Matemática Financeira 2012 Sistemas de Amortização · contratação. Sabendo que a taxa de juros...

Matemática Financeira 2012

Sistemas de Amortização

UNIP – Universidade Paulista

ICSC – Instituto de Ciências Sociais e Comunicação Curso de Graduação em Administração

Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline

2012

UNIP – Universidade Paulista ICSC – Instituto de Ciências Sociais e Comunicação Curso de Graduação em Administração

Séries de Pagamentos Este conteúdo pode ser visto como uma estensão de Juros Compostos. Enquanto em Juros

Compostos um empréstimo, ou uma compra, eram feitos para serem quitados em um único

pagamento, em série de pagamentos, como o próprio nome já diz, esse pagamento será feito

por mais de uma parcela. O mesmo pode enxergar as aplicações, que em Juros Compostos

analisávamos apenas uma aplicação de um valor único, em série de pagamentos permite-nos

estudar casos nos quais o investidor ou o mutuário, por exemplo, faz depósitos ou

pagamentos durante vários meses para chegar-se a um montante.

Tipos de Séries de Pagamentos

As séries de pagamentos dividem-se, basicamente, em dois tipos de séries: A Série

Antecipada e a Série Postecipada, vejamos a seguir:

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Séries de Pagamentos Série de Pagamentos Postecipada: é aquela na qual não há um depósito inicial, não existe

uma entrada, no caso de empréstimos ou financiamentos, apresenta o seguinte

comportamento demonstrado no fluxo abaixo:

C

Parcelas (P)

M

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Séries de Pagamentos Série de Pagamentos Antecipada: é aquela na qual existe um depósito inicial ou um

pagamento a título de entrada. Cuidado, nem todas as operações que possuem entrada são

séries de pagamentos antecipada. É necessário para ser caracterizada como série de

pagamentos antecipada, que o valor da entrada seja o mesmo valor das demais prestações,

vejamos o fluxo abaixo:

C

Parcelas (P)

M

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Sistema de Amortização Francês - SAF

TABELA PRICE

Características

As parcelas são constantes

Juros decrescentes

Amortizações crescentes

Saldo devedor decrescente

Onde: P= Valor da prestação C = Valor do Capital (Entrada, aplicação inicial) M = Valor do Montante i = Taxa de juros; t = Prazo. A prestação de uma série de pagamento é composta de duas partes, Juros e Amortização, ou seja, Prestação = Juros + Amortização

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TABELA PRICE

Série Postecipada

( 1 + i )t x i P = C x -------------- ( 1 + i )t - 1

i P = M x -------------- ( 1 + i )t - 1

Cálculo da prestação usando-se o Capital

Cálculo da prestação usando-se o Montante

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TABELA PRICE

Série Antecipada

( 1 + i )t x i 1 P = C x -------------- x --------- ( 1 + i )t – 1 (1 + i )

i 1 P = M x -------------- x ---------- ( 1 + i )t – 1 ( 1 + i )

Cálculo da prestação usando-se o Capital

Cálculo da prestação usando-se o Montante

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Sistema de Amortização Francês - SAF Vamos ver um exemplo de como construir uma tabela de amortização de um sistema francês (tabela

price).

Um cliente solicitou um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 para pagar em 5 prestações mensais

iguais e consecutivas, sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30 dias após a data da

contratação. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 10% ao mês, calcule o valor da

prestação e os juros e cota de amortização de cada mês. Como a primeira prestação vence 1 mês após

a data da contratação do empréstimo, estamos diante de uma série postecipada

Dados:

C = 10.000,00

t = 5 meses

i=10% ao mês

P = ???

Aplicando a formula temos:

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Aplicando a formula temos:

( 1 + i )t x i P = C x -------------- ( 1 + i )t - 1

( 1 + 0,10 )5 x 0,10 P = 10.000 x ------------------------- ( 1 + 0,10 )5 - 1

1,61 x 0,10 P = 10.000 x --------------- 1,61 - 1

0,16105 P = 10.000 x --------------- 0,61

P = 10.000 x 0,26402 P = 2.640,18

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Sistema de Amortização Francês - SAF Agora vamos preencher a tabela de amortização com os dados que já conhecemos

Toda informação que temos até agora é que o empréstimo será liquidado em 5 parcelas consecutivas de R$ 2.640,18 (valor encontrado acima). Para completar a tabela temos que ter os seguintes conceitos definidos: Os juros da parcela n é cobrado sobre o saldo devedor após o pagamento da parcela (n - 1), ou seja, o juros da 2ª parcela é cobrado sobre o saldo devedor após o pagamento da primeira parcela e assim sucessivamente. O valor da prestação é os juros somado com a amortização, podemos também concluir que a amortização é igual a prestação menos os juros. Somente a amortização reduz o saldo devedor, os juros não impactam no saldo devedor do empréstimo.

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Sistema de Amortização Francês - SAF Agora vamos calcular os juros da 1ª parcela: (considerando uma taxa de juros de 10% = 0,10)

J1 = i x SD0 J1 = 0,10 x 10.000

J1 = 1.000,00

Podemos calcular a amortização da primeira parcela como a diferença entre a prestação e os

juros:

A1 = P – J1 A1 = 2.640,80 – 1.000,00

A1 = 1.640,80

O novo saldo devedor será dado por:

SD1 = SD0 – A1

SD1 = 10.000,00 – 1.640,80

SD1 = 8.359,20

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Agora vamos repetir os mesmos procedimentos para completar a linha 2

J2 = i x SD1 J2 = 0,10 x 8.359,20 J2 = 835,92

Amortização

A2 = P – J2 A2 = 2640,80 – 835,92 A2 = 1.804,88

O novo saldo devedor será dado por:

SD2 = SD1 – A2 SD2 = 8.359,20 – 1.804,88 SD2 = 6.554,32

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Agora é só repetir os mesmos procedimentos para as próximas 3 linhas e encontrar os respectivos

valores.

J3 = i x SD2 J3 = 0,10 x 6.554,32 J2 = 655,43

A3 = P – J2 A2 = 2640,80 – 655,43 A3 = 1.984,75

SD3 = SD2 – A3 SD3 = 6.554,32 – 1.984,75 SD2 = 4.569,57

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Nesse exemplo procritérios de arredondamento restou uma diferença, o correto é que o saldo final seja

igual a zero.

O mais importante, nesse exemplo é entendermos os seguinte conceitos:

1. A prestação é sempre constante;

2. Os valores pagos de juros são decrescentes

3. Os valores de amortização são crescentes

4. Prestação é igual a juros + amortização

5. Os juros são calculados multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor do período anterior

6. Apenas a amortização reduz o saldo devedor

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Exercícios:

1) Qual o valor das prestações mensais que deverão ser pagas a um empréstimo no valor de R$ 2.500,00 contratados a uma taxa de 10% ao mês em 3 vezes? Construa a tabela mês a mês . (Prestação: 1.005,28)

2) Qual o valor das parcelas pagas por um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 contratado para ser liquidado em 3 prestações mensais, a uma taxa de juros de 10% a.m, sendo que a primeira parcela vencerá após 30 dias a data da compra? Construa a tabela mês a mês. (Prestação: 4.021,10)

3) Um cliente financiou uma motocicleta no valor de R$ 10.000,00 com uma entrada e mais 2 parcelas, sendo a primeira a vencer 30 dias após a compra. Sabendo que o banco responsável pelo financiamento cobra uma taxa de juros de 10% ao mês, qual o valor da prestação? (Prestação: 3.655,54)

4) Qual o valor das parcelas pagas por um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 contratado para ser liquidado em 12 prestações mensais, a uma taxa de juros de 1,2% a.m, sendo que a primeira parcela vencerá após 30 dias a data da compra? Construa a tabela mês a mês. (Prestação: 8.800,89)

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