Matemática e Xadrez
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1. Lenda de Sissa
• Sissa, filósofo indiano, teria inventado o jogo de xadrez para curar o tédio do aborrecido rei Kaíde
• O Rei prometeu uma Recompensa.
• Sissa pediu 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta e assim sucessivamente, até chegar a 64ª casa.
• O rei ficou espantado perante um pedido que lhe pareceu tão humilde e acedeu imediatamente à aparente insignificância deste pedido
1. Lenda de Sissa • Mas, Feitos os cálculos, verificou-se que todos os tesouros da
Índia não eram suficientes para pagar a recompensa pedida.
• Mas qual a quantidade 𝑄 de grãos pedida?
• Fazendo 𝑄 a soma dos grãos:
𝑄 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ Ou:
𝑄 = 20 + 21 + 22 + 23 + ⋯+ 263 então:
𝑄 = � 2𝑘63
𝑘=0
1. Lenda de Sissa
• Ou ainda:
𝑄 = 264 − 1
𝑄 = 18.446.744.073.709.551.615 • Para ter uma ideia de seu tamanho:
o A produção de trigo no Brasil em 2003 foi de 6.029.396 toneladas de grãos. Supondo que, em média, mil grãos de trigo tenham massa de 35 g então seria necessário juntar a produção brasileira de mais de 107 mil anos para pagar a recompensa.
2. Complexidade do Jogo de Xadrez • Claude Shannon fez uma estimativa numérica de
possibilidades de jogos que podem ser realizados.
• Uma partida tem em média 40 movimentos para brancas e pretas, e que em cada movimento média 30 possibilidades.
(30 × 30)40
90040 = 10𝑥
𝑥 = 40 ∙ log 900
𝑥 ≈ 118,1697
• A complexidade do Xadrez atualmente é avaliada em 10123, e como comparação com o número de átomos no universo é estimado entre 4 × 1078 e 6 × 1079.
3. Possibilidade de Aberturas
• Qual o número de possibilidades de aberturas no jogo de xadrez?
• O peão ou cavalo podem iniciar uma partida de xadrez.
3. Possibilidade de Aberturas
• O peão pode efetuar o movimento de uma a duas casas, então cada peão tem duas possibilidades no primeiro movimento.
• Já o cavalo realiza o movimento em “L” saltando sobre as peças, também tem duas possibilidades cada um.
• Seja 𝑃 o número de possibilidade no movimento inicial.
𝑃 = 2. 𝑝 + 2. 𝑐 Com: 𝑝 – número de peões 𝑐 – número de cavalos
3. Possibilidade de Aberturas
Então: 𝑃 = 2.8 + 2.2
𝑃 = 20
• Levando em conta o primeiro movimento, temos 20 possibilidades para brancas e 20 possibilidades para as pretas, logo:
𝑃 × 𝑃 = 20 × 20 𝑃𝑃 = 400
• Portanto, há 400 possibilidades para o primeiro movimento do
jogo.
3.1 Mobilidade Após Aberturas
• Qual a maior mobilidade de peças após o lance inicial?
• Para isso deve-se analisar cada uma das 20 possibilidades do primeiro movimento, e respectivamente, calcular o número de possibilidades do segundo movimento.
A mobilidade das brancas após o primeiro movimento
• De acordo com a Tabela 2, as melhores mobilidades após o
primeiro movimento, concentram-se nas casas do centro, da coluna 𝑑 e 𝑒
𝒂𝒂 𝒃𝒂 𝒄𝒂 𝒅𝒂 𝒆𝒂 𝒇𝒂 𝒈𝒂 𝒉𝒂 𝑪𝒃𝑪 𝑪𝒈𝑪
𝑎𝑎 = 19 𝑏𝑎 = 21 𝑐𝑎 = 21 𝑑𝑎 = 27 𝑒𝑎 = 30 𝑓𝑎 = 19 𝑔𝑎 = 21 ℎ𝑎 = 19 𝐶𝑎𝑎 = 20 𝐶𝑓𝑎 = 22
𝑎𝑎 = 21 𝑏𝑎 = 21 𝑐𝑎 = 22 𝑑𝑎 = 28 𝑒𝑎 = 30 𝑓𝑎 = 20 𝑔𝑎 = 21 ℎ𝑎 = 21 𝐶𝑐𝑎 = 22 𝐶ℎ𝑎 = 20
• O xeque-mate do louco fica representado da seguinte maneira utilizando a notação algébrica:
• Este é xeque-mate tem apenas dois movimentos, uma saída totalmente equivocada das brancas.
• Calculando a probabilidade de cada movimento, sabendo que o movimento inicial há 20 possibilidades para brancas e pretas.
𝑃1 =1
20∙
120
• Onde 𝑃1 é a probabilidade do primeiro movimento.
3.2 Probabilidade do Mate do Louco
Brancas Pretas 1 𝑓𝑎 𝑒𝑒 2 𝑔𝑎 𝐷ℎ𝑎 + +
• A saída 𝑓3 para as brancas gera 19 possibilidades para o segundo movimento.
• A saída das pretas na 𝑒6 gera 30 possibilidades, logo:
𝑃2 =1
19∙
130
• Onde 𝑃2 é a probabilidade do segundo movimento. • Calculando uma sequencia de mobilidades, conforme
expressão abaixo: 𝑃𝑡 = 𝑃1 × 𝑃2 × ⋯× 𝑃𝑛
Onde: 𝑃𝑡- Probabilidade de uma sequencia de jogadas; 𝑃1- Probabilidade da primeira jogada; 𝑃2- Probabilidade da segunda jogada; 𝑃𝑛-Probabilidade da jogada 𝑛.
3.2 Probabilidade do Mate do Louco
• Calculando a probabilidade dos movimentos: 𝑃𝑡 = 𝑃1 × 𝑃2
𝑃𝑡 =1
20∙
120
×1
19∙
130
• Então a probabilidade para que o xeque-mate do louco
ocorra é: 𝑃𝑡 ≅ 4,4 × 10−6
3.2 Probabilidade do Mate do Louco
4. Oito Rainhas • Sabendo que a dama movimenta-se em todas as direções
no tabuleiro, nas verticais, horizontais e diagonais:
• Como dispor de 8 damas em um tabuleiro de 64 casas, de modo que com elas não se ataquem?
• Por volta de 1950 o matemático Johann Karl Friedrich Gauss e o astrônomo Heinrich Schumacher descobriram 12 soluções fundamentais, nas quais por rotação e reflexão geram até 92 soluções distintas.
• As 12 soluções fundamentais são:
(1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4); (1, 6, 8, 3, 7, 4, 2, 5); (2, 4, 6, 8, 3, 1, 7, 5); (2, 5, 7, 1, 3, 8, 6, 4); (2, 5, 7, 4, 1, 8, 6, 3); (2, 6, 1, 7, 4, 8, 3, 5); (2, 6, 8, 3, 1, 4, 7, 5); (2, 7, 3, 6, 8, 5, 1, 4); (2, 7, 5, 8, 1, 4, 6, 3); (3, 5, 2, 8, 1, 7, 4, 6); (3, 5, 8, 4, 1, 7, 2, 6); (3, 6, 2, 5, 8, 1, 7, 4).
4. Oito Rainhas
• A representação numérica indica a posição de cada linha nas determinadas colunas conforme a figura:
Primeira Solução Fundamental: (1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4)
4. Oito Rainhas
• Quantas possibilidades o rei pode atravessar o tabuleiro em 7 movimentos?
• De quantas maneiras o rei pode ir da 𝑒1 até a 𝑒8?
• O Rei inicia o jogo na casa 𝑒1 , e apresenta movimentos limitados
• deseja-se calcular o número de possibilidades que o Rei pode realizar para atravessar o tabuleiro.
5. Travessia do Rei
• Em sete movimentos:
Possibilidades para o rei atravessar o Tabuleiro
• Somando todos os resultados da 8ª linha, encontra-se 1994 possibilidades para o rei atravessar o tabuleiro em 7 movimentos.
5. Travessia do Rei
• Entendendo que o tabuleiro de xadrez, é considerado um espaço onde pode calcular áreas e distancias utilizando uma unidade de medida qualquer
• Pode-se representar uma sequência de movimentos terminados em mate, como a soma de suas longitudes geométricas.
• Mas quando a longitude é mínima?
• Tomando uma casa como unidade de área, e um dos lados como unidade de medida, como representar um movimento de forma numérica?
6. Problemas de Longitude
• Se o Movimento é na horizontal ou vertical, apenas conta-se o descolamento das peças
• Torre, deslocou-se da 2ª para a 8ª coluna, então sua longitude geométrica, equivale a 6.
6. Problemas de Longitude
• Se o Movimento é na diagonal, apenas conta-se o descolamento das peças, multiplicado por 2.
• Bispo deslocou-se da 3ª para a 7ª casa, então sua longitude geométrica equivale a 4 2.
6. Problemas de Longitude
• Se o Movimento é de cavalo, apenas conta-se o descolamento 5.
• Pense que o movimento do Cavalo é a hipotenusa de um triângulo retângulo de lados 1 e 2.
6. Problemas de Longitude
• O enxadrista E. Bonsdorff propôs uma série de problemas para o XXXV Torneio de Temas Enxadrísticos (1960-1961).
• Diagrama 1 é uma série de movimentos que termina em xeque-mate, proposto por Bonsdorff, conforme a Tabela.
Então a longitude 𝐿: 𝐿 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2
𝐿 = 7 + 2 𝑢.𝑚. 𝐿 ≈ 8,41 𝑢.𝑚.
6. Problemas de Longitude
Brancas Pretas 1 𝑑𝑎 𝑒𝑒 2 𝐷𝑑𝐷 𝑅𝑒𝑅 3 𝐷𝑒𝑎 𝑒𝑒 4 𝐷x𝑒𝑒 + +
• Diagrama 2 também proposto por Bonsdorff, conforme a Tabela:
Realizando a soma das respectivas longitudes:
𝐿 = 1 + 1 + 2 + 4 2 𝐿 = 4 + 4 2 𝐿 ≈ 9,66
• Entende-se que, quanto menos for a soma das longitudes geométricas, mais preciso é o xeque-mate, pois utilizou-se de um número menor de jogadas.
6. Problemas de Longitude
Brancas Pretas 1 𝑓𝑎 𝑒𝑒 2 𝑔𝑎 𝐷ℎ𝑎+ +