Matematica Financeira

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1 ENGENHARIA ECONÔMICA I ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Prof. Edson de Oliveira Pamplona Prof. José Arnaldo Barra Montevechi 2000 Capacitar os participantes a analisar a viabilidade econômica e financeira de Investimentos OBJETIVO

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ENGENHARIA ECONÔMICA I

ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

Prof. Edson de Oliveira PamplonaProf. José Arnaldo Barra Montevechi

2000

Capacitar os participantes a analisar a viabilidade econômica e financeira de

Investimentos

OBJETIVO

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1. Introdução

2. Matemática Financeira

3. Critérios de Decisão

4. Depreciação e Imposto de Renda

5. Financiamentos

6. Análise de Sensibilidade

7. Análise sob condições de inflação

6. Análise da Viabilidade de Projetos Industriais

SUMÁRIO

BIBLIOGRAFIA

1. HIRSCHFELD, Henrique Engenharia Econômica e Análise de Custos, 5_ ed. São Paulo: Atlas, 1992

2. CASAROTTO, Nelson; KOPITTKE, Bruno H. Análise de Investimentos, São Paulo: Atlas, 1995.

3. OLIVEIRA, J.A. N. - “Engenharia Econômica: Uma abordagem às decisões de investimento”, Mac Graw -Hill.

4. PAMPLONA, Edson O. e MONTEVECHI, J. A. B. Engenharia Econômica I Apostila preparada para cursos da EFEI e FUPAI, 1997.

5. REVISTAS: Engineering Economist, Industrial Engineering, HarvardBusiness Review e outras.

Page 3: Matematica Financeira

3

INÍCIO DOS ESTUDOS SOBRE ENGENHARIA

ECONÔMICAEstados Unidos em 1887, quando Arthur Wellington

publicou seu livro: The Economic Theory of Railway

Location.

ENGENHARIA ECONÔMICA

• Importantes para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas;

• Fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas como estatais;

• Todo fundamento se baseia na matemática financeira, que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo.

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EXEMPLOS

• Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia transportadora;

• Fazer uma rede de abastecimento de água com tubos de parede grossa ou fina;

• Substituição de equipamentos obsoletos;

• Comprar um carro a prazo ou à vista.

PRINCÍPIOS BÁSICOS

• Devem haver alternativas de investimento;

• As alternativas devem ser expressas em dinheiro;

• Só as diferenças entre alternativas são relevantes;

• Sempre será considerado o valor do dinheiro no tempo;

• O passado geralmente não é considerado.

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CRITÉRIOS DE APROVAÇÃO DE UM PROJETO

1. Critérios financeiros: disponibilidade de recursos;

2. Critérios econômicos: rentabilidade do investimento;

3. Critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro;

2. Matemática Financeira

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6

2. Matemática Financeira

“Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro que não estejam na mesma data”

JUROS - Pagamento pelo uso do capital no tempo

Trabalho

Capital

Terra

Fatores de ProduçãoSalário Aluguel

Juros

Juros Simples

• J : Juros

• i : Taxa de juros

• n : Número de Períodos

• P : Principal

• F : Valor Futuro

2. Matemática financeira

J = P . i . nF = P + J

F = P + P . i . n

F = P ( 1 + i . n )

P F F F

Page 7: Matematica Financeira

7

2. Matemática financeira

Juros compostos• J : Juros

• i : Taxa de juros

• n : Número de Períodos

• P : Principal

• F : Valor FuturoF1 = P ( 1 + i )F2 = F1 ( 1+ i ) = P ( 1 + i ) 2

F3 = P ( 1 + i ) 3

P F1

F2

F3

F = P ( 1 + i ) n

2. Matemática financeiraComparando juros Simples co Compostos:Suponha:Principal = R$ 100000Taxa de juros = 20% a. a.Número de períodos = 3 anos

100000

110000

120000

130000

140000

150000

160000

0 1 2 3

J. Simples

Page 8: Matematica Financeira

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2. Matemática financeiraComparando juros Simples co Compostos:Suponha:Principal = R$ 100000Taxa de juros = 20% a. a.Número de periodos = 3 anos

0 1 2 3100000

110000

120000

130000

140000

150000

160000

170000

180000

0 1 2 3

J. SimplesJ. Compostos

2. Matemática financeira

Fluxo de Caixa

0 1 2 3 n

( + )

( - )

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9

2. Matemática financeira

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

P

F

0 n

Relação entre P e F

F = P ( 1 + i ) n = P ( F/P, i , n )

2. Matemática financeira

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

F

P

0 n

Relação entre P e F

P = F ( 1 + i ) - n = F ( P/F, i , n )

Page 10: Matematica Financeira

10

2. Matemática financeira

EXEMPLO II.2 Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$ 30.000 a uma taxa de 3,6 % para um período de 35 dias. Qual o valor da rentabilidade líquida e dos juros? Em relação a poupança esta aplicação é interessante?

2. Matemática financeira

EXEMPLO II.2 SOLUÇÃO:

F = P ( 1 + i ) n = 30.000 ( 1 + 0,036 ) 1

F = 31.080 JUROS = F - P = 1.080

I.R. (15%) = 0,15 x 1.080 = 162

JUROS LIQUIDOS = 1.080 - 162 = 918

DE FATO TEMOS: F = 30.918

30.918 = 30.000 ( 1 + i) 1 i = 3,06%

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2. Matemática financeira

EXEMPLO II.2 SOLUÇÃO:

F = P ( 1 + i 35 dias) 1 (1) F = P ( 1 + idiário)

35 (2)

(1) = (2)

P ( 1 + i 35 dias) 1 = P ( 1 + idiário)

35

( 1 + 0,0306) 1 = ( 1 + idiário) 35 idiário= 0,08615%

( 1 + i 30 dias) 1 = ( 1 + idiário)

30 imensal = 2,617%

Poupança para o dia 17/11 2,39633%

2. Matemática financeira

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

Relação entre P e A

A A A A AP

P = A ( 1 + i ) - 1 + A ( 1 + i ) - 2 + . . . + A ( 1 + i ) - n

0 n

P = A [ ( 1 + i ) - 1 + ( 1 + i ) - 2 + . . . + ( 1 + i ) - n ]

Page 12: Matematica Financeira

12

2. Matemática financeira

= A ( P/A , i , n )

= P ( A/P , i , n )

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

Relação entre P e A

P = A ( 1 + i ) 1( 1 + i ) i

n

n

A = P ( 1 + i ) i

( 1 + i ) - 1

n

n

2. Matemática financeira

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

Relação entre F e A

A A A A A

F

F = A + A ( 1 + i ) 1 + A ( 1 + i ) 2 + . . . + A ( 1 + i ) n-1

0 n

F = A [ 1 + ( 1 + i ) 1 + ( 1 + i ) 2 + . . . + ( 1 + i ) n-1 ]

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13

2. Matemática financeira

= A ( F/A , i , n )

= F ( A/F , i , n )

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

Relação entre F e A

F = A ( 1 + i ) 1

i

n −

A = F i

( 1 + i ) - 1n

2. Matemática financeira

....G

2G3G

(n - 1) G

P = G ( P/G , i , n )A = G ( A/G , i , n )F = G ( F/G , i , n )

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

Séries em gradiente

0 n1 2

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14

2. Matemática financeira

Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente

Equivalência entre Taxas Efetivas

F = P( 1 + i a ) 1

F = P( 1 + i m ) 12

( 1 + i a ) 1 = ( 1 + i m ) 12

( 1 + ia ) = ( 1 + i sem )2 = ( 1 + im )12 = ( 1 + i d )360

P

F

1 ano ou12 meses

2. Matemática financeira

SÉRIES PERPÉTUAS

0

P = A ( 1 + i ) 1

( 1 + i ) i

n

n

P = A ( 1 + i ) 1

( 1 + i ) in

n

nlim →∞−

P = A ( 1 + i )

( 1 + i ) i ( 1 + i ) in

n

n nlim → ∞−

1

P = A 1i

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2. Matemática financeira

Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente

Taxa Nominal

O período de capitalização é diferente do expresso na taxa

Exemplos:• Poupança - 6 % aa com capitalização mensal = 0,5 % am• SFH - 12 % aa com capitalização mensal = 1 % am

12 % a.a.c.c.m. = 12 / 12 meses = 1 % a.m. = 12,68 % a.a.

Nominal Efetiva Efetiva

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Critérios para Análise

Pay - Back

Benefício / Custo

Valor Presente Líquido

Valor Anual

Taxa Interna de retorno

EXATOS

CUIDADO

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3. Análise de Alternativas de Investimentos

UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA NAS MAIORES EMPRESAS DO BRASIL

Utilização de Critérios de Engenharia Econômica

Para a maioria

dos projetos

27%

Para todos os

projetos

31%

Para poucos

ou nenhum

projeto

2 %

Para alguns

tipos de

projetos

12%

Para projetos

acima de

determinado

valor

28%

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17

Critério Principal utilizado

Outros

1 0 %

Urgência

3 %

Payback sem

atualização

5 %

TIR

4 9 %

Taxa de

retorno

contábil

7 ,5%

Payback com

atualização

1 4 %

VPL ou

assemelhado

1 1 %

Critério Complementar utilizado

O u t r o s

1 5 %

U r g ê n c i a

1 3 %

P a y b a c k s e m

atua l ização

9 %

TIR

1 6 %

T a x a d e r e t o r n o

c o n t á b i l

7 , 5 % P a y b a c k c o m

atua l ização

2 3 %

V P L o u

a s s e m e l h a d o

2 0 %

Page 18: Matematica Financeira

18

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Pay - Back

É o Tempo de Recuperação do Investimento

Exemplo

1.000

200300

500 500

T = 3 anos

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Pay - BackErros

1.000

200 300500 500

T = 3 anos

1.000

200300

500 500

T = 3 anos

O segundo investimento é melhormas o método pay-back falha

Page 19: Matematica Financeira

19

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Pay - BackOutro Erro

1.000

200 300500 500

T = 3 anos

1.000

200300

500 500

T = 3 anos

Aparentemente o primeiro investimentoé melhor mas o método pay-back falha

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Taxa Mínima de Atratividade - TMA

É a taxa a partir da qual se aceita investir

Conceitos:

1. TMA- Maior taxa “sem risco” do mercado

2. TMA- Custo do Capital

Mais Aceito

Page 20: Matematica Financeira

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3. Análise de Alternativas de Investimentos

Taxa Mínima de Atratividade - TMA

Ativo

Permanente:Máq., Equip., VeículosTerrenos, Construções

Circulante:Disponível, Estoques,

Clientes

2. TMA- Custo do Capital

Passivo

Patrimônio Líquido:Capital,

Lucros Acumulados

Exigível a longo prazo:Financiamentos

Circulante:Fornecedores, Valoresa pagar a curto prazo

15 %

17 %

22 %

18%

Taxas mínimas de atratividade adotadas

Média das respostas: TMA = 16% ao ano

T M A = 1 2 %

2 6 %

T M A = 1 0 %

2 1 %

T M A = 1 5 %

3 7 %

T M A = 2 0 %

1 6 %

Page 21: Matematica Financeira

21

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Valor Presente Líquido

0

1 2 3 n

0

1 2 3 n

VPLSe VPL positivo:

ATRATIVO

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Valor Presente Líquido - Exemplo

Reforma:Investimento = $ 10.000Redução de custos = $ 2.000n = 10 anos

Aquisição: Investimento = $ 35.000Venda Equip. = $ 5.000Ganhos = $ 4.700Valor Residual = $ 10.705

TMA= 8 %

2.000

VPL = - 10.000 + 2.000 (P/A, 8, 10) = 3420

VIÁVEL

4.70010.705

VPL = - 30.000 + 4.700 (P/A , 8%, 10) +10.705 (P/F, 8%, 10) = 6.496

VIÁVELMelhor opção

Page 22: Matematica Financeira

22

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Valor Anual - Exemplo

2.000

10.000

VAnual = - 10.000(A/P, 8%, 10) + 2.000= 509,7

VIÁVEL

4.70010.705

30.000

VPL = - 30.000(A/P, 8%, 10) + 4.700 +10.705 (A/F, 8%, 10) = 968,1

VIÁVELMelhor opção

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Taxa Interna de RetornoÉ a taxa que iguala o retorno ao investimentoÉ a taxa que iguala o Valor Presente a zero

0

1 2 3 n

VPL = - Invest. + Resultados (P/A, i, n)

VPL

i

TIR

Page 23: Matematica Financeira

23

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Taxa Interna de Retorno - Exemplo

2.000

10.000

Reforma:

VPL = - 10.000 + 2.000 (P/A, i, 10) 0 = - 10.000 + 2.000 (P/A, i, 10) (P/A, i, 10) = 10.000 / 2.000(P/A, i, 10) = 5

Da tabela: TIR = 15,1 % > TMA

VIÁVEL

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Taxa Interna de Retorno - Exemplo

Aquisição: 4.70010.705

30.000

VPL = - 30.000 + 4.700 (P/A , i%, 10) +10.705 (P/F, i%, 10)

P/ i = 13 % VPL = - 1.343 P/ i = 11 % VPL = + 1.449P/ i = 12 % VPL = 3

TIR = 12 % > TMAVIÁVEL

Page 24: Matematica Financeira

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3. Análise de Alternativas de Investimentos

Taxa Interna de Retorno - Exemplo

Aquisição:4.700

10.705

30.000

2.000

10.000

Reforma:TIR = 15,1 %

TIR = 12 %

Qual a Melhor ?

VPL = 3420

VPL = 6496

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Taxa Interna de Retorno -Análise Incremental

4.70010.705

30.000

Menos2.000

10.000

Aquisição - Reforma:

20.000

2.70010.705

TIR = 10,7 % > TMA

Melhor Opção:Aquisição

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3. Análise de Alternativas de Investimentos

Taxa Interna de Retorno -Análise Incremental

VPL

i

Aquisição

TMA8%

6496

12%

Reforma

352015,1%

10,7%

Ponto de Fischer

FLUXOS COM MAIS DE UMA INVERSÃO DE SINAL

Page 26: Matematica Financeira

26

0

1 2 3 n1 INVERSÃO DE SINAL

VPL

i

TIR

0

1 2 3 n1 INVERSÃO DE SINAL

VPL

i

TIR

Page 27: Matematica Financeira

27

0

1 2 3 n2 INVERSÕES DE SINAL

i

VPL

TIR 1TIR 2

0

1 2 3 n3 INVERSÕES DE SINAL

i

VPL

TIR 1

TIR 2 TIR 3

Page 28: Matematica Financeira

28

QUAL TIR UTILIZAR?

OUTRO ASPECTO DA TIR QUE SE DEVE TER

CUIDADO!

2 INVERSÕES DE SINAL

10.000

0

1 2

1.600

10.000

0 = 1.600 - 10.000 x (1 + i)-1 + 10.000 x (1 + i)-2

i1 = 25% e i2 = 400%

Page 29: Matematica Financeira

29

0

1 2

1.600

10.000

10.000

-10.000 + 1.600 x (1 + 0,2) = -8.080

0

1 2

8.080

10.000

0 = -8.080 - 10.000 x (1 + i)-1

i = 23,8%

Page 30: Matematica Financeira

30

CIRCUNSTÂNCIAS ESPECÍFICAS

A. VIDAS DIFERENTES

B. VIDAS PERPÉTUAS

C. RESTRIÇÕES FINANCEIRAS

(MÚLTIPLAS ALTERNATIVAS)

EXEMPLO III.5

0 1 12

6000

4000

Máquina X

14000

0 1

2400

Máquina Y 18

2800

VPX = -6000-4000(P/A, 12%,12)

VPX = -30777

VPY= -14000-2400(P/A, 12%,18)+2800(P/F,12%,18)

VPY= -31035

Seria a melhoropção!

A. Vidas Diferentes

Page 31: Matematica Financeira

31

EXEMPLO III.5MMC (12, 18) = 36

0 1 12

6000

4000

Máquina X24

6000

4000

36

6000

4000

VPX = -6000[1+(P/F,12%,12)+(P/F,12%,24)]-4000(P/A, 12%,36)

VPX = -40705

A. Vidas Diferentes

EXEMPLO III.5

14000

0 1

2400

Máquina Y 182800

14000

240036

2800

VPY= -14000[1+(P/F, 12%, 18)]-2400(P/A, 12%,36)++2800[(P/F,12%,18)+(P/F,12%,36)]

VPY= -35070

A. Vidas Diferentes

Page 32: Matematica Financeira

32

EXEMPLO III.5

0 1 12

6000

4000

Máquina X24

6000

4000

36

6000

4000

VPX = -40705

14000

0 1

2400

Máquina Y 182800

14000

240036

2800

VPY= -35070A melhor

opção!

A. Vidas Diferentes

B. Vidas Perpétuas

Exemplo:Suponha que um investimento de $ 100.000 gere retornos anuais de$ 25.000. Para uma taxa mínima de 20 % ao ano, qual o VPL para vida de:a) 10 anosb) 50 anosc) vida infinita

P = A ( 1 + i ) 1

( 1 + i ) in

n

nlim → ∞−

P = A ( 1 + i )

( 1 + i ) i ( 1 + i ) in

n

n nlim → ∞−

1P = A

1

i•

Page 33: Matematica Financeira

33

B. Vidas Perpétuas

Solução: 25.000

100.000

A) 10 anos:VPL = -100.000 + 25.000 (P/A, 20%, 10) = 4811,80

B) 50 anos:VPL = -100.000 + 25.000 (P/A, 20%, 50) = 24.986,26

C) infinito:VPL = -100.000 + 25.000 x (1 / 0,2) = 25.000,00

Vida50

VPL

B. Vidas Perpétuas

Problema 6 (pág. III.17)

Page 34: Matematica Financeira

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Alternativa InvestimentoInicial

BenefíciosAnuais

TIR VPL

A 10.000 1.628

B 20.000 3.116

C 50.000 7450

C. Restrições Financeiras

Alternativas mutuamente exclusivas• No sentido técnico• No sentido financeiro

Exemplo:

10 %

9 %

8 %

1.982

2.934

4.832

Vida esperada: 10 anosTMA: 6 % ao anoCapital disponível: $ 75.000

Pacote Alternativas Investimento VPL12345678

C. Restrições Financeiras

Solução

Nenhuma (75.000) Zero

A 10.000 1.982

B 20.000 2.934

C 50.000 4.832

A, B 30.000 4.916

A, C 60.000 6.814

B, C 70.000 7.766

A, B, C 80.000 9.748

Page 35: Matematica Financeira

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C. Restrições Financeiras

Problema:Investimento Retorno

Departamento de Produção:E1 2000 275E2 4000 770

Departamento de qualidade:F1 4000 1.075F2 8000 1.750

Departamento de expedição:G1 4000 1.100

VPL

- 310731

26052753

2759

C. Restrições Financeiras

Solução:a) Só as melhores: E1, F2, G1b)

Pacote123456

AlternativasE2, F1E2, F2F1, G1F2, G1

E2, F1, G1E2, F2, G1

Investimento8.00012.0008.00012.00012.00016.000

VPL3.3362.4845.3585.5126.0956.243