Matematica _ Progressões Geométricas

8/15/2019 Matematica _ Progressões Geométricas

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03/04/2016 Matematica | Progressões Geométricas

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/progressoes/progressao_geometrica/progressao_geometrica_07_exercicios_resolvidos.php 1/9

1) O valor positivo de x que torna a sucessão uma PG é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Vamos usar a propriedade fundamental de uma PG para calcular o valor de "x" .

Como o exercício pede só o valor positivo, a resposta é letra "D" .

2) (UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma

dos dois primeiros é 24. Nessa progressão a razão é

(A) 1

(B) 2

(C) 3 (D) 4

(E) 5

- As informações do problema são: a1=2q S2 =24 q=?

- Sabemos que S2 =a1+a2 e iremos trabalhar em cima disto. Usando a fórmula do termo geral

para o segundo termo, temos: a2 =a1·q Vamos substituir o valor de a1 por 2q.

a2 =2q·q

a2 =2q2

- Voltando à nossa fórmula de trabalho:


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S2 =a1+a2 Vamos substituir os valores conhecidos

24=2q+2q2

2q+2q2 -24=0 Chegamos numa equação do segundo grau, usando Bhaskara: q'=3 q''=-4 Como o exercício diz que a razão é positiva,

Resposta certa, letra "C" .

3) O valor de x para que a seqüência seja uma PG é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Novamente iremos utilizar a propriedade fundamental de uma PG:

- Desenvolvendo esta equação:


4) O conjunto solução da equação é

(A) 10

(B) 15

(C) 20

(D) 25 (E) 30

- Note que o lado esquerdo da igualdade é uma PG, com a1=x e q=1/3. Como todos os termos

estão sendo somados, temos uma soma infinita desta PG. Vamos utilizar a fórmula de somainfinita:


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- Vamos voltar a equação do exercício e substituir o valor recém calculado:


5) A soma dos termos de uma PG é expressa por . A razão da progressão é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- O exercício dá a fórmula geral das soma dos "n" primeiros termos e pede sua razão. Paracalcular a razão devemos calcular a1 e a2para dividirmos e descobrir sua razão.

- Se substituirmos o valor de "n" por 1, iremos calcular a soma dos 1 primeiros termos, ou seja, opróprio primeiro termo:

S1= -3+31+1

S1= -3+32

S1= -3+9

S1= 6

a1=6

- Se substituirmos "n" por 2, iremos calcular a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2 .

S2 = -3+32+1

S2 = -3+33

S2 = -3+27

S2 = 24

- Substituino o que vale S2, temos:

S2 = 24

a1+a2 =24

6+a2 =24

a2 =24-6

a2 =18

- Agora dividindo o segundo pelo primeiro termo temos a razão:


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Resposta certa, letra "B" .

6) A soma de três números que formam uma PG crescente é 19 e, se subtrairmos 1 do

primeiro, sem alterar os outros dois, eles passam a constituir uma PA. A diferença entre asoma dos dois primeiros números e o terceiro é:

(A) -2

(B) -1

(C) 0

(D) 1

(E) 2

- Informações

PG={a1,a2,a3} a1+a2+a3=19 PA={(a1-1),a2,a3}

- Agora com estas três informações conseguimos estruturar três equações e formar umsisteminha. Com a propriedade fundamental de uma PG tiramos a seguinte equação:

- Com a propriedade fundamental de uma PA tiramos a próxima equação:

- E a terceira equação já é dada, a1+a2 +a3=19. Formando o sistema:

- Um sistema de três equações é um pouco mais demorado de se resolver, mas vamos lá!

Primeiro vamos isolar o valor de a1 na terceira equação e substituir na segunda:

a1=19-a2 -a3 Agora vamos substituir este valor na segunda

equação e ver no que dá.

a2 -(19-a2 -a3-1)=a3-a2

a2 -19+a2 +a3+1=a3-a2

Veja que podemos cortar os termos a3 , pois

temos ambos somando dos dois lados da

equação

a2 -19+a

2 +1=-a

2

Agora podemos calcular o valor

de a2 . Vamos isolá-lo.

a2 +a2 +a2 =+19-1

3a2 =+18 Descobrimos o valor do a2 . Vamos voltar na


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a2 =18/3

a2 =6

primeira equação deste quadro e substituir o

valor dele.

a1=19-6-a3

a1=13-a3

Temos a1 em função de a3, vamos substituir

na primeira equção do sistema.

Agora é só operar e calcular o valor de a3.

36=a3·(13-a3 )

36=13a3-(a3 )2

(a3 )2 -13a3+36=0

Caímos em uma equação do segundo grau

de variável a3 , vamos aplicar Bhaskara.

O problema diz que é uma PG crescente,

portanto, se a2=6 então o a3 tem que ser

maior que 6. Vale só a resposta a3=9. Para

calcular o a1 voltamos à primeira equação

deste quadro.

a1=19-a2 -a3

a1=19-6-9

a1=4

UFA, tá quase no fim. O exercício pede a

diferença entre a soma dos dois primeiros

números e o terceiro, portanto:

(a1+a2 )-a3

(4+6)-9

10-9

1 Resposta certa, letra "D"

7) A seqüência é uma progressão geométrica, de termos positivos, cuja

razão é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Nosso primeiro passo é achar o valor de "x", para depois substituir na progressão e achar arazão.

- Para calcular o "x" vamos usar a propriedade fundamental de uma PG:


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- Agora é só desenvolver e calcular o valor de "x". (5x-3)·(x+3)=x·8x

5x 2 +15x-3x-9=8x 2

5x 2 -8x 2 +12x-9=0

-3x 2 +12x-9=0 Chegamos em uma equação do segundo grau, aplicando Bhaskara:

Com isso as nossa raízes são 1 e 3. Qual delas é a que vale? Sesubstituirmos na PG do exercício o x por 1 teremos uma sequência que não é uma PG. Portanto,o valor de x é 3.

- Sabendo o valor de "x" vamos substituir na PG e ver como ela é: (8x, 5x-3, x+3, x) (8·3, 5·3-3, 3+3, 3) (24, 12, 6, 3) Esta é a PG

- Agora para achar a razão, dividimos o segundo pelo primeiro termo:


8) A soma dos termos da PG (5, 50, ..., 500000) é

(A) 222 222 (B) 333 333

(C) 444 444

(D) 555 555

(E) 666 666

- Para podermos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PG, devemos saber qual ordemdo número 500000 (tercerio, quarto, décimo...). Ou seja, devemos calcular o valor de "n".

- Informações:

a1=5 q=10 an=500000

- Vamos aplicar a fórmula do termo geral:

an=a1·q(n-1) Substituindo seus valores

500000=5·10(n-1)

500000=5·10(n-1)

5·100000=5·10(n-1)

5·105=5·10(n-1)

105=10(n-1) Agora podemos cortar as bases

5=n-1 n=6

- Agora sim, o termo 500000 é o sexto termo, podemos aplicar a fórmula da soma:


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Resposta certa, letra "D" .

9) Ao interpolarmos 5 meios geométricos entre 1458 e 2, encontramos uma PG de razão:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Informações do problema:

1458 __ __ __ __ __ 2

a1=1458 a7=2 q=?

- Esta é a parte mais difícil do problema, ver que o 2 é o sétimo termo. Agora é só aplicar afórmula do termo geral para o a7.

Como é um expoente PAR, ao "passa-lo" para o outro lado como raiz, deve-seincluir o sinal de ±. Resposta certa letra "B" .

10) A razão de uma PG cujo termo geral é é

(A)

(B)

(C)


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(D)

(E)

- Para calcular-mos a razão, devemos saber no mínimo o primeiro e o segundo termo.Substituindo n por 1 e por 2 na fórmula do termo geral dada, temos:

- Agora, já sabendo a1 e a2, podemos calcular a razão:

Resposta certa, letra "A".

11) (PUC) De acordo com a disposição dos números abaixo,

A soma dos elementos da décima linha vale:

(A) 2066

(B) 5130 (C) 10330

(D) 20570

(E) 20660

- Questão muito bem elaborada! Note que cada linha desta "pirâmide" é uma PA de razão 2. Cadalinha tem um elemento a mais do que a linha anterior, sendo que sua ordem é igual ao número determos (a segunda tem 2 termos a quinta tem 5 termos a décima tem 10 termos).

Veja também que a primeira coluna (que determina o primeiro elemento de cada linha) seguecomo uma PG de razão 2 e a1=2. Então, o primeiro termo da décima linha será (a10):

a10 =a1·q9

a10 =2·2 9

a10 =1024


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- A décima linha será uma PA com a1=1024 r=2 e terá 10 termos. Antes de calcularmos a soma

(que o exercício pede) devemos calcular o valor do décimo termo desta PA:

a10 =a1+9·r

a10 =1024+9·2

a10 =1024+18

a10 =1042

- Portanto, a soma dos termos (de acordo com a fórmula):

S10 =(a1+a10 )·10/2

S10 =(1024+1042)·5

S10 =(2066)·5

S10 =10330 Resposta certa, letra "C".

GABARITO

01-D 04-C 07-C 10-A

02-C 05-B 08-D 11-C

03-C 06-D 09-B

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