MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 2º Ano Estudo da função tangente.
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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2º Ano
Estudo da função tangente
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO TANGENTE
Seja P a extremidade de um arco na circunferência trigonométrica de
centro O correspondente ao número real x.
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Consideremos o ponto T interseção entre a reta OP e a reta tangente à
circunferência pelo ponto A(1, 0).
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Sabemos que yT, ordenada do ponto T, é a tangente do arco de medida x.
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Logo: A função tangente é a função f: R − {(π/2) + kπ, k Z} R que
associa cada número real x (com exceção dos valores côngruos a π/2 e
3π/2) ao número real yT = tg x, ou seja, f(x) = tg x.
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Observe, na figura ao lado, que:
• OQ = cos x, QP = sen x, OA = 1 e AT = tg
x;
• os triângulos OQP e OAT são
semelhantes.
Então:
tg x = sen x ou tg x = sen x . 1 cos x cos x
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
O GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO TANGENTE
Por definição, o domínio da função tangente é R − {(π/2) + kπ, k Z}, e o
contradomínio é R.
Por seu gráfico observamos ainda que:
• a função tangente é periódica, de período π;
• seu conjunto imagem é R;
As retas verticais que passam pelos pontos de abscissa (π/2) + kπ, k Z,
são denominadas assíntotas da curva que representa tg x.
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Vejamos, agora, o que ocorre com essas características da função tangente,
quando tornamos a função mais complexa, alterando seus coeficientes.
Para isto, analisaremos os gráficos de algumas dessas novas funções tangente:
y = 1 + tg x
y = 2 + tg x
y = − 1 + tg x
y = − 2 + tg x
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = 1 + tg x:
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = 2 + tg x:
x
y
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = − 1 + tg x:
x
y
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = − 2 + tg x:
x
y
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Na análise desses casos, constata-se que funções do tipo f(x) = a + tg x, não
apresenta nenhuma modificação nas características da função básica f(x) = tg x
(período p = π e Im(f) = R). Alterando apenas as raízes da função.
Vejamos, agora, outros casos:
y = 2 tg x∙
y = 3 tg x∙
y = 0,5 tg x∙
y = 0,2 tg x∙
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = 2 tg x:∙
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = 3 tg x:∙
x
y
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = 0,5 tg x:∙
x
y
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = 0,2 tg x:∙
x
y
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Mais uma vez, na análise desses casos, constata-se que funções do tipo f(x) = a tg ∙
x, não apresenta nenhuma modificação nas características da função básica f(x) = tg
x (período p = π e Im(f) = R).
Vejamos mais alguns casos:
y = tg (x + 1)
y = tg (x + 2)
y = tg (x − 1)
y = tg (x − 2)
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = tg (x + 1):
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = tg (x + 2):
x
y
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = tg (x − 1):
x
y
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = tg (x − 2):
x
y
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Estes são mais alguns casos em que constata-se que funções do tipo f(x) = tg
(x + a), não apresenta nenhuma modificação nas características da função
básica f(x) = tg x (período p = π e Im(f) = R), com exceção do domínio que
passa a ser D(f) = R − {(π/2) − a + kπ, com k Z}.
Para finalizarmos, vejamos mais alguns casos:
y = tg (2x); y = tg (3x); y = tg (x/2); y = tg (x/3).
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = tg (2x):
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = tg (3x):
x
y
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = tg (x/2):
x
y
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Gráfico da função f(x) = tg (x/3):
x
y
x
y
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
Na análise desses casos, percebe-se que funções do tipo f(x) = tg (a ∙
x), apresenta:
• domínio igual a R − {[(π/2) + kπ)/a], com k Z};
• período p = π ; a
(obs.: dividir por a é equivalente a multiplicar por 1/a).
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
ATIVIDADES PROPOSTAS
1) Determine o domínio, o período e o conjunto imagem das seguintes
funções:
a) f(x) = 4 + tg (x + 3);
b) f(x) = 5 tg (4x);∙
c) f(x) = tg (6x);
d) f(x) = 7 + 4 tg (x/8).∙
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Matemática, 2º Ano, Estudo da função tangente
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