Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

2

APRESENTAÇÃO

Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você encontrará o conteúdo da programação da 2ª série do Ensino Médio.

Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para resolver os exercícios.

As dúvidas que surgirem, deverão ser esclarecidas com o Orientador de Aprendizagem na Sala de Matemática.

Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua responsabilidade. Se necessário, tire suas dúvidas com o Professor.

Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las procuramos elaborar esta apostila de maneira mais simples e objetiva com uma metodologia auto-instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é levado a construir seu conhecimento gradativamente.

No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos que lhe serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado.

Não escreva na apostila, use seu caderno.

META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM “Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social, adequando seus

valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes transformadores dentro de

uma visão de mundo, acreditando no valor daquilo que vêem e pensam”.

OBJETIVOS ( Módulos 6 e 7 ) Nesta U.E. você será capaz de:

- Construir um gráfico no plano cartesiano, analisar e interpretar as coordenadas e suas divisões;

- Localizar os pontos ( pares ordenados ) no plano cartesiano; - Fazer análise de gráficos e tabelas; - Transpor o conceito de função na resolução de situações-problemas do

cotidiano; - Fazer uso do plano cartesiano, localizar dois ou mais pontos e traçar a reta que

representa a função do 1º grau e da parábola na função do 2º grau; - Determinar o ponto de máximo ou de mínimo de uma parábola e suas

aplicações em problemas.

3

MÓDULO 6

COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO

Você percebeu que cada vez mais os gráficos e tabelas são usados nos meios de comunicação (jornais, revistas, etc.) e ocupam lugar de destaque nas ciências exatas.

Além disso, tem aplicações importantes na medicina, engenharia, economia, etc. O gráfico mais usado no estudo das ciências é o gráfico cartesiano formada por duas retas numeradas (ou eixos), que se cruzam num ponto zero (a origem) .

Considerando:

1º Os eixos perpendiculares entre si ( formando ângulos de 90º ). 2º A mesma unidade de medida nos eixos.

O eixo horizontal é chamado eixo X (abscissas). O eixo vertical é chamado eixo Y (ordenadas). Para localizar um ponto P (na figura), traçam-se por esse ponto paralelas aos

eixos x e y, respectivamente. Portanto, ao ponto P da figura corresponde um par ordenado de números reais

(3,2), sendo 3 no eixo x e 2 no eixo y, obedecendo rigorosamente essa ordem. Dessa maneira fica determinado o ponto P, como a intersecção ou junção das retas paralelas aos eixos x e y.

Veja mais alguns exemplos:

X Y

-6 -5 -4 -3 – 2 -1 1 2 3 4 5 6

4 3 2 1

-1 -2 -3 -4

. P ( 3 , 2)

eixo X

eixo Y

Observe que os dois eixos estão divididos em partes iguais.

4

Localize os pontos no plano cartesiano lembrando que o 1º número é a abscissa (X) e o 2º é a coordenada (Y).

A (-1,3) C (-2,-2) B (2,-1) D (1, 4)

O 1º nº do par ordenado pertence a abscissa (eixo x) e o 2º nº pertence a ordenada (eixo y). Os dois eixos formam as coordenadas cartesianas. Os eixos cartesianos dividem o plano em 4 regiões chamadas quadrantes, que

são numeradas no sentido anti-horário (contrário ao movimento do relógio) I III

EXERCÍCIO:

1) Faça em seu caderno o plano cartesiano e localize os seguintes pontos, lembrando que 0 1º nº é do eixo X e o 2º do eixo Y P (3 , 4) Q (-1 , -3) R (-2 , 5)

-6 –5 –4 –3 –2 -1 0

1 2 3 4 5 6

4 3 2 1

-1

eixo X

eixo Y

-2

-3

-4

-5

A

B C

D •

• •

•

II

IV

- +

+ -

5

COMO CONSTRUIR O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU.

A função do 1º grau é escrita na forma y = ax + b, onde a é o coeficiente

numérico (nº). Exemplo 1 Vamos construir o gráfico para a seguinte função do 1º grau: y = x + 1, seguindo

os passos abaixo: 1º passo: Você vai escolher, no mínimo, dois números quaisquer para colocar

no lugar da letra x, e construir uma tabela igual a esta: X X + 1 Y 1 1 + 1 2 ( 1, 2 ) 2 2 + 1 3 ( 2, 3 )

Observe que no lugar da letra X coloca-se o número que foi escolhido. 2º passo: Agora você vai construir o plano cartesiano traçando uma reta vertical

(eixo Y) e outra horizontal (eixo X) que se interceptam (cruzam) no ponto zero (origem).

3º passo: A partir do “zero” dividir as retas em partes iguais correspondendo os pontos com os números.

4º passo: Localizar no plano cartesiano os pares ordenados (x, y) obtidos na tabela.

5º passo: Traçar uma reta unindo os pontos obtidos. Agora, observe o gráfico, onde estão localizados os pontos e a reta que passa por

esses pontos.

Nºs que você escolhe para X

1

• (2 , 3)

• (1 , 2)

6

Exemplo 2: Como será o gráfico dos pontos (x,y), tais que y seja o nº que mede a área de um

terreno quadrado de lado x, ou seja, y = x²? X X² y -2 (-2) ² 4 Lembre-se ( -2)2 = -2 . -2 = +4 -1 (-1) ² 1 0 0² 0 1 1² 1

2 2² 4

O gráfico da relação y = x² é uma curva chamada parábola e é importante na

geometria e na física. Você já deve ter ouvido falar em antena parabólica: sua forma arredondada é

derivada da parábola. Agora é com você:

EXERCÍCIOS: 2) Faça a tabela, marque os pontos e trace a reta no plano cartesiano. a) y = x – 2 b) y = 3 . x

Você sabe que deve substituir os valores atribuídos para X na função Y = X²

•

• •

• •

7

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

Você viu que atribuindo (dando) valores para uma variável (X) na equação você pode representá-la através de uma reta no plano cartesiano. O mesmo acontece quando você tem um sistema de equações (duas equações e duas variáveis).

Esse sistema pode ser resolvido calculando o valor das duas variáveis usando o método algébrico (ver exemplo abaixo), como também através do gráfico no plano cartesiano.

Observe atentamente o exemplo: Exemplo 1:

A soma de dois números é 15 e a diferença entre eles é 3. Quais são esse números?

X = um número Y = outro número Traduzindo para a linguagem matemática você tem:

X + Y = 15 (a soma de dois números) X – Y = 3 (a diferença de dois números)

1º Passo: “Juntando” os termos semelhantes: X + Y = 15 (1ª equação) X – Y = 3 (2ª equação) 2X = 18 Da equação resultante, você determina o valor de uma incógnita (neste caso o X ). 2X = 18 X = 18 2

2º Passo: substituir o valor da letra encontrado na 1ª ou 2ª equação.

X + Y = 15 (1ª equação) 9 + Y = 15 Y = 15 – 9

Logo, os números procurados são 9 e 6 e o conjunto verdade é representado por : V = {(9 , 6)} X , Y

X = 9

Y = 6

Adicionam-se as duas equações reduzindo os termos semelhantes.

8

A INTERSECÇÃO DE RETAS E A SOLUÇÃO DE SISTEMAS

Você acha possível que um mesmo problema possa ser resolvido tanto algebricamente como geometricamente?

Você aprendeu a solução algébrica do sistema de equações do 1º grau fazendo os cálculos com números e variáveis. Como será a solução geométrica do mesmo sistema? Usando o plano cartesiano, ou seja, o gráfico.

X + Y = 15 1ª equação X – Y = 3 2ª equação

Para encontrar a solução geométrica você deve escolher dois números

quaisquer para x, substituir na 1ª equação e descobrir que número deve ser a letra y para que a operação fique correta.

Por exemplo, se escolher os números 6 e 7 para x na primeira equação:

X + Y = 15 6 + Y = 15, se x vale 6 então y deve ser 9, pois 6 + 9 = 15 7 + y = 15, se x vale 7 então y deve ser 8 , pois 7 + 8 = 15

Então para a primeira equação você tem os pontos ( 6,9) e ( 7,8).

Agora escolha mais dois números quaisquer para x na segunda equação. Por exemplo, os números 3 e 4, vejam: X – Y = 3 3 - y = 3 Se x vale 3 então y vale 0, pois 3 – 0 = 3 4 – y = 3 Se x vale 4 então y vale 1, pois 4 – 1 = 3

Então você tem os pontos (3,0) e ( 4, 1) para a segunda equação.

Marque os pontos encontrados na 1ª equação no plano cartesiano e trace a respectiva reta .Em seguida marque no mesmo plano cartesiano os pontos encontrados na 2ª equação e trace a respectiva reta. As duas retas se cruzam num ponto que é o resultado do sistema. Os valores X = 9 e Y = 6 são os únicos que tornam as duas equações

verdadeiras:

X + Y = 15 X – Y = 3 9 + 6 = 15 9 – 6 = 3

9

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 8

7 65 4 3 2

1

.

x .

.

. P (9 , 6 )

(X, Y)

-2

-3

-1

-4

EXERCÍCIOS:

3) Resolva geometricamente o sistema abaixo:

X - y = 3 X + y = 7

A utilização do método cartesiano muito contribuiu para o progresso das

ciências. As representações cartesianas de fenômenos como a variação da temperatura de um doente, a oscilação dos valores das ações na Bolsa, nos permite avaliar, por uma análise simples de eixos coordenados, trajetória de uma transformação e prever seu desenvolvimento com certa precisão. Mostram, entre outros exemplos a importância do método de Descartes (matemático) para o desenvolvimento dos conhecimentos humanos.

ANÁLISE DE GRÁFICOS Para você interpretar um gráfico é necessário observar alguns elementos que

fazem parte dele tais como: Título: identifica o assunto que está sendo apresentado. Legenda: identifica quais os elementos que foram pesquisados. Títulos dos eixos: vertical e horizontal e suas divisões.

Observe o gráfico abaixo e responda em seu caderno:

10

EXERCÍCIO:

4) Responda as perguntas abaixo em seu caderno:

a) Qual o assunto tratado no gráfico? b) Quais os elementos que foram pesquisados?

c) Qual é o título do eixo vertical? d) E o eixo horizontal? e) Como está sendo graduado (dividido) o eixo vertical?

f) Quantos alunos têm entre 156 a 160 cm de altura?

Altura de Alunos da 5ª Série

0

2

4

6

8

10

12

14

A) 135 à140

B) 141 à145

C) 146 à 150

D) 151 à 155

E) 156 à160

F) 161 à165

G) 166 à 170

Intervalos de Alunos

Nº

de

Alu

no

s

11

TIPOS DE GRÁFICOS (MAIS UTILIZADOS) 1 – BARRAS

EXERCÍCIO:

5- Observando o gráfico, responda: a) Quantas pessoas fumam 15 cigarros/dia? b) Qual o nº de pessoas que fumam 25 cigarros/dia e morrem por doenças pulmonares e as que são não fumantes? De quanto é essa diferença?

2 - LINHA PADRÕES DO CRESCIMENTO DO SER HUMANO

EXERCÍCIO: 6- Responda: Quanto essa pessoa cresceu de 1 a 5 anos?

MORTES POR DOENÇAS PULMONARES

0

20

40

60

80

100

120

não fumantes 5 cigarros/dia 15 cigarros/dia 25 cigarros/dia

Cigarros por dia

100

Milh

ões

de

Pes

soas

t (anos) 1 5 10 12 15 16 20

h (altura/cm)

180 160 140 120 100 80 60 40 20

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GRÁFICO DE SETORES CIRCULARES – a unidade de medida mais usada é a porcentagem

PREFERÊNCIAS MUSICAIS

30%

17% 25%

28%

PREFERÊNCIAS MUSICAIS MPB30%

PREFERÊNCIAS MUSICAIS ROCK INTERNACIONAL17%

PREFERÊNCIAS MUSICAIS SERTENEJOS25%

PREFERÊNCIAS MUSICAIS ROCK NACIONAL28%

Como você calcula a quantidade de pessoas que preferem MPB sabendo que

foram entrevistadas um total de 240 pessoas?

Fácil! Você sabe que o círculo inteiro mede 360º e que esse valor corresponde ao total de pessoas entrevistadas ( 240 ). O setor que corresponde a preferência à MPB é de 30º , então: usando a regra de três, você tem: 100% = 240 30% = X ( multiplicando e dividindo) X = 30 . 240 = 7200 = 72 pessoas

100 100

EXERCÍCIO:

7) De acordo com o exemplo acima, calcule a quantidade de pessoas que preferem a música sertaneja.

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GABARITO - MÓDULO 6

1)

b) y= 3X

X Y 0 0 1 3 2 6

2) a ) y = x - 2

X Y 2 0 1 -1 0 -2

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3) x - y = 3 x + y = 7

4 ) a ) altura dos alunos da 5ª série b ) alunos, alturas c ) nº de alunos d ) intervalo de alturas e ) de 2 em 2 5 ) 60 milhões de pessoas pois o eixo vertical é “milhões de pessoas” 6 ) 20 cm 7 ) x = 60

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A B

MÓDULO 7

NOÇÃO DE FUNÇÃO:

Você já aprendeu que uma equação do 1º grau ( y = ax + b ) pode ser

representada no plano cartesiano através de uma reta e, que a equação do 2º grau ( y = ax² + bx + c ) por uma parábola. Essas equações são exemplos de funções.

Para você entender o conceito (idéia) de função é só pensar em duas grandezas cujos valores variam, sendo que a variação de uma depende da variação da outra.

Coloque-se no lugar de um fornecedor que pretende estudar a variação de preço de acordo com a quantidade de açúcar vendido. Ele deseja saber quanto deverá receber pela quantidade de açúcar vendido.

Exemplo - 1 Considere a tabela abaixo:

N.ºde quilos de açúcar Preço a receber

1 R$ 0,80 2 R$ 1,60 3 R$ 2,40 4 R$ 3,20 5 R$ 4,00 ... ...

Esta tabela também pode ser representada através de um diagrama onde a seta

representa a correspondência entre os valores

Diagrama ou esquema 1 0,80 2 1,60 4 3,20 3 2,40 5 4,00 Observe que há uma correspondência entre o n.º de quilos de açúcar e o valor a receber. O valor a receber é função (depende) do n.º de quilos vendidos. Isto significa que uma função tem duas grandezas onde uma depende da outra.

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Definição de função:

No exemplo acima observe que há uma relação ou correspondência entre 2

conjuntos os quais foram chamados de A e B. A representou a quantidade de quilos e B o valor a receber:

Portanto: uma função de A em B é toda relação entre A e B, onde a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.

Matematicamente é representada assim:

F: A B ( lê-se: f de A em B )

No exemplo dado um quilo de açúcar custa R$ 0,80. Chamando a quantidade de açúcar de X e o valor a receber de Y, você tem a função que representa o valor a receber. Para calcular basta substituir os valores de X na equação dada e resolver as operações indicadas. Y = 0,80 . X

X - Quantidade de quilo Y - Valor a pagar

1 0,80 . 1 = 0,80 2 0,80 . 2 = 1,60 3 0,80 . 3 = 2,40 4 0,80 . 4 = 3,20 5 0,80 . 5 = 4,00 ... ...

Domínio e Imagem No exemplo anterior o conjunto A (quantidade de quilos) é chamado Domínio da função. O conjunto B ( valor a pagar ) é chamado Imagem da função e é obtido substituindo os valores de X na equação.

Exemplo 2 Um vendedor recebe uma comissão de 5 reais a cada tênis vendido.

Pergunta-se: a) Qual a função que representa seu lucro? b) Construa uma tabela que representa a função c) Construa um diagrama que representa essa situação d) Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem

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Resolvendo:

a) Y = 5 . X onde 5 é o valor a receber de cada tênis e X a quantidade de tênis vendido. Observe que Y é o resultado da quantidade vendida ( X ) multiplicado por 5

reais, que é a comissão. Portanto Y “depende” de X

b) Tabela Y = 5 . X

Substituindo valores de X na função dada e efetuando as operações (contas), você vai achar os valores de Y. Dessa forma você obtém os pares ordenados (X , Y). Domínio Função Imagem pares ordenados X Y=5 . X Y (X , Y ) 1 Y=5 . (1) = 5 5 (1 , 5 ) 2 Y=5 . (2) = 10 10 (2 . 10 ) 3 Y=5 . (3) = 15 15 (3 . 15 ) .... ATENÇÃO! Neste exemplo não foi usado nº negativo no domínio porque não existe venda negativa com comissão. C) Diagrama Tênis lucro 1 5 2 10 . . 4 20 . .

10 50 D) Domínio (D) = 1, 2 . . 4, . . . 10...

Imagem (I) = 5, 10 . . . 20 . . . 50...

Exemplo - 3

Dada a função Y = 2X - 1 determine: 1-) O domínio e a imagem observando a tabela seguinte. 2-) Os pares ordenados ( X , Y ) obtidos.

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Domínio Função Imagem Pares ordenados

X Y = 2x - 1 Y ( X , Y ) 1 Y = 2.(1) - 1 = 1 1 ( 1 , 1 ) -1 Y = 2. (-1) - 1 = -3 -3 (-1 , -3 ) 2 Y = 2.(2) -1 = 3 3 (2 , 3 ) -2 Y = 2.(-2) - 1 = -5 -5 ( -2 , -5 )

EXERCÍCIOS:

1 ) Um vendedor tem um salário fixo de R$ 200,00 acrescido de uma comissão de R$ 5,00 em cada peça por ele vendida.

A função que representa seu salário total é Y = 5X + 200 onde X representa a quantidade de peças vendidas.

a) Complete a tabela abaixo,

X 5 . X + 200 Y 0 10 50

b) Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da função, c) Faça a representação do conjunto domínio e do conjunto imagem no diagrama.

INTERVALO

Quando se fala em intervalo a primeira coisa que você lembra é aquele momento livre que há entre as aulas, numa escola regular, "o recreio".

Saiba que o conceito de intervalo caminha por aí. Veja bem, o recreio, ou melhor, o intervalo fica entre as aulas de um período. Em matemática o intervalo numérico é usado quando você quer dar como resposta a uma questão, um conjunto de números que ficam entre 2 números dados. Usa-se os sinais > ( maior) e < (menor) para limitar o intervalo.

Exemplo 1:

Se Paulo tem no bolso mais que 10 reais e menos de 50 reais como você escreveria a resposta se eu perguntasse – Quantos reais ele pode ter no bolso?

Supondo que Paulo tenha X reais, você pode escrever isso na forma de

intervalo matemático.

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Fica assim: 10 < X < 50 leitura X é maior do que 10 X é menor do que 50

O valor X está no intervalo 10 a 50

Exemplo 2: No deserto a temperatura varia muito. Durante o dia chega até a 40º C e a

noite ela cai para 3º C. Matematicamente você escreve isto em forma de intervalo 3º C < X < 40º C . Perceba que a notação de intervalo simplifica a escrita e é bastante usada na Física, Economia, Biologia, Química etc.. Agora que você sabe o que significa intervalo, pode defini-lo assim:

Dados 2 números reais a e b, sendo a < b, chamamos de intervalo todos os números reais maiores que a e menores que b. {X E R / a < X < b}

Lê-se X pertence ao conjunto dos n.ºs reais, tal que X é maior que a e menor que b. O intervalo é o espaço entre a e b.

REPRESENTAÇÃO DO INTERVALO NO GRÁFICO

Exemplo 1

Veja a variação de certo artigo produzido no Brasil, representada no gráfico abaixo: 50000

40000

30000 20000

10000 1960 1970 1980 1990 2000 ano

Y

X

20

Analisando o gráfico: sendo X o volume de produção no período você percebe que:

1-) A produção cresceu no intervalo de 1960 a 1970 1960 < X < 1970

2-) A produção decresceu de 1970 a 1980. A produção voltou a crescer em 1980.

3-) A produção ficou constante (estacionou) entre 1990 e 2000.

EXERCÍCIOS:

2 ) O gráfico abaixo mostra o espaço (S) percorrido por um automóvel numa viagem em função do tempo(t):

a) Entre quais instantes o carro esteve parado? b) Qual o espaço percorrido entre 60 e 120 minutos?

80 60 40 20

FUNÇÃO DO 1º GRAU

Quando a função é dada através de uma equação do 1º grau é denominada função linear e é representada no gráfico através de uma reta.

Voltando na tabela do exemplo da página 3 da função Y = 5 . X onde X é a quantidade de tênis vendido vezes comissão, você obteve na tabela os pares ordenados (1 , 5) ; ( 2 ,10) ; (3 , 15) que podem ser colocados no plano cartesiano e assim construir a reta que representa a função. Veja:

Km

30 60 120 t ( min )

(3,15)

Y

X

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Todo gráfico que resulta em uma reta é uma função do 1º grau representada pela equação escrita na forma:

Y = aX + b onde: Y é a imagem X é o domínio a é o coeficiente de X b é a constante (número)

Analisando a função do 1º grau ou função linear você pode observar que:

1- Se a = 0 então Y = b pois a.x = 0. É uma função constante.

Veja como fica o gráfico:

Função Constante

Em Y = ax + b fazendo a = 0 Obtemos Y = 0 . X + b ou Y = 0 + b ou Y = b Note que Y = b não é uma função do 1º grau, pois a expressão 0 . x + b não é

uma expressão do 1º grau. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo X.

Y b Y = b X

Função crescente e decrescente

Quando a ≠ 0 a função Y = ax + b pode ser crescente ou decrescente.

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Crescente: se a > 0 ( nº positivo)

Y X Decrescente se a < 0 ( nº negativo) Y a< 0

Você já aprendeu a construir o gráfico da função do 1º grau (equação da reta) no módulo 3. Agora vai aprofundar seus conhecimentos.

Você viu que para construir uma reta bastam dois pontos ( X , Y ) ou dois pares ordenados que você obtém a partir da equação.

Exemplo: y = 2X - 3

Atribuindo dois ou mais valores quaisquer a X você constrói a tabela, substitui o valor de X na equação e determina os valores correspondentes de Y. Assim você obtém os dois pontos ( X,Y) necessários para traçar a reta.

X 2 . X – 3 Y -1 2 . (-1) - 3 -5 ponto ( -1 , - 5 ) 2 2 . 2 – 3 1 ponto ( 2 , 1 )

a>0

X

( 2,1)

(-1, -5 )

Y

X

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COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR

Na função y = aX + b, a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. - Coeficiente angular é o valor que a função aumenta ou diminui quando se

aumenta ou diminui a variável X em uma unidade. - Coeficiente linear é o lugar em que uma reta corta o eixo do Y (ordenada).

Veja um exemplo prático do significado do coeficiente linear e do coeficiente angular.

Na conta telefônica de uma residência, o valor total a ser pago é calculado da seguinte maneira: - assinatura mensal, dá direito a um certo nº de ligações e custa R$ 23,00. Passando desse número, o valor das ligações (pulsos) excedentes é calculado multiplicando-se o nº de pulsos extras pelo valor de cada pulso que é de R$ 0,10. - em seguida, esse valor é acrescentado ao valor da assinatura mensal.

Chamando de X o nº de de pulsos excedentes e de Y o valor da conta telefônica você tem a função:

Y = 23,00 + 0,10 . X

Na função Y = 0,10 X + 23,00, observe que 23,00 é o coeficiente linear e que 0,10 é o coeficiente angular. Veja no gráfico que este último (o coeficiente angular) é o valor que a função aumenta quando x cresce uma unidade. Ele é a altura do degrau da escada que o gráfico mostra.

Y Valor da conta 23,00

X Nº de pulsos excedentes

0,10

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RAIZ DA FUNÇÃO

A raiz da função Y = aX + b é o valor de X que torna Y igual a zero. Por isso, esse valor de X também é chamado de zero da função.

Para você calcular a raiz da função basta igualar a equação a zero . Veja o exemplo: Y = 2X – 3 2X – 3 = 0 2X = 3 X = 3 2

EXERCÍCIOS:

3 ) Considere a função y = 3X – 6 a) Qual é o coeficiente angular? b) Qual é o coeficiente linear? c) Qual é a raiz da função? d) O ponto (2 , 0) pertence a essa função?

EXEMPLO: No ponto (12 , 30 ), X = 12 e Y = 30 então substituindo esses valores na função

Y = 3.X – 6 30 = 3 . 12 - 6 30 = 36 – 6 30 = 30 (verdadeira )

Agora você vai aprender a função do 2º grau ( quadrática).

Você sabe quando um ponto pertence à função?

-3

X 3 2 raiz

Y

O valor 3 é a raiz da função.( ponto 2 onde a reta corta o eixo do X)

Um ponto pertence a função se, substituindo o valor de X e Y na equação, a igualdade torna-se verdadeira.

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FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA

A função do 2º grau é representada pela fórmula y = ax² + bx + c, onde a,b,c, são os coeficientes numéricos , com a diferente de zero.

São exemplos de função do 2º grau:

Y = 2x² -3x +4 ( equação do 2º grau completa) com a= 2, b=-3, c= 4 Y = 8x² + 9 ( equação do 2º grau incompleta ) com a= 8, b =0, c= 9 Y = 6x² - 2x ( equação do 2º grau incompleta) com a =6, b= -2, c= 0

A função do 2º grau ou função quadrática é representada no plano cartesiano

através de uma parábola.

A parábola é construída determinando valores para X (domínio) e calculando os respectivos valores de Y (imagem).

1º EXEMPLO: Y = X² - 2

substituindo X pelo seu respectivo valor X X² - 2 Y 0 0² - 2 -2 (0 , -2) 1 1² - 2 -1 (1 , -1) 2 2² - 2 2 ( 2 , 2) -1 (-1)²- 2 -1 (-1 ,-1) -2 (-2)² - 2 2 ( -2 , 2) A união dos pontos encontrados determina uma linha curva chamada parábola.

26

2º EXEMPLO

y = -2x² + 6

X -2X² + 6 Y 0 (-2) . 0² + 6 6 1 (-2) . 1² + 6 4 2 (-2) . 2² + 6 -2 -1 (-2). (-1)² +6 4 -2 (-2). (-2)² +6 -2

3º EXEMPLO

Y = X² - 6X + 5

X X² - 6X + 5 Y 0 0² - 6. 0 + 5 5 1 1² - 6. 1 + 5 0 2 2² - 6. 2 + 5 -3 3 3² - 6. 3 + 5 -4

Observe os gráficos dos exemplos 1, 2 e 3 e analise as conclusões.

27

1-Se o coeficiente a > 0 ( nº positivo), a parábola tem a concavidade voltada para cima. 2- Se o coeficiente a < 0 ( nº negativo) a parábola tem a concavidade voltada para baixo

Exercícios:

4 ) Faça a tabela e construa a parábola das funções: a ) b )

Y = X² - 2 a > 0

Y = -2X² + 6 a < 0

Y = x² -4x + 3 X X² - 4X + 3 Y

0 02 – 4. 0 +3 1 2 3 4

Y = – x² + 1 X - X² + 1 Y -2 - (-2)² + 1 -1 0 1 2

28

RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

As raízes de uma função são os pontos onde a parábola corta o eixo do X. Para determinar as raízes de uma equação do 2º grau aplicamos a fórmula de

BÁSKARA e assim determinamos os pontos de X.. BÁSKARA - foi um importante matemático hindu do séc. XII que se dedicou ao

estudo das equações matemáticas. Por isso a fórmula que usaremos é conhecida como fórmula de Báskara aplicada nas equações do 2º grau (ax2 + bx + c = 0) sendo a ≠ 0 e a, b e c números reais.

Eis a fórmula:

X = a

b

.2

∆±−

onde = b2 - 4.a.c

O símbolo é chamado Delta (uma letra grega).

A equação do 2º grau pode ter > 0 = 0 < 0

A equação tem duas raízes reais diferentes

A equação tem uma única raiz real

A equação não tem raiz real

Veja alguns exemplos e resolução com a aplicação da fórmula:

Exemplo 1:

Y = X2 - 6X + 5 = 0

a = 1 coeficiente de x² (nº que “ acompanha “o x²)

b = - 6 coeficiente de x (nº que “acompanha” o x c = 5 coeficiente numérico (não vem “acompanhado” do x)

a é o coeficiente de X²

b é o coeficiente de X c é um nº ( não tem X)

29

Você pode calcular substituindo as letras pelos seus valores: = b2 - 4.a . c = (-6)2 - 4.1.5 = 36 – 20 = 16

Substituindo o valor de ∆ na fórmula de Báskara você tem:

x = a

b

.2

∆±− x’ =2

46 + = 2

10 = 5

x = 1.2

16)6( ±−− x = 2

46 ± x’’ = 2

46 − =2

2 = 1

Substituindo os valores de X na equação, você observa que a sentença é verdadeira tornando assim o Y = 0

X2 - 6 X + 5 = 0 X2 - 6X + 5 = 0 52 - 6 . 5 + 5 = 0 12 - 6 . 1 + 5 = 0 25 - 30 + 5 = 0 1 - 6 + 5 = 0 0 = 0 0 = 0

Exemplo 2:

Y = 2X2 - 8

O primeiro passo para resolver uma equação do 2º grau é igualar a zero. 2X2 - 8 = 0 ∆ = b² – 4 .a . c X= - b ± ∆ a = 2 ∆ = 02 - 4. 2 .(-8) 2 . a b = 0 ∆ = 0 + 64 X= 0 ± 64 c= -8 ∆ = 64 2.2

X’ =4

80 + = 4

8 = 2

S = {2, -2}

X’’ = 4

80 − = 4

8− = - 2

Todo nº negativo elevado ao expoente 2 resulta sinal + pois –6 . –6 = +36

S = 1,5

30

Exemplo 3:

X2 - 3X = 0 a= 1 ∆ = b2 – 4.a.c b= -3 ∆ = (-3)2 - 4.1.0 c= 0 ∆ = 9 - 0

∆ = 9

x =a

b

.2

∆±− x = 1.2

9)3( ±−−

x = 2

33 ± x ‘ =2

33 + = 2

6 = 3

x’’ =2

33 − = 2

0 = 0

S = 0 , 3

Exemplo 4 2X2 + 4X + 6 = 0 a= 2 ∆ = b2 - 4ac b= 4 ∆ = 42 - 4.2.6 c= 6 ∆ = 16 - 48

∆ = - 32 Como ∆ < 0 (número negativo) a equação não tem solução pois não existe raiz

quadrada de um número negativo, logo, a solução é o conjunto vazio S=Ø Observe que em todos os exemplos acima resolvidos, os valores encontrados

para X (raízes) fazem com que Y = 0, portanto são os pontos onde uma parábola intercepta (corta) o eixo do X. 1º CASO: ∆ > 0 (possui 2 raízes diferentes) a > 0 a < o

31

2º CASO: ∆ = 0 (possui apenas 1 raiz)

a < 0 a > 0

3º CASO: ∆ < 0 ( não possui raízes) a > 0 a < 0

Exercícios:

5 ) Determine as raízes das equações aplicando a fórmula de Báskara:

a) X² - 5X + 6 = 0

b) 4X² - 64 = 0

32

MÁXIMOS E MÍNIMOS:

Veja a parábola abaixo com a < 0. Se você “caminhar” no gráfico da esquerda para a direita, os valores de Y vão

aumentando até chegar no vértice. Esse ponto é chamado de ponto de máximo.

Com a > 0 você encontra no vértice um ponto de mínimo, pois partindo da esquerda para a direita, os valores de Y vão diminuindo.

VÉRTICE DA PARÁBOLA

Vértice é o ponto mais baixo(ponto de mínimo) ou o ponto mais alto (ponto de máximo) da parábola

Para encontrar o vértice da parábola não é necessário construir o gráfico , basta encontrar o ponto (XV , YV).

Para isso você tem duas maneiras para resolver: 1 ) Usar as fórmulas:

XV = - b YV = -

2 . a 4 . a

Se a < 0 então o vértice é o ponto

de máximo.

a > 0 então o vértice é ponto

de mínimo.

33

Lembre-se: = b² - 4 . a . c OU..... 2 ) Substituir na equação dada o valor encontrado de X V para encontrar o

valor de Y Exemplo 1: determine o vértice da parábola que representa a função:

Y = X² - 4X + 3 onde a = 1 b = - 4 c = 3

XV = - b = - ( - 4 ) = 4 = XV = 2

2 . a 2 . 1 2

YV = - ∆ = - [b² - 4 . a . c] = - [(-4)² - 4 . 1 . 3]= -[16 – 12 ]= - 4 = -1 4 . a 4 . a 4 . 1 4 4 YV = - 1 o vértice é o ponto ( 2 , -1 )

O ponto YV é o que determina o ponto máximo ou o ponto mínimo da função dependendo da concavidade voltada para cima ou para baixo.

Exemplo 2 : Determine o ponto de mínimo da função: Y = 3X² - 12X Como a > 0 então a concavidade da parábola está voltada para cima e a função

tem um ponto de mínimo YV

Yv = a.4

∆− = a

cab

.4

)..4²( −− = 3.4

)]0.3.4)²12[( −−

=12

)0144( −− = 12

144− = -12

Exemplo prático Queremos construir uma represa retangular para criação de carpas. Para cercá-la serão necessários 12 m de tela sendo aproveitado o muro existente para cercar um dos lados. Quais são as dimensões para obter a represa de maior área possível?

Se X + X + C = 12 muro

2X + C= 12

C = - 2X + 12

X

C

Ponto de mínimo

34

Então:

Área = X . C A = X . ( – 2X + 12 )

A = -2X² +12X (equação do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola)

Usando a fórmula para calcular o YV você determina o valor do ponto máximo da área pois a < 0 .

YV = - YV = - ( 12² - 4 . (-2) . 0 ) YV = - 144 = 18 4 . a 4 . ( -2) - 8 Se YV = 18 então a área máxima será 18m².

EXERCÍCIOS :

6 ) Dada a função y = X² - 4X + 5, determine o vértice da parábola e identifique se é ponto de máximo ou de mínimo.

7) Determine o ponto de mínimo da função Y = x² - 6x + 13

ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU

Você vai resolver, construir e analisar a parábola que representa a função Y = x² - 6X + 8

substituindo

Você sabe que para calcular a área deve multiplicar as duas medidas: comprimento e largura, o que resulta numa equação do 2º grau.

35

Resolvendo: a = 1 b= - 6 c = 8 Raízes:

X = -b ± √ 2 . a

= b² - 4 . a . c

∆ = (-6)² - 4 . 1 . 8

∆ = 36 – 32

= 4

Vértice:

XV = - b = -(-6) = 6 = 3 2 . a 2 . 1 2 ponto do vértice ( 3 , -1 )

YV = - = - 4 = -1 4 . a 4 . 1

CONCLUSÃO:

1- A concavidade da parábola está voltada para cima pois a > 0 2- A função possui ponto de mínimo y = -1 3- A parábola corta o eixo do X em dois pontos X= 4 e X = 2 ( raízes) 4- O ponto mais baixo (vértice) é (3 , -1) Veja o esboço da parábola:

Substituindo na fórmula: X = - ( -6 ) ± √ 4 2 . 1 X’ = 6+2 = 8 = 4 X = +6 ± 2 2 2 2 X’’ = 6 –2 = 4 = 2 Raízes = 4 e 2 2 2

X

36

c )

GABARITO:

1) a-) X Y 0 200 0 200

10 250 10 250 50 450 50 450

b-) D = 0, 10, 50 … I = 200, 250, 450... 2) a) entre 30 e 60 min b) 40 Km

4) a-) X Y 0 3 1 0

2 –1 3 0 4 3

b-) X Y -2 -3 -1 0

0 1 1 0 2 -3

5) a-) X2 – 5X + 6 b-) 4X2 – 64 = 0

= 1 = 1024

X’ = 3 X’ = 4

X” = 2 S = 3 , 2 X” = -4 S = 4 , -4

6) a-) XV = 2

YV = 1

7) YV = 4

a>0 = ponto de mínimo

3) a-) 3 b-) - 6 c-) X = 2 d-) sim pois 0 = 3 . 2 – 6 0 = 0 verdadeira

37

MÓDULO 8

Educação Fiscal

O Dinheiro Durante a Segunda Guerra Mundial, os prisioneiros de guerra aliados e

confinados em acampamentos alemães, recebiam periodicamente da Cruz

Vermelha, pacotes contendo produtos como carne enlatada, chocolate,

geléia e cigarros.

Os não-fumantes, obviamente, procuravam trocar seus cigarros por

outras mercadorias, estabelecendo-se assim, um sistema de trocas (sistema

de escambos).

No princípio, foi difícil estabelecer o valor relativo das mercadorias, mas

aos poucos, os preços começaram a ser cotados em número ou quantidade

de cigarros.

Os cigarros eram usados como meio de pagamento, ou seja,

transformaram-se no “dinheiro” dos acampamentos de prisioneiros.

=

38

Mesmo os não-fumantes aceitavam cigarros como pagamento, porque

sabiam que poderiam usá-los para comprar carne enlatada, por exemplo. A

criação do dinheiro, nesse caso, aconteceu de forma natural, sem

interferência do governo. Ele era necessário para que o comércio de

mercadorias acontecesse de forma organizada.

Enquanto houvesse equilíbrio entre a quantidade de dinheiro (cigarros)

e a de outros bens, a economia do acampamento funcionava bem. Mas, se

nas remessas da Cruz Vermelha, o número de cigarros diminuísse, a

situação se complicava. Os fumantes tinham de oferecer mais bens para

obtê-los e o valor do cigarro subia muito. Quando o cigarro valia muito, os

preços dos outros produtos cotados em cigarros, caíam (era a deflação).

O contrário também causava problemas. Quando o acampamento

recebia uma grande quantidade de cigarros, a procura por eles ficava menor,

seu valor diminuía e portanto, os preços dos outros bens que dependiam do

valor do cigarro, se elevavam (inflação).

Para simplificar as transações comerciais (compra e venda) é usado o

dinheiro, que é o meio empregado na troca de bens, na forma de moedas ou

notas (cédulas). Cada país tem a sua moeda: a do Brasil é o Real, a dos

Estados Unidos e Canadá é o Dólar, a da Argentina é o Peso, a da Inglaterra

é a Libra, a da Comunidade Européia é o Euro, e outros mais...

Com a evolução dos tempos, as transações com o dinheiro foram se

aprimorando, assim como a convivência em sociedade, onde há um dinheiro

coletivo administrado por um Poder Público.

39

O dinheiro ($) tem que sair do próprio povo!

DDee oonnddee vveemm ddiinnhheeiirroo ddoo ggoovveerrnnoo??

PPoorr iissssoo,, tteemmooss oo ddeevveerr ddee ppaaggaarr TTRRIIBBUUTTOOSS..

PPaarraa ““bbaannccaarr”” ttooddaass aass ddeessppeessaass ddoo nnoossssoo PPaaííss,, oo ggoovveerrnnoo nnããoo ppooddee ttiirraarr oo ddiinnhheeiirroo ddaa ccaarrttoollaa,, nnuumm ppaassssee ddee mmáággiiccaa..

Você sabe o que são

TRIBUTOS?

40

Podemos dividir os tributos em:

TAXAS: o governo presta serviços para o cidadão (ex.: coleta de lixo,

certidões e documentos, porte de arma, licença para construir ou reformar, alvará para abrir um comércio, etc.).

CONTRIBUIÇÕES SOCIAIS:

• o INSS, que é descontado dos empregados e também é pago pelas empresas (assistência médica e aposentadoria);

• o PIS e o CONFINS; • a CPMF.

IMPOSTOS: o governo presta serviço para a comunidade (estradas,

hospitais, segurança pública, escolas, etc.). Os impostos recolhidos já são destinados para a União (Governo Federal), para cada Estado e para os Municípios. Saiba quais são os principais e quais os seus destinos.

Impostos da UNIÃO (Federal) IR - Imposto de Renda; ITR - Imposto sobre Propriedade Territorial Rural; IPI - Imposto sobre Produtos Industrializados; IOF - Imposto sobre Operações Financeiras; II - Imposto de Importação;

TRIBUTOS são valores criados por lei, pagos pelos cidadãos ao poder público. Podem ser em

forma de IMPOSTOS, TAXAS E OU CONTRIBUIÇÕES e destinam-se ao custeio das

necessidades da população, como Educação, Saúde, Segurança e outras.

41

Impostos dos ESTADOS

IPVA - Imposto sobre Propriedade de Veículos Automotores-(repassa metade para os municípios);

ITCMD - Imposto sobre Transmissão “Causa Mortis” (herança) e Doação; IE - Imposto de Exportação; ICMS - Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Prestação de Serviços de

Transporte Interestadual e Intermunicipal e Comunicações;

O ICMS é o imposto mais importante para os Estados e Municípios, sendo repassados 75% para o Estado e 25% para os Municípios. Incide no consumo de: MERCADORIAS, TRANSPORTE INTERESTADUAL E INTERMUNICIPAL e COMUNICAÇÃO.

Aqui no Estado de São Paulo, o governador José Serra implantou, de acordo com a Lei nº 12.685 desde 01 de outubro de 2007 o Programa “Nota Fiscal Paulista”, com objetivo de incentivar os consumidores de mercadorias, de bens e de serviços de transporte a exigir do comerciante a entrega de nota fiscal.

Como vai funcionar?

Em cada compra, o consumidor solicita sua Nota Fiscal Paulista (NFP) e informa seu CPF. O registro do CPF no Cupom Fiscal ou na Nota Fiscal é requisito para que o documento fiscal seja hábil. A Nota Fiscal Paulista pode ser emitida de quatro formas:

1. Cupom Fiscal; 2. Nota Fiscal (talão em papel); 3. Nota Fiscal On-line (emissão diretamente no Portal); 4. Nota Fiscal Modelo 1 ou 1-A (consumidor final).

42

O que o consumidor vai ganhar?

- Créditos em dinheiro; - Sorteios de prêmios.

A Nota Fiscal Paulista vai gerar créditos em dinheiro para os

consumidores que solicitarem a emissão de documento fiscal no momento da compra, gerando assim a redução da carga tributária individual, calculada em cima dos 30% do ICMS recolhido a cada mês pelo estabelecimento comercial.

Após o recolhimento do ICMS pelo fornecedor será creditada aos clientes, de forma automática, a parcela do imposto proporcional ao valor da compra constante na Nota Fiscal.

Utilização do crédito:

• Para as aquisições de janeiro a junho, o crédito poderá ser utilizado a partir de outubro do mesmo ano; • Para as aquisições de julho a dezembro, o crédito poderá ser utilizado a partir de abril do ano seguinte.

O crédito poderá, dentro de cinco anos, ser:

• Utilizado para reduzir o valor do débito do IPVA do exercício seguinte; • Transferido para outra pessoa natural ou jurídica;

• Depositado em conta corrente ou poupança, mantida em instituição do Sistema Financeiro Nacional;

• Creditado em cartão de crédito emitido no Brasil.

Benefícios para a Sociedade

• Redução da carga tributária individual; • Redução do consumo de papel (impacto ecológico) já que a maioria dos

estabelecimentos irá optar pelo Cupom Fiscal eletrônico; • Incentivo ao comércio eletrônico; • Padronização dos relacionamentos eletrônicos; • Surgimento de oportunidades de negócios e empregos na prestação de

serviços ligados à Nota Fiscal Paulista.

43

Cronograma de Implantação

• Outubro/07: Restaurantes; • Novembro/07: Padarias, Bares, Lanchonetes e outros; • Dezembro/07: Artigos Esportivos, Óptica, Fotográficos, viagem e

outros; • Janeiro/08: Automóveis, Motocicletas, Barcos, Combustíveis e outros; • Fevereiro/08: Materiais de Construção; • Março/08: Produtos para Casa e Escritório; • Abril/08: Produtos Alimentícios e Farmacêuticos; • Maio/08: Roupas, Calçados, Acessórios e outros.

Impostos dos MUNICÍPIOS

IPTU - Imposto sobre Propriedade Predial e Territorial Urbana; ITBI - Imposto sobre Transmissão “Inter Vivos” de Bens Imóveis (escrituras); ISS - Imposto sobre Serviços de Qualquer Natureza. Importante: A parte do ICMS que cabe para os municípios é feita de acordo com o volume de VENDAS COM NOTA ou CUPOM FISCAL que cada cidade emite. Se você compra em Votorantim o dinheiro vem para Votorantim, mas se você compra em outra cidade o dinheiro vai para essa cidade.

Quanto mais NOTA FISCAL for emitida em sua cidade, maior será o “rateio” para ela.

Se você deseja mais informações sobre o projeto entre no Site – www.nfp.fazenda.sp.gov.br,

O mesmo onde você deverá fazer seu cadastro para consultar seus créditos.

44

Veja um exemplo dos tributos (Impostos, taxas e contribuições) que você está pagando nos produtos que usa durante um banho:

Serviços : Eletricidade, água, gás, esgoto. Produtos: Canos Hidráulicos, chuveiro, fios elétricos, xampu, sabonete, toalha e outros.

Dinheiro Público do Cidadão para o Cidadão

Todo ano é firmado um contrato entre o governo (federal, estadual e

municipal) e a sociedade, a respeito das ações a serem implantadas pelo

Poder Público. Esse contrato é chamado de Orçamento Público. Como o

nome já identifica, esse orçamento deve ter a participação da população

através de sugestões das Associações de Moradores de Bairro, que

repassam as necessidades dos moradores ou por sugestões individuais.

Todo cidadão não somente pode, como tem o dever de participar do

orçamento público sabendo qual a estimativa da receita (o valor a ser gasto)

e onde vai ser gasto esse dinheiro.

Há no Estado de São Paulo, sistemas que possibilitam o

acompanhamento do gasto público pelo cidadão. Na seção “Prestando

Contas” da página da Secretaria da Fazenda na internet

(www.fazenda.sp.gov.br) podem ser consultados relatórios sobre as

despesas do Estado.

No município de Votorantim podemos acompanhar os gastos da

Prefeitura no “Jornal do Município”, publicado gratuitamente toda sexta-feira.

45

O termo Fisco refere-se ao Estado enquanto gestor do Tesouro Público, no que diz respeito a questões financeiras, tributárias e econômicas.

46

Veja um exemplo para calcular o dinheiro (R$) do ICMS das mercadorias na nota fiscal ou cupom fiscal:

OBSERVAÇÃO:

No cupom do supermercado a

taxa de ICMS está na coluna ST em

forma de sigla, com seu valor

discriminado na legenda grifada.

CONCLUSÃO:

Veja, você pagou R$3,45 pela uva passa, sendo que R$0,62 desse dinheiro foi o IMPOSTO que o governo arrecadou para aplicá-lo em benefício da população.

O mesmo acontece com todas as mercadorias que você compra. Se você NÃO pedir a NOTA FISCAL estará pagando o imposto, pois ele já está embutido no preço, mas NÃO estará garantindo que esse dinheiro será repassado para o governo Estadual e Municipal.

47

Combata a sonegação ! Valorize o dinheiro que você paga em impostos procurando saber como e onde ele é empregado pelos governantes, seja no âmbito federal, estadual ou municipal.

No ato da compra de um produto ou prestação de serviço, exija sempre NOTA FISCAL para

que não seja apenas o CONSUMIDOR a pagar impostos, impossibilitando assim o desvio dos tributos

aos cofres públicos.

Com o dinheiro arrecadado dos impostos o governo tem o dever de revertê-lo em benefícios para a população como:

EDUCAÇÃO SAÚDE

TRANSPORTES SEGURANÇA

E MUITO MAIS.

48

MÓDULO 9

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

MEDINDO O VALOR DO DINHEIRO

Como foi visto no módulo anterior, o dinheiro é um instrumento usado na troca de bens e serviços.

Curiosamente, o dinheiro recebe vários nomes dependendo da finalidade de seu uso. Assim:

Salário: é o que se paga pelo trabalho de alguém. Aluguel: é o que se paga pelo uso de um imóvel ou bem. Gorjeta ou caixinha: é o que se dá acima do valor da compra ou de

um serviço prestado. Esmola: é o dinheiro que alguém dá para uma pessoa mais

necessitada. Capital (C): é o valor expresso em moeda (dinheiro) de uma

mercadoria ou a quantia aplicada ou emprestada. Juros (J): é a remuneração (dinheiro) do capital empregado, podendo

ser entendido como sendo o “aluguel” pago pelo uso do dinheiro. Esse dinheiro pode ser lucro (ganho) ou prejuízo (perda).

Taxa ou índice percentual de Juros ( i ) : é o número de centésimos

de uma grandeza. Ex.: 40% que significa a quadragésima parte de 100 (100

40 )

ou 0,40 (quarenta centésimos).

VOCÊ SABE O QUE É INFLAÇÃO?

Uma inflação de 10% ao mês significa que, o que você comprava há 30 dias com R$ 100,00, hoje custa R$ 110,00.

Veja alguns exemplos de juros e porcentagens que fazem parte do nosso dia-a-dia, como aumentos e descontos. Aconselhamos que você faça os cálculos usando uma calculadora, pois é uma ferramenta importante de nosso dia-a-dia.

49

27 000,00

À VISTA OU A PRAZO?

Um dos problemas matemáticos mais comuns no dia-a-dia é a decisão entre comprar à vista ou a prazo. As lojas costumam atrair os consumidores com promoções como esta:

,

VALOR DO CARRO R$27000,00 (CAPITAL) 20 % (TAXA) DE DESCONTO À VISTA OU

em 6 vezes sem acréscimo Para o consumidor, qual é a melhor opção? É claro que se ele não dispõe no momento da quantia necessária para

o pagamento à vista, mas tem uma parte, pode ser que ele prefira investir essa quantia e assim obter ganho e fazer a compra a prazo. A decisão nem sempre é a mesma para todos.

O VALOR DO DINHEIRO

Veja um fato extremamente importante: o valor de uma quantia depende da época à qual ela se refere.

Por exemplo: Se Pedro consegue investir seu dinheiro a uma taxa de 5 % ao mês, é

indiferente para ele pagar R$ 100,00 agora ou pagar R$ 105,00 daqui a um mês. Portanto, para Pedro, R$ 100,00 agora tem o mesmo valor que R$ 105,00 daqui a um mês, ou seja, o dinheiro vale, para Pedro, 5 % ao mês.

Portanto, o valor do dinheiro não é o mesmo para todas as pessoas. Todas as decisões em matéria de dinheiro passam sempre por esta questão: “quanto você consegue fazer render o seu dinheiro?”.

Por exemplo, se a caderneta de poupança está rendendo 3% ao mês, então R$ 100,00 hoje, valerão R$ 103,00 em um mês, R$ 106,09 depois de dois meses, R$ 109,27 depois de três meses e assim por diante. Observe ainda que valores são traduzidos por quantias iguais apenas se essas quantias se referem à mesma época.

50

Obs.: na calculadora você não deve usar o

sinal de igual depois de apertar

a tecla %. Veja a

demonstração ao lado.

Exemplos:

1. A taxa de juros do cheque especial está em 12% ao mês. Se João ficar com saldo negativo de R$ 80,00 durante um mês, quanto pagará de juros?

12 % de 80 reais é: =×

100

8012 100

960 = 9,60 80,00 + 9,60 juros = 89,60

Ou você pode fazer direto pela calculadora usando o símbolo % :

80 + 12% = R$89,60

2. Geraldo tomou um empréstimo de R$300,00 a juros mensais de 15% ao mês. Dois meses depois, Geraldo pagou R$150,00 e um mês após esse pagamento liquidou o seu débito. Qual o valor desse último pagamento?

Resolução:

(lembre que enquanto houver dívida, a taxa de juros deverá ser aplicada).

No 1º mês R$ 300,00 + 15% = R$ 345,00 No 2º mês R$ 345,00 + 15% = R$ 396,75

Como após dois meses ele pagou R$ 150,00 então: R$ 396,75 – R$ 150,00 = R$246,75. No 3º mês ele tinha uma dívida de R$ 246,75 +15% = R$ 283,76 (valor do último pagamento).

3. Uma estante custa R$ 500,00 com pagamento em duas vezes,

sendo uma entrada de R$ 260,00 e outro pagamento para 30 dias no mesmo valor. Qual o índice percentual ou a taxa de juros cobrada nesta condição? (veja resolução na próxima página)

8 0 + 1 2 %

51

Resolução:

R$ 500,00 – R$ 260,00 (entrada) = R$ 240,00 (ficou devendo) Como o valor do pagamento para 30 dias é de R$260,00 calcula-se o

juro: R$260,00 – R$240,00 = R$ 20,00 de juros

Portanto aplicando a regra de três: R$ %

240 100 240 • X = 100• 20 20 X 240. X = 2000 X = 2000 240 X= 8,33 %

Observe que o juro é cobrado em cima do valor que ficou devendo (R$240,00) e não sobre o total da compra.

4. Uma estante custa R$ 500,00 para pagamento em duas vezes, com R$260,00 em 30 dias e mais um pagamento em 60 dias no mesmo valor.

Qual o percentual ou a taxa de juros cobrados nessas condições?

Resolução:

260,00 + 260,00 = 520,00 520,00 – 500,00 = 20,00 de juros

500,00 100% 500 • X = 20 • 100

20,00 X X = 500

2000 = 4%

Perceba a diferença de interpretação do exemplo 3 com o exemplo 4.

R$ %

C 100 J X

Observe que neste exemplo não houve entrada, portanto, R$500,00 é o valor da dívida (capital).

52

5. O quilo de açúcar custava R$0,60 e passou a custar R$0,72 e o quilo do café que custava R$ 2,70 passou a custar R$ 3,20. Quais foram os percentuais de aumento em cada produto? Qual mercadoria teve um aumento maior?

AÇÚCAR CAFÉ

0,60 100% 2,70 100%

0,12 X 0,50 X

X= 0,12 . 100 X = 0,50 . 100

0,60 2,70

X = 20% X = 18,5%

O açúcar teve um índice percentual maior logo, subiu mais que o café.

EXERCÍCIOS:

Copie os enunciados dos exercícios no seu caderno e resolva:

1. Você fez um empréstimo de R$ 200,00 a juros de 12% ao mês. Quanto você deverá pagar dois meses depois?

2. Paulo fez um empréstimo de R$1200,00 , com juros de 10% ao mês.

Um mês depois pagou R$ 400,00 e no mês seguinte liquidou seu débito:

a) Qual o valor do último pagamento?

b) Qual o juro pago por Paulo em reais?

c) Qual o percentual de juros pago por Paulo?

Observe o exemplo 2

53

3. Observe o anúncio e responda: Qual o percentual de juro (taxa) cobrado nesse anúncio?

4. Comprei uma casa por R$ 70000,00. Desejo obter um lucro de 15%.

Por quanto devo vendê-la?

5. O preço de uma calça era de R$ 86,00. Ela sofreu um desconto de 12%. Qual é o novo preço?

6. Paulo investiu seu capital de R$ 1000,00 num banco que estava pagando juros de 6% ao mês. Qual é o montante (capital + juros) de Paulo após 3 meses?

7. Um computador custa R$ 1600,00 à vista ou R$ 1740,00 em 3 pagamentos. Qual o valor aproximado do índice percentual aplicado no preço inicial?

8. Uma TV que custava R$ 590,00 teve um aumento e seu preço passou

para R$650,00. Um sofá de R$ 720,00 passou para R$ 780,00.

a) Quais os índices percentuais de aumento da TV e do sofá?

b) Qual deles subiu mais?

SAPATOS

R$180,00 À VISTA OU

EM 2 PAGAMENTOS sendo R$ 98,00

NO ATO DA COMPRA E R$ 98,00

PARA 30 DIAS.

Observe o exemplo 3

Observe o exemplo 5

54

AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS

Imagine que um produto sofra um aumento de 30% em um mês e

20% no mês seguinte. Qual será a taxa de aumento total que sofrerá o

preço do produto nesses dois meses? Essa é uma pergunta interessante,

porque a maioria das pessoas pensa erroneamente, que a taxa de

aumento total foi 30% + 20% = 50%. Não é esse o cálculo que devemos

fazer, pois se o preço do produto era de R$100,00, aumentando 30%

temos:

R$ 100,00 + 30 % = R$ 130,00

e aumentando novamente mais 20 % temos: R$130,00 + 20%=R$156,00 Ou seja, o aumento foi de: R$ 156,00 – R$100,00 = R$ 56,00

R$ % 100 100 100 • X = 56 • 100

56 X X = 100

5600

X = 56 %

EXERCÍCIOS: 9. Uma bicicleta custava numa certa época R$ 300,00. No mês seguinte

houve uma inflação de 20%, um mês após, a inflação foi de 10%.

a) Qual é o preço da bicicleta após esses dois meses se ela foi corrigida pelas taxas acima?

b) Se foi aplicado juros sobre juros, qual foi a taxa percentual final?

10. O preço de um artigo que custava R$ 100,00 sofreu dois descontos sucessivos de 30% e de 20%.

a) Qual foi o preço final do artigo? b) Qual o valor da taxa final aplicada?

Obs.: para saber o índice percentual é necessário aplicar

a regra de três: R$ % C 100 J X

55

G A B A R I T O

1 ) R$250,88 2 ) a) R$ 1012,00 b) R$ 212,00 C) 17,6% 3 ) 19,5% 4 ) R$ 80500,00 5 ) R$ 75,68 6 ) R$ 1191,01 7 ) 8,75% 8 ) a) 10,16% na TV e 8,3% no sofá b) TV 9 ) a) R% 396,00 b) 32% 10) a) R$56,00 b) 44%

56

MÓDULO 10

NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

CERCADO DE ESTATÍSTICAS POR TODOS OS LADOS

Você pode não saber definir Estatística, mas ao ouvir essa palavra logo pensa em números, tabelas e gráficos, não é? A estatística é um ramo da Matemática especializado em coletar, organizar, representar e interpretar dados, com o objetivo de estudar fatos, fenômenos, comportamentos e muito mais. Nos mais variados campos ela está presente para ajudar a solucionar problemas

e determinar rumos de ação. Você estudou nos módulos anteriores a Educação Fiscal e a Educação Financeira que está interligada com a Estatística, pois são os gráficos e tabelas que mostram os dados coletados.

Veja o exemplo: Se o estudo estatístico da população de um determinado país revela taxas de analfabetismo crescentes é conveniente que se adotem políticas educacionais para corrigir esse problema. A indústria utiliza estatística para avaliar a aceitação de seus produtos no mercado e a partir daí trocar estratégias de produção e venda desses produtos. A eficácia de um remédio, o tratamento de uma doença ou os efeitos colaterais que ele pode provocar, são determinados estatisticamente. E você, que tal aprender um pouco sobre ela? A estatística está presente em seu cotidiano: nos jornais, revistas, TV, na entrevista que você responde sobre seu sabonete preferido, no folheto com perguntas sobre o serviço de lanchonete que você freqüenta, nas profissões que você pode vir a exercer. Esse é o objetivo deste módulo: ensinar noções básicas de estatística para quem já vive cercado por ela. Existem empresas especializadas em pesquisas estatísticas (IBOPE, DATA FOLHA, VOX POPULI, etc.). São elas que elaboraram as pesquisas e apresentam os resultados em forma de gráficos e tabelas para que possamos estar por dentro das informações.

57

POPULAÇÃO E AMOSTRA Observe este exemplo: Em épocas de eleições, é comum vermos pesquisas de intenção de voto divulgadas pela mídia. Será que eles entrevistam todos os eleitores brasileiros para obter os dados da pesquisa? Não, isso seria impossível. É por isso que entrevistam uma quantidade determinada de eleitores (por exemplo, 2000 eleitores). Aí entra o conceito de amostra e população: População - são todos os eleitores que formam a população do fenômeno que está sendo estudado. No exemplo que foi dado acima seriam todos os eleitores do Brasil.

Amostra - é a parcela da população que foi entrevistada. No exemplo acima, 2000 eleitores. É com base nos dados colhidos nessa amostra que a pesquisa é feita. A escolha da amostra é parte importante na Estatística.

Exemplo: A Cooperativa Agrícola quer saber sobre o consumo de tomate em Votorantim.

População: 103000 habitantes da cidade de Votorantim. Amostra: 20 pessoas que moram no mesmo prédio de uma rua de

Votorantim. Pesquisa: consumo de tomate em Votorantim Pergunta: Você consome tomate? Das 20 pessoas entrevistadas (100%) da amostra você tem: Sim = 4 Não = 16 Utilizando a regra de três simples você tem: 20 100 4 X 20 . X = 4 . 100

X = 20

400

X = 20% Conclusão: Somente 20% dos habitantes de Votorantim consomem tomate. A pesquisa não é válida! A população de Votorantim não está sendo adequadamente representada, pois para uma cidade desse porte, com mais de 100000 habitantes, uma amostra de 20 pessoas não é significativa, isto é, não é suficiente para demonstrar se o tomate é, ou não consumido pela população. Os moradores do prédio formam uma amostra muito pequena e particular. Uma amostra tem que ter uma quantidade suficientemente grande para representar a população da pesquisa em questão.

58

TABELA Todos os dados coletados são organizados de tal forma que se reduzem em uma tabela. Veja o exemplo abaixo: Algumas pessoas têm dois irmãos ou irmãs, outras têm três; há aquelas que não têm irmãos e também as que, nas famílias numerosas, têm seis ou sete irmãos. Na classe de Ana Lúcia, essa pergunta foi respondida com uma pesquisa estatística, mas primeiro foi necessário coletar dados.

A mesma pergunta foi sendo respondida por todos os alunos e anotado o resultado na lousa.

E para organizar os dados coletados foi feita a tabela abaixo. Ela mostra a quantidade de casos ocorridos com: 0 irmão , 1 irmão, 2

irmãos, etc.

Os dados da tabela podem ser representados em gráfico, que é a visualização geométrica desses dados.

Nº de irmãos Freqüência (quantidade de ocorrências em cada caso)

0 7 1 11 2 6 3 3 4 0

Compare os dados acima com os da tabela ao lado:

5 1

59

GRÁFICOS: A COMUNICAÇÃO DA ATUALIDADE Quando lemos um jornal, uma revista ou assistimos a um noticiário de televisão, é muito comum encontrarmos informações sobre diversas situações representadas por meio de gráficos.

Neste módulo vamos analisar alguns tipos de gráficos e entender melhor as informações neles contidas.

São eles:

- gráficos de segmento ou linhas;

- gráficos de setores; - gráficos de barras ou colunas. Saiba mais sobre cada um deles: 1-) Gráficos de linhas ou segmentos: são usados para mostrar a

progressão de um fenômeno num certo período de tempo.

Veja o exemplo:

A cada 15 dias, um instituto de pesquisa fez uma sondagem eleitoral para saber qual dos dois principais candidatos tinha chance de ser eleito. Veja o gráfico a seguir e pense nas questões:

60

05

101520253035

1ªpe

squi

sa

2ªpe

squi

sa

3ªpe

squi

sa

4ªpe

squi

sa

Candidato ACandidato B

a) O candidato A é o líder. Na 1ª pesquisa, quantos por cento ele tem a mais do que o candidato B?

b) O candidato B está atrás, mas dizem que é ele quem vencerá? Por quê?

Analisando o gráfico percebemos que o candidato B sempre se

manteve em alta (linha crescente) o que evidencia a probabilidade de ser o vencedor. 2-) Gráficos de setores: utilizam-se círculos fatiados muito semelhante a

uma pizza cortada em vários pedaços e servem para situações em que se precisa ter uma visão comparativa entre todas as suas partes e o inteiro.

Veja o exemplo:

Foi feita uma pesquisa no Congresso Nacional e chegou-se ao resultado apresentado no gráfico abaixo:

PESQUISA NO CONGRESSO BRASILEIRO

52%

30%

18%

Presidencialistas

Parlamentaristas

Indefinidos

61

V a r i a ç ã o d o D ó l a r d e 1 9 9 4 - 2 0 0 0

0

0 , 5

1

1 , 5

2

2 , 5

1 2 3 4 5 6 7

v a r i a ç ã o d e 1 9 9 4 - 2 0 0

Re

al

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

R E A L

Setores Circulares são formas adequadas para representar fenômenos

que se expressam em termos de porcentagens. Isso porque o círculo todo é uma excelente representação de 100% desse fenômeno. Para representar os 18% dos congressistas no círculo aplicamos a seguinte regra de três simples.

100% correspondem 360º então 18

100 =

X

360 100 •••• X = 18 •••• 360

18% correspondem Xº X = 100

6480

X = 64,8º

O ângulo de aproximadamente 65º corresponde à parte pintada de amarelo. 3-) Gráfico de barras ou colunas: apresentam os resultados em forma de

barras horizontais ou verticais (colunas), partindo do plano cartesiano formado por dois eixos: horizontal e vertical. Veja o exemplo que mostra a variação do Dólar em Reais no decorrer do tempo.

62

PLANO CARTESIANO

Aplicando a idéia podemos pensar em um plano dividido por duas retas perpendiculares formando quatros ângulos retos. Essas retas recebem o nome de eixos e cada um dos quatro ângulos recebe o nome de quadrante.

Convenciona-se numerar os quadrantes no sentido anti-horário:

Os eixos desse sistema são chamados eixos cartesianos. Convenciona-se que: - o eixo horizontal é chamado eixo das abscissas ou eixo x. - o eixo vertical é chamado eixo das ordenadas ou eixo y.

Esses dois eixos determinam o plano cartesiano onde serão colocados os valores dos gráficos.

ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS

Para você analisar e interpretar um gráfico é necessário observar alguns de seus elementos tais como: Título: identifica o assunto que está sendo apresentado. Legenda: seus itens identificam quais elementos foram pesquisados. Títulos dos eixos: vertical e horizontal. Determinam os valores usados na

pesquisa.

Os eixos (retas) são divididos em partes iguais. Cada ponto representa uma unidade de medida. É necessário observar de quanto em quanto foi dividida a unidade de medida.

1º quadrante 2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

63

Neste exemplo o gráfico de barras mostra:

a) O assunto tratado nessa pesquisa foi “mortes por doença pulmonar”. b) O eixo vertical foi graduado ou dividido de 10 em 10 mil pessoas. c) A legenda identifica a quantidade de cigarros que fumam por dia. d) Quantas pessoas fumam até 15 cigarros por dia? É a barra de cor rosa

que indica a quantidade. e) Qual foi o total de amostra pesquisada? O total de pessoas

entrevistadas é a soma das quantidades de todas as barras.

f) Quantos não fumantes morrem de doença pulmonar? Pela legenda é a coluna de cor azul, que são aproximadamente 5000 mortes.

g) 60 mil pessoas fumam até 15 cigarros por dia, como mostra a coluna

rosa.

h) Para você, qual a relação que existe entre a quantidade de cigarros/dia fumados e as mortes por doenças pulmonares? Você responde analisando os dados do eixo horizontal juntamente com o eixo vertical.

MORTES POR DOENÇA PULMONAR

0102030405060708090

100110

mil

pes

soas

não fumantes

fumam até 5cigarros /dia

fumam até 15cigarros/dia

fumam até 25cigarros/dia

fumam mais de25cigarros/dia

64

EXERCÍCIOS: Copie os gráficos no caderno, faça a análise e responda: 1 ) Observe o gráfico e suponha a situação:

Candidatos fazem uma prova para um concurso em que as notas variam de 0 a 10, de meio em meio ponto. O resultado da avaliação é o que está expresso no gráfico abaixo e mostra:

� a freqüência que é a quantidade de pessoas que obtiveram cada nota; � o eixo Y representa a freqüência dessas notas; � a graduação do eixo Y é de 1 em 1; � o eixo X representa as notas que variam em 0,5 ponto.

a) Copie e complete em seu caderno a tabela abaixo:

NOTAS 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 FREQ. 0 11 5

Resultado da avaliação do concurso

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10

notas

freq

uên

cia

65

b) Qual foi a nota que obteve maior freqüência? c) Qual a freqüência da nota 8,0? d) Analisando esses resultados pode-se dizer que a prova foi fácil ou difícil? e) Explique com suas palavras a resposta acima. 2 ) Observando o gráfico a seguir, responda:

a) Qual o assunto tratado nesse gráfico? b) Quais foram os meses pesquisados? c) Qual foi a arrecadação do IPVA no mês de janeiro? d) De janeiro para fevereiro houve uma queda na arrecadação. Qual foi a

diferença apresentada? Lembre-se, diferença é o resultado da subtração.

e) Usando valores aproximados, quais os meses em que a arrecadação permaneceu constante (não há ou houve pouca variação)?

Demonstrativo da arrecadação do IPVA no Estado de SP - 2007

1.05

7.55

9.16

7,49

2.443.526.0...

1.14

8.88

7.33

9,52

226.

779.

762,

79

245.

929.

064,

76

207.

469.

472,

15

248.

227.

191,

29

200.000,00

300.200.000,00

600.200.000,00

900.200.000,00

1.200.200.000,00

1.500.200.000,00

1.800.200.000,00

2.100.200.000,00

2.400.200.000,00

Jane

iro

Fever

eiro

Abril

Maio

Junh

o

Julho

2007

66

3 ) A legenda refere-se à faixa etária (intervalo de anos de nascimento) dos alunos do CEESVO. Analise o gráfico e complete as afirmações:

10%12%

21%

18%

25%

14%1985 à 1981

1980 à 1976

1975 à 1971

1970 à 1966

1965 à 1960

antes de 1960

a) A faixa etária correspondente a 25% dos alunos é de ___________. b) Os alunos mais novos correspondem a porcentagem de ________. c) Se os mais velhos correspondem a 14% dos alunos, a idade mínima

em relação a 2007 é de __________. d) Os nascidos entre 1975 a 1985 correspondem a um total de _____%

dos alunos. e) Um aluno que em 2007 tem 40 anos está dentro da faixa etária que

corresponde a ______%. 4 ) Quanto ao gráfico abaixo, responda as perguntas da página seguinte:

a) De onde vem a maior parte do dinheiro que compõe a receita

tributária?

b) Qual a porcentagem que cabe a esse imposto?

Receita Tributária do Estado de SP de janeiro a julho 2007

1%5%9%

85%

ICMS

IPVA

TAXAS

ITCMD*

* ITCMD = Imposto sobre Transmissão “Causa Mortis” (herança) e Doação

67

c) A menor arrecadação vem do ITCMD. Qual é o valor dessa

porcentagem?

d) Qual o significado de ITCMD?

e) Qual o imposto relativo a 9% da arrecadação de São Paulo?

5 ) De 1500 alunos de uma escola estadual regular foram entrevistados 180

alunos conforme mostra o gráfico abaixo:

a) Qual o assunto tratado nesse gráfico?

b) A população dessa pesquisa foi de ...............alunos

c) De quanto foi a amostra?

d) Quantas vezes, 5 alunos fazem a higiene bucal (escovação dos

dentes) por dia?

e) A maioria (86 alunos) faz a escovação dos dentes............ vezes por

dia.

f) Você acha suficiente para ter uma boca sadia?

g) Na sua opinião, para que todos os alunos dessa escola tenham uma

boa higiene bucal eles terão que fazer...............escovações diárias.

6) Uma parte da arrecadação de impostos do Estado de São Paulo é

distribuída entre as suas cidades. Veja o gráfico da página seguinte para saber a arrecadação dos tributos de Votorantim.

Higiene Bucal

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

nenhuma vez

uma vez

duas vezes

três vezes

mais do que 3

freqüência (nº de alunos)

68

Arrecadação de Votorantim

2.130

.750,89

2.066.80

8,61

2.362

.813,04

1.885.383,51

1.693.2

59,21

366.

869,

75

1.910

.058,78

1.76

5.67

1,34

2.292

.677,8

1

3.436.915,52

50.000,00250.000,00450.000,00

650.000,00850.000,00

1.050.000,001.250.000,001.450.000,001.650.000,00

1.850.000,002.050.000,002.250.000,002.450.000,002.650.000,002.850.000,00

3.050.000,003.250.000,003.450.000,00

Jane

iro

Fever

eiro

Abril

Maio

Junh

o

Julho

Agosto

Setem

bro

Outub

ro

Rea

is

ICMS IPVA Totalem Reais

a) Quanto Votorantim arrecadou de janeiro a outubro? Use os números que

correspondem às colunas que representam o total com os valores marcados de cada mês para fazer o cálculo usando apenas as unidades dos milhões e milhares. Ex.: janeiro = 3 436 000, fevereiro = 2 362 000 etc.

b) Quais os meses em que a arrecadação do IPVA foi menor do que R$50000,00?

c) Entre os meses de setembro e outubro houve uma diminuição da

arrecadação total. De quanto foi essa diferença (aproximadamente)?

d) Nos meses de janeiro e setembro as arrecadações do ICMS foram aproximadamente iguais. De quanto foi essa arrecadação?

69

MÉDIAS, MODA e MEDIANA

Você já viu que a Estatística é um ramo da Matemática que trabalha

com dados comparativos, pesquisas de opinião, pesquisas de mercado e projeções futuras.

Os dados numéricos obtidos por intermédio das pesquisas são mais facilmente observados quando organizados numa tabela ou por representações gráficas. No entanto, se uma tabela contém um número muito grande de dados, essa observação pode se tornar confusa. Nesses casos, é mais interessante observar os dados da tabela determinando-se a média desses valores.

Costumamos calcular várias médias na vida diária: a média de horas trabalhadas diariamente, a velocidade média, o salário médio de uma empresa, a média de produção mensal de uma indústria, a despesa média mensal, a estatura média das pessoas, o consumo médio de gasolina, etc. Ignorando as variações, a média representa situações regulares, supõe que todos os valores de uma tabela são iguais.

PRODUÇÃO DE VEÍCULOS Mês/Ano Nº de veículos Jan/95 97800 Fev/95 130800 Mar/95 151800 Abr/95 131200

Na tabela acima, está indicado o número de veículos produzidos no

Brasil, no período de janeiro a abril de 1995. Nesse período, qual foi a produção média mensal de veículos?

Para responder à pergunta, você deve calcular a média aritmética dos números apresentados na tabela. Essa média é calculada somando-se os valores dados e dividindo-se o resultado pelo número de valores. Então:

Ma = 97800 + 130800 + 151800 + 131200 = 511600 = 127900 4 4

Isso significa que a produção média mensal de veículos no período de

janeiro a abril de 1995 foi de 127900 veículos? Não. Significa que, se numa situação imaginária, a produção mensal de veículos fosse sempre a mesma, o número de veículos produzidos seria de 127900 por mês.

70

VELOCIDADE MÉDIA

Quando você faz uma viagem e diz que seu carro desenvolve uma velocidade média de 80 Km/h, isso não significa que o carro andou com essa velocidade o tempo todo da viagem, isto é quase impossível de acontecer. Mostra que em determinadas horas o carro ultrapassou 80 km/h e em outras ficou abaixo dessa velocidade. Caso, numa situação imaginária, o carro fizer a viagem com uma mesma velocidade, gastando o mesmo tempo, essa velocidade seria de 80 Km/h. Exemplo:

Vamos calcular a velocidade média de um trem que fez uma viagem de 800 km em 10 horas:

Vm = 800 km = 80 km/h 10 h

Veja que basta dividir a distância percorrida pelo tempo gasto para percorrê-la.

EXERCÍCIO: 7 ) Um carro fez uma viagem de 480 Km em 8 horas. Qual foi sua velocidade

média? MÉDIA DE HORAS DIÁRIAS DE TRABALHO

Os números de horas diárias trabalhadas por um professor, durante uma semana, estão assinaladas na tabela. Vamos calcular a média diária de horas trabalhadas.

Ma = 7+6+10+11+6 = 40 = 8 horas 5 5

O total de horas que o professor trabalhou abaixo da média (2ª, 3ª e 6ª

feira) foi de 5 horas; e o total de horas trabalhadas acima da média (4ª e 5ª feira) também foram 5 horas.

Dias da semana

Nº. de horas de trabalho

2ª feira 7h 3ª feira 6h 4ª feira 10h 5ª feira 11h 6ª feira 6h

71

Verifique: horas abaixo da média: horas acima da média:

2ª feira: 8 – 7 = 1 4ª feira: 10 – 8 = 2 3ª feira: 8 – 6 = 2 5ª feira: 11 – 8 = 3 6ª feira: 8 – 6 = 2 total = 5h

total= 5h Portanto, o número de horas trabalhadas a menos é igual ao número

de horas trabalhadas a mais. Costumamos dizer que, em relação à média, os excessos

compensam as faltas. Você pode visualizar bem essa situação, usando um gráfico de barras:

Horas trabalhadas na semana

0

2

4

6

8

10

12

2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira

ho

ras

Veja outro exemplo para ilustrar a idéia da média:

O peso máximo permitido dentro de um elevador de prédio residencial

em geral é de 420 Kg ou 6 pessoas, o que dá uma média de 70 Kg por pessoa (420 : 6 = 70).

Supondo que 5 pessoas, cujos pesos estão na tabela abaixo, entram no elevador. Qual deve ser no máximo, o peso de uma 6ª pessoa que deseja entrar no mesmo elevador? (Os pesos na tabela foram arredondados para facilitar os cálculos).

Pessoas Pesos 1ª 54Kg 2ª 68Kg 3ª 75Kg 4ª 58Kg 5ª 72Kg 6ª ?

Você pode resolver de duas formas:

1) Somando os pesos das cinco pessoas que estão no elevador, encontramos 327Kg.

Como o máximo permitido é 420Kg, o peso da 6ª pessoa pode ser até:

420 – 327 = 93 Kg.

A média está representada pela semi-reta vermelha. Observe

que os excessos (5 horas) compensam as faltas (5 horas).

72

2) Esse mesmo problema pode ser resolvido usando a equação do 1º grau e o conceito (idéia) de média aritmética.

Você já sabe que Media Aritmética é a soma de todos os elementos

divididos pela quantidade. Partindo desse raciocínio e usando a variável x como o 6º elemento, você forma a equação:

54 + 68 + 75+ 58 + 72 + x = 70 6

327 + x = 70 ⇒ 327 + x = 6 • 70 6 x = 420 - 327 x = 93 (peso da 6ª pessoa)

A média aritmética que você já estudou é chamada média aritmética simples. Você vai estudar agora a média aritmética ponderada (ponderar significa atribuir um peso), muito usada quando se torna necessário valorizar, dar um peso a um ou mais valores que entrarão no cálculo da média.

CÁLCULO DA MÉDIA PONDERADA Veja o exemplo:

Numa escola, o critério para o cálculo da média de um aluno em cada disciplina, é o seguinte:

Notas de matemática 1º bimestre: peso 1 10 2º bimestre: peso 2 8,5 3º bimestre: peso 3 7 4º bimestre: peso 4 5,5

Para determinar a média aritmética ponderada de um aluno que obteve em Matemática, notas 10 ; 8,5 ; 7 e 5,5 nos respectivos bimestres você deve ponderar (multiplicar) cada nota pelo seu peso correspondente, somar todos os resultados obtidos nas multiplicações e dividir essa soma pelo total dos pesos.

Mp = 10 • 1 + 8,5 • 2 + 7 • 3 + 5,5 • 4 = 70,0 = 7 1 + 2 + 3 + 4 10

A média desse aluno em Matemática é 7.

(multiplica)

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A média ponderada pode facilitar o cálculo de médias quando aparecem uma ou mais parcelas repetidas várias vezes. Nesse caso, multiplicamos as parcelas pelo número de vezes em que elas aparecem. Veja o exemplo:

Em uma empresa, 25 empregados ganham R$ 1500,00; 10 ganham R$ 2200,00 e 5 ganham R$ 2800,00. Qual é o salário médio que essa empresa paga? Mp=25 • 1500 + 10 • 2200 + 5 • 2800 = 37500+ 22000+14000 =73500 = 1837,50 25 + 10 + 5 40 40

O salário médio dos empregados dessa empresa é de R$ 1837,50.

EXERCÍCIOS: 8 ) Num concurso constavam provas de Português, Matemática e Ciências.

As notas de Português e Matemática tinham peso 2 e Ciências peso 1. Calcule a média ponderada de um candidato que tirou as seguintes notas:

9 ) Calcule a média aritmética das alturas de uma equipe de basquete que estão indicadas na tabela abaixo:

10) A média aritmética de cinco números é 12. Quatro desses números são

6,7,8 e 11. Qual é o 5º número? Use o X para representar o 5º número.

JOGADOR ALTURA(m) 1º 1,80 2º 1,84 3º 1,90 4º 1,88 5º 1,86

Português : 6,0 Matemática: 7,0 Ciências: 5,0

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Salário (x)

Freqüência (f )

Dinheiro (R$) x • f

800,00 4 3200,00 1100,00 2 2200,00 1400,00 1 1400,00 3800,00 2 7600,00 5200,00 1 5200,00

Total 10 19600,00

11) Uma construtora encomendou tábuas de pinho a 4 fornecedores diferentes. O primeiro entregou tábuas com 225 cm de comprimento; o segundo com 236, o terceiro com 230 cm e o quarto com......cm. O mestre de obras calculou que a média dos comprimentos das tábuas era de 231 cm. Qual foi o comprimento das tábuas entregues pelo quarto fornecedor ?

Sugestão : Represente por X o comprimento das tábuas do quarto

fornecedor e calcule a média dos quatro comprimentos.

COMPARANDO MÉDIA, MODA E MEDIANA

A tabela abaixo apresenta dados sobre os salários dos funcionários de uma pequena empresa.

A média aritmética dos salários dos 10 funcionários da empresa é:

R$19600,00 : 10 = R$1960,00

(salário de cada funcionário se o dinheiro fosse distribuído igualmente).

A MODA é um elemento importante na análise de uma tabela ou

gráfico. É ela que mostra o dado numérico de maior freqüência. Neste exemplo a moda é igual a R$800,00 que é o salário mais comum (de 4 funcionários).

Comparando o valor da Média (R$1960,00) com o valor da Moda (R$800,00) observamos que há uma diferença muita grande entre eles. Para ter uma visão melhor a respeito dos salários dos funcionários usamos a Mediana.

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Salário (x)

Freqüência (f )

Freqüência acumulada

Dinheiro (R$) x • f

800,00 4 4 3200,00 1100,00 2 4+2=6 2200,00 1400,00 1 6+1=7 1400,00 3800,00 2 7+2=9 7600,00 5200,00 1 9+1=10 5200,00 TOTAL 10 19600,00

MEDIANA de uma distribuição por freqüência é o valor que divide a distribuição em duas partes com o mesmo número de dados. Se o total da freqüência for ímpar, o valor da mediana é o número central. Se o total da freqüência for par, o valor da mediana é a media aritmética dos dois valores centrais.

Veja como calcular a mediana do exemplo: Colocamos em ordem crescente os valores dos salários dos 10

funcionários:

800 800 800 800 1100 1100 1400 3800 3800 5200

Os dois salários centrais estão em vermelho, calculando a média

aritmética dos dois temos:

2

11001100 + =

2

2200 = R$1100,00 (mediana)

Outra forma de calcular a mediana de forma mais prática é calcular a freqüência acumulada.

Veja o exemplo:

É comum usar a expressão “média” para qualquer desses valores. E

você viu que cada valor tem o seu significado. Muitas vezes, os dados são manipulados dando origem a interpretação falsa sobre determinado acontecimento. Veja como algumas pessoas, dependendo do cargo que ocupam, podem usar a expressão “média” da forma como convém.

Média

Aritmética10

19600= =R$1960,00

A mediana tem o valor encontrado na linha vermelha, pois a freqüência acumulada (6) é maior do que a metade do total da freqüência (10). Logo o valor da mediana é R$1100,00. A moda = R$800,00 (tem a maior freqüência).

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CONCLUSÃO: Usa-se o valor que representa a: MODA: quando desejamos obter rapidamente o valor mais freqüente

numa distribuição; MEDIANA: quando desejamos obter o valor que divide a distribuição em

duas partes iguais; MÉDIA ARITMÉTICA: quando desejamos obter um valor que seja o

resultado de uma distribuição eqüitativa. Observe o gráfico abaixo e a tabela ao lado:

Horas trabalhadas na semana

0

2

4

6

8

10

12

2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira

ho

ras

A média aritmética é

5

40 = 8 horas diária.

A moda é de 6 horas diária (maior freqüência) A mediana é 7 horas diária: ordem crescente: 6 6 7 10 11

GERENTE

O salário médio é de R$1960,00

SINDICALISTA

O salário médio é de R$800,00

FUNCIONÁRIO

O salário médio é de R$1100,00

Dias da semana

Horas trabalhadas

2ª feira 7 3ª feira 6 4ª feira 10 5ª feira 11 6ª feira 6 Total 40

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EXERCÍCIO: 12 ) Calcule a média aritmética das idades, a moda (a idade com maior

freqüência) e a mediana da tabela abaixo que mostra uma pesquisa feita em uma sala de aula. Complete os espaços em branco.

IDADE DOS ALUNOS DE UMA CLASSE

IDADE Freqüência Freq. acumulada Freq. • idade 13 4 13 • 4 = 52 14 8 14 • 8 = 112 15 6 15 • 6 = 90 16 2 16 • 2 = 32

Total

GABARITO: 1) a)

NOTA 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10

FREQ. 0 1 2 4 6 11 12 16 18 14 12 10 8 7 6 6 5 4 2 0 0

b) nota 4 c) freq. 5

d) foi difícil, pois a soma das freqüências das notas menores do que 5 é

maior do que a soma das freqüências das notas maiores do que 5.

e) pessoal 2) a) Arrecadação do IPVA no Estado de São Paulo em 2007

b) Janeiro a Junho de 2007 c) R$ 2 443 000 000,00 – aproximadamente 2,4 bilhões d) R$ 1 295 000 000,00 – aproximadamente 1,2 bilhão e) Abril e junho

3) a) 1965 a 1960 b) 10% c) 48 anos d) 43% e) 18%

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4) a) ICMS b) 85%

c) 1% d) Imposto sobre Transmissão “Causa Mortis” (Herança) e Doação

e) IPVA 5) a) Higiene Bucal b) 1500 alunos

c) 180 alunos d) Mais do que 3 vezes por dia e) 1 vez por dia g) pessoal

6) a) R$ 19 905 000,00 b) Setembro e Outubro

c) R$ 1 544 000,00 d) aproximadamente R$ 1 783 000,00 7) 60 Km/h 8) Média Ponderada = 6,0 9) Média Aritmética = 1,85m 10) x = 28 11) x = 233cm 12) Média Aritmética = 14 anos

Moda = 14 anos Mediana = 14 anos

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Bibliografia: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. GUELLI, Oscar. EJA Educação de Jovens e Adultos Matemática 4º ciclo. 1ª Edição. Editora Ática. 2007. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo,Jakubo. Editora Atual. 2ª Edição. Projeto Escola e Cidadania. Editora do Brasil. SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997. Secretaria da Fazenda do Estado de São Paulo - www.fazenda.sp.gov.br ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes ATUALIZADA EM 2008. APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim