Matemática I

Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.

Polinômios Monômios Fatoração Operações com Polinômios

Módulo Equações e Raízes

1º e 2º grau, Irracionais e Modulares Sistemas de Equações Lineares Inequações e Inequações Modulares

Conteúdo da Seção

2

Termo Algébrico é o produto de um número (chamado coeficiente) por potências racionais de variáveis.

Definições

3

14xy e x y

Monômio é um termo algébrico em que o coeficiente é real e os expoentes são naturais.

O grau de um monômio é a soma dos expoentes de suas variáveis.

Definições

4

2

4 ,3

xxy

Polinômio é uma soma de monômios.

O grau de um polinômio é o mais alto grau dentre os seus monômios.

Se um polinômio possui apenas uma variável x, ele é, em geral, representado por P(x).

Se um polinômio possui duas variáveis x e y, ele é, em geral, representado por P(x,y).

Definições

5

2 3 24 2 2 7xy x e x x

O valor numérico de um polinômio é o número obtido quando atribuímos valores às variáveis.

Definições

6

3 2 3 2

2 2

( ) 2 7 (10) (10) 2(10) 7 807

( , ) 4 2 (1,2) 4 1 2 2(1) 10

P x x x P

P x y xy x P

Fatorar um polinômio significa transformá-lo num produto de polinômios de graus menores que o do original.

Fatoração

7

4 3 2 2 2 2 2 2 22 6 10 2 6 10 2 6 10x x x x x x x x x x x

As operações de adição e subtração são efetuadas entre os termos semelhantes, somando-se ou subtraindo-se as constantes destes termos.

Adição e Subtração de Polinômios

8

2 2

2 2

( , ) 2 ( , ) 2

( , ) ( , ) 3 2

P x y xy x y e Q x y xy y

P x y Q x y xy y x y

Na operação de multiplicação, usamos a propriedade distributiva e depois agrupamos os termos semelhantes.

Multiplicação de Polinômios

9

2 2

2 2

2 2 3 2 3 2 2 3

2 2 3 2 3 3

( , ) 2 ( , ) 2

( , ) ( , ) 2 2

2 2 2 3

3 2 2 3

P x y xy x y e Q x y xy y

P x y Q x y xy x y xy y

x y x y xy xy x y y

x y x y xy xy y

Somente se efetua a divisão entre dois polinômios quando o grau do dividendo for maior ou igual ao grau do divisor.

Exemplo: Dividir

Divisão de Polinômios

10

3 2 210 3 3 10 por 2 3 5x x x x x

Divisão entre Polinômios

11

Quociente: 5 6

Resto: 4 20

x

x

3 2 10 3 3 10x x x 22 3 5x x

5x 63 210 15 25 x x x 212 22x x 102 12 18 30x x

4 20x

Então, a seguinte igualdade pode ser escrita:

Divisão entre Polinômios

12

3 2

2 2

10 3 3 10 4 205 6

2 3 5 2 3 5

x x x xx

x x x x

Já que:

Divisão entre Polinômios

13

2

2 2

3 2 2

2

3 2

2

5 6 2 3 5 4 204 205 6

2 3 5 2 3 5

10 15 25 12 18 30 4 20

2 3 5

10 3 3 10

2 3 5

x x x xxx

x x x x

x x x x x x

x x

x x x

x x

Dividir

Divisão entre Polinômios Exercício

14

23 2 4 por 3x x x

Quociente: 3 7

Resto: 25

x

23 2 4x x 3x 3x 7

23 9 x x 7x 4

7 21x 25

Uma identidade é uma igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos às variáveis.

Uma equação é uma igualdade que se verifica para alguns valores atribuídos às variáveis.

Identidades e Equações

15

2 22 4 4x x x

2 4

2.

x

só é válida para x

Um número é a raiz de uma equação, se torna a igualdade verdadeira.

Exemplo:

Raiz de uma Equação

16

2

2

2

1 2 são raízes de 2

já que

1 1 1 1 2

2 2 4 2 2

e x x

O grau de uma equação é dado pelo termo de maior grau da mesma.

Grau de uma Equação

17

2

5 6

4 4 0 2º

44 0 6º

x x grau

x x graux

1) Numa equação, podemos transpor um termo (isto é, mudá-lo de lado da equação), desde que o multipliquemos por -1.

2) Uma equação não se altera quando multiplicamos ambos os membros (todos os termos da equação de ambos os lados) por uma constante diferente de zero.

Princípios Gerais para Resolução de Equações

18

Toda equação que pode ser escrita na forma , em que a, b R, a0 e x é uma variável, é denominada uma equação do primeiro grau.

O valor é chamado de raiz da equação

do primeiro grau.

 

Equação do Primeiro Grau

19

0ax b

bx

a

Ache as raízes das seguintes equações:

1)

2)

3)

Equação do Primeiro GrauExercícios

20

38 4

2x

2 17

3 2

x x

5 3 72

3 12 4

x x x

1)

Equação do Primeiro GrauSoluções

21

3Equação 8 4

23

Transpondo 4 823

Simplificando 122

2 2Multiplicando por 12

3 3Resposta 8

x

x

x

x

x

2)

Equações do Primeiro GrauSoluções

22

2 17

3 22 1

6 6 7 63 2

2 2 1 42 3

4 2 42 3

4 3 40

40

x x

x x

x x

x x

x x

x

3)

Equações do Primeiro GrauSoluções

23

5 3 72

3 12 45 3 7

12 12 2 12 123 12 4

4 24 5 9 21

9 9 21 24

0 45 impossível. A equação não tem solução.

x x x

x x x

x x x

x x

Toda equação que pode ser escrita na forma

onde a, b e c . Suas raízes x1 e x2 são dadas pelas expressões:

Equação do Segundo Grau

24

2

12

2

2

4

24

24

2

b b acx

ab b ac

xa

b b acx

a

2 0ax bx c

Fórmula de Bháskara

O número de raízes para cada equação do segundo grau varia de acordo com delta ():

Equação do Segundo Grau

25

2

0, a equação possui 2 raízes reais e distintas

Se 4 0, a equação possui 2 raízes reais iguais

0, a equação não possui raízes reais

b ac

Encontre as raízes das equações abaixo:a)

b)

c)

d)

Equação do Segundo Grau Exercícios

26

2 2 1 0x x

2 4 60 0x x

22 2 3 0x x

2 2 1 0x x

Encontre as raízes das equações abaixo:a)

b)

c)

d)

Equação do Segundo Grau Soluções

27

21 22 1 0 1 1x x x e x

21 24 60 0 10 ; 6x x x x

22 2 3 0 sem raízes reaisx x

21 22 1 0 1 1x x x e x

Seja a equação

onde a, b e c , com a 0.

A fatoração dessa equação é dada por:

onde x1 e x2 são as raízes da equação.

Equação do Segundo Grau Fatoração

28

21 2( )( )ax bx c a x x x x

2 0ax bx c

Fatore a equação:

As raízes dessa equação são x1 = 3 e x2 = –2, assim a forma fatorada é:

29

( 3)( 2) 0x x

2 6 0x x

Equação do Segundo Grau Fatoração - Exercício

Um sistema de equações é um conjunto de equações relacionadas em que o conjunto solução deve satisfazer a todas as equações isoladamente.

Existem dois métodos básicos para se resolver um sistema de equações: Substituição Eliminação

Sistema de Duas Equações Lineares

30

Este método consiste em obter o valor de uma variável em uma das equações e substituir este valor na outra.

Sistema de Duas Equações LinearesMétodo de Substituição

31

8 3 14

5 2 8

55 2 8 4

25 15

8 3 4 14 8 12 142 2

12 4 6

2

x y

x y

x y y x

x x x x

x x y

Este método consiste em planejar a eliminação de uma variável por meio da soma de duas ou mais equações.

Sistema de Duas Equações LinearesMétodo de Eliminação

32

8 3 14 16 6 28 (2)

5 2 8 15 6 24 ( 3)

somando ambas equações

4 6

x y x y

x y x y

x y

Uma equação é dita irracional quando a incógnita aparece embaixo de uma raiz.

Para se resolver esse tipo de equação, devemos elevar ambos os termos a uma potência conveniente.

Sempre que elevamos uma equação a um expoente devemos verificar os resultados, porque raízes estranhas ao resultado original podem aparecer.

Equações Irracionais

33

Resolva a equaçãoSolução:

Equações IrracionaisExemplo

34

5 1 7x x

2 2

2

2

2 1

2

5 1 7

5 1 14 49

19 48 0

19 1316

4 19 361 192 219 132 2

32

16 5 1 7 5 9 1 16 7 9 9

3 5 1 7 5 3 1 3 7 4 4 raiz estranha

x x

x x x

x x

xb b ac

xa

x

se x x x ok

se x x x

Uma inequação é uma desigualdade que se verifica para alguns valores atribuídos às variáveis.

Intuitivamente uma inequação é uma equação em que o sinal de igualdade é substituído por um dos seguintes operadores matemáticos:> - Maior que< - Menor que≥ - Maior ou igual que≤ - Menor ou igual que

Inequações

35

2 4 2.x só é válida para x

2 4 2.x só é válida para x

2 4 2.x só é válida para x

2 4 2.x só é válida para x

Toda inequação que pode ser escrita numa das seguintes formas

em que a, b , a0 e x é uma variável, é denominada uma inequação do primeiro grau.

Inequação do Primeiro Grau

36

0

0

0

0

ax b

ax b

ax b

ax b

1) Passando elemento de um lado para o outro... O termo que troca de lado muda de sinal. O sentido da desigualdade é mantido.

2) Multiplicando por um número positivo ambos os lados... O sentido da desigualdade é mantido.

3) Multiplicando por um número negativo ambos os lados... O sentido da desigualdade é invertido.

4) Invertendo... Se os dois lados da desigualdade são positivos, inverter

os dois lados também inverte o sentido da desigualdade.

Princípios Gerais para Resolução de Inequações

37

Ache as raízes das seguintes equações:

1)

2)

3)

Inequação do Primeiro GrauExercícios

38

38 4

2x

2 17

3 2

x x

5 3 72

3 12 4

x x x

1)

Inequação do Primeiro GrauSoluções

39

3Inequação 8 4

23

Transpondo 4 823

Simplificando 122

2 2Multiplicando por 12

3 3Resposta 8

x

x

x

x

x

2)

Inequações do Primeiro GrauSoluções

40

2 17

3 22 1

6 6 7 63 2

2 2 1 42 3

4 2 42 3

4 3 40

40

x x

x x

x x

x x

x x

x

3)

Inequações do Primeiro GrauSoluções

41

5 3 72

3 12 45 3 7

12 12 2 12 123 12 4

4 24 5 9 21

9 9 21 24

0 45 A inequação é válida para .

x x x

x x x

x x x

x x

x

O Valor Absoluto ou módulo de um número real, denotado por é definido por .

é sempre nulo ou positivo, isto é, não negativo.

a

NúmerosValor Absoluto ou Módulo

42

se 0

se 0

a aa

a a

a

Números Módulo Teoremas

43

se e somente se , onde 0

Ex.: 6 se e somente se 6 6

x a a x a a

x x

se e somente se , onde 0

Ex.: 4 se e somente se 4 4

x a a x a a

x x

NúmerosMódulo Teoremas

44

se e somente se ou , onde 0

Ex.: 2 se e somente se 2 ou 2

x a x a x a a

x x x

se e somente se ou , onde 0

Ex.: 1 se e somente se 1 ou 1

x a x a x a a

x x x

NúmerosMódulo Teoremas

45

Ex.: 3 5 15 15

3 5 3 5 15

a b a b

, 0

22 2 2Ex.:

5 5 5 5

aacom b

b b

e

NúmerosMódulo Teoremas

46

Ex.: 4 1 3 3

4 1 4 1 5

Daí, 3 5

a b a b

ResolvaSolução

Equações Modulares

47

2 10 2x x

2 10 2

) hipótese 2 0 2 2 2

2 10 2 3 12 4

) hipótese 2 0 2 2 2

2 10 2 8 em desacordo com a hipótese,

logo não é uma resposta

x x

a x x x x

x x x x ok

b x x x x

x x x

para a equação

Resolva

Pelo Teorema

Inequações Modulares

48

5 9 4x

135

5 9 4 ou 5 9 4

5 9 4 5 5 1

135 9 4 5 13

5

Solução: 1

x x

x x x

x x x

, ,

A LCL Freios Automotivos Ltda., importante fornecedora de freios automotivos nacionais, tem, como matéria-prima de um de seu produtos, pequenos discos de aço. O departamento de produção informou ao departamento de compras que o diâmetro dos discos necessários à produção é de 30mm, com uma variação de 5mm para cima ou para baixo desse valor. Descreva a desigualdade modular que expressa o pedido feito pelo departamento de produção.

LCL Freios Automotivos Ltda.

49

Uma variação de 5mm é aceitável em torno do valor correto de 30mm.

Logo o módulo da diferença entre o diâmetro (d) do disco recebido e o desejado (30mm) deve ser no máximo 5mm.

LCL Freios Automotivos Ltda. Solução

50

30 0 30 5 30 5

30 0 5 30

d dd

d d

A comissão de vendas mensal de cada vendedor das lojas da LCL Discos é de 4% sobre as vendas do mês. Existe um piso salarial mínimo, garantido por acordo sindical, de R$400,00. Um levantamento feito na contabilidade da empresa mostrou que nunca foi pago, em único mês, mais de R$1.200,00 para um vendedor. Sabendo-se que um vendedor que não tiver um salário mensal acima do piso é sumariamente despedido, descreva matematicamente quanto deve ser o volume de vendas de cada vendedor que trabalha na empresa.

Caso LCL Discos Ltda.

51

O salário do vendedor é de 3% sobre as vendas se este valor for superior a R$400,00.

Logo

Caso LCL Discos Ltda. Solução

52

400 4%.Vendas Mínimas

400 0,04.Vendas Mínimas

400Vendas Mínimas 10000

0,04

O maior salário já pago a um vendedor foi de R$1.200,00.

Logo

Caso LCL Discos Ltda. Solução

53

1200 4%.Vendas Máximas

1200 0,04.Vendas Máximas

1200Vendas Máximas 30000

0,04

Logo, as vendas mensais de um empregado da empresa podem ser matematicamente expressas por:

Caso LCL Discos Ltda. Solução

54

10000 Vendas Mensais 30000

CD-ROM do Livro-texto 1 – Matemática I Capítulo 3 – Polinômios, Equações, Inequações

Exercícios Exercícios Conceituais

Exercícios Propostos

55