Matematica Essencial_ Superior_ Algebra_ Funcoes Reais

Matematica Essencial: Superior: Algebra: Funcoes reais

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Aplicao Elementos de uma aplicao Restrio de uma aplicao Extenso de uma aplicao Aplicao injetiva Aplicao sobrejetora Aplicao bijetora Composio de aplicaes Aplicao identidade Aplicaes inversas Imagem um conjunto por uma aplicao Imagem inversa por uma aplicao

Aplicao

Dentre todas as relaes em um certo produto cartesiano, existe um tipo de subconjunto que muito exigente mas que produz resultados de grande valor na Matemtica. Este conceito denominado funo. Se A e B so dois conjuntos no vazios, uma aplicao f no produto cartesiano AB uma relao em AB, que, para cada x A, existe y B tal que (x,y) f,

e, alm disso, se (x,y1) f e (x,y2) f, ento y1=y2.

Uma notao bastante comum para uma aplicao f definida no produto cartesiano AB f:A B. Observao: O primeiro tem da definio acima declara que todos os elementos de A devem estar relacionados com elementos de B e o segundo tem garante que um elemento de A deve estar associado com apenas um elemento em B. Exemplo: Nem toda relao no produto cartesiano R uma aplicao em R, como o conjunto K={(x,y) R:x+y=1}. Graficamente, temos:

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Em textos antigos, a palavra funo era usada de uma forma bastante livre no lugar de aplicao, mas na literatura atual a palavra aplicao passou a ter outros nomes como: operador, transformao, funcional,... e houve a necessidade de restringir a palavra funo exclusivamente s situaes em que o conjunto B um subconjunto do conjunto R dos nmeros reais.Elementos de uma aplicao

Seja f uma aplicao em AB, denotada por f:A a definio de funo, definido por:graf(f) = { (x,y) AB: x

B. O grfico de f, s vezes usado comoB, y=f(x) }

A, y

O conjunto A recebe o nome de domnio de f, denotado por Dom(f). O conjunto B recebe o nome de contradomnio de f, denotado por Codom(f). A imagem de f, denotada por texto Im(f) o conjunto:Im(f) = {y B: existe x A tal que y=f(x) }

Exemplo: A funo quadrtica f:R

[0,) pode ser escrita na forma:R[0,): x R, y R, y=x }

f = { (x,y)

ou na forma f:R Exerccios:

[0,) definida por f(x)=x sendo Dom(f)=R, Codom(f)=Im(f)=[0,).

1. Sejam A={1,2,3,4,5} e B={0,3,8,15,20}. Verificar se a relao f em AB, definida por

(a,b) f se, e somente se, b=a1, uma aplicao.2. Verificar se a relao f:Q

Q definida por f(m/n)=mn uma aplicao.

(Dica: 1/2=3/6 mas,...)3. Para A=1,2,3 e B={a,b,c,d}, seja a relao g:AB

BA, definida por g(x,y)=(y,x).

Mostrar que g uma aplicao.Restrio de uma aplicao

Podemos restringir o domnio de uma funo f:A B a um subconjunto S de A de modo que a funo restrita ao conjunto S, denotada por f|S:S B seja coincidente com a funo original sobre o conjunto S, isto , para cada x S tem-se que: f|S(x)=f(x). Exemplo: Podemos definir a restrio da funo f:R2 de 8

R definida por f(x)=x ao conjunto17/3/2012 23:32



[0,) de modo que:f|[0,): [0,) R, f(x)=x

Graficamente, temos:

Extenso de uma aplicao

Podemos estender uma funo f:A B a um conjunto M contendo o conjunto A de modo que a funo estendida ao conjunto M, denotada por F:M B deva ser coincidente com a funo original sobre o conjunto A, isto , para cada, x A tem-se que F(x)=f(x). Exemplo: Consideremos a funo f:R{0} R definida por f(x) = sen(x)/x. Esta funo no tem sentido para x=0, mas podemos estender esta funo a uma forma bastante natural a todo o conjunto R dos nmeros reais, tomando f(0)=1. Esta forma comumente utilizada em Anlise Matemtica.

Dada uma aplicao f:A B que associa a cada elemento de A um nico elemento de B, esta definio no obriga que todos os elementos de A tenham imagens distintas ou mesmo que todos os elementos de B sejam imagens de elementos de A.Aplicao injetiva

Mesmo que a b pode ocorrer que f(a)=f(b). Quando elementos distintos de A possuem imagens distintas, dizemos que a aplicao injetora. A definio seguinte estabelece este fato. Uma aplicao f:A B injetiva, injetora ou unvoca, se: a b implica que f(a) Algumas vezes este tipo de aplicao denominada 1-1 (l-se um-a-um). f(b).

Exemplo: A funo f:R R, definida por f(x)=x no injetiva, pois f(2)=f(2), mas a funo f:[0,) [0,) definida por f(x)=x injetiva.

Teorema: Seja f:A a=b.

B uma aplicao. f injetora se, e somente se, f(a)=f(b) implica que

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Demonstrao: So equivalentes as proposies lgicas a b implica que f(a) f(b) f(a)=f(b) implica que a=b. pois a proposio lgica pAplicao sobrejetora

q equivalente proposio lgica q'

p'.

Pode ocorrer que algum elemento de B no seja imagem de um elemento de A. Temos uma outra definio. Dizemos que a aplicao f:A B sobrejetiva, sobre ou sobrejetora, se todos os elementos de B so imagens de elementos de A, ou seja, para todo b B existe a A tal que f(a)=b, o que significa que f(A)=B. Exemplo: A funo f:R R, definida por f(x)=x no sobrejetiva, pois no existe x R tal que f(x)=2, mas f:[0,) [0,) definida por f(x)=x sobrejetiva.

Teorema: Seja f:A B uma aplicao. f sobrejetora se, e somente se, para todo b B, a equao f(x)=b tem pelo menos uma soluo em A. A demonstrao imediata, pois com o teorema, temos duas maneiras para garantir que f sobrejetiva.Aplicao bijetora

Uma aplicao f:A B denominada bijetiva, bijetora ou uma correspondncia biunvoca, se f injetiva e sobrejetiva Exemplo: A funo f:R R, definida por f(x)=x no bijetiva, mas a funo f:[0,) [0,) definida por f(x)=x bijetiva. Exemplo: A aplicao f:R{2} R{3} definida por f(x)=(3x1)/(x2) injetora pois, se f(a)=f(b) ento (3a1)/(a2)=(3b1)/(b2) e da segue que a=b. f tambm sobre pois se f(x)=b, ento (3x1)/(x2)=b, de onde segue que se b 3 ento x=(2b1)/(b3). Finalmente, segue que f bijetora pois injetora e sobrejetora Observao sobre a palavra sobre: Afirmar que f:A conjunto B, o mesmo que afirmar que f bijetiva Exerccios:1. Mostrar que f:R

B uma aplicao injetiva sobre o

R, definida por f(x)=3x+2 bijetora.

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2. Mostrar que bijetora a aplicao afim f:R

R tal que f(x)=ax+b, para a

0.

3. Mostrar que f:R

R definida por f(x)=2x+4x1 no sobrejetora, pois no existe x em R tal que f(x)=4.

4. Mostrar que funes reais de segundo grau da forma f(x)=ax+bx+c no so

injetoras e nem mesmo sobrejetoras, dependendo do domnio e do contradomnio destas. Dica 1: Para mostrar que f(x)=ax+bx+c com a 0, no injetora, basta obter o clculo de f((b)/(2a)+r) e f((b)/(2a)r). Dica 2: Para mostrar que f no sobrejetiva, vamos supor que a>0 e tentar obter o nmero real cuja imagem (b+4ac)/(4a)1. Se a

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