MatemáTica Estudo Dos Log

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Professor Cláudio Kaneko

� LOGARITMO DE UM NÚMERO REAL Sejam a e b números reais positivos e b ≠≠≠≠ 1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que b

x = a.

Ou seja:

log b a = x ⇔ bx = a

Onde:

a → logaritmando ou antilogaritmo

b → base

x → logaritmo ��Exemplo: � Determine: a) log 2 8 Resolução: Representando por x o valor procurado, temos:

log 2 8 = x ⇔ 2x = 8 ⇔ 2

x = 2

3 ⇔ x = 3

Portanto, log 2 8 = 3 b) log 3 9 Resolução: Representando por x o valor procurado, temos:

log 3 9 = x ⇔ 3x = 9 ⇔ 3

x = 3

2 ⇔ x = 2

Portanto, log 3 9 = 2 �� APLICAÇÕES 01. Calcule: a) log 2 16 e) log 2 2 b) log 3 243 f) log 17 1 c) log 7 (1/49) g) log (5/3) 0,6 d) log 10 1000

02. Calcular o valor de x na igualdade: 273log9 = x.

03. Determine o valor de:

a) 55log5 c) 2

2log

3

4

b) log 0,2 0,04 d) log 0,04 0,2

04. O valor de 38 16log é:

a) 4/9 b) 4/3 c) 1/3 d) 3 e) 4

� CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA A partir dos exemplos abaixo, vamos estabele - cer alguns critérios para a existência de um logaritmo. ��Exemplos: a) Não existe log –3 27, pois não existe x real para que se tenha (-3)

x = 27.

b) Não existe log 0 7, pois não existe x real para que se tenha 0

x = 7.

c) Não existe log 1 3, pois não existe x real para que se tenha 1

x = 3.

� Conclusão: a base de um logaritmo não pode ser negativa, não pode ser igual a zero nem igual a um. d) Não existe log 2 (-8) , pois não existe x real para que se tenha 2

x = -8.

e) Não existe log 5 0, pois não existe x real para que se tenha 5

x = 0.

� Conclusão: o logaritmando não pode ser negativo e nem igual a zero.

≠<

>

1 b 0

0 a:C.E.

� CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO ��Exemplo: � Considerando a definição e as condições de existên - cia de um logaritmo, calcule: a) log 5 1 Resolução: Representando por x o valor procurado, temos:

log 5 1 = x ⇔ 5x = 1 ⇔ 5

x = 5

0 ⇔ x = 0

Ou seja: log 5 1 = 0 b) log 3 3 Resolução: Representando por x o valor procurado, temos:

log 3 3 = x ⇔ 3x = 3

1 ⇔ x = 1

Ou seja: log 3 3 = 1 c) log 2 2

5

Resolução: Representando por x o valor procurado, temos:

log 2 25 = x ⇔ 2

x = 2

5 ⇔ x = 5

Ou seja: log 2 25 = 5

d) 25log55

Resolução: Analisando o expoente temos:

log 5 25 ⇔ log 5 52 ⇔ log 5 25 = 2

Substituindo o valor encontrado temos: 25log55 = 5

2 = 25

Ou seja: 25log55 = 25

A partir dos exemplos acima é possível observar que:

log b 1 = 0 log a a = 1

log a an = n ab

alogb =

ESTUDO DOS LOGARITMOS

LOGARITMOS E-mail: [email protected]


�� APLICAÇÕES 05. Qual é o logaritmo de 49 na base 7? E o logaritmo de 1/8 na base 4? 06. Calcular com o auxílio da definição:

a) 27log

9

1 b) 27log33

07. Determinar o valor de base n que verifica a igualda - de log n 16 = 4 08. Calcule os seguintes logaritmos:

33log a)

9

1 316 8log f)

3749

7log b) 3

25

1 5log g)

0,6log c)

27

125 216log h) 2

+125

93 2log d) 1,4 0,001log i) 100

169

144log e)

12

13 7

7

1 77log j)

09. Calcule o valor dos logaritmos abaixo: a) log 2 32 h) log 3 (1/81) b) log 3 81 i) log 0,01 1000 c) log 25 125 j) log 0,01 0,0001

d) log 4 2 k) log 0,0625 (1/1024)

e) log 10 0,001 l) log 5

42

2

2 .3

12

f) log 5 625 g) log 7 343

10. O valor de

4log

2log

164 é:

a) 4 b) 1/2 c) 10 d) 1 e) 16 11. Calcule a soma S em cada caso:

5log 9

1log 8log S a) 532 ++=

2log - 5log 0,1log S b)2

325100 +=

2log 0,001log - 0,6log S c)

8

110

5

3 +=

12.(IME-RJ) Calcule o valor do logaritmo de 625 na ba-

se 3 55 .

� IGUALDADE ENTRE LOGARITMOS Dois logaritmos na mesma base serão iguais, se, e somente se seus logaritmandos também forem iguais.

Então:

log b a = log b c ⇔ a = c

��Exemplo: � Sendo log 3 x = log 3 9, encontre o valor de x. Resolução: log 3 x = log 3 9 ⇔ x = 9

� PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Os logaritmos apresentam algumas proprieda - des que tornam fundamental a sua utilização, principal - mente na simplificação de cálculos. Dentre elas teremos: P1) Logaritmo de Um Produto

log a (M . N) = log a M + log a N P2) Logaritmo de Um Quociente

log a (M : N) = log a M - log a N P3) Logaritmo de Uma Potência

log a nk = k . log a n

��Exemplos: a) log 3 (4 . 5) = log 3 4 + log 3 5 b) log 2 3 + log 2 7 = log 2 (3 . 7) c) log 5 (10 : 5) = log 5 10 - log 5 5 d) log 3 27 - log 3 9 = log 3 (27 : 9) e) log 2 8

3 = 3 . log 2 8

f) 2 . log 5 125 = log 5 1252

�� APLICAÇÕES 13. Determinar o valor de log 6, sabendo que log 2 = a e log 3 = b. 14. Se log a b = 1, então calcular log a (a . b). 15. Se log 2 b – log 2 a = 5, então determinar o quociente b / a. 16.(Fuvest-SP) Resolvendo-se 3 log x = 2 log 8, iremos obter:

a) x = ± 4 c) x = 4 e) x = ( 8 ) 2/3

b) x = ± 1/4 d) x = 1/4 17. Considerando log a 2 = 0,69 e log a 3 = 1,10, calcular

4a 12log .

18. Considerando log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcular: a) log 8 g) log 0,0001 b) log 12 h) log 200 c) log 72 i) log 3000

d) 2 log j) 3 60 log

e) 108 log k) 4 1,2 log

f) log 5 l) log (0,54)0,5

Matemática – Logaritmos – Professor Cláudio Kaneko


mudando para

base “c”

19. Calcule log 24, sabendo que log 2 = a e log 3 = b. 20.(FAAP-SP) Ache y real sabendo-se que:

log 2 y = log 2 3 + log 2 6 – 3 log 2 4 21.(Objetivo-SP) Se log x y = 2, então log x (xy) é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 22.(FGV-SP) Considerando o valor de log 10 2 = 0,3010 e log 10 3 = 0,4771, então poderemos afirmar que o valor de log 10 0,6 será igual a: a) 1,7781 d) – 0,2219 b) – 0,7781 e) 0,2219 c) 0,7781 23.(PUC-SP) O valor de log 0,04 125 é igual a: a) –2/3 b) –4/3 c) –3/2 d) 2/3 e) 4/3 24.(Fuvest-SP) Sabendo-se que a2 + b2 = 70ab, calcule

( )ab

b alog

2

5

+ em função de m = log 5 2 e n = log 5 3.

25.(PUCCAMP-SP) O sistema

=

=+

5 3y -4x

1 y log x log 22 tem so

lução, tal que x + y seja igual a: a) 3 b) 1 c) –11/7 d) 41/12

� MUDANÇA DE BASE

log a b alog

blog

c

c

��Exemplo: � Mudar para base “2” os logaritmos: a) log 4 5 Resolução:

4log

5log 5log

2

24 =

b) log 1/8 9 Resolução

(1/8)log

9log 9log

2

2

8

1 =

� COLOGARITMO

colog a b = - log a b ��Exemplo: a) colog 2 8 = - log 2 8 = -3 b) colog 3 1/9 = - log 3 1/9 = -(-2) = 2 �� APLICAÇÕES 26. Considerando log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule:

a) log 6 4 c) 3 12 log e) 3 108 colog

b) 6 log d) colog 72 f) colog 15-1

27. Considere log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 e mostre que colog 3 2 = log 1/3 2. 28. Qual é a base de um sistema logarítmico, onde o

logaritmo é 1/2 e o antilogaritmo é 2

2.

� EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS São equações que apresentam a incógnita localizada no logaritmando e/ou na base do logaritmo. ��Exemplos: a) log 3 (log 2 x) = 2 b) log x (x + 6) = 2 As equações logarítmicas podem se apresentar em dois tipos básicos que são: 1º TIPO ��Exemplos: � Determinar o conjunto solução das seguintes equa - ções logarítmicas: a) log 5 (log 2 x) = 0 Resolução: Aplicando a definição, duas vezes, obtemos: log 5 (log 2 x) = 0 log 2 x = 5

0

log 2 x =1

x = 21 ⇔ x =2

S = { 2 } b) log x (x + 6) = 2 Inicialmente aplicaremos a definição de logarit - mo e, em seguida, resolveremos a equação do 2º grau. Resolução: log x (x + 6) = 2 x2 = x + 6

x2 – x – 6 = 0

a = 1; b = -1 e c = -6

∆ = (-1)2 – 4 . 1 . (-6) = 25

=

=±=

3 x"

C.E.) a contraria pois convém, (não 2- x'

2

51 x

S = { 3 } �� APLICAÇÕES 29. Resolver as equações: a) log 1/2 (log 9 x) = 1 b) log 3 (2x – 1) = 4 30. Resolver a equação log 2 [log x (x + 2)] = 1 31. Determine o conjunto verdade das seguintes equa - ções logarítmicas: a) log 7 (log 2 x) = 0 b) log 3 (log 5 x) = 1 c) log 2 (x + 4) = 3

Aquelas em que aplicaremos apenas a defini- ção de logaritmo para sua resolução.

C.E: x > 0

C.E: x + 6 > 0 ⇔ x > -6

1 ≠ x > 0



2º TIPO ��Exemplo: � Determinar o conjunto solução da equação logarítmi - ca:

log 3 (x + 7) + log 3 (x – 1) = 2 Resolução: Inicialmente aplicaremos a propriedade relativa ao logaritmo do produto, ou seja: log 3 (x + 7) + log 3 (x – 1) = 2 log 3 [(x + 7) . (x – 1)] = 2 (x + 7) . (x – 1) = 3

2

x2 – x + 7x – 7 – 9 = 0

x2 + 6x – 16 = 0

a = 1; b = 6 e c = -16

∆ = 100

=

=±=

2 x"

convém) (não 8- x'

2

106- x

S = { 2 } �� APLICAÇÕES 32. Resolver a equação log 2 (x – 1) + log 2 (x – 2) = 1. 33. Qual é o conjunto verdade da equação logarítmica a seguir log x (3x + 4) = log x (4x + 2)? 34. Resolver a equação log 4 x + log 4 (x + 12) = 3. 35. Encontre o conjunto solução da equação abaixo:

log 3 (2x + 1) + log 3 (x + 8) = 3 �� GABARITO QUESTÃO 01: a) 4 b) 5 c) –2 d) 3 e) 1 f) 0 g) -1 QUESTÃO 02: x = 5/4 QUESTÃO 03: a) 3/2 b) 2 c) –1/3 d) 1/2 QUESTÃO 04: A QUESTÃO 05: 2 e –3/2 QUESTÃO 06: a) –3/4 b) 2 QUESTÃO 07: n = 2 QUESTÃO 08: a) –3/4 b) 1/3 c) –1/3 d) 3 e) –2 f) 1/4 g) –1/6 h) 9/2 i) –3/4 j) –8/7 QUESTÃO 09: a) 5 b) 4 c) 3/2 d) 1/4 e) –3 f) 4 g) 3 h) –4 i)-3/2 j) 2 k) 5/2 l) 0 QUESTÃO 10: D QUESTÃO 11: a) 3/2 b) –14/6 c) 41/6 QUESTÃO 12: 3 QUESTÃO 13: a + b QUESTÃO 14: 2 QUESTÃO 15: 32 QUESTÃO 16: C QUESTÃO 17: 0,62 QUESTÃO 18: a) 0,9030 b) 1,0791 c) 1,8572 d) 0,1505 e) 1,0167 f) 0,6990 g) –4 h) 2,3010 i) 3,4771 j) 0,5927 k) 0,0198 l) –0,13385 QUESTÃO 19: 3a + b QUESTÃO 20: 9/32 QUESTÃO 21: D QUESTÃO 22: D QUESTÃO 23: C QUESTÃO 24: 3m + 2n

QUESTÃO 25: A QUESTÃO 26: a) 0,7736 b) 0,3890 c) 0,3597 d) –1,8572 e) –0,6777 f) 1,1761 QUESTÃO 27: -0,630 QUESTÃO 28: 1/2 QUESTÃO 29: a) 3 b) 41 QUESTÃO 30: 2 QUESTÃO 31: a) 2 b) 125 c) 4 QUESTÃO 32: 3 QUESTÃO 33: 2 QUESTÃO 34: 4 QUESTÃO 35: 1

AS MARAVILHAS DA MATEMÁTICA!

ACÚSTICA E LOGARITMO

A ciência, nas suas várias ramificações, foi beneficiada pelo advento do logaritmo. A título de exemplo, descreveremos uma dessas aplicações. Ao estudar ondas sonoras, percebe-se que o som apresenta características como: altura, intensidade e timbre. No caso da intensidade (I), que representa a potência de uma onda sonora por unidade de área (W/m2), encontraremos detalhes interessantes como é o caso da limitação auditiva. Para perceber a on da sonora, o tímpano hu mano neces sita que ela tenha, no mí nimo, uma in tensidade I0 = 10

-12 (W/m2), chamado de limiar de audibilidade e, no máximo, de 1 (W/m2), chamado de limiar da dor. O nível sonoro (N) representa a comparação entre a intensidade sonora (I) e o limiar da audibilidade (I0). A sua unidade usual chama-se decibel (dB). A grandeza nível sonoro (N) obedece a uma escala logarítmica, sendo definida por:

0I

I log . 10 N =

É possível relacionar esses conceitos com diversas situações do cotidiano.

- O ouvido humano apresenta lesões irrecuperáveis sempre que é exposto, por um determinado tempo, a níveis sonoros (N) superiores a 80 (dB).

- As unidades bel (B) e decibel (dB) representam uma homenagem ao físico escocês Alexander Graham Bell (1847 – 1922).

Aquelas em que aplicaremos as proprie - dades do logaritmo para a resolução.

C.E: x + 7 > 0 ⇔ x > -7

x – 1 > 0 ⇔ x > 1


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