Matematica slides capitalizacao

1

Se um amigo lhe pedisse R$ 1.000,00 emprestadospara lhe pagar de volta o mesmo valor daqui a umano, você acharia a proposta atraente?

Dinheiro e TempoDinheiro e Tempo

Por melhor que seja seu amigo, com certeza essepedido não lhe agradaria. Algumas questões surgiriamem sua mente...


“Será que ele me pagará na data prevista?”


Risco: existe sempre a possibilidade de nãoocorrerem os planos conforme o previsto; em outraspalavras, sempre haverá o risco de não receber osvalores programados em decorrência de tatosimprevistos.


p

2

“Será que o poder de compra dos R$ 1.000,00 permanecerá inalterado durante o ano inteiro?”


Inflação: conceituada como um aumento contínuo egeneralizado no nível geral de preços, resulta em perdaininterrupta do poder aquisitivo da moeda.


“Se eu permanecesse com o dinheiro, poderia consumi-lo, satisfazendo minhas necessidades, ou

poderia aplicá-lo na caderneta de poupança, ganhando os juros e os rendimentos do

período!”


período!

Oportunidade: se os recursos monetários sãolimitados, a posse deles, no presente, permite aproveitaras oportunidades mais rentáveis que surgirem.



O Capital (Dinheiro) jamais deve ficar parado, ou seja,deve ser emprestado a alguém ou aplicado em algumnegócio.


3


O dinheiro emprestado sofre o efeito no tempo, podendoaumentar através dos juros e também perder valor emrelação a outros bens devido a inflação.

O valor do dinheiro no tempo

relaciona-se à idéia de que, ao longo

do tempo, o valor do dinheiro muda,

quer em função de ter-se a


oportunidade de aplicá-lo, obtendo-

se, assim, uma remuneração (juros)

sobre a quantia envolvida, quer em

função de sua desvalorização por

causa da inflação.

Só se pode comparar

valores ($) se estes estiverem

referenciados na mesma data.

Princípios BásicosPrincípios Básicos

Só se pode efetuar

operações algébricas com

valores referenciados na

mesma data.

Princípios BásicosPrincípios Básicos

A matemática financeira tem como objetivo básico

estudar a evolução do valor do dinheiro no tempo.

(prof. Carlos Shinoda).

A Matemática FinanceiraA Matemática Financeira

A matemática financeira compreende um conjunto de

técnicas e formulações extraídas da matemática, com o

objetivo de resolver problemas relacionados às finanças

de modo geral, e que, basicamente consistem no estudo


g , q ,

do valor do dinheiro no tempo.

4


A matemática financeira busca, essencialmente,

analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo,

determinando o valor das remunerações relativas a seu

emprego, ou seja, o valor dos juros correspondentes.

Existem duas formas básicas para considerar a

evolução do custo do dinheiro no tempo:

Regimes de CapitalizaçãoRegimes de Capitalização

Regimes deCapitalizaçãop ç

Simples

Composta

Elementos básicos para CapitalizaçãoElementos básicos para Capitalização

Capital

JurosJuros

Montante

Tempo

É a quantidade de moeda (ou dinheiro) que um indivíduotem disponível e concorda em ceder a outro,temporariamente, mediante determinada remuneração.

Definição de CapitalDefinição de Capital

Juro é a remuneração pelo capital emprestado ouaplicado.

Definição de JurosDefinição de Juros

Exemplo: ao emprestarmos determinada quantia dedinheiro a outrem, por certo prazo de tempo, cobramosuma importância a título de juros, que se refere àremuneração pelo capital emprestado.


5

Por exemplo, o Sr. João tomou emprestado de umbanco uma quantia de R$ 1.000,00 por 30dias, devolvendo ao final do prazo a quantia total deR$ 1.100,00. Qual o valor dos juros?


É o resultado da aplicação do capital inicial,representando a soma do capital inicial mais osjuros capitalizados durante o período.

Definição de MontanteDefinição de Montante

Corresponde à duração (emdias, semanas, meses, semestres, anos etc.) daoperação financeira.

Definição de TempoDefinição de Tempo

Para facilitar a representação das operaçõesfinanceiras, costuma-se empregar o diagrama de fluxode caixa que consiste na representação gráfica damovimentação de recursos ao longo do tempo( t d íd d i )

Diagrama de Fluxo de CaixaDiagrama de Fluxo de Caixa

(entradas e saídas de caixa)

Diagrama de Fluxo de CaixaDiagrama de Fluxo de Caixa

DinheiroPago

DinheiroRecebido

g

Operação de EmpréstimoOperação de Empréstimo

ValorPresente

Período deCapitalização

Valor Presente

+

Juros

Montante

6

Operação de AplicaçãoOperação de Aplicação

Valor Presente

+Montante

ValorPresente

Período deCapitalização

Juros

Pagamento Único:

Fluxo de Caixa (Tipo 1)Fluxo de Caixa (Tipo 1)

PV

0

4meses

O valor inicial aplicado ou emprestado (PV) serárecebido ou pago numa data futura por meio de umúnico pagamento (FV), com juros.

FV

0

Séries Uniformes Postecipadas (Crediário s/ entrada):


PV

4meses

321

O valor inicial (PV) será pago ou recebido por meio deprestações iguais e com periodicidade constante(PMT), sendo a primeira no final do primeiro período.

0meses

PMT

Séries Uniformes Antecipadas (Crediário c/ entrada):


PV

04

meses321

O valor inicial (PV) será pago ou recebido por meio deprestações iguais e com periodicidade constante(PMT), sendo a primeira no ato da contratação.

0 meses

PMT

Séries Variáveis:


PV

04

meses321

O valor inicial (PV) será pago ou recebido por meio deprestações diferenciadas (Ex: Financiamento deimóveis com prestações intermediárias).

FC2FC1 FC3

FC4

Exercícios de Diagramas de Fluxos (1)Exercícios de Diagramas de Fluxos (1)

Represente o diagrama de fluxo de caixa de umaaplicação no valor de R$ 500,00 que será resgatado emtrês parcelas iguais, mensais, no valor de R$ 200,00

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Uma compra a prazo de um CD player que custa a vistaR$ 100,00 pode ser paga em duas parcelas mensais(entrada no ato) no valor de R$ 60,00


Construa o diagrama de fluxo de caixa para osseguintes pagamentos ou recebimentos:

Ano Fluxo de CaixaCaixa

0 (500,00)

1 250,00

2 200,00

3 150,00

4 100,00


Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados aseguir:

Ano Fluxo de CaixaCaixa

0 (700,00)

1 500,00

2 400,00

3 300,00

4 200,00

5 (300,00)


Um cliente do Banco Bom Negócio gostaria dedescontar uma nota promissória, no valor de R$3.000,00, com vencimento para 30 dias. Ogerente, além de cobrar-lhe juros antecipadamente deR$ 600 00 obriga-o a manter um CDB (Certificado deR$ 600,00, obriga o a manter um CDB (Certificado deDepósito Bancário) no valor de R$ 400,00 eremunerado à 10% durante do prazo da operação. Qualo diagrama de fluxo de caixa correspondente?


A empresa Leve Como Chumbo pensa em abrir umanova instalação industrial com investimento inicial iguala R$ 300,00. Os gastos anuais associados aos cincoanos de vida do negócio são estimados em R$ 80,00, eas receitas em R$ 200 00 Represente o diagrama deas receitas, em R$ 200,00. Represente o diagrama defluxo de caixa dessa operação.

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Regime de CapitalizaçãoRegime de Capitalização

Refere-se ao processo de formação dos juros, quepoderá ser SIMPLES ou COMPOSTO

Os juros incidem somente sobre o valor inicialmenteaplicado ou tomado emprestado:

Regime de Capitalização SimplesRegime de Capitalização Simples

n Capital Juros de cada período Valor Acumulado

1 R$ 1.000 R$ 1.000 × 10% = 100 R$ 1.000 + R$ 100 = R$ 1.100

2 R$ 1.000 R$ 1.000 × 10% = 100 R$ 1.100 + R$ 100 = R$ 1.200

3 R$ 1.000 R$ 1.000 × 10% = 100 R$ 1.200 + R$ 100 = R$ 1.300

É popularmente conhecido como juros sobre juros.Os juros gerados a cada período são incorporadosao principal para o cálculo dos juros do períodoseguinte:

Regime de Capitalização CompostaRegime de Capitalização Composta

n Capital Juros de cada período Valor Acumulado

1 R$ 1.000 R$ 1.000 × 10% = 100 R$ 1.000 + R$ 100 = R$ 1.100

2 R$ 1.100 R$ 1.100 × 10% = 110 R$ 1.100 + R$ 110 = R$ 1.210

3 R$ 1.210 R$ 1.210 × 10% = 121 R$ 1.210 + R$ 121 = R$ 1.331

Juros Simples e CompostosJuros Simples e Compostos

Juros Simples Juros Composto

Os juros crescem linearmente ao longo do tempo noregime de capitalização simples, sendo seu valorconstante durante os períodos

ConclusãoConclusão

Os juros crescem exponencialmente ao longo dotempo no regime de capitalização composta, sendoque o montante calculado até o período anterior servecomo base de cálculo para os juros do próximo período

O valor dos juros simples e dos juros compostos éigual no primeiro período de capitalização

Após o primeiro período de capitalização o valor dos

ConclusãoConclusão

juros compostos é superior ao valor dos juros simples

Antes do primeiro período de capitalização, o valordos juros simples é superior ao dos juros compostos

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Juros SimplesJuros Simples

Genericamente, os juros capitalizados por período noregime de capitalização simples poderiam serrepresentados como:

INT = PV × i

INT = Juros (INTerest)PV = Valor Presente (Present Value)i = Taxa de Juros (Interest Rate)

TaxaTaxa

A taxa costuma ser apresentada ao dia, ao mês, aobimestre, ao trimestre, ao quadrimestre, ao semestre ouao ano. Para simplificar a notação, os períodoscostumam ser abreviados:

Abreviatura Significadoa.d. ao diaa.m. ao mêsa.b. ao bimestrea.t. ao trimestrea.q. ao quadrimestrea.s. ao semestrea.a. ao ano

Exemplo 1Exemplo 1

Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a taxa de 5%a.m. no Regime de Capitalização Simples. Qual o valordos juros mensais?

Juros SimplesJuros Simples

Em n períodos, os juros totais serão iguais aos jurospor período multiplicados pelo número de períodos, ou:

INT = PV i nINT PV × i × n

INT = Juros (INTerest)PV = Valor Presente (Present Value)i = Taxa de Juros (Interest Rate)n = Período de Tempo (Number of periods)

Exemplo 2Exemplo 2

Um capital de R$ 120,00 foi aplicado a taxa de 4%a.m. no regime de capitalização simples por 7 meses.Qual o valor dos juros capitalizados durante o períodode vigência da aplicação?

10

Derivações da FórmulaDerivações da Fórmula

..

INT PV nINT PV i n .

Exemplo 3Exemplo 3

Que valor, aplicado durante 6 meses, à taxa de 5%a.m., rendeu de juros o valor de R$ 240,00?

Exemplo 4Exemplo 4

O valor de R$ 800,00 foi aplicado a juros simplesdurante 6 meses, rendendo de juros R$ 240,00. Calculea taxa de juros.

Exemplo 5Exemplo 5

O valor de R$ 800,00 foi aplicado a juros simples, àtaxa de 5% a.m., rendendo de juros R$ 240,00. Quantotempo ficou aplicado?

Importante!Importante! Sugestão!Sugestão!

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Taxas ProporcionaisTaxas Proporcionais

t

qcp n

nii

×=

t

ip = Taxa Proporcional

ic = Taxa Fornecida

nq = Tempo que eu quero (em dias) da taxa proporcional

nt = Tempo que eu tenho (em dias) da taxa fornecida

Qual é a taxa anual, proporcional à taxa de 2% ao

mês?


t

qcp n

nii

×=

3036002,0ip

×=

ano ao 24% ou 24,0=pi

Qual é a taxa mensal, proporcional à taxa de 24% ao

ano?


t

qcp n

nii

×=

3603024,0ip

×=

mês ao 2% ou 02,0=pi

Exercícios de Juros Simples (1)Exercícios de Juros Simples (1)

Qual o valor dos juros do capital de R$ 1.200,00,aplicado a juros simples à taxa de 3% a.m., durante 8meses e 15 dias?


Qual o valor dos juros de uma aplicação de R$1.600,00 feita a uma taxa de 3% a.m. no regime dejuros simples durante 2 anos?

Exemplo 6Exemplo 6

Qual deve ser o valor resgatado (montante) de umaaplicação de R$ 1.600,00 feita a uma taxa de 3% a.m.no regime de juros simples durante 2 anos?

O que é Montante?

12

FV = PV×(1 + i n)

Montante ou Valor FuturoMontante ou Valor Futuro

O Montante ou Valor Futuro é a soma do valoraplicado com o valor dos juros, dos rendimentos:

FV PV×(1 + i × n)

FV = Valor Futuro (Future Value)PV = Valor Presente (Present Value)i = Taxa de Juros (Interest Rate)n = Período de Tempo (Number of periods)

J = PV × i × nFV = PV × (1 + i × n)

Juro ou MontanteJuro ou Montante

Sempre são necessárias 3 informações para seobter a quarta.

Não há como obter conclusões com apenas 1 ou 2informações.

Exemplo 6Exemplo 6

Qual deve ser o valor resgatado (montante) de umaaplicação de R$ 1.600,00 feita a uma taxa de 3% a.m.no regime de juros simples durante 2 anos?

Derivações da FórmulaDerivações da Fórmula

..

.

Rita aplicou durante dois anos e meio a quantia de R$5.000,00 à taxa de juros de 0,50% a.m. Determine oMontante ao final do prazo, o juro e monte o fluxo decaixa sob o ponto de vista da Rita.


João tomou emprestado uma certa quantia durante 4anos à taxa de 1,00% a.b. Ao final deste prazo retornouR$ 99,20. Quanto João captou? Monte o fluxo de caixado João.


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Uma velhinha tomou emprestado de seu neto a quantiade R$ 500,00 para saldar dívidas de aluguel. Após1 semestre, seu netinho lhe cobrou R$ 740,00 referenteao empréstimo. Qual a taxa mensal cobrada?


Durante quanto tempo R$ 1.000,00 devem ficaraplicados a uma taxa de 10,00% a.m. para queduplique?


Um principal de R$ 3.798,67 foi aplicado à 3,00% a.m.durante 53 dias. Calcule o valor resgatado.


1) Limpar os registradores financeiros: f FIN

2) Introduzir o período em dias e pressionar n

3) Introduzir a taxa de juros anual e pressionar i

Juros Simples na HP-12CJuros Simples na HP-12C

3) Introduzir a taxa de juros anual e pressionar i

4) Introduzir o valor do Principal e pressionar PV

5) Pressionar para obter o valor do jurof INT

6) Pressionar para obter o Montante+

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