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Matemática

Aulas 17 e 18 – Matemática

Texto A

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PROBLEMA (problema 3 da aula)

Uma indústria pode produzir dois tipos de produtos, A e B, utilizando três tipos

de materiais, I, II e III. O modo como ela opera é descrito na tabela abaixo:

Produtos >>

Materiais

A B Estoque

I 1 3 10

II 2 2 12

III 0 1 4

Lucro unitário >> 4 reais 6 reais Lucro Total

L

(Para produzir uma unidade de A utilizam-se 1 unidade do material I, 2

unidades do material II e nada do material III; no caso de B, utilizam-se 3

unidades do material I, 2 unidades de II e 1 unidade de III)

Determine quantas unidades devem ser produzidas de A e quantas de B

de modo que o Lucro Total seja máximo

ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO

1. Qual a função a ser otimizada? Trata-se da busca de um máximo ou de

um mínimo?

Máximo

Lucro Total=Lt =4x +6y

2. Quais as limitações impostas aos valores de x e y, devido à natureza do

problema e às condições da produção?

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3. Como se formula o problema proposto sinteticamente, na linguagem

matemática?

MAX Lucro Total = Lt =4x +6y

4. Represente no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfazem a

restrição x + 3y ≤ 10

5. Represente no plano cartesiano os pontos (x;y) que satisfazem às

inequações 2x + 2y ≤ 12 (material II) e y ≤4 (material III)

2x + 2y ≤ 12 é a área hachurada em verde

e y ≤4 é representado pela área hachurada em rosa

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Os pontos são a intersecção entre as áeas rosa e verde.

6. Represente no plano cartesiano a região que corresponde aos pontos (x;

y) que satisfazem simultaneamente todas as condições do enunciado.

7. Para escolher entre os pontos de V o que responde a pergunta do problema, ou seja, o par (x; y) que torna o Lucro L máximo, calcule o valor de L = 4x + 6y em um ponto qualquer da região V; por exemplo, no ponto (6; 0).

L=4 *6+ 6*0

L=24

8. Note que o valor de L é 24 ao longo de toda a reta 4x + 6y = 24. Represente tal reta no plano cartesiano, juntamente com a região de viabilidade V.

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9. Calcule o valor de L em outro ponto da região de viabilidade, por exemplo, no ponto (0; 10/3).

L=4 *0+ 6*10/3

L=20

10. Verifique que a reta 4x + 6y = 20, ao longo do qual o lucro L é igual a 20, é paralela à reta 4x + 6y = 24, situando-se abaixo dela. Como o ponto em que a reta 4x + 6y = L corta o eixo Y no ponto (0; L/6), quanto maior o lucro L, mais alto no eixo Y é o ponto em que a reta L = 4x + 6y o corta. Assim, o lucro máximo corresponde à reta L = 4x + 6y que corta o eixo Y no ponto mais alto. Será uma reta paralela a 4x +6y = 20, mas que passa pelo ponto da região V que possibilita o maior valor da ordenada em que corta o eixo Y. Verifique que tal ponto é justamente a interseção das retas I e II. Determine esse ponto e calcule o valor de L correspondente. Esse será o máximo lucro possível, respeitadas as exigências do enunciado.

Para encontar o ponto de intersecção das retas devemos resolver o sistema linear a seguir:

x+3y=10 x+y=6

Y=2 , X=4 O ponto da solução ótima é X=4 e Y=2.