Matemática Ciência e Aplicações, Vol. 2

7212019 Matemaacutetica Ciecircncia e Aplicaccedilotildees Vol 2

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O acircngulo pedido medeα para determinarβ podemos

fazer a seguinte proporccedilatildeo para o ponteiro das horas

60 min mdash 30deg

45 min mdash β rArr β 22deg 30

Como α 983083 β 180deg temos que

α 180deg ndash 22deg 30 157deg 30

d)

7 5

x

8

6

Para o ponteiro menor temos 60 min mdash 30deg

40 min mdash xrArr

rArr x 20deg

O acircngulo pedido mede (30deg ndash x)983083 230 isto eacute 10deg 983083

983083 60deg 70deg

e)10

9

7

8

9h35min

α 60deg983083 β

Caacutelculo de β

30deg mdash 60 min

β mdash 35 min

β 35 middot 3060

175

α 60deg983083 17deg30 rArr α 77deg30

13 O ponteiro dos minutos percorre 360deg em 60 min em

20 min descreveraacute um arco de medida 360deg3

120deg Eacute

preciso portanto determinar o comprimento de um arco

de 120deg contido em uma circunferecircncia de raio 12 cm

Temos

2π middot 12 mdash 360deg

∙ mdash 120deg rArr ∙ 8π cm

Usando a aproximaccedilatildeo dada

∙ 8 middot 31 rArr ∙ 248 cm

14 a) π6

rad equivalem a 30deg o comprimento do arco eacute

30deg360deg

middot 2π middot 3 112

middot 6π π2

(cm)

45deg eacute a oitava parte de 360deg o comprimento do

arco eacute

18


middot 4π π2

(cm)

Logo os comprimentos satildeo iguais

b) O comprimento de IJ eacute14

middot 2π middot 5 (cm) 5π2

(cm)cong 785 (cm)

O comprimento ∙ do arco KL eacute

∙ α middot r 11 middot 6 cm 66 cm

Assim o arco IJ possui maior comprimento

15

3

60deg45deg

30deg60deg

0

3

4

7

6

5

3

16 -

Primeiro quadrante π6

5π12

2π7

43

-Segundo quadrante 2π

3 2 3π

5 5π

9 7π

12 7

- Terceiro quadrante 4π

3 15π

11 10

3 13

4

-Quarto quadrante 7π

4 15π

8 5

17 P π4

Q π 983083 π6

7π6

18 A x 0 B x π2

C x π D x 3π2

19 Como o triacircngulo eacute equilaacutetero m(AC) m(AB)

m(BC) 360deg3

120deg 2π3

rad

Como A eacute imagem de π2

B eacute imagem de π2

983083 2π3

7π6

e C eacute imagem de 7π6

983083 2π3

7π983083 4π6

11π6

20

3

60deg

0

60deg

2

3

Simetria em relaccedilatildeo ao eixo vertical

21 a)

6

30deg

60deg0

5

3

Natildeo haacute simetria

Capiacutetulo 1 bull A circunferecircncia trigonomeacutetrica



b)

6

0

11

6

Simetria em relaccedilatildeo

ao eixo horizontal

c)

8

09

8


ao centro da circunferecircncia

d)

2

0

3

2


ao eixo horizontal (ou

em relaccedilatildeo ao centro)

22 Q π ndash π6

5π6

a 5π6

Q 2π ndash π6

11π6

b 11π6

23 m(AB) m(BC) m( FA ) 360deg6

60deg ou π3

rad

A 0 D π

B π3

E π 983083 π3

4π3

C 2 middot π3

F 2π ndash π3

5π3

Exerciacutecios complementares

1 O acircngulo pedido eacute α da figura temos que

α = β + 120deg+ γ

βα

γ

576

48

39

Caacutelculo de (deslocamento do ponteiro das horas)

30deg mdash 60 min

β mdash 18 min rArr β = 9deg

(note que 42+ 18= 60)

β

2 a) UT eacute um diacircmetro do ciclo UT= 2

b) Note que o UOT eacute equilaacutetero pois OT = OU em(UOcircT)= 60deg desse modo UT = 1

c) A abscissa de U eacute2

2 (cos 45deg) a de T eacute ndash 2

2

(cos 135deg) assim UT = 2 middot2

2 = 2

d) A ordenada de T eacute3

2 (sen 60deg) a de U eacute ndash 3

2

(sen 300deg) daiacute UT= 2 middot3

2 = 3

Caacutelculo de γ (deslocamento do ponteiro dos minutos)

30deg mdash 5 min

γ mdash 2 min rArr γ = 12deg

Desse modo o acircngulo α mede 9deg + 120deg+ 12deg= 141deg

3 2

1

12

3

42deg

30deg

1 h∙ 60 min mdash 360deg12

∙ 30deg

x mdash 42deg ndash 30deg ∙ 12deg Ponteiro menor

x= 12 middot 60

30 = 24 minutos

e o horaacuterio marcado eacute 13h24min

4 C1 = 3 000 m e C

2 = 2 400 m

A largura da pista eacute dada por

r1 ndash r

2 =

C1

2π ndash

C2

2π = 3 000

2π ndash 2 400

2π = 600

2π cong 955 (m)

5

2ri

rc

Sejam r i e r

c as medidas dos raios das

circunferecircncias inscrita e circunscrita

ao quadrado

ri = 2 cm

2 = 1 cm rArr c

i = 2πr

i = 2π cm

(2rc)2 = 22 + 22 rArr 4r

c2 = 8 rArr r

c = 2 cm rArr

rArr Cc = 2πr

c = 2π middot 2 cm

A razatildeo pedida eacuteC

i

Cc

= 2π

2π 2 =

1

2 =

22

MATEMAacuteTICA CIEcirc NCIA E AP LICACcedilOtildeE S 2



6 α tem imagem no 1o quadrante e β no 2o quadrante

α

0

β

acircngulo comprimento

360deg mdash 2π

2deg mdash xrArr x= π

90 (comprimento de α)

Como β mede 2 radianos seu comprimento eacute igual ao

dobro do raio da circunferecircncia isto eacute o comprimento

de β eacute igual a 2

7 Observe que cada um dos arcos determinados pelos

veacutertices do triacircngulo mede 360deg3

= 120deg

8

3

0

3

a) O comprimento do lago circular eacute 32 middot 3= 96 (m)

Daiacute 2πr= 96 rArr r= 962π

= 962 middot 32

= 15 (m)

b) O novo espaccedilo entre os coqueiros seria

08 middot 3= 24 (m)

O novo nuacutemero de coqueiros seria 9624

= 40 (oito a

mais que o nuacutemero inicial)

9

α

60deg

60deg

2 cm

60deg

Note que α = 360deg ndash (60deg+ 2 middot 90deg)= 120deg

O comprimento do arco destacado pode ser obtido pela

regra de trecircs

360deg mdash 2π middot 1 cm

120deg mdash x rArr x= 2π

3 cm

O comprimento em centiacutemetros da polia eacute portanto

3 middot 2π3

+ 3 middot 2= 2π + 6 (cm)

10 O raio r do aro mede r = 902

= 45 (cm)= 045 m

O comprimento do aro eacute 2 middot π middot 045= 2 middot 32 middot 045 =

= 288 (m)

O nuacutemero de voltas dadas pelo aro no percurso de1656 m eacute 1656

288 = 575 (5 voltas completas+ 3

4 de uma

volta completa)

34

de uma volta no sentido anti-horaacuterio levam o ponto

Q ao contato com o solo ocupando assim a posiccedilatildeo

inicialmente ocupada por P

11 αdeg mdash x fatias x = 360degα

(a plusmn 5)deg mdash y fatias y= 360deg(a plusmn 5)deg

Da hipoacutetese x ndash y= 1 isto eacute

360degα

ndash 360deg(a plusmn 5)deg

= 1 rArr 360 (a plusmn 5) ndash 360 middot α = α(α plusmn 5)

1o caso

360 middot (α + 5) ndash 360 α = α(α + 5) rArr α2 + 5α ndash 1 800= 0

rArr = 7 225 α = ndash5 plusmn 852

rArr α = 40deg ou α = ndash45 (natildeo

serve)

O nuacutemero de setores obtidos foi y = 360deg45deg

= 8

2o caso

360 middot (α ndash 5) ndash 360 α = α middot (α ndash 5) rArr α2 ndash 5α + 1 800=

= 0 rArr exist α ℝ pois lt 0

12 O comprimento da polia menor eacute 2π middot 2= 4π cm isto eacute

em uma volta completa a polia menor percorre 4π cm

O comprimento da polia maior eacute 2π middot 6= 12π cm isto eacute

ao fazer uma volta completa ela percorre 12π cm Ora em

uma volta completa a polia descreve um arco de 360deg

Podemos entatildeo estabelecer a proporccedilatildeo

12π cm mdash 360deg

4π cm mdash αdeg rArr 3= 360deg

α rArr α = 120deg

13Terra

rSol

rbull = 150 middot 380 middot 103 km

2bull πr= 2 middot 3 middot 150 middot 380 middot 103 = 902 280 (km)

V bull m = 902

280 km365 middot 24 h

= 902

280 km8 760 h

= 103 kmh




14 Considere k 1 k

2 isin ℤ

k 1 middot 54π = k

2 middot 70π

27k 1 = 35k

2

Temos mmc (27 35)= 945

Daiacute k 1 = 945

27 = 35 voltas

e d=

35 middot π middot 54=

= 1 890 middot 314cong 5 934 (m)

F

54 cm

70 cm

T

15E F

45deg45deg

2

22

D

A 2 2 BC

Observe que

bull DCB eacute isoacutesceles retacircngulo m (DBC) = 45deg

bull O comprimento de AE eacute

18

45deg360deg

de 2π middot 4= 18

middot 8π = π cm

bull Analogamente o comprimento de FB eacute π cm

bull DE= EB ndash BD= 4 ndash 2 2

bull O arco EF tem comprimento 14

de 2π middot (4 ndash 2 2 ) =

=π (4 ndash 2 2 )

2 observe que 90deg360deg

= 14

O resultado procurado eacute

2 middot π + π (4 ndash 2 2 )

2 = 4π + 4π ndash π 2 2

2 = (4 ndash 2 ) π

16

A

B7 dm

x

α

Q

3 dm2 dm

r

2 dm

A1 dm

P

a) AAB 72= 12 + x2 rArr x= 48 = 4 3 dm

sen α = BQPB

mas PB2 = 22 + PQ2 = 22 + x2 = 4 + 48 = 52 rArr

rArr PB= 52

Daiacute sen α = 2

52 = 2

2 13 = 1

13 =

133

b) Quando a roda maior descreve um arco de 60deg o

comprimento correspondente eacute

1 =

2π middot 3

6 =

π dm

60deg

3 dm

ℓ1

Para que a roda menor percorra π dm eacute necessaacuterio que

ela descreva um acircngulo de 90deg pois o comprimento da

circunferecircncia menor eacute 2 = 2π middot 2= 4π cm e daiacute

4π mdash 360deg

π mdash x rArr x= 90deg

As grandezas ldquomedida do raiordquo e ldquonuacutemero de voltasrdquo satildeo

inversamente proporcionais

medida do raio nuacutemero de voltas

3 dm 802 dm x

rArr

rArr 3 middot 80= 2 middot x rArr x= 120 voltas

Desafio

O padratildeo eacute

bull a parte inteira de um termo eacute igual agrave parte inteira do termo

anterior mais 1

bull a parte decimal de um termo eacute igual agrave parte decimal do

termo anterior acrescida de dois deacutecimos

Assim depois do 506 (8o termo) temos9o termo 518

10o termo 520

11o termo 542

12o termo 554

Testes

1

Quito 6 370 Cingapura

bull A distacircncia percorrida pelo aviatildeo eacute

2π middot 6 3702

= π middot 6 370 cong 20 000 km

bull 1h mdash 800 km

x mdash 2 000 km rArr x= 25 h

Resposta c

Rodas dianteiras raio = 50 cm nuacutemero de voltas 252




Rodas traseiras raio = nuacutemero de voltas 20

25 2 50 20 2 rsdot π sdot = sdot π sdot

25 50r 625 cm

20

sdot

= =

Resposta d

3 pneu 5raio 25 cm 10 km25 minus= = sdot

51volta 2 25 10 km

185600 voltas x

minusminus π sdot sdot

minus

5x 2 25 10 185 600 29minus= π sdot sdot sdot cong

Resposta e

4 1 volta do ponteiro das horas

1 km

2π middot 6

12 = π cm

360 divide 30

Em 8 voltas a distacircncia seraacute de 8π cm

Resposta d

5 Seja O o centro da Terra

bull m (POQ)= 76deg+ 23deg= 99deg

76deg

P

O

Q

76deg

23deg

23deg

bull O comprimento do arco POQ eacute igual a99deg

360deg do com-

primento da Terra isto eacute99

360 middot 40

000= 11

000 km

6 Seja BC = 2r a primeira formiga que percorre o semi-

ciacuterculo maior andou π middot (r + 1) (Observe que o raio do

semiciacuterculo maior vale (r+ 1) cm)

A segunda formiga percorreu 1 cm+ π middot r cm+ 1 cm=

= 2+ π middot r cm

A diferenccedila entre as distacircncias percorridas eacute

π middot (r+ 1) ndash [2+ πr]= πr + π ndash 2 ndash πr = π ndash 2

Resposta d

7 Sabemos que 1 giro da roda maior= 110π cm e 1 giro

9 B

AO

No 1o trecho deO ateacute A a distacircnciad da formiga aumenta

ateacute atingir o ponto A (neste ponto a distacircncia eacute a maior

possiacutevel pois OA eacute raio)

No 2o trecho a formiga caminha sobre a circunferecircncia

de modo que sua distacircncia agrave origem eacute constante ateacute

chegar ao ponto B

No 3o trecho a formiga parte de B (ponto no qual sua

distacircncia ao centro eacute maacutexima) e vai se aproximando do

centro de forma que a distacircncia d diminui

O graacutefico que melhor ilustra esta situaccedilatildeo estaacute represen-tado em (b)

Resposta b

10 bull O atleta que sai da posiccedilatildeo mais interna da pista

percorreraacute

3d+ 12

middot 2πr+ 3d+ k= 300

6d+ 3 middot 10+ k= 300 rArr 6d+ k= 270 1

bull O atleta que sai da posiccedilatildeo mais externa da pista

percorreraacute

12

middot 2π middot (r+ 6)+ 3d+ k= 300

3 middot (10+ 6)+ 3d+ k= 300 rArr 3d+ k= 252 2

De 1 e 2 obtemos d= 6 e k= 234

k+ d= 240 m

Resposta e

da roda menor 70 cm

Como mmc(70 110)= 770 eacute necessaacuterio que a roda maior

decirc pelo menos770110

= 7 voltas

Resposta b

8 Rgt r as grandezas raio e nuacutemero de voltas satildeo inver-

samente proporcionais Daiacute

R middot 3= r middot 10 rArr 3

10 =

rR

rArr rR

= 03

Resposta c

= π

11 bull 1a trajetoacuteria12

middot 2π middot (2R)= 2πR

bull 2a trajetoacuteria 2 middot12

middot 2πR = 2πR

bull 3

4 de 2πR=

3πR

2


Resposta a



O atleta da 2a trajetoacuteria estaraacute no pontoQrsquo comQ projeccedilatildeo

de Qrsquo sobre AB

O atleta da 1a trajetoacuteria estaraacute sobre o ponto C indicado

X A O

P

Q

45deg

Q

C

R B

bull OQ= R= QQrsquo(∆QrsquoQO eacute isoacutesceles)

bull OQrsquo2 = R2 + R2 rArr OQ= R 2

bull OC= 2R

bull d= CQ eacute a distacircncia pedida

bull Como OC= OQ+ CQ vem

2R= R 2 + d

d= 2R ndash R 2 = R(2 ndash 14)= 06R

Resposta b

12 roda raio 45cm=

1volta 2 45

2 000 voltas x

minus π sdot

minus

x 2 45 2 000 565 200 c m 5652 km= π sdot sdot = =

Resposta d

13 Considerando a definiccedilatildeo de radiano o arco faltante mdash

que eacute de 1 rad mdash tem comprimento igual a r Assim

temos 2p= 2πr ndash r+ 2r= 2πr+ r= (2π + 1) cm

Resposta e

14 cos JOC= OMOJ

= 2r

= 12

rArr JOC= 60degrArr JOP= 120deg

= 2π3

ℓ = αr rArr ℓ = 2π3

middot 5= 10π

3 m

PM

J

O

=

C

r

15

Resposta b

16 ACB ℓ = αr rArr 19

2πr= 2π3

rArr r= 3 cm

Vem aacuterea A= πr2 = 9π cm2

Resposta c

17 Circunferecircncia da Terra 50 middot 5

000= 250

000 estaacutedios

Daiacute250 000 estaacutedios mdash 39 375 km

1 estaacutedio mdash x

x= 01575 km = 1575 m

Resposta c

18 bull A circunferecircncia maior tem comprimento 1884 uc

Daiacute 1884= 2 middot 314 middot r rArr r= 3 uc

bull Seja T o ponto de tangecircncia das duas circunferecircncias

ATM eacute retacircngulo em T

sen 30deg= MT AM

rArr 12

= MT AM

()

bull ComoABC eacute equilaacutetero de lado 2 3 sua altura eacute

2 3 middot 32

= 3 e portanto AM = 2 uc

Em ()12

= MT 2

rArr MT= 1 uc

O comprimento do segmento MN eacute MT+ NT= 1+

+ 3= 4 uc

Resposta c

19 ti =

20 min=

1

3 hrArr

vi =

7 5

13

=

225 kmh

t0 = 30 min=

12

h rArr v0 =

7 512

= 15 kmh

Sendo t o tempo ateacute o encontro

225t= 75 ndash 15t rArr 375t= 75 rArr

rArr t= 15

h= 12 minutos

Resposta b

20 ℓ = α middot r

(2π ndash α) middot 10= 2π middot 8 rArr

rArr 20π ndash 10α = 16π rArr α = 2π5

= 72deg

Resposta e


Resposta a

Pista quadrada de lado L rArr

periacutemetro 4L 640 m L 160 mrArr = = rArr =

Pista circular de raio 2 R 628 m R 100 mrArr π = rArr =R

R 100 5

L 160 8

= =

21 3 180ordmπ sdot minus

AB 30ordmminus

3 30AB 157m

180

π sdot sdot= =

Resposta b



O acircngulo pedido medeα para determinarβ podemos

fazer a seguinte proporccedilatildeo para o ponteiro das horas

60 min mdash 30deg

45 min mdash β rArr β 22deg 30

Como α 983083 β 180deg temos que

α 180deg ndash 22deg 30 157deg 30

d)

7 5

x

8

6

Para o ponteiro menor temos 60 min mdash 30deg

40 min mdash xrArr

rArr x 20deg

O acircngulo pedido mede (30deg ndash x)983083 230 isto eacute 10deg 983083

983083 60deg 70deg

e)10

9

7

8

9h35min

α 60deg983083 β

Caacutelculo de β

30deg mdash 60 min

β mdash 35 min

β 35 middot 3060

175

α 60deg983083 17deg30 rArr α 77deg30

13 O ponteiro dos minutos percorre 360deg em 60 min em

20 min descreveraacute um arco de medida 360deg3

120deg Eacute

preciso portanto determinar o comprimento de um arco

de 120deg contido em uma circunferecircncia de raio 12 cm

Temos

2π middot 12 mdash 360deg

∙ mdash 120deg rArr ∙ 8π cm

Usando a aproximaccedilatildeo dada

∙ 8 middot 31 rArr ∙ 248 cm

14 a) π6

rad equivalem a 30deg o comprimento do arco eacute

30deg360deg


middot 6π π2

(cm)

45deg eacute a oitava parte de 360deg o comprimento do

arco eacute

18


middot 4π π2

(cm)

Logo os comprimentos satildeo iguais

b) O comprimento de IJ eacute14

middot 2π middot 5 (cm) 5π2

(cm)cong 785 (cm)

O comprimento ∙ do arco KL eacute

∙ α middot r 11 middot 6 cm 66 cm

Assim o arco IJ possui maior comprimento

15

3

60deg45deg

30deg60deg

0

3

4

7

6

5

3

16 -

Primeiro quadrante π6

5π12

2π7

43

-Segundo quadrante 2π

3 2 3π

5 5π

9 7π

12 7

- Terceiro quadrante 4π

3 15π

11 10

3 13

4

-Quarto quadrante 7π

4 15π

8 5

17 P π4

Q π 983083 π6

7π6

18 A x 0 B x π2

C x π D x 3π2

19 Como o triacircngulo eacute equilaacutetero m(AC) m(AB)

m(BC) 360deg3

120deg 2π3

rad

Como A eacute imagem de π2

B eacute imagem de π2

983083 2π3

7π6

e C eacute imagem de 7π6

983083 2π3

7π983083 4π6

11π6

20

3

60deg

0

60deg

2

3

Simetria em relaccedilatildeo ao eixo vertical

21 a)

6

30deg

60deg0

5

3

Natildeo haacute simetria




b)

6

0

11

6


ao eixo horizontal

c)

8

09

8



d)

2

0

3

2




22 Q π ndash π6

5π6

a 5π6

Q 2π ndash π6

11π6

b 11π6


60deg ou π3

rad

A 0 D π

B π3

E π 983083 π3

4π3

C 2 middot π3

F 2π ndash π3

5π3



α = β + 120deg+ γ

βα

γ

576

48

39


30deg mdash 60 min


(note que 42+ 18= 60)

β





2


2 = 2



2


2 = 3


30deg mdash 5 min



3 2

1

12

3

42deg

30deg


∙ 30deg


x= 12 middot 60

30 = 24 minutos


4 C1 = 3 000 m e C

2 = 2 400 m


r1 ndash r

2 =

C1

2π ndash

C2

2π = 3 000

2π ndash 2 400

2π = 600

2π cong 955 (m)

5

2ri

rc

Sejam r i e r



ao quadrado

ri = 2 cm

2 = 1 cm rArr c

i = 2πr

i = 2π cm

(2rc)2 = 22 + 22 rArr 4r

c2 = 8 rArr r

c = 2 cm rArr

rArr Cc = 2πr

c = 2π middot 2 cm


i

Cc

= 2π

2π 2 =

1

2 =

22





α

0

β


360deg mdash 2π








= 120deg

8

3

0

3



= 962 middot 32

= 15 (m)


08 middot 3= 24 (m)


= 40 (oito a


9

α

60deg

60deg

2 cm

60deg



regra de trecircs



3 cm


3 middot 2π3

+ 3 middot 2= 2π + 6 (cm)


= 45 (cm)= 045 m


= 288 (m)



4 de uma

volta completa)

34







360degα



1o caso




serve)


= 8

2o caso











α rArr α = 120deg

13Terra

rSol



V bull m = 902


= 902

280 km8 760 h

= 103 kmh




14 Considere k 1 k

2 isin ℤ

k 1 middot 54π = k

2 middot 70π

27k 1 = 35k

2

Temos mmc (27 35)= 945

Daiacute k 1 = 945

27 = 35 voltas

e d=


= 1 890 middot 314cong 5 934 (m)

F

54 cm

70 cm

T

15E F

45deg45deg

2

22

D

A 2 2 BC

Observe que



18

45deg360deg

de 2π middot 4= 18

middot 8π = π cm





=π (4 ndash 2 2 )


= 14



2 = 4π + 4π ndash π 2 2

2 = (4 ndash 2 ) π

16

A

B7 dm

x

α

Q

3 dm2 dm

r

2 dm

A1 dm

P

a) AAB 72= 12 + x2 rArr x= 48 = 4 3 dm

sen α = BQPB

mas PB2 = 22 + PQ2 = 22 + x2 = 4 + 48 = 52 rArr

rArr PB= 52

Daiacute sen α = 2

52 = 2

2 13 = 1

13 =

133



1 =

2π middot 3

6 =

π dm

60deg

3 dm

ℓ1




4π mdash 360deg





3 dm 802 dm x

rArr


Desafio



anterior mais 1




10o termo 520

11o termo 542

12o termo 554

Testes

1



2π middot 6 3702




Resposta c







25 50r 625 cm

20

sdot

= =

Resposta d


51volta 2 25 10 km

185600 voltas x


minus


Resposta e


1 km

2π middot 6

12 = π cm

360 divide 30


Resposta d



76deg

P

O

Q

76deg

23deg

23deg


360deg do com-


360 middot 40

000= 11

000 km





= 2+ π middot r cm



Resposta d


9 B

AO






chegar ao ponto B





Resposta b


percorreraacute

3d+ 12


6d+ 3 middot 10+ k= 300 rArr 6d+ k= 270 1


percorreraacute

12


3 middot (10+ 6)+ 3d+ k= 300 rArr 3d+ k= 252 2


k+ d= 240 m

Resposta e

da roda menor 70 cm



= 7 voltas

Resposta b




10 =

rR

rArr rR

= 03

Resposta c

= π




middot 2πR = 2πR

bull 3

4 de 2πR=

3πR

2


Resposta a




de Qrsquo sobre AB


X A O

P

Q

45deg

Q

C

R B



bull OC= 2R



2R= R 2 + d


Resposta b

12 roda raio 45cm=

1volta 2 45

2 000 voltas x

minus π sdot

minus

x 2 45 2 000 565 200 c m 5652 km= π sdot sdot = =

Resposta d




Resposta e

14 cos JOC= OMOJ

= 2r

= 12


= 2π3


middot 5= 10π

3 m

PM

J

O

=

C

r

15

Resposta b


2πr= 2π3

rArr r= 3 cm


Resposta c


000= 250

000 estaacutedios



x= 01575 km = 1575 m

Resposta c





sen 30deg= MT AM

rArr 12

= MT AM

()


2 3 middot 32


Em ()12

= MT 2

rArr MT= 1 uc


+ 3= 4 uc

Resposta c

19 ti =

20 min=

1

3 hrArr

vi =

7 5

13

=

225 kmh

t0 = 30 min=

12

h rArr v0 =

7 512

= 15 kmh



rArr t= 15

h= 12 minutos

Resposta b




= 72deg

Resposta e


Resposta a




R 100 5

L 160 8

= =


AB 30ordmminus

3 30AB 157m

180

π sdot sdot= =

Resposta b



b)

6

0

11

6


ao eixo horizontal

c)

8

09

8



d)

2

0

3

2




22 Q π ndash π6

5π6

a 5π6

Q 2π ndash π6

11π6

b 11π6


60deg ou π3

rad

A 0 D π

B π3

E π 983083 π3

4π3

C 2 middot π3

F 2π ndash π3

5π3



α = β + 120deg+ γ

βα

γ

576

48

39


30deg mdash 60 min


(note que 42+ 18= 60)

β





2


2 = 2



2


2 = 3


30deg mdash 5 min



3 2

1

12

3

42deg

30deg


∙ 30deg


x= 12 middot 60

30 = 24 minutos


4 C1 = 3 000 m e C

2 = 2 400 m


r1 ndash r

2 =

C1

2π ndash

C2

2π = 3 000

2π ndash 2 400

2π = 600

2π cong 955 (m)

5

2ri

rc

Sejam r i e r



ao quadrado

ri = 2 cm

2 = 1 cm rArr c

i = 2πr

i = 2π cm

(2rc)2 = 22 + 22 rArr 4r

c2 = 8 rArr r

c = 2 cm rArr

rArr Cc = 2πr

c = 2π middot 2 cm


i

Cc

= 2π

2π 2 =

1

2 =

22





α

0

β


360deg mdash 2π








= 120deg

8

3

0

3



= 962 middot 32

= 15 (m)


08 middot 3= 24 (m)


= 40 (oito a


9

α

60deg

60deg

2 cm

60deg



regra de trecircs



3 cm


3 middot 2π3

+ 3 middot 2= 2π + 6 (cm)


= 45 (cm)= 045 m


= 288 (m)



4 de uma

volta completa)

34







360degα



1o caso




serve)


= 8

2o caso











α rArr α = 120deg

13Terra

rSol



V bull m = 902


= 902

280 km8 760 h

= 103 kmh




14 Considere k 1 k

2 isin ℤ

k 1 middot 54π = k

2 middot 70π

27k 1 = 35k

2

Temos mmc (27 35)= 945

Daiacute k 1 = 945

27 = 35 voltas

e d=


= 1 890 middot 314cong 5 934 (m)

F

54 cm

70 cm

T

15E F

45deg45deg

2

22

D

A 2 2 BC

Observe que



18

45deg360deg

de 2π middot 4= 18

middot 8π = π cm





=π (4 ndash 2 2 )


= 14



2 = 4π + 4π ndash π 2 2

2 = (4 ndash 2 ) π

16

A

B7 dm

x

α

Q

3 dm2 dm

r

2 dm

A1 dm

P

a) AAB 72= 12 + x2 rArr x= 48 = 4 3 dm

sen α = BQPB

mas PB2 = 22 + PQ2 = 22 + x2 = 4 + 48 = 52 rArr

rArr PB= 52

Daiacute sen α = 2

52 = 2

2 13 = 1

13 =

133



1 =

2π middot 3

6 =

π dm

60deg

3 dm

ℓ1




4π mdash 360deg





3 dm 802 dm x

rArr


Desafio



anterior mais 1




10o termo 520

11o termo 542

12o termo 554

Testes

1



2π middot 6 3702




Resposta c







25 50r 625 cm

20

sdot

= =

Resposta d


51volta 2 25 10 km

185600 voltas x


minus


Resposta e


1 km

2π middot 6

12 = π cm

360 divide 30


Resposta d



76deg

P

O

Q

76deg

23deg

23deg


360deg do com-


360 middot 40

000= 11

000 km





= 2+ π middot r cm



Resposta d


9 B

AO






chegar ao ponto B





Resposta b


percorreraacute

3d+ 12


6d+ 3 middot 10+ k= 300 rArr 6d+ k= 270 1


percorreraacute

12


3 middot (10+ 6)+ 3d+ k= 300 rArr 3d+ k= 252 2


k+ d= 240 m

Resposta e

da roda menor 70 cm



= 7 voltas

Resposta b




10 =

rR

rArr rR

= 03

Resposta c

= π




middot 2πR = 2πR

bull 3

4 de 2πR=

3πR

2


Resposta a




de Qrsquo sobre AB


X A O

P

Q

45deg

Q

C

R B



bull OC= 2R



2R= R 2 + d


Resposta b

12 roda raio 45cm=

1volta 2 45

2 000 voltas x

minus π sdot

minus

x 2 45 2 000 565 200 c m 5652 km= π sdot sdot = =

Resposta d




Resposta e

14 cos JOC= OMOJ

= 2r

= 12


= 2π3


middot 5= 10π

3 m

PM

J

O

=

C

r

15

Resposta b


2πr= 2π3

rArr r= 3 cm


Resposta c


000= 250

000 estaacutedios



x= 01575 km = 1575 m

Resposta c





sen 30deg= MT AM

rArr 12

= MT AM

()


2 3 middot 32


Em ()12

= MT 2

rArr MT= 1 uc


+ 3= 4 uc

Resposta c

19 ti =

20 min=

1

3 hrArr

vi =

7 5

13

=

225 kmh

t0 = 30 min=

12

h rArr v0 =

7 512

= 15 kmh



rArr t= 15

h= 12 minutos

Resposta b




= 72deg

Resposta e


Resposta a




R 100 5

L 160 8

= =


AB 30ordmminus

3 30AB 157m

180

π sdot sdot= =

Resposta b




α

0

β


360deg mdash 2π








= 120deg

8

3

0

3



= 962 middot 32

= 15 (m)


08 middot 3= 24 (m)


= 40 (oito a


9

α

60deg

60deg

2 cm

60deg



regra de trecircs



3 cm


3 middot 2π3

+ 3 middot 2= 2π + 6 (cm)


= 45 (cm)= 045 m


= 288 (m)



4 de uma

volta completa)

34







360degα



1o caso




serve)


= 8

2o caso











α rArr α = 120deg

13Terra

rSol



V bull m = 902


= 902

280 km8 760 h

= 103 kmh




14 Considere k 1 k

2 isin ℤ

k 1 middot 54π = k

2 middot 70π

27k 1 = 35k

2

Temos mmc (27 35)= 945

Daiacute k 1 = 945

27 = 35 voltas

e d=


= 1 890 middot 314cong 5 934 (m)

F

54 cm

70 cm

T

15E F

45deg45deg

2

22

D

A 2 2 BC

Observe que



18

45deg360deg

de 2π middot 4= 18

middot 8π = π cm





=π (4 ndash 2 2 )


= 14



2 = 4π + 4π ndash π 2 2

2 = (4 ndash 2 ) π

16

A

B7 dm

x

α

Q

3 dm2 dm

r

2 dm

A1 dm

P

a) AAB 72= 12 + x2 rArr x= 48 = 4 3 dm

sen α = BQPB

mas PB2 = 22 + PQ2 = 22 + x2 = 4 + 48 = 52 rArr

rArr PB= 52

Daiacute sen α = 2

52 = 2

2 13 = 1

13 =

133



1 =

2π middot 3

6 =

π dm

60deg

3 dm

ℓ1




4π mdash 360deg





3 dm 802 dm x

rArr


Desafio



anterior mais 1




10o termo 520

11o termo 542

12o termo 554

Testes

1



2π middot 6 3702




Resposta c







25 50r 625 cm

20

sdot

= =

Resposta d


51volta 2 25 10 km

185600 voltas x


minus


Resposta e


1 km

2π middot 6

12 = π cm

360 divide 30


Resposta d



76deg

P

O

Q

76deg

23deg

23deg


360deg do com-


360 middot 40

000= 11

000 km





= 2+ π middot r cm



Resposta d


9 B

AO






chegar ao ponto B





Resposta b


percorreraacute

3d+ 12


6d+ 3 middot 10+ k= 300 rArr 6d+ k= 270 1


percorreraacute

12


3 middot (10+ 6)+ 3d+ k= 300 rArr 3d+ k= 252 2


k+ d= 240 m

Resposta e

da roda menor 70 cm



= 7 voltas

Resposta b




10 =

rR

rArr rR

= 03

Resposta c

= π




middot 2πR = 2πR

bull 3

4 de 2πR=

3πR

2


Resposta a




de Qrsquo sobre AB


X A O

P

Q

45deg

Q

C

R B



bull OC= 2R



2R= R 2 + d


Resposta b

12 roda raio 45cm=

1volta 2 45

2 000 voltas x

minus π sdot

minus

x 2 45 2 000 565 200 c m 5652 km= π sdot sdot = =

Resposta d




Resposta e

14 cos JOC= OMOJ

= 2r

= 12


= 2π3


middot 5= 10π

3 m

PM

J

O

=

C

r

15

Resposta b


2πr= 2π3

rArr r= 3 cm


Resposta c


000= 250

000 estaacutedios



x= 01575 km = 1575 m

Resposta c





sen 30deg= MT AM

rArr 12

= MT AM

()


2 3 middot 32


Em ()12

= MT 2

rArr MT= 1 uc


+ 3= 4 uc

Resposta c

19 ti =

20 min=

1

3 hrArr

vi =

7 5

13

=

225 kmh

t0 = 30 min=

12

h rArr v0 =

7 512

= 15 kmh



rArr t= 15

h= 12 minutos

Resposta b




= 72deg

Resposta e


Resposta a




R 100 5

L 160 8

= =


AB 30ordmminus

3 30AB 157m

180

π sdot sdot= =

Resposta b



14 Considere k 1 k

2 isin ℤ

k 1 middot 54π = k

2 middot 70π

27k 1 = 35k

2

Temos mmc (27 35)= 945

Daiacute k 1 = 945

27 = 35 voltas

e d=


= 1 890 middot 314cong 5 934 (m)

F

54 cm

70 cm

T

15E F

45deg45deg

2

22

D

A 2 2 BC

Observe que



18

45deg360deg

de 2π middot 4= 18

middot 8π = π cm





=π (4 ndash 2 2 )


= 14



2 = 4π + 4π ndash π 2 2

2 = (4 ndash 2 ) π

16

A

B7 dm

x

α

Q

3 dm2 dm

r

2 dm

A1 dm

P

a) AAB 72= 12 + x2 rArr x= 48 = 4 3 dm

sen α = BQPB

mas PB2 = 22 + PQ2 = 22 + x2 = 4 + 48 = 52 rArr

rArr PB= 52

Daiacute sen α = 2

52 = 2

2 13 = 1

13 =

133



1 =

2π middot 3

6 =

π dm

60deg

3 dm

ℓ1




4π mdash 360deg





3 dm 802 dm x

rArr


Desafio



anterior mais 1




10o termo 520

11o termo 542

12o termo 554

Testes

1



2π middot 6 3702




Resposta c







25 50r 625 cm

20

sdot

= =

Resposta d


51volta 2 25 10 km

185600 voltas x


minus


Resposta e


1 km

2π middot 6

12 = π cm

360 divide 30


Resposta d



76deg

P

O

Q

76deg

23deg

23deg


360deg do com-


360 middot 40

000= 11

000 km





= 2+ π middot r cm



Resposta d


9 B

AO






chegar ao ponto B





Resposta b


percorreraacute

3d+ 12


6d+ 3 middot 10+ k= 300 rArr 6d+ k= 270 1


percorreraacute

12


3 middot (10+ 6)+ 3d+ k= 300 rArr 3d+ k= 252 2


k+ d= 240 m

Resposta e

da roda menor 70 cm



= 7 voltas

Resposta b




10 =

rR

rArr rR

= 03

Resposta c

= π




middot 2πR = 2πR

bull 3

4 de 2πR=

3πR

2


Resposta a




de Qrsquo sobre AB


X A O

P

Q

45deg

Q

C

R B



bull OC= 2R



2R= R 2 + d


Resposta b

12 roda raio 45cm=

1volta 2 45

2 000 voltas x

minus π sdot

minus

x 2 45 2 000 565 200 c m 5652 km= π sdot sdot = =

Resposta d




Resposta e

14 cos JOC= OMOJ

= 2r

= 12


= 2π3


middot 5= 10π

3 m

PM

J

O

=

C

r

15

Resposta b


2πr= 2π3

rArr r= 3 cm


Resposta c


000= 250

000 estaacutedios



x= 01575 km = 1575 m

Resposta c





sen 30deg= MT AM

rArr 12

= MT AM

()


2 3 middot 32


Em ()12

= MT 2

rArr MT= 1 uc


+ 3= 4 uc

Resposta c

19 ti =

20 min=

1

3 hrArr

vi =

7 5

13

=

225 kmh

t0 = 30 min=

12

h rArr v0 =

7 512

= 15 kmh



rArr t= 15

h= 12 minutos

Resposta b




= 72deg

Resposta e


Resposta a




R 100 5

L 160 8

= =


AB 30ordmminus

3 30AB 157m

180

π sdot sdot= =

Resposta b





25 50r 625 cm

20

sdot

= =

Resposta d


51volta 2 25 10 km

185600 voltas x


minus


Resposta e


1 km

2π middot 6

12 = π cm

360 divide 30


Resposta d



76deg

P

O

Q

76deg

23deg

23deg


360deg do com-


360 middot 40

000= 11

000 km





= 2+ π middot r cm



Resposta d


9 B

AO






chegar ao ponto B





Resposta b


percorreraacute

3d+ 12


6d+ 3 middot 10+ k= 300 rArr 6d+ k= 270 1


percorreraacute

12


3 middot (10+ 6)+ 3d+ k= 300 rArr 3d+ k= 252 2


k+ d= 240 m

Resposta e

da roda menor 70 cm



= 7 voltas

Resposta b




10 =

rR

rArr rR

= 03

Resposta c

= π




middot 2πR = 2πR

bull 3

4 de 2πR=

3πR

2


Resposta a




de Qrsquo sobre AB


X A O

P

Q

45deg

Q

C

R B



bull OC= 2R



2R= R 2 + d


Resposta b

12 roda raio 45cm=

1volta 2 45

2 000 voltas x

minus π sdot

minus

x 2 45 2 000 565 200 c m 5652 km= π sdot sdot = =

Resposta d




Resposta e

14 cos JOC= OMOJ

= 2r

= 12


= 2π3


middot 5= 10π

3 m

PM

J

O

=

C

r

15

Resposta b


2πr= 2π3

rArr r= 3 cm


Resposta c


000= 250

000 estaacutedios



x= 01575 km = 1575 m

Resposta c





sen 30deg= MT AM

rArr 12

= MT AM

()


2 3 middot 32


Em ()12

= MT 2

rArr MT= 1 uc


+ 3= 4 uc

Resposta c

19 ti =

20 min=

1

3 hrArr

vi =

7 5

13

=

225 kmh

t0 = 30 min=

12

h rArr v0 =

7 512

= 15 kmh



rArr t= 15

h= 12 minutos

Resposta b




= 72deg

Resposta e


Resposta a




R 100 5

L 160 8

= =


AB 30ordmminus

3 30AB 157m

180

π sdot sdot= =

Resposta b




de Qrsquo sobre AB


X A O

P

Q

45deg

Q

C

R B



bull OC= 2R



2R= R 2 + d


Resposta b

12 roda raio 45cm=

1volta 2 45

2 000 voltas x

minus π sdot

minus

x 2 45 2 000 565 200 c m 5652 km= π sdot sdot = =

Resposta d




Resposta e

14 cos JOC= OMOJ

= 2r

= 12


= 2π3


middot 5= 10π

3 m

PM

J

O

=

C

r

15

Resposta b


2πr= 2π3

rArr r= 3 cm


Resposta c


000= 250

000 estaacutedios



x= 01575 km = 1575 m

Resposta c





sen 30deg= MT AM

rArr 12

= MT AM

()


2 3 middot 32


Em ()12

= MT 2

rArr MT= 1 uc


+ 3= 4 uc

Resposta c

19 ti =

20 min=

1

3 hrArr

vi =

7 5

13

=

225 kmh

t0 = 30 min=

12

h rArr v0 =

7 512

= 15 kmh



rArr t= 15

h= 12 minutos

Resposta b




= 72deg

Resposta e


Resposta a




R 100 5

L 160 8

= =


AB 30ordmminus

3 30AB 157m

180

π sdot sdot= =

Resposta b

Matemática Ciência e Aplicações, Vol. 2

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