QUADRILÁTEROS

São polígonos de quatro lados. Podemos classificar um quadrilátero em dois tipos: paralelogramo e trapézio.

Veremos, a seguir, cada um desses grupos com suas características.

Paralelogramos

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

D

A B

C

M

Propriedades gerais dos paralelogramos:

▪ Os lados opostos são congruentes. ▪ Cada diagonal o divide em dois triângulos. ▪ Os ângulos opostos são congruentes. ▪ As diagonais cortam-se mutuamente ao meio. ▪ Os ângulos consecutivos são suplementares.

Tipos especiais de Paralelogramos:

Retângulos: têm os ângulos retos.Propriedade Característica: diagonais congruentes e ângulos inter-nos retos

Losango: tem os lados congruentes.Propriedade característica: diagonais perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos.

Quadrado: tem os lados e os ângulos congruentes.

Propriedades Características: diagonais congruentes, perpen-diculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos.

D C

BA

D

l

l l

l

C

B

A

D C

BA

Exemplo:

No retângulo a seguir, o valor, em graus, de α + β é:

α

40°

180° - α

180° - ß

ß

Resolução: Sabendo que a soma dos ângulos internos do quadrilátero é 360°, temos:

40° + 180° - α+ 90°+ 180° - β = 360°- α - β = 360° - 180° - 90° - 180° - 40°- α - β = - 130° • (-1) α + β = - 130°

TraPézios

Trapézio é o quadrilátero que possui somente dois lados paralelos, que constituem as suas bases. Sua altura (h) é a distância entre as bases.

Em qualquer trapézio, os ângulos vizinhos a um dos lados não paralelos são suplementares.

D

A B

C

A + D = 180°^ ^

h

Tipos especiais de trapézio:

Trapézio Escaleno: tem os lados não paralelos diferentes.

D

A B

C

Trapézio Retângulo: tem dois ângulos retos.

D

A B

C

Trapézio Isósceles: tem os lados não paralelos congruentes

Propriedades características:- as diagonais são congruentes- os ângulos vizinhos à mesma base são congruentes.

D

A B

C

1

Matemática 4

TesTes

Em qualquer trapézio o segmento que une os pontos médios dos lados não-paralelos, é chamado de base média, e sua medida pode ser calculada pela relação:

MN = AB + CD2

PQ = AB - CD2

D

M NP Q

A B

C

Exemplo: Seja ABCD um trapézio retângulo. O ângulo formado pelas bissetrizes do seu ângulo reto e do ângulo consecutivo da base maior mede 92°. Os ângulos agudo e obtuso desse trapézio medem:

Resolução:

45°

92°

ß

α

α

▪ A soma dos ângulos internos no triângulo é 180°, assim temos:

92° + 45° + α = 180°α = 180° - 92° - 45° → α = 43°

▪ O ângulo agudo é 2α, ou seja, 2 • 43 = 86°. ▪ O ângulo obtuso é encontrado pela relação:

2α + β = 180°86° + β = 180° → β = 94°

QuadriláTeros inscriTos e circunscriTos

Um quadrilátero é dito inscritível quando admite uma circunferência que passe por todos os seus vértices (circunferência circunscrita ao quadrilátero).

ll

l

d

d

B

A

D

C

l

4

1

2

2

1

3

Num quadrilátero inscrito valem as seguintes relações: ▪ os ângulos opostos são suplementares

A + C = 180° E B + D = 180°

▪ o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos:

d1 • d2 = L1 • L3 + L2 • L4

Um quadrilátero é dito circunscrito quando admite uma circunferência tangente a todos os seus lados (circunferência inscrita no quadrilátero).

l

l

ll

1

2

43

Num quadrilátero circunscrito vale a relação:

▪ A soma dos lados opostos entre si são iguais.

Teorema de PitotL1 + L2 = L3 + L4

TesTes

01. Calcule a medida x no trapézio retângulo da figura a seguir:

x

10

5

14

02. O trapézio da figura é isósceles. Calcule as medidas x e y desse trapézio:

y

60° 60°

x

8

12

Matemática 4

2

TesTes

A D

CB

07. (UNICAP-PE) Considere o plano euclidiano. Soma as alternativas corretas.

01) Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.

02) Todo paralelogramo que tem diagonais perpendicu-lares é um losango.

04) Todo quadrado é retângulo e também losango.08) Todo paralelogramo é retângulo.16) Todo quadrado é losango.

08. (PUC CAMP-SP) Na figura abaixo tem-se o trapézio isósceles ABCD, no qual as bases medem 15 cm e 27 cm. Os lados AB e CD foram divididoa em quatro partes iguais e, pelos pontos de divisão, foram traçados três segmentos paralelos às bases. A soma das medidas dos três segmentos traçados em centímetros:

A D

B C

a) 52b) 58c) 59d) 61e) 63

TesTes

09. (ITA-SP) Dadas as informações:

I) Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares;

II) quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares;

III) se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango;

Podemos afirmar que:

a) todas são verdadeiras;b) apenas I e II são verdadeiras;c) apenas II e III são verdadeiras;d) apenas II é verdadeira;e) apenas III é verdadeira. 10. Dado o trapézio da figura abaixo, considere o triângulo CDX, obtido pelo prolongamento dos lados DA

03. (UFRS) No quadrilátero da figura, (α + β) é:

ß

α

04. Determine o valor de x na figura abaixo:

x + 3

3x + 2

3x 2x

A

D C

B

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

05. (VUNESP) Considere as seguintes proposições:

I) todo quadrado é um losango;II) todo quadrado é um retângulo;III) todo retângulo é um paralelogramo;

Pode-se afirmar que:

a) só uma verdadeira;b) todas são verdadeiras;c) só um é falsa;d) duas são verdadeiras e duas são falsas;e) todas são falsas.

06. (FURRN) No paralelogramo ABCD abaixo, tem-se AB ┴ AC, AC = 6√3 e o ângulo CÂD = 30°. Então, o perímetro do paralelogramo é:

a) 18 b) 36c) 6√3 + 18d) 72e) 24√3 + 36

a

3

Matemática 4

e CB do trapézio. A medida da altura desse triângulo é:

A

D

B

2 cm

C7 cm

5 cm

11. (UDESC) Seja ABCD um trapézio isósceles, conforme a figura a seguir:

B

60°

α

A

C

h

D16 m

8 m

Considere as informações:

I) h = 4 • sen 60°.II) a medida do ângulo α é de 120°.III) h = 4 • tg 60° IV) o ângulo α é complemento do ângulo de 60°.

São verdadeiras as afirmações:

a) I e IIb) II e IIIc) III e IVd) I, II e IIIe) II, III e IV

12. (ITA-SP) Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a 18 cm e a diferença dos dois outros lados é igual a 2 cm. Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado do trapézio, então a soma a + r (em cm) é igual a :

a) 12b) 11c) 10d) 9e) 8

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

A circunferência e círculo, juntamente com o triângulo são as figuras mais relevantes no estudo da geometria plana.

definição de circunferência

Circunferência: é a linha em que todos os pontos são eqüidistantes de um ponto central.

elemenTos da circunferência

Arco

Raio

Diâmetro

CordaC

O

D

A B

Raio é o segmento de reta cujos extremos são o centro da circunferência e um ponto sobre ela.

Corda é o segmento cujos extremos são pontos da circunferência.

Diâmetro é a corda que passa pelo centro, sendo a maior da circunferência.

Arco é qualquer das partes em que a circunferência fica dividida por dois de seus pontos.

definição de círculo

Círculo é o conjunto de todos os pontos pertencentes a uma circunferência e ao seu interior

Importante:

No círculo temos:Segmento circular corres-

ponde a cada uma das partes em que o círculo fica dividido por qualquer corda.

Setor circular corresponde a cada uma das partes em que o círculo fica dividido por dois raios quaisquer.

Segmento Circular

Setor Circular

Matemática 4

4

Posições relaTivas enTre um PonTo e uma circunferência

0

P3

P1

P2

d

d d

R

▪ d > R → ponto exterior à circunferência (P1) ▪ d = R → ponto pertencente à circunferência (P2) ▪ d < R → ponto interior à circunferência (P3)

Posições relaTivas enTre uma reTa e uma circunferência

0

d

r

s

t

d

dR

▪ d > R → reta externa à circunferência ▪ d = R → reta tangente à circunferência ▪ d < R → reta secante à circunferência

Observações:

1) O raio traçado no ponto de triângulo forma, com a reta tangente, um ângulo reto.

2) Se traçarmos a partir de um ponto P, externo a uma circunferência, dois segmentos tangentes, eles terão mesmo comprimento. A

AP = BP

B

O P

R

r

O

3) O raio de uma circunferência divide a medida de uma corda pela metade.

Ângulos na circunferência

Os ângulos que estão relacionados com a circunferência são:

O ângulo central

O ângulo inscrito

O

ângulo de

segmento

Ângulo Central: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. A medida de um ângulo central é igual à medida do arco correspondente.

Assim, o arco AB tem medida 60° igual à medida do ângulo central correspondente:

0

60°

A

B •

•

arco AB

AB = 60°

ângulo central:

AÔB = 60°

Ângulo Inscrito: é o ângulo cujo o vértice pertence à circunferência e cujos lados são cordas desta. A medida de um ângulo inscrito é igual a metade da medida do correspondente ângulo central:

α

O

B

= 1 · α

2

A

β β

R

M

5

Matemática 4

Observação: Todo o ângulo inscrito numa semi-circun-ferência é reto:

Ângulo de Segmento: é o ângulo cujo vértice pertence à circunferência, um dos seus lados é corda e o outro lado é tangente à circunferência. A medida de um ângulo de segmento é a metade da medida do correspondente ângulo central:

Exemplo: Na figura abaixo, O é o centro da circunferên-cia. Então, o valor de x é:

Resolução:

O ângulo central tem a mesma medida do arco:BC = 140°

2x = ½ . α (relação do ângulo inscrito)2x = ½ . 140°2x = 70° x = 35°

relações méTricas na circunferência

Sendo P um ponto exterior ou interior a uma circunferência, temos dois casos que vamos considerar:

1º CASO:Quando duas cordas se interceptam no interior

de uma circunferência, o produto dos segmentos determinados sobre uma das cordas é igual ao produto dos segmentos da outra corda.

O

A

D

P

B

AP P P· PB = C · D

C

2º CASO:Quando duas secantes se interceptam num ponto

externo à circunferência, o produto do segmento externo da secante pelo seu comprimento total é igual ao produto do segmento externo pelo total da outra secante.

A

D

PB

PA PC P· PB = · D

C

Observação:Se um dos segmentos for tangente, a relação será:

A PB

PA (PT)· PB =2

T

Exemplo: Qual o valor de “x” nas figuras abaixo?

Resolução:AP . PB = CP . PDx . 2 = 3 . 42x = 12x = 6

Resolução:PT 2 = PA . PBx2 = 18.8x2 = 144x = 12

C

P

3

2

x

4

A

B

D

A B P

T

10 8

x

AP . PB = CP . PD

PA . PB = PC . PD

PT 2 = PA . PB

Matemática 4

6

TesTes

comPrimenTo da circunferência

Para calcular o comprimento de uma circunferência ou perímetro da circunferência, basta utilizar a seguinte fórmula:

TesTes

13.(FUVEST-SP) O valor de x na figura é:

a) 20 3b) 3 5 c) 1 d) 4 e) 5 14. Na figura abaixo, o valor de x é igual a:

a) 2b) 3c) 4d) 6e) 8

15. O hexágono regular ABCDEF está inscrito em uma circunferência de centro O. É correto afirmar:

01) O menor arco BD tem medida igual a 120°.02) O ângulo α mede 120°.04) O triângulo AFE é isósceles.08) O ângulo β mede 180°.16) O ângulo β mede 90°.

16. Na figura seguinte, ABP = 30° e o ponto O é o centroda circunferência. É correto afirmar que:

X2

3

10

X

5

2

10

01) AP = 60°.02) o segmento AB é o diâmetro da circunferência.04) o triângulo APB é eqüilátero.08) APB = 90°.16) BP = 60°.32) BP = 120°.

17. (UFMA) Num círculo uma corda mede 3 cm e dista 2 cm do centro. Então o raio desse círculo é:

a) 2,5 cmb) 1,5 cmc) 6,25 cmd) 2,25 cme) 2 cm

18.(UEFS) Na figura, o comprimento da linha cheia, em que os arcos são centrados em O1, O2 e O3, é:

a) 8pb) 12pc) 16pd) 20pe) 24s

19. Observando a figura a seguir, determine:

a) a medida x em cm do lado BC do triângulo ABC;

b) a medida em cm do segmento NA, se o perímetro do triângulo ABC é de 46 cm.

20.(UEBA) Na figura abaixo, são dadas AE = 1, BE = 8 cm EC 3e ED = 6 cm. O comprimento de AC, em cm, é:

a) 10b) 12c) 16d) 18e) 20

7

Matemática 4

21. (PUC-SP) Na circunferência da figura de centro O e raio igual a 9 m, sabe-se que a tangente PB = 2 . PA. A distância do ponto P à circunferência é:

a) 12 mb) 24 mc) 6 md) 3 me) n.d.a.

22.(PUC-RJ) NA figura, ABC representa um trecho reto de uma estrada que cruza o pátio circular de centro O e raio r. Se AC = 2r = AO, então BC é igual a (à/ao):a) dobro de rb) de rc) rd) de re) de r

23. (UFPR) No teste abaixo, dê o somatório das afirmações corretas. Dada a circunferência de centro O, na qual AB é uma corda e t é uma tangente no ponto B, então, com base na figura abaixo, é correto afirmar:

01) OB é perpendicular a t.02) O ângulo ABC (g) é um ângulo de segmento, e o ângulo AVB (a) é um ângulo inscrito.04) g + q = 90°.08) a = g16) a = b 232) a = g = b 2

23.(CEFET-PR) Os raios de duas circunferências concêntricas medem respectivamente 15 cm e 12 cm. Uma corda da circunferência maior é tangente à menor. Logo, esta corda mede:

a) 9 cmb) 18 cmc) 81 cmd) 3 √41 cme) 27 cm

24. (UCBA) A medida do ângulo x, representado na figura, é:

a) 10°b) 15°c) 20°d) 25°e) 30°

ÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS

área do reTÂngulo

Indicando a área por A, a medida da base por b e a medida da altura por h, temos:

área do Quadrado

Representando por l a medida do lado do quadrado e aplicando na fórmula da área do retângulo, temos:

área do Paralelogramo

A área do paralelogramo é encontrada através da área do retângulo.

Representando a base por b e a altura por h, temos:

Na linha tracejada, recortaremos:

Colocando a parte recortada, conforme o desenho,

A = b • h

A = l 2

A = b • hA= l • l

Matemática 4

8

obtemos um retângulo:

área do TriÂngulo QualQuer

Considerando no triângulo qualquer a base medindo b e altura h:

Pelo vértice oposto à base e pelo ponto C traçaremos retas paralelas, obtendo desta forma um paralelogramo.

Assim, a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo.

A = b • h 2

casos esPeciais

TriÂngulo reTÂngulo

A = a • h 2 ou

A = b • c 2

TriÂngulo eQuiláTero

A = l2 • √3 4

TriÂngulo QualQuer

Em função dos lados:

A = √ p • (p - a) • (p - b) • (p - c)

onde p é o semiperímetro

A = a + b+ c

2

Em função de dois lados e do ângulo compreendido:

PB = a • b • sen α 2

área do losango

Representando por D a diagonal maior e por d a diagonal menor do losango.

Como as diagonais do losango se interceptam em seus pontos médios sob um ângulo reto, temos formação de quatro triângulos retângulos de catetos D e d .

2 2

A = b • h

hh = l • √3

2

9

Matemática 4

Assim a área do losango é igual a quatro vezes a área do triângulo retângulo.

4 • D • d

A = 2 2 = 4 • D • d = A = D • d 2 8 2

área do TraPézio

Considerando o trapézio ABCD, onde a altura é h e as bases medem b e B:

Traçando a diagonal AD, dividimos o trapézio em dois triângulos:

Desta forma, a área do trapézio é a soma das áreas dos dois triângulos:

A = b • h + B • h → A = b • h + B • h 2 2 2

A = (b + B) • h

2

área do círculo

A área de um círculo pode, intuitivamente, ser encontrada dividindo-se o círculo em várias partes a partir de seu centro.

Logo, a área do círculo seria a metade da área do retângulo:

A = 1 • 2�R • h 2

A = �R2

Importante:

A área do triângulo regular é igual a seis vezes a área de um triângulo eqüilátero.

A área do setor circular é encontrada pela seguinte regra de três:

A área do segmento circular é igual a áreas do setor circular menos a área de um triângulo qualquer:

Matemática 4

10

TesTes

Exemplo 1:Calcular a área da figura sombreada:

Resolução:

A área sombreada é igual à área do quadrado menos a área do triângulo eqüilátero, logo: AS = AQ - AT AS = a2 - a2√ 3 2 AS = a2 • (1 - √ 3) 4

Exemplo 2:A área sombreada vale na figura abaixo:

Resolução:

Traçando os raios, notamos que a área sombreada é igual a área do retângulo menor a área do semicírculo de raio R:

AS = AR - ASC AS = 2R • R - πR2 2

AS = 2R2 - πR2 → AS = R2 • (2 - π) 2 2

Exemplo 3:Calcular a área do setor circular correspondente a

um ângulo central de 60o, num círculo de raio 3 cm:

Resolução:

360° → πR2

60° → A

360° = π • 32

60° A

6 = 9 π A

A = 9 π = 3 π cm2

6 2

TesTes

26. (CESGRANRIO-RJ) A área da sala representada na figura, em m2, é:

Que os dermatologistas definiram uma fórmula para calcular, aproximadamente, a área da superfície corporal de uma pessoa? A área (em m2) é calculada em função da massa (m) do indivíduo:

Por exemplo, uma pessoa com massa igual a 70kg possui a

área da superfície corporal aproximadamente igual a:

A m= 0,112

3

3 2

A m= 0,11 . 70� 2

O valor resultante é útil para determinar a quantidade de calor perdida através do suor.

11

Matemática 4

32. (UEPG-PR) Considerando p = 3,14, qual é a área da região sombreada da figura, em m2?

33. (PUC-PR) A área da figura sombreada vale:

a) √2b) 16 - 8√2c) 16√2d) 4√2e) 8√2

34. (PUCCAMP-SP) A seguir, tem-se a representação da planta de um terreno quadrangular. A área, em metros quadrados, desse terreno é:

a) 360√3 +700√2b) 360√3 + 700c) 530√3d) 180√2 + 350√3e) 180√3 + 350√2

35. (UEL-PR) Na figura abaixo, tem-se um setor circular de área 6p cm2. O comprimento da circunferência, em centímetros, é igual a:

a) 12pb) 11pc) 10pd) 9pe) 8p

36. (UFSC) O triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro O, cujodiâmetro mede 10 cm. Se a corda AB mede 6 cm, então a área sombreada, em centímetros quadrados, é:

27. (UCS-RS) A área do triângulo assinalado na figura a seguir é:

a) 13,5b) 9√10c) 10,5d) 21e) 10,5√10

28. (NATEL-MG) A figura ao lado é a planta de um salão. A área deste salão é:

a) 180 m2

b) 56 cm2

c) 72 cm2

d) 36 cm2

e) 24 cm2

29. Um trapézio isósceles tem 24 cm de perímetro e suas bases medem 4 cm e 10 cm, respectivamente. A área do trapézio, em cm2, é:

30. (CESGRANRIO-RJ) No futebol de salão, a área de meta é delimitada por dois segmentos de reta (de comprimento de 11 m e 3 m) e dois quadrantes de círculos (de raio 4 m), conforme a figura. A superfície da área de meta mede, aproximadamente:

a) 25 m2

b) 34 m2

c) 37 m2

d) 41 m2

e) 61 m2

31. (FAM-SP) Ao projetar uma escola experimental, o idealizador previu a construção de salas de aula em forma de hexágonos regulares, conforme esquema abaixo. Para que cada uma das salas fique com uma área de 24 m2, qual deverá ser a medida de seus lados?

a) 2mb) 4mc) 6md) 8me) 12m

Matemática 4

12

37. (Vunesp) O mosaico da figura a seguir foi desenhado em papel quadriculado 1 x 1. A razão entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a:

a) 1 2 b) 1 3 c) 3 5d) 5 7e) 5 838. (PUC-PR) Dadas três circunferências iguais, tangentes entre si, todas de mesmo raio “R”, o valor da área hachurada é:

a) R2 (√3 - p2 )

b) R2 (12 - p6)

c) R2 (p - √3)

d) R2 (p√3 - 16)

e) R2 (√3 - 1

6)

39. (UEL-PR) Na figura a seguir, têm-se quatro dois a dois tangentes entre si e cujos raios medem quatro centímetros. Considerando p = 3,14, a área da região sombreada, em centímetros quadrados, é:

a) 13,76b) 17,20c) 20,64d) 25,80e) 27,52

40. (UFSC) A base de um triângulo mede 132 m e sua altura, em metros, é h. Se a base for aumentada em 22 m e a altura, em 55 m, obtém-se um novo triângulo cujo área é o dobro da área do primeiro. Calcule o valor de h.

41. (SANTA CASA-SP) Na figura a seguir, têm-se o triângulo, cujos lados medem 5 cm, 12 cm e 13 cm, e a circunferência inscrita nesse triângulo. A área da região

sombreada é, em cm2:

a) 30 (1 – p)b) 5 (6 – 1,25p) c) 3 (10 – 3p) d) 2 (15 – 8p) e) 2 (15 – 2p)

42. (UFMS) A figura abaixo representa um triângulo eqüilátero ABC de lado igual a 16 uc; MN, NP e PM são arcos de circunferências com centros, respectivamente, nos vértices A, B e C e de raio igual a 8 uc. Se a área da região sombreada é igual a F, calcule o valor numérico de R, onde R = F + 32π √3(uc = unidade de comprimento).

43. (Fatec-SP) Na figura, os arcos BD são arcos de circunferências de centro em A e C. A área da região hachurada, em cm2, é:

a) 25√32

b) 25p3

c) 25p6

d) 25 (2p - 3√3) 6

e) 25 (2p - 3√3) 12

44. (UFPR) Considere a figura com dimensões indicadas em cm e na qual as linhas com 2cm de raio.

13

Matemática 4

Então, admitindo p = 3,14 qual é a parte inteira do número que mede, em cm2, a área da figura?

POLÍGONOS REGULARES

Polígonos Regulares são aqueles que todos os seus lados são congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes. Entre os polígonos regulares mais importantes, destacamos:

Esses polígonos regulares podem ser inscritos ou circunscritos a uma circunferência da seguinte maneira:

→ Se os vértices pertencem à circunferência o polígono está inscrito à circunferência.

→ Se os lados são tangentes à circunferência, o polígono está circunscrito à circunferência.

Observações:

▪ Todos os polígonos regulares são inscritíveis e circunscritíveis.

▪ As circunferências inscrita e circscria têm o mesmo centro, que é representado pó “O” no polígono regular.

elemenTos de um Polígono regular

Os elementos de um polígono regular devem ser bem observados:

▪ A = vértice do polígono ▪ l = medida do lado do polígono ▪ R = raio da circunferência circunscrita ao polígono ▪ r = raio da circunferência inscrita no polígono, também

Matemática 4

14

é conhecida como apótema do polígono. ▪ a = ângulo central ▪ i = ângulo interno ▪ e = ângulo externo

Importante: a medida de cada ângulo no polígono regular pode ser calculada por:

relações méTricasnos Polígonos regulares

TriÂngulo eQuiláTero

Cálculo da altura em função do lado:

Cálculo do apótema:

Cálculo do raio:

Quadrado

Cálculo da diagonal em função do lado:

d2 = l2 + l2

d2 = 2l2 → d = l√2

Cálculo do apótema:

r = l 2

Cálculo do raio: ou

HeXágono regular

Cálculo do apótema:

r = altura do triângulo eqüilátero

r = l√3 2

Cálculo do raio:

Como o hexágono é formado por seis triângulos eqüiláteros,

R = l

Observação: o cálculo da área dos polígonos

15

Matemática 4

TesTes

R = l√2 2

sabendo que o R = l, temos:

Usando a relação do raio do quadrado, encontraremos o valor de l.

TesTes

45. (UEL-PR) Se um círculo de 5 cm de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a:

a) 20√3b) 18√3c) 15√2d) 12√3e) 9√2

46. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de lado a. A diagonal AB mede:a) 2ab) a√2c) a√3

2d) a√3e) 2a√2 3

47. (UEL) Uma faixa decorativa é formada por hexágonos e semi-hexágonos regulares, como mostra a figura abaixo. Se o lado do hexágono mede 10 cm, então a largura da faixa, em centímetros, é:

a) 5√3b) 10c) 20d) 20√3e) 25√3

regulares, usaremos as relações da aula passada.

Exemplo 1Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm

perímetros iguais. Se a diagonal do quadrado mede 9 m, então a altura do triângulo em metros, é:

Resolução:

Sabendo que a diagonal do quadrado é calculada por d = l√2, temos:

Como os perímetros são iguais, temos:

- perímetro do quadrado:

logo, o perímetro do triângulo é 36 m.

Desta forma, concluímos que o lado do triângulo é 12 m e sua altura será:

Exemplo 2Em uma circunferência, estão inscritos um

hexágono regular de apótema cm e um quadrado de lado l. Calcule o valor de l.

Resolução:

Usando a relação do apótema do hexágono e

R = d 2

Matemática 4

16

48. (CESGRANRIO-RJ) Canos de 50 cm de diâmetro externo são empilhados como na figura, de modo que cada cano está em contato com seus vizinhos imediatos. O valor que mais se aproxima da altura h indicada é:

a) 150 cmb) 143 cmc) 142 cmd) 137 cme) 128 cm

49. (Unifor-CE) Na figura, tem-se um pentágono regular inscrito numa circunferência, no qual um ângulo central mede c, um ângulo externo mede e e um ângulo interno mede p. Sobre essas medidas, dadas em graus, é verdade que:

a) c + e = 180°b) c + e = 90°c) p = 90° – ed) p = ee) c = e

50. (UEFS) O número de lados de um polígono regular convexo cujo ângulo interno mede 162 é:

a) 6b) 8c) 12d) 16e) 20

51. (VUNESP-SP) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 2√3 cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é:

a) √3b) 2c) 2,5d) 3e) 4

52. (UFAL) Na figura abaixo, tem-se um quadrado inscrito em um círculo de raio 2 cm e um quadrilátero obtido unindo-se os pontos médios dos lados desse quadrado. A área desse quadrilátero, em cm2, é:

a) 1 2b) 1c) √2d) 2e) 4

53. (UNI-RIO) Um carimbo com o símbolo de uma empresa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado por um triângulo eqüilátero que está inscrito numa circunferência e que circunscreve um hexágono regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve medir 3 cm, então a soma das medidas, em cm, do lado do hexágono com a do diâmetro da circunferência deve ser:

a) 7b) 1 + √3c) 2√3d) 1 + √3e) 77

32

54. (CESGRANRIO-RJ) O comprimento da circunferência inscrita num quadrante de círculo de raio 2 vale:

a) 4pb) 2pc) 4p (√2 – 1)d) (p + 12)e) 3p (√3 – 1)

55. (UEMA) Ache a razão entre a área de um quadrado circunscrito e a área do quadrado inscrito no mesmo círculo.

a) pb) 4c) 2pd) √2e) 2

17

Matemática 4

03. (UEL-PR) Considere um triângulo retângulo circunscrito a uma circunferência de raio r e centro P, conforme a figura abaixo:

A área do triângulo ABC é igual a:

a) abb) crc) metade da área do retângulo cujos lados medem a

e cd) três vezes a área do triângulo ABPe) (a+b+c) r

2

01. A figura a seguir ilustra um triângulo e sete semicircunferência com diâmetros de mesma medida. As semicircunferências adjacentes se interceptam em um dos seus externos, que também é ponto do triângulo.Se o primeiro do triângulo é 28, qual o raio das semicircunferências?

a) 7b) 6c) 4d) 2e) 1

02. (ITA-SP) A razão entre as áreas de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência e de um hexágono regular, cujo apótema mede 10 cm, circunscrito a essa mesma circunferência, é:

a) 1/2b) 1c) 1/3d) 3/8e) 2/3

Matemática 4

18

GEOMETRIA DE POSIÇÃO

Posições Relativas Reta e Plano

▪ Reta Contida no Plano: s ⊂ a Condição: s ∩ a = s

▪ Reta Paralela ao Plano: r // a ▪ Condição: r ∩ a = ∅

▪ Reta Incidente ou Concorrente ao Plano Condição: t ∩ a = P

uma condição necessária e suficienTe Para Que uma reTa seja Paralela

a um Plano

“A reta não pode pertencer a este plano e tem que ser paralela a uma reta deste”.

Posições relaTivas

Plano e Plano

▪ Coincidentes: Têm todos os pontos em comum. Condição: a ∩ b = a = b

▪ Paralelos: Não tem ponto em comum. Condição: a ∩ b = ∅

▪ Incidentes ou Concorrentes: Interceptam-se segundo uma retaCondição: a ∩ b = r

uma condição Para Quedois Planos sejam Paralelos

“Um dos planos contenha duas retas concorrentes paralelas ao outro”.

19

Matemática 4

PerPendicularidade enTre reTas

▪ Duas retas são perpendiculares quando são con-correntes e formam quatro ângulos retos.

▪ Duas retas são ortogonais se forem reversas e ao transladarmos uma até que se torne concorrente com a outra, ambas tornem-se perpendiculares.

Observação:

Retas perpendiculares → concorrentesRetas ortogonais → reversas

PerPendicularidade enTre reTa e Plano

“Uma reta é perpendicular a um plano quando for perpendicular a todas as retas que passam no seu pé no plano”.

uma condição Para Que uma reTa sejaPerPendicular a um Plano

“A reta tem que ser ortogonal ou perpendicular a duas retas concorrentes deste plano”.

condição de PerPendicularidade enTre Plano e Plano

“Um dos planos tem que conter uma reta perpendi-cular ao outro plano”.

Se r é perpendicular a a, então todos os planos que contém r são perpendiculares a a.

TEOREMA

“Por uma reta não perpendicular a um plano passa um único plano que a contém, sendo perpendicular ao plano dado”.

Consequência:

“Por uma reta perpendicular a um plano passam infini-tos planos perpen-diculares ao primeiro plano”.

Matemática 4

20

PROJEÇÃO ORTOGONAL

▪ Projeção ortogonal de um pontoA projeção ortogonal de um ponto sobre um plano

é o pé da perpendicular ao plano traçada pelo ponto.

A’ é a projeção ortogonal de A sobre a.

▪ Projeção ortogonal de uma retaA projeção ortogonal de uma reta r, não

perpendicular a um plano a, é o traço em a, do plano b, perpendicular a a, conduzido por r.

r’ é a projeção ortogonal da reta r sobre o plano a.

▪ Projeção ortogonal de um segmentoA projeção ortogonal de um segmento de reta sobre

um plano de projeção é o segmento cujas extremidades são projeções dos extremos do segmento dado.

A’B’ é a projeção ortogonal de AB sobre o plano a.

Observação: Existem três possibilidades quanto à projeção ortogonal de um segmento sobre um plano:

1. Se o segmento AB for perpendicular ao plano, sua projeção ortogonal será um ponto.

2. Se o segmento AB for paralelo ao plano a, sua projeção será um segmento A’B’ de mesmo comprimento de AB.

3. Se o segmento AB não for perpendicular e nem paralelo ao plano a, sua projeção ortogonal será um segmento de comprimento menor que AB.

disTÂncias geoméTricas

▪ Distância entre um ponto e uma retaÉ a distância entre um ponto e o pé da perpendicular

à reta conduzida pelo ponto.

▪ Distância entre duas retas paralelasÉ a distância entre um ponto qualquer de uma

delas e a outra reta.

A’B’ < AB

21

Matemática 4

TesTes ▪ Distância entre ponto e planoÉ a distância entre este ponto e o pé da

perpendicular ao plano conduzida pelo ponto.

▪ Distância entre reta e planoDenomina-se distância entre um reta e um plano,

paralelos entre si, a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano.

▪ Distância entre planos paralelosÉ a distância entre um ponto qualquer de um deles

e o outro plano.

▪ Distância entre retas reversasDadas duas retas reversas, a distância entre elas

é o comprimento do segmento da perpendicular comum às duas retas.

dr,a= AA’

TesTes

56. Some as corretas:

01) Dado um ponto, existe uma reta que o possui.02) Dados dois pontos distintos, existe um único plano que os contém.04) Numa reta há infinitos pontos.08) Fora de um plano há infinitos pontos.16) Três pontos distintos determinam um único plano.32) Os vértices de um triângulo são coplanares.

57. Cite 3 pontos que, sozinhos, não individualizam o plano a a seguir.

a) A, C, Eb) A, D, Fc) A, B, Cd) E, F, De) B, D, E

58. (PUC-PR) Assinale a incorreta:

a) Por um ponto podemos traçar uma infinidade de retas.b) A reta que passa por dois pontos distintos de um

plano pertence a ele.c) O plano é ilimitado.d) A reta é ilimitada.e) Por uma reta e por um ponto não pertencente a ela

passam vários planos.

59. (PUCCAMP-SP) Considere as afirmações a seguir:

I) Duas retas distintas determinam um plano.II) Se duas retas distintas são paralelas a um plano,

então elas são paralelas entre si.III) Se dois planos são paralelos, então toda reta de um

deles é paralela a alguma reta do outro.

É correto afirmar que:

a) apenas II é verdadeira.b) apenas III é verdadeira.c) apenas I e II são verdadeiras.d) apenas I e III são verdadeiras.e) I, II e II são verdadeiras.

60. (FAAP-SP) Duas retas são reversas quando:

a) não existe plano que contém ambas.b) existe um único plano que as contém.c) não se interceptam.d) não são paralelas.e) são paralelas, mas pertencem a planos distintos.

Matemática 4

22

61. (UEL-PR) As retas r e s foram obtidas prolongando-se duas arestas de um cubo, como está representado na figura a seguir:

Sobre a situação dada, assinale a afirmação correta:

a) r e s são setas paralelas.b) r e s são retas reversas.c) r e s são retas ortogonais.d) não existe plano contendo r e s.e) r ∩ s = ∅

62. (UFPR) Considere um prisma hexagonal regular reto, com os vérices designados por letras como na figura a seguir. É correto afirmar que:

01) As retas que contém, respectivamente, as arestas AF e HI são reversas.02) As arestas LK e BC são coplanares.04) A face ABHG estão em um plano paralelo àquele que contém a face FEKL.08) A reta que contém a aresta CD é ortogonal à reta que contém a aresta EK.16) O segmento de reta HJ é perpendicular à aresta GH.

63. (MACK-SP) Sejam as afirmações:

I) Se um plano é paralelo a uma reta, qualquer reta do plano é reversa à reta dada.

II) Se dois planos são secantes, então qualquer reta de um deles é concorrente com o outro.

III) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser concorrente com uma reta do outro.

IV) Se duas retas não têm ponto comum, então elas são paralelas.

O número de afirmações verdadeiras é:

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

64. (UNESP-SP) Sejam r e a, respectivamente uma reta e um plano. Então:

a) se r é perpendicular à a, r é perpendicular a todas as retas de a.

b) se r é perpendicular a duas retas s1 e s2 de a, então r é perpendicular a a.

c) se r é perpendicular a a, nenhuma reta de a pode ser perpendicular a r.

d) se r é perpendicular a a, toda reta s reversa com r é paralela a a.

e) se r é paralela a a, as retas perpendiculares a a formam um ângulo reto com r.

65. (FUVEST-SP) Identifique a correta:

a) Se dois planos forem perpendiculares, todo plano perpendicular a um deles será paralelo ao outro.

b) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta paralela a um deles será perpendicular ao outro.

c) Duas retas paralelas a um plano são paralelas.d) Se duas retas forem ortogonais reversas, toda reta

ortogo-nal a uma delas será paralela à outra.e) Se duas retas forem ortogonais, toda reta paralela a

uma delas será ortogonal à outra.

66. (UEPG-PR) Com relação à Geometria do Espaço, é incorreto afirmar:

a) Se uma reta possui dois pontos distintos num plano, então ela sta contida no plano.

b) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser reversa com uma reta do outro.

c) Três pontos distintos determinam um único plano.d) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é

paralela a infinitas retas desse plano.e) Por um ponto fora de um plano passa uma única reta

perpendicular a esse plano.

23

Matemática 4

POLIEDROS

suPerfície Poliédrica

“Chama-se superfície poliédrica à figura formada por polígonos planos, não coplanares, de modo que cada lado seja livre ou pertença, no máximo, a dois polígonos”.

Poliedro

É a figura limitada por um número finito de polígonos planos que têm dois a dois um lado comum, e de modo que dois polígonos consecutivos se situem em planos distintos.

elemenTos dos Poliedros

Cada polígono que forma a superfície poliédrica é chamado de face do poliedro.

Os lados dos polígonos ao coincidirem, dois a dois, formam uma aresta do sólido.

Os vértices dos polígonos formam os vértices do sólido. Todo segmento que ligar dois vértices não pertencentes a uma mesma face é uma diagonal do sólido.

Todo plano que passar por três vértices não pertencentes a uma mesma face, é um plano diagonal.

relações válidas Para QualQuerPoliedro conveXo

Teorema de euler“Em qualquer poliedro convexo, o número de

vértices acrescido do número de faces, é igual ao número de arestas acrescido de dois”.

soma dos Ângulos inTernos das faces

A soma de todos os ângulos internos das faces é dada por:

Para um poliedro convexo com faces triangulares (F3), quadrangulares (F4), pentagonais (F5), etc., vale a expressão:

POLIEDROS REGULARES

Um poliedro convexo é regular quando as suas faces são polígonos regulares iguais e seus ângulos poliédricos, também, iguais.

Existem somente cinco poliedros regulares convexos que aparecem representados nas seguintes figuras.

elemenTos dos Poliedros regulares

Sendo F, A e V, respectivamente, os números de faces, arestas e vértices dos poliedros regulares e ainda n o número de lados de cada face e p o número de arestas que partem de cada vértice desses sólidos, os elementos ficam assim relacionados na tabela a seguir:

V + F = A + 2

Si = 360°. (V -2)

A = 3F3 + 4F4 + 5F5 + ...2

Matemática 4

24

TesTes

▪ Número total de ângulos entre arestas:

Poliedros conjugados

Quando dois poliedros têm o mesmo número de arestas e, além disso, o número de vértices de um deles é igual ao número de faces do outro são distos conjugados.

Exemplos:

1. O tetraedro é conjugado dele mesmo:

2. O octaedro e o hexaedro são conjugados:

M = 2A

TesTes

67. Qual o número de arestas de um poliedro convexo de 12 faces e 20 vértices?

68. (CEFET-PR) O número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares é:

a) 32b) 12c) 20d) 15e) 18

69. Some as corretas:01) Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas possui 10 vértices.02) Um poliedro que tem 6 faces triangulares possui 9 arestas.04) Um poliedro convexo de faces quadrangulares que tem apenas 8 vértices triédricos possui 12 arestas.08) Todo poliedro convexo que tem o número de vértices igual ao número de faces possui número par de arestas.16) Um poliedro convexo com 4 faces triangulares e 7 quadrangulares possui 10 vértices.

70. (UNITAU-SP) Indique quantas faces possuem, respectivamente, nessa ordem, os sólidos numerados como I, II, III e IV a seguir:

a) 8, 6, 5, 6.b) 8, 6, 6, 5.c) 8, 5, 6, 6.d) 5, 8, 6, 6.e) 6, 18, 6, 5.

71. (SUPRA-SC) Um cubo pode ser inscrito em apenas um dos poliedros regulares A, B, C, D ou E da figura, de modo que seus vértices coincidam com os centros das faces de tal poliedro. Esse poliedro é o:

a) dodecaedro.b) octaedro.c) icosaedro.d) tetraedro.e) hexaedro.

25

Matemática 4

72. (PUC-PR) O número de vértices de um poliedro de 8 faces triangulares e de 4 faces quadrangulares é igual a:

a) 10b) 12c) 40d) 20e) 8

73. (MACK-SP) Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.

74. (UFRGS) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente:

a) 34 e 10b) 19 e 10c) 34 e 20d) 12 e 10e) 19 e 12

75. (CEFET-PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será:

a) 3240°b) 3640°c) 3840°d) 4000°e) 4060°

76. (PUC-PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro?

a) 4b) 6c) 8d) 10e) 12

77. (AMAN) Se os números de vértices e de faces de um poliedro convexo são, respectivamente 12 e 23 do número de arestas. Qual é o toral de faces?a) 6b) 8c) 10d) 12e) n.d.a.

78. (PUC-PR) Num poliedro convexo, o número de faces é 23 do número de arestas e o número de vértices é 35 do número de faces. Calcular a soma do número de vértices, faces e arestas desse poliedro.

a) 42b) 54c) 64d) 52e) 62

79. (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o poliedro se o número de faces traingulares é a metade do número de faces hexagonais.

80. (PUC-PR) Um poliedro convexo de 33 arestas possui faces triangulares e hexagonais. Sendo 6840° a soma dos ângulos internos das faces, o número de faces triangulares e hexagonais é respectivamente:

a) 4 e 10b) 7 e 7c) 6 e 8d) 5 e 9e) 8 e 6

81. (CEFET-PR) Num poliedro convexo, que só tem faces triangulares e quadrangulares, há 20 vértices. O número de faces triagulares é o dobro do número de faces triangulares. Calcule o número de faces do poliedro.

82. (CEFET- PR) Se um poliedro convexo tem 8 faces e um número de vértices compreendido entre 6 e 14, o número de arestas está compreendido entre:

a) 0 e 8b) 4 e 12c) 16 e 24d) 6 e 14e) 12 e 20

Matemática 4

26

83. (ITA-SP) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces qua-drangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, um progressão aritmética. O número de arestas é:

a) 10b) 17c) 20d) 22e) 23

PRISMAS

É o sólido limitado por uma superfície prismática fechada e duas seções planas paralelas dessa superfície. Os polígonos congruentes resultantes dessas seções são as bases do prisma.

As bases de um prisma são, portanto, sempre paralelas e congruentes, conforme aparecem destacadas na figura abaixo.

As faces laterais dos prismas são sempre paralelo-gramos, por terem os lados opostos congruentes.

As arestas laterais de um prisma são as arestas comuns a duas faces laterais consecutivas do sólido. São sempre paralelas e congruentes.

As arestas das bases são os lados dos polígonos que constituem as bases do prisma. Podem ser todas congru-entes entre si (se as bases forem regulares) ou congruentes duas a duas no caso mais geral.

A altura de um prisma é a distância entre os planos das bases. É, portanto, medida sempre sobre uma perpendicular aos planos das bases.

classificação dos Prismas

Os prismas serão retos ou oblíquos, segundo suas arestas laterais sejam perpendiculares ou oblíquas, respectivamente, aos planos das bases do prisma. Se as bases de um prisma reto forem regulares, o prisma será regular.

Um prisma será triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, etc., segundo tenha, como bases, triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc. Confira os nomes e a classificação dos três prismas das figuras abaixo.

áreas dos Prismas

suPerfície laTeral

É a soma das superfícies das faces laterais que sempre são paralelogramos. A área da superfície lateral denomina-se, abreviadamente, área lateral do prisma.

suPerfície ToTal

Resulta da soma da superfície lateral com as superfícies das bases, que sempre são iguais. A área da superfície total denomina-se, abreviadamente, área total do prisma.

Para os prismas retos e regulares, as expressões para o cálculo da área lateral e da área total são:

volume dos Prismas

Para um prisma qualquer, cuja base tem área B e altura h, o seu volume V é dado por:

St = Sl + 2B

V = B . h

27

Matemática 4

TesTesTesTes

84. Qual o volume de um prisma com base quadrada de aresta 2 m e com altura 4 m?

85. (UNOPAR-PR) O volume de um prisma regular hexagonal, cujas arestas da base medem 2 m e possui altura de 10 m é, aproximadamente, igual a:(Dado:√3 ≡ 1,73).

a) 34,6 m3b) 103,8 m3c) 120 m3d) 57,4 m3e) 240 m3

86. (UECE) Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 m e 4 m. Se a altura desse prisma é igual a hipotenusa do triângulo da base, então seu volume, em m3 é igual a:

a) 60b) 30c) 24d) 12e) 18

87. (UFRGS) A figura a seguir representa a planificação de um sólido. O volume desse sólido é:

a) 20√3b) 75c) 50√3d) 100e) 100√3

88. (PUC-SP) Se a área da base de um prisma diminui 10% e a altura aumenta 20%, o seu volume:

a) aumenta 8%b) aumenta 15%c) aumenta 108%d) diminui 8%e) não se altera.

89. (UEPG-PR) A base de um prisma triangular reto é um triângulo isósceles de hipotenusa igual a 6√2 cm. Sabendo-se que a altura do prisma mede 10 cm, seu volume é expresso por:

a) 180 cm3

b) 60 cm3

c) 90 cm3

d) 360 cm3

e) 36 cm3

90. (MACK-SP) A área total de um prisma triangular regular cujas arestas são todas congruentes entre si e cujo volume é 54√3 vale:

a) 18√3 + 108b) 108√3 + 18c) 108√3 + 18d) 54√3 + 16e) 36√3 + 12

91. (UCS-RS) A calha da figura a seguir tem a forma de um prisma triangular reto. O ângulo ABC mede 90° e as medidas citadas são interna e em metros.

O volume máximo de água que a calha poderá conter, em metros cúbicos, é igual a:

a) 45b) 90c) 180d) 1800e) 2700

Matemática 4

28

92. Calcular o volume de um prisma triangular regular em m3 cuja altura mede 12√3 m e cuja base está inscrita num círculo de 2p de perímetro:

93. (FATEC-SP) Na figura tem-se um prisma reto cuja diagonal principal mede 3a√2. A área total desse prisma é:

a) 30 a2

b) 12 a2

c) 24 a2

d) 6 a2

e) 18 a2

94. (SUPRA-SC) Uma caixa com capacidade de 20 litros tem as faces sombreadas trapezoidais, paralelas e iguais, enquanto as demais faces são retangulares. As medidas regis-tradas na figura são referentes à parte interna da caixa e estão expressas em centímetros. Nessas condições, x mede:

a) 45 cmb) 50 cmc) 55 cmd) 60 cme) 65 cm

29

Matemática 4

GABARITO

GABARITO DESAFIO

Matemática 4

30