Matemática aplicada a Computação - UNIFEB - Centro...
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Matemática aplicada a Computação Autor: Prof. Me. Luiz Henrique Morais da Silva
Centro Universitário da Fundação Educacional de Barretos
UNIFEB- Fevereiro 2016
4. FUNÇÕES
4.1 - Definição; Tipos de funções, propriedades;
4.2– Aplicações.
5. DERIVADA
5.1 – Definição, interpretação geométrica, propriedades;
5.2 – Taxa de variação instantânea, aplicações de
derivadas,
6. INTEGRAL
6.1 – Integral indefinida (Primitiva ou anti – derivada de
uma função), Integral de uma função polinomial, técnicas
de integração;
6.2 – Integral definida, Teorema fundamental do cálculo;
6.3 - Aplicações de Integrais.
1. MATRIZES
1.1- Definição e exemplos.
1.2 - Operações com Matrizes.
2. DETERMINANTES
2.1 – Definição, Propriedades de aplicação.
2.2 - Resolução de determinantes de ordem n (Teorema de
Laplace).
3. EQUAÇÕES LINEARES
3.1 - Sistemas de equações lineares – definição;
3.2 - Resolução de sistemas de equações lineares;
3.3 – Escalonamento de sistemas lineares.
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1
SUMÁRIO
1.ESTUDO DAS MATRIZES ......................................... 4
1.1 MATRIZ “RETANGULAR”. ...................................... 4
1.2 REPRESENTAÇÕES DE UMA MATRIZ. .................. 4
1.2.1 FORMA INDEXADA. ........................................... 4
1.2.2 FORMA MATRICIAL. ........................................... 4
ATIVIDADE 1: ............................................................. 4
1.3 DIAGONAL DE UMA MATRIZ QUADRADA ............. 5
1.4 TRAÇO DE UMA MATRIZ QUADRADA. .................. 5
1.5 MATRIZ TRANSPOSTA (TRANSPOSTA DE UMA
MATRIZ). ..................................................................... 6
ATIVIDADE 2: ............................................................. 6
1.6 MATRIZES COM REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS. . 7
1.7 OPERAÇÕES COM MATRIZES ............................... 9
ATIVIDADE 3: ............................................................11
ATIVIDADE 4: ............................................................13
1.8 INVERSA DE UMA MATRIZ – MATRIZ INVERSA. ..15
ATIVIDADE 5: ............................................................15
1.9. LEITURA COMPLEMENTAR – MATRIZES COM
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS (SEGUNDA PARTE) .. 16
ATIVIDADE COMPLEMENTAR: .................................. 17
2. ESTUDO DOS DETERMINANTES .......................... 17
2.1.1 TERMO PRINCIPAL. .......................................... 17
2.1.2 TERMO SECUNDÁRIO. ..................................... 17
2.2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA.
................................................................................. 18
2.2.2 NOTAÇÃO DE UM DETERMINANTE. ................. 18
2.3 CÁLCULO DE UM DETERMINANTE DE ORDEM 2.
................................................................................. 19
2.4 CÁLCULO DE UM DETERMINANTE DE ORDEM 3.
................................................................................. 20
ATIVIDADE 6: ............................................................ 22
2.5 CÁLCULO DE UM DETERMINANTE DE ORDEM N (
2n ) ......................................................................... 22
MATRIZ COMPLEMENTAR ......................................... 22
2.6 TEOREMA DE LAPLACE. ..................................... 23
ATIVIDADE 7 ............................................................. 24
2.7 LEITURA COMPLEMENTAR – PROPRIEDADES DOS
DETERMINANTES. .................................................... 25
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2
2.8 REGRA PRÁTICA DE CHIÒ. ..................................26
2.9 CÁLCULO DE DETERMINANTE PELAS
OPERAÇÕES ELEMENTARES. ...................................27
ATIVIDADE COMPLEMENTAR ....................................27
2.10 RELAÇÃO ENTRE A MATRIZ INVERSA E OS
DETERMINANTES. .....................................................28
ATIVIDADE 8: ............................................................30
3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. ..................31
3.1 EQUAÇÃO LINEAR. ..............................................31
3.2 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES. ..................31
3.3 FORMA MATRICIAL DE UM SISTEMA DE
EQUAÇÕES LINEARES ..............................................31
(MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR) ....31
3.4 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
QUANTO AO CONJUNTO VERDADE. .........................33
3.5 SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES. ...............35
3.6 SISTEMAS LINEAR HOMOGÊNEO. .......................35
3.7 MÉTODO DE ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA
LINEAR. .....................................................................36
ATIVIDADE 9: ............................................................36
ATIVIDADE COMPLEMENTAR: .................................. 37
RESPOSTAS: ............................................................. 40
4. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO ........... 41
4.1 FUNÇÃO DE A EM B (APLICAÇÃO DE A EM B). ... 41
ATIVIDADE 10 ........................................................... 41
4.1.1 NOTAÇÃO ALGÉBRICA DE UMA FUNÇÃO. ....... 42
4.1.2 GRAFICOS. ....................................................... 42
ATIVIDADE 11 ........................................................... 42
ATIVIDADE 12 ........................................................... 42
4.1.3 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO. ................. 43
1.1.4 CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO. .................. 43
4.1.5 PARIDADE DE UMA FUNÇÃO. .......................... 44
4.1.6 FUNÇÕES PERIÓDICAS. ................................... 45
4.1.7 FUNÇÃO SOBREJETORA, INJETORA E
BIJETORA. ................................................................ 45
4.1.8 FUNÇÃO INVERSA. ........................................... 45
4.1.9 FUNÇÃO COMPOSTA – COMPOSIÇÃO DE
FUNÇÕES. ................................................................ 46
ATIVIDADE 13 ........................................................... 46
4.2 FUNÇÃO POLINOMIAL. ........................................ 47
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3
4.2.1 FUNÇÕES POLINOMIAIS BÁSICAS. ...................47
4.2.2 FUNÇÃO RACIONAL. .........................................47
ATIVIDADE 14 ...........................................................48
5. A DERIVADA. .........................................................49
5.1 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA DERIVADA:
INTRODUÇÃO HISTÓRICA. ........................................49
5.2 A DERIVADA – DEFINIÇÃO. .................................49
5.2.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA.
..................................................................................49
ATIVIDADE 15 ...........................................................52
5.3 TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA: A DERIVADA
..................................................................................52
5.4 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA – REGRA DA
CADEIA. .....................................................................53
ATIVIDADE 16 ...........................................................54
6. INTEGRAL ..............................................................55
6.1 INTEGRAL INDEFINIDA (PRIMITIVA OU ANTI-
DERIVADA) ................................................................55
ATIVIDADE 17 ...........................................................55
ATIVIDADE 18 ...........................................................56
6.2 INTEGRAL E A REGRA DA CADEIA – MÉTODO DE
SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA
INTEGRAÇÃO. ........................................................... 57
ATIVIDADE 19 ........................................................... 59
6.3 INTEGRAL DEFINIDA .......................................... 59
6.3.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL 61
ATIVIDADE 20 ........................................................... 62
BIBLIOGRAFIAS ........................................................ 62
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ESTUDO DAS MATRIZES
1.1 Matriz “retangular”.
Definição 1: “Definição formal”
Sejam I = {1, 2, 3, 4,..., m} e j = {1, 2, 3, 4,..., n} com
m,n IN*, dois conjuntos com m e n elementos
respectivamente.
Define-se a função M : I x J A, com A 0 como
sendo uma matriz retangular m x n sobre A.
Nota 1: Se m = n, temos uma matriz quadrada de ordem
n.
Nota 2: Intuitivamente, uma matriz é uma tabela (ou
quadro) com elementos (números, polinômios, funções,...)
dispostos em m linhas por n colunas.
1.2 Representações de uma matriz.
1.2.1 Forma Indexada.
Uma matriz A composta por m linhas e n colunas na
forma indexada é representada por:
1.2.2 Forma matricial.
Uma matriz A composta por m linhas e n colunas na
forma matricial é representada por:
mxnmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
Atividade 1:
1.Encontar a forma matricial das matrizes abaixo,
representadas na forma indexada.
a. A = (aij)2x3 tal que : aij = i2 - 3j
b. B = (bij)3x3 tal que: bij = jiseji
jiseji
,3
,2
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5
1.3 Diagonal de uma matriz quadrada
Diagonal Principal.
Definição 2:
Diagonal principal ou simplesmente diagonal de
uma matriz quadrada (mij) Mn(A) é a família jiiim 1)( .Ou
em outras palavras, uma matriz quadrada A = [aij], de
ordem n, a diagonal principal é constituída pelos
elementos aij, onde i = j.
Exemplo:
Sua diagonal principal é formada pelo
elementos (1 5 9).
Diagonal Secundária.
Definição 3:
A famíli (mij) com i + j = n + 1 é a diagonal secundária
da matriz (mij) Mn(A) .Ou em outras palavras, uma matriz
quadrada A = [aij], de ordem n, a diagonal secundária é
constituída pelos elementos aij, onde i + j = n + 1
Exemplo:
Sua diagonal secundária é formada pelos
elementos (3 5 7).
1.4 Traço de uma matriz quadrada.
Definição 4:
Define-se Traço de uma matriz quadrada A = (aij), de
ordem n, como a soma dos elementos da diagonal
principal, e denota-se pot tr(A).
Exemplo:
tr(A) = 1 + 5 + 9 = 15
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6
1.5 Matriz Transposta (transposta de uma matriz).
Definição 5:
A matriz de ordem n x m obtida de uma matriz A, m
x n, mudando-se as linhas pelas colunas, é chamada
transposta de A e denota-se por AT. Ou em outras
palavras, se A = (aij)mxn, então AT = (bij)nxm, onde bij = aji.
Exemplo:
Propriedades:
P1. (AT)T = A.
P2. Sejam A e B matrizes compatíveis para se realizar a
adição (A + B), então: (A + B )T = AT + BT.
P3.(k.A)T = k. AT, onde K C .
P4.Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem,
então (A.B)T = BT.AT.
P5.Se A é uma matriz que admite inversa, então (A-1)T =
(AT)-1.
Atividade 2:
1.Encontar a transposta das matrizes abaixo:
a)
b) B = (bij)2x4, onde bij = ij+4i – 5j (dica : BT = (aij)4x2, onde
aij = ji+4j – 5i)
2. Calcule o traço da matriz do item a) do exercício
anterior.
428765
4321
x
A
24
8
7
6
5
4
3
2
1
x
TA
987
654
321
A
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7
1.6 Matrizes com representações especiais.
Matriz Nula (matriz zero).
Definição 6:
Dada uma matriz A = (aij)mxn, a matriz nula é a
matriz onde aij = 0, para todo i e todo j. Ou seja, é uma
matriz que possui todos seus elementos nulos.
Exemplo: 42
0000
0000
x
A
Matriz Linha.
Definição 7:
Define-se uma matriz B = (bij)1xn como uma matriz
linha. Ou seja, a matriz linha é toda matriz do tipo 1 x n.
Exemplo: 41
3412x
B .
Nota 3: A matriz - linha é denominada vetor - linha.
Matriz Coluna.
Definição 8:
Define-se uma matriz C = (cij)mx1 como uma matriz
coluna. Ou seja, a matriz coluna é toda matriz do tipo m x
1.
Exemplo:
142
6
3
1
x
C
Nota 4: A matriz – coluna é denominada vetor - coluna.
Matriz Diagonal.
Definição 9:
A matiz diagonal é uma matriz quadrada de ordem
n (D = [dij]), na qual se ji , então dij = 0.
Exemplo:
33300
020
001
X
D
Matriz Escalar.
Definição 10:
A matriz diagonal que possui os elementos dij iguais
entre si para i = j, é chamada de matriz escalar.
Exemplo:
33300
030
003
X
E
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8
Matriz Identidade (unidade).
Definição 11:
A matriz Escalar que possui os elementos dij iguais
entre si para i = j e unitários dij =1, é chamada de matriz
Identidade.
Exemplos:
10
012I ;
100
010
001
3I ...
Matriz Simétrica.
Definição 12:
Uma matriz quadrada A = (aij) de ordem n é
simétrica se, e somente se AT = A.
Exemplos:
375
714
540TAA
Nota 5: Se A = (aij) é uma matriz simétrica, os elementos
dispostos simetricamente em relação diagonal principal
são iguais, ou seja, aij = aji.
Nota 6: O produto de uma matriz quadrada A pela sua
transposta AT é uma matriz simétrica.
Matriz Antissimétrica.
Definição 13:
Uma matriz quadrada A = (aij) de ordem n é
antissimétrica se, e somente se AT =- A.
Exemplos: AAAA TT
075
704
540
075
704
540
Nota 7: Se A = (aij) é uma matriz antissimétrica, os
elementos dispostos simetricamente em relação diagonal
principal são opostos (iguais em módulo, ou seja diferem
apenas no sinal) e os elementos da diagonal principal são
nulos.
Matriz Ortogonal.
Definição 14:
Uma matriz quadrada A = (aij) de ordem n é
ortogonal se, e somente se a inversa de uma matriz
coincide com a sua transposta A-1=AT.
Exemplos: 1
2
1
2
32
3
2
1
2
1
2
32
3
2
1
AAA T
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Matriz Triangular Superior.
Definição 15:
Define-se como uma matriz triangular superior a
matriz quadrada A = [aij], de ordem n, no qual os elementos
aij = 0 para i > j, para todo i e j.
Exemplo:
1000
9800
7650
4321
A
Matriz Triangular Inferior.
Definição 16:
Define-se como uma matriz triangular inferior a
matriz quadrada A = [aij], de ordem n, no qual os
elementos aij = 0 para i < j, para todo i e j.
Exemplo:
1987
0654
0032
0001
A
1.7 Operações com matrizes
Igualdades de matrizes:
Definição 17:
Dados duas matrizes de mesma ordem (m,n) A = (aij)
e B = (bij), dizemos que A = B se, e somente se, aij = bij, para
todo i e j.
Exemplo:
2323
54
32
10
54
32
10
xx
BA
Adições de matrizes:
Definição 18:
Dados duas matrizes de mesma ordem (m,n) A = (aij)
e B = (bij), dizemos que a matriz S =(sij) é a matriz que
representa a soma S = A + B, tal que sij = aij + bij.
Exemplo:
2323
45
23
01
54
32
10
xx
BeA
2323232399
55
11
4554
2332
0110
45
23
01
54
32
10
xxxx
SBAS
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10
Propriedades:
P1. Associativa: (A + B ) + C = A + (B + C) = A + B + C .
P2. Comutativa: A + B = B + A.
P3. Elemento neutro: A + O = O + A = A.
P4. Lei do corte: A + (-A) = (-A) + A = O.
Matrizes Oposta e a subtração de matrizes:
Definição 19:
Dados duas matrizes de mesma ordem (m,n) A = (aij)
e B = (bij), define-se a matriz oposta de A como
sendo a matriz – A = (-aij).
Dizemos então, que a matriz D =(dij) é a matriz que
representa a diferença D = B + (- A) = B - A tal que: dij = bij
+ (-aij) =bij – aij.
Exemplo:
2323
45
23
01
54
32
10
xx
BeA
2323232311
11
11
5445
3223
1001
54
32
10
45
23
01
xxxx
DABD
Multiplicação de um escalar por uma matriz:
Definição 20:
Seja IR , um escalar, e A = [aij]mxn uma matriz de
ordem (m,n), a matriz P = (pij)mxn é a matriz que representa
o produto P = A, tal que: pij = . aij.
Exemplo:
2
54
32
10
23
eA
x
232323108
64
20
5.24.2
3.22.2
1.20.2
54
32
10
2
xxx
PAP
Propriedades:
P1. 1. A =A P2. A)..( = )..( A
P3. AAA ..).( P4. BABA ..).(
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Atividade 3:
1. Quais os valores de x e y reais que satisfazem:
1
2
1
3
x
y, sendo U = IR2.
2. Determine x, y e z reais, sabendo que a matriz a seguir
é antissimétrica:
043
402
zyx
3.Sendo
920
531A e
752
614B , obtenha:
a. 2A + 3B b. 3B – 2A
4. Sendo
43
21A e
87
65B , resolva a equação
matricial: 2X – A = B. 5. Considere as matrizes A = (aij)3x2
e B = (bij)3x2 dadas por: aij =i – 2j +3 e bij = 3i –j -1.
Obtenha:
a) a matriz C tal que eu C = A + B. b) a matriz D tal
que D = B – A
Multiplicação de matrizes.
Definição 21:
1ª. Parte: Define-se o produto A.B de duas matrizes A e B
nesta ordem, se, e somente se, A é do tipo nm e B é do
tipo pn ; ou seja, a multiplicação de duas matrizes existe,
se, e somente se o número de colunas da primeira matriz
(no caso a matriz A) é igual ao número de linhas da
segunda matriz (no caso a matriz B).
2ª. Parte: A matriz P = (pij)mxp é a matriz que representa
o produto A.B (P = A.B) caso exista, ou seja, o produto de
A.B, definido nesta ordem, terá m linhas (número de
linhas da 1ª. matriz, A) por p colunas (número de colunas
da 2º matriz, B).
pnijnmij bBeaABA
)(
pnijnmij
pmij
bBeaA
pPBAPBA
)(.)(
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3ª. Parte: Para calcular o elementos pij da matriz produto
P = (pij)mxp, onde P =A.B, tomamos a linha i da matriz A e
a coluna j da matriz B e fazemos ai1.b1j + ai2.b2j + a13.b3j
+ ... + ain.bnj, ou seja, tomamos o 1º elemento da linha i e
multiplicamos pelo 1º elemento da coluna j, tomamos o
2º elemento da linha i e multiplicamos pelo 2º elemento
da coluna j, tomamos o 3º elemento da linha i e
multiplicamos pelo 3º elemento da coluna j, e assim
sucessivamente, somamos então estas parcelas e
obtemos pij.
Exemplo:
23
32 00
09
87
654
321
BeA
1ª. parte: Como o número de colunas da primeira matriz
é igual ao número de linhas da segunda matriz, a
multiplicação A.B é possível.
2ª. parte a matriz P, que representa A.B, é uma matriz 2
x 2, ou seja, o número de linha da 1ª. matriz pelo número
de colunas da segunda matriz.
3ª. parte: Calculo de P = (pij)2x2 , sendo P = A x B:
2221
1211
pp
ppP
p11 = (1 x 7) + (2 x 9) + (3 x 0) = 7 + 18 + 0 = 25
p12 = (1 x 8) + (2 x 0) + (3 x 0) = 8 + 0 + 0 = 8
p21 = (4 x 7) + (5 x 9) + (6 x 0) = 28 + 45 + 0 = 73
p22 = (4 x 8) + (5 x 0) + (6 x 0) = 32 + 0 + 0 = 32
23
32 00
09
87
654
321
BA
23
32 00
09
87
654
321
BA
23
32 00
09
87
654
321
BA
23
32 00
09
87
654
321
BA
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13
3273
825P
Propriedades:
P1. Associativa: Se A, B e C são matrizes compatíveis para a
multiplicação, então: A.B.C = (A.B).C = A.(B.C).
P2. Distributiva: Se A e B + C, são matrizes compatíveis
para a multiplicação, então: A.(B + C) = A.B + A.C.
P3. Se A é uma matriz do tipo nm , então: A.In = Im.A = A,
onde In é a matriz identidade de ordem n, Im é uma matriz
identidade de ordem m.
Nota 8: Na maior parte das vezes a propriedade comutava
não é válida, ou seja: ABBA .
Potência de matrizes quadradas – Expoentes não
negativos
Definição 22:
Se A é uma matriz quadrada de ordem m,
definimos: 1,.
0,
1
nseAA
nseIA
nn
mn
Potência de matrizes quadradas – Expoentes não
negativos
Definição 23:
Se A é uma matriz quadrada de ordem m, e n < 0
definimos: nn AA )( 1, onde A-1 é a matriz inversa de A.
Atividade 4:
1.Calcule o produto das matrizes a seguir:
a)
1
3
4
5
.3012 b)
110
987.
65
43
21
2.Determine o valor de x, sabendo que o produto das
matrizes
10
21
31
2e
xé uma matriz simétrica.
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14
3.Determine os valores de x e y na equação matricial:
7
1.
21
34
y
x.
4. Sendo
10
11A , calcule:
a) A2 b) A3 c) A4 d)
A20
5. Uma construtora recebe encomenda do governo para
fazer o arcabouço de três tipos de edifícios: escolas,
hospitais e teatros. As matérias primas a serem utilizadas
são: ferro, cimento, madeira, areia mais a mão de obra. A
matriz a seguir representa a quantidade de cada uma
destas matérias primas que serão utilizadas em cada tipo
de obra.
Perceba que cada linha indica a matéria – prima de
que se necessita em cada tipo de obra e cada coluna da
matriz indica as quantidades de cada matéria - prima que
participam na construção de cada tipo de edifício.
Suponhamos agora que a encomenda tenha sido
feita para 7 escolas, 5 hospitais e 2 teatros, na forma de
matriz temos A = (7 5 2). Calcule o quanto a construtora
vai gastar em material. (Dica: o gasto da construtora será
produto P = A.B).
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15
1.8 Inversa de uma matriz – Matriz Inversa.
Definição 24:
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem
tais que A.B = B.A = I, dizemos que A é inversa de B
e B é inversa de A.
Denota-se A = B-1 e B = A-1.
Propriedades:
Se A e B são matrizes que admitem inversa, então:
P1. (A-1)-1= A.
P2. (A-.B)-1 = B-1 . A-1.
P3. .0)det(;)det(
)(1 AA
AAdjA
Exemplo:
43
21A
10
01
43
21. 2
1 IAA
Faremos então uso de operações elementares para
o cálculo da inversa da matriz A.
1º multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a
2ª linha, temos uma nova 2ª. linha.
13
01
20
21
10
01
43
21221.3 lll
2º Multiplicando a nova segunda linha por -1/2.
2
1
2
301
10
21
13
01
20
21 2.2
1
l
3º Multiplicando a 2ª linha por -2 e somando a 1ª
linha, temos:
2
1
2
312
10
01
2
1
2
301
10
21112.2 lll
2
1
2
312
1A
Atividade 5:
1. Obter a inversa das matrizes:
a)
14
32A b)
080
320
641
B
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16
1.9. Leitura complementar – Matrizes com
representações especiais (Segunda parte)
Matriz Periódica.
Definição 25:
Seja uma matriz quadrada A, diz-se que A é uma
matriz periódica se, e somente se, An = A, para 2n .
Nota 9: Se n é o menor inteiro para o qual An =A, então o
período da matriz A é n – 1.
Exemplo: A matriz identidade de ordem n é periódica.
2
32
10
01
10
01
10
01IAAAA n
Matriz Idempotente.
Definição 26:
Dada uma matriz periódica A, tal que A2 = A, diz-se
que A é uma matriz idempotente.
Nota 10: O período de uma matriz idempotente é 2 -1 =1.
Exemplo:
2
455
343
112
BB
455
343
112
Obs1: se A2 = A, então A3 = A4 = A5 = ... = An =A.
Matriz Nihilpotente.
Definição 27:
Dada uma matriz quadrada A, se existir um número
INm , tal que Am = 0, diz –se que A é uma matriz
nihilpotente.
Nota 11: Se m é o menor inteiro positivo tal que Am = 0,
diz-se que a matriz A é nihilpotente de “índice” m.
Exemplo1:
444
333
111
C
000
000
0002C
A matriz C é nihilpotente de índice 2.
Obs2: se A2 = 0, então A3 = A4 = A5 = ... = An =0.
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17
Exemplo 2:
312
625
311
D
311
933
0002D
000
000
00023 DDD
A matriz C é nihilpotente de índice 3.
Obs3: se A3 = 0, então A4 = A5 = A6 = ... = An =0.
Atividade complementar:
Com os devidos cálculos, utilizando a multiplicação
de matrizes, prove o exemplo da matriz idempotente e os
dois exemplos da matriz nihilpotente.
2. ESTUDO DOS DETERMINANTES
2.1.1 Termo Principal.
Definição 27:
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, o
produto dos elementos da diagonal principal é chamado
termo principal.
nn
nnmm
n
n
aaaa
aaa
aaa
aaa
A .... 332211
21
22221
11211
Exemplo:
401851
1000
9800
7650
4321
A
2.1.2 Termo Secundário.
Definição 28:
Dada uma matriz quadrada B, de ordem n, o
produto dos elementos da diagonal secundária é chamado
termo secundário
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18
123121
21
22221
11211
.... nnnn
nnmm
n
n
aaaa
aaa
aaa
aaa
B
Exemplo:
12)2(23
312
625
311
B
2.2.1 Determinante de uma matriz quadrada.
Definição 29:
Seja uma matriz A quadrada, n x n, sobre C.
Definimos o determinante de A e indicamos por det A ou
|A|, ao elemento C:
nnjjjj
ni aaaaA 321 321)1(det
Onde ni é o número de inversões da permutação (j1, j2, j3,
..., jn) em relação à permutação (1, 2, 3, ..., n) escolhida
como fundamental e indica que a soma é sobre as n!
permutações de {1, 2, 3, ..., n}.
Em outras palavras, o determinante de uma matriz
quadrada é a soma algébrica dos produtos que se obtém
efetuando todas as permutações dos segundos índices do
termo principal, fixados os primeiros índices, e fazendo-se
preceder os produtos dos sinais + ou –n, conforme as
permutações dos segundos índices seja de classe par ou
ímpar.
Nota 12: A ordem de um determinante é a mesma ordem
da matriz quadrada correspondente.
2.2.2 Notação de um determinante.
A notação usada para representar um
determinante de uma matriz quadrada A será:
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
det
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19
2.3 Cálculo de um determinante de Ordem 2.
Dada uma matriz quadrada A de ordem 2,
2221
1211
aa
aaA , para calcular o determinante desta matriz,
faremos, 2221
1211det
aa
aaA , e de acordo com a definição de
um determinante de uma matriz quadrada, temos:
1º passo: Escrever os elementos que compõem o termo
da diagonal principal, um após o outro, somente com os
primeiros índices, tantas vezes quantas forem as
permutações dos números 1 e 2 ( no caso, duas vezes: 12
e 21 ou 2! = 2 x 1 = 2).
a1 a2 a1 a2
2º Passo: Colocar como segundo índice (nas duas
expressões obtidas anteriormente), as permutações 12 e
21.
a11 a22 a12 a21
3º Passo: Fazer preceder cada um dos dois produtos
assim formados dos sinais + ou -, conforme a permutação
dos segundos índices serem de classe par ou ímpar.
Permutaçã
o principal
Permutaçõe
s
Número
de
inversõe
s
Classe da
permutaçã
o
Sina
l
12
12
12
21
0
1
par
Ímpar
+
+ a11 a22 - a12 a21
4º Passo: Efetuar a soma algébrica dos produtos assim
obtidos.
det A = + a11.a22 + (- a12.a21) = + a11.a22 - a12.a21
Nota 12: Por comodidade e simplicidade costuma-se
dizer que o determinante de uma matriz quadrada de
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20
ordem 2 é igual: o produto dos elementos da diagonal
principal menos o produtos dos elementos da diagonal
secundária.
Exemplo:
1138)3()1()4(243
12
Nota 13: De acordo com a definição de determinante
para uma matriz quadrada A de ordem 1, como não
temos permutações a serem realizadas, então
convenciona-se que o determinante desta matriz é o
número que forma a matriz.
det A= |a11| = a11
Exemplo:
|-2| = - 2
Obs 3: Há um cuidado especial em não confundir a
simbologia de uma determinante de ordem 1, com módulo
(valor absoluto) de um número real, pois a escrita na
simbologia é muito semelhante!
2.4 Cálculo de um determinante de Ordem 3.
Dada uma matriz quadrada A de ordem 3,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A , para calcular o determinante desta
matriz, faremos,
333231
232221
131211
det
aaa
aaa
aaa
A , e de acordo com a
definição de um determinante de uma matriz quadrada,
temos:
1º passo: Escrever os elementos que compõem o termo
da diagonal principal, um após o outro, somente com os
primeiros índices, tantas vezes quantas forem as
permutações dos números 1,2 e 3 (no caso, seis vezes, 3!
= 3 x 2 x 1 = 6).
a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3
a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3
21122211
2221
1211det aaaa
aa
aaA
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2º Passo: Colocar como segundo índice (nas seis
expressões obtidas anteriormente), as permutações 123,
132, 312, 213, 231 e 321.
a11 a22 a33 a11 a23 a32 a13 a21 a32
a12 a21 a33 a12 a23 a31 a13 a22 a31
3º Passo: Fazer preceder cada um dos dois produtos
assim formados dos sinais + ou -, conforme a permutação
dos segundos índices serem de classe par ou ímpar.
Permutação
principal
Permutações Número
de
inversões
Classe da
permutação
Sinal
123
123
123
123
123
123
123
132
312
213
231
321
0
1
2
1
2
3
par
ímpar
par
ímpar
par
ímpar
+
-
+
-
+
-
+ a11 a22 a33 - a11 a23 a32 + a13 a21 a32
- a12 a21 a33 + a12 a23 a31 - a13 a22 a31
4º Passo: Efetuar a soma algébrica dos produtos assim
obtidos.
detA=+a11.a22.a33+(-a11.a23.a32)+a13.a21.a32+(-
a12.a21.a33)+a12.a23.a31+(-a13.a22.a31)
detA=+a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32-a12.a21.a33-
a11.a23.a32 - a13.a22.a31.
Nota 14: Por comodidade e simplicidade costuma-se
fazer uso de uma regra prática (Regra de Sarrus) para
determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, esta
regra é dada pelo seguinte dispositivo prático:
Repetir as duas primeiras linhas ou colunas. (Geralmente
por facilidade, repete-se as linhas).
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detA = a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32–
(a12.a21.a33+a11.a23.a32+a13.a22.a31)
Exemplo:
)]2(00)1(2113)3[()2(11)3(2003)1(
13
32
01
013
232
101
= 0+ 0 -2 – [- 9 - 2 + 0] = -2 + 11 = 9
Atividade 6:
1. Calcule o valor dos determinantes a seguir:
a) 41
23
b)
987
654
321
2. Resolva a equação: 0
140
110
213
x
x
x
2.5 Cálculo de um determinante de ordem n ( 2n )
Matriz Complementar
Definição 30:
Dada uma matriz quadrada A, a matriz quadrada
que se obtém de A suprimindo-se a linha de índice i e a
coluna de índice j é denominada matriz complementar de
A relativa ao elemento de posição (i,j) e denota-se Mij.
Exemplos:
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23
E assim, podemos calcula outras matrizes
complementares como M11, M12, M13,..., M33.
Cofator ou complemento algébrico.
Definição 31:
Sendo aij um elemento qualquer de uma matriz
quadrada A, de ordem n, chama-se cofator ou
complemento algébrico de aij ao número Aij, dada por:
ij
ji
ij MA .)1( , onde |Mij|é o determinante da matriz
complementar Mij.
Exemplo:
A23 = (-1)2+3. |M23| = (-1)5 . 1 = (-1) . 1 = -1
E assim, podemos calcular os cofatores A11, A12, A13,
A21,...A33
2.6 Teorema de Laplace.
Definição 32:
De um modo geral, dada uma matriz quadrada A,
de ondem n ( 2n ), temos:
I. Se o determinante for desenvolvido tomando como base
uma linha de índice i da matriz A:
n
k
ikikininiiii AaAaAaAaA1
2211 .......det
II. Se o determinante for desenvolvido tomando como base
uma coluna de índice j da matriz A:
n
k
kjkjnjnjjjjj AaAaAaAaA1
2211 .......det
Nota 15: A partir da definição geral, podemos calcular um
determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n (
2n ) pelos seguintes passos:
32
65
312
625
311
12MA
12
11
312
625
311
23MA
12112
11
12
11
312
625
311
23
MA
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24
I. Escolhe-se em A uma fila qualquer (linha ou coluna),
preferencialmente aquela que possuir “se existir” maior
“quantidade de elementos aij = 0.
II. Calcula-se o cofator Aij da respectiva fila escolhida.
III. Efetua-se o produto de cada elemento da fila escolhida
pelo seu respectivo cofator.
IV. Soma-se todos estes produtos anteriores.
Exemplo:
152
240
331
I. Escolhendo a 1º coluna: a11 = 1, a21 = 0 e a31 = 2
Antes que façamos os cofatores, a escolha pela primeira
coluna pelo fato a21 = 0, traz uma maior facilidade de
cálculos, pois o cofator A21 não precisa ser calculado, pois
a21 x A21 = 0.
II. Cálculo dos cofatores da primeira coluna.
6)6(1)104(1)2514()1(15
24)1( 211
11 A
6)6(1)126(1)3423()1(24
33)1( 413
31 A
III. Cálculo do determinante, pelo teorema de Laplace.
Det. = a11 x A11 + a21 x A21 + a31 x A31
Det. = 1 x (-6) + 0 x A21 + 2 x (-6) = - 6 + 0 – 12 = -18
Atividade 7
1. Aplicando o Teorema de Laplace calcule o valor dos
determinantes a seguir:
a) 41
23
b)
987
654
321
c)
0140
1032
1121
0110
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25
2.7 Leitura complementar – Propriedades dos
determinantes.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, temos as
seguintes propriedades:
P1. det (A) = det (At).
P2. Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna)
de A forem nulos, det(A) = 0.
Nota 16: Essa propriedade é um corolário, pois é uma
consequência imediata do teorema de Laplace.
P3. Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) de A por
um escalar IRk , então o determinante fica multiplicado
por A.
P4. Se )(CMA n , então det (k.A) = kn. det A.
P5. Se permutarmos (trocarmos) duas filas paralelas
(linhas ou colunas), o determinante troca de sinal.
P6. Se duas filas paralelas (linhas ou colunas) forem
iguais, o determinante da matriz é nulo.
P7. Se duas filas paralelas (linhas ou colunas) forem
proporcionais, o determinante da matriz é nulo.
P8. O determinante de uma matriz não se altera se
somarmos a uma linha (coluna) um múltiplo de outra
linha (coluna).
P9. O determinante de uma matriz não se altera se
somarmos a uma linha (coluna) uma combinação linear
de outras linhas (colunas).
P10. Uma matriz que possui uma linha (coluna) que é
combinação linear das outras duas linhas (colunas) tem
determinante nulo.
P11. Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem,
então: det (A. B) = det (A) . det (B)
P12. det (A.B) = det (A) . det (B)
P13. det (An) = [det(A)]n
P14. )det(
1)det( 1
AA
P15. Determinante de Vandermonde.
Consideremos os seguinte determinante:
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26
njiondeaa
aaa
aaa
aaa
Dji
ji
n
n
nn
n
n
,1,)(
111
11
2
1
1
22
2
2
1
21
Exemplo:
2112)23()34()24(
432
432
111
1694
432
111
222
2.8 Regra prática de Chiò.
Para o cálculo de um determinante de uma matriz
quadrada qualquer de ordem n, podemos usar uma regra
prática, conhecida como regra prática de Chiò, que
consiste em:
I. Escolher uma elemento aij = 1 no determinante de A,
caso exista.
II. Se não existir aij = 1 em det (A), escolher 0ija ,
multiplicar det (A) por ija e dividir a linha ou coluna por
ija , pois assim teremos 1' ija .
III. Suprimir a linha ou coluna que cruzam sobre o
elemento aij = 1 ou 1' ija .
IV. Agora iremos fazer uma “redução” da ordem de det(A),
ou seja, para obtermos os elementos do determinante de
ordem n – 1, vamos subtrair de cada um dos elementos
não suprimidos o produto daqueles elementos que se
encontram nos “pés” das perpendiculares baixadas de
cada um deles sobre a linha e a coluna suprimida.
V. Anteceder ao determinante menor obtido o sinal (-1)i+j.
Para facilitar, é interessante escolher a11 = 1, pois (-1)1+1
= 1.
Exemplos:
27633663
216
12685
210148
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2.9 Cálculo de determinante pelas operações
elementares.
Para o cálculo de um determinante de uma matriz
quadrada qualquer de ordem n, podemos usar operações
elementares e chegar a uma matriz triangular superior
ou inferir e procedemos da seguinte maneira para se
obter o det(A):
I. Através de operações elementares, devemos obter uma
matriz triangular superior ou inferior no determinante da
matriz.
II. Após obtida a matriz triangular (inferior ou superior),
multiplica-se os elementos da diagonal principal, e
assim, temos o valor de det (A).
Exemplo:
321
654
087
I. através de operações elementares, temos:
7
900
630
087
37
60
630
087
321
630
087
321
654
087332331
223 7
2
7
1
4
lllllllll
II. Agora basta multiplicarmos os elementos da diagonal
principal do último determinante (que representa uma
matriz triangular).
277
9)3(7det
Atividade complementar
1. Se 1
ifc
heb
gda
, utilizando as propriedades do
determinantes, calcule:
a)
ifc
heb
gda
2
2
2
b)
ifc
heb
gda
222
222
222
c)
ihg
fed
cba
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28
2.No determinante de Vandermonde abaixo, resolva a
equação:
0
2781
941
321
1111
3
2
x
x
x
3. Calcule o terminante abaixo pela regra prática de Chiò,
pelo teorema de Laplace e utilizando operações
elementares.
1100
1214
0132
1001
2.10 Relação entre a Matriz inversa e os
determinantes.
Matriz Co-fatora.
Definição 33:
Se A é uma matriz quadrada de ordem n,
denominamos matriz co-fatora de A (indicamos por cof A)
a matriz obtida de A, substituindo cada um de seus
elementos pelo respectivo cofator.
Exemplo:
11
01A
A11 = (-1)1+1 .|1|= 1
A12 = (-1)1+2 .|1|= -1
A21 = (-1)2+1 .|0|= 0
A22 = (-1)2+2 .|1|= 1
10
11)(ACof
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29
Matriz Adjunta.
Definição 34:
Se A é uma matriz quadrada de ordem n,
denominamos matriz adjunta de A (indicamos por Adj A) a
matriz transposta da matriz co-fatora de A.
TACofAAdj )]([)(
Exemplo:
11
01A
11
01)]([)(
10
11)( TACofAAdjACof
Matriz Inversa.
Como visto anteriormente, uma matriz quadrada A,
de ordem n, é dita inversível (ou não – singular) se existe
uma matriz quadrada B, também de ordem n, tal que:
A.B = B.A = In. A partir daí faremos uso da seguinte
propriedade:
P3. .0)det(;)det(
)(1 AA
AAdjA ;
também vista anteriormente.
Exemplo:
11
01A
11
01)]([)(
10
11)( TACofAAdjACof
10111
01)det( A
Como, então temos: )det(
)(1
A
AAdjA
11
01
1
11
01
1A
Matriz Singular.
Definição 35:
Uma matriz quadrada A, de ordem n, cujo
determinante é nulo é uma matriz singular.
Ou seja, uma matriz quadrada A, de ordem n, é
singular se e somente se A não admite inversa A-1.
Exemplo:
0)det(
1282
320
641
AA A é uma matriz singular
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30
Matriz Não - Singular.
Definição 36:
Uma matriz quadrada A, de ordem n, cujo
determinante é não –nulo (diferente de zero) é uma matriz
não – singular ou regular.
Ou seja, uma matriz quadrada A, de ordem n, é não
– singular (ou regular) se e somente se A admite inversa A-
1.
Exemplo:
1)det(
010
110
111
AA A é uma matriz não- singular(ou
regular)
Atividade 8:
1. Obter a inversa das matrizes:
a)
14
32A b)
080
320
641
B
2. Determine os valores de K para que a matriz
31
31
101
k
kC :
a) seja singular.
b) Admita inversa (seja não – singular ou regular)
3.Dadas as matriz
14
32A e
11
01B , calcule
(A.B)-1.
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31
3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES.
3.1 Equação linear.
Definição 37:
Uma equação linear é uma equação do tipo:
a1.x1 + a2. x2 + a3.x3 + an.xn = b ou bxa i
n
i
i
.1
Nota 17: Os valores das variáveis que transforma um
equação linear em identidade, isto é, que satisfazem a
equação, constituem sua solução. Esses valores são
denominas raízes da equação.
Exemplo:
2x + 3y – 7z = -13
É uma equação linear cujas raízes são x =1, y = 2 e z =3
3.2 Sistema de equações lineares.
Definição 38:
Define-se um sistema de equações lineares como
sendo um conjunto de equações lineares unidas por um
conectivo e )(
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
.......
.......
.......
.......
332211
33333232131
22323222121
11313212111
Exemplos:
2;623
23IRU
yx
yx
3;
4
6
4
IRU
zyx
zyx
zyx
4;
2
1
10
IRU
tzx
tyx
tzyx
3.3 Forma matricial de um sistema de equações
lineares
(Matrizes associadas a um sistema linear)
Podemos associar um sistema de equações lineares
com o uso de matrizes associadas a este sistema linear,
assim dizemos que este está expresso na forma matricial.
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32
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
.......
.......
.......
.......
332211
33333232131
22323222121
11313212111
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
.
Nota 18: Onde a matriz .
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
é chamada
de matriz incompleta do sistema de equações lineares e a
matriz .
21
222221
111211
nmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
é a matriz completa do
sistema de equações lineares.
Exemplos:
6
2.
23
31;
623
232
y
xIRU
yx
yx
Matriz incompleta: .23
31
Matriz completa:
623
231
4
6
4
.
111
111
111
;
4
6
43
z
y
x
IRU
zyx
zyx
zyx
Matriz incompleta: .
111
111
111
Matriz completa: .
4111
6111
4111
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33
Nota 19: Os valores das variáveis que transformam
simultaneamente as equações de um sistema linear em
identidade, isto é, que satisfazem todas as equações do
sistema, constituem sua solução. Esses valores são
denominas raízes do sistema de equação linear.
3.4 Classificação de um sistema linear quanto ao
conjunto verdade.
Um sistema de equações lineares pode admitir uma
única solução, infinitas soluções ou até mesmo não
admitir solução, dentro de um conjunto universo.
Sendo assim, podemos classificar um sistema de
equações lineares e acordo com o tipo de solução (ou não
solução) que ele irá possuir.
Sistema Compatível. (S.C.)
Definição 41:
Um sistema de equações lineares é dito compatível
quando admite solução, ou seja, quando seu conjunto
verdade não for vazio.
Sistema Compatível e Determinado. (S.C.D.)
Definição 42:
Um sistema de equações lineares Compatível é
dito. Determinado quando admite solução única.
Exemplo:
O sistema linear a seguir é compatível e
determinado, pois admite uma única solução, o par
ordenado (2,1).
22 )1,2(423
13IRVIRU
yx
yx
Interpretação geométrica:
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Sistema Compatível e Indeterminado. (S.C.I.)
Definição 43:
Um sistema de equações lineares Compatível é dito
indeterminado quando admite mais de uma solução (na
verdade infinitas soluções).
Exemplo:
O sistema linear a seguir é compatível e
indeterminado, pois admite uma infinidade de soluções.
IRIRVIRU
yx
yx
:
3
1,
262
1322
Interpretação geométrica:
Sistema Incompatível. (S.I.)
Definição 44:
Um sistema de equações lineares é dito
incompatível quando não admite solução, ou seja, seu
conjunto verdade é vazio.
Exemplo:
O sistema linear a seguir é incompatível, pois não
admite soluções.
VIRU
yx
yx2
093
13
Interpretação geométrica:
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3.5 Sistemas lineares Equivalentes.
Definição 45:
Dois sistemas de equações lineares são
equivalentes quando admitem a mesma solução (ou o
mesmo conjunto verdade), dentro de um mesmo conjunto
universo.
Exemplo:
Os dois sistemas a seguir são equivalentes, pois
possuem o mesmo conjunto verdade.
IRyxIRVIRUyx
yxe
yx
yx
,:)1,2()(
3
02
423
1322
3.6 Sistemas Linear Homogêneo.
Definição 46:
Um sistema de equações lineares é dito homogêneo
se os termos independentes são todos nulos.
0.......
0.......
0.......
0.......
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
Exemplos:
2;063
02IRU
yx
yx
3;
0
0
0
IRU
zyx
zyx
zyx
4;
0
0
02
0
IRU
ty
zx
tyx
tzyx
Nota 20: Um sistema homogêneo será sempre compatível,
ou seja, sempre ira admitir solução sendo:
I. Compatível e Determinado, se admitir apenas a solução
chamada Trivial, U = IR2, V = (0,0); U = IR3,V = (0,0,0),
U = IR4, V = (0,0,0,0); ...
II. Compatível e indeterminado, se o sistema admitir
infinitas soluções.
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36
Resolução de um sistema linear.
Existem vários métodos de resolução para um
sistema linear, no qual iremos destacar dois:
I. Método de Escalonamento.
II. Método de Gauss – Jordan.
3.7 Método de escalonamento de um sistema linear.
O escalonamento de um sistema linear consiste em
um método de eliminação de variáveis, tornando o
sistema escalonado. Para resolução de um sistema de
equações lineares por este método, devemos efetuar os
seguintes passos:
1º Passo: Escolher uma equação linear do sistema para
não ser escalonada (ou seja se manter imutável);
2º Passo: escolher a primeira variável a ser eliminada;
3º Passo: com as equações já escalonadas, escolher outra
equação (fora a primeira já escolhida), para não mais ser
escalonada;
4º Escolher a segunda variável (caso houver), para ser
eliminada;
E assim, sucessivamente, até que a última equação
escalonada tenha apenas uma única variável, a
penúltima, duas variáveis e assim por diante.
Atividade 9:
1. Resolver e classificar os sistemas lineares abaixo
quanto ao seu conjunto verdade.
92
82
72
)
zyx
zyx
zyx
a
02
2072
4754
)
zyx
zyx
zyx
b
725
5363
12
)
zyx
zyx
zyx
c
03
0
043
)
zyx
zyx
zyx
d
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Atividade Complementar:
1. Discutir os sistemas:
)ax
mx
my
y4
0
2
m b )
x
kx
x
ky
y
z
z
z
3
3
1
0
0
2. Discutir e resolver o sistema:
x
x
x
y
y
y
3
z
z
z
k
2
5
3. Dadas as matrizes:
A = (a1i) 32x tal que jiaij 32
B= (bij
) 32 tal que ijb =
i
i
3
2
j
j se
se i
i
j
j
140
321C ,
321
502D
a) Calcule 2.AT – 3C
b) Calcule D + B
4 . Dada a matriz A =
0
2
1
3
3
0
1
5
3
9
7
4
6
0
2
1
Apresente:
a ) a diagonal principal.
b ) a diagonal secundária.
c ) tr (A).
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5. Prove que:
6. Prove que a matriz
2
1
2
32
3
2
1
A é ortogonal.
7. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são
usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de
botões por modelos é dado pela tabela:
Camisa
A
Camisa
B
Camisa
C
Botões
p
3 1 3
Botões
G
6 5 5
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos
meses de maio e junho, é dado pela tabela:
Maio Junho
Camisa
A 100 50
Camisa
B 50 100
Camisa
C 50 50
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões
usados em maio e junho.
8. (Faap –SP) Uma montadora produz três modelos de
veículos, A, B e C. Neles podem ser instalados dois tipos
1
101
01
01
011
34 xxx
x
xx
xx
x
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39
de air bags, D e E. A matriz [air bag modelo] mostra a
quantidade de unidades de air bags instaladas:
Numa determinada semana foram produzidas as
seguintes quantidades de veículos, dadas pela matriz
[modelo-quantidade]:
a) 300 b) 200 c) 150 d) 100
e) 0
9. Um dispositivo eletrônico, usado em segurança,
modifica a senha escolhida por um usuário, de acordo
com o procedimento descrito abaixo. A senha escolhida
S1S2S3S4 deve conter quatro dígitos, representados por
S1,S2,S3 e S4. Esses dígitos são então, transformados nos
dígitos M1, M2, M3 e M4 da seguinte forma:
.
Se a senha de um usuário, já modificada, isto é, M1 = 0,
M2 = 1, M3 = 1 e M4 = 0, podemos afirmar que a senha
escolhida pelo usuário foi:
a) 0011 b) 0101 c) 1001 d) 1010
e) 1100
10. (UEL – PR) Uma das formas de se enviar uma
mensagem secreta é por
meio de códigos matemáticos, seguindo os passos:
I. Tanto o destinatário quanto o remetente possuem
uma matriz chave C;
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40
II. O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal
que MC=P, onde M é a matriz mensagem a ser
decodificada;
III. Cada número da matriz M corresponde a uma letra
do alfabeto: 1 = a, 2 = b, 3 = c, ..., 23 = z;
IV. Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as
letras, k, w e y.
V. O número zero corresponde ao ponto de exclamação.
VI. A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo
correspondência número/letra e ordenando as letras por
linhas da matriz conforme segue:
m11m12m13m21m22m23m31m32m33.
Considere as matrizes:
Com base nos conhecimentos e nas informações
descritas, assinale a alternativa que apresenta a
mensagem que foi enviada por meio da matriz M.
a) Boasorte! b) Boaprova! c) Boatarde!
d) Ajudeme! e) Socorro!
Respostas:
1) a)
2.
2...
2..
mIS
mICS
mDCS
4.
1...)
14..
kIS
kICSb
kkDCS
IRtqV
kICS
.,2
7,
2
3
12...)2
3)
4) a) (-3 -1 9 6) b) ( 1 7 0 0 )
c) 11 7) 8) b) 9) c) 10) c)
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41
4. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO
4.1 Função de A em B (Aplicação de A em B).
Definição 47 : Sejam A e B subconjuntos de IR, uma
função de A em B ( BAf : ) é uma lei que associa a todo
elemento de A um único elemento em B.
O diagrama abaixo representa a situação descrita.
O conjunto A = {x1, x2, x3, x4, x5} é chamado conjunto de
partida da função f, ou domínio de f (D(f)).
O conjunto B = {y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7} é chamado
conjunto de chegada da função f, ou contradomínio de f
(CD(f)).
O conjunto Im(f) = {y1, y2, y3, y4, y5}, que é o conjunto
formado pelos elementos do contradomínio que estão
associados aos elementos do domínio pela função f, é
chamado de conjunto imagem de f.
Atividade 10
Verifique qual(is) das relações abaixo é (são) função (ões).
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42
4.1.1 Notação algébrica de uma função.
4.1.2 Graficos.
Definição 48 : Seja f uma função. O gráfico de f é o
conjunto de todos os pontos (x, f(x)) do plano IR2 (Plano
cartesiano),onde:
)( fDx e )Im()( fxf .
Atividade 11
Verifique qual(is) das relações abaixo é(são) função(ões).
Atividade 12
Verifique o domínio de validade das funções abaixo:
1) 82)( xxf 2) 5
3)(
xxg
3) 5
3)(
xxh 4)
1)(
x
xxl
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43
4.1.3 Continuidade de uma função.
Uma função f em um intervalo [a.b], pode ser contínua
ou descontínua neste intervalo.
Função contínua.
Função descontínua.
1.1.4 Crescimento de uma função.
Definição 49: Uma função f é crescente sobre um certo
intervalo aberto I, se :
2121 )( xfxfxx ou 0)(0 1212 xfxfxx
)Im(),()(, 2121 fxfxfefDxx
Definição 50: Uma função f é decrescente sobre um certo
intervalo aberto I, se :
2121 )( xfxfxx ou 0)(0 1212 xfxfxx
)Im(),()(, 2121 fxfxfefDxx
Definição 51: Uma função f é constante sobre um certo
intervalo aberto I, se :
2121 )( xfxfxx ou 0)(0 1212 xfxfxx
)Im(),()(, 2121 fxfxfefDxx
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44
Exemplo
] a, b [ - f é decrescente
] b, c [ - f é crescente
] c, d [ - f é constante
4.1.5 Paridade de uma função.
Definição 52: Dizemos que uma função f(x) é par se, para
todo )( fDx , temos:
)()( xfxf
Exemplo
)()()()( 222 xfxxxfxxf
Definição 53 : Dizemos que uma função f(x) é impar se,
para todo )( fDx , temos:
)()( xfxf
Exemplo
)()()()( 333 xfxxxfxxf
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45
4.1.6 Funções periódicas.
Definição 54:Dizemos que uma função f(x) é periódica se
existe um número real 0T , tal que )()( xfTxf para
todo )( fDx .
Onde T é chamado de período da função f(x). O gráfico
de uma função periódica se repete a cada intervalo de
comprimento | T |.
Período | T |= 2
4.1.7 Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora.
Definição 55 : Uma função BAf : é dita Sobrejetora
se, e somente se, para todo By , existe um elemento
Ax , tal que )(xfy , ou seja, se, e somente se,
Bf )Im( .
Definição 56: Uma função BAf : é dita injetora se, e
somente se, dois elementos distintos de A têm imagens
distintas em B, ou seja, )()(;, 212121 xfxfxxAxx .
Definição 57 : Uma função BAf : é dita bijetora se, e
somente se, é Sobrejetora e injetora.
4.1.8 Função Inversa.
Definição 58: Seja )(xfy uma função BAf : . Se,
para cada By , existir exatamente um valor Ax tal que
)(xfy , então podemos definir a função ABg : tal que
)(ygx . A função g definida desta maneira é chamada
função inversa de f e denotada por f-1.
Observação 1 : Uma função BAf : admite inversa se,
e somente se, esta função f é bijetora.
Exemplo
A função IRIRf : dada por 3)( xxf tem inversa
IRIRg : dada por 3)( xxg .
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46
Prova: 31333)( xyyxxyxxf
4.1.9 Função composta – Composição de funções.
Definição 59: Dadas duas funções f e g, a função
composta de g com f, denotada gof, é definida por:
))(())(( xfgxfgo
O domínio de gof, é o conjunto de todos os pontos x no
domínio de f tais que f(x) esta no domínio de g.
Simbolicamente, temos: )()(/)()( gxffDxfgD o
O diagrama abaixo ilustra esta situação.
De maneira análoga, define-se:
i) ))(())(( xgfxgfo
ii) ))(())(( xffxffo
iii) ))(())(( xggxggo
Atividade 13
Sejam as funções: IRf ),0[: xxf )( e IRIRf :
32)( xxg .
1) Encontre gof, fog, fof e gog.
2) Encontre a inversa da função g(x).
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47
4.2 Função polinomial.
Definição 60: Uma função IRIRf : é dita polinomial se
é representada por nn
nn axaxaxaxf
1
1
10 ...)( , onde
)0(,,...,, 0110 aaaaa nn , são números reais chamados de
coeficientes e Zn , determina o grau da função.
4.2.1 Funções polinomiais básicas.
i) Função Constante: É uma função polinomial de grau
zero, ou seja, kxf )( .
ii) Função polinomial do primeiro grau: É uma função
do tipo )0()( abaxxf .
Observação 2 : Uma função polinomial do primeiro grau
do tipo )0()( abaxxf é chamada de função Afim.
Uma função polinomial do primeiro grau do tipo
)0()( aaxxf é chamada de função linear.
Uma função polinomial do primeiro grau do tipo
)0()( axxf é chamada de função identidade.
iii) Função Polinomial do segundo grau (Função
Quadrática): É uma função do tipo
)0()( 2 acbxaxxf
4.2.2 Função Racional.
Definição 61: É uma função definida como o quociente de
duas funções polinomiais, isto é, )0()(
)()( xq
xq
xpxf ,
onde p(x) e q(x) são polinômios.
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48
Atividade 14
1) Dada a função É 7
13)(
x
xxf , obtenha o valor de
7
)5(.3)0(2)1(5 fff
2) Um grupo de amigos trabalham no período de férias
vendendo salgadinhos nas praias. O aluguel do trailer e
todos os equipamentos necessários para a produção são
alugados pelo valor de R$ 1.300,00 por mês. O custo do
material de cada salgadinho é R$ 1,20 .
a) Expressar o custo total como uma função do número
de salgadinhos fabricados.
b) Construir um gráfico desta função obtida no item
anterior, e fazer toda a análise matemática desta função.
c) Sabendo que cada salgadinho é vendido no valor de R$
2,50, expresse a função matemática que representa o
lucro deste grupo de amigos. (L(x) = V(x) – C(x))
d) Esboçar o gráfico que representa a função L(X) do item
anterior.
e) Qual a quantidade mínima de salgados a serem
vendidos para que os amigos não levem prejuízos?
b) Qual será o lucro obtido em uma venda mensal de
5.000 salgadinhos?
3) Uma indústria comercializa um certo produto e tem
uma função custo total dada por 70020)( 2 uuxC , se
u o número de unidades produzidas. A função receita
total é dada por . Determine:
a) A função lucro desta empresa (L(x) = R(x) – C(x)).
b) O gráfico da função L(x) obtida no exercício anterior,
fazer toda a análise matemática da função.
c) o lucro para a venda de 100 unidades.
d) Qual o lucro máximo desta empresa?
e) Quantas unidades u devem ser vendidas para que o
lucro seja máximo?
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49
5. A DERIVADA.
5.1 - Introdução ao estudo da Derivada: Introdução
histórica.
O final do século XVII viu o surgimento de uma
conquista matemática formidável: O Cálculo Diferencial.
Descoberto independentemente pelos contemporâneos
Sir. Isaac Newton (1642 – 1727) e Gottfried Leibniz
(1642 - 1716, tornou-se base para o desenvolvimento de
várias áreas da Matemática, além de possuir aplicações
em praticamente todas as áreas do conhecimento
científico.
5.2 A Derivada – Definição.
Definição 62 - Derivada: A derivada de uma função
)(xfy , definida em um intervalo aberto I em um ponto
Ix 0 é dada por
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
,
caso o limite exista.
Existindo o limite acima, a função f é dita
derivável em 0x .
Definição 63 – Função derivada: Seja f uma função
definida em um intervalo aberto I. Se f é derivável para
todo ponto de seu domínio, dizemos que a função
IRIf : , que associa a cada Ix o valor )(xf é uma
função derivada de f.
Notação:
i) )(xfy (notação de Newton) ;
ii) dx
dy(notação de Leibniz);
Ambas representam a derivada da função f em relação a
x.
5.2.1 Interpretação geométrica da Derivada.
Dada a função f, definida em um intervalo aberto I,
sendo f derivável para todo ponto de seu domínio. Dado
ainda um ponto xo e sua imagem )( 0xf , se realizarmos
um acréscimo muito pequeno em Ix 0 , por exemplo
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50
Ihx )( 0 , obtemos a imagem )( 0 hxf , o gráfico abaixo
ilustra esta situação.
Pela definição de tangente, temos
)()()(
lim 00
0o
hxf
h
xfhxftg
.
Exemplo: Utilizando a definição de derivada, calcule a
derivada da função 2)(,: xxfIRIRf , no ponto (3,0).
Resolução:
h
xhxxf
h
xfhxfxf
hh
22
00
)(lim)(
)()(lim)(
xhxh
xh
h
xhxhx
hhh22lim
)42.(lim
2lim
00
222
0
63.2)3(2)( fxxf
Proposição 1 - Derivada da função constante.
Seja kxfIRIRf )(,: , uma função constante, a
sua derivada )(xf é nula, ou seja, 0)( xf .
Prova: Seja a função kxf )( , então pela definição de
derivada, segue:
h
kkxf
h
xfhxfxf
hh 00lim)(
)()(lim)(
00lim0
lim00
hh h
Proposição 2 – Derivada da função afim.
Seja 0)(,: abaxxfIRIRf uma função
afim, então axf )(
Prova: Seja a função baxxf )( , então pela definição
de derivada, segue:
h
baxbhxaxf
h
xfhxfxf
hh
)(]).([lim)(
)()(lim)(
00
aah
ah
h
baxbahxa
hohh
00limlim
.lim
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51
Proposição 3 – Derivada da função potência.
Seja )()(,: IRnxxfIRIRf n , uma função
potência, então 1.)( nxnxf .
Prova: Seja a função nxxf )( , então pela definição de
derivada, segue:
h
xhxxf
h
xfhxfxf
nn
hh
)(lim)(
)()(lim)(
00
Expandindo Seja nhx )( ,pelo binômio de Newton, temos:
h
xhnxhhxnn
hxnx
xf
nnnnnn
h
).....!2
)!1(..(
lim)(
1221
0
h
hnxhhxnn
xnh nnnn
h
).....!2
)!1(.(
lim
1221
0
11221
0.......
!2
)!1(lim
nnnnn
hxnhhnxhx
nnnx
Proposição 4 – Derivada da soma.
Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, e s(x) uma
função definida por )()()( xgxfxs então, a derivada da
função s(x) é
)()()( xgxfxs .
Proposição 5 – Derivada do produto.
Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, e p(x) uma
função definida por )().()( xgxfxp então, a derivada da
função d P(x) é
)().()().()( xfxgxgxfxp .
Proposição 6 – Derivada do quociente.
Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, e q(x) uma
função definida por )(
)()(
xf
xfxq então, a derivada da
função d q(x) é
2)(
)().()().()(
xg
xgxfxgxfxq
.
As provas das proposições 4,5 e 6 foram omitidas,
mas no livro cálculo A (6ª. Edição), nas páginas 135 e
136, as mesmas são apresentadas.
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Atividade 15
Calcule as derivadas das seguintes funções:
1. 43)( xxf 2. 1352)( 23 ttttf
3. 4
5
)(
rrf 4. xy 5. )1).(3()( 2 uxuf
6. 2
2)(
n
nnf 7. 3 2xy 8. 54)( xxf
9. xxf 5)( 10. x
xy
5.3 Taxa de variação instantânea: A derivada
Definição 64 – Taxa de variação média: seja f(x) uma
função, a taxa de variação média para esta função é
definida por
x
yTVM
Exemplos.
1. Suponhamos que um automóvel popular custe R$
25.000, 00 no final de dezembro, agora, no final de junho,
está custando R$ 28.000,00. Qual a taxa de
variação média deste automóvel?
5006
000.3
06
000.25000.28
)()(
)()(
dezembrotjunhot
dezembrovalorjunhovalorTVM
Ou seja, a TVM é de 500 reais/mês.
Assim, a função 000.25500)( ttfC represente o custo
mensal a cada mês deste automóvel.
Definição 65 – Taxa de variação instantânea
(A Derivada):
Define-se a taxa de variação instantânea como sendo o
limite da TVM quando 0x , ou seja
x
xfxxf
x
yTVI
xx
)()(limlim
00
Exemplo: Consideremos como exemplo a função y = x2, x
= 1, 2,0x e faremos 0x pela sequência 0,2; 0,1;
0,05; 0;025;0,001; etc
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f(x) = x2, x = 1
x x +
x
2)()( xxxxf
1)( 2 xxy
x
y
0,2 1,2 1,44 0,44 2,2
0,1 1, 1,21 0,21 2,1
0,05 1,05 1,1025 0,1025 2,05
0,025 1,025 1,050625 0,050625 2,025
0,00
1
1,001 1,002001 0,002001 2,001
0,000
1
1,000
1
1,00020001 0,00020001 2,0001
Podemos notar que, a medida que 0x , a razão
incremental 2
x
y, isto quer dizer que a taxa de
variação instantânea (ou a derivada) da função y = x2,
quando x = 1 é 2.
5.4 Derivada da Função Composta – Regra da Cadeia.
Consideremos inicialmente duas funções
deriváveis f e g onde y = g(u) e u = f (x). Para todo x tal
que f(x) esta no domínio da g, podemos escrever y = g(u)
= g[f(x)], isto é, podemos considerar a função composta
(gof)(x).
Teorema 1: Se y = g(u) e u = f(x) e as derivadas dy/dx e
du/dx existam, então a função composta y = g[f(x)] tem
derivada que é dada por
dx
du
du
dy
dx
dy. ou ).().()( xfugxy
A prova deste teorema pode ser encontrada no livro
Cálculo A (6ª.edição) pag139 a 140.
Exemplo: Calcular a derivada da função
723 352)( tttf .
Resolução: )352.(]352[)( 23723 tttttf
)02.53.2.(]352.7)( 12131723 tttttf
6232 352).106.(7)( tttttf
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Atividade 16
1) Encontre as derivas da funções abaixo:
a) 23 2)( xxxf b) 3.5)( 2 ttf
c) 3
38 1)42(
xxxy d)
3 2 276)( xxxf
2) Uma cidade X é atingida por uma epidemia. Os setores
de saúde calculam que o número de pessoas atingidas
pela epidemia depois de um tempo t (medido em dias a
partir do primeiro dia da epidemia) é aproximadamente,
dado por:
364)(
3tttf
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t =
4?
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t =
8?
c) quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º
dia?
3) A demanda D de um certo produto está relacionada
com seu peço p pela relação 1
5
pD . Determine a
taxa instantânea, a qual a demanda está variando em
relação ao preço, quando p = R$ 3,50.
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6. INTEGRAL
6.1 Integral Indefinida (Primitiva ou anti-derivada)
Introdução:
O processo conhecido como integração, pode ser
entendido como a operação inversa da derivação, ou seja
o cálculo de uma integral é um processo de anti-derivada.
Definição 66 - (Primitiva de uma função):
Seja IRIf : uma função contínua, definida no intervalo
aberto I, então, existe uma função, chamada de primitiva
de f. Isto é, existe uma função derivável IRIF : tal que,
se Ix ,
)()(' xfxF
Proposição 7: Seja F(x) uma primitiva de f(x) . Então, se k
é uma constante qualquer, a função G(X) = F(x) + c também
tem primitiva f(x).
Prova: Como F(x) é primitiva de f(x), pela definição temos
que F’(x) = f(x), Assim:
G’(x)=(F(x)+c)’ = F’(x)+c’=F’(x) + 0 = F’(x),
O que prova que G(x) é primitiva de f(x).
Exemplos:
1) A primitiva de x2 é 3
3x, pois
223
3
3'
3x
xx
.
2) A primitiva de 3 2x é
3 5
5
3x , pois:
3 23
21
3
5
3 5
3
5.
5
3'
5
3xxxx
Atividade 17
1) Encontre uma primitiva para as funções:
a) f(x) = 4x3 b) f(x)= 3
2x c) f(t) =
5 3t
Definição 67 (Integral indefinida): Se F(x) é uma
primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral
indefinida da função f(x) e é denotada por
).()(')()( xfxFcxFdxxf
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Nota: O símbolo dxxf )( , representa uma família de
funções, ou seja, a família de todas as primitivas da
função integrando.
Proposição 8: Sejam IRIf : e k uma constante real,
então:
dxxfkdxxkf )()(
Proposição 9: Sejam IRIgf :, , então:
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
As provas das proposições 8 e 9 foram omitidas,
mas no livro cálculo A (6ª. Edição), na página 242, as
mesmas são apresentadas.
Regras Práticas:
Integral indefinida da função potência:
)1(1
1
ncn
uduu
nn
Integral de du: cudu
Atividade 18
1) calcule as integrais indefinidas a seguir:
a) dxx3 b) dxx )3( 4
c) dttt )1172( 5 d) duu4 3
e) dvvv .3 f)
dx
x
xxx 23 3
2) Derivar as respostas das integrais indefinidas
anteriores para conferir os resultados.
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6.2 Integral e a regra da cadeia – Método de
substituição ou mudança de variável para integração.
Definição 68: Se IRIf : , definida no intervalo aberto
I, é derivável, definimos a diferencial de f como
dxxfdydf )('
Observação 2: A noção de diferencial é adequada para o
processo de integração. Isto é, dada uma diferencial
dxxfdy )( , queremos encontrar as funções primitivas
de )(xFy que realizam essa equação como diferencial
.)(' dxxFdy
Teorema 2: Sejam u = g(x) uma função diferenciável
definida em um intervalo aberto IRJ e IRIRIf :
uma função contínua tais que ).()Im( fDomg Então:
cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()()).((
Onde IRIRIF : é uma primitiva de f.
Demonstração:
Basta calcular a derivada de H(x) = F(g(x)). Realmente,
).()).(()()).(()( xgxgfxgxgFxH
Isto mostra que H’(x) = F(g(x)) é uma primitiva de
f(g(x)).g’(x).
Em outras palavras, sejam f(x) e F(x) duas funções
tais que F´(x) = f(x). Suponhamos uma outra função
também derivável g(x), tal que a imagem de g esteja
contida no domínio da F. Podemos considerar então, a
função composta Fog = F(g(x)); pela regra da cadeia
temos:
)()).(()()).(())(( xgxgfxgxgFxgF
I.
Isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) .g’(x), dai temos
que
cxgFdxxgxgf ))(()()).(( II.
Fazendo u = g(x) , du = g’(x)dx e substituindo em II, vem
cuFduufdxxgxgf )()()()).((
Exemplos:
Resolva as integrais:
1) dxxx 52 )1.( 2) dxxx 1.
Resolução:
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1) Fazendo xdxduxdx
duxu 20212
Voltando na integral original: xdxxI 2)1(2
1 52
Pela regra da Cadeia, temos:
cu
cu
cu
duuI
126.
2
1
152
1
2
1 66155
Voltando em 12 xu
cx
I
12
)1( 62
2) fazendo 11 uxux , dai:
dxdudx
du 01
Voltando na integral original:
duuudxxxI )1(1.
Portanto:
duuuduuuduuuI )(.)1()1( 2
1
2
3
2
1
cuu
cuu
duuduuI
2
3
2
51
2
11
2
3
2
3
2
51
2
11
2
3
2
1
2
3
cuuI 35
3
2
5
2
Voltando em ux 1
cxxI 35 )1(3
2)1(
5
2
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Atividade 19
1) Resolva as integrais abaixo aplicando o método de
substituição ou mudança de variável para integração:
a) dxxx11
3 7. b) dtt
t 21
2 c) 8)53( x
dx
d) dtt
t
1
2 e) dvvv 42 2
2) Aplicação da integral indefinida: A DeWitt Company
descobriu que a taxa de variação de seu custo médio para
um produto é 2
' 100
4
1)(
xxC , onde x é o número de
unidades e o custo esta em dólares. O custo médio para
produzir 20 unidades é $ 40,00.
a) Encontre a função custo médio para o produto.
b) Encontre o custo médio de 100 unidades do produto.
6.3 Integral Definida
Definição 69: Seja f: [a, b] → R uma função definida no
intervalo fechado e limitado [a, b] e seja uma partição
de [a, b]. Para cada i = 1,2,...,n, escolhemos um ponto ci ∈
[xi−1, xi]. Definimos a Soma de Riemann de f, relativa à
partição P e à escolha dos pontos ci por
n
i
ii xcffS1
).(),(
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Definição 70: A integral definida da função f : [a, b] → R
é o limite das suas Somas de Riemann quando as normas
das partições tendem à zero:
),(lim)(0
fSdxxf
b
a
Definição 71: Seja f: [a, b] → R uma função contínua. São
válidas as seguintes afirmações:
i. Seja bac , .Então 0)( dxxfc
c
ii. a
b
b
adxxfdxxf )()(
Teorema 3: Se f é uma função contínua sobre o intervalo
fechado ba, , então f é continua em ba, .
Observação 3: A demonstração deste teorema será
ocultada, devido a não necessidade ao curso.
Proposição 10: Seja f: I → R uma função contínua
definida em intervalo I. Se a, b e c ∈ I, então
dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a )()()(
Observação 4: A prova desta proposição pode ser
encontrada no livro Cálculo A (Diva Marília Flemming) , 6ª.
Edição pagina 262.
Proposição 11: Sejam f,g: [a, b] → R funções contínuas, k
∈ R e uma constante. Então
i. dxxgdxxfdxxgfb
a
b
a
b
a )()())((
ii. b
a
b
adxxfkdxxfk )(.)(.
Observação 4: A prova desta proposição pode ser
encontrada no livro Cálculo A (Diva Marília Flemming) , 6ª.
Edição página 261.
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6.3.1 Interpretação geométrica da integral
I. Se f: [a, b] → R é uma função contínua tal que f(x) ≥ 0,
para todo x ∈ [a, b], então o limite dxxfb
a )( é a área da
região determinada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas
retas verticais x = a e x = b.
II. De maneira geral, se f : [a, b] −→ R é uma função
contínua, então dxxfb
a )( é a soma das áreas orientadas
das regiões determinadas pelo eixo Ox e pelo gráfico de f,
entre as retas verticais x = a e x = b. Isto é, as regiões que
ficam abaixo do eixo Ox contribuem com os valores
negativos de suas áreas enquanto que as regiões que
ficam acima do eixo contribuem com os valores positivos
de suas áreas. Veja um exemplo gráfico.
Teorema 4 (Teorema Fundamental do Cálculo):Seja f:
I → R é uma função contínua definida no intervalo aberto
I e seja F: I → R uma primitiva de f. Então, se [a, b] ⊂ I,
)()()( aFbFdxxfb
a
Observação 5: A prova desta proposição pode ser
encontrada no livro Cálculo A (Diva Marília Flemming) , 6ª.
Edição pagina 265 a 267.
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Atividade 20
1) Calcule as integrais definidas a seguir:
a) 3
1dx b)
2
0
2dxx c)
1
0
23 14 dttt
d) 5
112 dvv e)
1
1 3
2
9dx
x
x
2) Encontre a área limitada pela curva y = 4 – x2 e o eixo
ox.
3) Obtenha a área limitada pela função F(t) = t2 e
f(t) = x + 2.
BIBLIOGRAFIAS
STEIBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear.
Iezzi, Gelson e outros , Fundamentos de matemática
elementar – volume 4 e 8.
ETAPA, sistema de ensino – Apostilas.
Flemming, Diva e Gonçalves; Mirian - Cálculo A – – 6ª.
Ed. – Editora Pearson – 2012