MATEMÁTICA ESTRUTURAL

Técnicas de

MEMORIZAÇÃOSilvio Salgueiro Melo

Viagem ao centro da Matemática

Introdução

Este pequeno ensaio versa sobre técnicas para facilitar a memorização dos conceitos na disciplina matemática, e assim contribuir para o desenvolvimento da logicidade dos estudantes.

Os Pilares Básicos da Proposta

Igualdade, repetição, proporção.

Proporção

Igualdade repetição

A logicidade em três momentos

Noção de igualdade – quando determinamos uma base inicial ou uma sequência primária, a igualdade será a observância dessa rigidez de modo a fazer posteriormente o que se fez no primeiro momento na base de apoio.

Noção de repetição – quando multiplicamos aquela base inicial. Pode ocorrer também a mudança posicional da base. O que caracteriza esse fato é a existência de muitas bases. Noção de proporção – caracteriza essa ideia um aumento aparente, seja ele visual ou quantitativo, mas essencialmente guarda relação de igualdade com as bases anteriormente estabelecidas.

Não iremos tratar mais a fundo essas três ideias dentro da matemática, pois foge da proposta deste ensaio; apenas vez ou outra poderemos fazer referência quando de sua utilização dentro de alguns tópicos.Essas são as ideias que devem nortear todo o raciocínio.

As sete ideias estruturais da proposta

Vocabulário Matemático

Diz respeito à capacidade em se analisar a matemática de forma estrutural. O vocabulário matemático trata então do sentido dos assuntos.

Se imaginarmos uma pessoa diante do alfabeto português, devidamente alfabetizada, e pedirmos para a mesma ler qualquer palavra, isto será possível devido ao vocabulário que o indivíduo possui a respeito do alfabeto. Entretanto, se se colocar uma palavra em grego, ou chinês, a pessoa sem o conhecimento daqueles vocabulários ficará totalmente inoperante para se entender a palavra ou frase. Assim, acontece com a matemática, é preciso adquirir primeiro seu vocabulário específico, para, a partir daí, se chegar ao raciocínio exigido.

Bola μπάλα

1ª Ideia estrutural: a lógica dos números

É preciso saber de modo prático o que é o numeral 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sua constituição. Para isto vamos partir da unidade indivisível dos reais, ou seja, o número 1 (representado pelo quadrado).

1

Definida a unidade inicial, agora inserimos as ideias de aumento e diminuição:

Diminuição Aumento

Se a unidade inicial for 1, o outro lado diminuição é zero. Dois é a unidade inicial mais uma unidade. Do outro lado dois é a eliminação de uma unidade. Três é uma unidade mais dois pedaços (do outro lado, três é a eliminação de duas unidades). E assim sucessivamente de modo que nove é uma unidade mais oito pedaços. Do outro lado nove é a unidade menos oito pedaços.

Assim, criamos um conceito estrutural a respeito dos números reais, sendo sua unidade indivisível ou inicial o número 1, representado aqui pelo quadrado.

2ª Idéia estrutural: um conceito visual das operações

É preciso ter um conceito visual do que sejam as operações fundamentais da matemática: soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

Mas esse conceito deve ser simultâneo, isto é, esse quadro visual deve ser de tal modo que permita ao estudante ver todas as operações ao mesmo tempo:

Aumento RealAumento Virtual MultiplicadoAumento Virtual Potencializado

A seguir mais uma mostra da potenciação:

A partir desse quadro, podemos introduzir duas ideias fundamentais para a compreensão da matemática em sua estrutura: aumento real e aumento relativo.

O aumento real se observa na soma. Significa dizer que aqui 1 vale 1; o aumento foi de três.

O mesmo não aconteceu nas operações de multiplicação e da potenciação. Na multiplicação o aumento real das unidades resultou num total de 12. Significa dizer que no caso o 3 esteve racionado com a base (cinco). Por isso o aumento foi relativo ou ‘virtual multiplicativo’. No caso da potenciação, o aumento real foi de 24 unidades. Falamos então de aumento virtual potencializado.

Do lado inverso, das diminuições, tivemos uma redução real (subtração); e diminuições relativas (divisão e radiciação).

A partir disso, temos duas maneiras de visualizarmos essas situações: do maior para o menor – potencição-radiciação, multiplicação-divisão, soma-subtração -; ou do menor para o maior: soma-subtração, multiplicação-divisão; radiciação-potenciação. A seguir, algumas figuras em que se observam essas estruturas.

Abaixo as expressões numéricas. Observe a sequência da potenciação ,para multiplicação e soma e subtração.

Dinamismo na matemática

Aproveitamos esses exemplos para explicarmos um conceito importante: a matemática é dinâmica, muda bastante. Assim, a sequência não precisa ser a do maior para o menor ou vice-versa. Pode acontecer da potenciação ‘descer’ pra multiplicação e parar na divisão; da potenciação nem sair da própria potenciação; da potenciação ir direto para a soma e daí para a subtração; e ainda os casos dessas estruturas formarem um subconjunto dentro de uma divisão, por exemplo, na figura abaixo:

Da potenciação, para a multiplicação e finalizando na divisão.

Fator comum: da potenciação para a multiplicação

Logo, se percebe a variedade das informações. Então um dos primeiros passos nesse estágio é percorrer vários assuntos e observar quais as sequências estruturais

dos assuntos. Isto é importante para o vocabulário matemático do aprendiz. As setas indicam algumas possíveis variações que as resoluções de questões podem seguir

Como se vê, o dinamismo pode ser imenso. Portanto, só com uma mente dinamicamente natural se pode chegar nessas variações.

3ª Ideia estrutural: um conceito finalístico das operações

Essa ideia parte da proposta de que o estudante deve ter com conceito ‘pequeno’, rápido, sobre para que sirvam as operações fundamentais.

A questão de determinar um conceito finalístico de cada operação abre espaço para o que chamamos de ‘unidade de sentido’, uma vez que permite ao estudante entender o sentido instantaneamente, o que possibilita a capacidade para entendimento das fórmulas matemáticas.

4ª Ideia Estrutural: número real (inteiro) e número virtual (relativo)

As equações ou formas matemáticas costumam vir de dois modos básicos: múmeros acompanhados de letras e números sozinhos. Assim àqueles acompanhados de letras com 2x, 4y, etc., chamaremos de números relativos (ou aumentos/diminuições virtuais) e os separados 12(doze), 8(oito), de inteiros.

Então, para o vocabulário inicial do estudante, o mesmo deve ter primeiramente essa visão vertical dos aumentos e diminuições (maior/menor; menor/maior), como também a visão ‘horizontal’ – números inteiros e relativos.

2x + 4x = x + 8 Parte relativa Parte inteira

5ª Ideia estrutural: quadrado proporcional (igualdades e inversões)

É preciso o domínio perfeito do quadrado proporcional e suas inversões. As noções de: se este é maior, aquele é menor; se este vai para um lado, o outro vai para oposto:

6ª Ideia estrutural: a movimentação matemática

Para a aquisição desse importante conceito vocabular matemático, nos auxiliaremos das ideias de início, meio e final (ou total). Significa dizer que as estruturas possuem uma fase inicial, intermediária e final. Portanto, as fórmulas matemáticas visam dar conta de todas essas alterações. Por isso, algumas aparecem de modo tão assustador, porque os três processos devem estar incorporados nas fórmulas.

C

A – início; B –meio e C – final.

Aqui também são importantes as ideias de estático e movimento. A parte inicial (a) pode ser associada à estática; e a do meio (b) é parte de movimentação, ou seja, é ela que ‘se mexe’: pega o ‘a’ e leva até ao ‘c’ (total).

A B

Essa ideia estrutural é decisiva em muitos assuntos, uma vez que se podem associar vários entes cruciais com a ideia de movimento como, por exemplo, o índice da potenciação, o resultado do logaritmo, o determinante da matriz.

Para a fixação definitiva dessas ideias pensemos na seguinte analogia: duas malas de bagagem isoladas no solo (seria a parte a). Um jumentinho carregando-as no lombo (ideia de movimentação – b). (E, por fim, o mesmo chega com a mala em uma rodoviária - seria o total ou final).

Início Meio (movimentação) Final (total)

7ª Ideia estrutural: unidade e diversidade

Parece coisa de oriental, mas essas ideias são de grande utilidade para o vocabulário matemático de compreensão. A unidade será do seguinte tipo: o que está separado se procura juntá-lo de modo a ter um a visão dos elementos num único quadro. De certo modo fizemos esses princípios quando colocamos as seis operações matemáticas de modo visual (2ª ideia estrutural). Assim, apesar de ser uma tarefa difícil, quando conseguida promove uma verdadeira revolução mental em quem a executa.

A diversidade consiste em se procura desenvolver varias visões, formas, conceitos sobre a mesma coisa. Exemplo: o conceito da divisão sob diferentes ângulos

A seguir, mais um conceito visual.

Ainda nos exemplos temos a seguir o círculo observado sob deferentes padrões:

Essa questão da multiplicidade é extremamente importante no campo da matemática. Isto porque como dissemos no início deste ensaio, como existe um dinamismo muito grande na disciplina um conceito apenas do que quer que seja, pode ser insuficiente em todos os capítulos explorados. Assim, dizer que a multiplicação é uma soma de parcelas iguais pode ser importante em alguma parte da matemática, mas não significa que será eficiente em outra. Logo, para sanar essa pobreza conceitual somente elaborando diferentes conceitos para a mesma operação para que a mesma seja compreensível de modo prático nos diversos assuntos. A

figura a seguir confere uma imagem para a fixação desses conceitos.

Diversidade da Unidade Unicidade da diversidade (visão simultânea)

Ainda tratando da unidade da multiplicidade, se pode explorar o inter-relacionamento de todas as operações fundamentais em seus entrecruzamentos e correlações. Como se vê, é um trabalho hercúleo. Abaixo, mais um trabalho de unidade na multiplicidade.

Delimitadas essas sete ideias estruturais, as mesmas passarão a ser as condicionantes do vocabulário para a compreensão da matemática de modo estrutural. Ou seja, é preciso saber de prontidão cada uma delas (ou ter um quadro visual das mesmas).

Raciocínio limitado X Raciocínio expandido

A proposta funciona do seguinte modo: o raciocínio limitado é aquele em que o estudante aprende algumas regras e pratica alguns exercícios (digamos que um número de trinta). Ele ganhou então trinta estratégias para resolver problemas matemáticos. Se por acaso lhe for proposto resolver questões dentro daquele padrão das trinta respostas, ou perguntas parecidas com as resolvidas, ou ainda que necessite raciocinar dentro daquele conjunto, provavelmente o mesmo conseguirá. No entanto, se a pergunta fugir totalmente daquele conjunto, dos padrões de respostas, o estudante ficará com poucas chances de consegui-las, uma vez que o raciocínio do mesmo estará limitado àquelas maneiras de ‘solucionamento’ – raciocínio limitado.

Para sanar esse problema só mesmo com o raciocínio expandido. Assim como ‘nada substitui o talento’, aqui nada substitui o esforço, ou a experiência de raciocinar. Portanto, só haverá expansão genuína se houver aquecimentos mentais por parte de quem quer aprender.

Esses aquecimentos realmente alteram a estrutura física das memórias do indivíduo e o prepara para passar da mente geral para a mente analítica (capacidade de reconhecer partes, ordená-las, reorganizá-las, entre outras coisas).

Mente geral X Mente analítica

Na matemática, especificamente, além das experiências de raciocínio, como o campo é vasto e já tem milhares de anos de história, se requer um banco de dados com as múltiplas maneiras de se solucionar as principais questões de todas as partes. Assim, seria uma demora de tempo chegar apenas pelo raciocínio pessoal, é preciso ter um banco de respostas respondidas e comentadas para ir ganhando tempo e experiência com o que já foi acumulado pela humanidade.

Atenção concentrada X Atenção dispersa

Ainda nas preliminares, o aprendizado da matemática envolve uma dose grande de concentração. É necessário ao estudante parar num determinado local e colocar os neurônios para funcionarem. Aqui existe uma grande dificuldade a ser sanada. De modo geral alunos superativos, irrequietos, tendem a ter maiores dificuldades de concentração. Quando lhes é atribuída tarefas desse tipo ficam rapidamente entediados ou sem paciência até ao final. Já no outro lado, os alunos com grande capacidade de concentração costumam ser mais retraídos, menos

Experiências Pessoais Banco de Questões

hiperativos. Cabe ao educador reconhecer essas características e promover sua solução. Pois o que se requer na matemática é um tempo de concentração, que pode ser curto ou longo.

Mente estática X Mente Dinâmica

Como já foi falado, a matemática é dinâmica, muda constantemente, tanto a lógica de capítulo para capítulo, bem como a resolução de uma mesma questão. Então o educador deve preparar a mente de estudante para esse dinamismo e para a mente do mesmo ser dinâmica. Existem dois tipos de dinamismo: o técnico e o natural. O técnico é exatamente aquele em que o professor ensina dois ou mais tipos de maneiras de se solucionar um problema. Já o natural é a capacidade do aluno entender por si só uma teoria matemática ou resolver um problema, após algumas tentativas. Significa que o mesmo olhou por ângulos diferentes o problema e chegou a sua resposta ou entendimento.

Dinamismo técnico X Dinamismo natural

Resolvidos esses problemas iniciais, ou seja, queremos o estudante com raciocínio expandido, a capacidade analítica, atenção concentrada, mente dinâmica, com dinamismo natural e com um vocabulário matemático bastante apurado, ou ao menos com as sete ideias estruturais deste ensaio, podemos partir para á prática.

Conceito numérico/verbal X Conceito Visual

Na verdade, o que se busca com a proposta é exatamente uma integração dos dois ângulos de observação do ser humano: o linguístico e o visual. Assim, ao propormos que cada elemento deve ter seu conceito e uma imagem estamos facilitando o entendimento de modo preciso, mas também de modo mais leve os fatos matemáticos.

Integração: conceito verbal e conceito visual

1ª etapa: aquecimentos – adquirir experiência pessoal de raciocínio (alterações físicas das memórias)

Os dois lados do cérebro:

1. Lógica numérica

Contar de 2 em 2; de 3 em três; 4 em 4 até ao numeral 10 , de 0 a 100. Depois a mesma sequência de 100 a. 0. As operações podem ser feitas mentalmente ou mesmo com auxilio de papel e lápis.

2. Criar diferentes conceitos para a soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação (ao menos 5 para cada operação).

3. Operações fundamentais: Somar, subtrair, multiplicar, dividir, potenciação (2 até numeral 10),radiciação (2 até numeral 10).

3. Decomposição dos números em fatores primos. Até o numeral 20. A partir daí se trabalha por hipóteses:

4. Montagem de proporções. Aperfeiçoar a lógica dos números:

5. Montagem das operações

Aqui é a última etapa da parte numérica; chega o momento do estudante construir as operações fundamentais de soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

Esse estágio é essencial, pois é aqui que se operará de maneira bem nítida aquilo que propomos no início dos objetivos da metodologia: tornar a mente analítica.

Inicialmente pode parecer algo banal e sem muito propósito ou até fácil demais, ou perda de tempo pedir para alguém montar as operações fundamentais. Ledo engano. Veja como fica a base em que se trabalharão as sequências:

Nos números N, Z, Q, I e R..

Ou seja, num primeiro momento, o estudante opera apenas duas ideias. Por exemplo: soma no conjunto dos naturais.

Noutro momento, o mesmo trabalhará com três ideias: Soma de potenciação no conjunto dos naturais.

Mais adiante, o estudante se verá operando quatro ideias simultaneamente para formar a operação. Ex: Potenciação (1) de radicais (2) na multiplicação (3) dentro do conjunto dos naturais. Então perceba que não é tão fácil assim a tarefa, exige-se uma mente analítica pra se acertar o conceito.

O interessante desse aquecimento é que quando o aluno for estudar as propriedades dos números, em algum momento ele vai se deparar com uma operação ‘construída’ por ele mesmo durante o treinamento, quer dizer, vai entender melhor a variação dos números dentro de uma situação.

Entretanto, como podem ocorrer muitos erros nesse aquecimento, cabe ao orientador trabalhar essa questão de modo que ao final a tabela seja construída pelo próprio aluno.

A seguir fotos de uma sequência resultante.

,Montagem das Operações

Montagem das Op. 2

Passados esses sete aquecimentos iniciais, agora vem a parte geométrica.

6. Trabalhos com os gráficos (Igualdades e inversões). Aqui podem ser trabalhadas

as retas vertical, horizontal e inclinadas. O estudante cria a reta e procura sua inversa e oposta.

Figura com retas

7. Descobrir a posição relativa das retas de base. Esse exercício é muito importante, uma vez que o aprendiz trabalha bastante seu cérebro procurando identificar onde as retas foram cair depois da movimentação. Talvez até um dos mais importantes da matemática.

Reta dada

8.Conceitos complementares

A diagonal do quadrado. Fazer sempre a referência que a mesma divide a figura pela metade.

A ‘cruz’ dentro do círculo. Traçar o paralelismo da soma, multiplicação e potenciação com as retas do mesmo.

Soma Multiplicação Potenciação

As quatro consequências da alteração de um raio no círculo. Alterando uma ponta, a ‘cruz’ inteira altera, logo, termos quatro posições relativas às quatro primeiras.

Estabelecer as relações entre a diagonal e suas duas retas: vertical e horizontal. Multiplicidade de conceitos.

Valores relativos (vertical e horizontal) e valor real (diagonal).

Explicar o xis de múltiplas formas como: uma pessoa caminhando da esquerda para direita. Y um avião decolando como um foguete pro espaço. Xis sendo a linha horizontal ou ‘deitada’. Xis sendo inteiro (x) e xis ‘quebrado’ (x1, x2, etc.).

Pensamento pela igualdade. Quando se procura fazer a mesma seqüência da base inicial.

Pensamento pelo complemento. Quando completa-se a figura em sua totalidade. Ex: estando no triângulo refazer o quadrado, ou refazer o círculo; estando em 75º, refazer o 90º ou 180º etc.

Pensamento pela retidão. Procura-se traçar as linhas vertical e horizontal dentro do problema que envolve linhas inclinadas.

Pensamento pela proporção. Quando se comparam duas ou mais figuras entre si no problema.

9.Aquecimentos complementares (apenas a título de exemplo, o essencial é que qualquer trabalho de raciocínio é válido)

O importante nessa etapa, é que o ‘construtor-aluno’ tenha uma visão total das partes. Assim, testa múltiplas possibilidades de uma sequência, a fim de dominar um todo.

Como cada desenvolvimento é individual, ele terá a cara das experiências de quem o fez, o que vamos mostrar aqui é apenas uma sequência já praticada; a fim de se ter referência de como se pode evoluir nessa parte geométrica.

O mote inicial foi a raiz quadrada, então se chegou a estes gráficos:

Através do gráfico, surgiu a ideia de trabalhar com o círculo.

Vale lembra que, cada passagem um mote para outro, não se deu forma rápida. O praticante passou um, dois, três dias ou mais trabalhando combinações e tirando conclusões, que é o mais importante da metodologia. O que mostramos aqui é apenas um resumo das passagens.

Na figura abaixo, se trabalhou o quadrado procurando-se a associação com seus lados, isto é, proporções e igualdades:

Uma ideia interessante da figura acima, foi a constatação que o raio da circunferência podia ser a base do quadrado do 1º quadrante. Isto permitiu que, ao se movimentá-lo em sentido anti-horário, o quadrado também se moveria proporcionalmente.

A figura abaixo também após trabalhar com três quadrados, veio a ideia do cubo (três); imediatamente se imaginou os lados dos três quadrados somando12. Então, o praticante construiu um cubo com as doze arestas, para conferir se dava certo.

Cubo formado pelas doze arestas dos três quadrados.

Igualdades

Com a ideia do quadrado no 1º quadrante, logo adveio a possibilidade de completar-se os quatro quadrantes com 4 quadrados. Daí chegou-se a diagonal e a divisão do arco de cada quadrante em dois pedaços. (Abaixo):

Linha do arco em 2 partes em cada quadrante

Percebendo-se essa divisão, foi natural imaginar que quanto mais se dividisse o arco do quadrante, maiores pedaços se conseguiria. Consequentemente se fez para ver como ficariam os aumentos e diminuições em relação à base 1 (comprimento do raio):

Muitas divisões do arco Ideia de juntar o quadrado no círculo.

Na figura a seguir, se estava trabalhando vários círculos. Nesse caso, procurando-se identificar os raios de cada circunferência:

Identificação dos raios

A figura abaixo foi importante porque se identificou o ‘quadrado’ ou retângulo

Aqui já se busca relacionar os

raios das circunferências.

entre pontos das circunferências. Isto abriu oportunidade para que se tentasse ‘construir’ o quadrado em diversas situações apresentadas pelas uniões de pontos de circunferências.

Quadrado identificado

Formação de ‘quadrados’

Na figura a seguir, se tem um quê de especial, porque através dela se chegou a estabelecer conclusões sobre o triângulo retângulo.

O triângulo inicial era formado apenas pela seguinte figura:

Na verdade, a metodologia exposta neste documento Word não expressa

perfeitamente o que se consegue com a prática de cada aquecimento. Porque o que fazemos aqui é apenas uma amostra de cada sessão que vai se sucedendo durante a

prática.Como o aluno realiza muitas sequências e muitas repetições, chega uma hora

que sua mente fica atenta para os elementos primordiais de cada exercício. Fica mais analítica. Assim, quando se determinou o triângulo retângulo e identificaram-se os elementos: pontos e lados; ao se traçar uma diagonal ou altura e o mesmo ter ficado dividido em dois triângulos menores, veio a indagação: onde os elementos do pontos e lados do triângulo maior foram parar nos menores? Isto é, em termos proporcionais. Assim chegou-se ao resultado a seguir:

Conclusão: que se mudando a posição do triângulo, muda-se os pontos também. Logo, é esse tipo de indagação que constitui o mérito da metodologia, fazer o aluno pensar em cima de suas repetições, procurando identificar padrões.

De acordo com o fio da meada, se estava trabalhando o círculo e o quadrado, aos poucos foram evoluindo para o triângulo retângulo. Então surgiu outra fase de relacionar triângulo e circunferência. O objetivo passou então para se fazer inúmeras figuras, procurando-se relacionar os lados do triângulo com o raio da circunferência.

Relacionar lados e raios

Relacionar triângulo e

quadrado (lados)

Procurando-se proporções

Na figura a seguir, o aquecimento evoluiu para comparar três figuras simultaneamente: círculo, quadrado e triangulo; e seus respectivos elementos – raio/comprimento, lados e lados.

Um possível desdobramento que não colocamos no documento, seria relacionar uma figura dentro de outra e procurar suas razões, como abaixo.

No caso, estamos partindo do quadrado e do triângulo.

Outros exercícios gerais de impacto cerebral

Qualquer indivíduo pode procurar outros exercícios de impacto que propiciem essa alteração na estrutura cerebral visando seu desenvolvimento, abaixo uma pequena lista:

1- Escrever qualquer coisa como poesia, historinhas ou textos explicativos;2- Ouvir músicas e memorizá-las;3- Operações com números cada vez maiores;4- Escrever com cada mão: direita e esquerda;5- Praticar atividades esportivas;6- Praticar dança visando o domínio do próprio corpo;7- Realizar malabarismo esportivo com as partes direita e esquerda do corpo. Ex:

bola de futebol, ou basquete etc.8- Comer com a mão trocada;9- Equilibrar uma bola na testa;10-Girar uma bola com dedo médio.

2ª etapa: técnicas de memorizaçãoSupõe-se até aqui o domínio satisfatório do vocabulário matemático (7 idéias

estruturais), treino individual para modelação cerebral visando alterar as estruturas físicas das memórias do aprendiz. Passamos agora a um passeio pelos capítulos da matemática, em que se estabelecem figuras para facilitar a memorização dos conceitos e fórmulas. Lembrando que as figuras criadas para a memorização são apenas analógicas, e não condições perfeitas do fato matemático relacionado. A ideia é que pela semelhança o estudante possa memorizar as fórmulas e prosseguir seu trabalho de raciocínio. Uma vez que se o aluno não relacionar a fórmula ou conceito a qualquer coisa, a mesma perde o sentido e as memórias do fato.

Além da figura para auxilio na memorização, destacamos os tipos de pensamentos que são bastante exigidos nos capítulos abordados, embora se saiba que todos os tipos de raciocínio são necessários nos diversos assuntos. Apenas colocamos os mesmos devido ao fato de serem notáveis logo que se iniciam os estudos na unidade referida.

Breve passeio por alguns capítulos da matemática

No primeiro quadro (1) temos as operações fundamentais e suas propriedades. O destaque aqui fica por conta de se ter uma imagem conceitual das operações de modo ‘vertical’, isto é, cada operação sendo imediatamente superior ou inferior com o seu antecedente ou conseqüente:

Conceito vertical das operações

Quadro 1

No quadro 2, temos a figura que serve de gancho para memorização das equações de 2º grau:

Quadro 3

No quadro seguinte – 4 – merece destaque a figura para se memorizar o sistema de equações ou inequações. Existe uma dificuldade inicial do estudante em gravar aquelas idas e voltas das substituições, então, coloca-se a figura do símbolo da multiplicação com uma parte central escura, indicando a transitoriedade de um sistema para outro.

Quadro 4

Outra parte de fundamental importância na matemática, é a questão de condicionar o aluno a encontrar coeficientes, como a, b, ou c etc. Então para efeito de memorização achamos muito útil os conceitos de valor real (números absolutos), e os valores relativos (multiplicados).Quadro 5

Quadro 5

Razão e proporçãoNesta parte o destaque fica por conta do 1 da potenciação com a capacidade de

reapresentar qualquer capital (1 relativo). Daí a importância do conceito visual. O restante fica associado ao quadrado proporcional.

A seguir a parte da geometria com destaque para os pensamentos pela complementação, pela proporção, pela igualdade e pela retificação.

Quadro 6

Quadro 7

À frente na trigonometria, vale o destaque de se trabalhar o triângulo retângulo nas diferentes posições pra ver onde cai o seno e o cosseno.

Quadro 8

Na quadro 9, da trigonometria nos casos da soma, subtração, multiplicação a compreensão fica facilitado quando se promove a movimentação dos arcos ,dentro do círculo. Destacando que cada seno está junto com seu cosseno; se aquele for eliminado na operação, seu parceiro também o será.

Quadro 9

Quadro 10

Quadro 11

Quadro 12

Raciocínio Lógico

Na parte de cima da figura (quadro 13) se usa a proporção para memorizar a construção das tabelas; Usamos a figura dos dois lados (aumentos e diminuições) para memorizar os conectivos ‘E’ (^) DIMINUIÇÕES – FALSO, e ‘OU’ (v) AUMENTOS – VERDADEIRO. Na parte de baixo da figura, O CONECTIVO SE E SOMENTE SE - associamos cada ponta da flecha a verdadeiro ou falso. Ex: Falso----falso ou verdadeiro-----verdadeiro, sendo o resultado verdadeiro nesses dois casos.

O que fizemos com esse breve passeio pelas unidades foi aplicar a ideia estrutural da unidade nas diversidades. Ou seja, pegamos certos padrões e levamos aos conceitos procurando sempre a analogia para facilitação da aquisição das memórias por parte do estudante.

Resumo da proposta:Experiências do estudante;Visão estrutural;Visão específica –linguagem e representação matemática.

Palavra finalO que faz a diferença mesmo

Uma técnica pode resolver uma parada simultaneamente, mas, como se disse nada substitui o esforço de raciocinar. Então é preciso antes de tudo destravar a mente, e só esses treinos iniciais fazem isso. No outro extremo, claro, a resolução de exercícios e um banco de dados bastante grande, para ir ganhando múltiplas estratégias de resoluções de exercícios.

NADA SUBSTITUI O TALENTONada substitui o esforço

Para não esquecerExiste sempre uma tendência do educador em sair do foco, que nesse caso é o

cerne da metodologia; Assim, é necessário o autopoliciamento para não perder a ideia de vista, pois o estudante só poderá pensar em cima de tabelas repetitivas com certo tamanho.

Para que a metodologia atinja seu fim com mais coerência, é importante o pesquisador determinar alguns padrões de controle; isto é, ter em cada etapa ideias que os praticantes deverão ter consciência caso finalize cada fase. Significa dizer que, se durante suas ‘descobertas’ o mesmo não chegar a algum padrão, o controlador do método pode adicionar esse padrão para que os conhecimentos dos praticantes prossigam com mais qualidade. Uma espécie de ‘tesouro’ de cada atividade.

Por parte do aprendiz se objetiva a quebra de seus muros ou resistências em relação à Matemática. Seus conceitos negativos. Por isso se usa as repetições para que o mesmo tenha controle total do processo e se aproprie dos resultados como algo feito por ele mesmo.

Com isso se espera o envolvimento do aluno com a Matemática. Essa é a palavra central: envolver-se. Que aos poucos adentre na matéria e, sem que o mesmo se dê conta, esteja gostando da ciência. A palavra final é: prazer no estudo da matemática, só assim se consegue ir adiante e se consegue resultados.

***