Matemática - Curso Anglo - n2 aulas16a18

AULA 16

1. (XXVIII OBM) Sejam a, b e c números reais positivos cuja soma é 1. Se a, b e c são as medidas dos lados de umtriângulo, podemos concluir que

a) d)

b) e)

c)

2. (XXVIII OBM) Na figura abaixo, ABC é um triângulo qualquer e ACD e AEB são triângulos eqüiláteros.

Se F e G são os pontos médios de EA e AC, respectivamente, a razão é:

a) d) 2

b) 1 e) Depende das medidas dos lados de ABC.

c)

3. (XXVIII OBM/2ª- fase) No triângulo ABC isósceles abaixo, I é o encontro das bissetrizes e H é o encontro das alturas.Sabe-se que ∠ HAI = ∠ HBC = α. Determine o ângulo α.

32

12

BDFG

AF

E

B C

G

D

a b e b c e c a+ + +� � �12

12

12

a e b e c� � �13

13

13

a e b e c� � �12

12

12

a e b e c� � �13

13

13

012

012

012

� � � � � �| – | | – | | – |a b e b c e c a

ClasseEm

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008

www.cursoanglo.com.br2008

N • Í • V • E • L 2

Treinamento paraOlimpíadas de

Matemática

A C

B

I

H

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

I) Desigualdade triangular:Sendo a, b e c as medidas dos lados de um triângulo, temos que:• | a – b | � c � a + b• | a – c | � b � a + c• | b – c | � a � b + c

II) Cevianas (*) notáveis:a) mediana: segmento que une um dos vértices ao ponto médio do lado oposto. As três medianas de um triângulo se

encontram em um único ponto denominado baricentro, que divide cada uma delas na razão 2:1. Na figura, AM é amediana relativa ao vértice A, BN é a mediana relativa ao vértice B e G é o baricentro.

b) bissetriz interna: segmento que divide um dos ângulos internos em duas partes congruentes. As três bissetrizes in-ternas de um triângulo se encontram em um único ponto denominado incentro, que é o centro da circunferência ins-crita — por isso ser o ponto eqüidistante dos lados do triângulo. Na figura, AS é a bissetriz interna relativa ao vérticeA, BT é a bissetriz interna relativa ao vértice B e I é o incentro.

c) mediatriz: reta que é perpendicular a um dos lados e passa pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triân-gulo se encontram em um único ponto denominado circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita — porisso ser o ponto eqüidistante dos vértices do triângulo. Se o triângulo ABC for retângulo, então o circuncentro será oponto médio da hipotenusa. Na figura, r é a mediatriz relativa ao lado AB, s é a mediatriz relativa ao lado AC e O é ocircuncentro.

A

r

B

C

s

O

A

T

I

B CS

G

A

B C

N

M

RelacionadosConceitos

2008

d) altura: segmento que é perpendicular a um dos lados e passa pelo vértice oposto a esse lado. As três alturas de umtriângulo se encontram em um único ponto denominado ortocentro. Os pontos H, J e K representam os ‘pés’ das al-turas. O triângulo HJK é denominado triângulo órtico. As alturas de um triângulo são as bissetrizes internas do seutriângulo órtico. Na figura, AH é a altura relativa ao vértice A, BJ é a altura relativa ao vértice B, CK é a altura relativaao vértice C e H é o ortocentro.

(*) O nome ‘ceviana’ é uma homenagem ao matemático italiano G. Ceva.

Exemplo Resolvido(exemplo sugerido pelo professor Carlos Nehemy Marmo — o nosso querido professor Carlinhos — um entusiastada Física e do Desenho Geométrico)

Sendo BC um diâmetro e A um ponto exterior a essa semi-circunferência conforme a figura abaixo, é possível cons-truir, utilizando somente régua, uma reta perpendicular a BC passando por A? Justifique.

Uma solução possível:Sim, é possível. Basta seguir o procedimento abaixo:1) Trace os segmentos AB e AC, formando o triângulo ABC. O segmento AB intercepta a semi-circunferência num

ponto H e o segmento AC intercepta a semi-circunferência num ponto J.2) Traçando os segmentos CH e BJ, temos que os triângulos BHC e CJB estão inscritos numa semi-circunferência;

logo, são triângulos retângulos de hipotenusa BC e, portanto, CH e BJ são alturas do triângulo ABC e se cruzamnum ponto denominado O.

3) O ponto O é o ortocentro do triângulo ABC, pois é a intersecção das alturas CH e BJ. Assim, a reta suporte do seg-mento AO é perpendicular ao lado BC, pois, ao traçar essa reta, ela será a reta suporte da altura relativa ao lado BCno triângulo ABC.

1. (XXIX OBM) Qual o menor perímetro inteiro possível de um triângulo que possui um dos lados com medida igual a ?

a) 8 d) 11b) 9 e) 12c) 10

2. (XXI OBM) Quantos são os triângulos que possuem medidas dos seus lados expressas por números inteiros e taisque a medida do maior lado seja igual a 11?a) 10 d) 24b) 11 e) 36c) 12

5 32

CasaEm

A

B C

A

K

J

CBH



3. (XXVIII OBM) São dadas duas tiras retangulares de papelcom 20cm de comprimento, uma com 5cm de largura e ou-tra com 11cm de largura. Uma delas foi colada sobre a ou-tra, perpendicularmente, de modo a formar a figura ilustradaao lado. O perímetro dessa figura, em centímetros, é:a) 50b) 60c) 80d) 100e) 120

4. (XXVIII OBM) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.

A medida do ângulo x é:a) 39ºb) 41ºc) 43ºd) 44ºe) 46º

5. (XXIX OBM/2ª- fase) Na figura abaixo temos um pentágono regular, um quadrado e um triângulo eqüilátero, todos coma mesma medida de lado.

Determine a medida, em graus, do ângulo ∠ QCE.

AULA 17

1. (XXIX OBM) A figura a seguir mostra um retângulo, um pentágono, um triângulo e umcírculo, com áreas respectivamente 121, 81, 49 e 25 centímetros quadrados. Adiferença entre a área preta e a área cinza escura, em centímetros quadrados, é:a) 25b) 36c) 49d) 64e) 81

ClasseEm

A

B

C

P E

DTS

R

Q

x75°

126°30°

2008

90°

2. (XXIV OBM) Traçando segmentos, podemos dividir um quadrado em dois quadradinhos congruentes, quatro trapézioscongruentes e dois triângulos congruentes, conforme indica o desenho abaixo, à esquerda.

Eliminando algumas dessas partes, podemos montar o octógono representado à direita. Que fração da área doquadrado foi eliminada?

a) d)

b) e)

c)

3. (XXVI OBM/2ª- fase) No desenho ao lado, o triânguloABC é retângulo e os lados do polígono (região escu-ra) são paralelos ou coincidem com algum dos cate-tos do triângulo.

Calcule x de modo que a área do polígono seja igualà do triângulo.

Exemplo Resolvido

(XXIV OBM) Um quadrado de área 1 foi dividido em 4 retângulos congruentes, conforme indicado no desenho à es-querda. Em seguida, os quatro retângulos foram reagrupados de maneira a formar um quadrado, com um buraco qua-drado no centro, conforme indica o desenho à direita.

A área do buraco é igual a:

a) d)

b) e) 1

c)

Uma solução possível:

Cada retângulo terá dimensões 1 e . Assim, a área S do buraco é dada fazendo a área do quadrado de lado

menos os quatro retângulos, que somam área 1. Assim, temos:

(alternativa B)S S=

=∴5

41

916

2

–

114

54

+ =

14

1625

916

34

12

14

38

29

13

19


A

B C

x

5 10

2


1. (XXIX OBM) O jardim da casa de Maria é formado por cinco qua-drados de igual área e tem a forma da figura ao lado. Se AB = 10m,então a área do jardim, em metros quadrados, é:a) 200

b)c) 100

d)

e)

2. (XXIX OBM) A figura abaixo é formada por três quadrados de lado 1 e um retângulo que os contorna.A área do retângulo é:

a)

b)c) 6

d)e) 8

3. (XXVIII OBM) A figura a seguir representa um Tangram, quebra-cabeças chinêsformado por 5 triângulos, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do Tan-gram a seguir é 64cm2, qual é a área, em cm2, da região sombreada?a) 7,6b) 8c) 10,6d) 12e) 21,3

4. (XXV OBM) O retângulo da figura a seguir está dividido em7 quadrados. Se a área do menor quadrado é igual a 1, a áreado retângulo é igual a:a) 42b) 44c) 45d) 48e) 49

5. (XXI OBM) Uma folha quadrada foi dobrada duas vezes ao longo de suas diagonais conforme ilustração abaixo,obtendo-se um triângulo isósceles. Foi feito um corte na folha dobrada, paralelo à base desse triângulo, pelos pontosmédios dos outros lados. A área do buraco na folha corresponde a que fração da área da folha original ?

a)

b)

c)

d)

e)14

34

38

16

12

6 2

4 2

3 2

1003

5003

10 5

CasaEm

2008

A

B

AULA 18

1. (XXVIII OBM) Um triângulo eqüilátero e um hexágono regular têm o mesmo perímetro. A razão entre a área do triân-gulo e a área do hexágono é:

a) d)

b) 1 e)

c)

2. (XXVII OBM) Seis retângulos idênticos são reunidos para formar umretângulo maior conforme indicado na figura ao lado. Qual é a área desteretângulo maior?

a) 210cm2

b) 280cm2

c) 430cm2

d) 504cm2

e) 588cm2

3. (XXVII OBM/2ª- fase) Um terreno quadrangular foi divi-dido em quatro lotes menores por duas cercas retasunindo os pontos médios dos lados do terreno. As áreasde três dos lotes estão indicadas em metros quadradosno mapa ao lado.

Qual é a área do quarto lote, representado pela regiãoescura no mapa?

Considere o triângulo ABC da figura e uma ceviana AP, tal que BP = x e PC = y.

Os triângulos BAP e CAP possuem a mesma altura h. Sendo A1 e A2 as áreas desses triângulos, respectivamente,têm-se:

Isso significa que, se dois triângulos têm a mesma altura, então a razão de suas áreas é igual a razão de suasbases. Em particular, se x = y (ou seja, P é o ponto médio), então A1 = A2 (ou seja, a mediana divide o triângulo ABCem dois triângulos de mesma área).

AA

x h

y h

xy

1

2

1212

= =⋅ ⋅

⋅ ⋅.

h

A

B P C

x y

RelacionadosConceitos

23

13

32

12

ClasseEm


21 cm

250

210200


Exemplo Resolvido

(XX OBM) O quadrilátero ABCD é um quadrado de área 4m2. Os pontos M e Nestão no meio dos lados a que pertencem. Podemos afirmar que a área do triân-gulo em destaque é, em m2:a) 2b) 1,5c) 2,5d) 3e) 3,5

Uma solução possível:Se a área do quadrado é 4, então o lado é 2. Como M e N são pontos médios, temos DM = MC = CN = NB = 1.A área S do triângulo destacado pode ser calculada fazendo a área do quadrado ABCD menos as áreas dos triân-gulos retângulos DMA, MCN e NBA.Assim:

(alternativa B)

1. (XXVI OBM) Uma folha quadrada foi cortada em 42 quadrados menores, dos quais um tem área maior do que 1cm2

e os demais têm área de 1cm2. Qual é a medida do lado da folha?a) 6cm d) 19cmb) 12cm e) 20cmc) 21cm

2. (XXVI OBM) Eu planejava fazer um curral quadrado, com uma certa área, usando uma certa quantidade de cerca dearame farpado. Descobri, porém, que tenho 10% a menos de cerca do que esperava. Por esta razão, a área cercadaserá:a) 5% menor d) 20% menorb) 10% menor e) 25% menorc) 19% menor

3. (XXVI OBM) Um arquiteto apresenta ao seu cliente cinco plantas diferentes para o projeto de ajardinamento de umterreno retangular, onde as linhas cheias representam a cerca que deve ser construída para proteger as flores. As re-giões claras são todas retangulares e o tipo de cerca é o mesmo em todos os casos. Em qual dos projetos o custo daconstrução da cerca será maior?

a) d)

b) e)

c)

CasaEm

S ABDM AD MC CN NB AB

S= ∴ = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( ) – – – – – – ,2 2

2 2 22

1 22

1 12

1 22

15

2008

A B

N

CMD

4. (XXIV OBM) Na malha quadrada abaixo, há 6 quadrados de lado 30cm.

A área do triângulo ABC é:

a) 150cm2

b) 100cm2

c) 75cm2

d) 50cm2

e) 25cm2

5. (XXI OBM) Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles estão na fi-gura abaixo.

Qual é a área do retângulo ABCD?a) 80b) 84c) 86d) 88e) 91

16

12 27

A D

B C

AB

C


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