Matemática Financeira p/ SEFAZ DF · Matemática Financeira p/ SEFAZ_DF Regra de Três,...

Matemática Financeira p/ SEFAZ_DF

Regra de Três, Porcentagem e Sequências Numéricas

Professor

Thiago Cardoso

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Auditor-Fiscal

AULA 00

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Matemática Financeira p/ SEFAZ_DF Auditor-Fiscal AULA 00 | Regra de Três, Porcentagem e Sequências Numéricas Prof. Thiago Cardoso

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Olá, futuros Auditores Tributários da Secretaria da Fazenda do Distrito Federal,

como estão os estudos? Tenho certeza que vocês estão se dedicando bastante,

não é mesmo?

Antes de explicar como será o curso, apresento-me brevemente.

Eu sou o Prof. Thiago Cardoso, eu sou professor de Exatas no Portal Silvio Sande

e acompanharei vocês na parte de Raciocínio Lógico Quantitativo nessa jornada

rumo à sua aprovação na Receita Federal.

Minha trajetória em concursos públicos começou cedo, quando eu resolvi que

queria passar no concorridíssimo vestibular do ITA. Logo quando eu me formei

do Ensino Médio, eu fui aprovado em Medicina na UPE (Universidade de

Pernambuco), mas eu larguei o curso para correr atrás do meu grande objetivo.

Naturalmente, minha família discordou muito de mim. Afinal, eu estava largando

uma grande oportunidade. Porém, acontece que um barco parado num porto

está seguro. Mas não foi para isso que ele foi feito. Eu queria alçar voos mais

altos e, para isso, saí da minha zona de conforto.

Eu sou formado em Engenharia Eletrônica pelo ITA (Instituto Tecnológico de

Aeronáutica) em 2013. Eu me formei com menção honrosa, distinção conferida

aos alunos de elevado desempenho acadêmico nos Departamentos de

Matemática e Física.

Atualmente, eu trabalho na iniciativa privada como analista de investimentos.

Eu possuo a certificação CNPI e estou à frente da melhor carteira de

investimentos dos últimos 12 meses, com um rendimento de 60,3%, aferido em

Janeiro de 2018. Mas, como um bom analista, devo lhe alertar que retorno

passado não é garantia de retorno futuro.

Minha grande paixão é ensinar. Eu trabalho como professor desde a minha

formatura. Leciono Química e Matemática para turmas pré-ITA/IME e também

tenho lecionado Matemática para concursos públicos.

Existe um grande ditado no mundo de investimentos: “tempo é dinheiro”.

Porém, eu considero esse ditado bastante estúpido. Quando você perde dinheiro,

você pode recuperá-lo no futuro. Porém, o mesmo não acontece com o tempo.

O tempo não volta e não há como recuperá-lo. O tempo é, portanto, mais

precioso até mesmo do que o dinheiro.

É para isso que existe esse material em pdf. O foco desse material é ser

objetivo e certeiro, entregar para você aquilo que você necessita para ir bem

num certamente de alto nível.

O último edital é bem antigo de 2004 e muita coisa mudou na forma de cobrar

Matemática em concursos. Por isso, não podemos usá-lo como único parâmetro.

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Nesse curso, nós nos guiaremos principalmente pelas bancas FCC e FGV, que

são as mais tradicionais em exames de fiscos.

É certo que podemos esperar um certamente bastante rigoroso. Os últimos

concursos na área fiscal têm cobrado questões de um nível crescente de

dificuldade.

Por isso, vamos treinar muito ao longo dessas aulas para que você atinja um

alto nível de preparo para detonar nessa prova.

E você não quer nenhuma surpresa no caminho da sua aprovação, não é? Por

isso, esse material será preparado no mais alto nível, incluí grande parte das

questões mais difíceis da banca e elaborei tantas outras com temas inéditos para

que você não seja pego de surpresa.

Então, vamos juntos?

Nosso curso será ministrado ao longo de 08 aulas, incluindo esta aula

demonstrativa, de acordo com o cronograma abaixo e compreende conteúdos

de Matemática Financeira e Estatística.

Curso: Matemática p/ SEFAZ/DF

Observações:

Professor: Thiago Cardoso

Concurso: SEFAZ/DF

Cargo: Todos

Banca: não definida

Matéria: Matemática Financeira e Estatística

AULA CONTEÚDO DATA

Controle

apenas do

professor

Aula 00

Números e grandezas proporcionais;

razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem;

progressões aritmética e geométrica

31/01

Aula 01 Juros Simples 08/02

Aula 02 Juros Compostos, Taxas de Juros 15/02

Aula 03 Desconto Simples e Composto 22/02




Aula 04 Anuidades e Sistemas de Amortização 08/03

Aula 05 Números inteiros e fracionários. Sistema legal de medidas

15/03

Aula 06 Funções do 1º e 2º graus. Equações

e inequações de 1º e 2º graus. 22/03

Aula 07 8. Probabilidade, Variáveis

Aleatórias, Principais Distribuições de

Probabilidade 28/06




Sumário

1 RAZÃO E PROPORÇÃO ............................................................................................ 6

Razão e Proporção ......................................................................................... 6

Propriedades das Proporções ........................................................................... 7

Regra da Sociedade ....................................................................................... 9

1.3.1 Com Grandezas Inversamente Proporcionais ...................................................... 10

2 REGRA DE TRÊS ................................................................................................... 25

Regra de Três Simples ................................................................................... 25

Regra de Três Composta ................................................................................ 34

3 PORCENTAGEM .................................................................................................... 46

Conceito ...................................................................................................... 46

Número Relativo ........................................................................................... 47

Soma e Subtração de Porcentagem ................................................................. 51

Porcentagem de Porcentagem ........................................................................ 57

4 SEQUÊNCIAS LINEARES ........................................................................................ 61

Progressão Aritmética ................................................................................... 61

4.1.1 Termo Geral .................................................................................................. 61

4.1.2 Soma dos Termos .......................................................................................... 62

4.1.3 Progressões Aritméticas Intercaladas ................................................................ 66

Progressão Geométrica .................................................................................. 70

4.2.1 Termo Geral .................................................................................................. 71

4.2.2 Soma dos Termos .......................................................................................... 71

4.2.3 Soma dos Termos de uma PG Infinita ............................................................... 72

Sequências de Termo Geral Misto ................................................................... 80

5 ANOTAÇÕES ........................................................................................................ 86

Acompanhamento do Aluno ............................................................................ 86

6 LISTA DE QUESTÕES ............................................................................................ 88

Enunciados .................................................................................................. 88

Gabaritos ................................................................................................... 104




1 Razão e Proporção

Razão e Proporção

Uma razão nada mais é do que uma fração. São exemplos de razões:

1

3 ;

3

5

Lê-se “1 está para 3” ou “3 está para 5”.

Por outro lado, uma proporção diz respeito a uma relação de igualdades entre

razões. Por exemplo:

1

3=

2

6

Diz-se que “1 está para 3 assim como 2 está para 6”.

Os casos mais interessantes de proporções, naturalmente, são aqueles que

envolvem uma variável incógnita.

3

5=

𝑥

4

Esse tipo de equação pode ser resolvido com uma propriedade conhecida como

meio pelos extremos. Numa proporção qualquer, é possível passar os termos

pela igualdade, respeitando as seguintes regras:

Se o termo estiver no numerador, ele passará ao denominador;

Se o termo estiver no denominador, ele passará ao numerador.

Portanto, a nossa proporção pode ser resolvida passando o 4 pela igualdade.

Como ele está no denominador, ele passará ao numerador.

3

5=

𝑥

4 ∴ 𝑥 =

3.4

5=

12

5= 2,4




Propriedades das Proporções

É possível fazer muitas manipulações com os números de uma proporção. Por

exemplo:

Somas Externas: é possível somar os numeradores e os denominadores da

proporção. Essa soma ainda preserva a proporção original.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑=

𝑎 + 𝑐

𝑏 + 𝑑

Somas Internas: é possível somar o numerador no denominador. Nesse caso,

a proporção original não se preserva.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑⇒

𝑎 + 𝑏

𝑏=

𝑐 + 𝑑

𝑑

É possível, ainda, trocar, o numerador pelo denominado ao efetuar essa soma

interna, desde que o mesmo procedimento seja feito do outro lado da proporção.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑⇒

𝑎 + 𝑏

𝑎=

𝑐 + 𝑑

𝑐

Soma com Produto por Escalar: é possível multiplicar o numerador ou o

denominador por um número real qualquer e efetuar as somas internas. É

importante destacar que as mesmas operações devem ser feitas em ambos os

lados da proporção.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑⇒

𝑎 + 2𝑏

𝑏=

𝑐 + 2𝑑

𝑑

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑⇒

𝑎 − 𝑏

𝑏=

𝑐 − 𝑑

𝑑

Com essa lista de propriedades, acredito que você terá condições de resolver

rapidamente qualquer questão que envolva Razão e Proporção.

(FGV – IBGE – 2017 – Agente Censitário Administrativo) Na

equipe de Mário há 6 mulheres a mais do que homens. Sabendo que essa




equipe tem ao todo 60 membros, a razão do número de mulheres para o

número de homens é: a) 6/5

b) 5/4 c) 3/5

d) 20/11 e) 11/9

Comentários: Seja M o número de mulheres e H o número de homens, tem-

se que:

O número de mulheres M excede o número de homens em 6 unidades;

𝑀 = 𝐻 + 6

O total de membros na equipe – homens e mulheres – é igual a 60.

𝑀 + 𝐻 = 60

Agora, podemos substituir:

(𝐻 + 6) + 𝐻 = 60

2𝐻 = 60 − 6 = 54

∴ 𝐻 =54

2= 27

Agora, temos o número de mulheres.

∴ 𝑀 = 𝐻 + 6 = 27 + 6 = 33

Agora, calculemos a razão entre o número de mulheres e o de homens.

𝑀

𝐻=

33

27 𝑝𝑜𝑟 3 =

11

9

Questão 1: E

(CESPE – INPI – 2013 – Técnico em Propriedade Industrial) Em

um processo de pedido de patentes de um novo equipamento consta um desenho esquemático, desse mesmo equipamento, na escala 1:200. Com base

nessa informação, julgue os itens a seguir.

Se o raio do parafuso no referido desenho for 0,05 cm, então o raio do parafuso real será 1 cm.

Comentários: Sejam D e R as medidas do parafuso, respectivamente, no

desenho e na realidade, temos que:




𝐷

𝑅=

1

200

Substituindo os dados fornecidos:

0,05

𝑅=

1

200∴ 𝑅 =

0,05.200

1= 1 𝑐𝑚

Questão 2: Certo

Regra da Sociedade

Um dos tópicos mais comuns em questões de prova é “dividir uma determinada

quantia em partes proporcionais a 2, 3 e 6”.

Para isso, vamos examinar uma questão bem didática da FGV.

(FGV – IBGE – 2017 – Recenseador) A quantia de 900 mil reais deve ser dividida em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6. A menor dessas

partes corresponde a: a) 210 mil reais

b) 240 mil reais c) 270 mil reais

d) 300 mil reais e) 360 mil reais

Comentários: Vamos chamar de A, B e C as quantias a serem distribuídas.

Em primeiro lugar, devemos entender o sentido de números proporcionais.

Dizer que A é proporcional a 4, B é proporcional a 5 e C é proporcional a 6

significa que as razões A/4, B/5 e C/6 são iguais.

𝐴

4=

𝐵

5=

𝐶

6

Além disso, é importante lembrar que sabemos a soma A + B + C, pois isso

equivale à quantia total a ser distribuída, ou seja, os 900 mil.

Por isso, podemos usar as propriedades de Razão e Proporção, podemos somar

os numeradores e os denominadores.




𝐴

4=

𝐵

5=

𝐶

6=

𝐴 + 𝐵 + 𝐶

4 + 5 + 6=

900000

15= 60000

A menor dessas partes é aquela que é proporcional a 4.

𝐴

4= 60000 ∴ 𝐴 = 4.60000 = 240000

Questão 3: B

1.3.1 Com Grandezas Inversamente Proporcionais

É um tipo menos comum de questão, mas não menos importante. Consiste em

distribuir uma quantia S a três pessoas, de modo que cada uma receba um

quinhão inversamente proporcional a três números, por exemplo, 2, 3 e 6.

Na proporcionalidade direta, temos que a razão entre o quinhão e o número

proporcional a que se refere é constante. Por outro lado, na proporcionalidade

inversa, temos que o produto é constante.

Por exemplo, suponha que queiramos dividir 740 mil, porém, em partes

inversamente proporcionais a 4, 5 e 6. Para isso, chamando A, B e C das quantias

a serem distribuídas, temos:

4𝐴 = 5𝐵 = 6𝐶

Por outro lado, permanece verdade que:

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 740000

Gostaríamos de usar as conhecidas propriedades de razão e proporção, porém,

temos um produto:

4𝐴 = 5𝐵 = 6𝐶

E nós não conhecemos nenhuma propriedade para os produtos. Porém, uma

maneira simples de resolver esse problema é dividindo pelo MMC entre 4, 5 e 6.

4, 5, 6 2

2, 5, 3 2

1, 5, 3 3

1, 5, 1 5




1, 1, 1 =2².3.5=60

Agora, podemos dividir a proporção encontrada por 60.

4𝐴 = 5𝐵 = 6𝐶 (: 60)

4𝐴

60=

5𝐵

60=

6𝐶

60

Agora, podemos simplificar.

𝐴

15=

𝐵

12=

𝐶

10

Chegamos a uma proporção típica. Agora, podemos somar os numeradores e

denominadores.

𝐴

15=

𝐵

12=

𝐶

10=

𝐴 + 𝐵 + 𝐶

15 + 12 + 10=

740000

37= 20000

Agora, podemos calcular todos os quinhões:

𝐴

15= 20000 ∴ 𝐴 = 15.20000 = 300000

𝐵

12= 20000 ∴ 𝐵 = 12.20000 = 240000

𝐶

10= 20000 ∴ 𝐶 = 10.20000 = 200000

Resumindo: quando se deseja dividir uma quantia em números inversamente

proporcionais, precisamos:

Escrever que os produtos entre os quinhões a que faz jus cada participação

e os números fornecidos é igual;

Dividir os produtos escritos acima pelo MMC.

(FGV – IBGE – 2017 – Recenseador) A quantia de 900 mil reais deve

ser dividida em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6. A menor dessas partes corresponde a:

a) 210 mil reais b) 240 mil reais




c) 270 mil reais

d) 300 mil reais e) 360 mil reais

Comentários: Devemos nos lembrar que, quando tem-se números

diretamente proporcionais, a razão é constante.

𝐴

4=

𝐵

5=

𝐶

6

Pelas propriedades de Razão e Proporção, podemos somar os numeradores e

os denominadores.

𝐴

4=

𝐵

5=

𝐶

6=

𝐴 + 𝐵 + 𝐶

4 + 5 + 6=

900000

15= 60000

A menor dessas partes é aquela que é proporcional a 4.

𝐴

4= 60000 ∴ 𝐴 = 4.60000 = 240000

Questão 4: B

(CESPE – MEC – 2009 – Agente Administrativo) Levando em consideração

que, em um supermercado, há biscoitos recheados de chocolate em embalagens de 130 g, 140 g e 150 g, com preços de R$ 1,58, R$ 1,68 e R$

1,80, respectivamente, julgue os itens a seguir.

Proporcionalmente, os biscoitos nas embalagens de 130 g são mais

baratos que aqueles nas embalagens de 140 g.

Proporcionalmente, os biscoitos nas embalagens de 140 g e 150 g saem

pelo mesmo preço.

Comentários: Nesse caso, o aluno deve comparar as proporções entre o

preço do pacote e a massa.

𝑃130 =1,58

130= 0,01215

𝑃140 =1,68

140= 0,012

𝑃140 =1,80

150= 0,012

A propósito, deixe-me ajudar você com a simplificação do preço por grama da

embalagem de 140g.




1,68

140=

168

14000 𝑝𝑜𝑟 2

84

7000 𝑝𝑜𝑟 7

12

1000= 0,012

Dessa maneira, podemos concluir que o pacote de 130g é ligeiramente mais

caro proporcionalmente que os pacotes de 140g e 150g. Já os pacotes de 140g

e 150g guardam a mesma propoção.

Questão 5: Errado

Questão 6: Certo

(FGV – Prefeitura de Osasco/SP – 2014 – Agente de Defesa Civil)

Em uma equipe operacional com 24 membros, a razão entre o número de mulheres e o número de homens é 3 /5. Nessa equipe, o número de homens

a mais do que o de mulheres é de: a) 3

b) 4

c) 5 d) 6

e) 8

Comentários: Sejam H e M, respectivamente, o número de homens e

mulheres na equipe, já sabemos que:

𝑀

𝐻=

3

5∴

𝑀

3=

𝐻

5

Usamos a propriedade de Razão e Proporção para escrever a proporção de

uma maneira mais conveniente.

Agora, podemos nos lembrar que o total da equipe é de membros, ou seja:

𝑀 + 𝐻 = 24

Agora, podemos somar os numeradores e denominadores da proporção.

𝑀

3=

𝐻

5=

𝑀 + 𝐻

3 + 5=

24

8= 3

Temos duas maneiras de terminar o problema. Podemos calcular

separadamente o número de homens e de mulheres.

𝑀

3= 3 ∴ 𝑀 = 3.3 = 9

𝐻

5= 3 ∴ 𝐻 = 3.5 = 15




Portanto, o número de homens supera o número de mulheres em 6 unidades.

Outra maneira de resolver o problema é subtraindo os numeradores e

denominadores da proporção.

𝑀

3=

𝐻

5= 3

𝑀

3=

𝐻

5=

𝐻 − 𝑀

5 − 3= 3

𝐻 − 𝑀

5 − 3= 3 ∴

𝐻 − 𝑀

2= 3 ∴ 𝐻 − 𝑀 = 3.2 = 6

Questão 7: D

(VUNESP – TCE/SP – 2017 – Agente da Fiscalização -

Administração) Gabriel está no ponto A, e Felipe, no ponto B. Eles iniciam simultaneamente uma caminhada, e pelo mesmo percurso; Gabriel no sentido

de A até B, e Felipe no sentido de B até A. Numa primeira etapa, Gabriel

percorreu 1/5 da distância entre A e B, e Felipe percorreu 1/6 dessa mesma distância. Na segunda etapa, Gabriel percorreu o equivalente à quarta parte

do que faltava a Felipe percorrer ao final da primeira etapa, e Felipe percorreu o equivalente à terça parte do que faltava a Gabriel percorrer ao final da

primeira etapa. Sabe-se que, após a segunda etapa, a distância que os separa é de 6,65 km. Nessas condições, é correto afirmar que a distância total que

separa os pontos A e B é, em quilômetros, igual a: a) 40

b) 44 c) 43

d) 41 e) 42

Comentários: Seja x o comprimento total do percurso. Rodrigo andou a terça

parte (x/3), depois andou a quinta parte do que restava (1/5.2/3x) e, depois

de andar esses dois trechos, ainda faltava 1080 metros para chegar ao destino

(x). Sendo assim:

Portanto, Gabriel e Felipe andaram:




𝐺:𝑥

5+

1

4

5𝑥

6=

𝑥

5+

5𝑥

24=

24𝑥 + 25𝑥

120=

49𝑥

120

𝐹:𝑥

6+

1

3

4𝑥

5=

5𝑥 + 2.4𝑥

30=

13𝑥

30

Após essas etapas, ainda faltavam 6,65 km para completar a distância total x:

49𝑥

120+

13𝑥

30+ 6,65 = 𝑥

49𝑥

120+

52𝑥

120+ 6,65 = 𝑥

101𝑥

120+ 6,65 = 𝑥 ∴

27𝑥

40+ 6,65 = 𝑥

6,65 = 𝑥 −101𝑥

120=

19𝑥

120∴ 𝑥 =

6,65.120

19= 42

Questão 8: E

(FCC – TST – 2017 – Técnico Judiciário – Segurança Judiciária)

Em uma empresa, trabalham oito funcionários, na mesma função, mas com cargas horárias diferentes: um deles trabalha 32 horas semanais, um trabalha

24 horas semanais, um trabalha 20 horas semanais, três trabalham 16 horas semanais e, por fim, dois deles trabalham 12 horas semanais. No final do ano,

a empresa distribuirá um bônus total de R$ 74.000,00 entre esses oito funcionários, de forma que a parte de cada um seja diretamente proporcional

à sua carga horária semanal.

Dessa forma, nessa equipe de funcionários, a diferença entre o maior e o

menor bônus individual será, em R$, de: a) 10.000,00.

b) 8.000,00. c) 20.000,00.

d) 12.000,00. e) 6.000,00.

Comentários: Temos três casos de funcionários A, B, C, D e E que trabalham,

respectivamente, 32, 24, 20, 16 e 12 horas. Como os bônus serão distribuídos

de forma proporcional às horas trabalhadas, tem-se:

𝐴

32=

𝐵

24=

𝐶

20=

𝐷

16=

𝐸

12




Nós sabemos que o total dos bônuses a serem distribuídos é:

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 3𝐷 + 2𝐸 = 74000

(I)

Agora, vamos usar as propriedades da razão e proporção:

𝐴

32=

𝐵

24=

𝐶

20=

𝐷

16=

𝐸

12

Vamos chamar de p a proporção que já desenhamos e podemos trabalhá-la

melhor a fim de deixar mais parecida com a expressão (I):

𝑝 =𝐴

32=

𝐵

24=

𝐶

20=

3𝐷

3.16=

2𝐸

2.12

Agora, basta somar os numeradores e os denominadores das expressões. É

importante lembrar que essa operação mantém o valor da proporção p.

𝑝 =𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 3𝐷 + 2𝐸

32 + 24 + 20 + 3.16 + 2.12=

74000

148

Perceba que podemos simplificar.

𝑝 =74000

148𝑝𝑜𝑟2 =

37000

74𝑝𝑜𝑟37 =

1000

2

Vamos calcular o maior bônus:

𝐴

32=

74000

148=

1000

2∴ 𝐴 =

32.1000

2= 16000

𝐸

12=

1000

2∴ 𝐸 =

12.1000

2= 6000

Portanto, a diferença entre o maior o menor bônus é de 10000.

Questão 9: A

(VUNESP – UNIFESP – 2016 – Técnico de Segurança do Trabalho) Em uma casa, a razão entre o número de copos coloridos e o número de copos

transparentes é 3/5. Após a compra de mais 2 copos coloridos, a razão entre

o número de copos coloridos e o número de copos transparentes passou a ser 2/3. O número de copos coloridos nessa casa, após a compra, é:

a) 24 b) 23

c) 22




d) 21

e) 20

Comentários: Uma questão muito boa e muito útil para você aprender mais

algumas dicas de Razão e Proporção. Sejam C o número de copos coloridos e

T o número de copos transparentes, tínhamos inicialmente que:

𝐶

𝑇=

3

5 (I)

Após a compra de mais dois copos coloridos, o número de copos coloridos

passou a ser C + 2 e a razão aumentou para 2/3:

𝐶 + 2

𝑇=

2

3 (II)

Temos, portanto, duas equações e duas incógnitas. Sendo assim, é possível

resolver o problema. O modo mais fácil é dividir a equação (I) pela (II). Assim,

chegamos a:

(𝐼)

(𝐼𝐼)=

𝐶/𝑇

(𝐶 + 2)/𝑇=

3/5

2/3

Para resolver a razão de frações, devemos multiplicar a primeira pelo inverso

da segunda.

𝐶

𝑇.

𝑇

𝐶 + 2 =

3

5.3

2

𝐶

𝐶 + 2 =

9

10

Agora, podemos utilizar as propriedades que aprendemos sobre Razão e

proporção. Podemos, por exemplo, subtrair o numerador do denominador.

𝐶

𝐶 + 2 − 𝐶 =

9

10 − 9

𝐶

2 =

9

1 ∴ 𝐶 = 9.2 = 18




Portanto, antes da compra, havia 18 copos coloridos. A questão, no entanto,

pediu o número de copos coloridos após a compra. Para isso, bastar somar

2, portanto, foram 20 copos coloridos após a compra.

Questão 10: E

(FCC – SEGEP/MA – 2016 – Técnico da Receita Estadual –

Arrecadação e Fiscalização de Mercadorias em Trânsito) Caberá a cada um dos doze funcionários de uma repartição, acompanhar um determinado

número de um total de 360 projetos. Esse número de projetos deverá ser

diretamente proporcional ao número de anos de serviço de cada funcionário. Sabe-se que três dos doze funcionários têm 4 anos de serviço, cinco deles têm

6 anos de serviço, três deles têm 7 anos de serviço e um deles tem 9 anos de serviço. Dessa maneira, o total de projetos que serão acompanhados pelo

grupo dos mais jovens, em serviço, superará o número de projetos que o mais velho, em serviço, acompanhará, em um número igual a:

a) 20 b) 12

c) 45 d) 30

e) 15

Comentários: Tem-se três grupos de funcionários A, B, C e D. Sabemos que

o número de projetos recebido pelos funcionários de cada grupo é diretamente

proporcional aos anos de serviço, por isso, temos que a razão é constante.

𝑝 =𝐴

4=

𝐵

6=

𝐶

7=

𝐷

9

Agora, organizaemos quantos funcionários pertencem a cada grupo:

Três pertencem ao grupo A;

Cinco pertencem ao grupo B;

Três pertencem ao grupo C;

Um pertence ao grupo D.

Como sabemos que o total de projetos a ser distribuído é de 360, podemos

escrever que:

3𝐴 + 5𝐵 + 3𝐶 + 1𝐷 = 360

Agora, podemos re-escrever a proporção p de maneira mais conveniente para

lembrar essa equação.

𝑝 =𝐴

4=

𝐵

6=

𝐶

7=

𝐷

9




𝑝 =3. 𝐴

3.4=

5. 𝐵

5.6=

3. 𝐶

3.7=

𝐷

9

Agora basta somar os numeradores e os numeradores:

𝑝 =3. 𝐴

3.4=

5. 𝐵

5.6=

3. 𝐶

3.7=

𝐷

9=

3𝐴 + 5𝐵 + 3𝐶 + 𝐷

12 + 30 + 21 + 9=

360

72= 5

Os mais jovens em serviço (grupo A) receberão cada um:

𝐴

4= 5 ∴ 𝐴 = 4.5 = 20

Como são 3, temos que eles receberão o total de 60 projetos. Já o mais velho

em serviço (grupo D) receberá:

𝐷

9= 5 ∴ 𝐷 = 45

Portanto, o grupo dos mais jovens receberá 15 projetos a mais do que o

funcionário mais velho.

Outra forma mais rápida de resolver o problema é usar diretamente a

proporção. Como são três jovens no grupo A, o total de projetos a ser

recebidos por eles será 3A, enquanto que o mais velho está sozinho no grupo

D, por isso, precisamos da diferença 3A – D.

3. 𝐴

3.4=

𝐷

9= 5

3𝐴 − 𝐷

3.4 − 9= 5 ∴

3𝐴 − 𝐷

12 − 9= 5

∴3𝐴 − 𝐷

3= 5 ∴ 3𝐴 − 𝐷 = 3.5 = 15

Questão 11: E

(FCC – TRF (3ª Região) – 2016 – Analista Judiciário – Área

Administrativa) Uma herança de R$ 82.000,00 será repartida de modo inversamente proporcional às idades, em anos completos, dos três herdeiros.

As idades dos herdeiros são: 2, 3 e x anos. Sabe-se que os números que correspondem às idades dos herdeiros são números primos entre si (o maior

divisor comum dos três números é o número 1) e que foi R$ 42.000,00 a parte da herança que o herdeiro com 2 anos recebeu. A partir dessas informações o

valor de x é igual a: a) 7

b) 5 c) 11




d) 1

e) 13

Comentários: Sendo A, B e C os três herdeiros de 2, 3 e x anos,

respectivamente, como a herança foi dividida em partes diretamente

proporcionais, temos que o produto é constante:

2𝐴 = 3𝐵 = 𝑥𝐶

Podemos calcular o valor recebido pelo herdeiro de 3 anos usando essa

expressão:

2𝐴 = 3𝐵 ∴ 2.42000 = 3𝐵

∴ 𝐵 =2.42000

3= 2.14000 = 28000

Agora, podemos calcular a parte que coube ao herdeiro C, lembrando-nos que

o total da herança foi de R$42.000,00.

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 82000

42000 + 28000 + 𝐶 = 82000

70000 + 𝐶 = 82000

𝐶 = 82000 − 70000 = 12000

Agora, podemos calcular a sua idade (x anos) usando a regra que foi fornecida

– números inversamente proporcionais.

2𝐴 = 𝑥𝐶

2.42000 = 𝑥. 12000 ∴ 𝑥 =2.42000

12000=

2.42

12=

42

6= 7

Questão 12: A

(FCC – DPE/RS – 2017 – Analista Processual) O diretor de uma

empresa designou uma quantia que será distribuída para os três melhores funcionários do ano. O prêmio de cada um será inversamente proporcional ao

total de pontos negativos que cada um obteve em suas respectivas avaliações. O funcionário que mais recebeu tinha uma avaliação com apenas 12 pontos

negativos, o segundo colocado obteve 15 pontos negativos e o terceiro colocado com 21 pontos negativos. Sabendo que a quantia total a ser

distribuída é R$ 24.900,00, o maior prêmio superará o menor prêmio em exatos:

a) R$2.420,00 b) R$ 3.990,00

c) R$ 7.530,00

d) R$ 6.180,00




e) R$ 4.500,00

Comentários: Querem saber a premiação de três funcionários (A, B e C).

Devemos nos lembrar que, quando se tem números inversamente

proporcionais, o produto é constante.

12𝐴 = 15𝐵 = 21𝐶

Sabemos, ainda que a soma dos valores recebidos é:

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 24900

Nós sabemos das propriedades da razão e proporção, mas não estudamos

nenhuma propriedade sobre produtos. Por isso, o que eu recomendo é dividir

pelo MMC entre 12, 15 e 21.

12, 15, 21 2

6, 15, 21 2

3, 15, 21 3

1, 5, 7 5

1, 1, 7 7

1, 1, 1 =2².3.5.7=420

Dividindo tudo por 420.

12𝐴 = 15𝐵 = 21𝐶 (: 420)

12𝐴

420=

15𝐵

420=

21𝐶

420

Agora, façamos as simplificações:

𝐴

35=

𝐵

28=

𝐶

20

Podemos, agora, somar os numeradores e os denominadores:

𝐴

35=

𝐵

28=

𝐶

20=

𝐴 + 𝐵 + 𝐶

35 + 28 + 20=

24900

83= 300

Poderíamos calcular cada um dos termos, porém, como queremos só a

diferença, podemos calcular direto:

𝐴

35=

𝐶

20= 300




𝐴

35=

𝐶

20=

𝐴 − 𝐶

35 − 20= 300

𝐴 − 𝐶

15= 300 ∴ 𝐴 − 𝐶 = 300.15 = 4500

Questão 13: E

(CESPE – FUB – 2011 – Assistente de Administração) Na proporção x/5 = y/7 = z/11, sabe-se que 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 250.

Nesse caso, é correto afirmar que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 < 110.

Comentários: Essa questão pode ser resolvida muito facilmente usando as

propriedades da Razão e Proporção.

𝑥

5=

𝑦

7=

𝑧

11

Podemos re-escrever essa proporção de maneira mais conveniente:

2𝑥

10=

𝑦

7=

3𝑧

33

Agora, utilizamos a propriedade das Somas Externas:

2𝑥

10=

𝑦

7=

3𝑧

33=

2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧

10 + 7 + 33=

250

50= 5

Podemos, então, calcular cada um dos termos:

𝑥

5= 5 ∴ 𝑥 = 5.5 = 25

𝑦

7= 5 ∴ 𝑦 = 5.7 = 35

𝑧

11 = 5 ∴ 𝑧 = 5.11 = 55

Portanto, a soma pedida no enunciado vale:




𝑆 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 25 + 35 + 55 = 115 > 110

Questão 14: Errado

(CESPE – MDIC – 2014 – Agente Administrativo) Caso toda a

produção de uma fábrica seja destinada aos públicos infantil, jovem e adulto, de modo que as porcentagens da produção destinadas a cada um desses

públicos sejam inversamente proporcionais, respectivamente, aos números 2, 3 e 6, então mais de 30% da produção dessa fábrica destinar-se-á ao público

jovem.

Comentários: Uma questão muito interessante que misturou vários

conceitos.

Sendo I, J e A as proporções de peças destinadas, respectivamente, aos

públicos infantil, jovem e adulto da fábrica, sabemos que as grandezas em

questão são inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 6. Portanto, tem-

se:

2𝐼 = 3𝐽 = 6𝐴

É sempre interessante transformar esse produto em razão. Isso pode ser feito

de duas formas. A primeira delas seria dividir pelo MMC entre os termos que

é 12. Porém, eu gostaria de mostrar uma outra forma para você.

𝐼

1/2=

𝐽

1/3=

𝐴

1/6

Obs.: Daqui, temos mais uma importante interpretação a respeito da Regra

de Três Inversa. Quando A é inversamente proporcional a B, podemos dizer

também que A é diretamente proporcional ao inverso de B, ou seja, a 1/B.

Usando a propriedade das somas das proporções, tem-se:

𝐼

1/2=

𝐽

1/3=

𝐴

1/6=

𝐼 + 𝐽 + 𝐴

1/2 + 1/3 + 1/6




A soma das proporções dos três grupos corresponde a 100%. Portanto, tem-

se que:

3𝐽 =100%

3 + 2 + 16

=100%

6/6= 100% ∴ 𝐽 =

100

3% = 33,33%

Questão 15: Errado




2 Regra de Três

A Regra de Três é um método prático para resolver problemas envolvendo

grandezas proporcionais.

Regra de Três Simples

A Regra de Três Simples envolve apenas duas grandezas. São elas:

Grandeza Dependente é aquela cujo valor se deseja calcular a partir da

grandeza explicativa;

Grandeza Explicativa ou Independente é aquela utilizada para calcular

a variação da grandeza dependente.

Existem dois tipos principais de proporcionalidades que aparecem

frequentemente em provas de concursos públicos.

Grandezas Diretamente Proporcionais: o aumento de uma grandeza

implica o aumento da outra;

Grandezas Inversamente Proporcionais: o aumento de uma grandeza

implica a redução da outra;

A forma mais adequada de resolver os problemas sobre Regra de Três é separar a grandeza dependente e raciocinar se ela deve aumentar ou diminuir quando

cada uma das grandezas aumenta.

Para determinar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, não existe um Manual ou um método. É preciso utilizar o bom senso e o seu

conhecimento de mundo. Mas, não se preocupe, as questões não serão muito profundas nesse tipo de análise. As bancas estão mais interessadas em saber se

você é capaz de montar e resolver o problema.

Vamos esquematizar.




(FTC – Inédita – 2017) Com uma área de absorção de raios solares

de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual

será a energia produzida?

Comentários: A proporcionalidade pode ser expressa graficamente por meio de setas

– é uma forma visual bastante simples de entender o problema. Primeiro,

desenhamos a seta de crescimento da variável dependente, que é a produção de

energia.

Produção de

Energia

Área de

Absorção

400 1,2

x 1,5

Agora, utilizamos o raciocínio de que a energia solar produzida pela lancha cresce

com o aumento da área de absorção de raios solares. Portanto, essas grandezas são

diretamente proporcionais.

Diretamente Proporcionais

• Quando uma aumenta, a outra também aumenta;

• As setas são construídas no mesmo sentido;

•𝐴1

𝐵1=

𝐴2

𝐵2;

Inversamente Proporcionais

• Quando uma aumenta, a outra diminui;

• As setas são construídas em sentidos opostos;

• 𝐴1𝐵1 = 𝐴2𝐵2




As setas verdes devem mostrar que a produção de energia cresce com a área de

absorção.

Produção de

Energia

Área de

Absorção

400 1,2

x 1,5

Obs.: As setas não precisam se relacionar com o sentido real de crescimento.

Elas precisam apenas mostrar se o aumento da área de absorção provoca um

aumento ou redução na produção de energia.

Para montar a Regra de Três, devemos seguir o sentido das setas. As setas

partem de baixo para cima. Portanto, escrevemos x (base da seta) no

numerador e o 400 (topo da seta) no denominador. Do outro lado, adotamos

o mesmo procedimento.

𝑥

400=

1,5

1,2

Agora, basta resolver a proporcionalidade utilizando simplificações e a

propriedade dos meios pelos extremos.

𝑥

400=

1,5

1,2=

15

12=

5

4

𝑥 =5.400

4= 5.100 = 500

A unidade se conserva, portanto, a produção de energia será de 500 watts por

hora.

Questão 16: 500

(FTC – 2017 – Inédita) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto

tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?




Comentários: Mais uma vez, recorrermos à representação por meio de setas

para facilitar a visualização do problema. Primeiro, desenhamos a seta de

crescimento da variável dependente, que é o tempo.

Tempo Velocidade

3 400

x 480

Agora, utilizamos o raciocínio de que, quanto maior a velocidade do trem, mais

rapidamente ele chegará ao seu destino, ou seja, em um tempo menor.

Portanto, o tempo de duração da viagem é inversamente proporcional à

velocidade do trem.

Por isso, a seta de crescimento da velocidade deve ser construída no sentido

oposto. Se a seta do tempo está para cima, a seta da velocidade deve estar

para baixo.

Tempo Velocidade

3 400

x 480

Para montar a Regra de Três, devemos seguir o sentido das setas. As setas

partem de baixo para cima. Portanto, escrevemos x (base da seta) no

numerador e o 3 (topo da seta) no denominador. Do outro lado, adotamos o

mesmo procedimento.

𝑥

3=

400

480

Agora, basta calcular o valor de x utilizando as propriedades das proporções.

𝑥 =400.3

480=

400

160=

100

40=

25

10= 2,5ℎ

O trem levará 2,5h para completar seu trajeto. Conforme previmos, com o

aumento da velocidade, o trem chegará mais rápido ao seu destino.




Questão 17: 2,5

(FGV-MRE-2016) Em um supermercado uma embalagem com certa quantidade de frios fatiados estava com a etiqueta abaixo sem a informação

R$/kg.

O preço aproximado de 1,0kg desse produto é:

a) R$20,50

b) R$21,10 c) R$21,80

d) R$22,30 e) R$22,90

Comentários: O preço a ser pago pelos frios é diretamente proporcional

ao peso do produto.

Preço Peso do Produto

3,66 0,160

x 1

As setas evidenciam que o preço a ser pago pelo produto cresce com o peso.

Dessa maneira, podemos montar a Regra de Três seguindo as setas.

𝑥

3,66=

1

0,160

𝑥 =3,66

0,160= 22,875

Questão 18: E

(Vunesp – MPE-SP – 2016) Para as cadeiras em um auditório, 6 funcionários, todos com a mesma capacidade de produção, trabalharam por 3

horas. Para fazer o mesmo trabalho, 20 funcionários, todos com o mesmo rendimento dos iniciais, deveriam trabalhar um total de tempo, em minutos,

igual a:

a) 48




b) 50

c) 46 d) 54

e) 52

Comentários: Como o trabalho é o mesmo, as únicas grandezas envolvidas

no problema são a quantidade de funcionários e o tempo necessário para o

trabalho.

O tempo é a grandeza dependente. E, quanto mais funcionários houver, mais

rapidamente eles farão o trabalho, portanto, o tempo diminuirá. Sendo assim,

o tempo e o número de funcionários são grandezas inversamente

proporcionais.

Tempo Quantidade de

Funcionários

3 6

x 20

Agora, podemos montar a Regra de Três seguindo as setas:

𝑥

3=

6

20∴ 𝑥 =

6.3

20=

18

20ℎ

Chegamos à resposta em horas, porém, a questão pediu o tempo em minutos.

Podemos fazer a conversão nos lembrando que: uma hora é equivalente a 60

minutos; quanto mais horas temos, mais minutos também teremos, portanto,

são grandezas diretamente proporcionais.

Tempo

(minutos) Tempo (horas)

60 1

x 18/20




𝑥

60=

18/20

1∴ 𝑥 =

60.18

20= 3.18 = 54 𝑚𝑖𝑛

Questão 19: D

(CESPE – CPRM – 2016) Três caminhões de lixo que trabalham

durante doze horas com a mesma produtividade recolhem o lixo de determinada cidade. Nesse caso, cinco desses caminhões, todos com a mesma

produtividade, recolherão o lixo dessa cidade trabalhando durante: a) 6 horas

b) 7 horas e 12 minutos c) 7 horas e 20 minutos

d) 8 horas e) 4 horas e 48 minutos

Comentários: Mais uma vez, nesse caso, o trabalho a ser realizado é o

mesmo. Portanto, as duas únicas grandezas estudadas nesse sistema são: a

quantidade de caminhões e o tempo de trabalho.

O tempo é a grandeza dependente. E, quanto mais caminhões houver, mais

rapidamente eles farão o trabalho, portanto, o tempo diminuirá. Sendo assim,

o tempo e o número de caminhões são grandezas inversamente

proporcionais.

Tempo Quantidade de

Caminhões

12 3

T 5

Agora, podemos montar a Regra de Três seguindo as setas:

𝑇

12=

3

5∴ 𝑥 =

12.3

5=

36

5ℎ

A questão pediu a resposta em horas e minutos. Para isso, devemos efetuar a

divisão e separar a parte inteira.

𝑇 =36

5ℎ = 7,2ℎ = 7ℎ + 0,2ℎ




A parte fracionária deve ser convertida em minutos por meio da Regra de Três.

Tempo

(minutos) Tempo (horas)

60 1

X 0,2

𝑥

60=

0,2

1∴ 𝑥 =

0,2.60

1= 12 𝑚𝑖𝑛

Dessa maneira, o tempo em horas e minutos pode ser expresso por:

𝑇 = 7,2ℎ = 7ℎ + 12𝑚𝑖𝑛

Questão 20: B

(FCC – Copergás – 2016 – Técnico Operacional Mecânico) Com 15 máquinas de asfaltar ruas, a prefeitura de uma cidade pode terminar a obra

que pretende fazer em exatos 42 dias de trabalho. O prefeito pretende diminuir esse prazo e está disposto a trazer mais máquinas, além das 15 máquinas

disponíveis, para executarem essa obra em 35 dias. O número de máquinas, que o prefeito precisará acrescentar para conseguir o seu intento, é igual a:

a) 5

b) 9 c) 4

d) 3 e) 7

Comentários: Para reduzir o tempo necessário para o serviço, deverão ser

adquiridas mais máquinas. Portanto, são grandezas inversamente

proporcionais.

Máquinas Dias

15 42

x 35

Agora, montemos a proporção:




𝑥

15=

42

35=

6

5∴ 𝑥 =

6.15

5= 6.3 = 18

Portanto, o número de máquinas deve ser aumentado em 3 unidades (de 15

para 18).

Questão 21: D

(FGV – Analista Legislativo – 2015) João, quando chega à sua oficina de artesanato, leva meia hora para arrumar suas ferramentas e depois inicia

imediatamente seu trabalho. Nesse trabalho, João produz 12 peças a cada 20 minutos. Certo dia, João chegou à oficina às 8 horas da manhã e trabalhou

sem parar até sair da oficina, ao meio-dia. O número de peças que João produziu nesse dia foi:

a) 96 b) 108

c) 120 d) 126

e) 144

Comentários: O primeiro passo, como sempre, é encontrar as variáveis:

Número de peças e horas de trabalho. Nesse caso, o tempo de arrumação deve

ser levado em consideração, logo como ele chegou as 8h e saiu as 12h, o

tempo de trabalho é 3h e 30 minutos (210 minutos).

Agora, montemos a tabela:

Número de

Peças

Minutos de

Trabalho

12 20

x 210

Para associar o sentido correto das setas, devemos entender que, quanto mais

tempo de trabalho, maior será o número de peças produzidas por João. Dessa

maneira, são grandezas diretamente proporcionais.

Por isso, devemos construir as setas no mesmo sentido.

Número de

Peças

Minutos de

Trabalho




12 20

x 210

A equação correspondente à Regra de Três deve ser montada seguindo as

direções das setas.

𝑥

12=

210

20∴ 𝑥 =

12.210

20=

12.21

2= 6.21 = 126

Questão 22: D

Regra de Três Composta

A Regra de Três Composta envolve mais de duas variáveis. As análises sobre se as grandezas são diretamente e inversamente proporcionais devem ser feitas

cautelosamente levando em conta alguns princípios:

As análises devem sempre partir da variável dependente em relação às outras variáveis;

As análises devem ser feitas individualmente. Ou seja, deve-se comparar as grandezas duas a duas, mantendo as demais constantes.

A variável dependente fica isolada em um dos lados da proporção.

Observados esses princípios, basta seguir a direção das setas. Não se preocupe:

as questões de Regra de Três Composta são bem simples quando você entende a lógica por trás.

O principal trabalho em qualquer Regra de Três é determinar se as grandezas

são direta ou inversamente proporcionais.

E, agora, mãos à obra. Vamos às nossas questões de provas.

(CESPE – ANTAQ – 2014 – Analista Administrativo) Uma concessionária ganhou a concessão para explorar economicamente uma

rodovia federal pelo período de 20 anos. A concessionária realizará melhorias




na via como a duplicação de trechos, manutenção do asfalto, da iluminação,

reforço na sinalização.

Considerando que a concessionária esteja autorizada a cobrar pedágios, julgue o item subsequente.

Considere que 12 empregados da concessionária, trabalhando 6 horas por dia

e no mesmo ritmo, constroem 3 km de rodovia em 9 dias. Nessa situação, 24

empregados, trabalhando 6 horas por dia e no mesmo ritmo do grupo inicial, construirão 6 km de estrada em 6 dias.

Comentários: A questão envolve três grandezas: o tempo para a construção

da estrada (em dias), o número de empregados e a quilometragem da estrada.

A questão ainda citou a quantidade de horas por dia de trabalho dos

empregados. Porém, esse dado não variou entre as duas situações –

permaneceu 6 horas. Como não há variação dessa grandeza, ela não é

relevante para a montagem da Regra de Três.

Podemos tomar, por exemplo, o tempo como variável dependente. Para isso,

nós calculamos o tempo necessário para a construção da estrada e

comparamos com o valor que foi proposto no enunciado (6 dias).

Tempo de

Construção Empregados

Quilometragem

da Estrada

9 12 3

x 24 6

Agora, montemos as setas uma a uma.

Quanto mais empregados houver, menor será o tempo necessário para a

construção. Portanto, são grandezas inversamente proporcionais. Dessa

maneira, devemos colocar a seta dos empregados no sentido oposto.

Por outro lado, quanto maior for a quilometragem da estrada, mais tempo será

necessário para construí-la. Portanto, são grandezas diretamente

proporcionais.

Tempo de

Construção Empregados

Quilometragem

da Estrada

9 12 3




x 24 6

Basta, agora, montar a Regra de Três seguindo as setas e lembrando-se de

isolar o tempo de construção das demais variáveis:

𝑥

9=

12

24.6

3=

1

2. 2 = 1

Portanto, temos que:

𝑥

9= 1 ∴ 𝑥 = 9

Sendo assim, o tempo de construção da estrada será de 9 dias, logo, a

afirmativa está errada.

Questão 23: Errado

(FCC – DPE/RS – 2017 – Analista – Administração) Um grupo de 8 funcionários analisou 32 propostas de reestruturação de um determinado setor

de uma empresa em 16 horas de trabalho. Para analisar 48 dessas propostas, em 12 horas de trabalho, um outro grupo de funcionários, em igualdade de

condições do grupo anterior, deverá ser composto por um número de pessoas igual a:

a) 18

b) 12 c) 16

d) 14 e) 20

Comentários: A questão envolve três grandezas: o número de funcionários,

as propostas estudadas e o número de horas de trabalho. Como a grandeza

desejada é o número de horas de trabalho.

Como queremos saber o número de funcionários, tomaremos essa como a

variável dependente.

Funcionários

Horas de

Trabalho Propostas

8 16 32

x 12 48




Quanto mais propostas estudadas, mais funcionários serão necessários.

Portanto, são grandezas diretamente proporcionais. Por outro lado, quanto

mais horas cada funcionário trabalha, menos funcionários serão necessários.

Portanto, são grandezas inversamente proporcionais.

Tempo de

Construção

Horas de

Trabalho

Propostas

8 16 32

x 12 48

Agora, montemos a proporção seguindo a seta:

𝑥

8=

16

12.48

32∴ 𝑥 = 8.

16

12.48

32= 8.

1

2. 4 = 8.2 = 16

Questão 24: C

(CESPE – STM – 2011) Seis juízes foram encarregados de analisar alguns processos e concluíram esse trabalho em treze dias. Sabendo que cada

juiz levou três dias para analisar cada processo e que todos os juízes trabalharam nesse ritmo, julgue os itens seguintes.

Quatro juízes analisaram dez processos em sete dias.

Comentários: Nessa questão, temos três variáveis sendo relacionadas: o

número de juízes, o tempo para o trabalho e a quantidade de processos.

Podemos tomar, por exemplo, o tempo como variável dependente.

Dias Juízes Quantidade de

Processos

3 1 1

x 4 10

Quanto mais juízes houver para analisar os processos, mais rápido será o

trabalho, ou seja, o número de dias necessários será menor. Portanto, são

grandezas inversamente proporcionais. Logo, a seta em juízes deve ser

desenhada no sentido oposto à seta dos dias.

Por outro lado, quanto mais processos houver para serem analisados, maior

será o número de dias necessários para o trabalho. Trata-se, portanto, de




grandezas diretamente proporcionais. Logo, a seta em quantidade de

processos deve ser desenhada no mesmo sentido da seta dos dias.

Dias Juízes Quantidade de

Processos

3 1 1

x 4 10

Para montar a Regra de Três, devemos seguir o sentido das setas. As setas partem

de baixo para cima.

𝑥

3=

1

4.10

1=

5

2

Agora, basta calcular o valor de x utilizando as propriedades das proporções.

𝑥 =3.5

2=

15

2= 7,5 𝑑𝑖𝑎𝑠

Dessa maneira, os quatro juízes analisarão dez processos em 7,5 dias, não em 7

como afirmado pelo enunciado.

Questão 25: Errado

(FGV – Senado Federal – 2008 – Consultor de Orçamento) Admita que 3 operários, trabalhando 8 horas por dia, construam um muro de 36

metros em 5 dias. O tempo necessário para que 5 operários, trabalhando 6

horas por dia, construam um muro de 30 metros é de: a) 3 dias mais 2 horas.

b) 3 dias mais 4 horas. c) 3 dias mais 8 horas.

d) 4 dias mais 3 horas. e) 4 dias mais 4 horas.

Comentários: Não há absolutamente nenhuma diferença quando o problema

envolve quatro variáveis. Vejamos:

Dias Operários Carga Horária Muro

5 3 8 36

X 5 6 30




Agora, precisamos relacionar a variável em estudo (tempo para a construção

do muro) com as demais variáveis:

Quanto mais operários houver, mais rápida será a obra, ou seja, tomará

menos dias. Portanto, são grandezas inversamente proporcionais;

Quanto maior a carga horária dos operários, mais rápida também será

a obra. Portanto, carga horária e tempo são grandezas inversamente

proporcionais;

Quanto maior o muro, mais tempo levará para ser construído. Portanto,

tempo e tamanho do muro são grandezas diretamente proporcionais.

Agora, construiremos as setas que reflitam esse raciocínio.

Dias Operários Carga Horária Muro

5 3 8 36

x 5 6 30

Agora, basta montar as proporções:

𝑥

5=

3

5.8

6.30

36∴ 𝑥 =

3.8.30.5

5.6.36=

3.8.30

6.36=

1.4.30

36=

1.4.5

6=

20

6 𝑑𝑖𝑎𝑠

A questão pediu o tempo em dias e horas. Para isso, precisamos efetuar a

divisão e pegar a parte inteira. 20 dividido por 6 é igual a 3 e deixa resto 2.

Portanto, podemos escrever que:

𝑥 =20

6= 3 +

2

6= 3 +

1

3

Portanto, a obra levou 3 dias mais um terço de dia. Como um dia tem 24

horas, podemos escrever:

𝑥 = 3 𝑑𝑖𝑎𝑠 +1

3𝑑𝑖𝑎 = 3 𝑑𝑖𝑎𝑠 +

1

3. 24ℎ = 3𝑑𝑖𝑎𝑠 + 8ℎ

Questão 26: C

(CESPE – CPRM – 2016 – Técnico em Geociências – Hidrologia)

Por 10 torneiras, todas de um mesmo tipo e com igual vazão, fluem 600 L de

água em 40 minutos. Assim, por 12 dessas torneiras, todas do mesmo tipo e com a mesma vazão, em 50 minutos fluirão:

a) 625L de água b) 576L de água

c) 400L de água d) 900L de água

e) 750L de água




Comentários: Em todos os problemas de Regra de Três, devemos

primeiramente identificar as grandezas envolvidas no problema. São elas: a

quantidade de torneiras, o tempo que elas passam ligadas e a quantidade de

água que flui.

O problema deseja saber a quantidade de água que fluiu das torneiras.

Portanto, essa é a variável dependente. Portanto, montemos a tabela.

Quantidade

de Água

Número de

Torneiras Tempo

600 10 40

x 12 50

Quanto maior a quantidade de torneiras, maior também será a quantidade de

agua que fluirá delas. Portanto, são grandezas diretamente proporcionais.

Também, quanto maior o tempo que as torneiras passarem ligadas, maior será

a quantidade de água. Mais uma vez, são grandezas diretamente

proporcionais.

Sendo assim, as setas devem ser construídas no mesmo sentido para ilustrar

a proporcionalidade direta.

Quantidade

de Água

Número de

Torneiras Tempo

600 10 40

x 12 50

Agora, montemos a equação. Como sempre, basta seguir as setas e isolar a

variável dependente.

𝑥

600=

12

10.50

40 ∴ 𝑥 =

12.50.600

10.40=

12.50.6

1.4= 3.50.6 = 900




Questão 27: D

(FCC – Prefeitura de Teresina / PI – 2016 – Técnico de Nível Superior – Administrador) Em uma empresa, um prêmio em dinheiro foi

dividido entre 3 funcionários (Antônio, Bento e Celso) em partes diretamente

proporcionais ao tempo de serviço de cada um na empresa e inversamente proporcionais ao número de faltas injustificadas deles dentro de um período.

O quadro abaixo forneceu as informações necessárias para o cálculo desta divisão.

Se Celso recebeu R$ 13.500,00, então Antônio recebeu, em reais,

a) 12.000,00 b) 9.000,00

c) 27.000,00 d) 18.000,00

e) 22.500,00

Comentários: O enunciado já nos forneceu todas as informações.

Quantia

Recebida Faltas

Tempo de

Serviço

13.500 6 18

x 2 8

Agora, montemos a proporção seguindo as setas.

𝑥

13500=

6

2.

8

18=

3.4

9∴ 𝑥 =

3.4.13500

9= 3.4.1500 = 18000

Questão 28: D

(CESPE – PRF – 2013) Considerando que uma equipe de 30 operários, igualmente produtivos, construa uma estrada de 10 km de extensão em 30

dias, julgue os próximos itens. Se a tarefa estiver sendo realizada pela equipe inicial de 30 operários e, no

início do quinto dia, 2 operários abandonarem a equipe, e não forem substituídos, então essa perda ocasionará atraso de 10 dias no prazo de

conclusão da obra.




Comentários: As variáveis envolvidas no problema são: o número de

operários, a extensão da estrada e o prazo para a conclusão da obra. Podemos

entender a variável dependente como o prazo da obra.

Para montar a tabela da Regra de Três, precisamos observar que a perda dos

dois operários só ocorreu no quinto dia. Sendo assim, nos quatro primeiros

dias, a estrada foi construída normalmente. Por isso, precisamos saber quanto

da estrada foi construída nesse período.

Extensão da

Estrada Prazo da Obra

10 30

x 4

Quanto maior o tempo de construção da obra, maior será a extensão

construída da estrada. Por isso, as grandezas são diretamente proporcionais

como ilustrado anteriormente.

𝑥

10=

4

30∴ 𝑥 =

4.10

30=

4

3

Dessa maneira, até o quarto dia, foram construídos 4/3 km da estrada.

Portanto, ainda restam:

𝐿 = 10 −4

3=

30 − 4

30=

26

30 𝑘𝑚

A partir do quinto dia, a quilometragem restante da estrada deverá ser

construída pelos 28 operários restantes. Podemos calcular o tempo necessário

para construir a segunda parte dessa obra (𝑡2):

Prazo da

Obra

Número de

Operários

Extensão da

Estrada




30 30 10

𝑡2 28 26/3

Para a interpretação correta dos sentidos das setas, devemos perceber que:

quanto maior o número de operários, mais rapidamente, eles terminarão a

obra, portanto, o prazo será menor. Dessa maneira, o número de operários e

o prazo da obra são grandezas inversamente proporcionais.

Por outro lado, quanto maior a extensão da estrada, maior o prazo necessário

para concluí-la. Portanto, trata-se de grandezas inversamente proporcionais.

Prazo da

Obra

Número de

Operários

Extensão da

Estrada

30 30 10

𝑡2 28 26/3

𝑡2

30=

30

28.26/3

10 ∴ 𝑡2 =

30.26.30

28.3.10=

30.26

28=

30.13

14=

390

14=

39

14

Fazendo as contas aproximadas:

𝑡2 =52

14≅ 27,8 𝑑𝑖𝑎𝑠

Além disso, não podemos nos esquecer que houve o gasto inicial de 4 dias

para a obra. Nesse período, foi construído o trecho de 4/3 km. Portanto o

tempo total para a conclusão da obra será de:

𝑡 = 4 + 27,8 = 31,8 𝑑𝑖𝑎𝑠

Portanto, o prazo da obra deverá ser alongado a 32 dias, o que representa um

atraso de apenas 2 dias, não de 10 dias, como afirmado pelo enunciado.




Questão 29: Errado

(CESPE – INPI – 2013 – Técnico em Propriedade Industrial) Sabendo que, para produzir 5 unidades de determinado produto, é necessário

2 operários trabalhando 6 horas por dia durante 3 dias, julgue os itens seguintes.

Se, para cada trabalhador, o custo de produção de cada unidade aumentar 2% por hora trabalhada além das 8 horas diárias, então, ao produzir 10 unidades,

com somente dois trabalhadores, em dois dias, o custo diminuirá em 40%.

Comentários: Uma questão muito boa em que o aluno deverá ter uma boa

capacidade de interpretar. Devemos calcular a quantidade de horas que os

empregados deverão trabalhar para produzir as unidades necessárias.

Horas por

Dia Dias Unidades

6 3 5

𝑥 2 10

Quanto mais dias os empregados trabalham, menor será a carga horária

necessária, portanto, são grandezas inversamente proporcionais, como

evidenciado pelos sentidos das setas.

Por outro lado, quanto mais unidades deverão ser produzidas, mais tempo

será necessário, portanto, aumenta a carga horária. Portanto, são grandezas

diretamente proporcionais.

O número de operários é igual a 2 em ambas as situações, por isso, essa

grandeza é irrelevante para a Regra de Três. De posse dessas informações,

podemos montar a conta seguindo as setas.

𝑥

6=

3

2.10

5 ∴ 𝑥 =

3.10.6

2.5= 3.6 = 18




Portanto, os empregados tiveram que trabalhar um total de 18 horas por dia,

o que significa um excesso de 10 horas por dia. Portanto, o custo de produção

da fábrica aumentará em:

Aumento

do Custo

Número de

Operários Horas Extras

+2% 1 1

𝑦 2 10

Mais uma vez, seguindo as setas, podemos calcular o aumento do custo devido

às horas extras:

𝑦

+2%=

2

1.10

1= 20 ∴ 𝑦 = +2%. 20 = +40%

Portanto, o único erro do enunciado é afirmar que o custo de produção diminui.

Na verdade, o custo aumenta em 40%.

Questão 30: Errado




3 Porcentagem

Conceito

A porcentagem é uma medida de razão com base 100. Trata-se de um modo de

expressar uma proporção entre dois números: um deles é a parte e o outro

o inteiro.

Sendo assim, a porcentagem corresponde a uma fração cujo denominador

é 100. Podemos converter um número porcentual em fração dividindo por 100.

Vejamos alguns exemplos:

20% =20

100

Além disso, podemos transformar esse número em decimal deslocando a vírgula

duas casas para a direita.

20% =20

100=

20,0

100= 0,200 = 0,20

Outra conversão muito interessante para ser usada em questões é a fração

simplificada. Note que é possível simplificar a fração 20/100 por 4 e depois por

5 como mostramos a seguir.

20% = 0,20 =20

100=

5

25=

1

5

Sendo assim, a razão 20% pode ser escrita de várias maneiras:

20% = 0,20 =20

100=

1

5

As três primeiras são as mais importantes, porque podem ser escritas para

qualquer número porcentual. Vejamos mais alguns exemplos:

34,7% =34,7

100= 0,347

12,6% =12,6

100= 0,126

Também é possível fazer a conversão inversa, isto é, transformar um número

decimal em porcentual.




0,296 =29,6

100= 29,6%

Algumas frações importantes que aparecem bastante em provas e que vale a

pena você saber as frações simplificadas correspondentes:

10% =1

10 20% =

1

5 25% =

1

4 50% =

1

2

Número Relativo

A porcentagem traz uma relação entre uma parte e um todo. Quando dizemos

1% de 1000, o 1000 corresponde ao todo. Já o 1% corresponde à fração do todo

que estamos especificando. Para descobrir a quanto isso corresponde, basta

multiplicar 1% por 1000.

1% 𝑑𝑒 1000 =1

100. 1000 = 10

Dessa maneira, 1000 é todo, enquanto que 10 é a parte que corresponde a 1%

de 1000.

Como a porcentagem é uma proporção, ela é sempre um número relativo. O

número 1% não tem nenhum significado próprio. É preciso dizer 1% de quê?

1% 𝑑𝑒 1000 =1

100. 1000 = 10

1% 𝑑𝑒 2000 =1

100. 2000 = 20

Quando o todo varia, a porcentagem também varia. Agora, vamos treinar com

(FTC – 2017 – Inédita) Joana assistiu 2 aulas de Matemática

Financeira. Sabendo que o curso que ela comprou possui um total de 8 aulas, qual é o percentual de aulas já assistidas por Joana?

Comentários: O todo de aulas é 8. Para descobrir o percentual, devemos

dividir a parte pelo todo e obter uma fração.




𝑃 =2

8=

1

4

Para transformar em porcentagem, devemos transformar o denominador em

100. Uma forma simples de fazer isso é efetuando a divisão:

𝑃 =2

8=

1

4= 0,25

Agora, basta transformar o número decima em percentual:

𝑃 = 0,25 = 25%

Questão 31: 25%

(FGV – COMPESA – 2016 – Assistente de Saneamento e Gestão) O resultado da divisão de 100% por 20% é:

a) 0,5% b) 5%

c) 50% d) 500%

e) 5000%

Comentários: Questão interessante para você entender sobre porcentagem.

Devemos lembrar que a porcentagem é uma razão por 100. Sendo assim,

temos:

𝑥 =100%

20%=

100100

20100

Para resolver uma divisão de frações, devemos multiplicar a primeira pelo

inverso da segunda:

𝑥 =

100100

20100

=100

100.100

20= 1.5 = 5

Para transformar o 5 em número percentual, devemos multiplicar e dividir por

100:

𝑥 = 5 =5.100

100=

500

100= 500%




De agora em diante, você sabe que poderá simplesmente cortar os

percentuais, no caso de uma divisão. Vejamos:

𝑥 =100%

20%=

100

20= 5

Questão 32: D

(CESPE – MDS – 2009 – Agente Administrativo) Em importante

campanha de informação sobre saúde pública, o secretário de saúde municipal determinou que os agentes de saúde deveriam visitar todas as residências

daquele município. Foram designados 5 agentes para realizar a campanha. Uma análise preliminar concluiu que esses agentes terminariam as visitas no

município em 12 dias úteis, se todos trabalhassem com a mesma eficiência, de segunda a sexta-feira, durante 8 horas diárias.

Considerando essas informações, julgue os seguintes itens.

Considere que os agentes receberiam uma gratificação de R$ 12.000,00 a serem divididos entre eles, de forma diretamente proporcional ao número de

dias que cada um trabalhou. Nesse caso, se do total de dias trabalhados, dois dos agentes faltaram a 50% desses dias, um dos agentes faltou 25% dos dias

e os outros dois trabalharam todos os dias, então os agentes que mais faltaram ao trabalho receberiam menos de R$ 1.800,00 cada um.

Comentários: Sejam A, B, C, D e E as gratificações recebidas pelos 5 agentes.

Considere, ainda, que os agentes A e B foram os mais faltosos, o agente C

faltou 25% dos dias, e os agentes D e E trabalharam todos os 12 dias.

Nessa situação, os agentes A e B trabalharam trabalharam 6 dias, enquanto

que o agente C faltou 3 dias (25% de 12), portanto, trabalhou 9 dias.

Dessa maneira, temos a proporcionalidade:

𝐴

6=

𝐵

6=

𝐶

9=

𝐷

12=

𝐸

12

Agora, basta usar a propriedade das Somas Externas:

𝐴

6=

𝐵

6=

𝐶

9=

𝐷

12=

𝐸

12=

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸

6 + 6 + 9 + 12 + 12




A soma A + B + C + D + E corresponde ao total recebido de gratificação por

todos os agentes, que é de R$12.000,00.

𝐴

6=

𝐵

6=

𝐶

9=

𝐷

12=

𝐸

12=

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸

6 + 6 + 9 + 12 + 12=

12000

45

Agora, calculemos as gratificações de cada agente.

𝐴

6=

𝐵

6=

12000

45∴ 𝐴 =

12000.6

45=

4000.2

5= 800.2 = 1600 < 1800

Portanto, o enunciado está correto.

Questão 33: Certo

E, agora, vejamos como esse assunto cai em provas.

(CESPE - INPI – 2013) Considerando que o custo de produção de um

refrigerante em lata seja R$ 0,50 por unidade produzida e que essa mesma latinha seja vendida a R$ 2,50, julgue os itens seguintes.

O preço de custo do refrigerante em lata representa 20% do valor de sua venda.

Comentários: Tomemos a razão entre o preço de custo da latinha e o seu

preço de venda:

𝑃 =𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜

𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑛𝑑𝑎=

0,50

2,50=

1

5= 0,20 = 20%

Questão 34: Certo




Soma e Subtração de Porcentagem

As operações de soma e subtração de porcentagem são as mais comuns. É o

que acontece quando se diz que um número excede ou é superior ao outro em

tantos por cento.

Essas operações são muito simples de fazer. A grandeza inicial corresponderá

sempre a 100%. Então, basta somar ou subtrair o percentual fornecido dos

100% e multiplicar pelo valor da grandeza. Vejamos alguns exemplos:

(FTC – 2017 – Inédita) Joana comprou um curso de 200 horas-aula.

Porém, com a publicação do edital, a escola precisou aumentar a carga horária em 15%. Qual o total de horas-aula do curso ao final?

Comentários: Inicialmente, o curso de Joana tinha um total de 200 horas-

aula que correspondiam a 100%. Com o aumento porcentual o novo curso

passou a ter 100% + 15% das aulas inicialmente previstas.

Portanto, o total de horas-aula do curso será:

𝑁 = (1 + 0,15). 200 = 1,15.200 = 230

A questão poderia ainda ter perguntado somente de quanto foi o aumento, ou

seja, a variação do número de aulas. Nesse caso, precisaríamos levar em conta

apenas os 15%.

Δ𝑁 = 0,15.200 = 30

De qualquer maneira, da forma como foi pedido no enunciado, a resposta é

230.

Questão 35: 230

(FGV – IBGE – 2016 – Técnico em Informações Geográficas e

Estatísticas) Rubens percorreu o trajeto de sua casa até o trabalho com uma determinada velocidade média. Rubinho, filho de Rubens, percorreu o mesmo

trajeto com uma velocidade média 60% maior do que a de Rubens. Em relação ao tempo que Rubens levou para percorrer o trajeto, o tempo de Rubinho foi:

a) 12,5% maior b) 37,5% menor

c) 60% menor d) 60% maior

e) 62,5% menor




Comentários: Uma boa questão misturando proporcionalidade com

porcentagem. Podemos chamar a velocidade de Rubens de v e o tempo que

ele levou para percorrer o trajeto de t.

Nesse caso, a velocidade de Rubinho será 60% maior, portanto, podemos

escrever:

𝑣𝑅𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜 = (1 + 0,60)𝑣𝑅𝑢𝑏𝑒𝑛𝑠 = 1,60𝑣

Para calcular o tempo, basta nos lembrar que são grandezas inversamente

proporcionais. Quanto mais veloz for o piloto, menos tempo ele gastará para

chegar ao seu destino.

Velocidade Tempo

v 𝑡

1,60𝑣 𝑡𝑅𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜

Portanto, temos:

1,6𝑣

𝑣=

𝑡

𝑡𝑅𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜∴ 1,6 =

𝑡

𝑡𝑅𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜

∴𝑡𝑅𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜

𝑡=

1

1,6=

10

16=

5

8= 0,625

∴ 𝑡𝑅𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜 = 0,625𝑡 = (1 − 0,375)𝑡

Sendo assim, o tempo de Rubinho será 37,5% menor que o tempo de Rubens

(t).

Questão 36: B




A operação inversa corresponde à avaliação da variação percentual.

A avaliação do crescimento ou da redução percentual

deve ser feita sempre em relação ao valor inicial da

grandeza.

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍

Além disso, o sinal da variação percentual informa se houve crescimento ou

redução percentual.

Vamos entender melhor com algumas questões?

(FTC – Inédita – 2017) Pedro percebeu que ele ainda não assistiu a 200 aulas do seu curso. Ela deseja reduzir o número de aulas não assistidas a

180. É correto afirmar que as aulas não assistidas por Pedro cairá 20%?

Comentários: A variação percentual de uma grandeza corresponde ao índice:

Variação Percentual Positiva

• Houve crescimento percentual

Variação Percentual Negativa

• Houve redução percentual




𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙=

180 − 200

200= −

20

200= −0,10 = −10%

Como o resultado foi negativo, podemos afirmar que houve uma redução

percentual de 10% nas aulas ainda não assistidas por Pedro. O enunciado está

errado ao afirmar que essa redução foi de 20%.

Questão 37: Errado

(CESPE – INPI – 2013) Considerando que o custo de produção de

um refrigerante em lata seja R$ 0,50 por unidade produzida e que essa mesma latinha seja vendida a R$ 2,50, julgue os itens seguintes.

Se o custo de produção de cada refrigerante for reduzido em 40%, mantendo-se o mesmo valor de venda do produto, então o lucro por latinha aumentará

20%.

Comentários: Com a redução em 40%, o novo custo de produção será:

𝐶′ = (1 − 0,40). 0,50 = 0,60.0,50 = 0,30

Dessa maneira, o lucro por latinha será:

𝐿′ = 𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑛𝑑𝑎 − 𝐶′ = 2,50 − 0,30 = 2,20

Antes da redução, o lucro era de:

𝐿 = 𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑛𝑑𝑎 − 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 2,50 − 0,50 = 2,00

Dessa maneira, o aumento percentual do lucro será:

𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜

𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙=

𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑁𝑜𝑣𝑜 − 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙=

2,20 − 2,00

2,00

=0,20

2,00= 0,10 = 10%

Portanto, o aumento percentual do lucro foi de apenas 10%. A afirmativa está

errada.




Questão 38: Errado

(FGV – Prefeitura de Osasco/SP – 2014 – Atendente) O preço de determinado produto, ao longo de dois meses consecutivos, sofre aumentos

de 10% e 20%, respectivamente. No terceiro mês, o preço cai e retorna ao valor original, antes dos aumentos. Em relação ao preço aumentado do

produto, o percentual que mais se aproxima da redução ocorrida no terceiro

mês é: a) 20%

b) 25% c) 30%

d) 70% e) 75%

Comentários: Seja P o preço inicial do produto. Os dois aumentos podem ser

representados a seguir.

É importante destacar que o primeiro aumento de 10% eleva o preço para

1,10P. Já o segundo aumento de 20% deve ser aplicado sobre esse novo preço

de 1,10P.

Da mesma forma, a redução percentual de x% deve ser aplicada sobre o preço

no mês 3. Temos, portanto, que:

(1 − 𝑥). 1,32𝑃 = 𝑃 ∴ (1 − 𝑥) =1

1,32

A forma mais simples de converter essa fração em percentual é multiplicando

por 100%.

(1 − 𝑥) =100

1,32% ≅ 75% ∴ 𝑥 = 100% − 75% = 25%

Questão 39: B

(FCC – TRT 11ª Região (AM e RR) – Técnico Judiciário) O preço de um sapato, após um aumento de 15%, é R$ 109,25. Se o preço do sapato não

tivesse sofrido esse aumento de 15%, mas um aumento de 8%, a diferença, em reais, entre os preços do sapato com cada aumento seria de:

a) R$ 7,65. b) R$ 5,80.

c) R$ 14,25.




d) R$ 7,60.

e) R$ 6,65.

Comentários: Em primeiro lugar, calcularemos o preço inicial do sapato.

Sendo P o preço inicial, após o aumento, esse preço passará a ser 1,15P.

1,15𝑃 = 109,25 ∴ 𝑃 =109,25

1,15=

10925

115=

2185

23= 95

Agora, precisamos calcular o preço após o aumento de 8%:

𝑃8 = (1 + 0,08)𝑃 = 1,08.95 = 102,6

Sendo assim, a diferença de preços será:

Δ𝑃 = 𝑃15 − 𝑃8 = 109,25 − 102,6 = 6,65

Poderíamos ainda, fazer de uma forma simples. Uma vez calculado o preço

inicial P = 95, bastaria notar que:

Δ𝑃 = 𝑃15 − 𝑃8 = 1,15𝑃 − 1,08𝑃 = 0,07𝑃 = 0,07.95 = 6,65

Questão 40: E

(CESPE – INPI – 2013) Consando os dados apresentados no gráfico,

julgue os itens seguintes.

O número de acidentes ocorridos em 2008 foi, pelo menos, 26% maior que o

número de acidentes ocorridos em 2005.

Comentários: Nessa questão, devemos nos lembrar que o crescimento

percentual deve ser sempre medido em relação ao valor inicial da grandeza

estudada.




𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙=

141 − 110

110=

31

110≅ 0,282

= 28,2% > 26%

Dessa maneira, como o enunciado diz “pelo menos”, a afirmativa está correta,

tendo em vista que 28,2% é maior que 26%.

Questão 41: Certo

Agora, vamos falar de uma pegadinha muito comum em provas de concursos.

Dizer que A é 20% maior que B não é a mesma coisa de dizer que B

é 20% menor que A.

Por exemplo, seja B = 100. A é 20% maior que B implica que:

𝐴 = (1 + 0,20). 100) = 1,20.100

Nesse caso, não podemos dizer que B é 20% menor que A.

𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝐵 − 𝐴

𝐴=

100 − 120

120= −

20

120= −

1

6= −16,7%

As bancas adoram fazer essa pedaginha no Capítulo de Descontos,

portanto, precisamos ficar atentos desde já.

Porcentagem de Porcentagem

Uma confusão frequente dos alunos diante de questões de provas é quando é

necessário fazer uma porcentagem de outra porcentagem.




O cálculo de porcentagem de porcentagem deve ser feito do mesmo modo que

aprendemos na Seção 3.1. Portanto, a melhor forma de aprender a lidar com

esse assunto é resolvendo questões de provas.

(CESPE – CPRM – 2016) Considere que 85% das residências de determinado município estão ligadas à rede de abastecimento de água tratada

e que 60% dessas residências estão ligadas à rede de esgotamento sanitário. Nessa situação, a percentagem de residências do município que são servidas

de água tratada e estão ligadas à rede de esgotamento sanitário é igual a: a) 40%

b) 25%

c) 15% d) 60%

e) 51%

Comentários: De um total de 100% das residências do munícipio, 85% delas

estão ligadas à rede de abastecimento.

Desses 85%, 60% estão também ligadas à rede de esgotamento sanitário.

Portanto, para saber qual o percentual de casa com acesso a ambos os

serviços, temos uma porcentagem de porcentagem.

𝑃 = 0,85.0,60 = 0,51

Questão 42: E

(CESPE – FUB – 2009 – Administrador de Edifícios) Considere que

sobre o preço de fábrica de um automóvel zero km incida um imposto federal de 12% e sobre o preço de fábrica acrescido do imposto federal incida um

imposto estadual de 15%. Nessa situação, o preço de venda do automóvel será pelo menos 28% superior ao preço de fábrica.

Comentários: Seja P o preço de fábrica, temos que houve dois aumentos

referentes aos impostos estadual e federal.




Observe que o preço final deve ser calculado sobre o preço já calculado após

o imposto federal que é de 1,12P. Portanto:

𝑃𝑓 = (1 + 0,15). 1,12𝑃 = 1,15.1,12𝑃 = 1,288𝑃

O preço após os impostos, portanto será superior ao preço de fábrica em:

𝑃𝑓 − 𝑃

𝑃=

1,288𝑃 − 𝑃

𝑃=

0,288𝑃

𝑃= 0,288 = 28,8% > 28%

Questão 43: Certo

(CESPE – FUB – 2009 – Administrador de Edifícios) Considere que

uma loja venda seus produtos nas seguintes condições: à vista, com 20% de desconto sobre o preço de tabela; no cartão de crédito, com 5% de acréscimo

sobre o preço de tabela. Nessa situação, um produto que é vendido por R$800,00 à vista terá, no cartão, preço superior a R$1.000,00.

Comentários: Seja P o preço de tabela, temos que o preço à vista será:

𝑃𝐴𝑉 = (1 − 0,20)𝑃 = 0,80𝑃 = 800

Portanto, podemos calcular o preço de tabela do produto:

𝑃 =800

0,8= 1000

+12% 𝑃 +15%1,12𝑃 𝑃𝑓




Agora, passemos a calcular o preço no cartão de crédito, que corresponde a

um aumento percentual de 5% sobre o preço de tabela de R$1.000,00

𝑃𝐶 = (1 + 0,05)𝑃 = 1,05.1000 = 1050 > 1000

Vale dizer que a banca vacilou na elaboração da questão. O aluno não

precisava nem mesmo calcular o preço do cartão de crédito. Bastava ver que

o preço de tabela já era de R$1.000,00, portanto, o preço no cartão de crédito

teria que ser superior.

Questão 44: Certo

(FCC – TST – 2017 – Técnico Judiciário) A equipe de segurança de um Tribunal conseguia resolver mensalmente cerca de 35% das ocorrências

de dano ao patrimônio nas cercanias desse prédio, identificando os criminosos e os encaminhando às autoridades competentes. Após uma reestruturação dos

procedimentos de segurança, a mesma equipe conseguiu aumentar o percentual de resolução mensal de ocorrências desse tipo de crime para cerca

de 63%. De acordo com esses dados, com tal reestruturação, a equipe de

segurança aumentou sua eficácia no combate ao dano ao patrimônio em: a) 35%.

b) 28%. c) 63%.

d) 41%. e) 80%

Comentários: Devemos utilizar a mesma expressão sempre conhecida para

a variação percentual.

Δ% =𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜

𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙=

0,63 − 0,35

0,35=

0,28

0,35=

28

35=

4

5= 0,8 = 80%

Questão 45: E




4 Sequências Lineares

O assunto de sequências costuma ser cobrado tanto na parte de Raciocínio

Lógico como na parte de Matemática Básica em diversos editais. De quebra,

ainda é essencial para entender muitos temas da Matemática Financeira.

Portanto, é um assunto importantíssimo.

Os dois principais tipos de sequências lineares que você precisa conhecer são as

famosas:

Progressão Aritmética (PA);

Progressão Geométrica (PG).

Vamos a elas?

Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética é aquela em que os termos crescem sendo

adicionados a uma razão constante, normalmente representada pela letra r.

Exemplos:

2, 2, 2, 2, 2, 2 – é uma progressão aritmética estacionária (r = 0)

3, 4, 5, 6, 7, 8 – é uma progressão aritmética crescente (r = 1)

5, 3, 1, -1, -3 – é uma progressão aritmética decrescente (r = -2)

Já podemos adiantar a respeito das classificações de progressões aritméticas.

Estacionária: quando a razão é igual a zero. Desse modo, os termos são

todos iguais.

Crescente: quando a razão é um número positivo, ou seja, r > 0.

Decrescente: quando a razão é um número negativo, ou seja, r < 0.

4.1.1 Termo Geral

A principal convenção a respeito de progressões aritméticas é que o primeiro

termo é chamado de a1. Os demais são sucessivamente chamados a2, a3, ...

Vejamos um exemplo:

3 5 7 9 11 13 15

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7

Essa progressão aritmética tem como características:




Primeiro Termo: 𝑎1 = 3

Razão: r = 2

Podemos representá-la como mostrado na Figura 1.

Figura 1: Representação de uma Progressão Aritmética

Observe que, do termo a1 para o a2, houve apenas a soma de uma razão. Entre

os termos a1 e a3 , foram duas razões. E, assim, por diante. Por isso, podemos

esquematizar a seguinte expressão para o termo geral de uma progressão

aritmética.

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

4.1.2 Soma dos Termos

Quando o célebre matemático Gauss era criança, sua turma foi punida pelo

professor de Matemática. Ele ordenou que todos fizessem a soma de todos os

números inteiros de 1 a 100.

Gauss surpreendeu a todos e entregou a conta em menos de 1 minuto. E aí,

será que nós conseguiremos repetir o feito de Gauss?

Para isso, precisamos notar uma propriedade interessante das progressões

aritméticas. Vejamos a mesma progressão da Figura 1. Percebam que ela possui

um número ímpar de termos.

Figura 2: A média aritmética dos termos equidistantes dos extremos é sempre igual

Nesse caso, note que a média aritmética dos termos equidistantes dos extremos

é sempre igual.




3 + 15

2=

18

2= 9

5 + 13

2=

18

2= 9

7 + 11

2=

18

2= 9

Como a progressão aritmética mostrada tem número de termos ímpar, a média

aritmética é igual ao termo central, que é 9.

Portanto, a melhor forma de somar os termos de uma PA é utilizando esse fato.

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛) + (𝑎2 + 𝑎𝑛−1) + ⋯

Acabamos de ver que as somas equidistantes dos extremos são iguais, ou seja:

𝑎2 + 𝑎𝑛−1 = 𝑎1 + 𝑎𝑛

𝑎3 + 𝑎𝑛−2 = 𝑎1 + 𝑎𝑛

𝑎4 + 𝑎𝑛−3 = 𝑎1 + 𝑎𝑛

Por isso, podemos escrever todos esses produtos agrupados. Se a PA tem n

termos, serão n/2 grupos de dois termos.

𝑆𝑛 =(𝑎1 + 𝑎𝑛)

2𝑛

Guarde essa expressão, porque ela resolve muito bem

Vamos treinar essa expressão?

(FCC – ARTESP – Agente de Fiscalização à Regulação de

Transporte) Em um experimento, uma planta recebe a cada dia 5 gotas a mais de água do que havia recebido no dia anterior. Se no 65° dia ela recebeu

374 gotas de água, no 1° dia do experimento ela recebeu: a) 64 gotas.

b) 49 gotas. c) 59 gotas.

d) 44 gotas. e) 54 gotas.




Comentários: Uma progressão aritmética é caracterizada pelo primeiro termo

e pela razão. Já sabemos que a razão é r = 5. Portanto, o 65º termo é dado

por:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 ∴ 𝑎65 = 𝑎1 + (65 − 1). 5

374 = 𝑎1 + 64.5 = 𝑎1 + 320 ∴ 𝑎1 = 374 − 320 = 54

Questão 46: E

(FEPESE – PC/SC – 2017 – Escrivão) Uma empresa possui duas

fábricas para produzir o mesmo item. Em novembro de 2017 a fábrica A produz 500 unidades e a fábrica B produz 1100 unidades. A empresa então decide

incrementar mensalmente a produção da fábrica A em 65 unidades e a da

fábrica B em 25 unidades. Desta forma, em dezembro de 2017 a fábrica A produzirá 565 unidades e a fábrica B produzirá 1125 unidades.

Qual o primeiro mês (e ano) que a produção mensal na fábrica A superará a

produção mensal na fábrica B? a) Janeiro de 2019

b) Fevereiro de 2019 c) Março de 2019

d) Abril de 2019 e) Dezembro de 2018

Comentários: Nesse caso, temos a comparação de duas progressões

aritméticas. A produção da fábrica A tem termo inicial igual a 500 e razão igual

a 65 unidades. Podemos escrever:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 = 500 + (𝑛 − 1). 65

No caso da fábrica B, a produção inicial é de 1100 unidades e ela cresce a uma

razão de 25 unidades por mês. Portanto, temos:

𝑏𝑛 = 𝑏1 + (𝑛 − 1)𝑟 = 1100 + (𝑛 − 1). 25

Queremos encontrar o momento em que a produção de A supera a produção

de B. Basta utilizar as equações fornecidas.

𝑎𝑛 > 𝑏𝑛

500 + 65(𝑛 − 1) > 1100 + 25(𝑛 − 1)

∴ 65(𝑛 − 1) − 25(𝑛 − 1) > 1100 − 500

40(𝑛 − 1) > 600 ∴ 𝑛 − 1 >600

40> 15 ∴ 𝑛 = 15 + 1 > 16 ∴ 𝑛 = 17




Portanto, somente no 17º mês, a fábrica A supera a fábrica B. Tomem cuidado,

porque o enunciado não falou que as produções se igualavam, mas que a

fábrica A superava, ou seja, se tornava maior que a da fábrica B.

O mês 1 é Novembro de 2017. Como 1 ano tem 12 meses, o mês 13 será

Novembro de 2018. Agora, só precisamos contar.

14: Dezembro de 2018

15: Janeiro de 2019

16: Fevereiro de 2019

17: Março de 2019

Questão 47: C

(CESPE – Câmara dos Deputados – 2014 – Técnico Legislativo) Em determinado colégio, todos os 215 alunos estiveram presentes no primeiro

dia de aula; no segundo dia letivo, 2 alunos faltaram; no terceiro dia, 4 alunos

faltaram; no quarto dia, 6 alunos faltaram, e assim sucessivamente.

Com base nessas informações, julgue os próximos itens, sabendo que o número de alunos presentes às aulas não pode ser negativo.

No vigésimo quinto dia de aula, faltaram 50 alunos.

Comentários: Observe que o número de alunos faltantes segue uma

progressão aritmética com o termo inicial igual a 0 e razão também igual a 2.

Portanto, o termo geral é dado por:

𝑎25 = 𝑎1 + (25 − 1). 2 = 0 + 24.2 = 0 + 48 = 48

Questão 48: Errado

(FAURGS – TJ/RS – 2017 – Técnico Judiciário) Para que a sequência (4x-1, x²-1, x-4) forme uma progressão aritmética, x pode assumir, dentre as

possibilidades abaixo, o valor de: a) -0,5

b) 1,5 c) 2

d) 4 e) 6

Comentários: Para que uma sequência seja uma progressão aritmética, os

termos equidistantes dos extremos devem ter a mesma soma. Ou seja:




4𝑥 − 1 + 𝑥 − 4 = 2(𝑥2 − 1)

5𝑥 − 5 = 2𝑥2 − 2 ∴ 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0

Outra maneira de chegar a essa equação é considerar que a razão deve ser

constante, ou seja:

(𝑥2 − 1) − (4𝑥 − 1) = (𝑥 − 4) − (𝑥2 − 1)

𝑥2 − 1 − 4𝑥 + 1 = 𝑥 − 4 − 𝑥2 + 1

𝑥2 + 𝑥2 − 4𝑥 − 𝑥 = −3 ∴ 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0

Na Matemática, todos os caminhos levam à resposta correta. Agora, só

precisamos resolver a Equação do Segundo Grau por meio da Fórmula de

Bhaskara.

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

5 ± √52 − 4.2.3

2.2=

5 ± √25 − 24

4=

5 ± 1

4

Temos, portanto, duas possibilidades para o valor de x:

𝑥1 =5 + 1

4=

6

4=

3

2= 1,5

𝑥2 =5 − 1

4=

4

4= 1

Questão 49: B

4.1.3 Progressões Aritméticas Intercaladas

É muito comum em provas aparecem questões envolvendo duas ou mais PA

intercaladas, como mostrado a seguir.

3 8 7 7 11 6 15 5

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8

Perceba que, na verdade, tem-se duas sequências intercaladas. Em negrito,

temos uma PA que corresponde aos termos pares da sequência total. Essa PA

tem termo inicial 3 e razão 4. A sequência clara é outra PA, cujo termo inicial é

8 e a razão é -1.

3 8 7 7 11 6 15 5




𝒂𝟏 𝑎2 𝒂𝟑 𝑎4 𝒂𝟓 𝑎6 𝒂𝟕 𝑎8

É muito comum as questões de prova perguntarem qual é o 16º termo dessa

sequência.

Apresentaremos duas formas de você fazer. A primeira delas é bem possível de

ser feita quando a questão não pede um termo muito avançado, por exemplo, o

milésimo termo.

Basta completar a sequência.

3 8 7 7 11 6 15 5 19 4 23 3 27 2 31 1

𝒂𝟏 𝑎2 𝒂𝟑 𝑎4 𝒂𝟓 𝑎6 𝒂𝟕 𝑎8 𝒂𝟗 𝑎10 𝒂𝟏𝟏 𝑎12 𝒂𝟏𝟑 𝑎14 𝒂𝟏𝟓 𝑎16

Dessa maneira, encontramos que 𝑎16 = 1.

É possível otimizar esse método. Como a questão pediu o 16º termo, basta

pegarmos a sequência dos termos pares.

8 7 6 5 4 3 2 1

𝑎2 𝑎4 𝑎6 𝑎8 𝑎10 𝑎12 𝑎14 𝒂𝟏𝟔

Novamente, chegamos à conclusão de que o termo 𝑎16 = 1.

Agora, vejamos uma forma diferente de fazer. Essa forma é mais difícil, porém,

é bem mais geral e vai te ajudar em questões mais complexas.

Queremos saber o termo a16. Para você entender melhor, vamos calcular

também o a15.

Passo 1: determinar os restos das divisões referentes às posições

procuradas.

Como são 2 sequências intercaladas, devemos calcular os restos das divisões

por 2. Então:

15 dividido por 2 é igual a 7 e deixa resto 1.

16 dividido por 2 é igual a 8 e deixa resto 0.

Passo 2: use o resto para identificar a sequência a qual PA pertence cada

termo.

O termo 15 tem resto 1. Portanto, pertence à sequência que começa com o

termo a1. Isso acontece porque o resto da divisão de 1 por 2 também é igual a

1.




Vejamos a sequência: a1, a3, a5, a7,…, a15. Perceba que todos as posições 1, 3,

5, 7,…, 15 deixam resto 1 na divisão por 2. Por isso, eles pertencem à mesma

PA.

O termo 16 tem resto 0. Portanto, pertence à sequência que começa com o

termo a2. Isso acontece porque o resto da divisão de 2 por 2 também é igual a

0.

Vejamos a sequência: a2, a4, a6, a7,…, a16. Perceba que todos as posições 2, 4,

6, 8,…, 16 deixam resto 0 na divisão por 2. Por isso, eles pertencem à mesma

PA.

Passo 3: use a fórmula do termo geral a PA em cada uma das PA

Aqui, devemos ter um cuidado.

Já vimos que o termo 15 pertence à sequência do termo 1. Portanto, usaremos

o seguinte:

𝑎15 = 𝑎1 + ( )𝑟

Deixamos os parênteses vazios de propósito. Nós o preencheremos da seguinte

forma. Pegamos o quociente da divisão de 15 por 2, que é 7, e subtraímos o

quociente da divisão de 1 por 2, que é 7.

𝑎15 = 𝑎1 + (7 − 0)𝑟 = 3 + 7.4 = 3 + 28 = 31

Perfeito. Exatamente igual ao que já tínhamos encontrado.

Agora, façamos o mesmo para o 16. Já vimos que ele pertence à sequência do

termo inicial 2.

𝑎15 = 𝑎2 + ( )𝑟

16 dividido por 2 é igual a 8 e deixa resto 0. O quociente da divisão é 8.

2 (porque a PA começa no termo a2) dividido por 2 é igual a 1 e deixa resto 1.

Nos parênteses, colocaremos a diferença entre os quocientes.

𝑎16 = 𝑎2 + (8 − 1)𝑟 = 8 + 7. (−1) = 8 − 7 = 1

Exatamente como tínhamos encontrado.

Você pode ter achado esse método complicado. Porém, caso você o domine,

você resolverá questões de prova em segundos.

No entanto, é normal que você não precise dele. As bancas costumam pedir

termos menores, de modo que sair completando a sequência não se torna

trabalhoso demais.




(VUNESP – TCE/SP – 2017 – Agente da Fiscalização) Considere

a sequência (10, 15, 13, 18, 16, 21, 19, 24, 22, 27, . . .). A soma do 16o, 17o e 18o termo dessa sequência é igual a:

a) 107. b) 109.

c) 104.

d) 105. e) 110.

Comentários: Nessa sequência, tem-se duas progressões aritméticas

intercaladas. Vejamos os termos ímpares:

𝑎1 = 10, 𝑎3 = 13, 𝑎5 = 16, 𝑎7 = 19

Trata-se de uma PA com termo inicial igual a 10 e razão igual a 3. Assim,

podemos calcular o 17º termo da sequência completa. Note que o 17 dividido

por 2 é igual a 8 e deixa resto 1. Já 1 dividido por 2 é igual a 0 e deixa resto

1. Dessa forma, tem-se:

𝑎17 = 𝑎1 + (8 − 0). 3 = 10 + 8.3 = 10 + 24 = 34

Por outro lado, os termos pares formam uma PA com termo inicial igual a 15

e razão também igual a 3.

𝑎2 = 15, 𝑎4 = 18, 𝑎6 = 21, 𝑎8 = 24

Portanto, podemos calcular o 16º termo. Note que 16 dividido por 2 é igual a

8 e deixa resto 0. Já 2 dividido por 2 é igual a 1 e deixa resto 0. Portanto,

temos:

𝑎16 = 𝑎2 + (8 − 1). 3 = 15 + 7.3 = 15 + 21 = 36

𝑎18 = 𝑎16 + 3 = 36 + 3 = 39

Portanto, a soma solicitada é igual a:

𝑎16 + 𝑎17 + 𝑎18 = 34 + 36 + 39 = 109

Questão 50: B

(VUNESP – TCE/SP – 2017 – Agente da Fiscalização - Administração) Considere a sequência de números naturais 0, 5, 100, 10,

15, 90, 20, 25, 80, 30, …, 10. A diferença entre os números que ocupam as

26a e 22a posições é um número que ocupa, nessa sequência, a posição: a) 8ª

b) 9ª




c) 7ª

d) 6ª e) 5ª

Comentários: Nessa sequência, tem-se três progressões aritméticas

intercaladas. Vejamos os termos ímpares:

0 5 100 10 15 90 20 25 80 30 … 10

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8 𝑎9 𝑎10 …

Como queremos os termos nas posições 22ª e 26ª, precisamos calcular os

restos das divisões de 22 e 26 por 3 que são, respectivamente: 1 e 2. Dessa

maneira, o termo a22 está associado à sequência que contém o termo a1, e o

termo a26 está relacionado à PA que contém o termo a2.

Agora, podemos obter os quocientes. 22 dividido por 3 tem quociente 7 e deixa

resto 1. 1 dividido por 3 tem quociente 0 e deixa resto 1. Portanto:

𝑎22 = 𝑎1 + (7 − 0). 10 = 0 + 7.10 = 70

26 dividido por 3 tem quociente 8 e deixa resto 2. 2 dividido por 3 tem

quociente 0 e deixa resto 2. Portanto:

𝑎26 = 𝑎2 + (8 − 0). (10) = 5 + 8.10 = 5 + 80 = 85

Portanto, a diferença entre esses termos é:

𝑎26 − 𝑎22 = 85 − 70 = 15

Questão 51: E

Progressão Geométrica

A Progressão Geométrica é um conceito muito parecido com a Aritmética,

porém, ela cresce pela multiplicação de um termo constante, denominado razão.

Vejamos exemplos:

2, 2, 2, 2, 2. É uma PG com termo inicial 2 e razão q = 1.

2, 4, 8, 16, 32 é uma PG com termo inicial 2 e razão q = 2.

27, 9, 3, 1, 1/3 é uma PG com termo inicial 27 e razão q = 1/3;

Da mesma maneira que vimos para o caso de PA, normalmente precisamos

calcular o termo geral e a soma dos termos.




4.2.1 Termo Geral

Considere uma PG de exemplo.

2 4 8 16 32 64 128

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7

Utilizaremos a mesma técnica que fizemos no caso da PA.

Observe que o termo 3 pode ser obtido pelo termo 1 multiplicando pela razão 2

vezes, ou seja, por q².

O termo 6 pode ser obtido multiplicando pelo termo 1 multiplicando pela razão

5 vezes, ou seja, por q5.

Sendo assim, de maneira geral, pode-se escrever:

𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1

4.2.2 Soma dos Termos

Considere a soma dos termos de uma PG.

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛

Já vimos a expressão do termo geral.

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1𝑞 + 𝑎1𝑞2 + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛−1

Agora, podemos fazer um jogo com essa soma multiplicando pela razão q.

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1𝑞 𝑎1𝑞2 + + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛−1

𝑆𝑛𝑞 = 𝑎1𝑞 + 𝑎1𝑞2 𝑎1𝑞3 + + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛

Agora, podemos organizar um pouco melhor.

𝑆𝑛𝑞 = 𝑎1𝑞 + 𝑎1𝑞2 + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛−1 + 𝑎1𝑞𝑛

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1𝑞 𝑎1𝑞2 + + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛−1




Agora, basta subtrair uma equação da outra. Note que muitos termos serão

cortados.

𝑆𝑛𝑞 = 𝑎1𝑞 + 𝑎1𝑞2 + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛−1 + 𝑎1𝑞𝑛

− 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1𝑞 𝑎1𝑞2 + + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛−1

𝑆𝑛(𝑞 − 1) = −𝑎1 +𝑎1𝑞𝑛

Agora, podemos extrair a expressão para a soma dos termos de uma PG.

𝑆𝑛(𝑞 − 1) = 𝑎1𝑞𝑛 − 𝑎1 = 𝑎1(𝑞𝑛 − 1)

∴ 𝑆𝑛 = 𝑎1

𝑞𝑛 − 1

𝑞 − 1

4.2.3 Soma dos Termos de uma PG Infinita

Suponha que você anda 100 metros. Depois, você anda 50 metros. Depois, você

anda 25 metros, depois 12,5 metros – sempre metade do que você andou

anteriormente. Quanto você andará ao final?

Observe que o que temos é exatamente uma progressão geométrica infinita.

Porém, essa PG é decrescente.

Já vimos que a soma dos termos de uma PG é dado por:

𝑆𝑛 = 𝑎1

𝑞𝑛 − 1

𝑞 − 1

Porém, no caso de uma PG infinita com razão 0 < q < 1, teremos que 𝑞𝑛 → 0.

Com 𝑞𝑛 → 0 queremos dizer que, quanto maior for o expoente, mais próximo de

zero será esse termo. Você pode constatar isso pegando uma calculadora.

Escreva 0,5 e multiplique por 0,5 várias vezes. Você venderá que, após algumas

iterações, o produto calculado estará próximo de zero.

Portanto, substituindo, teremos:

𝑆∞ = 𝑎1

0 − 1

𝑞 − 1= 𝑎1

−1

𝑞 − 1=

𝑎1

1 − 𝑞

𝑆∞ =𝑎1

1 − 𝑞




E aqui terminamos nossa aula 00. Espero que tenha sido muito proveitosa para

você.

(FADESP – COSANPA – 2017 – Técnico Industrial – Saneamento) O Lago Bolonha é o principal reservatório de abastecimento de água da Região

Metropolitana de Belém, e o controle da quantidade de algas e bactérias que nele habitam é importante. Sabe-se que, em condições favoráveis, o número

de bactérias em uma colônia cresce segundo uma progressão geométrica. Se uma certa colônia, inicialmente com cerca de 1.000 bactérias, quadruplica seu

número de bactérias a cada 24 horas, o número de bactérias ultrapassará

1.000.000 no decorrer do: a) terceiro dia.

b) quarto dia. c) quinto dia.

d) décimo dia.

Comentários: O número de bactérias segue uma progressão geométrica. Seja

an a população de bactérias no começo do dia, isso será uma PG, cujo primeiro

termo é igual a 1.000 e a razão é q = 4. Portanto, temos:

𝑎𝑛 = 𝑎1(𝑞𝑛 − 1) > 1000000

Queremos que o número de bactérias ultrapasse 1000000, por isso,

escrevemos o sinal de maior.

1000. (4𝑛 − 1) > 1000000 ∴ 4𝑛 − 1 >1000000

1000= 1000

4𝑛 > 1000 + 1 = 1001 ∴ 𝑛 > 5 ∴ 𝑛 = 6

Agora, devemos ter cuidado com a nossa resposta. Como dissemos, o an

corresponde à população de bactérias no início do dia. Portanto, no sexto dia,

a colônia iniciará com mais de 1000000 de bactérias.

No quinto dia, a colônia iniciará com menos de 1000000 de bactérias, mas

ultrapassará esse valor. É exatamente o que foi pedido pelo enunciado.

Questão 52: C

(IBFC – MGS – 2017) Considerando a solução do sistema linear

2𝑥 + 𝑦 = 7

𝑥 + 2𝑦 = 8




E sabendo que o valor de x e o valor de y são, respectivamente, o primeiro

termo e a razão de uma progressão geométrica, então o quinto termo dessa PG é:

a) 54 b) 486

c) 24 d) 162

Comentários: Podemos resolver um sistema linear de duas equações e duas

incógnitas tanto pelo método da adição como pelo método da substituição.

No entanto, esse em particular, pode ser resolvido ainda mais facilmente

somando as duas equações:

2𝑥 + 𝑦 = 7

+ 𝑥 + 2𝑦 = 8

3𝑥 + 3𝑦 = 7 + 8 = 15

3𝑥 + 3𝑦 = 15 ∴ 𝑥 + 𝑦 =15

3= 5

Agora, podemos substituir a soma encontrada nas equações fornecidas:

2𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑦 = 7 ∴ 𝑥 + 5 = 7 ∴ 𝑥 = 2

𝑥 + 𝑦 = 5 ∴ 2 + 𝑦 = 5 ∴ 𝑦 = 5 − 2 = 3

Portanto, já sabemos o primeiro termo e a razão da PG:

𝑎1 = 𝑥 = 2

𝑞 = 𝑦 = 3

Portanto, o quinto termo da PG é dado pela fórmula do termo geral:

𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1 = 2.35−1 = 2.34 = 2.81 = 162

Questão 53: C

(CESGRANRIO – Petrobrás – 2017 – Técnico de Enfermagem) A

soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por 𝑆𝑛 =3𝑛+4−81

2.3𝑛. Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica?

a) 1

b) 3 c) 27

d) 39 e) 40




Comentários: Existem dois jeitos interessantes de fazer essa questão.

O primeiro consiste em notar que a soma dos quatro primeiros termos é igual

a:

𝑆4 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = (𝑆3) + 𝑎4

∴ 𝑎4 = 𝑆4 − 𝑆3

Agora, basta calcular cada uma das somas.

𝑆4 =34+4 − 81

2.34=

34. 34 − 81

2.81=

34 − 1

2=

81 − 1

2=

80

2= 40

𝑆3 =33+4 − 81

2.33=

33. 34 − 81

2.27=

34 − 3

2=

81 − 3

2=

78

2= 39

𝑎4 = 𝑆4 − 𝑆3 = 40 − 39 = 1

Outra maneira de resolver o mesmo problema é comparando a expressão

fornecida com a soma dos termos de uma PG:

𝑆𝑛 =3𝑛+4 − 81

2.3𝑛= 𝑎1

𝑞𝑛 − 1

𝑞 − 1

Embaixo não podemos ter nenhuma potência de n, portanto, façamos a divisão

por 3n.

𝑆𝑛 =3𝑛+4−𝑛 − 81.3−𝑛

2=

34 − 81.3−𝑛

3 − 1=

34(1 − 3−𝑛)

3 − 1

Agora, usando as propriedades da potência, temos que:

3−𝑛 = (1

3)

𝑛

∴ 𝑆𝑛 = 81[1 − (

13)

𝑛

]

3 − 1= 81

[(13)

𝑛

− 1]

1 − 3=

81

3

[(13)

𝑛

− 1]

13

− 1 = 27

[(13)

𝑛

− 1]

13

− 1

Portanto, temos uma PG com as seguintes características:

𝑎1 = 27, 𝑞 =1

3

Agora, basta utilizar a expressão geral para calcular o quarto termo.

𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1 ∴ 𝑎4 = 27. (1

3)

4−1

= 27. (1

3)

3

=27

27= 1




Questão 54: A

(CESPE – BRB – 2011 – Escriturário) Considerando que, em uma

progressão aritmética de termos ..., ..., a razão seja positiva, =

2 e os termos estejam, nessa ordem, em progressão geométrica,

julgue os itens a seguir.

Para cada n ímpar, an sempre será um número par.

Comentários: Para a progressão aritmética, podemos escrever:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

∴ 𝑎3 = 2 + (3 − 1)𝑟 = 2 + 2𝑟

∴ 𝑎11 = 2 + (11 − 1)𝑟 = 2 + 10𝑟

Agora, queremos que a1, a3 e a11 estejam em progressão geométrica. Para

isso, devemos ter uma razão q, de modo que:

𝑎3 = 𝑎1𝑞 ∴ 𝑞 =𝑎3

𝑎1

𝑎11 = 𝑎3𝑞 ∴ 𝑞 =𝑎11

𝑎3

Chegamos a uma igualdade envolvendo a razão da PG. Agora, podemos

resolver o problema:

𝑞 =𝑎11

𝑎3=

𝑎3

𝑎1

2 + 10𝑟

2 + 2𝑟=

2 + 2𝑟

2

Usando as propriedades de razão e proporção, podemos subtrair o

denominador do numerador

2 + 10𝑟 − 2 − 2𝑟

2 + 2𝑟=

2 + 2𝑟 − 2

2

8𝑟

2 + 2𝑟=

2𝑟

2= 𝑟

8𝑟

2 + 2𝑟= 𝑟

Como a razão é positiva, temos que ela não pode ser zero. Por isso, podemos

cortar o r de ambos os lados.




∴8

2 + 2𝑟= 1 ∴ 8 = 2 + 2𝑟 ∴ 2𝑟 = 8 − 2 = 6 ∴ 𝑟 =

6

2= 3

Agora, podemos calcular os termos da PA:

𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)3 = 2 + 3(𝑛 − 1)

Para n ímpar, o número n-1 será par, portanto, 3(n-1) também será par. O

termo ímpar será a soma de 2 com outro número par, logo, todos os termos

a1, a3, a5 etc. são pares.

Questão 55: Certo

A razão dessa progressão aritmética será um número racional, não

inteiro.

Comentários: Como vimos, a razão da progressão aritmética é igual a 3.

Portanto, é um número inteiro.

Questão 56: Errado

A média aritmética de 3 termos quaisquer dessa progressão aritmética será sempre um número inteiro.

Comentários: Questão interessante. Tomemos três termos quaisquer da PA

citadas.

𝑎𝑛1, 𝑎𝑛2

, 𝑎𝑛3

Temos que:

𝑎𝑛1= 2 + (𝑛1 − 1)3 = 2 + 3(𝑛1 − 1)

𝑎𝑛2= 2 + (𝑛2 − 1)3 = 2 + 3(𝑛2 − 1)

𝑎𝑛3= 2 + (𝑛3 − 1)3 = 2 + 3(𝑛3 − 1)

Agora, a média aritmética entre esses três termos é:

�̅� =𝑎𝑛1

+ 𝑎𝑛2+ 𝑎𝑛3

3=

2 + 3(𝑛1 − 1) + 2 + 3(𝑛2 − 1) + 2 + 3(𝑛3 − 1)

3

=6 + 3(𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 − 3)

3= 2 + 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 − 3 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 − 1

Que interessante. Como n1, n2 e n3 são números inteiros, temos que, de fato,

temos que, quaisquer que sejam os três termos escolhidos, a média aritmética

entre eles será um número inteiro.

Você pode, ainda, testar com os primeiros termos da sequência.




2 5 8 11 14 17 20

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7

Questão 57: Certo

(FCC – Funape – 2017 – Analista em Gestão Previdenciária)

Na sequência (100.000; 90.000; 81.000; 72.900; ...), o segundo termo não

inteiro é o que está na posição: a) 6

b) 5 c) 7

d) 8 e) 9

Comentários: Observe que a sequência mostrada é uma progressão

geométrica.

𝑎2 = 𝑎1.9

10= 10000.

9

10= 90000

𝑎3 = 𝑎2.9

10= 90000.

9

10= 81000

𝑎4 = 𝑎3.9

10= 81000.

9

10= 72900

Tem-se que o primeiro termo é 100.000 e a razão da PG é q = 1/9. Portanto,

o termo geral será dado por:

𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1 = 100000. (9

10)

𝑛−1

= 105.9𝑛−1

10𝑛−1

Para termos um termo não inteiro, precisamos que:

5 < 𝑛 − 1 ∴ 𝑛 > 5 + 1 = 6 ∴ 𝑛 = {7,8,9 … }

Portanto, os termos não-inteiros serão o a7, a8, por aí em diante. Dessa forma,

o segundo termo não-inteiro será o oitavo.

Questão 58: D

(CESPE – Banco da Amazônia – 2012 – Técnico Científico) Em média, chegam cinco clientes por minuto no setor de caixas de uma agência

bancária. Supondo que a distribuição das chegadas dos clientes não dependa da hora do dia e que os clientes cheguem de modo independente uns dos

outros, a probabilidade de chegar exatamente k clientes em determinado

minuto é expressa por: 𝑝(𝑘) =5𝑘

𝑘!𝑒−5 em que k = 0, 1, 2, 3, … e e é a base dos

logaritmos neperianos.




Considerando 0,007 como valor aproximado para e-5, julgue os próximos

itens, relativos à movimentação de clientes acima descrita.

A sequência p(0), p(1), p(2), p(3), . . . é uma progressão geométrica de razão menor que 1.

Obs.: A expressão k! corresponde ao produto de todos os números inteiros até k. Ou seja:

0! = 1 1! = 1

2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6

Comentários: Uma questão bem interessante. Caso você estude Estatística

em algum momento, verá que o processo se trata de uma Distribuição de

Poisson.

No entanto, não é preciso saber de nada disso para descobrir se a sequência

é ou não uma PG.

Basta calcular os primeiros termos.

𝑝(0) =50

0!𝑒−5 =

1

10,007 = 0,007

𝑝(1) =51

1!𝑒−5 =

5

10,007 = 0,035

𝑝(2) =52

2!𝑒−5 =

25

20,007 = 0,0875

Perceba, portanto, que não se trata de uma PG. A razão entre os dois primeiros

termos é:

𝑝(1)

𝑝(0)=

0,035

0,007= 5

A razão entre o segundo e o terceiro termos é:

𝑝(2)

𝑝(1)=

0,0875

0,035=

875

350

Uma dica que podemos dar é que sempre que o denominador de uma fração

termina em 5, podemos multiplicar por 2. Quando ela termina em 25, podemos

multiplicar por 4. Isso facilitará as contas.

𝑝(2)

𝑝(1)=

875.2

350.2=

1750

700=

175

70=

25

10= 2,5




Agora, perceba que as razões encontradas foram diferentes. E isso mostra que

a sequência citada não é uma progressão geométrica.

Questão 59: Certo

Sequências de Termo Geral Misto

É muito comum em provas de Raciocínio Lógico pedir que o próximo termo uma

sequência que é formada como uma mistura de uma PA com uma PG.

Existem basicamente três formas que as bancas utilizam para criar suas

sequências mistas.

Sequências Intercaladas: já vimos na Seção 4.1.3 como essa situação

pode acontecer com duas progressões aritméticas. Nada impede, porém,

que a banca intercale uma PA com uma PG.

8 8 6 4 4 2 2 1

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8

Esse é um exemplo. Observe que os termos ímpares correspondem a uma PA

de termo inicial igual a 8 e razão -2. Já os termos pares correspondem a uma

PG de termo inicial igual a 8 e razão 1/2.

Ficará mais fácil de enxergar quando colocamos os termos pares em negrito.

8 8 6 4 4 2 2 1

𝑎1 𝒂𝟐 𝑎3 𝒂𝟒 𝑎5 𝒂𝟔 𝑎7 𝒂𝟖

Soma de uma PA com uma PG: essa é a situação mais comum.

0 1 3 7 15 31 63 127

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8

Uma dica que posso dar é que sempre que vemos os termos crescendo

rapidamente, devemos desconfiar da existência de uma PG.

Agora, podemos resolver facilmente essa sequência, notando que se trata de

uma PG de razão 2 em que cada termo foi subtraído de 1.

1-1 2-1 4-1 8-1 16-1 32-1 64-1 128-1




𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8

Assim podemos estabelecer os próximos termos facilmente.

1-1 2-1 4-1 8-1 16-1 32-1 64-1 128-1 256-1 512-1

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8 𝑎9 𝑎10

Chegamos que:

𝑎9 = 256 − 1 = 255

𝑎10 = 512 − 1 = 511

Razão Mista: é comum termos uma “PG” cuja razão cresce conforme uma

PA. Ou até mesmo uma “PA” cuja razão também vai crescendo como uma

PA. Vejamos exemplos dos dois casos.

Dica: sempre que temos números fracionários alternados com números inteiros,

é provável que estejamos tratando dessa situação.

1 3/2 5/2 4 6

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5

Essa sequência pode parecer estranha à primeira vista. Porém, facilita muito se

colocarmos todos os termos no mesmo denominador.

2/2 3/2 5/2 8/2 12/2

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5

Agora, note que:

𝑎2 = 𝑎1 +1

2= 1 +

1

2=

3

2

𝑎3 = 𝑎2 +2

2=

3

2+

2

2=

5

2

𝑎4 = 𝑎3 +3

2=

5

2+

3

2=

8

2= 4

𝑎5 = 𝑎4 +4

2= 4 +

4

2= 4 + 2 = 6

Agora, podemos resolver tranquilamente e identificar os próximos termos da

sequência.




𝑎6 = 𝑎5 +5

2= 6 +

5

2=

10

2+

5

2=

15

2

𝑎7 = 𝑎6 +6

2=

15

2+ 3 =

15 + 6

2=

21

2

𝑎8 = 𝑎7 +7

2=

21

2+

7

2=

28

2= 14

Agora, podemos completar a tabela:

1 3/2 5/2 4 6 15/2 21/2 14

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8

Vamos a algumas questões de prova sobre esse assunto?

(CONSULPLAN – TRE/RJ – 2017 – Técnico Judiciário – Operação de Computadores) Os termos de uma determinada sequência foram

sucessivamente obtidos seguindo um determinado padrão: (5, 9, 17, 33, 65, 129...)

O décimo segundo termo da sequência anterior é um número:

a) menor que 8.000. b) maior que 10.000.

c) compreendido entre 8.100 e 9.000. d) compreendido entre 9.000 e 10.000.

Comentários: Sempre que os termos de uma sequência crescem rápido

demais, devemos desconfiar de que se trata de uma PG, ainda que disfarçada.

Podemos, então, perceber que a sequência é a soma de uma PG com uma PA.

4+1 8+1 16+1 32+1 64+1 128+1

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6

Podemos, portanto, escrever nossa sequência como:

𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 + 1

O termo bn corresponde a uma PG de termo inicial 4 e razão 2. Portanto, o

décimo segundo termo será:

𝑏12 = 𝑏1. 𝑞12−1 = 4.211 = 4.2048 = 8192




Questão 60: C

(VUNESP – Câmara Municipal de Itatiba / SP – 2015 – Técnico em Informática) Na sequência 2, 8/3, 4, 6, 26/3,..., há uma regularidade.

Mantida essa regularidade, o próximo elemento da sequência será:

a) 28/3 b) 10

c) 34/3 d) 12

e) 38/3

Comentários: Sempre que temos uma mistura entre números fracionários e

inteiros, devemos desconfiar que temos uma “PA” com uma razão crescente.

Podemos, ainda, re-escrever a sequência da seguinte maneira:

2 8/3 4 6 26/3

6/3 8/3 12/3 18/3 26/3

Perceba que a razão da PA vai crescendo de 2/3 em 2/3.

𝑎1 = 2

𝑎2 = 𝑎1 +2

3= 2 +

2

3=

8

3

𝑎3 = 𝑎2 +4

3=

8

3+

4

3=

12

3= 4

𝑎4 = 𝑎3 +6

3=

12

3+

6

3=

18

3= 6

𝑎5 = 𝑎4 +8

3=

18

3+

8

3=

26

3

𝑎6 = 𝑎5 +10

3=

26

3+

10

3=

36

3= 12

Questão 61: D

(VUNESP – MPE/SP – 2016 – Analista Técnico-Científico) Na

sequência (4; 4; 6; 12; 30; 90; . . .), a partir do 2° termo, cada termo é obtido por meio de uma operação, ou operações, aplicada(s) ao termo imediatamente

anterior. O 7° termo somado ao 10° termo, ambos dessa sequência, resultam em:

a) 5445 b) 7020




c) 27035

d) 28665 e) 29610

Comentários: Quando os termos de uma sequência crescem muito rápido,

devemos desconfiar que se trata de uma PG, ainda que disfarçada.

No caso, note que:

𝑎1 = 4

𝑎2 = 𝑎1.2

2= 4.1 = 4

𝑎3 = 𝑎2.3

2= 4.

3

2= −31

𝑎4 = 𝑎3.4

2= 6.

4

2= 12

𝑎5 = 𝑎4.5

2= 12.

5

2= 30

𝑎6 = 𝑎5.6

2= 30.

6

2= 90

Agora, basta continuar a sequência.

𝑎7 = 𝑎6.7

2= 90.

7

2= 315

𝑎8 = 𝑎7.8

2= 315.

8

2= 1260

𝑎9 = 𝑎8.9

2= 1260.

9

2= 5670

𝑎10 = 𝑎9.10

2= 1260.

10

2= 28350

Portanto, a soma pedida no enunciado é igual a:

𝑎7 + 𝑎10 = 315 + 28350 = 28665

Questão 62: D

Chegamos ao final da nossa aula demonstrativa.




Não se esquece de me seguir no Instagram:

www.instagram.com/thiagofernando.pe

Espero ver você na nossa próxima aula 01 já como aluno efetivo.

Forte abraço!

Thiago Cardoso.


http://www.instagram.com/thiagofernando.pe



5 Anotações

Acompanhamento do Aluno

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COMPLEMENTO DO ALUNO




6 Lista de Questões

Enunciados

1. (FGV – IBGE – 2017 – Agente Censitário Administrativo) Na equipe

de Mário há 6 mulheres a mais do que homens. Sabendo que essa equipe tem

ao todo 60 membros, a razão do número de mulheres para o número de homens

é:

a) 6/5

b) 5/4

c) 3/5

d) 20/11

e) 11/9

2. (CESPE – INPI – 2013 – Técnico em Propriedade Industrial) Em um

processo de pedido de patentes de um novo equipamento consta um desenho

esquemático, desse mesmo equipamento, na escala 1:200. Com base nessa

informação, julgue os itens a seguir.

Se o raio do parafuso no referido desenho for 0,05 cm, então o raio do parafuso

real será 1 cm.

3. (FGV – IBGE – 2017 – Recenseador) A quantia de 900 mil reais deve

ser dividida em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6. A menor dessas

partes corresponde a:

a) 210 mil reais

b) 240 mil reais

c) 270 mil reais

d) 300 mil reais

e) 360 mil reais

4. (FGV – IBGE – 2017 – Recenseador) A quantia de 900 mil reais deve

ser dividida em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6. A menor dessas

partes corresponde a:

a) 210 mil reais

b) 240 mil reais

c) 270 mil reais




d) 300 mil reais

e) 360 mil reais

(CESPE – MEC – 2009 – Agente Administrativo) Levando em consideração

que, em um supermercado, há biscoitos recheados de chocolate em embalagens

de 130 g, 140 g e 150 g, com preços de R$ 1,58, R$ 1,68 e R$ 1,80,

respectivamente, julgue os itens a seguir.

5. Proporcionalmente, os biscoitos nas embalagens de 130 g são mais

baratos que aqueles nas embalagens de 140 g.

6. Proporcionalmente, os biscoitos nas embalagens de 140 g e 150 g saem

pelo mesmo preço.

7. (FGV – Prefeitura de Osasco/SP – 2014 – Agente de Defesa Civil)

Em uma equipe operacional com 24 membros, a razão entre o número de

mulheres e o número de homens é 3 /5. Nessa equipe, o número de homens a

mais do que o de mulheres é de:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 8

8. (VUNESP – TCE/SP – 2017 – Agente da Fiscalização -

Administração) Gabriel está no ponto A, e Felipe, no ponto B. Eles iniciam

simultaneamente uma caminhada, e pelo mesmo percurso; Gabriel no sentido

de A até B, e Felipe no sentido de B até A. Numa primeira etapa, Gabriel

percorreu 1/5 da distância entre A e B, e Felipe percorreu 1/6 dessa mesma

distância. Na segunda etapa, Gabriel percorreu o equivalente à quarta parte do

que faltava a Felipe percorrer ao final da primeira etapa, e Felipe percorreu o

equivalente à terça parte do que faltava a Gabriel percorrer ao final da primeira

etapa. Sabe-se que, após a segunda etapa, a distância que os separa é de 6,65

km. Nessas condições, é correto afirmar que a distância total que separa os

pontos A e B é, em quilômetros, igual a:

a) 40

b) 44

c) 43

d) 41

e) 42




9. (FCC – TST – 2017 – Técnico Judiciário – Segurança Judiciária) Em

uma empresa, trabalham oito funcionários, na mesma função, mas com cargas

horárias diferentes: um deles trabalha 32 horas semanais, um trabalha 24 horas

semanais, um trabalha 20 horas semanais, três trabalham 16 horas semanais

e, por fim, dois deles trabalham 12 horas semanais. No final do ano, a empresa

distribuirá um bônus total de R$ 74.000,00 entre esses oito funcionários, de

forma que a parte de cada um seja diretamente proporcional à sua carga horária

semanal.

Dessa forma, nessa equipe de funcionários, a diferença entre o maior e o menor

bônus individual será, em R$, de:

a) 10.000,00.

b) 8.000,00.

c) 20.000,00.

d) 12.000,00.

e) 6.000,00.

10. (VUNESP – UNIFESP – 2016 – Técnico de Segurança do Trabalho)

Em uma casa, a razão entre o número de copos coloridos e o número de copos

transparentes é 3/5. Após a compra de mais 2 copos coloridos, a razão entre o

número de copos coloridos e o número de copos transparentes passou a ser 2/3.

O número de copos coloridos nessa casa, após a compra, é:

a) 24

b) 23

c) 22

d) 21

e) 20

11. (FCC – SEGEP/MA – 2016 – Técnico da Receita Estadual –

Arrecadação e Fiscalização de Mercadorias em Trânsito) Caberá a cada

um dos doze funcionários de uma repartição, acompanhar um determinado

número de um total de 360 projetos. Esse número de projetos deverá ser

diretamente proporcional ao número de anos de serviço de cada funcionário.

Sabe-se que três dos doze funcionários têm 4 anos de serviço, cinco deles têm

6 anos de serviço, três deles têm 7 anos de serviço e um deles tem 9 anos de

serviço. Dessa maneira, o total de projetos que serão acompanhados pelo grupo

dos mais jovens, em serviço, superará o número de projetos que o mais velho,

em serviço, acompanhará, em um número igual a:

a) 20




b) 12

c) 45

d) 30

e) 15

12. (FCC – TRF (3ª Região) – 2016 – Analista Judiciário – Área

Administrativa) Uma herança de R$ 82.000,00 será repartida de modo

inversamente proporcional às idades, em anos completos, dos três herdeiros. As

idades dos herdeiros são: 2, 3 e x anos. Sabe-se que os números que

correspondem às idades dos herdeiros são números primos entre si (o maior

divisor comum dos três números é o número 1) e que foi R$ 42.000,00 a parte

da herança que o herdeiro com 2 anos recebeu. A partir dessas informações o

valor de x é igual a:

a) 7

b) 5

c) 11

d) 1

e) 13

13. (FCC – DPE/RS – 2017 – Analista Processual) O diretor de uma

empresa designou uma quantia que será distribuída para os três melhores

funcionários do ano. O prêmio de cada um será inversamente proporcional ao

total de pontos negativos que cada um obteve em suas respectivas avaliações.

O funcionário que mais recebeu tinha uma avaliação com apenas 12 pontos

negativos, o segundo colocado obteve 15 pontos negativos e o terceiro colocado

com 21 pontos negativos. Sabendo que a quantia total a ser distribuída é R$

24.900,00, o maior prêmio superará o menor prêmio em exatos:

a) R$2.420,00

b) R$ 3.990,00

c) R$ 7.530,00

d) R$ 6.180,00

e) R$ 4.500,00

14. (CESPE – FUB – 2011 – Assistente de Administração) Na proporção

x/5 = y/7 = z/11, sabe-se que 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 250.

Nesse caso, é correto afirmar que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 < 110.

15. (CESPE – MDIC – 2014 – Agente Administrativo) Caso toda a

produção de uma fábrica seja destinada aos públicos infantil, jovem e adulto, de




modo que as porcentagens da produção destinadas a cada um desses públicos

sejam inversamente proporcionais, respectivamente, aos números 2, 3 e 6,

então mais de 30% da produção dessa fábrica destinar-se-á ao público jovem.

16. (FTC – Inédita – 2017) Com uma área de absorção de raios solares de

1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400

watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a

energia produzida?

17. (FTC – 2017 – Inédita) Um trem, deslocando-se a uma velocidade

média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo

faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

18. (FGV-MRE-2016) Em um supermercado uma embalagem com certa

quantidade de frios fatiados estava com a etiqueta abaixo sem a informação

R$/kg.

O preço aproximado de 1,0kg desse produto é:

a) R$20,50

b) R$21,10

c) R$21,80

d) R$22,30

e) R$22,90

19. (Vunesp – MPE-SP – 2016) Para as cadeiras em um auditório, 6

funcionários, todos com a mesma capacidade de produção, trabalharam por 3

horas. Para fazer o mesmo trabalho, 20 funcionários, todos com o mesmo

rendimento dos iniciais, deveriam trabalhar um total de tempo, em minutos,

igual a:

a) 48

b) 50

c) 46

d) 54

e) 52




20. (CESPE – CPRM – 2016) Três caminhões de lixo que trabalham durante

doze horas com a mesma produtividade recolhem o lixo de determinada cidade.

Nesse caso, cinco desses caminhões, todos com a mesma produtividade,

recolherão o lixo dessa cidade trabalhando durante:

a) 6 horas

b) 7 horas e 12 minutos

c) 7 horas e 20 minutos

d) 8 horas

e) 4 horas e 48 minutos

21. (FCC – Copergás – 2016 – Técnico Operacional Mecânico) Com 15

máquinas de asfaltar ruas, a prefeitura de uma cidade pode terminar a obra que

pretende fazer em exatos 42 dias de trabalho. O prefeito pretende diminuir esse

prazo e está disposto a trazer mais máquinas, além das 15 máquinas

disponíveis, para executarem essa obra em 35 dias. O número de máquinas,

que o prefeito precisará acrescentar para conseguir o seu intento, é igual a:

a) 5

b) 9

c) 4

d) 3

e) 7

22. (FGV – Analista Legislativo – 2015) João, quando chega à sua oficina

de artesanato, leva meia hora para arrumar suas ferramentas e depois inicia

imediatamente seu trabalho. Nesse trabalho, João produz 12 peças a cada 20

minutos. Certo dia, João chegou à oficina às 8 horas da manhã e trabalhou sem

parar até sair da oficina, ao meio-dia.

O número de peças que João produziu nesse dia foi:

a) 96

b) 108

c) 120

d) 126

e) 144

23. (CESPE – ANTAQ – 2014 – Analista Administrativo) Uma

concessionária ganhou a concessão para explorar economicamente uma rodovia

federal pelo período de 20 anos. A concessionária realizará melhorias na via




como a duplicação de trechos, manutenção do asfalto, da iluminação, reforço na

sinalização.

Considerando que a concessionária esteja autorizada a cobrar pedágios, julgue

o item subsequente.

Considere que 12 empregados da concessionária, trabalhando 6 horas por dia e

no mesmo ritmo, constroem 3 km de rodovia em 9 dias. Nessa situação, 24

empregados, trabalhando 6 horas por dia e no mesmo ritmo do grupo inicial,

construirão 6 km de estrada em 6 dias.

24. (FCC – DPE/RS – 2017 – Analista – Administração) Um grupo de 8

funcionários analisou 32 propostas de reestruturação de um determinado setor

de uma empresa em 16 horas de trabalho. Para analisar 48 dessas propostas,

em 12 horas de trabalho, um outro grupo de funcionários, em igualdade de

condições do grupo anterior, deverá ser composto por um número de pessoas

igual a:

a) 18

b) 12

c) 16

d) 14

e) 20

25. (CESPE – STM – 2011) Seis juízes foram encarregados de analisar

alguns processos e concluíram esse trabalho em treze dias. Sabendo que cada

juiz levou três dias para analisar cada processo e que todos os juízes

trabalharam nesse ritmo, julgue os itens seguintes.

Quatro juízes analisaram dez processos em sete dias.

26. (FGV – Senado Federal – 2008 – Consultor de Orçamento) Admita

que 3 operários, trabalhando 8 horas por dia, construam um muro de 36 metros

em 5 dias. O tempo necessário para que 5 operários, trabalhando 6 horas por

dia, construam um muro de 30 metros é de:

a) 3 dias mais 2 horas.

b) 3 dias mais 4 horas.

c) 3 dias mais 8 horas.

d) 4 dias mais 3 horas.

e) 4 dias mais 4 horas.

27. (CESPE – CPRM – 2016 – Técnico em Geociências – Hidrologia) Por

10 torneiras, todas de um mesmo tipo e com igual vazão, fluem 600 L de água




em 40 minutos. Assim, por 12 dessas torneiras, todas do mesmo tipo e com a

mesma vazão, em 50 minutos fluirão:

a) 625L de água

b) 576L de água

c) 400L de água

d) 900L de água

e) 750L de água

28. (FCC – Prefeitura de Teresina / PI – 2016 – Técnico de Nível

Superior – Administrador) Em uma empresa, um prêmio em dinheiro foi

dividido entre 3 funcionários (Antônio, Bento e Celso) em partes diretamente

proporcionais ao tempo de serviço de cada um na empresa e inversamente

proporcionais ao número de faltas injustificadas deles dentro de um período. O

quadro abaixo forneceu as informações necessárias para o cálculo desta divisão.

Se Celso recebeu R$ 13.500,00, então Antônio recebeu, em reais,

a) 12.000,00

b) 9.000,00

c) 27.000,00

d) 18.000,00

e) 22.500,00

Comentários: O enunciado já nos forneceu todas as informações.

29. (CESPE – PRF – 2013) Considerando que uma equipe de 30 operários,

igualmente produtivos, construa uma estrada de 10 km de extensão em 30 dias,

julgue os próximos itens.

Se a tarefa estiver sendo realizada pela equipe inicial de 30 operários e, no início

do quinto dia, 2 operários abandonarem a equipe, e não forem substituídos,

então essa perda ocasionará atraso de 10 dias no prazo de conclusão da obra.

30. (CESPE – INPI – 2013 – Técnico em Propriedade Industrial)

Sabendo que, para produzir 5 unidades de determinado produto, é necessário 2

operários trabalhando 6 horas por dia durante 3 dias, julgue os itens seguintes.

Se, para cada trabalhador, o custo de produção de cada unidade aumentar 2%

por hora trabalhada além das 8 horas diárias, então, ao produzir 10 unidades,

com somente dois trabalhadores, em dois dias, o custo diminuirá em 40%.




31. (FTC – 2017 – Inédita) Joana assistiu 2 aulas de Matemática Financeira.

Sabendo que o curso que ela comprou possui um total de 8 aulas, qual é o

percentual de aulas já assistidas por Joana?

32. (FGV – COMPESA – 2016 – Assistente de Saneamento e Gestão) O

resultado da divisão de 100% por 20% é:

a) 0,5%

b) 5%

c) 50%

d) 500%

e) 5000%

33. (CESPE – MDS – 2009 – Agente Administrativo) Em importante

campanha de informação sobre saúde pública, o secretário de saúde municipal

determinou que os agentes de saúde deveriam visitar todas as residências

daquele município. Foram designados 5 agentes para realizar a campanha. Uma

análise preliminar concluiu que esses agentes terminariam as visitas no

município em 12 dias úteis, se todos trabalhassem com a mesma eficiência, de

segunda a sexta-feira, durante 8 horas diárias.

Considerando essas informações, julgue os seguintes itens.

Considere que os agentes receberiam uma gratificação de R$ 12.000,00 a serem

divididos entre eles, de forma diretamente proporcional ao número de dias que

cada um trabalhou. Nesse caso, se do total de dias trabalhados, dois dos agentes

faltaram a 50% desses dias, um dos agentes faltou 25% dos dias e os outros

dois trabalharam todos os dias, então os agentes que mais faltaram ao trabalho

receberiam menos de R$ 1.800,00 cada um.

34. (CESPE - INPI – 2013) Considerando que o custo de produção de um

refrigerante em lata seja R$ 0,50 por unidade produzida e que essa mesma

latinha seja vendida a R$ 2,50, julgue os itens seguintes.

O preço de custo do refrigerante em lata representa 20% do valor de sua venda.

35. (FTC – 2017 – Inédita) Joana comprou um curso de 200 horas-aula.

Porém, com a publicação do edital, a escola precisou aumentar a carga horária

em 15%. Qual o total de horas-aula do curso ao final?

36. (FGV – IBGE – 2016 – Técnico em Informações Geográficas e

Estatísticas) Rubens percorreu o trajeto de sua casa até o trabalho com uma

determinada velocidade média. Rubinho, filho de Rubens, percorreu o mesmo

trajeto com uma velocidade média 60% maior do que a de Rubens. Em relação

ao tempo que Rubens levou para percorrer o trajeto, o tempo de Rubinho foi:




a) 12,5% maior

b) 37,5% menor

c) 60% menor

d) 60% maior

e) 62,5% menor

37. (FTC – Inédita – 2017) Pedro percebeu que ele ainda não assistiu a 200

aulas do seu curso. Ela deseja reduzir o número de aulas não assistidas a 180.

É correto afirmar que as aulas não assistidas por Pedro cairá 20%?

38. (CESPE – INPI – 2013) Considerando que o custo de produção de um

refrigerante em lata seja R$ 0,50 por unidade produzida e que essa mesma

latinha seja vendida a R$ 2,50, julgue os itens seguintes.

Se o custo de produção de cada refrigerante for reduzido em 40%, mantendo-

se o mesmo valor de venda do produto, então o lucro por latinha aumentará

20%.

39. (FGV – Prefeitura de Osasco/SP – 2014 – Atendente) O preço de

determinado produto, ao longo de dois meses consecutivos, sofre aumentos de

10% e 20%, respectivamente. No terceiro mês, o preço cai e retorna ao valor

original, antes dos aumentos. Em relação ao preço aumentado do produto, o

percentual que mais se aproxima da redução ocorrida no terceiro mês é:

a) 20%

b) 25%

c) 30%

d) 70%

e) 75%

40. (FCC – TRT 11ª Região (AM e RR) – Técnico Judiciário) O preço de

um sapato, após um aumento de 15%, é R$ 109,25. Se o preço do sapato não

tivesse sofrido esse aumento de 15%, mas um aumento de 8%, a diferença, em

reais, entre os preços do sapato com cada aumento seria de:

a) R$ 7,65.

b) R$ 5,80.

c) R$ 14,25.

d) R$ 7,60.

e) R$ 6,65.




41. (CESPE – INPI – 2013) Consando os dados apresentados no gráfico,

julgue os itens seguintes.

O número de acidentes ocorridos em 2008 foi, pelo menos, 26% maior que o

número de acidentes ocorridos em 2005.

42. (CESPE – CPRM – 2016) Considere que 85% das residências de

determinado município estão ligadas à rede de abastecimento de água tratada

e que 60% dessas residências estão ligadas à rede de esgotamento sanitário.

Nessa situação, a percentagem de residências do município que são servidas de

água tratada e estão ligadas à rede de esgotamento sanitário é igual a:

a) 40%

b) 25%

c) 15%

d) 60%

e) 51%

43. (CESPE – FUB – 2009 – Administrador de Edifícios) Considere que

sobre o preço de fábrica de um automóvel zero km incida um imposto federal

de 12% e sobre o preço de fábrica acrescido do imposto federal incida um

imposto estadual de 15%. Nessa situação, o preço de venda do automóvel será

pelo menos 28% superior ao preço de fábrica.

44. (CESPE – FUB – 2009 – Administrador de Edifícios) Considere que

uma loja venda seus produtos nas seguintes condições: à vista, com 20% de

desconto sobre o preço de tabela; no cartão de crédito, com 5% de acréscimo

sobre o preço de tabela. Nessa situação, um produto que é vendido por

R$800,00 à vista terá, no cartão, preço superior a R$1.000,00.




45. (FCC – TST – 2017 – Técnico Judiciário) A equipe de segurança de um

Tribunal conseguia resolver mensalmente cerca de 35% das ocorrências de dano

ao patrimônio nas cercanias desse prédio, identificando os criminosos e os

encaminhando às autoridades competentes. Após uma reestruturação dos

procedimentos de segurança, a mesma equipe conseguiu aumentar o percentual

de resolução mensal de ocorrências desse tipo de crime para cerca de 63%. De

acordo com esses dados, com tal reestruturação, a equipe de segurança

aumentou sua eficácia no combate ao dano ao patrimônio em:

a) 35%.

b) 28%.

c) 63%.

d) 41%.

e) 80%

46. (FCC – ARTESP – Agente de Fiscalização à Regulação de

Transporte) Em um experimento, uma planta recebe a cada dia 5 gotas a mais

de água do que havia recebido no dia anterior. Se no 65° dia ela recebeu 374

gotas de água, no 1° dia do experimento ela recebeu:

a) 64 gotas.

b) 49 gotas.

c) 59 gotas.

d) 44 gotas.

e) 54 gotas.

47. (FEPESE – PC/SC – 2017 – Escrivão) Uma empresa possui duas

fábricas para produzir o mesmo item. Em novembro de 2017 a fábrica A produz

500 unidades e a fábrica B produz 1100 unidades. A empresa então decide

incrementar mensalmente a produção da fábrica A em 65 unidades e a da fábrica

B em 25 unidades. Desta forma, em dezembro de 2017 a fábrica A produzirá

565 unidades e a fábrica B produzirá 1125 unidades.

Qual o primeiro mês (e ano) que a produção mensal na fábrica A superará a

produção mensal na fábrica B?

a) Janeiro de 2019

b) Fevereiro de 2019

c) Março de 2019

d) Abril de 2019

e) Dezembro de 2018




48. (CESPE – Câmara dos Deputados – 2014 – Técnico Legislativo) Em

determinado colégio, todos os 215 alunos estiveram presentes no primeiro dia

de aula; no segundo dia letivo, 2 alunos faltaram; no terceiro dia, 4 alunos

faltaram; no quarto dia, 6 alunos faltaram, e assim sucessivamente.

Com base nessas informações, julgue os próximos itens, sabendo que o número

de alunos presentes às aulas não pode ser negativo.

No vigésimo quinto dia de aula, faltaram 50 alunos.

49. (FAURGS – TJ/RS – 2017 – Técnico Judiciário) Para que a sequência

(4x-1, x²-1, x-4) forme uma progressão aritmética, x pode assumir, dentre as

possibilidades abaixo, o valor de:

a) -0,5

b) 1,5

c) 2

d) 4

e) 6

50. (VUNESP – TCE/SP – 2017 – Agente da Fiscalização) Considere a

sequência (10, 15, 13, 18, 16, 21, 19, 24, 22, 27, . . .). A soma do 16o, 17o e

18o termo dessa sequência é igual a:

a) 107.

b) 109.

c) 104.

d) 105.

e) 110.

51. (VUNESP – TCE/SP – 2017 – Agente da Fiscalização -

Administração) Considere a sequência de números naturais 0, 5, 100, 10, 15,

90, 20, 25, 80, 30, …, 10. A diferença entre os números que ocupam as 26a e

22a posições é um número que ocupa, nessa sequência, a posição:

a) 8ª

b) 9ª

c) 7ª

d) 6ª

e) 5ª

52. (FADESP – COSANPA – 2017 – Técnico Industrial – Saneamento) O

Lago Bolonha é o principal reservatório de abastecimento de água da Região




Metropolitana de Belém, e o controle da quantidade de algas e bactérias que

nele habitam é importante. Sabe-se que, em condições favoráveis, o número de

bactérias em uma colônia cresce segundo uma progressão geométrica. Se uma

certa colônia, inicialmente com cerca de 1.000 bactérias, quadruplica seu

número de bactérias a cada 24 horas, o número de bactérias ultrapassará

1.000.000 no decorrer do:

a) terceiro dia.

b) quarto dia.

c) quinto dia.

d) décimo dia.

53. (IBFC – MGS – 2017) Considerando a solução do sistema linear

E sabendo que o valor de x e o valor de y são, respectivamente, o primeiro

termo e a razão de uma progressão geométrica, então o quinto termo dessa PG

é:

a) 54

b) 486

c) 24

d) 162

54. (CESGRANRIO – Petrobrás – 2017 – Técnico de Enfermagem) A

soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por 𝑆𝑛 =

3𝑛 + 4 − 812.3𝑛. Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica?

a) 1

b) 3

c) 27

d) 39

e) 40

(CESPE – BRB – 2011 – Escriturário) Considerando que, em uma progressão

aritmética de termos ..., ..., a razão seja positiva, = 2 e os

termos estejam, nessa ordem, em progressão geométrica, julgue

os itens a seguir.

55. Para cada n ímpar, an sempre será um número par.

56. A razão dessa progressão aritmética será um número racional, não inteiro.




57. A média aritmética de 3 termos quaisquer dessa progressão aritmética

será sempre um número inteiro.

58. (FCC – Funape – 2017 – Analista em Gestão Previdenciária) Na

sequência (100.000; 90.000; 81.000; 72.900; ...), o segundo termo não inteiro

é o que está na posição:

a) 6

b) 5

c) 7

d) 8

e) 9

59. (CESPE – Banco da Amazônia – 2012 – Técnico Científico) Em

média, chegam cinco clientes por minuto no setor de caixas de uma agência

bancária. Supondo que a distribuição das chegadas dos clientes não dependa da

hora do dia e que os clientes cheguem de modo independente uns dos outros, a

probabilidade de chegar exatamente k clientes em determinado minuto é

expressa por: 𝑝𝑘 = 5𝑘𝑘! 𝑒 − 5 em que k = 0, 1, 2, 3, … e e é a base dos logaritmos

neperianos.

Considerando 0,007 como valor aproximado para e-5, julgue os próximos itens,

relativos à movimentação de clientes acima descrita.

A sequência p(0), p(1), p(2), p(3), . . . é uma progressão geométrica de razão

menor que 1.

Obs.: A expressão k! corresponde ao produto de todos os números inteiros até

k. Ou seja:

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

60. (CONSULPLAN – TRE/RJ – 2017 – Técnico Judiciário – Operação de

Computadores) Os termos de uma determinada sequência foram

sucessivamente obtidos seguindo um determinado padrão: (5, 9, 17, 33, 65,

129...)

O décimo segundo termo da sequência anterior é um número:

a) menor que 8.000.

b) maior que 10.000.

c) compreendido entre 8.100 e 9.000.




d) compreendido entre 9.000 e 10.000.

61. (VUNESP – Câmara Municipal de Itatiba / SP – 2015 – Técnico em

Informática) Na sequência 2, 8/3, 4, 6, 26/3,..., há uma regularidade. Mantida

essa regularidade, o próximo elemento da sequência será:

a) 28/3

b) 10

c) 34/3

d) 12

e) 38/3

62. (VUNESP – MPE/SP – 2016 – Analista Técnico-Científico) Na

sequência (4; 4; 6; 12; 30; 90; . . .), a partir do 2° termo, cada termo é obtido

por meio de uma operação, ou operações, aplicada(s) ao termo imediatamente

anterior. O 7° termo somado ao 10° termo, ambos dessa sequência, resultam

em:

a) 5445

b) 7020

c) 27035

d) 28665

e) 29610




Gabaritos

Questão 1: E

Questão 2: Certo

Questão 3: B

Questão 4: B

Questão 5: Errado

Questão 6: Certo

Questão 7: D

Questão 8: E

Questão 9: A

Questão 10: E

Questão 11: E

Questão 12: A

Questão 13: E

Questão 14: Errado

Questão 15: Errado

Questão 16: 500

Questão 17: 2,5

Questão 18: E

Questão 19: D

Questão 20: B

Questão 21: D

Questão 22: D

Questão 23: Errado

Questão 24: C

Questão 25: Errado

Questão 26: C

Questão 27: D

Questão 28: D

Questão 29: Errado

Questão 30: Errado

Questão 31: 25%

Questão 32: D

Questão 33: Certo

Questão 34: Certo

Questão 35: 230

Questão 36: B

Questão 37: Errado

Questão 38: Errado

Questão 39: B

Questão 40: E

Questão 41: Certo

Questão 42: E

Questão 43: Certo

Questão 44: Certo

Questão 45: E

Questão 46: E

Questão 47: C

Questão 48: Errado

Questão 49: B

Questão 50: B

GABARITO




Questão 51: E

Questão 52: C

Questão 53: C

Questão 54: A

Questão 55: Certo

Questão 56: Errado

Questão 57: Certo

Questão 58: D

Questão 59: Certo

Questão 60: C

Questão 61: D

Questão 62: D


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