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Matemtica Financeira

Professor Edgar Abreu

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PORCENTAGEM TAXA UNITRIA

DEFINIO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitria.

A taxa unitria importante para nos auxiliar a desenvolver todos os clculos em matemtica financeira.

Pense na expresso 20% (vinte por cento), ou seja, esta taxa pode ser representada por uma frao, cujo o numerador igual a 20 e o denominador igual a 100.

COMO FAZER AGORA A SUA VEZ:

15%20%4,5%254%0%

22,3%60%6%

10% = 10100

= 0,10

20% = 20100

= 0,20

5% = 5100

= 0,05

38% = 38100

= 0,38

1,5% = 1,5100

= 0,015

230% = 230100

= 2,3

FATOR DE CAPITALIZAO

Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual o novo valor deste produto?

Claro que se no soubermos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmao a seguir:

O produto valia 100% sofreu um aumento de 20%, logo est valendo 120% do seu valor inicial.

Como vimos no tpico anterior (1.1 taxas unitrias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para determinarmos o novo preo deste produto, aps o acrscimo.

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Fator de Capitalizao = 120100

= 1,2

O Fator de capitalizao trata-se de um nmero no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preo, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar.

Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo fator de capitalizao 1,2 para conhecer seu novo preo, neste exemplo ser de R$ 60,00.

CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAO: Basta somar 1 com a taxa unitria, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%

COMO CALCULAR:

o Acrscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45

o Acrscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2

ENTENDENDO O RESULTADO:

Para aumentar o preo do meu produto em 20% devo multiplicar por 1,2.

Exemplo: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acrscimo de 20% passar a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalizao para 20%) = R$ 1.800,00.

COMO FAZER:

Acrscimo de 30% = 100% + 30% = 130% = 130100

= 1,3

Acrscimo de 15% = 100% + 15% = 115% = 115100

= 1,15

Acrscimo de 3% = 100% + 3% = 103% = 103100

= 1,03

Acrscimo de 200% = 100% + 200% = 300% = 300100

= 3

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1. AGORA A SUA VEZ:

Acrscimo Clculo Fator

15%

20%

4,5%

254%

0%

22,3%

60%

6%

FATOR DE DESCAPITALIZAO

Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual o novo valor deste produto?

Claro que se no soubermos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmao a seguir:

O produto valia 100% sofreu um desconto de 20%, logo est valendo 80% do seu valor inicial.

Como vimos no tpico anterior (1.1 taxas unitrias), podemos calcular qual o fator que conseguimos utilizar para aferir o novo preo deste produto, aps o acrscimo.

Fator de Descapitalizao = 80100

= 0,8

O Fator de descapitalizao trata-se de um nmero no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preo, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar.

Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo fator de descapitalizao 0,8 para conhecer seu novo preo, neste exemplo ser de R$ 40,00.

CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitria de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%

COMO CALCULAR:

o Desconto de 45% = 100% 45% = 65% = 55/ 100 = 0,55

o Desconto de 20% = 100% 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8


ENTENDENDO O RESULTADO:

Para calcularmos um desconto no preo do produto de 20% devemos multiplicar o valor deste produto por 0,80.

Exemplo: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passar a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalizao para 20%) = R$ 1.200,00.

COMO FAZER:

Desconto de 30% = 100% 30% = 70% = 70100

= 0,7

Desconto de 15% = 100% 15% = 85% = 85100

= 0,85

Desconto de 3% = 100% 3% = 97% = 97100

= 0,97

Desconto de 50% = 100% 50% = 50% = 50100

= 0,5

2. AGORA A SUA VEZ:

Desconto Clculo Fator

15%

20%

4,5%

254%

0%

22,3%

60%

6%



ACRSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO

Temas muito comuns abordados nos concursos so os acrscimos e os descontos sucessivos. Isto acontece pela facilidade que os candidatos tm em se confundir ao resolver uma questo deste tipo.

O erro cometido neste tipo de questo bsico, o de somar ou subtrair os percentuais, sendo que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalizao e descapitalizao.

Vejamos abaixo um exemplo de como fcil se confundir se no tivermos estes conceitos bem definidos:

Exemplo:

Os bancos vm aumentando significativamente as suas tarifas de manuteno de contas. Estudos mostraram um aumento mdio de 30% nas tarifas bancrias no 1 semestre de 2009 e de 20% no 2 semestre de 2009. Assim podemos concluir que as tarifas bancrias tiveram em mdia suas tarifas aumentadas em:

a) 50%b) 30%c) 150%d) 56%e) 20%

Ao ler esta questo, muitos candidatos se deslumbram com a facilidade e quase por impulso marcam como certa a alternativa a (a de apressadinho).

Ora, estamos falando de acrscimo sucessivo, vamos considerar que a tarifa mdia mensal de manuteno de conta no incio de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos:

Aps receber um acrscimo de 30%

10,00 x 1,3 (ver tpico 1.3) = 13,00

Agora vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2 semestre de 2009.

13,00 x 1,2 (ver tpico 1.3) = 15,60

Ou seja, as tarifas esto 5,60 mais caras que o incio do ano.

Como o valor inicial das tarifas eram de R$ 10,00, conclumos que as mesmas sofreram uma alta de 56% e no de 50% como achvamos anteriormente.


COMO RESOLVER A QUESTO ANTERIOR DE UMA FORMA MAIS DIRETA:

Basta multiplicar os fatores de capitalizao, como aprendemos no tpico 1.3

Fator de Capitalizao para acrscimo de 30% = 1,3

Fator de Capitalizao para acrscimo de 20% = 1,2

1,3 x 1,2 = 1,56

Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% igual a 1 (ver mdulo 1.2)

Logo as tarifas sofreram uma alta mdia de: 1,56 1 = 0,56 = 56%.

COMO FAZER

Exemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acrscimo de 20% sobre o seu valor, em fevereiro outro acrscimo de 40% e em maro um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto aps a 3 alterao em relao ao preo inicial :

a) 10% maiorb) 10 % menorc) Acrscimo superior a 5%d) Desconto de 84%e) Desconto de 16%

Resoluo:

Aumento de 20% = 1,2


Desconto de 50% = 0,5

Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto)

Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos:

1 0,84 = 0,16

Conclui-se ento que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial. (Alternativa E)

Exemplo O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto trabalhar na vspera da prova do concurso pblico da CEF, aps este susto, comeou a se alimentar melhor e acabou aumentando em 25% do seu peso no primeiro ms e mais 25% no segundo ms. Preocupado com o excesso de peso, comeou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20% do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relao ao peso que tinha no incio :

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a) 8% maiorb) 10% maiorc) 12% maiord) 10% menore) Exatamente igual

Resoluo:

Perda de 20% = 0,8



Perda de 20% = 0,8

Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1

Conclui-se ento que o professor possui o mesmo peso que tinha no incio. (Alternativa E).



TAXA PROPORCIONAL

Calculada em regime de capitalizao SIMPLES: Resolve-se apenas multiplicando ou dividindo a taxa de juros:

Exemplo 2.1: Qual a taxa de juros anual proporcional a taxa de 2% ao ms?

Resposta: Se temos uma taxa ao ms e procuramos uma taxa ao ano, basta multiplicarmos essa taxa por 12, j que um ano possui 12 meses.

Logo a taxa proporcional de 2% x 12 = 24% ao ano.

Exemplo 2.2: Qual a taxa de juros bimestral proporcional a 15% ao semestre?

Resposta: Neste caso temos uma taxa ao semestre e queremos transform-la em taxa bimestral. Note que agora essa taxa vai diminuir e no aumentar, o que faz com que tenhamos que dividir essa taxa ao invs de multiplic-la, dividir por 3, j que um semestre possui 3 bimestres.

Assim a taxa procurada de 15% 5%3

= ao bimestre.

COMO FAZER

TAXA TAXA PROPORCIONAL

25% a.m (ao ms) 300% a.a (ao ano)

15% a.tri (ao trimestre) 5% a.m

60% a. sem (ao semestre) 40% ao. Quad. (quadrimestre)

25% a.bim (ao bimestre) 150% (ao ano)

AGORA A SUA VEZ

QUESTES TAXA TAXA PROPORCIONAL

2.1.1 50% a.bim. ___________a.ano

2.1.2 6% a.ms _________a.quad.

2.1.3 12% a.ano _________ a.Trim.

2.1.4 20% a. quadri. __________a.Trim.

Gabarito:2.1.1. 300%2.1.2. 24%2.1.3 3%2.1.4 15%



TAXA EQUIVALENTE

Calculada em regime de capitalizao COMPOSTA. Para efetuar o clculo de taxas equivalentes necessrio utilizar uma frmula.

Para facilitar o nosso estudo iremos utilizar a ideia de capitalizao de taxas de juros de uma forma simplificada e mais direta.

Exemplo: Qual a taxa de juros ao bimestre equivalente a taxa de 10% ao ms?

1 passo: Transformar a taxa de juros em unitria e somar 1 (100%). Assim:

1 + 0,10 = 1,10

2 passo: elevar esta taxa ao perodo de capitalizao. Neste caso 2, pois um bimestre possui dois meses.

(1,10)2 = 1,21

3 passo: Identificar a taxa correspondente.

1,21 = 21%

Exemplo: Qual a taxa de juros ao semestre equivalente a taxa de 20% ao bimestre?

1 passo: Transformar a taxa de juros em unitria e somar 1 (100%). Assim:

1 + 0,20 = 1,20

2 passo: elevar esta taxa ao perodo de capitalizao. Neste caso 3, pois um semestre possui trs bimestres.

(1,20)3 = 1,728

3 passo: Identificar a taxa correspondente.

1,728 = 72,8%

COMO FAZER

10% a.m equivale a:

Ao Bimestre (1,1)2 = 1,21 = 21%

Ao Trimestre (1,1)3 = 1,331 = 33,10%


20% a.bim equivale a:

Ao Quadrimestre (1,2)2 = 1,44 = 44%

Ao Semestre (1,2)3 = 1,728 = 72,8%

AGORA A SUA VEZ

QUESTO 1

21% a.sem. equivale a:

Ao Ano

Ao Trimestre

QUESTO 2

30% a.ms. equivale a:

Ao Bimestre

Ao Trimestre

Gabarito:1. 46,41% ao ano e 10% ao trimestre2. 69% ao bimestre e 119,7% ao trimestre.



CAPITALIZAO SIMPLES X CAPITALIZAO COMPOSTA

A definio de capitalizao uma operao de adio dos juros ao capital. Bom, vamos adicionar estes juros ao capital de duas maneiras, uma maneira simples e outra composta e depois comparamos.

Vamos analisar o exemplo abaixo:

Exemplo: Jos realizou um emprstimo de antecipao de seu 13 salrio no Banco do Brasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao ms. Qual o valor pago por Jos se ele quitou o emprstimo aps 5 meses, quando recebeu seu 13?

Valor dos juros que este emprstimo de Jos gerou em cada ms.

Em juros simples, os juros so cobrados sobre o valor do emprstimo (capital)

CAPITALIZAO COMPOSTA

MS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

1 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

2 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00

3 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00

4 10% de R$ 100,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00

5 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00

Em juros composto, os juros so cobrados sobre o saldo devedor (capital + juros do perodo anterior)

CAPITALIZAO COMPOSTA

MS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

1 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

2 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00

3 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10

4 10% de R$ 133,10 = R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41

5 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05


Assim notamos que o Sr. jos ter que pagar aps 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar juros simples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos.

GRFICO DO EXEMPLO

Note que o crescimento dos juros compostos mais rpido que os juros simples.

JUROS SIMPLES

FRMULAS:

CLCULO DOS JUROS CLCULO DO MONTANTE

J = C x i x t M = C x (1 + i x t)OBSERVAO: Lembre-se que o Montante igual ao Capital + Juros

Onde:

J = Juros

M = Montante

C = Capital (Valor Presente)

i = Taxa de juros;

t = Prazo.

A maioria das questes relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidade de utilizar frmula matemtica.

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APLICANDO A FRMULA

Vamos ver um exemplo bem simples aplicando a frmula para encontrarmos a soluo.

Exemplo: Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 2% ao ms. Qual o valor dos juros?

Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 3 meses

i = 2% ao ms

OBS: Cuide para ver se a taxa e o ms esto em meno perodo. Neste exemplo no tem problema para resolver, j que tanto a taxa quanto o prazo foram expressos em meses.

J = C x i x t

J = 100.000 x 0,02 (taxa unitria) x 3

J = 6.000,00

Resposta: Os juros cobrado ser de R$ 6.000,00

RESOLVENDO SEM A UTILIZAO DE FRMULAS:

Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar frmula, apenas o conceito de taxa de juros proporcional.

Resoluo:

Sabemos que 6% ao trimestre proporcional a 2% ao ms.

Logo os juros pagos ser de 6% de 100.000,00 = 6.000,00

PROBLEMAS COM A RELAO PRAZO X TAXA

Agora veremos um exemplo onde a taxa e o prazo no so dados em uma mesma unidade, necessitando assim transformar um deles para dar continuidade a resoluo da questo.

Sempre que houver uma divergncia de unidade entre taxa e prazo melhor alterar o prazo do que mudar a taxa de juros. Para uma questo de juros simples, esta escolha indiferente, porm caso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, ir encontrar dificuldades para responder as questes de juros compostos, pois estas as alteraes de taxa de juros no so simples, proporcional, e sim equivalentes.

Exemplo 3.2.2 Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros?


Dados:

C = 100.000,00

t = 3 meses

i = 12% ao ano

Vamos adaptar o prazo em relao a taxa. Como a taxa est expressa ao ano, vamos transformar o prazo em ano. Assim teremos:

C = 100.000,00

t = 3 meses =

i = 12% ao ano

Agora sim podemos aplicar a frmula

J = C x i x t

J = 100.000 x 0,12 x

J = 3.000,00

ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS

Vamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prtica. Primeiramente vamos resolver pelo mtodo tradicional, depois faremos direto.

Exemplo 3.2.3 Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo que o valor do montante acumulado em aps 1 semestre foi de 118.000,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada pelo banco.

Como o exemplo pede a taxa de juros ao ms, necessrio transformar o prazo em ms. Neste caso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim:

Dados:

C = 100.000,00

t = 6 meses

M = 118.000,00

J = 18.000,00 (Lembre-se que os juros a diferena entre o Montante e o Capital)

Aplicando a frmula teremos:

18.000 = 100.000 x 6 x i

i = 18.000

100.000x6= 18.000600.000

= 0,3

i = 3% ao ms

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Agora vamos resolver esta questo sem a utilizao de frmula, de uma maneira bem simples.

Para saber o valor dos juros acumulados no perodo, basta dividirmos o montante pelo capital:

Juros acumulado = 18.000100.000

=1,18

Agora subtraimos o valor do capital da taxa de juros (1 = 100%) e encontramos:

1,18 1 = 0,18 = 18%

18% so os juros do perodo de um semestre, para encontrar o juros mensal, basta calcular a taxa proporcional e assim encontrar 3 % ao ms.

ESTO FALTANDO DADOS?

Alguns exerccios parecem no informar dados suficientes para resoluo do problema. Coisas do tipo: O capital dobrou, triplicou, o dobro do tempo a metade do tempo, o triplo da taxa e etc. Vamos ver como resolver este tipo de problema, mas em geral bem simples, basta atribuirmos um valor para o dado que est faltando.

Exemplo: Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em aes. Aps 8 meses resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicao inicial dobrou. Qual a rentabilidade mdia ao ms que este fundo rendeu?

Para quem vai resolver com frmula, a sugesto dar um valor para o capital e assim teremos um montante que ser o dobro deste valor. Para facilitar o clculo vamos utilizar um capital igual a R$ 100,00, mas poderia utilizar qualquer outro valor.

Dados:

C = 100,00

t = 8 meses

M = 200,00 (o dobro)

J = 100,00 (Lembre-se que os juros a diferena entre o Montante e o Capital)

Substituindo na frmula teremos:

100 = 100 x 8 x i

i = 100100x8

= 100800

= 0,125

i = 12,5% ao ms


COMO RESOLVER

Exemplo: A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil, para que no fim de cinco anos este duplique de valor?

Dados:

C = 2.000,00

t = 5 anos

M = 4.000,00 (o dobro)

J = 2.000,00 (Lembre-se que os juros a diferena entre o Montante e o Capital)

i = ?? a.a

Substituindo na frmula teremos

2.000 = 2.000 x 5 i

i = 2.0002.000x5

= 200010.000

= 0,2

i = 20% ao ano

Exemplo: Considere o emprstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao ms e prazo de 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operao?

Dados:

C = 5.000,00

i = 2 % ao ms

t = 1,5 anos = 18 meses

J = ???

Substituindo na frmula teremos

J = 5.000 x 18 x 0,02

J = 1.800,00



JUROS COMPOSTOS

FRMULAS:

CLCULO DOS JUROS CLCULO DO MONTANTE

J = M C M = C x (1 + i)t

OBSERVAO: Lembre-se que o Montante igual ao Capital + Juros.

Onde:

J = Juros

M = Montante

C = Capital (Valor Presente)

i = Taxa de juros

t = Prazo

RESOLUO DE QUESTES DE JUROS COMPOSTOS

Como notamos na frmula de juros compostos, a grande diferena para juros simples que o prazo (varivel t ) uma potncia da taxa de juros e no um fator multiplicativo.

Assim poderemos encontrar algumas dificuldades para resolvermos questes de juros compostos em provas de concurso pblico, onde no permitido o uso de equipamentos eletrnicos que poderiam facilitar estes clculos.

Por este motivo, juros compostos podem ser cobrados de 3 maneiras nas provas de concurso pblico.

1. Questes que necessitam da utilizao de tabela.

2. Questes que so resolvidas com substituio de dados fornecidas na prpria questo.

3. Questes que possibilitam a resoluo sem a necessidade de substituio de valores.

Vamos ver um exemplo de cada uma dos modelos.


JUROS COMPOSTOS COM A UTILIZAO DE TABELA

Este mtodo de cobrana de questes de matemtica financeira j foi muito utilizado em concurso pblico, porm hoje so raras as provas que fornecem tabela para clculo de juros compostos. Vamos ver um exemplo.

Exemplo: Considere um emprstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e taxa de 10% ao ms. Qual o valor do montante?

Dados do problema:

C = 100.000,00t = 8 mesesi = 10% ao ms

M = C x (1 + i)t

M = 100.000 x (1 + 0,10)8

M = 100.000 x (1,10)8

O problema est em calcular 1,10 elevado a 8. Sem a utilizao de calculadora fica complicado. A soluo olhar em uma tabela fornecida na prova em anexo, algo semelhante a tabela abaixo.

Vamos localizar o fator de capitalizao para uma taxa de 10% e um prazo igual a 8.

(1+i)t TAXA5% 10% 15% 20%

PRAZO

1 1,050 1,100 1,150 1,200

2 1,103 1,210 1,323 1,440

3 1,158 1,331 1,521 1,728

4 1,216 1,464 1,749 2,074

5 1,276 1,611 2,011 2,488

6 1,340 1,772 2,313 2,986

7 1,407 1,949 2,660 3,583

8 1,477 2,144 3,059 4,300

9 1,551 2,358 3,518 5,160

10 1,629 2,594 4,046 6,192

Consultando a tabela encontramos que (1,10)8 = 2,144

Substituindo na nossa frmula temos:

M = 100.00 x (1,10)8

M = 100.00 x 2,144

M= 214.400,00

O valor do montante neste caso ser de R$ 214.400,00

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JUROS COMPOSTOS COM A SUBSTITUIO DE VALORES

Mais simples que substituir tabela, algumas questes disponibilizam o resultado da potncia no prprio texto da questo, conforme a seguir.

Exemplo: Considere um emprstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e taxa de 10% ao ms. Qual o valor do montante? Considere (1,10)8 = 2,144

Assim fica at mais fcil, pois basta substituir na frmula e encontrar o resultado, conforme o exemplo anterior.

JUROS COMPOSTOS SEM SUBSTITUIOA maioria das provas de matemtica financeira para concurso pblico, buscam avaliar a habilidade do candidato em entender matemtica financeira e no se ele sabe fazer contas de multiplicao.

Assim as questes de matemtica financeira podero ser resolvidas sem a necessidade de efetuar contas muito complexas, conforme abaixo.

Exemplo: Considere um emprstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 2 meses e taxa de 10% ao ms. Qual o valor do montante?

Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 2 meses

i = 10% ao ms

M = C x (1 + i)t

M = 100.000 x (1 + 0,10)2

M = 100.000 x (1,10)2

M = 100.00 x 1,21

M= 121.000,00

Resposta: O valor do montante ser de R$ 121.000,00


COMO RESOLVER

Exemplo: Qual o montante obtido de uma aplicao de R$ 2.000,00 feita por 2 anos a uma taxa de juros compostos de 20% ao ano?

Dados do problema:

C = 2.000,00t = 2 anosi = 10% ao anoM = ???

M = C x (1 + i)t

M = 2.000 x (1 + 0,20)2

M = 2.000 x (1,20)2

M = 2.000 x 1,44

M= 2.880,00

Exemplo: Quais os juros obtidos de uma aplicao de R$ 5.000,00 feita por 1 ano a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre?

Dados:

C = 5.000,00

t = 1 ano ou 2 semestres

i = 10% ao ano

M = C x (1 + i)t

M = 5.000 x (1 + 0,10)2

M = 5.000 x (1,10)2

M = 5.000 x 1,21

M= 6.050,00

Como a questo quer saber quais os juros, temos:

J = M C

J = 6.050 5.000

J = 1.050,00

Assim os juros sero de R$ 1.050,00

Matemtica Financeira Juros Compostos Prof. Edgar Abreu


Exemplo: Uma aplicao de R$ 10.000,00 em um Fundo de aes, foi resgatada aps 2 meses em R$ 11.025,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos), qual foi a taxa de juros mensal que este fundo remunerou o investidor?

Dados:

C = 10.000,00

t = 2 meses

M = 11.025,00

i = ??? ao ms

M = C (1+ i)t

11.025= 10.000 (1+ i)2

(1+ i)2 = 11.02510.000

(1+ i)2 = 11.02510.000

(1+ i)= 105100

i=1,051= 0,05i= 5% ao ms


Raciocnio LgicoMatemtica Financeira

INTRODUO A DESCONTO

DESCONTO SIMPLES

Se em Juros simples a ideia era incorporar juros, em desconto simples o objetivo tirar juros, conceder desconto nada mais do que trazer para valor presente um pagamento futuro.

Comparando juros simples com desconto simples teremos algumas alteraes nas nomenclaturas das nossas variveis.

O capital em juros simples (valor presente) chamado de valor atual ou valor lquido em desconto simples.

O montante em juros simples (valor futuro) chamado de valor nominal ou valor de face em desconto simples.

COMO RACIONAL X DESCONTO COMERCIAL

Existem dois tipos bsicos de descontos simples nas operaes financeiras: o desconto comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalizao simples, na prtica, usa-se sempre o desconto comercial, mas algumas provas de concurso pblico costumam exigir os dois tipos de descontos.



DESCONTO RACIONAL SIMPLES

Pouco utilizado no dia a dia, porm cobrado em provas de concurso pblico.

Tambm conhecido como desconto verdadeiro.

Outra termologia adotada a de desconto por dentro.

O desconto calculado sobre o valor atual do ttulo (valor de lquido ou valor presente).

Como o desconto racional cobrado sobre o valor atual, este valor ser sempre menor que o valor do desconto comercial, que cobrado sobre o valor nominal do ttulo.

FRMULAS:

CLCULO DO VALOR DO DESCONTO CLCULO DO VALOR ATUAL

Dr = A id t A=N

(1+ id t)

OBSERVAO: Lembre-se que o Desconto igual ao Valor Nominal Valor Atual.

Onde:

Dr = Desconto Racional

A = Valor Atual ou Valor Lquido

N = Valor Nominal ou Valor de Face

id = Taxa de desconto;

t = Prazo.

Exemplo 3.4.2 Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o racional comercial simples a ser concedido e o valor atual de um ttulo resgatado 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m

Dados:

N = 10.000,00

t = 3 meses

id = 5% ao ms


Como o valor do desconto depende do valor Atual que no foi fornecido pelo exerccio, temos que calcular primeiramente o valor atual para depois calcular o valor do desconto.

A = N(1+ id t)

A = 10.000(1+ 0,05 3)

A = 10.000(1+ 0,05 3)

A = 8.695,65

Agora vamos calcular o desconto, que o Valor Nominal subtrado do valor Atual.

Dr = 10.0008.695,65Dr = 1.304,35

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Slides Desconto Racional Simples

Prova: CESPE 2013 - ANP Auxiliar Administra


Prova: FCC 2014 SEFAZ-PE Auditor Fiscal Um =tulo de valor nominal R$ 1.196,00 vai ser descontado 20 dias antes do vencimento, taxa mensal de desconto simples de 6%. O mdulo da diferena entre os dois descontos possveis, o racional e o comercial, de a) R$ 12,08 b) R$ 18,40 c) R$ 0,96 d) R$ 1,28 e) R$ 1,84



DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

o desconto composto mais utilizado no Brasil.

Tambm conhecido como desconto verdadeiro.

Outra termologia adotada a de desconto por dentro.

O desconto calculado sobre o valor atual do ttulo (valor de lquido ou valor presente).

Como o desconto racional cobrado sobre o valor atual, este valor ser sempre menor que o valor do desconto comercial, que cobrado sobre o valor nominal do ttulo.

FRMULAS:


Dr = A id t A=N

(1+ id )t


Onde:

Dr = Desconto Racional




t = Prazo.

Exemplo: Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto racional composto a ser concedido e o valor atual de um ttulo resgatado 2 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 10% a.m.

Dados:

N = 10.000,00

t = 2 meses

id = 10% ao ms


Calculando o valor atual teremos:

A = N(1+ id )

t

A = 10.000(1+ 0,10)2

A = 10.0001,21

A = 8.264,46

Agora vamos calcular o desconto, que o Valor Nominal subtrado do valor Atual.

Dr = 10.0008.264,46Dr = 1.735,53

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Slide Desconto Racional Composto

Prova: FUNCAB 2014 CODATA Tcnico e Administrao Joo foi ao banco para descontar uma nota promissria de R$ 6.500,00, com vencimento em oito meses. Sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto racional composto de 3% ao ms, determine, aproximadamente, o valor recebido por Joo. a) R$ 5.118,11 b) R$ 5.124,85 c) R$ 5.187,90 d) R$ 5.107,43 e) R$ 5.115,32



DESCONTO COMERCIAL SIMPLES

Mais comum e mais utilizado.

Tambm conhecido como desconto bancrio.

Outra termologia adotada a de desconto por fora.

O desconto calculado sobre o valor nominal do ttulo (valor de face ou valor futuro).

FRMULAS:


Dc = N id t A= N (1 id t)


Onde:

DC = Desconto Comercial




t = Prazo.

Exemplo 3.4.1: Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial simples a ser concedido e o valor atual de um ttulo resgatado 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.


Dados:

N = 10.000,00

t = 3 meses

id = 5% ao ms

Dc = N id tDc = 10.000 0,05 3J = 1.500,00

Agora vamos calcular o Valor Atual, que o Valor Nominal subtrado dos descontos.

A = 10.0001.500A = 8.500,00

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Slide Desconto Comercial Simples

Prova: FUNCAB 2013 CODATA Tcnico de Administrao Marcos antecipou o pagamento de uma dvida em oito meses. Sabendo que devia R$ 65.000,00 e que foi aplicada uma taxa de desconto comercial simples de 3% ao ms no ato do pagamento, determine o desconto recebido por Marcos. a) R$ 15.356,00 b) R$ 15.375,00 c) R$ 15.650,00 d) R$ 15.500,00 e) R$ 15.600,00



DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

Pouco utilizado no Brasil.

Seu clculo semelhante ao clculo de juros compostos.

Outra termologia adotada a de desconto por fora.

O desconto calculado sobre o valor nominal do ttulo (valor de face ou valor futuro).

FRMULAS:


Dc = N A A= N (1 id )t


Onde:

DC = Desconto Comercial




t = Prazo.

Exemplo 3.5.1: Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial composto a ser concedido e o valor atual de um ttulo resgatado 2 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 10% a.m.

Dados:

N = 10.000,00

t = 2 meses

id = 10% ao ms

Existe uma frmula que permite encontrar o valor do Desconto Comercial Composto a partir do valor Nominal do ttulo. Mas o objetivo minimizar ao mximo possvel o numero de frmulas para o aluno decorar.


A = N (1+ id )t

A = 10.000 (1 0,10)2

A = 10.000 0,81A = 8.100,00

Agora vamos calcular o desconto, que o Valor Nominal subtrado do Valor Atual.

Dc = 10.0008.100Dc = 1.900,00

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Slides Desconto Comercial Composto

Prova: FUNCAB 2014 SEFAZ-BA Auditor Fiscal Um empresrio foi ao banco descontar uma nota promissria com valor nominal de R$ 40.000,00 e vencimento em dois meses. Calcule o valor recebido pelo empresrio, sabendo que foi cobrada uma taxa de desconto comercial composto de 2% ao ms. a) R$37.646,68 b) R$38.416,00 c) R$39.030,25 d) R$39.200,00 e) R$38.972,30

Prova: CESPE 2013 ANP Analista Administra9vo Uma loja de roupas est em promoo: pagamento com cheque para noventa dias ou pagamento vista, com 10% de desconto sobre o preo da vitrine. Com base nessas informaes e considerando 0,899 e 0,902, respec9vamente, como valores aproximados de 0,9653 e 1,0353, julgue os itens seguintes. A taxa mensal de desconto comercial composto concedida a quem comprar roupas na loja, com pagamento vista, inferior a 3,5%. Certo Errado

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