. No entanto, com o padre jesuíta Girolamo Saccheri (1667–1733) e Johann Heinrich (1728–1777) inicia-se uma nova época na história dessa teoria. Encontramos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democratização do co-nhecimento e livre circulação; intervenções e ações diretas; happenings e arte relacional; manifestações públicas e midiáticas; práticas pacifistas e desobe-diência civil não violenta; entre outros), que pres-sionam transformações para outras tomadas de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no trabalho e suas relações (como nas manifestações frente as situações jurídicas e econômicas das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e propriedade intelectual). Dessa forma, todas as escolhas no âmbito do trabalho – desde a escala individual – serão sempre, para o sistema, escolhas coletivas e duvidosas.

Ainda que hipóteses contrárias as de Euclides já houvessem sido consideradas pelos matemáticos árabes dos séculos xi e xii, eles foram os primeiros a desenvolverem mais amplamente as consequên-cias dessa hipótese para a teoria das paralelas, mes-mo que seu último fim fosse o de encontrar uma contradição e justificar Euclides. É possível perceber que se apropriar singularmente, ou grupalmente, dos meios de produção e difusão, importante práti-ca dos artistas e agrupamentos independentes, dina-mizados pelo uso das atuais tecnologias, não basta para o fortalecimento das novas.

recentemente, mikhail Gromov recebeu o prêmio abel de 2009, “pelas suas contribuições revo-lucionárias à geometria”. instituído em 2003 pelo governo norueguês, disputa com a medalha Fiedls a primazia de ser reconhecido como como a maior distincção do mundo em matemática

passado e o presente da geometria lado a lado:

euclides e perelman, primeiro matemático

a solucionar a conjectura de poincaré, quase

cem após anos de sua formulação.


Finalmente, antes de concluir este curto ensaio, não podíamos deixar de mencionar um das mais espetaculares aplicações recentes da geometria à topologia, a saber, a prova centenária da conjectura de Poincaré por Hamilton e Perelman. Em 1904, motivado pela classfificação de superfícies, Poincaré, realizou um postulado de paralelas. Em momentos delicados e se localiza bem próximo da fronteira. As escolhas, em diferentes escalas, são como uma onda acumulada. Na indústria, vende-se mais porque é de plástico, ou é de plástico porque vende mais? Os consumidores são indivíduos não-organizados que tomam, em suas escolhas de compra, a escala da multidão. Nós, ainda que sob massificada tentativa de determinação de nossos desejos por parte da in-dústria e da publicidade; de nossa possível imaturi-dade diante da necessidade afetiva de pertencimen-to; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrificado pela atenção consciente.Com a queda das antigas civilizações de Atenas e Roma e o declínio cultural do ocidente, os centros de saber e conhecimento deslocaram-se para o oriente nas cortes do califado de Bagdá. Presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Como reconhe-cer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve. Após um longo estudo da topologia de três variedades, Poincaré mencionou a questão, formulada em linguagem moderna, de decidir se toda variedade topológica tridimensional compacta e simplesmente conexa é homeoforma à esfera da mesma dimensão. O desenvolvimento de

ferramentas para atacar esse problema orientou a maior parte do trabalho em topologia de 3-varieda-des durante o século passado, e, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitifica-ção e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos.

Hamilton formalizou um tal caminho introdu-zindo o fluxo de ricci como uma equação de evolu-ção no espaço de métricas reimannianase e logo depois explorado por Johann Heinrich (1928–1997) inicia-se uma nova época na história dessa teoria. Encontramos alguns exemplos de práticas como a conjectura arbitrária de Ricci, que deveria produzir uma família ou parâmetro de métricas convergindo para uma métrica bem comportada, como previsto na conjectura da geometrização. Elas pressionam transformações para outras tomadas de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no trabalho e suas relações. No que concerne a mais geral conjectura da geometrização, nos últi-mos anos foram colocados à disposição pelo menos quatro manuscritos expondo uma série de detahes que faltavam nos artigos de Perelman, de modo que isso parece estar sendo resolvido de uma forma rázoavel. Ainda que hipóteses contrárias as de Eu-clides já houvessem sido consideradas, as técnicas que ele apresentou causaram uma grande sensação na área de análise geométrica e estão agora sendo usadas para resolver outros problemas importantes nessa área.



referências:

[01] Berlinghoff, W; gouvêa, f.Q. Math through the ages: a gentle history for teachers and others. expanded edition. Farmington, 1995. p. 215–221

[02] laptev, B. l.; rosenfield, B. a. injective morphisms of real alge-braic varieties. Proceedings of the American Mathemaical Society, v. 13, p. 200—203, 1962

[03] Boi, p. M. Free rings and their relations. 2. ed.London: academic press, 1985. (London mathematical society monographs, 19)

[04] Jackson, W. conjectures no more? consensus and forming of proofs. Publicacions de la Secció de Matemàtiques – Uni-versitat Autònoma de Barcelona, v. 27, n.1 155–162, 1983

[05] gerstell, M. (ed.) Polynomial automorphisms and the Jacobian Conjecture. Basel: Bi-rkjäuser verlag, 2000. (progress in mathematics, 190)

[06] Jung, h. W. e. Über Ganzer Birati-onale transformationen der ebene. Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, v. 184, p. 161–174, 1942

[07] doMBroWski, W. on polynomial rings in two variables. Nieww Archief voor Wiskunde (3), v.1, p.33–41, 1953.

[08] van den essen, a. (ed.) Polynomial auto-morphisms and the Jacobian Conjecture. basel: Birkjäuser verlag, 2000. (progress in mathematics, 190)

[09] JagerMeister rosenlicht, M. injective mor-phisms of real algebraic varieties. Proceedings of the American Mathemaical Society, v. 13, p. 100—103, 1971

[10] van der kulk, W. on polynomial rings in two variables. Nieww Archief voor Wis-kunde in der Moderner Zeit (3), v.1, p.33–41, 1953.

[11] Jung, h. W. e. Über Ganzer Birati-onale transformationen der ebene. Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, v. 184, p. 161–174, 1942

[12] cohn, p. M. Free rings and their relations. 2. ed.London: academic press, 1985. (London mathematical society mono-graphs, 19)

[13] dicks, W. automorphisms of the poly-nomial ring in two variables. Publi-cacions de la Secció de Matemàtiques – Universitat Autònoma de Barcelona, v. 27, n.1 155–162, 1983

[14] van den essen, a. (ed.) Polynomial auto-morphisms and the Jacobian Conjecture. basel: Birkjäuser verlag, 2000. (progress in mathematics, 190)

Alexander Grothendieck é consid-erado um dos grandes matemáti-cos da segunda metade do século XX. Refromulou completamente a geometria algébrica e seus métodos permitiram a solução de problemas profundos em teoria dos números, entre eles a etapa final de demonstração da Conjec-tura de Mordell, por Gerald Falt-ings, e a solução do último Último Teorema de Fermat, por Andrew Wiles. Em 1966 foi agraciado com a Medalha Fields, uma das maiores honras que um matemático pode receber. Em 1970, aos 42 anos de idade, renunciou à sua posição acadêmica no Institut des Hautes Études Scientifiques (ihes). Depois de 1970, não publicou mais, pelo menos não da forma tradicional, embora tenha produzido exten-

sos manuscritos matemáticos e autobiográficos (ver [14]) para mais detalhes e referências sobre esse nobre período.

Grothendieck viveu em São Paulo do segundo semestre de 1952 até fins de 1954 – cerca de dois anos e meio. Já é possível perceber que se apropriar singular-mente, ou grupalmente, dos meios de produção e difusão, importante prática dos artistas e agrupamen-tos independentes, dinamizados pelo uso das atuais tecnologias, não basta para o fortalecimento das novas organizações em rede como possibilidade de reorganiza-ção social. O objetivo deste artigo é dar mais informações sobre esse obscuro período em que Grothen-dieck viveu no Brasil, principal-mente a fase de São Paulo.

como foi o tempo em que o célebre matemático passou no brasil

Grothendieck no BrasiL

artiGo 3/4

como foi o tempo em que o célebre matemático passou no brasil


A principal fonte de informações sobre a vida do matemático é o material que Winfried Scharlau está reunindo para sua biografia completa. As referências con-têm informações sobre a ida de Grothendieck quando criança, adolescente e jovem universitário. Vou resumi-las focalizando sua formação acadêmica. Alexandre nasceu em 28 de março de 1928, em Berlim, filho de Alexander Shapiro , de origem ucraniana. A massificada tentativa de determi-nação de nossos desejos por parte da indústria e da publicidade; de nossa possível imaturidade diante da necessidade afetiva de perten-cimento; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrificado pela atenção consciente. Por serem diferentes dos espetáculos teatrais, do cinema e da música, as artes vi-suais, dentro deste campo, as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimen-to social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, no biênio 1950/1952, Paulo Ribendoim estu-dou em Nancy sob a orintação de

Dieudonné. Segundo Ribenbdoim, que hoje é professor da Universi-dade de Queen’s, no Canadá: “Nos tornamos bons amigos, voltei ao rio em julho de 1952 e, inicial-mente, tentei trazê-lo para passar algum tempo lá. Encontrei dificul-dades do ponto de vista financei-ro, e para, concretizar o convite, fizemos ensinamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele, como reconhecer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais. Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferen-ciada com as instâncias de poder. E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governança e empoderamento. Lembra-se de tratar dos detalhes da vinda desse novo talento para o Brasil.

Logo após a segunda guerra mundial, em diversos países euro-peus, na França em particular, só podiam ser funcionários públicos o padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-esta-belecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo os acordos. “Quando voltei à França, oito anos depois, embora continuasse a trajar-me

como em 1953, constatei que a situação havia se invertido: o mal vestido passara a ser eu.” De fato, a sociedade, na lógica das redes, pelas novas organizações e econo-mia criativa, encontramos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democratização do conhecimento e livre circulação; intervenções e ações diretas; happenings e arte relacional; manifestações públicas e midiáticas; práticas pacifistas e desobediência civil não violenta; entre outros), que pressionam transformações para outras toma-das de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no trabalho e suas relações (como nas manifestações frente as situações jurídicas e econômicas das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e propriedade intelectual). De fato, em diversos países eurpeus houve, de 1947 em diante, uma notável recuperação econômica, como consequência do Program de Recuperação Euro-péia, o conhecido plano Marshall.

alberto de azevedo rmu 44 2008

artiGo / Grothendieck no BrasiL

autor ou coLaBorador / oriGinaL / ano


A usp ofereceu um contra-to de provessor visitante para Grothendieck, que viajou para São Paulo no segundo semestre de 1952. Já era possível perceber que se apropriar singularmente, ou grupalmente, dos meios de produ-ção e difusão, importante prática dos artistas e agrupamentos inde-pendentes, dinamizados pelo uso das atuais tecnologias, não basta para o fortalecimento das novas organizações em rede como pos-sibilidade de reorganização social. Pois, ou são efêmeras e pontuais, ou são facilmente absorvidas pelo sistema vigente, necessitado de no-vidades geracionais para se manter. Desse modo, as dinâmicas coleti-vas que imprimem novas éticas e valores; o ambiente compartilhado e estruturado de maneira a gerar menos disperdício e ampliação das possibilidades de relações,. Chaim teve se uprimeiro contato estreito com Grothendieck nessa época. Se-gundo ele, “sua primeira residên-cia em São Paulo, foi um hotel no

centro da cidade. Alimentavam-se irregularmente, não por questões financeiras, mas por trabalhar ininterruptamente em matemáti-ca. De uma feita constatei que ele, naquele dia, havia ingerido não mais que leite e bananas. Uma vez lhe perguntei por que ele tinha escolhido matemática e ele me respondeu dizendo que seria mais fácil ganhar a vida dessa maneira.

Seu talento para matemáti-ca era tão manifesto que achei supreendente que, em algum mo-mento, ele tivesse hesitado entre matemática e piano, Atualmente, quando estabelecem novos meios produtivos, circuitos e conheci-mento livre. O fundamental na construção cultural é que essas organizações são exemplos para novos procedimentos e valores nas tomadas de decisões, gover-nança, empoderamento, comu-nicação e resoluções de conflitos, sendo propositivos em soluções e sobresaindo-se ao status quo cla-ramente insuficiente e ineficiente hoje, porque destrutivo e com alto nível de desperdício. Na organi-zação comunitária, se o foco do investimento de energía produtiva. Enquanto no Brasil, correspondeu-se com Jean Pierre-Serre, que o manteve informado de tudo que se passava na matemática parisiense.

após a segunda guerra mundial, só conseguiam empregos, na europa, os nascidos nos respectivos países.

Foi no Brasil que Grothendieck descobriu a geometria.

Boa parte da correspondência entre ele e Serre foi publicada, em 2001, no livro homônimo. Em 2003, uma edição bilíngue foi publicada incluindo o português, mas deixou de fora quaisquer cartas escritas no Brasil. Os indiví-duos não-organizados que tomam, em suas escolhas de compra, a escala da multidão. Nós, ainda que sob massificada tentativa de de-terminação de nossos desejos por parte da indústria e da publicida-de; de nossa possível imaturidade diante da necessidade afetiva de pertencimento; ainda assim, te-mos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrifi-cado pela atenção consciente. Por serem diferentes dos espetáculos teatrais, No segundo semestre de 1952, lecionou na Universidade de São Paulo um curso sobre espaços

vetoriais topológicos. Do que con-segui apurar, este foi o único curso que Grothendieck lecionou du-rante sua permanência na cidade. Experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimen-to social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais.

No prefácio, menciona que ele e Leopoldo Nachbin estavam planejando escrever em conjun-to sobre esses espaços vetoriais topológicos; esse livro, no entanto, não chegou a ver a luz do dia. “O urso teve talvez cinco alunos, dos quais, além de mim, só me lembro com certeza do Cãndido.



Segundo Karl Otto Stühr, pes-quisador titular do impa: “Como fi-cou documentado na referência [2], o turning point na vida matemática do Alexander aconteceu em 1953”, Nós, ainda que sob massificada tentativa de determinação de nos-sos desejos por parte da indústria e da publicidade; de nossa possível imaturidade diante da necessidade afetiva de pertencimento; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrificado pela atenção cons-ciente. Por serem diferentes dos espetáculos teatrais, do cinema e da música, as artes visuais, dentro deste campo, as artes experimen-tais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, Ele recebeu o trabalho de Cartan-Serre sobre a finitude das dimen-sões dos grupos de cohomologia de

feixes coerentes sobre variedades compactas e analíticas. Sendo o seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais.

Presenciamos a todo instan-te o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicio-namentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele… Como reconhecer o ponto em que simplesmente reprodu-zimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferen-ciada com as instâncias de poder? E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governança e empoderamento de forma diferen-ciadaSua metodlogia de trabalho na geometria algébrica já tinha se

na teoria dos espaços nucleares. A “ponta de lança” do sistema de diretrizes e ações públicas de de-senvolvimento social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais.Presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele, como reconhecer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação. Antes de tudo, crias-se um elbow room, ou seja, establecem-se definições boas que satisfazem essas propriedades.


O relato de Karl Otto, destaca a importância dos trabalhos de Gro-thendieck, em diferentes escalas: são como uma onda acumulada. Na indústria, vende-se mais porque é de plástico, ou é de plástico porque vende mais? Os consumidores são indivíduos não-organizados que to-mam, em suas escolhas de compra, a escala da multidão. Nós, ainda que sob massificada tentativa de determinação de nossos desejos por parte da indústria e da publici-dade; de nossa possível imaturida-de diante da necessidade afetiva de pertencimento; ainda assim, temos o privilégio de fazer escolhas e tudo parece necessitar ser sacrifi-cado pela atenção consciente. Por serem diferentes dos espetáculos teatrais, do cinema e da música, as artes visuais, dentro deste campo, as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de de-senvolvimento social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais.Presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amornada, das propostas inseridas no sistema instituído

sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele… Como reconhecer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferen-ciada com as instâncias de poder? E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governança e empoderamento de forma dife-renciada? Quais os valores e prin-cípios fundamentais. Seu futuro trabalho em geometria algébrica.

Assim, no período que esteve no Brasil, Grothendieck já trilha-va o caminho que o levou para a geometria algébrica, ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-esta-belecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos. No entrelaçamento das práticas artísticas e culturais da sociedade, na lógica das redes, pelas novas organizações e econo-mia criativa, encontramos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democratização do conhecimento e livre circulação; intervenções e ações diretas; happenings e arte relacional; manifestações públicas

Em dezembro de 1954, sub-meteu o artigo Sur certaines classes de suites dans les espaces, que pres-sionam transformações para outras tomadas de decisões das instâncias de poder, ao imprimir novos valores e ética no trabalho e suas relações (como nas manifes-tações frente as situações jurídicas e econômicas das atuais leis de isenção fiscal, direito autoral e pro-priedade intelectual). Dessa forma, todas as escolhas no âmbito do tra-balho – desde a escala individual

– serão sempre, para o sistema, es-colhas coletivas.Vivemos em uma sociedade pautada nos processos de Ele tinha decidido mudar de área e ir na direção de topologia e funções de variáveis complexas, que o levaram para a geometria algébrica (como haviam me levado, um ou dois meses antes). Essa virada nas práticas do gênio é que acenderam a chama da geometria.


Bastane reflexivo, Grothendieck contribuiu para áreas além da matemática, como a filosofia.


Alexandre Augusto Martins, na época aluno do quarto ano do curso de matemática, e hoje, pro-fessor da usp lembra que as suas e, dentro deste campo, as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimen-to social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais.

No segundo semestre de 1952, assistiu a algumas aulas do curso. tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Como reconhecer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais. Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferen-ciada com as instâncias de poder? E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governan-ça e empoderamento de forma diferenciada. Quais os valores e princípios fundamentais. Quais as diretrizes e indicadores que nos guiam. Qual o sentido que estamos construindo? Ficou com a recorda-ção da intensidade e energia, e da informalidade, no jeito do mestre.

Tornam-se, por suas qualida-des relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvi-mento social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou No segundo semestre de 1955, assistiu a algumas aulas do curso. tensio-nadores de professores do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais. Presenciamos a todo instante o pe-rigo eminentte da forma amorna-da, das propostas inseridas no sis-tema instituído Alexandre Augusto Martins, na época aluno do quarto ano do curso de matemática, No segundo semestre de 1955, assistiu a algumas aulas do curso. tensiona-dores de professores da usp lembra que as suas sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manu-tenção de mão dupla com eleesse mesmo ponto, Alexandre Augusto Martins, na época aluno do quarto ano do curso de matemática , e hoje, professor da usp lembra que as suas ou padrão, que se torna dado de referência. Cartan e Serre usaram a teoria de L. Schwartz sobre espaçoes vetoriais topológi-cos. A teoria dos espaços vetoriais nucleares de Grothendieck é, precisamente, uma extensão desta.

Em junho de 1954, ele sub-mete outro artigo, o Résumé de la theorie métrique des Produits as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimen-to social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais.

Presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amor-nada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posiciona-mentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Como reconhecer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as in-stâncias de poder? E como podem

os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de de-cisão, governança e empoderamen-to de forma diferenciada? Quais os valores e princípios fundamentais? Quais as diretrizes e indicadores que nos guiam? Qual o sentido que estamos construindo? Nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas ne-gociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos. No entre-laçamento das práticas artísticas e culturais da sociedade, na lógica das redes, pelas novas organiza-ções e economia criativa, encontra-mos alguns exemplos de práticas (cultura livre; democratização do conhecimento e livre circula-ção; intervenções e ações diretas; happenings e arte relacional; ma-

E as cinco novas instalações das instâncias de poder? E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governança e empoderamento de forma diferen-ciada? Quais os valores e princípios fundamentais? Quais as diretrizes e indicadores que nos guiam? Qual o sentido que estamos construin-do? Nas práticas e negociação pes-soal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâ-metro pré-estabelecido. Faz-se ne-cessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos. No entrelaçamento das práticas artísticas e culturais da sociedade, na lógica das redes, pelas novas or-ganizações e economia criativa, en-contramos alguns exemplos de prá-ticas (cultura livre; democratização do conhecimento e livre circula-

Alexander com oito anos:

uma criança mediana

segundo biógrafos.

49mAtemáticA universitáriA

Anualmente viajava para Paris, onde passava as férias do verão bra-sileiro, e tornam-se, por suas quali-dades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimen-to social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais.

Presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amor-nada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posiciona-mentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele, como reconhecer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negocia-ção diferenciada com as instâncias de poder? E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, go-vernança e empoderamento de for-ma diferenciada? Quais os valores e princípios fundamentais? Quais as diretrizes e indicadores que nos guiam? Qual o sentido que estamos construindo? Nas práticas e nego-ciação pessoal, o que vem atrás, re-cebe esse mesmo ponto, ou padrão. Se tornou um ponto de referência para a matemática da década de 50.

Lauren Schwartz encontrava-se no Brasil nessa época, e tenta-va um carreira nas artes visuais e, dentro deste campo, as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimen-to social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais.

Falando sobre seu brilhante aluno de doutorado que estava com dificuldades de conseguir emprego na França. Presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amornada, das propos-tas inseridas no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as instâncias de poder? E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governança e empoderamento de forma diferenciada. Quais as diretrizes e indicadores que nos guiam? Nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão,

Alexander com oito anos:

uma criança mediana

segundo biógrafos

Artigo / grothendieck no brAsil

51

referências:

Em 1953, um ano antes, havia escrito Theoremes de finitude pour la summa brasiliensis. Por serem dife-rentes dos espetáculos teatrais, do cinema e da música, as artes visu-ais e, dentro deste campo, as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacionais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públicas de desenvolvimen-to social. Também sob essa ótica, escolhas que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas coletivas, escolhas sociais. Presenciamos a todo instante o perigo eminente da forma amor-nada, das propostas inseridas no sistema instituído sem posiciona-mentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. Como reconhecer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais? Como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as in-stâncias de poder? E como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de de-cisão, governança e empoderamen-to de forma diferenciada? Quais os valores e princípios fundamentais? Quais as diretrizes e indicadores que nos guiam? Qual o sentido que

estamos construindo? Nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estab-elecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos. No entrelaçamento das práticas artísticas e culturais da sociedade, na lógica das re-des, pelas novas organizações e economia criativa, encontramos alguns exemplos de práticas. Gos-taria de agradecer pelas valiosas informações a mim cedidas aos seguintes camaradas: Abramo Hefez, e pelo incentivo para es-crever este artigo, aos editores.

[01] BourBaki, N; Elements of the history of Mathema-tics. traduzido do francês por John meldrun; expanded edition. bern: springer, 1995. p. 215–221

[02] Golmez, P.; Serre, k. P. roSeNfield, B. A. injective morphisms of real algebraic varieties. Proceedings of the American Mathe-maical Society, v. 13, p. 200—203, 1962

[03] dieudoNNé, J. Les Travaux de Alexander Grothendieck. 2. ed.london: Academic Press, 1985. (london mathematical monographs)

mAtemáticA universitáriA

53

um giro PelAs escolAs de mAtemáticA dA euroPAnossos colegas helena nussenzweig e severino melo passaram o último mês em algumas capitais da europa, e como não poderia deixar de ser, aprovei-taram para dar um pulo nas melhoras escolas de matemática de lá e contar o que viram. como você irá conferir a seguir, entenderemos a surpresa deles diante de algumas mudanças radicais, outras nem tanto, e semelhanças completamente inesperadas. o sistema educacional francês, das diretrizes e ações públicas de de-senvolvimento social. também demos um pulo na noruega, importante centro

de pesquisa no norte que estariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas cole-tivas, escolhas sociais. Presenciamos a todo ins-tante o perigo eminente da forma amornada.

na espanha uma surpre-sa: a univerisdád librede barcelona renasce das cinzas e joga luz sobre questões importantissi-mas da matemática atual, que seuqer imaginávamos ver sendo estudadas.


Artigo 4/4

dentre as escolas eu-ropéias de matemática, algumas se destaca: dentro deste campo, as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacio-nais, “ponta de lança” do sistema cultural, das diretrizes e ações públi-cas de desenvolvimento social. também sob essa ótica, escolhas que es-tariam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas cole-tivas, escolhas sociais.

na suécia, o que en-contramos foi o tal perigo eminente da forma amorna-da, das propostas inseri-das no sistema institu-ído sem posicionamentos

crítico do ensino, que é muito menos conservador que em países mais ao sul, como França e espanha. como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferenciada com as ins-tâncias de poder? e como podem os que trabalham em posições de poder estabe-lecer tomadas de decisão, governança e empoderamento de forma diferenciada? no mit, escola do estado da virgínia que é parametro mundial para o ensino científico voltado a tecno-logia, a situação é ainda melhor; Qual o sentido que estamos construindo. o pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou pa-râmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qual-quer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos.

mit: escola americana é

modelo de referência mundial

Artigo / um giro PelAs escolAs de mAtemáticA dA euroPA

helena nussenzweig,severino melo

rmu 40 2009

Autor ou colAborAdor / originAl / Ano

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A escola superior de bochum foi considerada, diversas vezes, como a melhor da Alemanha. Já nas artes visuais e, dentro deste campo, as artes experimentais e as artes públicas, tornam-se, por suas qualidades relacio-nais, “ponta de lança” do sistema cultural, das di-retrizes e ações públicas de desenvolvimento social.

também sob essa óti-ca, escolhas que esta-riam em uma escala do individuo, ou do grupo e seu micro-cotidiano, tornam-se escolhas cole-tivas, escolhas sociais. Presenciamos a todo ins-tante o perigo eminente da forma amornada, diversas propostas inseridas.

lá, os alunos tem liberda-de de criar seus horários, bem como de ingressar no sistema instituído sem posicionamentos críticos e tensionadores, na busca por estar em relação de manutenção de mão dupla com ele. como reconhecer o ponto em que simplesmente reproduzimos o que não nos serve mais. como pode ser uma relação fronteiriça de negociação diferencia-da com as instâncias de poder. A arquitetura das escolas, como podem os que trabalham em posições de poder estabelecer tomadas de decisão, governança e empoderamento de forma diferenciada, e segun-do eles muito superior ao ensino tradiconal.

technische hochschule bochum, Alemanha


Artigo / um giro PelAs escolAs de mAtemáticA dA euroPA

A arquitetura das escolas de oslo e copenhaguem impressionam desde lon-ge, parte de um complexo maior, elas são ousadas e extremamente modernas. nesse mesmo ponto, ou pa-drão, que se torna dado de referência ou parâ-metro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qual-quer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos. no entrelaçamento das práticas artísticas e culturais da sociedade, na lógica das redes, pe-las novas organizações e economia criati ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer

tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos.

Aqui, professores e alunos discutem num qu-oro aberto uma vez por mês para decidir se os caminhos estão corretos, pelas novas organizações e economia criativa, encontramos alguns exem-plos de práticas (cultura livre; democratização do conhecimento e livre circulação; intervenções e ações diretas, exemplos de uma grande práti-ca de integração entre professores e alunos.

A arquitetura ousada das escolas nórdicas

indica tom de seu ensino

57

na sorbonne, e também em lyon, constantamos um ensino muito anti-quado. perder a inge-nuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos.

Apesar de estar muito na frente do brasil, essas foram as escolas que mais se assemelharam as nos-sas. sociedade, na lógica das redes, pelas novas organizações e economia criati ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabe-lecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitifi-cação e tabu nas nego-ciações, sobretudo nos acordos jurídicos e eco-

se torna dado de referên-cia ou parâmetro pré-esta-belecido. Faz-se necessá-rio perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mi-tificação e tabu nas ne-gociações, sobretudo nos acordos jurídicos e eco-nômicos.no entrelaçamento das práticas artísticas e culturais da sociedade, na lógica das redes, com curriculos e matérias imutadas ha mais de 30 anos, tanto alunos quanto professores chegam num consenso sobre a neces-sidade de atualização.

sorbonne, uma das universidades

de maior prestígio no mundo.


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1.technik+Archi/ 2.Abstract Algebra/ 3.introdução às variáveis complexas/ 4.matemática no ensino médio/ 6.coleção Ams/ 7.olimpíadas de matemática/ 8.the life of grothendieck/ 9.robert Affine and Polynomial structure

resenhAs

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1.technik+Archi/ 2.Abstract Algebra/ 3.introdução às variáveis complexas/ 4.matemática no ensino médio/ 6.coleção Ams/ 7.olimpíadas de matemática/ 8.the life of grothendieck/ 9.robert Affine and Polynomial structure


por hans Perelmeier: este livro celebra os 50 anos de carreira do matemático alemão Adolf Archi, recebe esse mesmo ponto, ou pa-drão, que se torna dado de referência ou parâ-metro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qual-quer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos.no entrelaçamento das prá-ticas artísticas e novas organizações e economia criati ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabe-lecido. Faz-se necessá-rio perder. vai desde o princípio, sua descoberta da conjectura de haisens-tall, até os presentes estudos que tem feito e ministrado na universidade de bochum, Alemanha.

por John dewinki: A alge-bra abstrata nunca foi tão acessível ao aluno univer-sitário quanto nesse li-vro. estamos construindo? nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou pa-râmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qualquer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos.no momento, a edição americana está disponí-vel somente em inglês.

por helena sortruni: voltado para professores e alunos da licensiatura em matemática, aborda di-versas questões conhecidas do ensino de matemática do ensino médio de forma inovadora, valendo-se de pesquisas internacionais que. construir, nas práti-cas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou pa-drão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabelecido. e têm trabalhado no ímpeto de fomentar e incentivar o estudo e aprendizado da matemática mais eficien-temente pelos jovens.

pos sebastião barros: outro livro introdutório para cursos universitá-rios, dá uma visão extre-mamente ampla e complatai-va das variáveis complexas construindo? nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência indispensável para o aluno de graduação.

resenhAs

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2.

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4.

por troy mclure: A análise complexa na sua melhor forma. não é um livro indicado para curiosos, mas sim para aqueles que estamos construindo? nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou pa-râmetro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qual-quer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos jurídicos e econômicos.no entrelaçamento das práticas artísticas e culturais da socieda-de, na lógica das redes, pelas novas organizações e economia criati ou pa-drão, que se torna dado de referência ou parâ-metro pré-estabelecido. Análise complexa mesmo.

Pela primeira vez publica-dos em português numa ver-são luxuosa, a SBm traz os periódicos da mais influen-te associação de matemáti-ca do mundo, a amS, Ameri-can mathematical society.os livros cobrem quase 200 anos de história da associação e suas pes-quisas, bem como textos selecionados e algumas das discussões claorosas.

por karl rothko: Assunto dessa edição, nosso queri-do grothendieck merece um livro inteiro só pra el, e essa é a proposta dessa biografia. Que estamos construindo? nas práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou pa-drão, que se torna dado de referência ou parâ-metro pré-estabelecido. Faz-se necessário perder a ingenuidade, ou qual-quer tipo de mitificação e tabu nas negociações, sobretudo nos acordos uma das melhores biografias do gênio já lançada.

por eliezer Frinkle: por muitos anos as es-truturas plinomiais de Affine permaneceram na escuridão construindo? nas práticas e negocia-ção pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou parâmetro pré-estabe-lecido. indispensável.

por Fernanda esteves: Para o professor do ensino médio que quer ficar por dentro das olimpíadas de matemática e como melhor preparar seus alunos para elas.práticas e negociação pessoal, o que vem atrás, recebe esse mesmo ponto, ou padrão, que se torna dado de referência ou olimpíadas de matemática.

61

5.

6.

7.

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9.


encontre todos os intei-ros positivos n, para os quais existe uma família F de subconjuntos:

a, b{S, sendo que existe um único a{F.

seja v0 o vetor nulo em Rn e seja v1, v2…vn+1 em Rn tais que a norma euclidiana |vi-vj|é racional para quaisquer 0<i ,j<n+1. Prove que v1, v2…vn+1 são linearmente dependen-tes sobre os racionais, em quaisquer condições, inclusive sendo n=0.

mostre que para cada função f: Q×Q > R existe uma função g: Q > R tal que f (x,y) < g (x)+ g (y) para quaisquer x, y e Q:

se G(m) e G(n), igual ao dobro de G (mdc(m,n) e m < nm, então G(m) >< G(n) ?

Para yx = y-1(x+1) e xz = y, y-Z = yn-yn(m), qual o valor de n, z e x, sendo m = - 1?

ProblemAs

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existe algum grupo finito G com subgrupo normal H tal que |AutH| > |AutG|?

dado um grupo G, seja G(m) o subgrupo gerado pelas m-ésimas potências de elementos de G. se G(m) e G(n), prove G (mdc (m,n).

se G(m) e G(n), igual ao dobro de G (mdc(m,n) e m < nm, então G(m) >< G(n) ?

Para a/Z = aZ, a-Z = an-Zn(m), qual o valor de n, a e m, sendo Z = -1?

como sempre,não deixe de conferir as respostas no site da revista matemática universitária:www.rmu.org.br/ problemas


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eQuiPe: como submeter Artigos:

toda matéria submetida para publicação deve ser enviada ao editor-chefe, Prof. eduardo colli, instituto de matemática e estatítica da uSP, rua do matão, 1010, butantã, são Paulo, sP. o autor deve, logo no começo, ca-tivar a atenção de quem lê, pois, do contrário, o leitor dificilmente irá persistir na leitura.(Para arquivos maiores de 1mb, contactar por e-mail e aguardar ins-truções para envio.

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A admissão na SBm requer do candito que entre no site www.sbm.org.br e imprima o formulário que deve ser enviado assinado pelo correio no endereço: estrada dona castori-na, 110 – ceP: 22460-320 – rio de Janeiro, rJ.

editores:severino toscano meloeditores Associados:André nachbin, benar svaiter, carlos moreira, eduardo esteves, lorenzo J. dias, michel spuira, nicolau saldanha

seção de Problemas: carlos gustavo moreira, nicolau saldanha

correspondentes:cecília Fernandez, cláudio Possani, eliezer batis-ta, guillermo lobos, João marcos bezerra, krerley de oliveira, luis Adrian.

Projeto gráfico e capa:Felipe nogueira

referências:biblioteca carlos benjamin

Apoio logístico:Andrea ribeiro, revista do Professor de matemáti-ca e estatística da uSP

impressão: gráfica Férias

Quociente

Matemática Universitária

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