Matemática (10).pdf

Manual de Matemática

522

XIPPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprender Matender Matender Matender Matender MateeeeemáticamáticamáticamáticamáticaFFFFFinanceirinanceirinanceirinanceirinanceira?a?a?a?a?

Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentos sobros sobros sobros sobros sobreeeeeMatMatMatMatMateeeeemática Fmática Fmática Fmática Fmática Financeirinanceirinanceirinanceirinanceira?a?a?a?a?

O mundo atual está diretamente ligado à economiade mercado.

Para compreendermos, entre outras coisas, osfenômenos ligados à economia mundial na qualestamos inseridos é necessário o conhecimento daMatemática Financeira.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Toda vez que você necessitar decidir sobre tipos deaplicações financeiras, fazer empréstimo, compraralgo a prazo etc. De forma direta ou indireta, vocêestará utilizando conceitos básicos da MatemáticaComercial e Financeira.

– MATEMÁTICA FINANCEIRA


523

Capítulo 1

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Razão

Razão vem do latim ratio e nos dá idéia de relação.

O matemático grego Euclides criou o conceito de razão, postulando que“razão é uma relação de tamanho entre grandezas da mesma espécie”.

Existem razões especiais que são utilizadas no cotidiano, tais como densi-dade de um corpo, densidade demográfica, velocidade média e escala.

Razão entre dois números racionais a e b, com b ≠ 0, é o quociente entre

esses números. Indicamos a razão entre a e b por ab

ou a:b.

Exemplos:

1) A razão entre 30 e 60 é 30 160 2

= ; já a razão entre 60 e 30 é 60

230

= .

2) Numa classe há 25 rapazes e 35 moças. Encontre a razão entre:

a) o número de rapazes e o número de moças.

25 535 7

=

b) o número de moças e o número de alunos da classe.

35 760 12

=

3) De acordo com as figuras, determine:

a) a razão entre os perímetros dos quadrados A e B.


524

Solução:

16 428 7

= é a razão dos perímetros dos quadrados A e B.

b) a razão entre as áreas dos quadrados A e B.

Solução:

Calculando a área dos quadrados:

A�

= l 2 B�

= l 2

A�

= 16 cm2 B�

= 49 cm2

1649

é a razão das áreas dos quadrados A e B.

Proporção

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

A proporção 3 64 8

= é lida da seguinte forma: “três está para quatro, assim

como seis está para oito”.

Podemos representar uma proporção por:

a c= ou a : b=c : d

b d

Em que a e d são chamados extremos da proporção e b e a são chamadosmeios.


525

COMO A PROPORÇÃO É UTILIZADA NA GEOGRAFIA?É por meio de mapas e escalas que a aviação e a navegação

planejam rotas de viagem, calculam distâncias e tempo de percurso.

Propriedade Fundamental das Proporções

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.Assim:

As razões 3 64 8

= formam uma proporção, pois:

3 x 8 = 4 x 624 = 24

Exemplos:

1) Calcule o valor de x nas proporções:2 x

a)3 63x 2 6

3x 12

x 4

=

= ⋅==


526

3x 1 6b)

4x 3 55(3x 1) 6(4x 3)

15x 5 24x 18

9x 23

9x 23

23x

9

+ =−+ = −

+ = −− = −

=

=

2) (FAAP) O proprietário de uma área quer dividi-la em três lotes, confor-me indica a figura. Sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas eque a + b +c = 120 m, então os valores de a, b e c em metros são, res-pectivamente:

a) 40, 40 e 40 m

b) 30, 30 e 60 m

c) 36, 64 e 20 m

d) 30, 36 e 54 m

e) 30, 46 e 44 m

Solução:

a b c 120

a b c20 24 36a b c 120 3

20 24 36 80 2a 3 b 3 c 3

20 2 24 2 36 22a 60 2b 72 2c 108

a 30 b 36 c 54

+ + = = =

+ + = =+ +

= = =

= = == = =

Resposta: d


527

Regra de Três Simples

Encontramos no nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas oumais grandezas.

Podemos definir grandeza como tudo aquilo que pode ser medido, contado.

São exemplos de grandezas: volume, massa, comprimento, velocidade etempo.

Os gregos e os romanos conheciam as proporções, porém não chegaram aaplicá-las na resolução de problemas. Somente na Idade Média os árabesmostraram ao mundo a regra de três.

Regra de três simples é o processo prático para resolver problemas queenvolvem duas grandezas diretamente e inversamente proporcionais.

Exemplos:

a) Um carro faz 80 km com 10 l de gasolina.

Quantos litros de gasolina esse carro gastaria para percorrer 300 km?

Solução:

CRESCIMENTO POPULACIONAL X CONSUMO DE ÁGUA

Dois dos grandes problemas que atingem as grandes cidadessão a população e o consumo. Os esgotos domésticos e despejosindustriais determinam a poluição das águas. Com essa poluição,a água não pode ser consumida, afetando nossa saúde.

Na periferia das grandes cidades, o lixo doméstico e os esgotos sanitáriossão lançados diretamente na água.

Vários estudos feitos mostram que o consumo de água aumenta numaproporção de duas vezes o crescimento populacional.


528

As grandezas distância e litros de gasolina são diretamente proporcionais.Indica-se com setas no mesmo sentido.

80 10300 x80x 3000

3000x

80x 37,5

=

=

=

=Serão necessários 37,5 l de gasolina.

b) Uma obra é construída em 30 dias por 6 operários. Em quanto tempoessa obra será construída por 12 operários?

Solução:

As grandezas são inversamente proporcionais. Indica-se com setas em sen-tidos contrários. Geralmente trocamos a razão que apresenta a variável x.Observe:

A obra será construída em 15 dias.

c) No tratamento da água consumida pela população e para diminuir a inci-dência de cáries dentárias, muitos países acrescentam flúor à água que serádistribuída.

A proporção recomendada é de 700 g de flúor para um milhão de litros deágua.

Para saber a quantidade de flúor em cada litro de água podemos utilizar aregra de três. Resolvendo:


529

106 litros 700 g1 litro x g

Para cada litro de água tratada, será necessá-rio 7 · 10–4 g de flúor.

6

6

2

6

4

10 7001 x

10 x 700

7 10x

10x 7 10−

=

=⋅=

= ⋅

Regra de Três Composta

Utilizamos a regra de três composta quando temos mais de duas gran-dezas.

Resolvemos a regra de três composta comparando as grandezas semprecom aquela que tem o valor desconhecido.

Exemplo:

15 homens fazem um certo trabalho em 4 dias, trabalhando 8 horas por dia.Para fazer o mesmo trabalho, quantos dias levarão 8 homens, trabalhando5 horas por dia?

A água traz muitos benefícios à saúde. Ela é simples, eficiente enão tem contra-indicações.

A receita é simples. Tome pelo menos oito copos de água por diae os efeitos aparecem no corpo inteiro.

Perder apenas 20% dos 40 ou 50 litros do volume total de águado corpo pode ser mortal.

A sede pode ser um sinal de desidratação.Por isso tome muita água.


530

Solução:

Porcentagem

Podemos perceber que o símbolo % aparece com freqüência em jornais,revistas, televisão, anúncio de liquidação etc.

Toda fração de denominador 100 representa uma porcentagem.

Exemplos:

1) Escreva como taxa de porcentagem:

15 8 12415% 8% 124%

100 100 100= = =

A Geografia utiliza-se de conhecimentosmatemáticos para estudos populacionais.

A tabela abaixo apresenta dados referentes à mortalidade infantil (1), àporcentagem de famílias de baixa renda com crianças menores de 6 anos (2)e às taxas de analfabetismo (3) das diferentes regiões brasileiras e do Brasilem geral.

O campo da tabela “mortalidade infantil” indica o número de crianças quemorrem antes de completar um ano de idade para cada grupo de 1.000 criançasque nasceram vivas.


531

Agora é a sua vez:

34

=

Para obtermos denominador 100, devemos multiplicar a fração por 25.Assim:

2) Represente por um número decimal:

16 0,2a) 16% 0,16 c) 0,2% 0,002

100 1005 0,05

b) 5% 0,05 d) 0,05% 0,0005100 100

= = = =

= = = =

3) Calcule 20% de 150.

Podemos resolver de forma prática:

20% de 150 = 0,2 · 150 = 30

Ou usando a regra de três:

Valor Taxa %

150 100%

x 20%

100x = 3000

x = x = 30

4) Calcule:

12 representa quantos por cento de 48?


532

Solução:Para determinar a porcentagem, basta dividir12

0,25 25%48

= =

5) 60 representa 6% de qual número?Usando a regra de três:6% 60

100% x

6 60100 x6x 6000 x 1000

=

= ⇒ =

6) Um quadrado tem uma área igual a 16 m2. Se aumentarmos o lado de50%, qual o valor da área desse novo quadrado?

Solução:A área do quadrado é A = l 2 ⇒16 = l 2

l 2 = 16 ⇒ l = 4m

Setenta por cento da superfície da Terra é coberta por água,atingindo um volume de 1,5 milhões de km2.

Noventa e oito por cento dessa água é salgada e imprópria para ouso, a menos que seja dessalinizada. Dois por cento de água doceaparece na forma de gelo, calotas polares e água subterrânea, ficandoapenas 0,44% da água disponível para os seres vivos.

Para isso é necessário economizarmos água. Como?• evitando desperdício;• tratando os esgotos domésticos;• tratando os poluentes líquidos industriais;• fazendo projetos de irrigação;• evitando o consumo exagerado.


533

Usando a regra de três:4 100%x 50%

4 100x 50

100x 200x 2

=

==

O novo lado será 4 + 2 = 6A = 62

A = 36 m2

7) Um sapato é vendido por R$ 20,00. Se o preço fosse aumentado em20%, quanto passaria a custar?

Solução:Aumento: 20% de 20 = 0,20 x 20 = 4,00Novo preço = 20 + 4 = 24,00

Poderíamos resolver o exercício de outra forma simples:20 + 0,20 · 20 = 20 · (1 + 0,20) = 20 · 1,2 = 24,00

Obs.:• Por exemplo, se houvesse um aumento:

de 40%, multiplicaríamos o preço inicial por 1,4.de 6%, multiplicaríamos o preço inicial por 1,06.de 14%, multiplicaríamos o preço inicial por 1,14.

• Por exemplo, se houvesse um desconto:de 40%, multiplicaríamos o preço inicial por 0,6.de 8%, multiplicaríamos o preço inicial por 0,92.de 26%, multiplicaríamos o preço inicial por 0,74.

Outro exemplo:

O valor de uma passagem de ônibus foi majorado de R$ 1,10 para R$ 1,40.Qual foi a taxa percentual aproximada do aumento?

Solução:

Calculando a taxa percentual de aumento, temos:

1,40 – 1,10 = 0,30 (valor do aumento)


534

Podemos dividir o valor do aumento 0,30 por 1,10, obtendo 27% (taxapercentual do aumento) ou dividir o novo preço da passagem, 1,40, pelo preçoantigo, 1,10.

1,40 : 1,10 = 1,27 = 1 + 0,27 = 100% + 27%

Acréscimos Sucessivos

Às vezes o valor de um produto pode sofrer um reajuste de preços paravalores maiores (acréscimos sucessivos).

Chamamos Po o preço inicial e i1, i2, ..., in as taxas percentuais. O preçodesse produto após n reajustes, passará a Pn.

Pn = Po (1+i1) · (1+i2) · ... · (1+in)

Se esses acréscimos apresentarem taxas percentuais iguais, teremos:

Pn = Po . (1+i)n

Exemplos:

1) O preço de uma mercadoria teve quatro aumentos sucessivos de 8%cada. Calcule o valor atual, sabendo que o preço da mercadoria antes dosreajustes era de R$ 15,00.

Solução:

( )

( )

nn o

4

4

44

4

P P 1 i

8P 15 1

100

P 15 1,08

P 20,40

= ⋅ +

= ⋅ + = ⋅=

O valor atual da mercadoria é R$ 20,40.

2) (MACK) O salário de uma determinada categoria teve reajustes no valorde 10% no mês de abril, de 20% no mês de maio e de 30% no mês de junho.O percentual total de aumento recebido nesses três meses foi de:

a) 68,6% c) 600% e) 40%b) 60% d) 71,6%


535

Solução:Como a categoria teve acréscimos sucessivos, cujas taxas foram de 10%,

20% e 30%, usaremos a fórmula:P3 = (1 + 0,10) · (1 + 0,20) · (1 + 0,30)P3 = 1,1 x 1,2 x 1,3P3 = 1,716 (71,6%)Resposta: d

Descontos Sucessivos

Como o preço de um produto pode sofrer acréscimos sucessivos, podetambém ter descontos sucessivos.

Neste caso, aplicaremos a fórmula:

Pn = Po · (1 – i1) · (1 – i2) · ... · (1 – in)

Se o produto sofrer descontos com taxas percentuais iguais, teremos afórmula:

Pn = Po · (1 – i)n

Exemplo:

O preço de uma televisão, que era de R$ 450,00, sofreu três descontossucessivos de 2%, 4% e 7%. Determine o preço atual.

Solução:

P3 = 450 · (1 – 0,02) · (1 – 0,04) · (1 - 0,07)

P3 = 450 · 0,98 · 0,96 · 0,93

P3 = 393,72

O preço atual é de R$ 393,72.

Juros

Em várias situações do nosso cotidiano aparecem juros.

Exemplo:Kátia dispõe de uma importância em dinheiro e deseja aplicá-la em uma

caderneta de poupança. Ao fim de um certo período, ela receberá essa impor-tância acrescida de um valor referente aos juros da aplicação.


536

Os juros podem ser simples, quando não são acrescidos ao capital pararenderem novos juros, ou compostos, quando são acrescidos ao capital, paraem um período seguinte renderem novos juros.

Juros Simples

Podemos aplicar a fórmula para juros simples:

C i tj

1.200⋅ ⋅= em que

C é o capital aplicadot é o tempoi é a taxa percentual

Quando o tempo (t) for dado em meses, aplicaremos a fórmula C i t

j1.200

⋅ ⋅= e

quando for dado em dias, C i t

j36.000

⋅ ⋅= .

Exemplo:

Calcule os juros de um capital de R$ 30.000,00, aplicado à taxa de 36% a.a.em 5 meses.

Solução:C = 30.000,00t = 5 meses

i = 36% ⇒ i = 36 ⇒ j = ? ⇒ ⇒ j = 4.500

Os juros serão de R$ 4.500,00.

Montante

Define-se montante como Capital acrescido de seus juros (j).

M = C + j , em que j =

M = C +

M = C

Devemos fazer as mesmas substituições de 100 para 1.200 ou 36.000 quan-do t for dado em meses ou em dias, respectivamente.


537

Exemplo:Qual o montante que resulta de um investimento de R$ 18.000,00 aplicado

durante 6 meses à taxa de 15% a.a.?Solução:C = R$ 18.000,00 t = 6 meses i = 15% M = ?

100 i tM C

1200+ ⋅ = ⋅

1200 15 6M 18000

120023220000

M1200

M 19.350,00

+ ⋅ =

=

=Juros Compostos

É o regime de capitalização mais utilizado nas transações comerciais.Os juros do 1º período são calculados em função do capital inicial e acresci-

dos a ele formam um novo capital para o cálculo dos juros do 2º período eassim sucessivamente.

Exemplo:

Um capital de R$ 50.000,00 é aplicado, a juros compostos, por um prazo de4 meses, à taxa de 3% ao mês. Calcule o montante obtido no final.

Solução:

Construindo uma tabela, temos:

Obs:No cálculo de juros compostos, o montante M é tal que:

M = C · (1 + i1) · (1 + i2) · ... · (1 + in)

Em que i1, i2, ...in são as taxas referentes aos 1º, 2º, 3º... períodos, respectivamente.

Se i1 = i2 = i3 =...= in , então M = C(1+i)n.


538

Exemplo:Aplicando R$ 5.000,00 a juros compostos, 6% a.m. durante 3 meses, qual

o valor do montante e dos juros adquiridos?

Solução:M = C · (1 + i)n C = 5.000M = 5 000 · (1 + 0,06)3 i = 6% a.m. = 0,06 a.m.M = 5 000 + 1,063 n = 3 mesesM = 5 000 · 1,19 J = ?M = 5 955,08 M = ?

Como M = C + J, temos:J = M – CJ = 5 955,08 – 5.000J = 955,08

EstatísticaFreqüentemente, assistindo à televisão, lendo um jornal ou uma revista,

deparamos com gráficos e tabelas que nos dão muitas informações, comoíndices de inflação, consumo e restituição de água, taxa de desemprego etaxa de mortalidade infantil.

A todas essas informações devemos inicialmente colher dados, em segui-da organizá-los e analisá-los.

Para chegarmos ao resultado desejado, utilizamos a Estatística.Vejamos o exemplo a seguir:


539

No gráfico acima, podemos analisar um dos dados mais importantes para aagricultura de uma região, que é a relação entre os meses do ano (x) e aquantidade de chuva – índice pluviométrico (y).

Com o gráfico podemos escolher a melhor época do ano para o plantio decerta cultura e concluir que:

• O maior índice pluviométrico foi em janeiro.

• O menor índice pluviométrico foi em julho.

• De janeiro a março, o índice decresceu.

• De outubro a dezembro, o índice cresceu.

Portanto, a estação das chuvas é o verão.

Capítulo 2

NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

População

É o conjunto de objetos, de indivíduos ou de ocorrência na observação des-ses grupos.

Exemplos:

• Conjunto de estudantes do ensino fundamental de uma escola.

• Conjunto de pessoas que moram num condomínio fechado.

Amostra

É uma parte dessa população, isto é, um subconjunto do universo estudado.

Freqüência Absoluta

Freqüência absoluta de uma variável é dada pelo número de vezes que essavariável aparece no conjunto considerado.

Freqüência Relativa

É a razão entre a freqüência absoluta e o número total de elementos doconjunto.


540

A freqüência relativa é dada em porcentagem.

Exemplo:

A tabela mostra a distribuição das idades dos jogadores de um time defutebol.

Obtemos a freqüência relativa:4 7

0,13 14% 0,23 24%30 306 2

0,20 20% 0,06 6%30 303 8

0,10 10% 0,26 26%30 30

= ≅ = ≅

= ≅ = ≅

= = ≅ =

Freqüência Absoluta Acumulada

A freqüência absoluta acumulada é obtida adicionando-se a cada freqüên-cia absoluta os valores das freqüências anteriores.

No exemplo dado temos:


541

Gráficos Estatísticos

Podemos representar graficamente a distribuição de freqüências de um le-vantamento estatístico.

É de grande importância a utilização de gráficos e tabelas naestatística. Com eles podemos fazer melhor a interpretação dos dadoscoletados.

Veja alguns exemplos:• pesquisa de opinião;• pesquisa de mercado;• índice de desemprego nas regiões do país etc.


542

As representações gráficas mais utilizadas são:

• Gráfico de Segmentos

• Gráfico de Barras

É o representado pela união dossegmentos.


543

A ESTATÍSTICA APLICADA AOS ESPORTES

Algumas atividades físicas, praticadas por alguns minutos todosos dias, diminuem o risco de doenças ligadas ao sedentarismo.

Veja alguns exemplos:• 30 minutos de caminhada (equivale a andar cerca de 3.200 m);

• 10 a 15 minutos de corrida (equivale a andar cerca de 2.400 m);• 15 minutos subindo escadas.

• Gráfico de Colunas


544

Gráfico de Setores

Exemplo:

Distribuição de Freqüências com DadosAgrupados

Observando-se o salário dos funcionários de uma empresa, foram obtidosos seguintes valores em reais:

800 500 700 400 200

400 800 200 800 200

400 700 400 800 700

500 700 300 900 1000

Com esses dados, construa uma tabela de freqüências absoluta e relativa.Para determinarmos a freqüência absoluta, organizamos os salários em or-

dem crescente.

200 200 200 300 400

400 400 400 500 500

700 700 700 700 800

800 800 800 900 1000

Observamos que o menor salário é de 200 reais e o maior é 1.000 reais.A variação de salários é 1.000 – 200 = 800


545

Esse valor é chamado de amplitude total.Podemos agrupar esses valores em intervalos de classe da seguinte forma:Como o menor salário é de 200 reais e o maior é de 1.000 reais, podemos

agrupá-los em intervalos de amplitude 200, ou seja:

Nesse caso, 200 é o limite inferior e 1.000 é o limite superior da classe.A diferença entre o limite superior e o limite inferior é igual à amplitude.

No intervalo , por exemplo, podemos determinar o pontomédio do intervalo.

+ = =400 600 1000500

2 2Assim, podemos construir uma tabela de freqüência com classes.


546

Histograma de FreqüênciasPodemos utilizar o histograma de freqüências para a distribuição de fre-

qüências com dados agrupados.No exemplo dado, podemos construir o seguinte gráfico:

Polígonos de Freqüências

Pelo histograma, traçamos segmentos de retas consecutivos com extremi-dades nos pontos médios das bases superiores dos retângulos que formam ohistograma, formando um polígono de freqüências.


547

O cálculo da média é freqüente no nossodia-a-dia. É comum determinarmos valorescomo a velocidade média, o salário médio de

uma empresa, a estatura média das pessoas e o consumo médio de gasolina.

Medida de Tendência Central

Chamamos de média, mediana e moda as medidas de posição ou tendên-cia central.

Média aritmética

Média aritmética de um conjunto de números é a soma dos números dividi-da pela quantidade de números do conjunto.

Exemplo:Calcule a média aritmética dos números 4, 5, 6, 8,7.Solução:

a a

4 5 6 8 7 30M M 6

5 5+ + + += = =


548

Média Ponderada

Definimos média ponderada de dois ou mais números o quociente da somados produtos desses números pela soma dos respectivos pesos.

Exemplo:O quadro mostra a avaliação anual de um aluno em Física:

Qual a média anual que o aluno conseguiu?

Solução:

p

p

5 1 6 2 7 2 8 3M

855

M 6,88

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

= =

Podemos utilizar o cálculo da média ponderada quando os valores da variá-vel se apresentam numa distribuição de freqüências absolutas.

Assim:

x Freqüência absoluta

2 5

3 8

8 6

10 4

p

p

2 5 3 8 8 6 10 4M

5 8 6 4122

M 5,323

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=+ + +

= =


549

Para construir um túnel, os operários precisam colocar estacas parasustentação.

Observando o triângulo abaixo, podemos concluir que o comprimentoda estaca é a média geométrica das distâncias entre o ponto de apoioda estaca e as laterais do túnel.

Mediana

Dado um conjunto de números, ordenando seus elementos em ordem cres-cente, a mediana é o elemento que ocupa o termo central.

Exemplo:

16 14 18 20 15 22 19Colocando em ordem crescente:14 15 16 18 19 20 22

↓ termo central (medieval)

Se o conjunto de elementos for par, a mediana será a média aritméticaentre os dois termos centrais.

Exemplo:


550

Moda

Moda é o valor que aparece mais vezes (maior freqüência) em um conjunto.

Exemplos:

a) 3 4 3 2 3 5 6 3 A moda é 3.

b) 2 6 7 2 5 6 8 As modas são 2 e 6.

c) 1 3 5 8 9 Não existe moda.

No exemplo dado, calcule a média aritmética;

Observando a freqüência de cada intervalo e o respectivo ponto médio,obtemos:

Média aritmética:

a

a

a

(4 300) (6 500) (4 700) (6 900)M

201200 3000 2800 5400

M20

M 620

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

+ + +=

=

Medidas de dispersão

Variância

Definimos variância o número real positivo.

( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 nVar x x x x x ... x x= − + − + + − 2


551

O VELHO PAÍS DO FUTURO

Nos últimos 30 anos a população brasileira mudou radicalmente deperfil. O envelhecimento é uma decorrência direta do bem-estar social.Hoje, a maior expectativa de vida no país é a da Região Sul: 70,4 anos. Amenor é a do Nordeste: 64,8 anos. Daqui a 50 anos, o número de velhoscom mais de 60 anos será maior que o de jovens de até 14 anos.

Considerando o mesmo exemplo; temos:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

Var x

4 300 620 6 500 620 4 700 620 6 900 62020

4 102 400 6 14 400 4 6400 6 78400Var x

20Var x 49600

=

⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅=

=

Desvio-Padrão

O desvio-padrão é uma medida de dispersão calculada pela raiz da variância.

( )DP x Var=

No exemplo dado, temos: ( )( )

DP x 49600

DP x 222,71

=

=

Revista Superinteressante, abr. 1999.


552

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Matemática Financeira

1) Calcule a velocidade média de uma moto que fez o percurso de 240 kmem 4 horas.

2) (UNIFOR–CE) Se a razão entre dois números é 35

, a razão entre o quíntuplo

do primeiro e a terça parte do segundo é igual à:

a)19

b) 13

c) 1 d) 3 e) 9

3) Numa prova de matemática, um aluno acertou 30 questões e errou 20.Qual a razão entre o número de acertos e o número de questões?

4) (FESP–SP) A solução do sistema x y z 30x y z7 3 5

+ + = = =

é:

a) x = 6, y = 14 e z = 10 d) x = 4, y = 5 e z = 21

b) x = 14, y = 6 e z = 10 e) x = 5, y = 4 e z = 21

c) x = 8, y = 5 e z = 4

5) (UF–BA) Na proporção

12 3 x2

45 13

− ⋅=

+, o valor de x é:

9 7 1 1a) b) c) d)

5 30 10 10−

6) (Cesgranrio) Se 1 1 1a b c

+ = , com 1 1

a e b2 3

= = , então c vale:

5 5 1 2a) b) c) d)

2 6 5 5


553

7) (VUNESP–SP) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certoprojeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 diaspara realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado:

a) 2 horas a menos por dia. c) 3 horas a menos por dia.b) 2 horas a mais por dia. d) 3 horas a mais por dia.

8) (FGV) De acordo com especialistas, a dificuldade de tradução do inglêspara o português está para a dificuldade de tradução do francês para o portu-guês assim como 4 está para três. Um tradutor (que se comporta segundoessa regra) traduz 8 páginas de um texto em inglês em 7 horas. Quanto tempo(aproximadamente) gastará para traduzir 20 páginas de um texto em francês?

Obs.:A paginação é a mesma nos dois livros.

a) 9 horas b) 5 horas c) 13 horas d) 17 horas e) 23 horas

9) (FGV) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempodevido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$ 10.000,00 e que daqui a5 anos valerá R$ 1.000,00, seu valor daqui a três anos será:

a) R$ 5.400,00 d) R$ 4.600,00b) R$ 5.000,00 e) R$ 3.200,00c) R$ 4.800,00

10) O preço inicial de um certo produto é R$ 30,00. Então, se ele sofrer:a) um aumento de 20%, isto é, , que é R$ , o

preço final será de R$ , que é equivalente ao preço inicial multiplicadopor .

b) dois aumentos sucessivos de 20% e 35%, basta multiplicarmos o pre-ço inicial por para obtermos o preço final deR$ , que corresponde a um único aumento de %,que é R$ .

c) dois descontos sucessivos de 20% e 20%, basta multiplicarmos o pre-ço inicial por para obtermos o preço final deR$ , que corresponde a um único desconto de

%, que é .


554

Obs.:Nos exercícios 11, 12 e 13 trabalharemos com operações comerciais como compra e vendade mercadorias obtendo lucro ou prejuízo. Observe as fórmulas:

11) Calcule o preço de custo de uma televisão que foi vendida por R$ 800,00com um lucro equivalente a 40% do preço de custo.

12) Vendi um microcomputador por R$ 2.000,00, o que significou um prejuízode 15% em relação ao preço que paguei por ele. Qual foi o preço de compra?

13) Um terreno foi vendido por R$ 6.000,00, com R$ 1.200,00 de prejuízosobre o valor de custo.

Qual o valor de custo e a taxa percentual de prejuízo sobre o preço de venda?

Obs.:A taxa percentual de desconto em relação ao valor de venda é dada pela razão entre odesconto e o valor de venda:

Di 100%

V= ⋅

A taxa percentual de desconto, em relação ao valor de custo, é dada pela razão entre odesconto e o valor de custo:

Di 100%

C= ⋅

14) (FATEC-SP) Desejo comprar uma televisão à vista, mas a quantia Q quepossuo corresponde a 80% do preço P do aparelho. O vendedor ofereceu-meum abatimento de 5% no preço, mas, mesmo assim, faltam R$ 84,00 pararealizar a compra. Os valores de P e Q são, respectivamente:

a) R$ 520,00; R$ 410,00. d) R$ 550,00; R$ 438,50.b) R$ 530,00; R$ 419,50. e) R$ 560,00; R$ 448,00.c) R$ 540,00; R$ 429,00.


555

15) (CEFET-MG) Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina.A porcentagem de gasolina na mistura é igual a:

a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50%

16) (VUNESP) As promoções do tipo “leve 3, pague 2”, comuns no comér-cio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida, de:

50 100a) % b) 20% c) 25% d) 30% e) %

3 3

17) (FAFI-MG) Um investidor possui R$ 80.000,00. Ele aplica 30% dessedinheiro em um investimento que rende juros simples a uma taxa de 3% a.m.,durante 2 meses, e aplica o restante em outro investimento que rende 2%a.m., durante 2 meses também. Ao fim desse período, esse investidor possui:

a) R$ 83.680,00 c) R$ 84.320,00 e) R$ 88.000,00

b) R$ 84.000,00 d) R$ 84.400,00

18) (UF-RS) Um capital, aplicado a juros simples, triplicará em 5 anos se ataxa anual for de:

a) 30% b) 40% c) 50% d) 75% e) 100%

19) (UF-MG) A quantia de R$ 15.000,00 é emprestada a uma taxa de jurosde 20% ao mês. Aplicando-se juros compostos, o valor que deverá ser pagopara quitação da dívida, 3 meses depois, será:

a) R$ 24.000,00 c) R$ 40.920,00 e) R$ 48.000,00

b) R$ 25.920,00 d) R$ 42.000,00

20) (ESCCAI) Sendo R$ 7.860,00 o valor atual de um título, descontado àtaxa de 6% a.a., 105 dias antes de seu vencimento, qual o seu valor nominal?

a) R$ 8.000,00 c) R$ 9.000,00 e) R$ 16.540,00

b) R$ 8.490,00 d) R$ 12.810,00

21) Nos últimos seis anos uma certa indústria fez três reajustamentos de30% cada um nos preços dos seus produtos. Isso totaliza um aumento sobreos preços de seis anos atrás de aproximadamente:

a) 40% b) 120% c) 30% d) 90% e) 300%


556

22) (FAAP) Do preço de venda de um produto, um comerciante paga 20%de imposto. Do restante, 70% correspondem ao custo do produto e 30% aolucro. Se o produto custou R$ 33.600,00, então o preço de venda foi:

a) R$ 40.786,20 c) R$ 49.800,00 e) R$ 40.068,96b) R$ 51.224,20 d) R$ 60.000,00

23) (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de vendade seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Po-rém ele prepara a tabela dos preços de venda acrescentando 80% ao preçode custo, porque ele sabe que o cliente gosta de obter desconto no momen-to da compra.

Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço detabela, de modo a não ter prejuízo?

a) 10% b) 15% c) 20% d) 5% e) 36%

24) (FUVEST) Um certo tipo de aplicação duplica o capital em dois meses.

a) Qual a taxa mensal de juros?

b) Em quantos meses a aplicação renderá 700% de juros?

25) (UNICAMP) Suponha que todos os preços venham subindo 30% aomês nos últimos meses e continuem assim nos próximos meses. Calcule:

a) quanto custará, daqui a 60 dias, um objeto que hoje custa R$ 27.300,00?b) quanto custava esse mesmo objeto há um mês?

26) (PUC) Uma solução tem 75% de ácido puro. Quantos gramas de ácidopuro devemos adicionar a 48 gramas de solução para que a nova soluçãocontenha 76% de ácido puro?

27) (VUNESP) Durante um certo período de tempo em que a inflação foide 500%, o preço de certo modelo de automóvel subiu 700%, passando acustar R$ 40.000,00. Quanto custaria esse modelo ao fim do período consi-derado, se os aumentos de preço tivessem se limitado a acompanhar ainflação?

Estatística

28) (FUVEST) Calcule a média aritmética dos números 3 13 1

, e5 4 2

.


557

29) (PUC) A média aritmética dos números positivos a, b e c é quanto porcento de sua soma?

1a) 33 % c) 3% e) depende dos valores de a, b e c.

31

b) 30% d) %3

30) (FGV) A tabela a seguir apresenta a distribuição de salários de trabalha-dores de uma cidade.

Se todos passarem a ter o mesmo salário (mantendo o total de saláriosdado pela tabela), cada pessoa receberá:

a) R$ 3.000,00 c) R$ 1.600,00 e) R$ 1.119,10b) R$ 2.000,00 d) R$ 1.200,00

31) (FAAP) A biblioteca da FAAP comprou x livros ao preço unitário deR$ 28,00 e y livros ao preço unitário de R$ 22,00. O preço médio por livro é:

a) (50xy) · (28x + 22y) c) (28x + 22y) / 50 e) (28x + 22y) / (xy)

b) (50xy) · (x + y) d) (28x + 22y) / (x + y)

32) (FGV) Em uma classe com 20 rapazes e 30 moças, foi realizada umaprova. A média dos rapazes foi 8 e a das moças 7. A média da classe foi:

a) 7,5 b) 7,4 c) 7,6 d) 7,55 e) 7,45

33) (ESPM) O salário médio de quatro pessoas (a, b, c, d) é R$ 108.000,00.Se incluirmos uma quinta pessoa que ganha um salário de R$ 88.000,00, qualserá a nova média salarial?

a) R$ 77.000,00 c) R$ 104.000,00 e) R$ 98.000,00

b) R$ 130.000,00 d) R$ 108.000,00


558

34) (FUVEST) A tabela a seguir mostra a temperatura das águas do OceanoAtlântico (ao nível do Equador) em função da profundidade:

PPPPProfundidaderofundidaderofundidaderofundidaderofundidade SuperfícieSuperfícieSuperfícieSuperfícieSuperfície 100 m100 m100 m100 m100 m 500 m500 m500 m500 m500 m 1.000 m1.000 m1.000 m1.000 m1.000 m 3.000 m3.000 m3.000 m3.000 m3.000 m

Temperatura 27º C 21º C 7º C 4º C 2,8º C

Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear en-tre cada duas das medições feitas para a profundidade, à temperatura previs-ta para profundidade de 400 (em °C) é de:

a) 16 ° b) 14 ° c) 12,5 ° d) 10,5 ° e) 8 °

35) (FGV) Dois atiradores x e y obtiveram, numa série de 20 tiros num alvoda forma indicada na figura, os seguintes resultados:

a) Qual é a média dos pontos por tiro de cada um dos atiradores?b) Compare os desvios-padrão de cada uma das séries de tiros e decida

qual é o atirador com o desempenho mais regular.

36) (ENEM/98) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveisde audiência de alguns canais de televisão, entre 20 e 21 horas, durante umadeterminada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico debarras acima:


559

a) O número de residências atingidas nessa pesquisa foi aproximadamente de:a) 100 b) 135 c) 150 d) 200 e) 220b) A porcentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à TV B

é aproximadamente igual a:a) 15% b) 20% c) 22% d) 27% e) 30%

Respostas

1) 60km/h 2) e 3) 35

4) b 5) b

6) c 7) a 8) c 9) d

10) a) 0,20 x 30; 6,00; R$36,00; 30 . (1 + 0,20)b) 30 . (1 + 0,20) . (1 + 0,35); 48,60; 62%, R$18,60c) 30 . (1 – 0,20) . (1 – 0,20); R$19,20, 36%; R$10,80

11) R$ 571,42 12) R$ 2.352,94 13) C = 7.200,00i = 20%

14) e 15) d 16) e 17) a 18) b

19) b 20) a 21) b 22) d 23) c

24) a) 41% b) 6 meses

25) a) R$ 46.137,00 b) R$ 21.000,00

26) 2 g de ácido puro. 27) R$ 30.000,00

28)2920

29) a 30) c 31) d

32) b 33) c 34) d

35) a) = 26 e =26 Como DPx < DPy, o desempenhob) DPx = 14,46 e DPy = 17,58 do atirador x é mais regular do que

o do atirador y.

36) a) d b) a

Sites para Pesquisa

www.somatematica.com.brwww.cursoanglo.com.br/mmate.htmwww.impa.brwww.sercomtel.com.br/matematicawww.exatas.hpg.ig.com.brwww.matematica.com.brwww.10emtudo.com.brwww.matematica.com.brwww.profcardy.comwww.reniza.com/matematicawww.terra.com.br/matematica/index.htm

Referências Bibliográficas

BARRETO FILHO, Benigno. XAVIER, Cláudio. Matemática Aula por Aula.São Paulo: FTD, 1998. Vol. 1, 2 e 3.

BELLOTO FILHO, Antônio. GENTIL, Nelson. GRECO, Antônio Carlos. GRECO,Sérgio Emílio. SANTOS, Carlos Alberto Marcondes dos. Matemática parao 2º Grau. São Paulo: Editora Ática, 1998.

BONGIOVANNI. LAUREANO; VISSOTO. Matemática e Vida. São Paulo: Edito-ra Ática, 1993.

BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI, José Ruy. Matemática 2º Grau. SãoPaulo: FTD, 1992.

FERNANDES, Valter dos Santos; SILVA, Jorge Daniel. Matemática. SãoPaulo: IBEP.

FERNANDES, Vicente Paz; SOARES, Elisabeth; YOUSSEF, Antônio. Matemáti-ca para o 2º grau (Curso Completo). São Paulo: Editora Scipione, 1998.

KIYUKAWA, Rokusaburo; SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Matemática. SãoPaulo: Editora Saraiva, 1998.

Matemática (10).pdf

Documents

Transcript of Matemática (10).pdf