Matemática Essencial

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Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos Trigonometria: Trigonometria do Triângulo Retângulo Trigonometria e aplicações Triângulo Retângulo Lados de um triângulo retângulo Nomenclatura dos catetos Propr. do triângulo retângulo A hipotenusa (base) do triângulo Projeções de segmentos Projeções no triângulo retângulo Relações Métricas Funções trigonométricas básicas Trigonometria e aplicações Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio. A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns. Algumas aplicações da trigonometria são: Determinação da altura de um certo prédio.

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MatemáticaEssencial:  Alegria  Financeira  Fundamental  Médio  Geometria  Trigonometria  Superior   Cálculos

Trigonometria: Trigonometria do Triângulo Retângulo Trigonometria e aplicações Triângulo Retângulo

Lados de um triângulo retângulo Nomenclatura dos catetos

Propr. do triângulo retângulo

A hipotenusa (base) do triângulo Projeções de segmentos

Projeções no triângulo retângulo Relações Métricas

Funções trigonométricas básicas

Trigonometria e aplicações

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com aTrigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava

série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma páginamais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do EnsinoMédio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desdea antiguidade já se usava da trigonometria para obter distânciasimpossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

Algumas aplicações da trigonometria são:

Determinação da altura de um certo prédio.

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Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por umprocesso muito simples.

Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porémcom a trigonometria se torna simples.

Um engenheiro precisa saber a largura de um rio paraconstruir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando eleusa dos recursos trigonométricos.

Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a alturade uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem atrigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria dotriângulo retângulo.

Triângulo Retângulo

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seusângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Comoa soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.

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Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulossão denominados complementares, portanto podemos dizer que otriângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

Para ver mais detalhes sobre triângulos clique aqui.

Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais.Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação aoângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os ladosque formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Termo Origem da palavra

CatetoCathetós:

(perpendicular)

HipotenusaHypoteinusa:

Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos asseguintes notações:

Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medidaa Hipotenusa A = Ângulo reto A=90°b Cateto B = Ângulo agudo B<90°

c Cateto C = Ângulo agudo C<90°

Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.

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Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posiçãoem relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com oângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto aoângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o catetoadjacente ao ângulo C.

Ângulo Lado oposto Lado adjacenteC c cateto opostob cateto adjacente

B b cateto opostoc cateto adjacente

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitosmatemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando aspropriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo.O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.

Propriedades do triângulo retângulo

1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e doisângulos agudos complementares.

2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, umahipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os

catetos.3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem umaextremidade num vértice e a outra extremidade no lado opostoao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao ladooposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo,sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a

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altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por he perpendicular à base.

A hipotenusa como base de um triângulo retângulo

Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:

1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa àhipotenusa CB, indicada por a.

2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal docateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal docateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

Projeções de segmentos

Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Jámostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíquado prédio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes épossível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.

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Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentosAB são indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é umponto.

Projeções no triângulo retângulo

Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triânguloretângulo.

1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.3. a = m+n.4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique

sobre média geométrica.

Relações Métricas no triângulo retângulo

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Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição dotriângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores:ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na somados ângulos CÂD=B e DÂB=C.

Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB sãosemelhantes.

Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor 

ABC a b c

ADC b n h

ADB c h m

Assim:

a/b = b/n = c/ha/c = b/h = c/mb/c = n/h = h/m

logo:

a/c = c/m equivale a c² = a.m

a/b = b/n equivale a b² = a.na/c = b/h equivale a a.h = b.ch/m = n/h equivale a h² = m.n

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Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Comoa=m+n, somando c² com b², obtemos:

c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²

que resulta no Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

A demonstração acima, é uma das várias demonstrações doTeorema de Pitágoras.

Funções trigonométricas básicas

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidasdos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funçõesbásicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno etangente. O ângulo é indicado pela letra x.

Função Notação Definição

seno sen(x)medida do cateto oposto a x

medida da hipotenusa

cosseno cos(x)medida do cateto adjacente a x

medida da hipotenusa

tangente tan(x)medida do cateto oposto a x

medida do cateto adjacente a x

Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto opostoCO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a

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tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cossenodesse ângulo.

sen(x)= COH = CO1 cos(x)= CAH = CA1 tan(x)= COCA = sen(x)cos(x)

Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos),vale a importante relação:

cos²(x) + sen²(x) = 1Construída por Cristiano A.Santos, Leonidas Marchesini

Jr. e Ulysses SodréAtualizada em 14/out/2004.

Equações de 2º grauDefinições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x , toda equação da forma:

ax 2 + bx + c = 0; a, b, c  IR e

Exemplo:

•  x 2 - 5x + 6 = 0  é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.• 6x 2  - x - 1 = 0  é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.• 7x 2  - x = 0  é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.•  x 2  - 36 = 0  é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax ² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida deuma equação do 2º grau na incógnita x ) chamamos a, b e c de coeficientes.  a é sempre o coeficiente de  x ²;  b é sempre o coeficiente de x ,  c  é o coeficiente ou termo independente. 

Equação completas e IncompletasUma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

 x ² - 9 x + 20 = 0 e - x ² + 10 x - 16 = 0 são equações completas.Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando

ambos são iguais a zero. Exemplos:•  x ² - 36 = 0

(b = 0)•  x ² - 10 x = 0

(c = 0)• 4x ² = 0

(b = c = 0)

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Raízes de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação,transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ouconjuntosolução. Exemplos:

• Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação x ² - x - 2 = 0 ?

  Solução  Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto everificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para x = -1(-1)² - (-1) - 2 = 0

1 + 1 - 2 = 00 = 0

(V)

Para x = 00² - 0 - 2 = 00 - 0 -2 = 0

-2 = 0

(F)

Para x = 11² - 1 - 2 = 01 - 1 - 2 = 0

-2 = 0(F)

Para x = 22² - 2 - 2 = 04 - 2 - 2 = 0

0 = 0(V)

Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2 p - 1) x ² - 2 px - 2 = 0.

SoluçãoSubstituindo a incógnita  x por 2, determinamos o valor de p.

• Logo, o valor de p é .

Resolução de equações incompletasResolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas

importantes propriedades dos números reais:

  1ª Propriedade:

2ª Propriedade:

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1º Caso: Equação do tipo .Exemplo:

• Determine as raízes da equação , sendo .

SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:

 

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

 Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

 

De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .

  2º Caso: Equação do tipoExemplos:

• Determine as raízes da equação , sendo U = IR.  Solução

 

De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número

positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo. 

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Resolução de equações completasPara solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

A partir da equação , em que a, b, c   IR e , desenvolveremos passo apasso a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

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2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

3º passo: adicionar aos dois membros.

4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por  .

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim: 

Exemplos:

• resolução a equação:

Temos

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Discriminante

Denominamos discriminante o radical b

2

- 4ac que é representado pela letra grega (delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .

O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo:• Para quais valores de k a equação x ² - 2 x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?

Solução

Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter 

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Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo

O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

 Exemplo:

• Determine o valor de p, para que a equação x ² - ( p - 1 ) x + p-2 = 0 possua raízes iguais.Solução

Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

 Logo, o valor de p é 3.

3º Caso: O discriminante é negativo .

O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equaçãosão número complexos. 

Exemplo:• Para quais valores de m a equação 3 x ² + 6 x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?

Solução

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Para que a equação não tenha raiz real devemos ter 

Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.Resumindo

  Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:

Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.

Para , a equação tem duas raízes reais iguais.

Para , a equação não tem raízes reais.

 EQUAÇÕES LITERAISAs equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termosindependentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadasparâmetros.Exemplos:

ax2+ bx + c = 0 incógnita: xparâmetro: a, b, c

ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: xparâmetro: a

 

Equações literais incompletas

A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equaçõesnuméricas.

Observe os exemplos:• Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.

  Solução3x2 - 12m2 = 0

3x2 = 12m2

x2 = 4m2

 

x=

Logo, temos:

• Resolva a equação literal incompleta my 2 - 2aby=0,com m 0 , sendo y a variável.  Solução  my 2  - 2aby = 0   y(my - 2ab)=0 Temos, portanto, duas soluções:  y=0   ou

  my - 2ab = 0 my = 2ab y=

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Assim:

Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido:  my 2  - 2aby= 0 

my 2 = 2aby my = 2ab

 

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira adivisão por zero, que é um absurdo.

Equações literais completasAs equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:Exemplo:

Resolva a equação: x 2  - 2abx - 3a2 b2 , sendo x a variável.  Solução

Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2 b2 

 

Portanto:

 Assim, temos: V= { - ab, 3ab}. 

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZESConsidere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

Logo:

Observe as seguintes relações:• Soma das raízes (S )

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• Produto das raízes (P )

 

Como ,temos:

Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicaçãodessas relações.

• Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0.SoluçãoNesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.

A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a

Assim: Assim:

• Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas

raízes seja igual a 7.SoluçãoNesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.

S= x1 + x2 = 7

Logo, o valor de k é -2.

• Determine o valor de m na equação 4x 2  - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes sejaigual a -2.

SoluçãoNesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m.

P= x 1. x 2 = -2 

 

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Logo, o valor de m é .• Determine o valor de k na equação 15x2 + k x + 1 = 0, para que a soma dos inversos de

suas raízes seja igual a 8. 

SoluçãoConsidere x1 e x2 as raízes da equação.

A soma dos inversos das raízes corresponde a .Assim:

 

Logo, o valor de k é -8. 

• Determine os valores de m para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2 = 0admita:

a) raízes simétricas;b) raízes inversas. 

SoluçãoSe as raízes são simétricas, então S=0.

 Se as raízes são inversas, então P=1.

 

COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZESConsidere a equação do 2º grau ax 2  + bx + c = 0.

Dividindo todos os termos por a , obtemos:

 

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Como , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P= 0

 Exemplos:

• Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.SoluçãoA soma das raízes corresponde a:

S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5O produto das raízes corresponde a:

P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada. 

• Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes

é .Solução

Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz , a outra raízserá .

Assim:

Logo, x 2  - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

 FORMA FATORADAConsidere a equação ax2 + bx + c = 0.Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:

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Logo, a forma fatorada da equação ax 2 + bx + c = 0 é:

a.(x - x') . (x - x'') = 0 

Exemplos:• Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0• Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.

 SoluçãoCalculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0 

• Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.Solução

Como o , a equação não possui raízes reais.

Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

 EQUAÇÕES BIQUADRADASObserve as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 09x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0 

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo emx4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.Denominamos essas equações de equações biquadradas.Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

 

ax4 + bx2 + c = 0 

Exemplos:x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 03x4 - 27 = 0

 

Cuidado!x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possuiexpoentes pares. 

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADANa resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável,

transformando-a numa equação do 2º grau.Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.

 

Seqüência prática• Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.• Resolva a equação ay2 + by + c = 0

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• Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.

Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dáorigem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raizreal para a mesma.Exemplos:

• Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.SoluçãoSubstituindo x4 por y2 e x2 por y, temos: 

y2 - 13y + 36 = 0Resolvendo essa equação, obtemos: 

y'=4 e y''=9Como x2= y, temos:

 Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}. 

• Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.SoluçãoSubstituindo x4 por y2 e x2 por y, temos: 

y2 + 4y - 60 = 0Resolvendo essa equação, obtemos: 

y'=6 e y''= -10Como x2= y, temos: 

Logo, temos para o conjunto verdade: .

• Determine a soma das raízes da equação .SoluçãoUtilizamos o seguinte artifício:

Assim:y2 - 3y = -2

y2 - 3y + 2 = 0y'=1 e y''=2

Substituindo y, determinamos:

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Logo, a soma das raízes é dada por:

 

Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.Para isso, substituimos xn por y, obtendo:ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:• resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.

SoluçãoFazendo x3=y, temos:

y2 + 117y - 1.000 = 0Resolvendo a equação, obtemos:

y'= 8 e y''= - 125Então:

 Logo, V= {-5, 2 }. 

Composição da equação biquadradaToda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:

(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

Exemplo:• Compor a equação biquadrada cujas raízes são:

 Soluçãoa) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0x2(x2 -49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0x4 - 49x2 = 0 x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0 

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 PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADAConsideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do

2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada.

Assim:

 

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades: 1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

 

x1 + x2 + x3 + x4 = 0 

2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a - .

 

3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .

 

EQUAÇÕES IRRACIONAISConsidere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equaçõessãoirracionais.Ou seja:

 

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Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando. 

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONALA resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la

inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a umapotência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se asraízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracionaldada ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a umapotência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

Solução

 Logo, V= {58}. 

Solução 

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional. 

Solução

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Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional. 

Solução

 

Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.

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SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAUObserve o seguinte problema:Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine

as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:2x + y = 16 1x2 +xy = 48 2 

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:Assim: 2x + y = 16 1

y = 16 - 2xSubstituindo y em 2 , temos:

x2 + x ( 16 - 2x) = 48x 2 + 16x - 2x2 = 48

- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.x2 - 16x + 48 = 0

x'=4 e x''=12Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:y'=16 - 2 . 4 = 8y''=16 - 2 . 12 = - 8 

As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24mLargura =2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema: 

Isolando y em 1

  y - 3x = -1 y = 3x - 1Substituindo em 2

x2 - 2x(3x - 1) = -3x2 - 6x2 + 2x = -3

-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

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5x2 - 2x - 3 = 0

x'=1 e x''=-Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

 

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .

Logo, temos para conjunto verdade:

PROBLEMAS DO 2º GRAUPara resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

Sequência prática

• Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para alinguagem matemática.

• Resolva a equação ou o sistema de equações.• Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do

problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

• Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .

SoluçãoRepresentamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão

representados por .

Temos estão a equação: .Resolvendo-a:

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Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

• Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos,obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-seque o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

SoluçãoRepresentamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y+ x.Observe:

Número: 10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.Temos, então, o sistema de equações:

 Resolvendo o sistema, temos: 

Isolando y em 1 :

-x + y = 3 y= x + 3Substituindo y em 2:xy = 18x ( x + 3) = 18x2 + 3x = 18x2 + 3x - 18 = 0x'= 3 e x''= -6Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'= 3 + 3 = 6y''= -6 + 3 = -3

Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.

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Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema onúmero36 ( x=3 e y=6).Resposta: O número procurado é 36.

• Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas maisque a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanqueisoladamente.

SoluçãoConsideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ªtorneira encher o tanque.Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

 

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equaçãocorrespondente:

 Resolvendo-a, temos:

6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )6x + 30 + 6x = x2 + 5xx2 - 7x - 30 = 0x'= - 3 e x''=10

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

• Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeuum acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse

 jantar?

SoluçãoPodemos representar por:

 Resolvendo-a:

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 Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15pessoas estavam presentes no jantar.