Ciências Contábeis – 8ª. Fase Profa. Dra. Cristiane Fernandes

Matemática Financeira – 1º Sem/2009

Unidade I – Fundamentos

A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos pagamentos de empréstimos. Essa definição é muito geral. Nesse texto iremos perceber que a Matemática Financeira fornece instrumentos para o estudo e a avaliação das formas de aplicação de dinheiro bem como de pagamento de empréstimos.

I.2 – O Capital e o Juro

Chamamos de capital a qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante um certo tempo. Tendo em vista que o emprestador se abstém de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do empréstimo (para o tomador) ou a remuneração pelo uso do capital (para o emprestador).

Chamamos de taxa de juros ao valor do juro numa certa unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital. Assim, por exemplo, se um capital de $5.000,00 for emprestado por um mês à taxa de 2% ao mês, o juro será igual a 2% de $5.000,00, que é $100,00.

Se o empréstimo for devolvido em um único pagamento, o tomador pagará, ao final do prazo combinado, a soma do capital com o juro, que é denominada montante. Assim, para um empréstimo de $5.000,00 por um mês com juro de $100,00, o montante será igual a $5.100,00.

I.3 – Relações Básicas

Chamando de C o capital, M o montante, J o juro e de i a taxa, temos as seguintes relações, de acordo com o que definimos:

J=C∗i , fórmula do juro no período da taxa. Também valem:

M=CJ , fórmula do montante

e i= MC

−1 , fórmula da taxa no período do empréstimo.

Exemplo 1: Um capital de $8.000,00 é aplicado durante um ano à taxa de 22% ao ano. Pergunta-se:a) Qual o juro?b) Qual o montante?

Resolução: a) J =C∗i=8000∗0,22=$1.760,00b) M=CJ=8.0001.760=$9.760,00

Exemplo 2: Um capital de $12.000,00 foi aplicado durante 3 meses, gerando um montante de $12.540,00. Qual a taxa de juros no período?

Resolução: Usando a relação de taxa, temos i= MC

−1=12.54012.000

−1=0,045 , ou seja, 4,5% ao trimestre

I.4 – Regimes de capitalização

Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas regimes de capitalização. Tem-se o regime de capitalização simples (ou juros simples) e o regime de capitalização composta (ou juros compostos).

1

a) Regime de capitalização simples

Nesse regime o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa. Além disso, os juros são pagos somente no final da operação.

Exemplo 3: Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% ao ano, em regime de juros simples. Qual o montante final?

Resolução: Durante o 1o. ano o juro gerado foi de $1.000,00(0,10) = $100 Durante o 2o. ano o juro gerado foi de $1.000,00(0,10) = $100 Durante o 3o. ano o juro gerado foi de $1.000,00(0,10) = $100Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros, e o montante após 3 anos foi de $1.300,00.

b) Regime de capitalização composta

Neste caso, o juro do 1o. período (capital vezes a taxa), se agrega ao capital dando o montante M 1 .O juro do 2o. período, que é igual ao produto de M 1 pela taxa, se agrega a M 1 , dando um montante M 2 . O juro do 3o. período, que é igual ao produto de M 2 pela taxa, se agrega a M 2 , dando um montante M 3 e assim por diante.

Portanto, o juro que é gerado em cada período (montante do início do período vezes a taxa) se agrega ao montante do início do período e esta soma passa a render juro no período seguinte.

Exemplo 4: Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% ao ano, em regime de juros compostos. Qual o montante final?

Resolução: Durante o 1o. ano o juro gerado foi de $1.000,00(0,10) = $100, e o montante após 1 ano foi de $1.100,00.Durante o 2o. ano o juro gerado foi de $1.100,00(0,10) = $110 e o montante após 2 anos foi de $1.210,00.Durante o 3o. ano o juro gerado foi de $1.210,00(0,10) = $121 e o montante após 3 anos foi de $1.331,00.Portanto o montante após 3 anos foi de $1.331,00.

I.5 – Fluxo de caixa de uma operação

O fluxo de caixa de uma operação é uma representação esquemática muito útil na resolução de problemas. Basicamente, consta de um eixo horizontal no qual é marcado o tempo, a partir de um instante inicial (origem); a unidade de tempo pode ser ano, mês, dia, etc. As entradas de dinheiro num determinado instante são indicadas por setas perpendiculares ao eixo horizontal e orientadas para cima; as saídas de dinheiro são indicadas da mesma forma, só que a orientação das setas é para baixo.

Exemplo 5: Uma pessoa aplicou $50.000,00 num banco e recebeu $6.500,00 de juros após 12 meses. O fluxo de caixa do ponto de vista do aplicador é:

E o fluxo de caixa do ponto de vista do ponto de vista do banco é:

2

$50.000,00

$56.500,00

0 12

0 12$50.000,00

$56.500,00

Observações: a) Estamos usando o conceito de fluxo de caixa para aplicações e empréstimos; contudo, a mesma idéia é utilizada por empresas para representar entradas e saídas de dinheiro de caixa.b) As setas do fluxo de caixa não são necessariamente proporcionais aos valores monetários envolvidos.

Lista de Exercícios I(os cálculos devem ser explicitados em todos os exercícios e itens)

1) Um capital de $2.000,00 é aplicado em cada uma das condições abaixo. Obtenha o juro e o montante em cada caso. Taxa Prazo

a) 50% ao ano 1 anob) 30% ao semestre 1 semestrec) 12% ao trimestre 1 trimestred) 5% ao bimestre 1 bimestree) 1,7% ao mês 1 mêsf) 0,03% ao dia 1 dia

2) Qual a taxa de juros (no período) paga por tomador de empréstimos em cada uma das situações abaixo? Capital Juro Prazo

a) $3.500,00 $400,00 1 anob) $8.000,00 $1.200,00 1 semestrec) $4.300,00 $210,00 1 trimestred) $5.300,00 $220,00 1 bimestree) $9.000,00 $150,00 1 mêsf) $6.700,00 $2,50 1 dia

3) Qual o capital recebido por um tomador de empréstimo em cada uma das situações abaixo? Taxa Prazo Juro

a) 28% ao ano 1 ano $14.000,00b) 12% ao semestre 1 semestre $24.000,00c) 3,8% ao trimestre 1 trimestre $7.600,00d) 4% ao bimestre 1 bimestre $10.800,00e) 1,8% ao mês 1 mês $3.600,00f) 0,06% ao dia 1 dia $6.000,00

4) Um capital de $10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% ao mês. Obtenha o montante para os seguintes prazos: a) 2 meses b) 3 meses c) 5 meses d) 10 meses

5) Um capital de $10.000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 10% ao ano. Calcule o montante para os seguintes prazos: a) 1 ano b) 2 anos c) 3 anos d) 4 anos e) 5 anos

6) Um capital A de $1.000,00 é aplicado a juros simples à taxa de 10% ao ano. Um outro capital B de $900,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 12% ao ano. A partir de quantos anos de aplicação o montante produzido por B será superior ao produzido por A?

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Matemática Financeira – 1º Sem/2009

Unidade I I– Juros simples

Na unidade anterior, vimos que, na capitalização simples, os juros em todos os períodos eram iguais, valendo o produto de capital pela taxa naquele período. Vamos considerar um capital C, aplicado a juros simples à taxa i por período, durante n períodos de tempo; a fórmula dos juros simples é dado por: J =C∗i∗n e a fórmula do montante é dada por: M=C∗1i∗n .

Observações: 1) Na fórmula dos juros e do montante é necessário que i e n sejam expressos na mesma unidade (por exemplo, se i for taxa mensal, n deve ser expresso em meses)2) Embora a fórmula tenha sido deduzida para n inteiro, ela pode ser usada para n fracionário.

Exemplo 1: Um capital de $5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de 12% ao ano.a) Obtenha os juros.b) Obtenha o montante.

Resolução: a) J =C∗i∗n=5000∗0,12∗3=$ 1.800,00b) M= JC=5.0001.800=$6.800,00 ou M=C∗1i∗n=5.000∗10,12∗3=$ 6.800,00

Exemplo 2: Um capital de $7.000,00 é aplicado a juros simples, durante um ano e meio, à taxa de 8% ao semestre. Obtenha os juros e o montante.

Resolução: J=C∗i∗n=7000∗0,08∗3=$1.680,00 , são os jurosM= JC=7.0001.680=$ 8.680,00 , é o valor do montante.

Exemplo 3: Qual o capital que rende juros simples de $3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% ao mês?

Resolução: Seja C o capital procurado. Então:

J =C∗i∗nC= Ji∗n

C= Ji∗n

C= 30000,02∗5

=$30.000,00 .

Exemplo 4: Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses, rende juros simples à taxa de 22% ao ano e paga imposto de renda igual a 20% do juro. O imposto é pago no resgate.a) Qual o montante líquido de uma aplicação de $8.000,00? (Montante líquido é igual ao montante menos o imposto de renda)b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $9.500,00?

Resolução: a) Seja IR o imposto de renda e M o montante líquido. Assim:M=CJ−IR , com taxa de 20% ao ano, temos:

M=CJ−0,20∗J , agrupando os termos em J, temos:

M=C0,80∗J , agora substituindo os valores, teremos:

M=8.0000,8∗8000∗0,22∗ 512

=$8.586,67 .

Observe que como a taxa é dada ao ano, o prazo tem que ser expresso em anos, isto é n= 512 .

4

b) Chamando de C o capital procurado, devemos ter:M=CJ−IR , com taxa de 20% ao ano e o valor do montante líquido, temos:

9.500=CJ−0,20∗J , agrupando os termos em J, temos:

9.500=C0,80∗J ,

como J=C∗i∗n com i = 0,22 e n= 512 , temos:

9.500=C0,80∗C∗0,22∗ 512

, ou seja,

9.500=1,0733C , resultando em:

C= 9.5001,0733

=$ 8.851,21 .

II.2 – Taxas equivalentes

Na fórmula de juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da taxa. O procedimento inverso também pode ser adotado, ou seja, podemos expressar a taxa na mesma unidade do prazo; para isto, devemos saber converter taxas de um período para outro.

Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples quando, aplicadas num mesmo capital e durante um mesmo prazo, derem juros iguais. Embora este prazo referido possa ser qualquer um, habitualmente é utilizado o prazo de 1 ano.

Exemplo 5: Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% ao mês?

Resolução: Seja i a taxa anual procurada, C o capital procurado aplicado e 1 ano o prazo. Devemos ter:

C∗i∗1=C∗0,01∗12 , cancelando o capital C que aparece dos dois lados dessa igualdade, temos:

i∗1=0,01∗12 , ou seja,

i=0,01∗121

=0,12 , ou seja, 12% ao ano.

Portanto, a taxa anual equivalente a 1% ao mês é 12% ao ano. Note que se tivéssemos adotado qualquer outro prazo, por exemplo 2 anos, teríamos chegado ao mesmo resultado:

C∗i∗2=C∗0,01∗24

i∗2=0,01∗24 , ou seja,

i=0,01∗242

=0,12 , ou seja, 12% ao ano.

Exemplo 6: Em juros simples, qual a taxa mensal equivalente a 9% ao trimestre?

Resolução: Seja i a taxa anula procurada, C o capital procurado aplicado e 1 ano o prazo. Devemos ter:

C∗i∗12=C∗0,09∗4 , pois 1 ano tem 4 trimestres.

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Cancelando o capital C que aparece dos dois lados dessa igualdade, temos:

i∗12=0,09∗4 ,

i=0,09∗412

=0,03 , ou seja, 3% ao mês.

II.3 – Juro exato e Juro comercial

É muito comum certas operações ocorrerem por um ou alguns dias apenas. Nesses casos é conveniente utilizarmos a taxa diária equivalente. O cálculo pode ser feito segundo duas convenções:

a) considerando-se o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias, e cada mês com seu número real de dias; oub) considerando-se o ano comercial com 360 dias, e o mês comercial com 30 dias.

Os juros obtidos segundo a convenção em a) são chamados juros exatos e aqueles obtidos pela convenção em b), juros comerciais.

Exemplo 7: Um capital de $5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30% ao ano, no regime de juros simples.a) Obter os juros exatos.b) Obter os juros comerciais.

Resolução: a) J=C∗i∗n=5000∗0,30365

∗42=$ 172,60

b) J =C∗i∗n=5000∗0,30360

∗42=$ 175,00

II.4 – Valor nominal e Valor atual

Consideremos que uma pessoa tenha uma dívida de $11.000,00 a ser paga daqui a 5 meses. Se ela puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros simples e à taxa de 2% ao mês, quanto precisará aplicar para poder pagar a dívida no seu vencimento?

Em situações como esta, costuma-se chamar o valor da dívida, na data de seu vencimento, de valor nominal. Ao valor aplicado a juros simples numa data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal chamamos de valor atual (ou valor presente).

Indicando por N o valor nominal, por V o valor atual, por i a taxa e por n o prazo de aplicação até o vencimento, teremos esquematicamente:

Portanto, N=V V∗i∗n . Assim, no exemplo citado, teremos:

11000=V V∗0,02∗5 , agrupando os termos semelhantes em V, temos:

1,1V =11000 , ou seja V =110001,1

=$ 10.000,00 .

Desta forma, esta pessoa deverá aplicar $10.000,00 hoje, para saldar o compromisso mencionado daqui a 5 meses.

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0 nV

N

Exemplo 8: Consideremos que um investidor tenha adquirido por $17.000,00 um título de uma empresa, cujo valor nominal é de $20.000,00, sendo o prazo de vencimento igual a 12 meses. Esta operação dará ao investidor o direito de receber $20.000,00 daqui a 12 meses.a) Qual a taxa de juros desta aplicação, no período e ao mês, no regime de juros simples?b) Supondo que, 6 meses antes do vencimento do título, o investidor, necessitando de dinheiro, decida vender o título para outro investidor. Além disso, consideremos que nesta data a taxa de juros para este tipo de aplicação tenha caído para 1,3% ao mês. Qual o preço de venda do título?

Resolução: a) i= MC

−1 = i=2000017000

−1=0,1765 , ou seja, 17,65% ao período.

Portanto a taxa mensal foi de i=17,65%12

=1,47% .

b) O investidor que adquiriu o título exigiu uma taxa de juros de 1,3% ao mês. Assim sendo, chamando de V o valor que ele pagou pelo título, devemos ter:

N=V V∗i∗n

20000=V V∗0,013∗6 , agrupando os termos semelhantes em V,

1,078∗V =20000 , ou seja V =200001,078

=$18.552,88 .

Lista de Exercícios II(os cálculos devem ser explicitados em todos os exercícios e itens)

1) Determinar os juros simples obtidos nas seguintes condições:

Capital Taxa Prazoa) $2.000,00 1,2% ao mês 5 mesesb) $3.000,00 21% ao ano 2 anosc) $2.000,00 1,3% ao mês 3 anosd) $6.000,00 15% ao trimestre 2 anos e meio

2) Qual montante de uma aplicação de $16.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 80% ao ano?

3) Um capital de $1.000,00 foi aplicado por 2 meses, a juros simples e à taxa de 42% ao ano. Qual o montante?

4) Numa aplicação de $3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% ao ano, o montante recebido foi de $4.800,00. Determine o prazo da aplicação.

5) Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% ao mês no regime de juros simples. Findo esse prazo, o montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples à taxa de 10% ao mês. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final recebido foi de $1.125.000,00.

6) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de 1,8% ao mês, porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido.a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $4.000,00?b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $3.600,00?

7) Em juros simples, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas:

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a) 1,5% ao mês b) 2,5% ao bimestre c) 3,5% ao trimestre d) 4,5% ao quadrimestre e) 6,5% ao semestre

8) Um capital de $25.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% ao ano, pelo prazo de 67 dias. Obtenha os juros exatos e comerciais para esta aplicação.

9) Um determinado capital aplicado a juros simples exatos, e a certa taxa anual, rendeu $240,00. Determine os juros comerciais auferidos nessa aplicação.

10) Uma aplicação de $800,00 a juros simples comerciais teve um resgate de $908,00 após 135 dias. Determine a taxa mensal desta aplicação.

11) Uma dívida de $50.000,00 vence daqui a 8 meses. Considerando uma taxa de juros simples de 2% ao mês, calcule seu valor atual:a) hoje;b) 3 meses antes do vencimento;c) daqui a 2 meses.

12) Um título de $24.000,00 vence daqui a 10 meses.a) Qual seu valor atual, se a taxa de juro simples para esses títulos hoje for de 2,2% ao mês?b) Qual seu valor atual 3 meses antes do vencimento, se neste momento a taxa de juros simples pra estes títulos for de 2,6% ao mês?c) Qual seu valor atual 65 dias antes do vencimento, se nesta data a taxa de juros simples para estes títulos for de 2,1% ao mês?

13) João fez uma aplicação de $50.000,00 a juros simples e à taxa de 2,5% ao mês pelo prazo de 9 meses. No entanto, dois meses antes do vencimento, necessitando de dinheiro, vendeu o título a Pedro. Determine o valor de venda (valor atual dois meses antes do vencimento), sabendo-se que, nesta data, a taxa de juros simples para este título era de 2,8% ao mês.

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