Matemática Computacional

Programação LinearAula 002

Programação LinearAula 002Exercícios e Solução Gráfica

Flávio Augusto de Freitas

O problema da tomada de decisão leva em conta variáveis e as condições que “prendem” estas variáveis, às quais denominaremos restrições.Há problemas que envolvem milhares de restrições e variáveis.Geralmente, uma decisão está ligada a certo objeto: minimizar os custos de produção, maximizar os lucros, melhorar as condições de vida de uma população etc.

Discussão Geral

Um agricultor deseja cultivar duas variedades de cereais, digamos A e B, em uma área restrita a um hectare, sendo que cada are cultivado pelo cereal A produz 8 sacas, enquanto cada are cultivado pelo cereal B produz 10 sacas. Para o plantio, cada are cultivado de cereal tipo A precisa de 3 homens-hora (Hh), sendo que se dispõe de até 240 Hh de trabalho para o cultivo. O custo da mão-de-obra é de 200 R$/Hh. A demanda máxima é limitada pelo mercado consumidor a 480 sacas de cereal tipo A, vendido a 150 R$/saca, e 800 sacas de cereal tipo B, vendido a 120 R$/saca. O agricultor deseja planejar sua produção de forma a maximizar o lucro.

Exemplo Numérico

Sejam x1 = quantidade de ares cultivados pelo cereal tipo A, e x2 = quantidade de ares cultivados pelo cereal tipo B.Passemos agora à formulação da função objetivo: maximizar o lucro.

Lucro = Receitas – Custos

Receita cereal A é igual a8 sacas/are x x1 ares x 150 R$/saca = R$ 1200x1

Receita cereal B é igual a10 sacas/are x x2 ares x 120 R$/saca = R$ 1200x2

Receitas = 1200x1 + 1200x2

Exemplo Numérico - Modelagem

Os únicos custos considerados nesse modelo são os de pagamento de mão-de-obra.A mão-de-obra de cultivo do cereal A será 3 Hh/are x x1 ares = 3x1 Hh.

Esse trabalho é remunerado a 200 R$/Hh = R$ 600x1, para o cereal A.

Para o cereal B, 2x2 Hh x 200 R$/Hh = R$ 400x2. Assim,

Custos = 600x1 + 400x2

Exemplo Numérico - Modelagem

Tomando-se agora o lucro Z = Receitas – Custos, tem-se Z = 1200x1 + 1200x2 - (600x1 + 400x2), ou Z = 600x1 + 800x2.

Agora serão formadas as restrições.Um hectare de terra disponível para o cultivo corresponde a 100 ares. Assim, a área cultivada pelo cereal tipo A mais a área cultivada pelo cereal tipo B devem ocupar parte ou toda essa área de 100 ares, o que se traduz por meio da restrição x1 + x2 ≤ 100.

Exemplo Numérico - Modelagem

Já o consumo de homens-hora mede-se por 3x1 para o cultivo do cereal tipo A, pois cada are cultivado por cereal A precisa de 3 homens-hora.O cultivo de cereal tipo B necessita ao todo de 2x2 homens-hora.

O consumo total será a soma dessas quantias e não poderá exceder a 240. Assim, 3x1 + 2x2 ≤ 240.

Exemplo Numérico - Modelagem

A quantidade total de sacas do cereal tipo A é de 8x1, pois cada are produz 8 sacas.

Essa quantidade produzida será não superior à demanda máxima do mercado consumidor, e assim 8x1 ≤ 480, ou, o que é o mesmo, x1 ≤ 60.

Para a demanda máxima do cereal tipo B, teremos 10x2 ≤ 800, ou x2 ≤ 80.

Além do mais, essas quantidades não podem assumir valores negativos, pois não há nenhum sentido nisso.

Exemplo Numérico - Modelagem

O modelo matemático completo para esse problema traduz-se por:

Max Z = 600x1 + 800x2

sujeito a x1 + x2 ≤ 100

3x1 + 2x2 ≤ 240

x1 ≤ 60

x2 ≤ 80

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Exemplo Numérico - Modelagem

Exemplo Numérico – Solução Gráfica

0 60

120

100

80

100x1

x2

x1 ≤ 60

x2 ≤ 80

x1 + x2 ≤ 100

3x1 + 2x2 ≤ 240

80

Z = 600x1 + 800x2

Solução encontrada!!!

x1 = 20 e x2 = 80

Max Z = 600x1 + 800x2

sujeito ax1 ≥ 0x2 ≥ 0x1 ≤ 60x2 ≤ 80x1 + x2 ≤ 1003x1 + 2x2 ≤ 240

∇Z

Uma empresa pode fabricar, com uma máquina trabalhando 45 horas por semana, três artigos diferentes: P1, P2 e P3.

O artigo P1 dá um lucro líquido de R$ 4, o artigo P2 de R$ 12 e o artigo P3 de R$ 3.

Os rendimentos da máquina são, respectivamente, para os três produtos, 50, 25 e 75 artigos por hora.Um estudo de mercado mostrou que as possibilidades de venda não ultrapassam 100 objetos P1, 500 objetos P2 e 1500 objetos P3, por semana.

Pede-se que se reparta a capacidade de produção entre os três produtos, de maneira que se maximize o lucro líquido total.

Exercício 1

Uma empresa pode fabricar, com uma máquina trabalhando 45 horas por semana, três artigos diferentes: P1, P2 e P3.

O artigo P1 dá um lucro líquido de R$ 4, o artigo P2 de R$ 12 e o artigo P3 de R$ 3.

Os rendimentos da máquina são, respectivamente, para os três produtos, 50, 25 e 75 artigos por hora.Um estudo de mercado mostrou que as possibilidades de venda não ultrapassam 100 objetos P1, 500 objetos P2 e 1500 objetos P3, por semana.Pede-se que se reparta a capacidade de produção entre os três produtos, de maneira que se maximize o lucro líquido total.

Exercício 1 - Modelagem

Artigo Lucro líquido (R$)

Artigos/hora

Vendas/semana

P1 4,00 50 100

P2 12,00 25 500

P3 3,00 75 1500

x1, x2, x3 = horas de máquina

x1 + x2 + x3 ≤ 45

50x1 ≤ 100 ⇒ x1 ≤ 225x2 ≤ 500 ⇒ x2 ≤ 2075x3 ≤ 1500 ⇒ x3 ≤ 20

Z = 50x1.4 + 25x2.12 + 75x3.3Z = 200x1 + 300x2 + 225x3

Max Z = 200x1 + 300x2 + 225x3

Sujeito ax1 + x2 + x3 ≤ 45x1 ≤ 2x2 ≤ 20x3 ≤ 20x1 ≥ 0x2 ≥ 0x3 ≥ 0

Liga Especial de Baixa Resistência

(*)

Liga Especial de Alta Resistência

(*)

Disponibilidade de Matéria-

prima

Cobre 0,5 0,2 16 ton.

Zinco 0,25 0,3 11 ton.

Chumbo 0,25 0,5 15 ton.

Preço de Venda (R$/ton.)

R$ 3000 R$ 5000 ton. de minério(*) -------------- ton. de liga

Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A Tabela 1 ilustra a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação. O preço está cotado em R$/tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. Formule o modelo de Programação Matemática.

Exercício 2

Tabela 1: Restrições/custos

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FIM