8/7/2019 Matemtica Geometria Analtica e Complexos (Fcil)

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Questo Resolvida

Matemtica Geometria Analtica/ComplexosDificuldade Fcil

Dados A(1,2) e B(3,-4), extremidades da diagonal de um

quadrado, calcule as coordenadas dos vrtices B e D,

sabendo que .

Equipe Estude Srio!

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Resoluo 1

Para que P(x,y) seja vrtice do quadrado ele deve satisfazer as

seguintes condies:

1)

2)2

PA PC

ACPA

d

d d

d

Com isso, fica:

2 2 2 2

2 2

( 1) ( 2) ( 3) ( 4)

40( 1) ( 2)

2

x y x y

x y

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Desenvolvendo a primeira equao, temos:

2 2 2 22 1 4 4 6 9 8 16

4 12 20 5 3

x x y y x x y y

x y x y

Substituindo na segunda equao, vem que:

2 2

2 2 2

40[(5 3 ) 1] ( 2)

2

9 24 16 20 0

(10 20

4 4 20 10

2

Logo, 5 ou 1,

) 0

0 o

respectivamente

u

y y

y

x

y y

y y y

y y

y

x

y

Temos dois pontos, portanto: P1 = (5,0) e P2 = (-1,-2)

Como

, os pontos pedidos so: B(5,0) e D(-1,-2)

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Resoluo 2

Uma resoluo mais simples e prtica seria tomar o segmento

AC como um vetor e aplicar rotaes.

Trabalharemos, portanto, com nmeros complexos, da

seguinte forma:

1, 2 1 2

3, 4 3 4

?

?

A i

C i

B

D

Sabemos que, para rotacionar um vetor, basta que

multipliquemos este por sendo o ngulo de rotao.

Com isso, rotacionaremos em 45 e dividiremos por

( ) para achar :

(3 4 ) (1 2 ) 2 6 AC C A i i i

AB B A

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1

45 2

2 2 12 6

2 2 2

1 3 3 4 2

4 2 4 2 1 2

5

5,0

AB AC cis

B A i i

B A i i i

B i A B i i

B

B

Para achar D basta que faamos o mesmo procedimento s que

numa rotao de .

2 2 12 6

2 2 2

1 3 3 2 4

2 4 2 4 1 2

1 2

1, 2

D A i i

D A i i i

D i A B i i

D i

D

Logo, os pontos pedidos so: B(5,0) e D(-1,-2)