Matemática Financeira Prof. Thiago Pacífico · é, portanto, a compensação financeira...

Assistente Técnico Administrativo

Matemática Financeira

Prof. Thiago Pacífico

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Professor Thiago Pacífico


Edital

MATEMÁTICA FINANCEIRA: Porcentagem; Matemática Financeira;

CARGO: Assistente Técnico Administrativo

BANCA: ESAF


Sumário

PORCENTAGEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

REGIME SIMPLES – JUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

DESCONTO SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

REGIME COMPOSTO – JUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

DESCONTO COMPOSTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

RESUMO DE ÚLTIMA HORA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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PORCENTAGEM

p%= p100

Exemplos:

27% = 27/100 = 0,27 0,5% = 0,5/100 = 0,005

Observação

p%o = p1000

Exemplos:

2‰ = 2/1000 = 0,002 29‰ = 29/1000 = 0,029 315‰ = 315/1000 = 0,315

EXEMPLOS DE QUESTÕES DE CONCURSOS

Exemplo 01: Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par?

Solução:

Representando por x o número de fichas que têm etiqueta com número par e lembrando que 52% = 52/100 = 0,52, temos:

x = 52% de 25 ∴ x = 0,52 . 25 ∴ x = 13

Resposta: Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par .

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Exemplo 02: No torneio pré-olímpico de basquete, realizado na Argentina em agosto de 1995, a seleção brasileira disputou 4 partidas na 1ª fase e venceu 3. Qual é a porcentagem de vitórias obtidas pelo Brasil nessa fase?

Solução:

1ª Solução:

Vamos indicar por x% o número que representa essa porcentagem. O problema pode, então, ser expresso por:x% de 4 é igual a 3

Isso resulta na equação:x

100.4= 3 ∴ 4x = 300 ∴ x = 75

2ª Solução:

Do Enunciado temos: 34

= 0,75 = 75100

= 75%

Resposta: O Brasil venceu 75% dos jogos que disputou nessa fase.

Exemplo 03: Numa indústria trabalham 255 mulheres. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa indústria?

Solução:

Vamos representar por x o número total de empregados dessa indústria . Esse problema pode ser expresso por:

42,5% de x é igual a 255

Sabendo que 42,5% = 42,5100

= 0,425, podemos formar a equação:

0,425 . x = 255 ∴ x = 2550,425

∴ x = 600

Resposta: Nessa indústria trabalham, ao todo, 600 pessoas.

Exemplo 04: Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?

Solução:

Se obtive 8% de desconto, o preço que paguei representa 100% − 8% = 92% do preço original. Representando o preço original da mercadoria por x, esse problema pode ser expresso por: 92% de x é igual a 690

Sabendo que 92% = 92100

= 0,92, podemos formar a equação:

0,92 . x = 690 ∴ 0,92x = 690 ∴ x = 6900,92

∴ x = 750

Resposta: O preço original da mercadoria era R$ 750,00.

ATA – Matemática Financeira – Prof. Thiago Pacífico


Exemplo 05: 40% de 20% corresponde a quantos por cento?

Solução:

Representando por x% a taxa de porcentagem procurada, o problema se reduz a: 40% de 20% é igual a x .

Se 40% = 0,40 e 20% = 0,20, temos a equação:

0,40 . 0,20 = x ∴ x = 0,08 ∴ 0,08 = 8100

= 8%

Resposta: Assim, 40% de 20% corresponde a 8%.

Exemplo 06: Uma geladeira, cujo preço à vista é de R$ 680,00 tem um acréscimo de 5% no seu preço se for paga em 3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação?

Solução:

5% de 680 = 0,05 . 680 = 34 (acréscimo)

680 + 34 = 714 (preço em 3 prestações iguais)

714 /3 = 238 (valor de cada prestação)

Resposta: Então, o valor de cada prestação é de R$ 238,00.

Exemplo 07: O salário de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a porcentagem de aumento?

Solução:

1ª Solução:

966 – 840 = 126 (aumento em reais)

x% de 840 = 126

126840

= 18120

= 320

= 15100

(aumento em porcentagem)

2ª Solução:

x% de 840 = 966 (salário anterior mais aumento)966840

= 138120

= 2320

= 115100

=115%

115% – 100% = 15%

Resposta: Logo, a porcentagem de aumento foi de 15%.


Exemplo 08: Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com R$ 87,00. Quanto ele tinha e quanto gastou, em reais?

Solução:

Se ele gastou 40%, a quantia de R$ 87,00 corresponde a 60% do que possuía.

Fazemos então 60% de ? = 87.

60100

.x = 87 ∴ 35.x = 87 ∴ x = 5.87

3∴ x = 145 (quanto ele tinha)

Quanto ele gastou: 145 – 87 = 58 ou 40% de 145 = 58

Resposta: Paulo tinha R$ 145,00 e gastou R$ 58,00.

REGIME SIMPLES – JUROS

INTRODUÇÃO

A matemática financeira está presente em nosso cotidiano de forma direta ou indireta. Quanto mais dominarmos esse assunto, maiores serão os benefícios que teremos, tanto para ganhar dinheiro como para evitar perde-lo. Como por exemplo, na escolha do melhor financiamento de um bem ou onde fazer aplicações financeiras.

O estudo da Matemática Financeira é todo feito em função do crescimento do capital (C) aplicado com o tempo . Definiremos capital como qualquer quantidade de moeda ou dinheiro .

O montante (M), ou seja, o valor final do capital aplicado é dado pela soma do capital inicial e uma segunda parcela, que é uma fração do capital inicial, à qual damos o nome de juro. Juro (J) é, portanto, a compensação financeira conseguida por um aplicador durante um certo tempo ou ainda o aluguel pago por uma pessoa que, durante algum tempo, usa o capital de outra.

O juro é cobrado em função de um coeficiente, chamado taxa de juro (i), que é dado geralmente em percentagem e sempre se refere a um intervalo de tempo (ano, semestre, mês, etc), tomado como unidade, denominado período financeiro ou, abreviadamente período (t ou n) .

Existem duas formas de serem calculados os juros a cada período: calculando sobre o capital inicial ou sobre o montante acumulado . Entenda que no primeiro caso esse crescimento se comporta como um progressão aritmética (P.A.) e no segundo caso o montante aumenta segundo uma progressão geometrica (P.G.).

De outra forma temos:



• Quando os juros são acrescentados, ao capital inicialmente aplicado, somente após o término da aplicação, podemos dizer que estamos calculando juros simples.

• Quando os juros são incorporados ao capital após cada período de tempo, criando assim um novo capital a cada período, dizemos que estamos fazendo uma capitalização ou calculando juros compostos .

Observe que na figura a seguir, a pilha de moedas da esquerda cresce linearmente, ou seja, aumenta a mesma quantidade de moedas por vez (juros simples), enquanto que a da direita cresce muito mais rápido, pois seu aumento é exponencial (juros compostos).

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

(I) Juros Simples x Juros Compostos:

Dados:

C = 1000n = 3 mesesi = 10% a.m.

Regime Simples


Regime Composto

FIQUE DE OLHO!

• O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber: Juros Simples ou Composto.

• Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo:

• Suponha que $ 100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.m. Teremos:

JUROS SIMPLES − ao longo do tempo, somente o principal rende juros.

PRINCIPAL = 100

Nº DE MESES MONTANTE SIMPLES

1 100 + 10%.100 = 110,00

2 110 + 10%.100 = 120,00

3 120 + 10%.100 = 130,00

4 130 + 10%.100 = 140,00

5 140 + 10%.100 = 150,00

JUROS COMPOSTOS − após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".

PRINCIPAL = 100

Nº DE MESES MONTANTE COMPOSTO

1 100,00 + 10%.100,00 = 110,00

2 110,00 + 10%.110,00 = 121,00

3 121,00 + 10%.121,00 = 133,10

4 133,10 + 10%.133,10 = 146,41

5 146,41 + 10%.146,41 = 161,05



GRÁFICOS

• Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito mais "rápido". Isto poderia ser ilustrado graficamente como no gráfico abaixo.

• Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.

JUROS SIMPLES

Na capitalização simples, o juro produzido em vários períodos financeiros é constante em cada período e proporcional ao capital aplicado, sendo este coeficiente de propor¬cionalidade chamado de taxa de juros.

CONSIDEREMOS A SEGUINTE QUESTÃO:

A importância de R$ 600,00 é aplicada numa instituição financeira à taxa de 6% ao mês (a.m.), durante 3 meses. Qual o montante após esse tempo?

No problema apresentado anteriormente, temos:

• capital aplicado .............. R$ 600,00• taxa % ao mês ................ 6% = 6/100 = 0,06• tempo em meses . . . . . . . . . . . 3 meses

Temos que:

• Após o 1º período, os juros serão: 0,06 . R$ 600,00 = R$ 36,00

• Após o 2º período, os juros serão: R$ 36,00 + R$ 36,00 = R$ 72,00

• Após o 3º período, os juros serão: R$ 72,00 + R$ 36,00 = R$ 108,00

Assim, o montante (capital mais rendimentos) será de:


R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00

Vamos generalizar, deduzindo uma fórmula para calcular os juros simples.

{ C = capital aplicadoi = taxa % por período de tempot = número de períodos de tempo

Então, temos

• Após o 1º período, o total de juros será: C.i;

• Após o 2º período, o total de juros será: C.i+C.i;

• Após o 3º período, o total será: C.i+C.i+C.i;

• Após o t-ésimo período, o total de juros será:

C.i + C.i + C.i + .... + C.i. t parcelas

Assim, a fórmula que fornece o total de juros simples é:

O montante final é de:

Vamos resolver novamente nosso problema, utilizando as fórmulas citadas. Calculando os juros simples, temos:

J = 600.0,06.3 = 108

O montante será de:

M = C + J = 600 + 108 = 708



TAXAS PROPORCIONAIS

Se estamos no regime simples, e temos uma taxa ao mês, e queremos transformá-la numa taxa ao ano, pensaremos assim: taxa ao mês para taxa ao ano; mês para ano; mês é menor do que ano; logo, taxa menor para taxa maior. Do menor para o maior, nós multiplicaremos! E um ano tem quantos meses? Doze. Então, multiplicaremos por doze. Teremos:

E se por ventura desejássemos fazer o caminho inverso. Por exemplo, se quiséssemos transformar uma taxa simples anual para uma taxa mensal? Aí pensaríamos assim: taxa ao ano para taxa ao mês; ano para mês; maior para menor; do maior para o menor, nós dividimos; um ano tem quantos meses? Doze. Logo, dividiremos por doze. Teremos:

TAXAS PROPORCIONAIS x TAXAS EQUIVALENTES

Quando estivermos resolvendo uma questão de Juros Simples, trabalhando, portanto, no Regime Simples, e a questão vier falando em “Taxas Equivalentes”, entenderemos esse conceito como sinônimo de Taxas Proporcionais!

Ou seja: no Regime Simples (questões de juros simples, de desconto simples e de equivalência simples de capitais), se o enunciado falar em Taxas Equivalentes, entenderemos como se estivesse falando em Taxas Proporcionais .

SE LIGA!


JUROS COMERCIAIS (ORDINÁRIOS)

Adotam o ano comercial, ou seja, 30 dias para os meses e 360 dias para o ano.

Nas aplicações práticas e por convenção, quando nos referimos apenas ao número de meses, utilizaremos o mês comercial com 30 dias, de forma indiferente.

JUROS SIMPLES EXATOS

Já falamos acima a respeito dos Juros Comerciais ou Ordinários! Dissemos que eles consistem na consideração, que é regra, de que todos os meses do ano têm 30 dias, e o ano inteiro, portanto, 360 dias! Frisamos que se o enunciado nada dispuser a respeito disso, entenderemos que estaremos trabalhando com essa consideração. Os juros comerciais ou ordinários, portanto, consistem na nossa regra! E qual seria a exceção?

Juros Exatos – exceção à regra – é aquele em que se consideram os meses do ano com o número de dias do nosso calendário comum. Apenas isso. Ou seja: janeiro com 31 dias; fevereiro com 28 (ou 29, se for ano bissexto); março com 31; abril com 30; maio com 31; junho com 30; julho com 31; agosto com 31; setembro com 30; outubro com 31; novembro com 30; e dezembro com 31 dias .

Fica implícito que deve ser usado o juro exato quando forem dadas as datas da negociação e do vencimento, portanto a contagem dos dias deve ser exata, inclusive considerando anos bissextos .

FIQUE DE OLHO!

Nas aplicações financeiras, frequentemente os bancos comerciais adotam convenção diferente para contagem do prazo.

O tempo pode ser contado de duas formas:

• ANO CIVIL: 365 dias

• ANO COMERCIAL: 360 dias



DESCONTO SIMPLES

OPERAÇÃO DE DESCONTO: O QUE É?

Aqui nós pretendemos saber o quanto representa hoje um valor que era devido numa data futura. Em outras palavras, queremos agora “retroceder” no tempo com determinado valor monetário, e descobrir o quanto este valerá no dia de hoje, ou numa outra data anterior àquela do seu vencimento .

Ilustrando uma operação de desconto, de uma forma genérica (sem estabelecer valores), teremos o seguinte:

NOMENCLATURA

VALOR NOMINAL ou de FACE (N)

Quantia declarada no título, o valor pelo qual foi emitido.

DESCONTO (D)

Valor obtido pela diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual de um compromisso, quando quitado “n” períodos antes do vencimento.

TEMPO (t ou n)

Prazo compreendido entre a data da operação (desconto) e a data do vencimento. Os dias serão contados excluindo−se o dia da operação e incluindo−se a data do vencimento.


TAXA (i)

Representa a quantidade de unidade que se desconta de cada 100 (cem) unidades, num determinado período, ou seja, o percentual de juros.

VALOR ATUAL ou ATUAL (A)

É a diferença entre o Valor Nominal e o Desconto .

DESENHO MODELO

Pela figura acima, já descobrimos a nossa primeira equação do Desconto.

É a seguinte:

d = N – A

N = d + A e A = N – d

Essas são também equações “visuais”. Só temos que nos lembrar do “desenho-modelo” de uma operação de desconto, e já as deduziremos!

MODALIDADES (TIPOS) DE DESCONTO

Pelo que foi dito até aqui, concluímos que uma questão de Desconto poderá apresentar quatro diferentes “feições”:

→ Desconto Simples por Dentro;

→ Desconto Simples por Fora;

→ Desconto Composto por Dentro; e

→ Desconto Composto por Fora.



DESCONTO SIMPLES POR DENTRO

É também chamado de Desconto Simples Racional. Aliás, este sinônimo é mais freqüente nos enunciados de prova que a própria nomenclatura “desconto por dentro”. Destarte, não podemos jamais esquecer disso:

Desconto por Dentro = Desconto Racional.

→ “O Trato”

Todas as questões de desconto apresentam dois lados: o lado do Atual (A) e o lado do Nominal (N).

Estão todos vendo? Pois bem! Nós vamos fazer um trato! Doravante, nós vamos combinar o seguinte: o lado do Desconto por Dentro será o lado do Atual. E o lado do Desconto por Fora será o lado do Nominal.

A grosso modo podemos dizer que as operações de Juros Simples e de Desconto Simples por Dentro são na verdade uma só! Apenas que, enquanto uma “leva” a outra “traz de volta”!

A partir do desenho-modelo do Desconto Simples por Dentro (Desconto Simples Racional) já somos capazes de criar três equações possíveis, as quais utilizaremos para resolver as questões. Basta imaginarmos um traço divisor entre os elementos (Valor Atual, Valor Nominal e Desconto) e seus números representativos. Da seguinte forma, semelhante ao que fizemos nos Juros Simples:

Coloquemos estas três equações lado a lado:

A100

=Dd

i.n

A100

= N100+ i.n

Dd

i.n= N100+ i.n

Facilmente observamos que em todas três haverá os elementos taxa (i) e tempo (n). Será que estamos lembrados ainda da exigência universal da matemática financeira? Qual é esta exigência?

É que TAXA e TEMPO têm sempre que estar na mesma unidade!


ENUNCIADO “OMISSO” QUANTO À MODALIDADE DO DESCONTO

Essa questão é tão importante que criamos um tópico para analisá-la

A regra é simples: quando a questão de Desconto nada dispuser acerca da modalidade (se por dentro ou por fora), olharemos o que diz o enunciado a respeito da taxa da operação!

Se a questão de desconto falar expressamente sobre uma taxa de juros, então estaremos diante do Desconto Racional, ou seja, do Desconto por Dentro!

Já havíamos visto que operações de Juros e de Desconto Racional são equivalentes! Daí, repetimos, se o enunciado falar em taxa de juros, então o desconto será por dentro!

Caso contrário, se o enunciado nada dispuser acerca da modalidade do Desconto, e também não falar que a taxa da operação é uma taxa de juros, utilizaremos o Desconto por Fora!

Frisemos novamente: Se o enunciado da questão de desconto não se pronunciar a respeito da modalidade da operação, se Desconto por Dentro ou Desconto por Fora, procuraremos ver o que está sendo dito acerca do elemento Taxa!

DESCONTO SIMPLES POR FORA

Também chamado de Desconto Simples Comercial. Esse sinônimo tem que estar bem nítido em nossa lembrança, pois é muito freqüente em questões de prova.

E o raciocínio será o seguinte: “se o lado do Desconto por Fora é o lado do Nominal, então diremos que Nominal está para 100. Ora, se o Nominal está para 100, e o Atual é menor que o Nominal, então diremos que o Atual está para 100 menos alguma coisa; e essa alguma coisa é “taxa vezes tempo”.

E o desconto, da mesma forma que o racional, estará também para “taxa vezes tempo”.

Teremos que o desenho-modelo para toda questão de Desconto Simples por Fora é o seguinte:



Daí, baseados no desenho acima, riscaremos o “traço divisor” entre os elementos (A, N e Df) e seus números representativos, para conhecermos as três equações que poderemos utilizar na resolução das questões de Desconto Simples Comercial (por Fora).

Teremos:

E nossas três equações, oriundas do desenho acima, serão as que se seguem.

Caso estejamos trabalhando com Valor Nominal e com Valor Atual, teremos:

N100

= A100− i.n

Caso trabalhemos com Nominal e com Desconto por Fora, teremos:

N100

=Df

i.n

Finalmente, caso trabalhemos com Atual e com Desconto, usaremos:

Df

i.n= A100− i.n

“DESCONTO SIMPLES POR DENTRO” X “DESCONTO SIMPLES POR FORA”

Df = Dd (1 + i.n)


Essa equação é especial . Ela nos fornece a relação entre o valor do Desconto Simples por Dentro e o valor do Desconto Simples por Fora, mantidos a mesma Taxa e o mesmo Tempo de antecipação .

1. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples .

Solução:

Df = Dd (1 + i.n) ∴ 600 = Dd (1 + 0,05.4) ∴ Dd = 600/1,20

Daí: Dd = 500,00

2. O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.

Solução:

Df = Dd (1 + i.n) ∴ Df = 800 (1 + 0,04.5) ∴ Df = 800 x 1,20

Daí: Df = 960,00

JUROS COMPOSTOS

O QUE É UMA OPERAÇÃO DE JUROS COMPOSTOS?

Dando nomes aos elementos desta operação, teremos que o valor depositado no início é o Capital; este ficará aplicado durante um prazo de tempo “n”; ao fim deste prazo, resgataremos o Montante. Por enquanto, o desenho de nossa questão de juros é o seguinte:

Relembramos, portanto, uma fórmula nossa velha conhecida:

J = M – C



Já vimos que o capital vai ficar aplicado durante um período de tempo n. No desenho, este valor n surge no final da nossa “linha do tempo”.

Se estivermos bem lembrados, a natureza de uma taxa de juros compostos é tal que, a cada período que passa, ela incidirá sempre sobre o resultado da operação no período anterior. Podemos relembrar um exemplo, em que tínhamos um capital de R$ 1000,00 e que seria aplicado durante um prazo de três meses, sob uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Encontramos que:

→ No primeiro mês:

R$ 1.000,00 x (10/100) = 100,00 ∴ R$ 1.100,00 ao final do 1º mês.

→ No segundo mês:


→ No terceiro mês:


Observemos que a cada novo período, a taxa incidirá sobre o resultado do período anterior! É justamente essa a natureza da taxa composta!

Por isso os juros compostos são também chamados de juros cumulativos ou juros sobre juros!

FÓRMULA FUNDAMENTAL DOS JUROS COMPOSTOS

Na hora de resolvermos uma questão de Juros Compostos, vamos nos lembrar de que há uma fórmula fundamental, que deverá sempre ser colocada no papel. Trata-se do seguinte:

M = C.(1 + i)n

Vamos interpretar cada um desses elementos:

→ M é o Montante. É aquele valor que será resgatado ao final da operação de juros! É, por assim dizer, o resultado final da operação.

→ C é o Capital . Justamente aquele valor que é aplicado no início de tudo . É onde começa nossa operação de Juros .

→ (1 + i)n: este parêntese, em função de sua enorme importância, vai ganhar um apelido! Doravante, iremos nos referir a ele como sendo o parêntese famoso da matemática financeira! “Famoso” por quê? Porque vai aparecer em quase todas as fórmulas do nosso regime composto! Certo? Então ficamos assim: quando eu disser “o parêntese famoso”, já saberemos que estamos falando no (1 + i)n .

→ n representa o tempo que vai durar a nossa operação de juros compostos! É o intervalo de tempo que vai da data do Capital (início) até a data do Montante (final da operação).


→ i é a nossa taxa de juros compostos.

Exemplos:

→ se a taxa é de 15%, vai na fórmula como 0,15;→ se a taxa é de 30%, vai como 0,30 na fórmula;→ se é de 8%, aparece na fórmula como 0,08 .

Em suma, taxa unitária é aquela notação para a qual 100% = 1 .

Portanto, NÃO ESQUEÇA: No regime composto (questões de juros compostos, desconto composto, equivalência composta, rendas certas e amortização) trabalharemos sempre com taxas unitárias! Não há exceção para essa regra .

Sabemos desde o início que Juros = Montante – Capital. Daí, se conhecermos os valores de Capital e Montante, então saberemos também o valor dos juros!

FIQUE DE OLHO!

Na fórmula para o cálculo do Montante aparecem quatro variáveis: M, C, i e n . Podemos encontrar qualquer uma delas, desde que se conheçam as outras três.

É extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos anexos . A tabela I, por exempolo, diz respeito à capitalização composta, dando o fator de acumulação (1 + i)n .

Portanto, você não precisa calcular o valor de (1 + 5%)10 , basta olhar o resultado na linha 10 (período), coluna 5% (taxa) e encontrar 1 + 6289.

Portanto, você não precisa calcular o valor de (1 + 8%)6, basta olhar nessa tabela o resultado na linha 6 (período) associada à coluna 8% (taxa), para encontrar 1,5869 (como visto na figura).



EXEMPLOS:

1. Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de juros compostos de 21% ao bimestre, durante um período de tempo de 5 meses. Qual o valor do montante e dos juros obtidos nesta operação?

Solução:

Façamos isso: 5 meses = 2,5 bimestres.

Conclusão: falhou nossa primeira tentativa!

E quando isso ocorrer, só nos restará uma saída: a segunda tentativa . E esta consiste em recorrer à taxa, e alterar a unidade da taxa para a mesma unidade do tempo.

TAXAS EQUIVALENTES

• Duas ou mais taxas são equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, em regime de juros compostos, capitalizados em prazos diferentes, durante um mesmo período de tempo, produzem um mesmo montante no final do período.

• Assim duas ou mais taxas são equivalentes se, e somente se:


De maneira geral temos:

I − taxa do período maior. i − taxa do período menor. n − numero de vezes que o período maior contém o menor.

Podemos escrever que então:

Taxa Equivalente é o conceito que usaremos, como regra geral, sempre que precisarmos alterar a unidade de uma taxa no regime composto! Ou seja, se estivermos em questões de juros compostos, desconto composto, equivalência composta, rendas certas ou amortização, e precisarmos, em qualquer uma delas, alterar a unidade de uma taxa, então trabalharemos com esse conceito de taxas equivalentes .

O conceito de taxa equivalente se traduz por uma fórmula, que é a seguinte:

1 + I = (1 + i)n

Só se aprende a usar esse conceito vendo um exemplo. Vamos fazer aquela alteração do exemplo quatro: vamos passar a taxa composta de 21% ao bimestre para uma taxa mensal .

Então, trabalharemos nessa alteração com uma taxa ao mês, e com uma taxa ao bimestre . Mês é menor que bimestre. Daí, diremos que a taxa ao mês será o nosso “izinho”, enquanto que a taxa ao bimestre será o nosso “izão”.

Traduzindo para esse caso: “quantos meses cabem em um bimestre?” A resposta é dois. Logo, nosso n da fórmula das taxas equivalentes será n = 2 .

Feito essa análise prévia, chegamos aos seguintes valores:

→ I = 21% ao bimestre;→ i = ? (taxa ao mês)→ n = 2

Agora é só aplicar a fórmula das taxas equivalentes. Teremos:



1 + I = (1 + i)n ∴ 1 + 0,21 = (1 + i)2 ∴ (1 + i)2 = 1,21

Podemos recorrer à tabela financeira, para descobrirmos quem será essa taxa “izinho”.

Daí, descobrimos que a taxa que buscamos, a nossa taxa “izinho” é i = 10%. Mas 10% o quê? Ora, “izinho” é uma taxa mensal. Logo: i = 10% ao mês .

Conclusão: 21% ao bimestre é equivalente a 10% ao mês. Achamos a nossa taxa equivalente! Fácil até demais!

Outro exemplo: suponhamos que você precise alterar a unidade da taxa de juros compostos de 3% ao mês para uma taxa composta trimestral .

Ora, se vamos alterar a unidade de taxa no regime composto, usaremos o conceito de taxas equivalentes, o qual se traduz pela seguinte fórmula:

1 + I = (1 + i)n

Aqui, trabalharemos com uma taxa ao mês, e com uma taxa ao trimestre. Ora, mês (i) é menor do que trimestre (I). Além disso, cabem três meses em um trimestre. Logo, nossos dados para aplicar no conceito de taxas equivalentes são os seguintes:

→ i = 3% ao mês;→ I = ?→ n = 3

Daí, teremos:

1 + I = (1 + i)n ∴ 1 + I = (1 + 0,03)3

Aqui, para determinarmos o valor do parêntese, poderemos recorrer à tabela financeira.

Prosseguindo, teremos:

1 + I = (1 + i)n ∴ 1 + I = (1 + 0,03)3 ∴ 1 + I = 1,092727

I = 0,092727 = 9,27%

Mas 9,27% ao quê? “Izão” neste caso é uma taxa ao trimestre! Logo, concluímos que I = 9,27% ao trimestre, que é equivalente a i = 3% ao mês .

Voltando ao Exemplo

Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de juros compostos de 21% ao bimestre, durante um período de tempo de 5 meses. Qual o valor do montante e dos juros obtidos nesta operação?

Solução:M = C.(1 + i)n

Para aplicarmos esta fórmula, faz-se necessário que taxa e tempo estejam na mesma unidade. Daí, vemos que a taxa está ao bimestre e o tempo está em meses. Imediatamente nos lembramos que quando isso ocorrer no regime composto (taxa e tempo em unidades diferentes), teremos de seguir duas tentativas, nesta ordem:


→ 1ª Tentativa: Recorrer ao tempo, e tentar transformá-lo para a mesma unidade da taxa;

Só diremos que essa primeira tentativa deu certo se encontrarmos, após a alteração, um n inteiro (um “valor redondo” de n)!

→ 2ª Tentativa: Alterar a unidade da taxa, transformando-a para a mesma unidade do tempo, por meio do conceito de taxas equivalentes .

Passemos, pois, à primeira tentativa. Na hora de tentar transformar 5 meses para a unidade bimestres, encontramos que: 5 meses = 2,5 bimestres.

Como 2,5 é um “valor quebrado”, concluímos que falhou nossa primeira tentativa .

Teremos que usar a segunda tentativa, e transformar a taxa bimestral para uma taxa mensal. Como estamos no regime composto, usaremos o conceito de taxas equivalentes:

1 + I = (1 + i)n

O conceito acima traz I (“izão”), i (“izinho”) e n .

→ I representará a taxa com maior unidade de tempo;

→ i será a taxa de menor unidade de tempo;

→ n será encontrado pela pergunta: “quantas vezes o unidade de tempo menor cabe na unidade de tempo maior?”. Só isso!

Neste caso, queremos transformar uma taxa ao bimestre em uma taxa ao mês. Bimestre é maior que mês, logo a taxa bimestral será nosso I. Por outro lado, mês é menor que bimestre, de modo que a taxa mensal será nosso i. E finalmente, cabem dois meses em um bimestre, de modo que n será igual a 2 .

Teremos:

→ I = 21% ao bimestre→ i = ? ao mês→ n = 2

Jogando os dados na fórmula das taxas equivalentes, teremos:

1 + I = (1 + i)n ∴ 1 + 0,21 = (1 + i)2 ∴ (1 + i)2 = 1,21

Neste momento, podemos nos valer da tabela financeira, para descobrirmos quem será o valor do i .

E chegamos a uma taxa i = 10% ao mês .

Ora, todo esse trabalho inicial teve um único intuito: colocar taxa e tempo na mesma unidade! Agora, sim: trabalharemos a operação de juros compostos . Nossos dados agora são os seguintes:

→ C = 1000,00→ i = 10% ao mês (juros compostos)→ n = 5 meses→ M = ? e J = ?



Aplicando a fórmula fundamental dos juros compostos, teremos:

M = C.(1 + i)n ∴ M = 1000.(1 + 0,10)5

Aqui surge a necessidade de nova consulta à tabela financeira.

Daí, teremos:

M = 1000.(1 + 0,10)5 ∴ M = 1000 . 1,610510 ∴ E: M = 1.610,51

Sabendo que Juros = Montante – Capital, chegaremos também ao seguinte:

J = 1610,51 – 1000 ∴ J = 610,51

IMPORTANTEPelo que vimos até aqui, vocês já estão aptos a estabelecer o seguinte raciocínio: quando precisarmos alterar a unidade de uma taxa qualquer, teremos que observar em qual dos regimes estamos trabalhando. Se estivermos no regime simples, usaremos sempre (não tem exceção) o conceito de taxas proporcionais. Se estivermos no regime composto, usaremos (como regra geral) o conceito de taxas equivalentes. Assim, ilustrativamente:

Por que dizemos que o uso das taxas equivalentes no regime composto será apenas uma regra geral? Exatamente porque haverá uma exceção!

Ou seja, haverá uma única exceção, um único momento em que estaremos no regime composto e não utilizaremos o conceito de taxas equivalentes para alterar a unidade de uma taxa. Isso acontece quando trabalhamos com a Taxa Nominal!

TAXA NOMINAL

• A unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização, geralmente a Taxa Nominal é fornecida em tempos anuais, e os períodos de capitalização podem ser mensais, trimestrais ou qualquer outro período, inferior ao da taxa .


EXEMPLO 1:

• 12% a.a. capitalizamos mensalmente. • 20% a.a. capitalizamos semestralmente. • 15% a.a. capitalizamos trimestralmente.

EXEMPLO 2:

• 36% a.a. capitalizados mensalmente (Taxa Nominal).

• 36%a.a.12 meses

= 3%a.m. (Taxa Efetiva embutida na Taxa Nominal).

Trata-se da única e grande exceção da matemática financeira!

Anotações



TAXA EFETIVA

• É aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

EXEMPLO 1:

• 15% a.a. capitalizados anualmente. • 5% a.s. capitalizados semestralmente. • 3% a.m. capitalizados mensalmente.

2. Um capital de R$1.000,00 é aplicado durante um prazo de 8 meses, a uma taxa de 60% ao ano, com capitalização mensal. Qual o valor do Montante e dos Juros obtidos nesta operação?

Solução:

Aplicando o conceito de taxas proporcionais, teremos, enfim, que:

60% ao ano = (60/12) = 5% ao mês = Taxa Efetiva

Feito isso, nossos dados da questão agora são os seguintes:

→ C = 1000,00→ i = 5% ao mês (juros compostos)→ n = 8 meses→ M = ? e J = ?

M = C.(1 + i)n ∴ M = 1000.(1 + 0,05)8

Novamente faremos uma consulta à tabela financeira.


Daí, teremos:

M = 1000.(1 + 0,05)8 ∴ M = 1000 . 1,477455 ∴ E: M = 1.477,45

E: J = M – C ∴ J = 1477,45 – 1000 ∴ J = 477,45

3. Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado durante um prazo de 3 meses, a uma taxa de 42% ao quadrimestre, com capitalização bimestral. Qual o valor do Montante e dos Juros obtidos nesta operação?

Solução:

Vejamos: o enunciado forneceu uma taxa nominal. Qual foi? 42% ao quadrimestre com capitalização bimestral.

Imediatamente sabemos que estamos no regime composto, e que essa taxa nominal precisa ser transformada em taxa efetiva, por meio do conceito de taxas proporcionais. Atenção para o fato de que a taxa efetiva será, neste caso, uma taxa bimestral (mesmo tempo da capitalização)!

Teremos:

Aplicando o conceito de taxas proporcionais, teremos, enfim, que:

42% ao quadrimestre = (42/2) = 21% ao bimestre = Taxa Efetiva!

Feito isso, nossos dados da questão agora são os seguintes:

→ C = 1000,00→ i = 21% ao bimestre (juros compostos)→ n = 3 meses→ M = ? e J = ?

Percebemos, então, que taxa e tempo encontram-se em unidades diferentes! Como estamos no regime composto, teremos que usar duas tentativas para compatibilizar as unidades, nesta ordem:

1ª Tentativa: recorrer ao tempo, e tentar transformar 3 meses para alguma coisa em bimestres. 3 meses = 1,5 bimestre.

Funcionou nossa primeira tentativa? Não! Falhou! E falhou por quê? Porque encontramos um n “quebrado” (um valor não-inteiro)!

Daí, passamos à segunda tentativa, na qual alteraremos a unidade da taxa composta (que agora já é uma taxa efetiva!), por meio do conceito de taxas equivalentes .



O conceito de taxas equivalentes, já sabemos, se traduz pela seguinte fórmula: 1 + I = ( 1 + i)n . Aqui estaremos querendo transformar uma taxa bimestral em uma taxa mensal. Daí, teremos que:

→ I = 21% ao bimestre;→ i = ? % ao mês;→ n = 2 (cabem 2 meses em um bimestre!)

Daí: 1 + I = (1 + i)n ∴ 1 + 0,21 = (1 + i)2 ∴ (1 + i)2 = 1,21

Aqui, recorreremos à tabela financeira, para descobrirmos quem será a nossa taxa i .

E chegamos a uma taxa efetiva i = 10% ao mês .

Nossos dados ficaram sendo os seguintes:

→ C = 1000,00→ I = 10% ao mês (juros compostos)→ n = 3 meses→ M = ? e J = ?

Aplicando a fórmula fundamental dos juros compostos, teremos:

M = C.(1 + i)n ∴ M = 1000.(1 + 0,10)3

E mais uma vez recorreremos à tabela financeira!

Daí, teremos:

M = 1000.(1 + 0,10)3 ∴ M = 1000 . 1,331 ∴ E: M = 1.331,00

E finalmente:

J = M – C ∴ J = 1331 – 1000 ∴ J = 331,00

Vamos passar nesse momento a trabalhar algumas questões de provas passadas que envolviam justamente esses conceitos de taxas compostas! Vamos a elas.

4. Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano, com capitalização semestral.

a) 8,20% b) 8,16% c) 8,10% d) 8,05% e) 8,00%

Solução:

8% ao ano = (8/2) = 4% ao semestre = Taxa Efetiva!

Precisaremos, então, alterar a unidade da nossa taxa efetiva (semestral) para uma taxa anual.

Não há dúvida nenhuma: utilizaremos agora o conceito de taxas equivalentes! Teremos:


1 + I = (1 + i)n

Onde:

→ i = 4% ao semestre;→ I = ? % ao ano;→ n = 2 (cabem dois semestres em um ano).

Jogando os dados na fórmula, teremos:

1 + I = (1 + 0,04)2

Recorrendo à Tabela Financeira, encontraremos que:

1 + I = 1,081600 ∴ I = 0,0816 ∴ I = 8,16% ao ano

Trata-se de um modelo típico de questão: o enunciado fornece uma taxa nominal (que será o ponto de partida da resolução). Daí, transformaremos a taxa nominal em taxa efetiva usando o conceito de taxas proporcionais. Feito isso, vem uma segunda transformação, só que agora já da taxa efetiva, de modo que se faz essa nova alteração pelo conceito de taxas equivalentes. Ilustrativamente, teremos:

5. Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal.

a) 12,3600% b) 12,6825% c) 12,4864% d) 12,6162% e) 12,5508%

Solução:

Começaremos transformando a taxa nominal fornecida pelo enunciado em uma taxa efetiva . A taxa nominal é a seguinte: 12% ao ano com capitalização mensal. A taxa efetiva, nesse caso, será uma taxa ao mês (mesmo tempo da capitalização)! Essa primeira transformação, já sabemos, será feita mediante o conceito de taxas proporcionais .

Teremos:

12% ao ano = (12/12) = 4% ao mês = Taxa Efetiva!

Nossa taxa efetiva agora é mensal. Ocorre que a questão está pedindo uma taxa anual. Daí, partimos para uma segunda transformação, só que agora utilizando o conceito de taxas equivalentes .



Teremos:

1 + I = (1 + i)n

Onde:

→ i = 1% ao mês;→ I = ? % ao ano;→ n = 12 (cabem doze meses em um ano).


1 + I = (1 + 0,01)12

Visitando a Tabela Financeira, acharemos que:

1 + I = 1,126825 ∴ I = 0,126825 ∴ I = 12,6825% ao ano

TAXA APARENTE X TAXA REAL

Imaginemos duas pessoas conversando sobre negócios, e uma delas diz para a outra o seguinte: “esse ano meus negócios foram de ‘vento em popa’. Ganhei lucros numa faixa de 230%!” Daí, o interlocutor, meio desconfiado, pergunta: “Mas de quanto foi a inflação neste período?” Bem, a inflação do período foi de 200%.

Ora, então, na verdade, aquele primeiro apenas pensa que teve lucros de 230%. Esse é um ganho aparente. Mas, por quê? Porque não leva em consideração a inflação do período!

O ganho real foi outro!

Em suma, é apenas isso: a taxa aparente é uma que não é real, uma vez que não expressa a perda causada pela inflação!

E a taxa real, por sua vez, é aquela que leva em consideração a perda da inflação.

Para trabalhar esses dois conceitos, só teremos que memorizar a seguinte fórmula:

(1 + IAPARENTE) = (1 + IREAL).(1 + IINFLAÇÃO)

Tudo o que precisamos nos lembrar é de que usaremos a notação unitária, já que estamos falando em taxas compostas!

Vamos resolver o problema da situação colocada acima. Os dados são os seguintes:

→ IAPARENTE = 230% = 2,3→ IINFLAÇÃO = 200% = 2,0→ IREAL = ?


Lançando os dados na fórmula, teremos que:

(1 + IAPARENTE) = (1 + IREAL).(1 + IINFLAÇÃO)

(1 + 2,3) = (1 + IREAL).(1 + 2,0) ∴ (1 + IREAL) = 3,33,0

∴ 1 + IREAL = 1,10

IREAL = 1,10 – 1 ∴ IREAL = 0,10 = 10%

DESCONTO COMPOSTO

O que é uma operação de Desconto? Ora, já sabemos disso. Trata-se daquela operação em que desejamos projetar um valor conhecido de uma data futura para uma data anterior. É projetar retrocedendo .

Sabemos inclusive que toda operação de desconto terá sempre um mesmo “desenho”.

É o seguinte:

→ n será o intervalo de tempo que separa as datas do valor nominal e do valor atual . É o tempo de antecipação no pagamento do título .

→ d será o desconto! É o dono do assunto. Onde aparecerá o desconto no desenho da operação? Teremos:

D = N – A

Isso vale sempre, para qualquer tipo de operação de desconto (simples ou composto, por dentro ou por fora)!

Só nos falta falar de um último elemento para a operação de desconto composto. Trata-se da taxa:

→ i será agora uma taxa composta! É isso que vai ser o diferencial entre uma questão de desconto simples e outra de desconto composto: a natureza da taxa!



APRENDENDO AS FÓRMULAS DO DESCONTO COMPOSTO

N = A.(1 + i)n

É esta a fórmula fundamental do desconto composto por dentro!

Como podemos ver, nela aparecem o valor nominal, o valor atual, a taxa composta e o tempo que separa as datas do valor atual e nominal .

Suponhamos que um enunciado qualquer de desconto composto racional tenha nos fornecido o valor nominal (N), o valor da taxa (i) e o valor do tempo (n), e venha solicitar que encontremos o valor atual (A) desta operação. O que faríamos para aplicar a fórmula acima? Ora, apenas isolaríamos o valor atual, e passaríamos o parêntese famoso para o outro lado, dividindo. Teríamos, portanto:

A = N / (1 + i)n

Passemos à construção da fórmula do Desconto Composto Comercial (ou Por Fora). O raciocínio é muito semelhante ao que desenvolvemos acima .

A = N.(1 – i)n

Esta é a fórmula fundamental do desconto composto por fora!

E se, por acaso, o enunciado fornecer o valor atual (A), o valor da taxa (i) e o valor do tempo (n), e solicitar que encontremos o Valor Nominal da operação .

Teríamos:

N = A / (1 – i)n

Ei-la: esta é a segunda equação do desconto composto por fora, cuja exigência de aplicação é aquela nossa velha conhecida: taxa e tempo na mesma unidade!


JURO X DESCONTO – EXEMPLO

1. Uma empresa deve pagar R$ 20.000,00 hoje, R$ 10.000,00 ao fim de trinta dias e R$ 31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês.

a) R$ 63.232,00 b) R$ 64.000,00 c) R$ 62.032,00 d) R$ 62.200,00 e) R$ 64.513,28

Solução:

RESUMO DE ÚLTIMA HORA

REGIME SIMPLES – JUROS E DESCONTOS (RESUMO DAS FÓRMULAS)

JUROS

J= C.i.n100

Obs: Taxa (i) percentual.



MONTANTE

M= C. 100+ i.n100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO)

A100

=Dd

i.n= N100+ i.n


DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)

A100− i.n

=Df

i.n= N100


RELAÇÃO ENTRE OS DESCONTOS

Df =Dd.100+ i.n100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟



Onde:

• J: Juros • C: Capital • M: Montante • A: Valor Atual; • N: Valor Nominal; • D: Desconto; • i: Taxa; • n: Tempo;

REGIME COMPOSTO – JUROS E DESCONTOS (RESUMO DAS FÓRMULAS)

JUROS

J = M – C

MONTANTE

M = C.(1 + i)n

Obs: Taxa (i) unitária.

DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO)

N = A.(1 + i)n




DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)

A = N.(1 – i)n


TAXAS EQUIVALENTES


TAXA NOMINAL PASSANDO PARA TAXA EFETIVA

Exemplo: Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano, com capitalização semestral.

a) 8,20% b) 8,16% c) 8,10% d) 8,05% e) 8,00%

Solução:


8% ao ano = (8/20 = 4% ao semestre = taxa Efetiva!

Precisaremos, então, alterar a unidade da nossa taxa efetiva (semestral) para uma taxa anual.

Não há dúvida nenhuma: utilizaremos agora o conceito de taxas equivalentes! Teremos:

1 + I = (1 + I)n

Onde:

→ i = 4% ao semestre;→ I = ? % ao ano;→ n = 2 (cabem dois semestres em um ano).


→ 1 + I = (1 + 0,04)2

Recorrendo à Tabela Financeira, encontraremos que:

→ 1 + I = 1,081600 → I = 0,0816 → I = 8,16% ao anoResposta: B

TAXA APARENTE, TAXA REAL e INFLAÇÃO

(1 + IREAL).(1 + IINFLAÇÃO) = (1 + IAPARENTE)


Exemplo: (CESGRANRIO) Uma aplicação financeira é realizada em período com inflação de 2,5%. Se a taxa real foi de 5,6%, a taxa aparente da aplicação no período foi de

a) 3,02% b) 3,10%c) 8,10% d) 8,24%e) 8,32%

Solução:(1 + IREAL).(1 + IINFLAÇÃO) = (1 + IAPARENTE) (1 + 0,056).(1 + 0,025) = (1 + IAPARENTE)

(1,056).(1,025) = (1 + IAPARENTE)1,0824 = 1 + IAPARENTE 1,0824 – 1 = IAPARENTE

IAPARENTE = 0,0824IAPARENTE = 8,24%

Resposta: D


Questões de Concursos

PORCENTAGEM

1. (FCC) Numa loja, o preço de um produto tem um desconto de 15% se for pago à vis-ta ou um acréscimo de 5% se for pago com cartão de crédito . Tendo optado pelo car-tão, uma pessoa pagou R$ 80,00 de acrés-cimo em relação ao que pagaria, com des-conto, à vista. Então a soma dos preços do produto à vista com desconto e no cartão é:

a) R$ 700,00b) R$ 740,00c) R$ 760,00d) R$ 720,00e) R$ 780,00

2. (CESGRANRIO) Um jovem tinha um capital e fez com ele um investimento diversifica-do. Aplicou 40% do capital em um fundo de Renda Fixa e o restante na Bolsa de Valores . A aplicação em Renda Fixa gerou lucro de 20%, enquanto o investimento na Bolsa, no mesmo período, representou prejuízo de 10%. Com relação ao total investido nesse período, o jovem

a) teve lucro de 2%.b) teve lucro de 20%.c) não teve lucro e nem prejuízo.d) teve prejuízo de 2%.e) teve prejuízo de 20%.

3. (ESAF) Suponha que um carro perde por ano 20% de seu valor em relação ao ano an-terior, uma moto perde por ano 30% de seu valor em relação ao ano anterior e uma bici-cleta perde por ano 10% de seu valor em re-lação ao ano anterior. Além disso, suponha que o carro custa o dobro de uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta . Sendo assim, ao final de 5 anos:

a) nenhum dos 3 valerá nada .b) o carro valerá mais que a moto e a moto

valerá mais que a bicicleta .c) apenas a bicicleta valerá algo .d) a bicicleta valerá mais que o carro .e) a bicicleta valerá mais que a moto .

4. (ESAF) Em uma determinada cidade, 25% dos automóveis são da marca A e 50% dos automóveis são da marca B. Ademais, 30% dos automóveis da marca A são pretos e 20% dos automóveis da marca B também são pretos. Dado que só existem automó-veis pretos da marca A e da marca B, qual a percentagem de carros nesta cidade que são pretos?

a) 17,5%b) 23,33%c) 7,5% d) 22,75%e) 50%

5. (CESGRANRIO) Um comerciante comprou R$ 10.000,00 em mercadorias para a sua loja, as quais foram vendidas em um mês. Sabendo-se que ele obteve um lucro de 20% sobre o faturamento da loja, isto é, 20% so-bre o valor arrecadado com a venda dessas mercadorias, tem-se que esse comerciante obteve, em reais, um lucro de

a) 5.000,00b) 2.500,00c) 2.400,00d) 2.200,00e) 2.000,00


6. (FCC) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valori-zação de 20%; em 2009, sofreram uma des-valorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor de 2009. De acordo com essas informações, é verda-de que, nesses três anos, o rendimento per-centual do investimento foi de:

a) 20%b) 18,4%c) 18%d) 15,2%e) 15%

7. (CESGRANRIO) Amanda e Belinha são ami-gas e possuem assinaturas de TV a cabo de empresas diferentes . A empresa de TV a cabo de Amanda dá descontos de 25% na compra dos ingressos de cinema de um sho-pping . A empresa de TV a cabo de Belinha dá desconto de 30% na compra de ingressos do mesmo cinema . O preço do ingresso de cinema, sem desconto, é de R$ 20,00. Em um passeio em família, Amanda compra 4 ingressos, e Belinha compra 5 ingressos de cinema no shopping, ambas utilizando-se dos descontos oferecidos por suas respecti-vas empresas de TV a cabo .

Quantos reais Belinha gasta a mais que Amanda na compra dos ingressos?

a) 10b) 15c) 20d) 25e) 30

8. (CESGRANRIO) O preço de catálogo de um produto foi modificado equivocadamente pelo funcionário de uma loja. Em vez de o funcionário aumentá-lo em 20%, como pre-visto, dele descontou 20%.

O funcionário poderá obter o preço do ca-tálogo acrescido de 20% se ele multiplicar o preço com desconto por

a) 2,2b) 1,5c) 1,4d) 0,5e) 0,4

09. (CESGRANRIO) Um jovem aplicou R$ 500,00 em um fundo de investimento que, ao final de um mês, proporcionará um ganho bruto de 0,9%. No entanto, o banco comunicou ao jovem que 4% do ganho bruto deverá ser descontado por conta dos impostos .

Ao final de um mês, feito o desconto relati-vo aos impostos, o saldo do fundo de inves-timento será de

a) R$ 484,32b) R$ 484,50c) R$ 500,50d) R$ 504,32e) R$ 504,50

10. (CESGRANRIO) Um funcionário público tem uma poupança de R$ 200,00 e pretende uti-lizá-la para pagar a 1ª prestação de um em-préstimo, a ser pago em 24 parcelas iguais de R$ 1.000,00. Sabendo-se que o valor da prestação não pode superar um terço do salário do funcionário, qual o menor valor, em reais, que ficará disponível, após o paga-mento da 1ª prestação, para os demais gas-tos?

a) 2.000,00b) 2.200,00c) 3.000,00d) 800,00e) 1.200,00

11. (ESAF) Uma pequena cidade possui 10.000 habitantes, dos quais 40% são produtores rurais e 60% são do sexo masculino. Sabe-se que 40% das mulheres são produtoras ru-rais. Desse modo, o número de habitantes



do sexo masculino e que não são produto-res rurais é igual a:

a) 1750b) 2200 c) 3600 d) 6000e) 4000

12. (ESAF) Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse período, pode-se afirmar que:

a) O real se valorizou 20% em relação ao dólar.

b) O real se valorizou 25% em relação ao dólar.

c) O dólar se desvalorizou 25% em relação ao real .

d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar.

e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar.

REGIME SIMPLES – JUROS E DESCONTOS

13. (ESAF) O capital que, investido hoje a ju-ros simples de 12% ao ano, se elevará a $ 1.296,00 no fim de 8 meses, é de:

a) $ 1.100,00 b) $ 1.000,00c) $ 1.392,00d) $ 1.200,00e) $ 1.399,68

14. (CESGRANRIO) Se a taxa de uma aplicação é de 120% ao ano, quantos meses serão ne-cessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

a) 3b) 6c) 8d) 10e) 12

15. (CESGRANRIO) Hugo emprestou certa quan-tia a Inácio a juros simples, com taxa mensal de 6%. Inácio quitou sua dívida em um úni-co pagamento feito 4 meses depois . Se os juros pagos por Inácio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo foi

a) menor do que R$ 500,00.b) maior do que R$ 500,00 e menor do

que R$ 1.000,00.c) maior do que R$ 1.000,00 e menor do

que R$ 2.000,00.d) maior do que R$ 2.000,00 e menor do

que R$ 2.500,00.e) maior do que R$ 2.500,00.

16. (FCC) Um capital foi aplicado a juros sim-ples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de:

a) 7 anos, 6 meses e 8 dias.b) 8 anos e 4 meses .c) 8 anos, 10 meses e 3 dias.d) 11 anos e 8 meses .e) 11 anos, 1 mês e 10 dias.

17. (ESAF) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 me-ses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital?

a) 4%b) 10%c) 60% d) 54%e) 48%

18. (ESAF) Qual o valor mais próximo do mon-tante que atinge uma dívida de R$ 2.000,00, quatro meses e meio depois, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês?

a) R$ 2.115,00b) R$ 2.092,00c) R$ 2.090,00d) R$ 2.105,00e) R$ 2.120,00


19. (ESAF) O preço à vista de uma mercadoria é de $ 1.000,00. O comprador pode, en-tretanto, pagar 20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de $ 922,60 vencível em 90 dias . Admitindo-se o regime de juros simples, a taxa de juros anuais co-brada na venda a prazo é de:

a) 98,4%b) 122,6%c) 22,6%d) 49,04%e) 61,3%

20. (ESAF) Nas compras à vista, um comercian-te oferece 10% de desconto sobre o preço de etiqueta e, a prazo, divide o preço de etiqueta em dois pagamentos iguais sem acréscimo: uma entrada e um pagamento em 30 dias. Na verdade, o comerciante está embutindo nessa transação uma taxa men-sal de juros de:

a) 10%b) 15%c) 20%d) 25%e) 30%

21. (CESGRANRIO) Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10% para paga-mento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento um mês após a com-pra. Para que as opções sejam indiferentes, a taxa de juros mensal praticada deve ser, aproximadamente,

a) 0,5%b) 3,8%c) 4,6%d) 5,0%e) 5,6%

22. (CESGRANRIO) Um determinado produto pode ser comprado à vista, por R$ 950,00, ou em duas parcelas, uma de R$ 450,00 no ato da compra e outra de R$ 550,00, um mês após a compra. A taxa mensal de juros

para a qual os dois planos de pagamento são equivalentes, é de

a) 5%b) 10%c) 11%d) 12%e) 15%

23. (CESGRANRIO) Maria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85,00 à vista. Como não tinha essa quantia no momento e não queria perder a oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de R$ 45,00, uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros mensal que a loja estava cobrando nessa operação era de

a) 5,0% b) 5,9%c) 7,5% d) 10,0%e) 12,5%

24. (ESAF) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. Determine quan-tos meses depois da primeira aplicação o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa será igual ao montante re-ferente ao valor aplicado pela segunda pes-soa .

a) 22b) 20c) 24d) 26e) 18

25. (ESAF) João colocou metade de seu capital a juros simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mesmas condições, pelo pe-ríodo de 4 meses. Sabendo-se que, ao fi-nal das aplicações, os montantes eram de $ 117.000,00 e $ 108.000,00, respectiva-mente, o capital inicial do capitalista era de:



a) $ 150.000,00 b) $ 160.000,00 c) $ 170.000,00d) $ 180.000,00e) $ 200.000,00

26. (CESPE) Suponha que um capital C aplicado por 12 meses à taxa de juros simples de i% ao mês se transforme em um montante de R$ 37.000,00. Esse mesmo capital aplica-do à mesma taxa, no mesmo regime de ju-ros, mas por 6 meses se transforma em um montante de R$ 31.000,00. Nessa situação, a taxa anual equivalente à taxa de i% é

a) inferior a 37%.b) superior ou igual a 37% e inferior a 40%.c) superior ou igual a 40% e inferior a 43%.d) superior ou igual a 43% e inferior a 46%.e) superior ou igual a 46%.

27. (ESAF) Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$ 7.200,00. Sabe-se que, se o dobro deste capital fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de R$ 40.000,00. O valor do capital aplicado na primeira situa-ção foi:

a) R$ 24.000,00b) R$ 20.800,00c) R$ 15.200,00d) R$ 12.500,00e) R$ 10.400,00

28. (ESAF) Utilizando o desconto racional, o va-lor que devo pagar por um título com venci-mento daqui a 6 meses, se o seu valor nomi-nal for de R$ 29.500,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano, é de:

a) R$ 24.000,00 b) R$ 25.000,00 c) R$ 27.500,00 d) R$ 18.800,00 e) R$ 6.240,00

29. (ESAF) O valor atual racional de um título é igual a 1/2 de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o paga-mento desse título foi antecipado de 5 me-ses .

a) 200% ao ano b) 20% ao mês c) 25% ao mês d) 28% ao mês e) 220% ao ano

30. (ESAF) Um título sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próxi-mo do valor nominal do título?

a) R$ 22.500,00b) R$ 25.000,00 c) R$ 17.500,00d) R$ 20.000,00e) R$ 27.500,00

31. (CESGRANRIO) Um título com valor de face de R$ 1.000,00, faltando 3 meses para seu vencimento, é descontado em um banco que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa de desconto simples “por fora”, de 5% ao mês. O valor presente do título, em reais, é

a) 860,00b) 850,00c) 840,00d) 830,00e) 820,00

32. (ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00 cinco meses an-tes do seu vencimento a uma taxa de des-conto de 4% ao mês. Qual o valor mais pró-ximo do valor nominal do título?

a) R$ 60.000,00 b) R$ 46.157,00c) R$ 56.157,00d) R$ 50.000,00e) R$ 55.000,00


33. (ESAF) Um título de valor nominal igual a R$ 15.000,00 foi descontado 6 meses antes do seu vencimento . O desconto pela anteci-pação do título foi de acordo com o sistema de desconto comercial simples a uma taxa de 10% ao trimestre. O valor ao qual o título foi descontado é igual a:

a) R$ 6.000,00.b) R$ 13.000,00.c) R$ 10.000,00.d) R$ 9.000,00.e) R$ 12.000,00.

34. (CESGRANRIO) Para uma duplicata de R$ 200.000,00, com vencimento em 01 de novembro de 2010, a empresa SEM FUN-DOS S .A . negociou com determinada insti-tuição financeira o seu resgate . Ficou acer-tado que a instituição pagaria à companhia, em 01 de junho de 2010, o montante de R$ 180.000,00. A taxa mensal de desconto praticada na operação foi de

a) 2 %b) 5 %c) 8 %d) 10 %e) 20 %

35. (CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no valor de R$ 400,00, so-frerá desconto comercial simples hoje. Se a taxa de desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valor descontado), em reais, será igual a

a) 400,00b) 352,00c) 256,00d) 144,00e) 48,00

36. (ESAF) Considere, na data de hoje, o des-conto dos seguintes títulos:

• Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 20.000,00, descontada 4 meses an-tes de seu vencimento, através de uma

operação de desconto comercial sim-ples com uma taxa de 2,5% ao mês.

• Uma outra duplicata, descontada 4 me-ses antes de seu vencimento, através de uma operação de desconto racional simples com uma taxa de 2% ao mês.

Se os valores dos correspondentes descon-tos são iguais, então o valor nominal da se-gunda duplicata é

a) R$ 22.000,00b) R$ 24.000,00c) R$ 25.000,00d) R$ 27.000,00e) R$ 30.000,00

37. (FCC) Uma duplicata, no valor nominal de R$ 1.800,00, foi resgatada antes do venci-mento por R$ 1.170,00. Se a taxa de des-conto comercial simples era de 2,5% ao mês, o tempo de aplicação foi de

a) 2 anos e 6 meses.b) 2 anos e 4 meses .c) 2 anos e 1 mês .d) 1 ano e 6 meses.e) 1 ano e 2 meses .

38. (FCC) Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma opera-ção de desconto racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor no-minal igual ao dobro do valor nominal do primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e com a uti-lização de uma taxa de desconto de 2% ao mês . O valor atual deste segundo título é de

a) R$ 38.934,00b) R$ 39.799,20c) R$ 40.664,40d) R$ 41.529,60e) R$ 42.160,80



39. (ESAF) Uma empresa descontou uma dupli-cata em um banco que adota uma taxa de 84% ao ano, e o desconto comercial simples. O valor do desconto foi de R$ 10.164,00. Se na operação fosse adotado o desconto ra-cional simples, o valor do desconto seria re-duzido em R$ 1.764,00. Nessas condições, o valor nominal da duplicata é de:

a) R$ 45.000,00 b) R$ 46.700,00 c) R$ 47.300,00 d) R$ 48.400,00 e) R$ 50.000,00

REGIME COMPOSTO – JUROS, TAXAS E DESCONTOS

40. (CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unida-de de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada.

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros

a) compostos, sempre.b) compostos, se o período do empréstimo

for menor do que a unidade de tempo .c) simples, sempre.

d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo .

e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo .

41. (ESAF) Marta aplicou R$ 10.000,00 em um banco por 5 meses, a uma taxa de juros sim-ples de 2% ao mês. Após esses 5 meses, o montante foi resgatado e aplicado em outro banco por mais 2 meses, a uma taxa de ju-ros compostos de 1% ao mês. O valor dos juros da segunda etapa da aplicação é igual a

a) R$ 221,10.b) R$ 220,00.c) R$ 252,20.d) R$ 212,20.e) R$ 211,10.

42. (CESGRANRIO) Uma conta de R$ 1.000,00 foi paga com atraso de 2 meses e 10 dias . Considere o mês comercial, isto é, com 30 dias; considere, também, que foi adotado o regime de capitalização composta para co-brar juros relativos aos 2 meses, e que, em seguida, aplicou-se o regime de capitaliza-ção simples para cobrar juros relativos aos 10 dias .

Se a taxa de juros é de 3% ao mês, o juro cobrado foi de

a) R$ 64,08b) R$ 79,17c) R$ 40,30d) R$ 71,51e) R$ 61,96

43. (CESGRANRIO) Após a data de seu ven-cimento, uma dívida é submetida a juros compostos com taxa mensal de 10%, além de ser acrescida de uma multa contratu-al correspondente a 3% da dívida original. José pagou R$ 2.852,00 para quitar uma dí-vida com exatamente 2 meses de atraso . O valor da dívida original, em reais, sem juros e sem multa, corresponde a um número

a) menor do que 2 .000 .


b) maior do que 2 .000 e menor do que 2 .200 .

c) maior do que 2 .200 e menor do que 2 .400 .

d) maior do que 2 .400 e menor do que 2.600.

e) maior do que 2.600.

44. (FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 me-ses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a se-rem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por:

a) [(1,02)18 −1]

b) [18 1,3618 −1]

c) [18 1,2412 −1]

d) [3 1,24 −1]

e) [6 1,243 −1]

45. (ESAF) Um capital é aplicado à taxa de juros simples de 36% ao ano, durante 20 meses. Verifica-se que o correspondente montan-te é igual ao montante produzido por um outro capital no valor de R$ 50.000,00, aplicado durante um ano, à taxa de juros compostos de 8% ao semestre. O valor dos juros referente à primeira aplicação é igual a: (Dado: (1,08)2 = 1,1664)

a) R$ 19.500,00b) R$ 19.650,00c) R$ 20.250,00d) R$ 21.750,00e) R$ 21.870,00

46. (CESGRANRIO) O montante gerado por uma instituição financeira, em uma aplicação no regime de juros compostos, é R$ 5.000,00, em 10 meses, ou R$ 5.202,00, em 1 ano.

Se a taxa de juros é constante, o valor apli-cado é, em reais, de, aproximadamente,

Dados: valores resultantes de (1 + i)n

a) 3.950b) 4 .100c) 1.950d) 3 .100e) 3 .400

47. (CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o va-lor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto . A di-ferença D – d, em reais, vale

a) 399,00b) 398,00c) 397,00 d) 396,00e) 395,00

48. (ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois meses antes do seu venci-mento a uma taxa de 5% ao mês. Dado que o valor do desconto é R$ 10.000,00, qual o valor mais próximo do valor atual do título?

a) R$ 100.000,00b) R$ 107.561,00c) R$ 102.564,00d) R$ 97.561,00e) R$ 110.000,00

49. (ESAF) Um título deveria sofrer um descon-to comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento . Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo desconto, consi-derando a mesma taxa de 3% ao mês.

a) R$ 600,00 b) R$ 620,15 c) R$ 624,47 d) R$ 643,32 e) R$ 672,00



50. (ESAF) Uma duplicata, no valor de $ 2.000,00 é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto . Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, o valor descontado e o valor do desconto são, respectivamente:

a) $ 1.600,00 e $ 400,00 b) $ 1.620,00 e $ 380,00 c) $ 1.640,00 e $ 360,00 d) $ 1.653,00 e $ 360,00 e) $ 1.666,67 e $ 333,33

51. (CESGRANRIO) Um título, cujo valor de face é R$ 29.040,00, sofre desconto racional composto dois meses antes do seu ven-cimento. Se a taxa utilizada na operação é 10% ao mês, o valor do desconto, em reais, é

a) 5.808,00b) 5.040,00c) 4.912,00d) 4.840,00e) 4.784,00

52. (FCC) Descontando-se um título de valor nominal de R$ 10.500,00 dois meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto de 3% ao mês e de acordo com o critério do desconto comercial composto, o valor do desconto na operação é de

a) R$ 600,00b) R$ 610,00c) R$ 615,15d) R$ 620,55e) R$639,45

53. (CESGRANRIO) Uma dívida de valor nominal R$ 5.600,00 vence em 2 meses, enquanto outra, de valor nominal R$ 3.150,00, vence em 4 meses. Deseja-se converter as duas dívidas em uma única equivalente, com vencimento para daqui a 3 meses . Conside-rando-se o desconto como sendo racional composto e a taxa de juros de 5% ao mês, o valor da dívida única, em reais, é:

a) 8.600,00b) 8.750,00c) 8.880,00d) 9.030,00e) 9.200,00

54. (CESGRANRIO) O diagrama abaixo mostra um fluxo financeiro composto de três re-cebimentos sucessivos, iguais a R$ 10,00, seguidos de um último recebimento de R$ 110,00, após quatro períodos.

Se a taxa de juros compostos usada for de 10% por período, o valor presente líquido desse fluxo de recebimentos, em reais, será de

a) 90,00b) 100,00c) 110,00d) 130,00e) 140,00

55. (CESGRANRIO) João tomou um emprésti-mo de R$ 900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$ 600,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo . O valor desse últi-mo pagamento foi, em reais, aproximada-mente,

a) 240,00b) 330,00c) 429,00d) 489,00e) 538,00

56. (CESGRANRIO) Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor . No ato da com-pra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente,


30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais?

a) 110,00b) 108,00c) 106,00d) 104,00e) 102,00

57. (ESAF) Antônio tomou um empréstimo de R$ 5.000,00 a uma taxa de juros mensal de 4% sobre o saldo devedor, ou seja, a cada mês é cobrado um juro de 4% sobre o que resta a pagar. Antônio pagou R$ 700,00 ao final do primeiro mês e R$ 1.680,00 ao final do segundo; se Antônio decidir quitar a dívi-da ao final do terceiro mês, terá de pagar a seguinte quantia:

a) R$ 3.500,00b) R$ 3.721,15c) R$ 3.898,42d) R$ 3.972,16e) R$ 3.120,00

58. (CESGRANRIO) Uma loja oferece um apare-lho celular por R$ 1.344,00 à vista. Esse apa-relho pode ser comprado a prazo, com juros de 10% ao mês, em dois pagamentos men-sais iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês após a compra. O valor de cada um dos pagamentos mensais é, em reais, de

a) 704,00b) 705,60c) 719,00d) 739,20e) 806,40

59. (ESAF) Assinale a opção correta. Se a taxa nominal de juros é de 12% a.a., conside-rando capitalizações mensais, a taxa efetiva será de:

a) 12% a.a.b) 12% a.m.c) 1% a.m.d) 1% a.a.e) 12,5% a.a.

60. (ESAF) Um financiamento externo é con-tratado a uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização semestral. Obtenha a taxa efetiva anual desse financiamento .

a) 12,36%b) 11,66%c) 10,80%d) 12,44%e) 12,55%

61. (ESAF) O capital de R$ 10.000,00 foi aplica-do por 6 meses, à taxa de juros compostos de 6% ao semestre, com juros capitalizados trimestralmente . Calcule o montante dessa aplicação .

a) R$ 10.600,00 b) R$ 10.615,00 c) R$ 10.620,00 d) R$ 10.612,00 e) R$ 10.609,00

62. (CESGRANRIO) O capital de R$ 24.000,00 é aplicado a juros compostos, durante 6 me-ses, à taxa nominal de 20% ao ano, com capitalização trimestral. O rendimento, em reais, proporcionado por esse investimento, é

a) 2.400,00b) 2.420,00c) 2.460,00d) 2.500,00e) 2.520,00

63. (ESAF) No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano à taxa de 10 % ao ano com capitalização semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um tri-mestre à taxa de it% ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, se a taxa de aplica-ção trimestral for igual a:

a) 26,25 %b) 10,25 %c) 13,12 %d) 40 %e) 20 %



64. (CESGRANRIO) A taxa efetiva quadrimestral de 44%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i% ao se-mestre, capitalizada bimestralmente é

a) 12%b) 15%c) 30%d) 60%e) 75%

65. (CESGRANRIO) Realizar uma operação fi-nanceira a uma taxa de 60% a.a., com ca-pitalização mensal, é equivalente a realizar essa mesma operação, à taxa de juros com-posto semestral de

a) 24,00%b) 26,53%c) 27,40%d) 30,00%e) 34,01%

66. (CESGRANRIO) Nas operações de emprés-timo, uma financeira cobra taxa efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso equivale a cobrar ju-ros com taxa anual e capitalização semestral de

a) 10,25%b) 10,51%c) 5%d) 5,51%e) 10%

67. (CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semes-tral, no sistema de juros compostos, equiva-lente a uma taxa nominal de 40% ao quadri-mestre, capitalizada bimestralmente?

a) 75,0% b) 72,8%c) 67,5% d) 64,4%e) 60,0%

68. (CESGRANRIO) A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capi-talizada bimestralmente. O número de divi-sores inteiros positivos de i é: (Dado: (1,5)1/6 = 1,07)

a) 4 b) 5c) 6 d) 7e) 8

69. (ESAF) A taxa efetiva anual de uma aplica-ção que rende juros compostos, a uma taxa nominal de 10% ao ano, com capitalização semestral, é igual a:

a) 10%b) 10,50%c) 10,25%d) 10,75%e) 11%

70. (FCC) A taxa efetiva trimestral referente a uma aplicação foi igual a 12%. A correspon-dente taxa de juros nominal (i) ao ano, com capitalização mensal, poderá ser encontra-da calculando:

a) i = 4 . [(1,12)1/3 – 1]b) i = 12 . [(1,12)1/4 – 1]c) i = 12 . [(1,12)1/3 – 1]d) i = (1,04)12 – 1e) i = 12 . [(0,04) + 3]

71. (CESGRANRIO) Um investimento obteve variação nominal de 15,5% ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi 5%. A taxa de juros real anual para esse investi-mento foi

a) 0,5%b) 5,0%c) 5,5%d) 10,0%e) 10,5%


72. (ESAF) A inflação acumulada no primeiro semestre de determinado ano foi de 20%. Uma pessoa aplicou R$ 12.000,00 no início deste período e resgatou R$ 18.000,00 no final . A taxa real de retorno no período de aplicação foi de

a) 25%b) 27,5%c) 30%d) 45%e) 50%

73. (CESPE) Se a quantia de R$ 5.000,00, inves-tida pelo período de 6 meses, produzir o montante de R$ 5.382,00, sem se descontar a inflação verificada no período, e se a taxa de inflação no período for de 3,5%, então a taxa de juros desse investimento no período será de

a) 4,5%b) 4%c) 3,5%d) 3%e) 2,5%

74. (ESAF) O capital de R$ 12.000,00 foi aplica-do por um ano e gerou R$ 1.860,00 de ju-ros. Se a inflação desse ano foi de 5%, então a taxa real de juros desse ano foi:

a) 11%b) 10%c) 10,5%d) 9,5%e) 9%

75. (CESGRANRIO) Em um período no qual a in-flação acumulada foi de 100%, R$ 10.000,00 ficaram guardados em um cofre, ou seja, não sofreram qualquer correção . Nessas condições, houve uma desvalorização dos R$ 10.000,00 de

a) 1/4b) 1/2c) 2/3d) 3/4e) 1

Gabarito: 1. C 2. A 3. E 4. A 5. B 6. D 7. A 8. B 9. D 10. B 11. C 12. B 13. D 14. D 15. B 16. B 17. E 18. D 19. E 20. D 21. E 22. B 23. E 24. A 25. D 26. E 27. E 28. B 29. B 30. B 31. B 32. A 33. E 34. A 35. C 36. D 37. E 38. A 39. D 40. E 41. A 42. D 43. C 44. A 45. E 46. B 47. B 48. D 49. C 50. B 51. B 52. D 53. C 54. B 55. E 56. E 57. E 58. A 59. C 60. A 61. E 62. C 63. B 64. D 65. E 66. E 67. B 68. A 69. C 70. C 71. D 72. A 73. B 74. B 75. B



ANEXO

Matemática Financeira Prof. Thiago Pacífico · é, portanto, a compensação financeira...

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