Mate Matic a Element a Riv

179

Transcript of Mate Matic a Element a Riv

Page 1: Mate Matic a Element a Riv
Page 2: Mate Matic a Element a Riv
Page 3: Mate Matic a Element a Riv

MatemáticaElementar IV

Audemir Lima de SouzaDário Souza Rocha

Genilce Ferreira Oliveira

Manaus 2007

Page 4: Mate Matic a Element a Riv

FICHA TÉCNICA

GovernadorEduardo Braga

Vice-GovernadorOmar Aziz

ReitorLourenço dos Santos Pereira Braga

Vice-ReitorCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto

Pró-Reitor de Extensão e Assuntos ComunitáriosAdemar R. M. Teixeira

Pró-Reitor de Ensino de GraduaçãoCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró-Reitor de Pós-Graduação e PesquisaWalmir de Albuquerque Barbosa

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador PedagógicoLuciano Balbino dos Santos

NUPROMNúcleo de Produção de Material

Coordenador GeralJoão Batista Gomes

Projeto GráficoMário Lima

Editoração EletrônicaHelcio Ferreira Junior

Revisão Técnico-gramaticalJoão Batista Gomes

Souza, Audemir Lima de.

S729m Matemática elementar IV / Audemir Lima de Souza, Dário SouzaRocha, Genilce Ferreira Oliveira. – Manaus/AM: UEA, 2007. –(Licenciatura em Matemática. 2. Período)

179 p.: il. ; 29 cm.

Inclui bibliografia

1. Matemática – Estudo e ensino. I. Rocha, Dário Souza. II.Oliveira, Genilce Ferreira. III. Série. IV. Título

CDU (1997): 51

CDD (19.ed.): 510

Page 5: Mate Matic a Element a Riv

SUMÁRIO

Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

UNIDADE I – Razões trigonométricas no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09

TEMA 01 – Trigonometria no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Relações entre seno, cosseno e Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17TEMA 03 – Resolução de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

UNIDADE II – Trigonometria na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

TEMA 04 – Arcos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 05 – Ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TEMA 06 – Seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38TEMA 07 – Razões recíprocas do seno, cosseno e tangente e outras relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42TEMA 08 – Redução ao 1.º quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

UNIDADE III – Funções circulares e identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

TEMA 09 – Função seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 10 – Função cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 11 – Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57TEMA 12 – Outras funções circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 13 – Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

UNIDADE IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

TEMA 14 – Transformações: Fórmulas de adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65TEMA 15 – Arco duplo e triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67TEMA 16 – Arco metade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69TEMA 17 – Fórmulas de transformação em produto para seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

UNIDADE V – Equações e inequações trigonométricas | Funções trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . 75

TEMA 18 – Equações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 19 – Inequações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81TEMA 20 – Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

UNIDADE VI – Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

TEMA 21 – Forma algébrica e potências de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93TEMA 22 – Igualdade, soma e subtração de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95TEMA 23 – Multiplicação, conjugado e divisão de números complexos na forma algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

UNIDADE VII – Números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

TEMA 24 – Representação geométrica, módulo e argumento de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105TEMA 25 – Forma trigonométrica de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110TEMA 26 – Multiplicação e divisão com números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112TEMA 27 – Potenciação e Radiciação de números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

UNIDADE VIII – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

TEMA 28 – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125TEMA 29 – Polinômios Idênticos e Operações com polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129TEMA 30 – Divisão de Polinômios (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131TEMA 31 – Divisão de Polinômios (parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133TEMA 32 – Divisão de Polinômios (parte III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

UNIDADE IX – Equaçãoes algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

TEMA 33 – Equações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 TEMA 34 – Multiplicidade das raízes e raízes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146TEMA 35 – Raízes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 TEMA 36 – Relações de Girard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Page 6: Mate Matic a Element a Riv

Audemir Lima de SouzaLicenciado em Matemática – UFAM

Bacharel em Processamento de Dados – UFAM

Especialista em Engenharia de Produção – UFAM

Dário Souza Rocha Licenciado e Bacharel em Matemática – UFAM

Especialista em Matemática – UFAM

Genilce Ferreira OliveiraLicenciada em Matemática – UFAM

Especialista em Matemática – UFAM

PERFIL DOS AUTORES

Page 7: Mate Matic a Element a Riv

PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada

à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do

Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-

der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em

dinamismo técnico−científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-

cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-

tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história

da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-

tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-

no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios

que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga

Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

Page 8: Mate Matic a Element a Riv
Page 9: Mate Matic a Element a Riv

UNIDADE IRazões trigonométricas no triângulo

Page 10: Mate Matic a Element a Riv
Page 11: Mate Matic a Element a Riv

TEMA 01

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

1.1 Um pouco de história

As dimensões do universo sempre fascinaramos cientistas. O astrônomo grego Aristarco deSamos (310 a.C. - 230 a.C.) foi um dos pri-meiros a calcular as distâncias entre a Terra, aLua e o Sol; o matemático grego Arquimedes(287 a.C. – 212 a.C.) estimou o número degrãos de areia necessários para preencher oUniverso conhecido até então; o físico alemãoAlbert Einstein (1879–1955) avaliou o raio doUniverso, que, de acordo com seus estudos, éfinito.

O papiro de Rhind, escrito no Egito em 1650 a.C. aproximadamente, é uma das principais fon-tes de informação sobre a matemática egípicia.Esse documento, constituído de um texto ma-temático com 85 problemas, apresenta no pro-blema 56 um dos mais antigos registros co-nhecidos sobre trigonometria.

Na construção de pirâmides, era essencialmanter uma inclinação constante nas faces, epode ter sido essa preocupação que levou osconstrutores a usar razões entre medidas doslados de triângulos, chamadas atualmente de

razões trigonométricas.

Hoje, com o auxílio de um teodolito (instru-mento portátil utilizado em topografia e em as-tronomia com a finalidade de medir ângulos)

podem ser calculadas, através da trigonome-tria, alturas de montanhas, larguras de rios,distância entre corpos celestes, etc.

1.2 Alguns conceitos de ângulos

Ângulo é a reunião de duas semi-retas demesma origem, mas não contidas na mesmareta. O ponto O é chamado de vértice, e assemi-retas e são os lados do ângulo.Denotaremos o ângulo pelo símbolo AOB.

Ângulo Raso é o ângulo formado por duassemi-retas opostas.

Ângulo de uma volta e ângulo nulo são for-mados por duas semi-retas coincidentes.

Interior do ângulo AOB é a intersecção dedois semiplanos cujas origens são retas con-correntes.

11

Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo

Page 12: Mate Matic a Element a Riv

Os pontos do interior de um ângulo são pon-tos internos ao ângulo.

Exterior de ângulo AOB é o conjunto dos pon-tos que não pertencem nem ao ângulo AOBnem ao seu interior.

Os pontos do exterior de um ângulo são pon-tos externos ao ângulo.

Unidade de medida de ângulos

Consideraremos um ângulo raso AOB. Divi-dindo esse ângulo em 180 partes iguais,chama-se ângulo de 1o (um grau) ao ângulo

que corresponde a do ângulo raso.

Submúltiplos do grau

Dois submúltiplos do grau merecem destaque:o minuto e o segundo.

Um minuto (1’) é igual a do grau:

Um segundo (1”) é igual a do minuto:

Dois ângulos são suplementares se, e so-mente se, a soma de suas medidas é 180o.

Se dois ângulos são adjacentes (um lado co-mum, mas não têm pontos internos comuns),suplementares e têm medidas iguais, entãocada um deles é chamado de ângulo reto esua medida é 90o.

O ângulo que mede menos que 90o é chama-do ângulo agudo, e o ângulo cuja medida estáentre 90o e 180o é chamado de ângulo obtuso.

Dois ângulos são complementares se, e so-mente se, a soma de suas medidas é 90o.

1.3 Triângulo

Três pontos A, B e C, não colineares, deter-minam três segmentos de reta:

⎯AB,

⎯BC e

⎯AC.

A reunião dos segmentos de reta ⎯AB,

⎯BC e

⎯AC

é chamado de Triângulo ABC.

Vértices: A, B e C.

Lados: ⎯AB,

⎯BC e

⎯AC.

Medidas dos lados: ⎯AB = c,

⎯BC = a e

⎯AC = b.

1.4 Razões trigonométricas no triângulo retân-gulo

Dado um ângulo agudo qualquer de medida α,considere os infinitos triângulos retângulos quepossuem ângulos de medida α. Alguns dessestriângulos são:

Observe que os triângulos OAB, OCD, OEF eOGH são semelhantes. Assim, a razão entredois lados quaisquer de um deles é igual à ra-zão entre os lados correspondentes dos outrosdois, ou seja:

As constantes r1, r2 e r3 dependem exclusiva-mente da medida α, e não das dimensões dotriângulo escolhido para obtê-las. Como osinfinitos triângulos retângulos que possuem oângulo agudo de medida α são semelhantes

12

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 13: Mate Matic a Element a Riv

entre si, as constantes r1, r2 e r3 podem ser ob-tidas, de maneira análoga, a partir de qualquerum deles, ou seja:

Estas razões trigonométricas r1, r2 e r3 são cha-madas, respectivamente, de seno do ângulo(sen α), co-seno do ângulo (cosα) e tangentedo ângulo (tg α).

Dado o triângulo retângulo abaixo:

Podemos dizer que:

Exemplos:

1. Com o auxílio de régua graduada e transfe-ridor, calcular sen 42°, cos 42° e tg 42°.

Solução:

Construímos um ângulo de 42°:

Traçamos uma perpendicular a um dos ladosdesse ângulo e obtemos o seguinte triânguloretângulo:

Medimos, com o auxílio da régua, os lados dotriângulo ABO. Temos:

AB = 2,7cm; AO = 3,0cm;

BO = 4,1cm.

Calculamos:

;

;

Nota: Com o uso da régua, cometemos, inevi-tavelmente, erros de aproximação. Portanto osresultados obtidos são valores aproximados.Existem métodos mais eficientes, que calculamesses valores com precisão desejada.

2. Sabendo que sen 36° = 0,58, cos 36° = 0,80 etg 36° = 0,72. Calcular o valor de x em cadafigura:

a)

b)

c)

Solução:

a) A razão trigonométrica que deve ser apli-cada é aquela que se relaciona com oselementos (queremos cateto oposto e te-mos a hipotenusa). A razão é o seno.

Temos:

Logo, x = 5,8cm

13

Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo

Page 14: Mate Matic a Element a Riv

b) Temos a hipotenusa e queremos encontrarcateto adjacente ao ângulo de 36°. A razãoé o co-seno.

Logo, x = 4m

c) Temos o cateto oposto e queremos o cate-to adjacente, ao ângulo de 36°. A razão é atangente.

Logo, x = 27,8km (aprox.).

3. Um engenheiro deve medir a largura de um rio.Para isso, fixa um ponto A na margem em quese encontra e um ponto B na margem oposta(conforme a figura). A seguir, desloca-se 40mperpendicularmente à reta até o ponto C emede o ângulo ACB, obtendo 44°. Qual é a lar-gura do rio? (Dados: sen 44º = 0,69, cos 44º =0,71 e tg 44º = 0,96)

Solução:

Relacionando com ângulo de 44°, queremoscalcular o cateto oposto e temos a medidado cateto adjacente que é 40m. A razão trigo-nométrica que usaremos é a tangente. Logo,temos:

A largura do rio é 38,4m.

1. Dado o triângulo ABC retângulo em A, calcule:

a) sen B b) cos B

c) tg B d) sen C

e) cos C f) tg C

2. Calcule as razões trigonométricas seno, co-seno, tangente dos ângulos agudos do tri-ângulo retângulo em que um dos catetos me-de 3 e a hipotenusa 2 .

3. Num triângulo ABC reto em A, determine asmedidas dos catetos, sabendo que a hipo-

tenusa vale 50 e .

4. Seja ABC um triângulo retângulo em A. São

dados e hipotenusa a = 6. Calcule

os catetos b e c.

5. Sabendo que sen 28º = 0,46, cos 28º = 0,88 etg 28º = 0,53, calcule o valor de x na figura:

a)

b)

c)

6. Um alpinista deseja calcular a altura de uma

14

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 15: Mate Matic a Element a Riv

encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se,horizontalmente, 80m do pé da encosta (con-forme a figura) e visualiza o topo sob um ângu-lo de 55° com o plano horizontal. Calcule aaltura da encosta. (Dados: sen 55° = 0,81, cos55° = 0,57 e tg 55° = 1,42)

7. Um teleférico deve unir os topos A e B de doismorros. Para calcular a quantidade de cabosde aço necessária para unir A e B, um en-genheiro mediu as alturas dos morros emrelação a um mesmo plano horizontal, obtendo108m e 144m. A seguir, mediu o ângulo que areta forma com a horizontal, obtendo 32°.

a) Desenhe na figura abaixo um esquema querepresente a situação.

b) Calcule a distância entre os pontos A e B,sabendo que sen 32º = 0,52, cos 32º = 0,84e tg 32º = 0,62.

8. A figura a seguir mostra um de uma circun-

ferência de centro O dividido em seis partescongruentes. Com o auxílio do esquadro, tracepelos pontos B, C, D, E e F as retas per-pendiculares ao raio OA, que cruzam esse raionos pontos B’, C’, D’, E’ e F’, respectivamente.

b) Usando a régua graduada para medir seg-mentos, complete as igualdades abaixo comas medidas em centímetros (com uma casadecimal):

OA = .......................

CC’ = .......................

DD’ = .......................

OD’ = .......................

OE’ = .......................

c) Considerando a medida do raio⎯OA como

uma unidade u, complete as igualdadesabaixo com as medidas na unidade u (comuma casa decimal):

OA = .......................

CC’ = .......................

DD’ = .......................

OD’ = .......................

OE’ = .......................

d) Usando as medidas que você obteve, com-plete as igualdades:

sen 30º = .......................

sen 45º = .......................

cos 45º = .......................

cols 60º = .......................

tg 45º = .......................

9. Se as medidas dos lados de um triângulo re-tângulo estão expressas em uma mesma uni-dade tal que a hipotenusa mede 1, completeas sentenças de modo a torná-las verdadeiras:

a) O seno de qualquer ângulo agudo dessetriângulo é a própria medida do cateto............... a esse ângulo.

b) O co-seno de qualquer ângulo agudo dessetriângulo é a própria medida do cateto............... a esse ângulo.

15

Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo

Page 16: Mate Matic a Element a Riv

1. (U. Católica de Salvador–BA) Na figura abaixo,tem-se o triângulo ABC, retângulo em B, noqual o lado

⎯BC = 8cm. A altura

⎯BH, relativa ao

vértice B, mede 4,8cm. A tangente do ânguloB AH é igual a:

a) b)

c) 1 d)

e)

2. (U. F. Santa Maria–RS) Num triângulo retân-

gulo, o co-seno de um ângulo é e a hipo-

tenusa mede 10cm. A soma dos catetos, emcentímetros, é:

a) 10 b) 12

c) 14 d) 16

e) 10

3. (UFRS) No triângulo retângulo da figura,⎯BC = 10 e cos α = 0,8. O valor de

⎯AB é:

a) 8

b) 6

c) 5

d) 4

e) 2

4. Se os raios solares formam um ângulo α com osolo, qual é, aproximadamente, o comprimentoda sombra de um prédio com 10m de altura?

(Dado )

a) 16,6m

b) 15,5m

c) 14,4m

d) 13,3m

e) 12,2m

5. O valor de sen 30° – cos 60° é:

a) 0

b) 1

c)

d)

e)

16

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 17: Mate Matic a Element a Riv

TEMA 02

RELAÇÕES ENTRE SENO, CO-SENO ETANGENTE

2.1 Propriedades e relação fundamental

Veremos algumas relações muito importantesentre as razões trigonométricas estudadas.

Observe o triângulo retângulo ABC da figuraabaixo.

Temos: e

Logo, sen A = cos C

Temos ainda: e

Logo, sen C = cos A

Concluímos, então:

Se dois ângulos são complementares (somaigual a 90°), o seno de um deles é igual ao co-seno do outro.

Calculemos agora o valor da expressão(sen A)2 + (cos A)2, a qual também indicamospor sen2 A + cos2 A.

Como e temos:

sen2 A + cos2 A =

Mas a2 + c2 = b2 pelo teorema de Pitágoras.

Portanto:

⇒ sen2 A + cos2 A = 1

Observe que esse resultado não depende doângulo A. De modo análogo, teremos para oângulo C que, sen2 C + cos2 C = 1. Então,concluímos:

Se x é a medida de um dos ângulos agudos de

um triângulo retângulo, temos:

sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental)

Calculemos agora o valor da tangente de um

dos ângulos agudos, por exemplo, o ângulo A.

Temos:

Notemos que:

Logo, (o mesmo ocorre com C).

Então, concluímos:

Se x é a medida de um dos ângulos agudos de

um triângulo retângulo, temos:

Observação – Você verá mais adiante que as

relações acima são verdadeiras para outros

ângulos.

Exemplos:

Se α e β são as medidas dos ângulos agudos

de um triângulo retângulo e , deter-

minar sen β, cos β, cos α, tg α e tg β.

Solução:

Como α + β = 90° , temos que sen α = cos β,

então: .

Como sen2 α + cos2 α = 1 ⇒

.

Sabendo que cos α = sen β, temos que

.

Calculando as tangentes, temos:

17

Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo

Page 18: Mate Matic a Element a Riv

Observação – No triângulo retângulo, a hipo-tenusa é o maior dos lados; concluímos quepara 0º < α < 90º temos:

0 < sen α < 1; 0 < cos α < 1 ; tg α > 0.

2.2 Razões trigonométricas especiais

Os valores do seno, do cosseno e da tangentepodem ser determinadas utilizando-se umacalculadora científica ou fazendo-se uso de ta-belas, chamadas tábuas.

Para alguns ângulos, esses valores podem serdeterminados facilmente, conforme veremos.

a) Ângulo de 45°

Consideremos um quadrado cujo lado medea unidades (ver figura abaixo). O teoremade Pitágoras fornece-nos a diagonal d:

a2 + a2 = d2 ⇒ d2 = 2a2 ⇒ d = a .

Então, no triângulo retângulo ABC, temos:

b) Ângulo de 60º

Consideremos um triângulo eqüilátero cujolado mede a unidades (ver figura abaixo).Como todo triângulo eqüilátero é tambémeqüiângulo, cada um de seus ângulos me-de 60°.

Traçando a altura CH, temos que, sendo umtriângulo eqüilátero, ela será também medianade

⎯AB e bissetriz de C.

A medida da altura será determinada aplicandoo teorema de Pitágoras no triângulo retânguloAHC:

.

Então, .

Desse modo, temos:

c) Ângulo de 30°

Como 30° + 60° = 90° (30° e 60° são com-plementares), temos:

Observação – Os valores encontrados não de-pendem do valor de a.

18

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 19: Mate Matic a Element a Riv

Essas razões trigonométricas podem ser co-

locadas numa tabela de dupla entrada:

Exemplos:

1. Um foguete é lançado a 200m/s, segundo um

ângulo de inclinação de 60° (ver figura). De-

terminar a altura do foguete após 4s, supondo

a trajetória retilínea e a velocidade constante.

Solução:

Após 4s, ele percorre 4.(200m) = 800m .

Temos que:

A altura é aproximadamente 692,8m.

2. Uma pessoa está na margem de um rio, onde

existem duas árvores (B e C na figura). Na ou-

tra margem, em frente a B, existe uma árvore A,

vista de C segundo um ângulo de 30°, com

relação a B. Se a distância de B a C é de 150m,

Qual é a largura do rio, nesse trecho?

Solução:

Temos:

x = 50 . ⇒ x ≈ 86,7m.

2.3 Como calcular os valores das razões trigo-nométricas com o auxílio de calculadoracientífica ou da tábua trigonométrica

Vimos exemplos apenas com ângulos que co-nhecemos os valores trigonométricos, casosparticulares (30°, 45° e 60°).

Veremos como calcular as razões trigonomé-tricas de um ângulo agudo qualquer.

Para usar uma calculadora científica, é neces-sário primeiramente dar uma boa lida no ma-nual de instruções para saber quais teclasserão utilizadas em seus cálculos.

Tenha o cuidado de verificar a unidade de me-dida de ângulos com que a calculadora estáoperando, ou seja, se o “modo” está em grausou não.

As calculadoras usam as seguintes teclas:

Seno – sin para encontrar o seno do ânguloque está no visor; sin–1 para encontrar o ângu-lo cujo seno está mostrado no visor.

Cosseno – cos para encontrar o co-seno doângulo que está no visor; cos–1 para encontraro ângulo cujo cosseno está mostrado no visor.

Exemplos:

1. Calcular sen 42°.

Solução:

Verifique se o “modo” está em DEG; se nãoestiver, coloque-o. Depois digite 42 e pressionesin. Deverá aparecer 0,6691 (aproxim.).

θ sen θ cos θ tg θ

30º

45º 1

60º

19

Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo

Page 20: Mate Matic a Element a Riv

2. Sendo A um ângulo de um triângulo retângulotal que cos A = 0,8290, determinar quantosgraus mede o ângulo A.

Solução:

Verifique o “modo”, digite 0,8290 e pressionesin–1. Aparecerá 42° (aproxim.)

Veremos como operar, no caso de não poder-mos contar com este recurso.

Para isso, necessitamos da seguinte tábua, naqual apareçam os senos e cossenos dos ân-gulos de 1° a 45°.

Tábua dos senos e cossenos

Exemplos:

1. Calcular:

a) sen 71º

b) cos 50º

Solução:

a) O ângulo de 71° não consta em nossatábua, pois ela só vai até 45°. Mas sen71º = cos 19º (ângulos complementares)

Esse valor está na tábua.

Como cos 19º = 0,9455, temos quesen 71º = 0,9455

b) O ângulo de 50° também não consta natábua, mas cos 50º = sen 40º e comosen 40º = 0,6428, temos que cos 50º = 0,6428

2. Calcular tg 23º.

Solução:

Na tábua, não existe coluna referente à tan-gente (há tábuas que possuem). No entantotemos que:

1. Determine o seno, o cosseno e a tangente domaior ângulo agudo de um triângulo ABC,onde a, b e c são as medidas dos seus lados,nos casos:

a) a = 4cm, b = 8cm e o ângulo C é reto.

b) a = 4cm, b = 8cm e o ângulo B é reto.

2. O perímetro de um triângulo retângulo mede264m e a hipotenusa mede 110m. Qual o senodo menor ângulo agudo desse triângulo?

3. Um triângulo retângulo ABC é reto em B. Sa-be-se que tg A = 1 e que um dos catetos mede15cm. Ache o perímetro do triângulo.

4. Sendo α e β as medidas dos ângulos agudosde um triângulo retângulo, determine:

a) cos α, sen β, cos β, tg α e tg β, sabendo que

.

20

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 21: Mate Matic a Element a Riv

b) sen α, cos α, sen β, tg α e tg β, sabendo que

.

5. Em um triângulo retângulo um ângulo agudomede 30°, e o lado oposto a esse ângulo mede120m. Calcule quanto mede cada um dos ou-tros lados.

6. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede60m, e um dos seus ângulos mede 60°. De-termine o perímetro desse triângulo.

7. O menor cateto de um triângulo retângulo me-de 15cm e o maior dos ângulos agudos mede60°. Ache a hipotenusa.

8. Utilizando a tábua de senos e co-senos, cal-cule:

a) sen 39º b) cos 16º

c) sen 70º d) cos 85º

e) tg 47º f) tg 29º

1. Sabendo que sen 15º ≅ 0,2588, podemos dizerque cos 75º (aprox.), é igual a:

a) 0,9659;

b) 0,3256;

c) 0,2588;

d) 0,0872;

e) nenhuma das respostas anteriores.

2. Um terreno triangular tem frentes de 6m e 8m,em ruas que formam um ângulo de 90°. A me-dida do terceiro lado do triângulo é igual a:

a) 9m b) 10m

c) 11m d) 12m

e) 13m

3. (CESEP–82) Num terreno de forma triangularem que o lado maior mede 100m, o maior ân-gulo entre os lados é 90° e um dos outros doisângulos é a metade do outro, seu lado menormede:

a) 12m

b) 33,3m

c) 17m

d) 66,6m

e) 50m

4. (COVEST–89) Um barco atravessa um rio numtrecho onde a largura é 100m seguindo umadireção que forma um ângulo de 30° com umadas margens. Assinale a alternativa certa paraa distância percorrida pelo barco para atra-vessar o rio.

a) 100m

b) 200m

c) m

d) 150m

e) 250m

5. Uma rampa lisa de 20m de comprimento fazum ângulo de 30° com o plano horizontal. Umapessoa que sobe a rampa inteira eleva-se ver-ticalmente:

a) 17m

b) 10m

c) 15m

d) 5m

e) 8m

21

Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo

Page 22: Mate Matic a Element a Riv

TEMA 03

RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS

3.1 Introdução

Vamos estender para quaisquer triângulos aspropriedades trigonométricas aplicáveis aostriângulos retângulos. Trataremos não só deseus lados e tipos de ângulos, mas também desua área. Por tratarmos de triângulos obtusân-gulos, apresentaremos senos e cossenos deângulos suplementares.

3.2 Ângulos suplementares

Os valores dos senos de dois ângulos suple-mentares coincidem, isto é:

sen(180° – x) = sen x, sendo x a medida de umângulo de um triângulo.

Exemplo:

Sendo x = 45°, temos:

Logo, sen(180º – x) = sen(180º – 45) = sen 135º ⇒

Os valores dos co-senos de dois ângulos su-plementares diferem apenas no sinal, ou seja:

cos( 180° – x) = – cos x, sendo x a medida deum ângulo de um triângulo.

Exemplo:

Sendo x = 60°, temos:

Logo,

cos( 180° – x) = cos( 180° – 60) = cos 120° ⇒

Observação – Para o caso particular dex = 90°, temos sen 90° = 1 e cos 90° = 0.

3.3 Lei dos senos

Iremos aprender agora uma relação muito im-portante, envolvendo as medidas dos lados comos senos dos ângulos de um triângulo. Essarelação é chamada lei dos senos.

Mostraremos que ela é verdadeira apenas quan-do um triângulo for acutângulo. Mais adiante,no momento oportuno, você verá como ela éaplicada para qualquer tipo de triângulo.

Assim sendo, tomemos um triângulo acutân-gulo ABC, no qual a, b e c são as medidas deseus lados, e mostremos que é verdadeira aseguinte afirmação:

(Lei dos senos)

Para isso, observe a figura a seguir.

Traçamos a altura relativa ao lado AB.

A figura acima mostra que:

(1)

Na figura abaixo, temos o mesmo triângulo coma altura relativa ao lado BC.

Temos que:

22

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 23: Mate Matic a Element a Riv

(2)

De (1) e (2), concluímos que é verdadeira a afir-mação:

(Lei dos senos)

Exemplo:

Na figura abaixo, determinar os valores de x e y.

Solução:

Temos que α + 45° + 60° = 180°, portantoα = 75°.

A lei dos senos permite escrever:

Nessa igualdade de três razões, podemos en-contrar os valores das variáveis igualando duasa duas, de forma que cada igualdade fiqueapenas com uma variável.

1. Temos que:

2. Temos também que:

Então, os lados medem: x ≅ 7,32cm e y ≅ 8,97cm.

3.4 Lei dos co-senos

Assim com a lei dos senos, a lei dos co-senosé muito importante para determinação de la-dos e ângulos de um triângulo.

Consideremos um triângulo acutângulo ABC e

mostremos que é verdadeira a seguinte afir-mação:

a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos A

(Lei dos co-senos)

Demonstração:

No triângulo retângulo CHB, da figura abaixo,pelo teorema de Pitágoras, temos a2 = h2 + n2,como h = c – m, podemos escrever quea2 = h2 + (c – m)2.

Como

Portanto, como h = b . sen A e m = b . cos A,temos:

a2 = (b . sen A)2 + (c – b . cos A)2

a2 = b2 . sen2 A + c2 – 2 . b . c . cos A + b2 . cos2 A

. c . cos A

Dessa forma, concluímos:

a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos A

(Lei dos co-senos)

De modo análogo, demonstra-se que:

b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos B

e

c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C

Exemplo:

Dado o triângulo ABC (ver figura), determinarx, α e β.

23

Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo

Page 24: Mate Matic a Element a Riv

Solução:

Pela lei dos cossenos, temos:

x2 = 502 + 402 – 2 . 50 . 40 . cos 60°

Substituindo cos 60° por 0,5, obtemos:

x2 = 2100, portanto x ≅ 45,83.

Aplicando a lei dos senos, temos:

.

Com o auxílio de calculadora científica ou con-sultando a tábua trigonométrica, teremos: α ≅ 71°.

Como β = 180° – 60° – α, temos que:

β ≅ 180° – 60° – 71°, portanto β ≅ 49°.

3.5 Cálculo da área de um triângulo em funçãodas medidas de dois lados e do ângulocompreendido por eles.

Para calcular a área do triângulo MNP, vamosindicar por h a medida da altura relativa ao lado⎯NP:

Assim, a área A desse triângulo é dada por:

(I)

No triângulo MNQ, temos , ou ainda:

h = a . sen α (II)

Substituindo (II) em (I), obtemos a área do tri-ângulo em função de a, b e α:

ou seja:

Observe que esse cálculo foi feito para α < 90°;porém o resultado vale também para α = 90°ou α > 90°.

Exemplo:

Determine, em centímetros quadrados, a áreado triângulo representado na figura abaixo.

Temos:

Como sen 30° = 0,5

Logo,

A = 10cm2

1. Dois lados consecutivos de um paralelogramomedem cm e 2cm e formam entre si um ân-gulo de 30°. Calcule a medida da maior dia-gonal desse paralelogramo.

2. Seja ABC um triângulo isósceles tal que ⎯AB =

⎯AC = 18cm e , onde α é a medi-

da do ângulo B AC. Sendo M o ponto médio dolado

⎯AB e P o ponto de

⎯AC tal que

⎯AP = 6cm,

calcule o perímetro do quadrilátero MPCB.

3. Dois lados consecutivos de um paralelogramomedem 5cm e 10cm e formam entre si um ân-gulo de 120°. Calcule as medidas das diago-nais desse polígono.

4. Um triângulo ABC está inscrito numa circun-ferência de raio r. A medida do lado

⎯BC é igual

a r. Calcule a medida do ângulo A.

5. (Vunesp) Os lados de triângulo medem 2 ,e 3 + . Determine a medida do

ângu-lo oposto ao lado de medida .

24

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 25: Mate Matic a Element a Riv

1. (Fuvest) Um triângulo ABC é retângulo em A.Se o seno do ângulo B é 0,8, qual o valor datangente de C?

a) 0,25

b) 0,50

c) 0,75

d) 1,00

e) 1,25

2. (UEPB) Com uma velocidade constante de30km/h, um móvel parte de A e segue numadireção que forma com a reta um ângulode 30°. Após 4h de percurso, a que distância omóvel se encontra da reta ?

a) 60km

b) 60 km

c) 120km

d) 75km

e) 50km

3. (UF–PI) Um avião decola, percorrendo uma tra-jetória retilínea, formando com o solo um ân-gulo de 30° (suponha que a região sobrevoadapelo avião seja plana). Depois de percorrer1000 metros, a altura atingida pelo avião, emmetros, é:

a) 500

b) 750

c) 1000

d) 1250

e) 1500

4. (UF–CE) Sejam α e β os ângulos agudos deum triângulo retângulo. Se sen α = sen β e sea medida da hipotenusa é 4cm, a área dessetriângulo (em cm2) é:

a) 2

b) 4

c) 8

d) 12

e) 165. (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um

triângulo retângulo medem 2a e 4a, respec-

tivamente, então a tangente do ângulo opostoao menor lado é:

a) 2

b)

c)

d)

e) 3

6. (UF–PI) Sejam e os ângulos internos de um tri-ângulo retângulo, satisfazendo a condiçãosen α = 2 sen β. Se a medida do lado opostoao ângulo α mede 20cm, a medida, em cen-tímetros, do lado oposto ao ângulo β é:

a) 10 b) 20

c) 30 d) 40

e) 50

7. (Cefet–MG) Uma escada que mede 6m estáapoiada em uma parede. Sabendo-se que ela

forma com solo um ângulo α e que ,

a distância de seu ponto de apoio na paredeaté o solo, em metros, é:

a) 4

b) 5

c) 2

d) 3

e)

8. (UF–PR) Calcule o seno do maior ângulo de umtriângulo cujos lados medem 4, 6 e 8 metros.

a) b)

c) d)

e)

9. (Mackenzie–SP) Num retângulo de lados 1cme 3cm, o seno do menor ângulo formado pelas

25

Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo

Page 26: Mate Matic a Element a Riv

diagonais é:

a) b)

c) d)

e)

10. (Unifor–CE) Um terreno de forma triangular temfrentes de 10m e 20m, em ruas que formam,entre si, um ângulo de 120°. A medida do ter-ceiro lado do terreno, em metros, é:

a) 10

b) 10

c) 10

d) 26

e) 20

11. (Unifor–CE) As medidas de dois lados conse-cutivos de um paralelogramo são x cm e xcm, e a diagonal maior tem medida 2xcm.Então, a medida da outra diagonal, em cen-tímetros, é igual a:

a) x

b) x

c) x

d) x

e) x

12. (U.F.Ouro Preto–MG) Um ciclista de uma provade resistência deve percorrer 500km em tornode uma pista circular de raio 200m. O númeroaproximado de voltas que ele deve dar é:

a) 100 b) 200

c) 300 d) 400

e) 500

13. (UFAM) A medida do menor ângulo central for-mado pelos ponteiros de um relógio que estámarcando 10h30min, em graus, é:

a) 150 b) 120

c) 105 d) 135

e) 11514. (PUC–MG) Ao mesmo tempo em que anda em

uma pista, um menino acompanha e faz girar

um pneu circular cujo diâmetro mede 1m. Quan-do o pneu tiver dado 100 voltas, o menino terápercorrido aproximadamente:

a) 156m

b) 314m

c) 412m

d) 628m

e) n.d.a.

15. (UF–CE) Um relógio marca que faltam 15 minu-tos para as 2 horas. Então, o menor dos doisângulos formados pelos ponteiros das horas edos minutos mede:

a) 142°30’

b) 150°

c) 157°30’

d) 135°

e) 127°30’

26

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 27: Mate Matic a Element a Riv

UNIDADE IITrigonometria na Circunferência

Page 28: Mate Matic a Element a Riv
Page 29: Mate Matic a Element a Riv

TEMA 04

ARCOS E ÂNGULOS

4.1 Introdução

Trabalhamos com várias relações envolvendoas medidas de lados e ângulos de um triân-gulo. Entre as relações estudadas, estavam asrazões trigonométricas de ângulos agudos: se-no, cosseno e tangente.

O ramo da matemática que estuda esses tiposde relações é chamado trigonometria (do gre-go trígonon, triângulo, e metria, medição, atode medir). O vocábulo foi criado em 1595, pelomatemático alemão Bartholomäus Pitiscus(1561-1613).

Nesta unidade, prepararemos o terreno para oestudo das funções trigonométricas. Essas fun-ções são muito importantes, pois inúmerosfenômenos que ocorrem em nossa volta sãodescritos por funções desse tipo. Por exemplo,ocorre com a eletricidade, com as ondas so-noras, com os estudos topográficos, etc.

4.2 Arcos e ângulos

Se um ponto móvel em uma circunferência par-tir de A e parar em M, ele descreve um arco

. O ponto A é a origem do arco, e M é aextremidade do arco.

Quando escolhemos um dos sentidos de per-curso, o arco é denominado arco orientado esimplesmente pode ser denotado por se osentido de percurso for de A para B e quan-do o sentido de percurso for de B para A.

Quando não consideramos a orientação dosarcos formados por dois pontos A e B sobreuma circunferência, temos dois arcos não- ori-entados sendo A e B as suas extremidades.

Medida de um arco

A medida de um arco de circunferência é feita

por comparação com um outro arco da mesma

circunferência tomado como a unidade de

arco. Se u for um arco de comprimento unitário

(igual a 1), a medida do arco é o número

de vezes que o arco u cabe no arco .

Na figura abaixo, a medida do arco é 5

vezes a medida do arco u. Denotando a me-

dida do arco por m( ) e a medida do

arco u por m(u), temos m( )=5 m(u)

A medida de um arco de circunferência é a

mesma em qualquer um dos sentidos. A medi-

da algébrica de um arco AB desta circunfe-

rência é o comprimento deste arco, associado

a um sinal positivo se o sentido de A para B for

anti-horário, e negativo se o sentido for horário.

O número pi

Para toda circunferência, a razão entre o perí-

metro e o diâmetro é constante. Esta constante

é denotada pela letra grega , que é um número

irracional, isto é, não pode ser expresso como

a divisão de dois números inteiros. Uma apro-

ximação para o número é dada por:

π = 3,141592653589793238462643383...

Unidades de Medidas de arco

A unidade de medida de arco do Sistema In-

ternacional (SI) é o radiano, mas existem ou-

tras medidas utilizadas pelos técnicos que são

o grau e o grado. Este último não é muito usa-

do, por isso não falaremos sobre ele..

Radiano – Medida de um arco que tem o mes-

mo comprimento que o raio da circunferência

na qual estamos medindo o arco. Assim, o arco

tomado como unidade tem comprimento igual

ao comprimento do raio ou 1 radiano, que de-

notaremos por 1 rad.

29

Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência

Page 30: Mate Matic a Element a Riv

30

UEA – Licenciatura em Matemática

Grau – Medida de um arco que corresponde a

do arco completo da circunferência na

qual estamos medindo o arco. Portanto a cir-cunferência tem 360°.

Podemos estabelecer os resultados seguintes:

Podemos expressar esse arco por: 90° ou .

Temos a metade da circunferência que cor-responde a 180° ou π rad

Corresponde 270° ou rad.

Temos uma volta completa na circunferência,que corresponde 360° ou 2πrad.

Observação: 0° = 0 rad.

O grau tem seus submúltiplos. Sabemos que:

1° = 60’ e que 1’ = 60”.

Faremos algumas operações com medidas emgraus, minutos e segundos.

Adição

Na adição de duas medidas em graus, minu-tos e segundos, somamos separadamente, osgraus, os minutos e os segundos.

Exemplos:

1. Efetuar: 32°45’17” + 26°36’50”

Solução:

Como 60”= 1’, podemos escrever 67’ = 1’7”.

Logo, 58° 82’ 67” = 58° 82’ 7”

Temos, ainda, que 60’ = 1°, o que nos permiteescrever 82’ = 1°22’.

Logo, 58° 81’ 7” = 28° 22’ 7”

Subtração:

2. Efetuar: 53° 26’ 17” – 53° 34’ 15”

Solução:

3. Considerando-se um relógio com ponteiro dashoras e dos minutos, calcular:

a) O deslocamento do ponteiro das horas em1 hora.

b) O deslocamento do ponteiro das horas em1 minuto.

c) O deslocamento do ponteiro dos minutosem 1 hora.

d) O deslocamento do ponteiro dos minutosem 1 minuto.

e) O menor arco determinado pelos ponteirosquando for 3h10min.

Page 31: Mate Matic a Element a Riv

31

Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência

Solução:

a) Veja o que ocorre, por exemplo, das 3h às

4h.

O mostrador está dividido em 12 partes

iguais; para cada hora, corresponderá um

deslocamento de 360 dividido por 12, ou

seja, em 1 hora o ponteiro das horas deslo-

ca-se 30°.

b) Sabemos que em 1 hora (60 min) o ponteiro

das horas se desloca 30°. Efetuamos,

então, uma regra de três simples e direta:

Tempos (min) Deslocamento (graus)

60 → 30

1 → x

Temos que:

Então, em cada minuto o ponteiro das ho-

ras desloca-se 0,5°.

c) Em 1 hora, o ponteiro dos minutos dá uma

volta completa, ou seja, o deslocamento é

de 360°.

d) Em 1 hora (60 min), o ponteiro dos minutos

se desloca 360°. Temos a regra de três sim-

ples e direta:

Tempos (min) Deslocamento (graus)

60 → 360

1 → x

Temos que:

Então, em cada minuto o ponteiro dos mi-

nutos desloca-se 6°.

d) Vamos analisar o que ocorre desde as 3h

até 3h10min.

Às 3h, o arco das horas era de 3 . 30, ouseja 90°.

Nos 10min, o ponteiro das horas deslocou-se 10 . 0,5º grau, ou seja, 5° (aumentou oarco).

Nos mesmos 10min, o ponteiro dos minutosdeslocou-se 10 . 6°, ou seja, 60°. Paraencontrarmos o arco procurado, efetuamosuma subtração do percurso feito pelo pon-teiros das horas com o percurso feito peloponteiro dos minutos.

Temos: (90° + 5°) – 60° = 35°

Então, o menor arco às 3h10min mede 35°.

Conversão de Graus para radiano e vice-versa.

Dado um arco em graus, para conhecermosseu valor em radianos, ou vice-versa, usaremosa relação (considerada mais simples):

180° - - - - - - - - π rad

Exemplos:

1. Para determinar a medida em radianos de umarco de medida 60 graus, fazemos:

Solução:

180° - - - - - - - - π rad

60° - - - - - - - - - x

Como é uma regra de três simples e direta,podemos escrever:

rad.

2. Determinar a medida em graus de um arco demedida 1 radiano.

Solução:

180° - - - - - - - - π rad

x - - - - - - - - - - 1 rad

Page 32: Mate Matic a Element a Riv

32

UEA – Licenciatura em Matemática

Temos que:

(como π ≅ 3,14), x ≅ 57,32°

4.3 Medida de um ângulo central

Um ângulo, com vértice no centro de uma cir-cunferência, é chamado de ângulo central.

A figura abaixo mostra o ângulo central AOB.

O número que exprime a medida de um ângu-lo AOB (central) é o mesmo que exprime amedida do arco . Assim, se a medida doarco for em graus, o ângulo terá sua medidaem graus; se a medida do arco for em radianos,o ângulo terá sua medida em radianos.

Exemplos:

1. A circunferência abaixo tem 8cm de raio. Uminseto parte do ponto A e anda sobre ela até oponto B. Sabendo que a medida do ângulocentral AOB é 60°, determinar quantos cen-tímetros andou o inseto.

Solução:

Lembrando que o comprimento da circunfe-rência é C = 2 . π . r e que o raio r = 8cm, te-mos a seguinte regra de três simples:

Ângulo central comprimento do arco

360° ----------------------------------- 2 . π . 8

60° ----------------------------------- x

Então:

O inseto andou aproximadamente 8,37cm.

2. Numa circunferência que tem 28cm de diâme-tro, um arco tem 12cm de comprimento. Qualé a medida (em rad) do ângulo central corre-spondente?

Solução:

Se o diâmetro mede 28cm, então o raio mede14cm. Temos a seguinte regra de três simplese direta:

Ângulo central (rad) Comprimento do arco (cm)

2 . π 2 . π . 14

x 12

Temos que:

Portanto o ângulo central mede aproximada-mente 0,86rad.

3. Determinar quanto mede o raio de uma circun-ferência, sabendo que um arco que mede

10cm corresponde a um ângulo central de

radianos.

Solução:

Ângulo central (rad) Comprimento do arco (cm)

2 . π 2 . π . r10

Temos que:

Portanto o raio da circunferência mede 12cm.

1. Efetue:

a) 50º 35’ 40” + 27º 30’ 35”

b) 30º – 23º 7’ 30”

Page 33: Mate Matic a Element a Riv

33

Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência

2. Exprima em radianos:

a) 60° c) 270°

b) 120° d) 330°

3. Usando π = 3,14, determine:

a) O comprimento de um arco de circunferên-cia (em cm), sabendo que ela tem 12cm deraio, e o ângulo central correspondente mede20°.

b) O ângulo central (em rad) correspondente aum arco de 15cm de comprimento, saben-do que ela tem raio de 20cm.

c) A medida do raio de uma circunferência (emcm), sabendo que nela um ângulo centralde 15° corresponde a um arco de 30cm.

4. A roda dianteira de uma bicicíeta tem 40cm deraio.

a) Quantos metros ela percorre ao dar 5000voltas?

b) Quantas voltas ela deve dar para percorrer9420m?

5. Quando Pedrinho comprou sua bicicleta, opneu era bem borrachudo e tinha 35cm deraio. Nessa época, para ir de sua casa à esco-la, o pneu girava 345 vezes. Depois de muitouso, o pneu ficou “careca”, tendo perdido 0,5cm de sua casca. Quantas vezes a roda dabicicleta deverá girar para fazer o mesmo traje-to, agora com pneu “careca”? (Usar π = 3,14)

6. Numa pista de autorama, uma curva tem 60cme é arco de uma circunferência. Se o ângulo

central correspondente é de , determine

o raio da circunferência.

1. (Fesp–SP) A medida em radianos de uma arcode 12° é:

a) b)

c) d)

e)

2. O ângulo agudo formado pelos ponteiros deum relógio quando ele marca 1h20min é:

a) 120°

b) 110°

c) 100°

d) 90°

e) 80°

3. (UFPI) Supondo que o movimento dos ponteirosde um relógio seja contínuo (não aos saltos), oângulo que esses ponteiros formam quando orelógio marca 11 horas e 45 minutos é:

a) 60°30’

b) 72°

c) 60°

d) 82°30’

e) 85°

4. (Faap–SP) Dois ciclistas percorrem, no mesmosentido, uma pista circular de 50 metros de diâ-metro. A cada volta, o primeiro percorre 2,5m amais do que o segundo. Supondo que man-tenham o mesmo ritmo, o primeiro ciclista terápercorrido 1 radiano a mais do que o segundoapós:

a) 20 voltas;

b) 15 voltas;

c) 10 voltas;

d) 5 voltas;

e) 2,5 voltas.

Page 34: Mate Matic a Element a Riv

TEMA 05

CICLO TRIGONOMÉTRICO

5.1 Noções gerais

Considere uma circunferência de raio unitáriocom centro na origem de um sistema carte-siano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto Aserá tomado como a origem dos arcos orien-tados nessa circunferência, e o sentido posi-tivo considerado será o anti-horário. A regiãocontendo essa circunferência e todos os seuspontos interiores é denominada círculo trigo-nométrico.

Nos livros de língua inglesa, a palavra “círculo”refere-se à curva envolvente da região circular,enquanto circunferência de círculo é a medidadessa curva. No Brasil, a circunferência é acurva que envolve a região circular.

Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigo-nométrico em quatro quadrantes, que são enu-merados como segue:

1.° Quadrante – abscissa: positiva; ordenada:positiva; 0° < ângulo < 90°

2.° Quadrante – abscissa: negativa; ordenada:positiva; 90° < ângulo < 180°

3.° Quadrante – abscissa: negativa; ordenada:negativa; 180° < ângulo < 270°

4.° Quadrante – abscissa: positiva; ordenada:negativa; 270° < ângulo < 360°

Os quadrantes são usados para localizar pon-tos e a caracterização de ângulos trigonomé-tricos. Por convenção, os pontos situados so-bre os eixos não pertencem a qualquer um dosquadrantes.

5.2 Arcos com mais de uma volta

Em Trigonometria, algumas vezes precisamosconsiderar arcos cujas medidas sejam maioresdo que 360°. Por exemplo, se um ponto móvelparte de um ponto A sobre uma circunferênciano sentido anti-horário e para em um ponto M,ele descreve um arco . A medida dessearco (em graus) poderá ser menor ou igual a360° ou ser maior do que 360°. Se essa medi-da for menor ou igual a 360°, dizemos que essearco está em sua primeira determinação.

Acontece que o ponto móvel poderá percorrera circunferência uma ou mais vezes em umdeterminado sentido, antes de parar no pontoM, determinando arcos maiores do que 360°ou arcos com mais de uma volta. Existe umainfinidade de arcos mas com medidas diferen-tes, cuja origem é o ponto A e cuja extremi-dade é o ponto M.

Seja o arco , cuja primeira determinaçãotenha medida igual a m. Um ponto móvel queparta de A e pare em M pode ter várias me-didas algébricas, dependendo do percurso.

34

UEA – Licenciatura em Matemática

34

Page 35: Mate Matic a Element a Riv

Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da

circunferência trigonométrica será extremidade

de uma infinidade de arcos positivos de medi-

das algébricas.

m, m + 2π, m + 4π, m + 6π...

Se o sentido for o horário, o ponto M será

extremidade de uma infinidade de arcos nega-

tivos de medidas algébricas.

m – 2π, m – 4π, m – 6π...

Temos, assim, uma coleção infinita de arcos com

extremidade no ponto M.

Generalizando esse conceito, se m é a medida

da primeira determinação positiva do arco AM,

podemos representar as medidas desses arcos

por: µ( ) = m + 2 . k . π, onde k é um

número inteiro.

Família de arcos – Uma família de arcos { }

é o conjunto de todos os arcos com ponto ini-

cial em A e extremidade em M.

Exemplo:

Se um arco de circunferência tem origem em A

e extremidade em M, com a primeira determi-

nação positiva medindo , então os arcos

desta família { }, medem:

Determinações positivas:

k = 0

k = 1

k = 2

k = 3

...

...

k = n

Determinações negativas:

k = –1

k = –2

k = –3

k = –4

...

...

k = –n

5.3 Arcos côngruos e ângulos

Arcos côngruos – Dois arcos são côngruos sea diferença de suas medidas é um múltiplo de2π.

Exemplo: Arcos de uma mesma família sãoarcos côngruos.

Ângulos – As noções de orientação e medidaalgébrica de arcos podem ser estendidas paraângulos, uma vez que cada arco da cir-cunferência trigonométrica corresponde a umângulo central determinado pelas semi-retas→

OA e →

OM.

Como no caso dos arcos, podemos considerardois ângulos orientados: um positivo (sentidoanti-horário) com medida algébrica a corres-pondente ao arco e outro negativo (sen-tido horário) com medida b = a – 2π corres-pondente ao arco .

Existem também ângulos com mais de umavolta, e as mesmas noções apresentadas paraarcos aplicam-se para ângulos.

5.4 Arcos de mesma origem, simétricos emrelação ao eixo OX.

Sejam os arcos e na circunferênciatrigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M eM' simétricos em relação ao eixo horizontal OX.Se a medida do arco é igual a m, então amedida do arco é dada por:

µ( ) = 2π – m.

35

Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência

Page 36: Mate Matic a Element a Riv

5.5 Arcos de mesma origem, simétricos emrelação ao eixo OY.

Sejam os arcos e na circunferênciatrigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M'simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se amedida do arco for igual a m, então amedida do arco será dada pela expressão

µ( ) = π – m.

Os arcos da família { }, isto é, aqueles comorigem em A e extremidade em M', medem:

µ( )= 2kπ + π – m = (2k + 1)π – m, em quek é um número inteiro.

5.6 Arcos de mesma origem, simétricos emrelação à origem.

Sejam os arcos e na circunferênciatrigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M'simétricos em relação a origem (0,0).

Se a medida do arco é igual a m, então amedida do arco é dada por:

µ( )= π + m.

Arcos genéricos com origem em A e extremi-dade em M' medem:

µ( )= 2kπ + π + m = (2k + 1)π + m

Exemplos:

1. Obter a primeira determinação positiva dosarcos cujas medidas são:

a) 125° b) 1250°

c) d) 380°30’

Solução:

a) 125°

Como 0° < 125° < 360°, então a primeiradeterminação positiva é 125°.

b) 1250°

Observando que cada 360° corresponde auma volta no ciclo, temos que:

portanto 1250º = 3 . 360 + 170º.

Então, a primeira determinação positiva é 170°.

c)

Lembrando que cada 2π rad corresponde auma volta no ciclo, temos:

assim sendo, a primeira determinação po-

sitiva é .

c) 380°30’

Temos que:

Então, a primeira determinação positiva é20°30’.

2. Calcular a primeira determinação positiva, e aprimeira determinação negativa dos arcos cujasmedidas são:

a) –45° b) 400°

c) –800° d)

Solução:

a) –45°

Essa é a primeira determinação negativa.Como a primeira determinação negativa doarco trigonométrico µ(AM) = m + k . 360º,com k ∈ , ocorre quando k = –1, temosque:

–45º = m – 1 . 360 ⇒ m = 360º – 45º = 315º

36

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 37: Mate Matic a Element a Riv

Então a primeira determinação positiva é 315°e a primeira determinação negativa é –45°.

Veja a ilustração:

b) 400°

Temos que 400° = 360° + 40°.

Assim sendo, a primeira determinação posi-tiva é 40°.

O arco trigonométrico é, portanto:

µ(AM) = 40° + k . 360º, com k ∈ ,

Como a primeira determinação negativaocorre quando k = –1, temos:

m = 40° – 360° = –320°

Dessa forma, concluímos que a primeiradeterminação positiva é 40° e a primeiradeterminação negativa é –320°.

Veja a ilustração:

c) –800°

Note que cada -360° corresponde a umavolta no ciclo, dada no sentido negativo.Então:

Assim, a primeira determinação negativa é–80°.

Como no arco trigonométrico µ(AM) = m +k . 360º, com k ∈ , a primeira determi-nação negativa ocorre quando k = –1,temos:

–80° = m – 360° ⇒ m = 360° – 80° = 280°

d)

Como cada –2π rad corresponde a umavolta no ciclo, dada no sentido negativo,temos que:

Assim, é a primeira determinação

negativa. Como no arco trigonométricoµ(AM) = 40° + k . 2π, com k ∈ , a primei-ra determinação negativa ocorre quando k= –1, temos:

concluí-mos que a primeira determinação

positiva é e a primeira determinação

negativa é .

1. Dê a primeira determinação positiva e a primei-ra dos arcos cujas medidas são:a) 54°

c)

b) 840°

d)

2. Calcule a primeira determinação negativa dosarcos cujas medidas são:

a) 64°

b) 540°24’

c)

d)

3. Obtenha a primeira determinação positiva e aprimeira determinação negativa dos arcos demedidas:

37

Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência

Page 38: Mate Matic a Element a Riv

a) –100° b) –800°

c)

d)

4. No arco trigonométrico µ = m + 2 . k . π, k ∈ ,calcule:

a) a primeira determinação negativa, se a pri-

meira determinação positiva for .

b) a primeira determinação positiva primeira

determinação negativa for .

5. No arco trigonométrico µ = m + 2 . k . π, k ∈ ,calcule:

a) a primeira determinação negativa, se a pri-meira determinação positiva for 145°.

b) a primeira determinação positiva, se a pri-meira determinação negativa for –240°.

TEMA 06

SENO, COSSENO E TANGENTE

6.1 Seno e co-seno

Dada uma circunferência trigonométrica con-tendo o ponto A=(1,0) e um número real x,existe sempre um arco orientado sobreessa circunferência, cuja medida algébrica cor-responde a x radianos.

Seno – No plano cartesiano, consideremosuma circunferência trigonométrica, de centroem (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um pontodessa circunferência, localizado no primeiroquadrante; este ponto determina um arco que corresponde ao ângulo central a. A proje-ção ortogonal do ponto M sobre o eixo OXdetermina um ponto C=(x',0) e a projeção or-togonal do ponto M sobre o eixo OY determinaoutro ponto B=(0,y').

A medida do segmento ⎯OB coincide com a or-

denada y' do ponto M e é definida como o senodo arco que corresponde ao ângulo a,denotado por sen( ) ou sen(a).

Como temos várias determinações para o mes-mo ângulo, escreveremos:

sen( ) = sen(a) = sen(a + 2kπ) = y’

Para simplificar os enunciados e as definiçõesseguintes, escreveremos sen(x) para denotar oseno do arco de medida x radianos.

Cosseno

Como antes, existem várias determinações para

38

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 39: Mate Matic a Element a Riv

este ângulo, razão pela qual, escrevemos:

cos( ) = cos(a) = cos(a + 2kπ) = x’

6.2 Tangente

Seja a reta t tangente à circunferência trigo-nométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpen-dicular ao eixo OX. A reta que passa pelo pontoM e pelo centro da circunferência intercepta areta tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenadadeste ponto T é definida como a tangente doarco correspondente ao ângulo a.

Assim, a tangente do ângulo a é dada pelassuas várias determinações:

tg( ) = tg(a) = tg(a + kπ) = t’

6.3 Ângulos no segundo quadranteArcos no primeiro quadrante

Podemos escrever M = ((cos a), (sen a)) eT = (1, tag(a)), para cada ângulo a do primeiroquadrante. O seno, o cosseno e a tangentede ângulos do primeiro quadrante são todospositivos.

Um caso particular importante é quando o pon-to M está sobre o eixo horizontal OX. Nessecaso:

cos(0)=1, sen(0) = 0 e tg(0) = 0

Ampliaremos essas noções para ângulos nosoutros quadrantes.

6.4 Arcos no segundo quadrante

Se, na circunferência trigonométrica, tomamoso ponto M no segundo quadrante, então o ân-gulo a entre o eixo OX e o segmento

⎯OM

pertence ao intervalo . Do mesmo

modo que no primeiro quadrante, o co-seno

está relacionado com a abscissa do ponto M eo seno com a ordenada deste ponto. Como o

ponto M = (x, y) possui abscissa negativa eordenada positiva, o sinal do seno do ângulo ano segundo quadrante é positivo, o co-senodo ângulo a é negativo e a tangente do ângu-lo a é negativa.

Outro caso particular importante é quando o

ponto M está sobre o eixo vertical OY ( ) e

neste caso:

, e

6.5 Arcos no terceiro quadrante

O ponto M=(x,y) está localizado no terceiroquadrante, o que significa que o ângulo per-

tence ao intervalo: . Este ponto

M = (x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) doprimeiro quadrante, em relação à origem dosistema, indicando que tanto a sua abscissaqaunto a sua ordenada são negativos. O senoe o co-seno de um ângulo no terceiro qua-drante são negativos, e a tangente é positiva.

Em particular, se a = π radianos, temos que:

cos π = –1, sen π = 0 e tg π = 0

6.6 Arcos no quarto quadrante.

O ponto M está no quarto quadrante,

. O seno de ângulos no quarto

39

Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência

Page 40: Mate Matic a Element a Riv

quadrante é negativo, o cosseno é positivoe a tangente é negativa.

Quando o ângulo mede , a tangente não

está definida, pois a reta não intercepta a

reta t, estas são paralelas. Quando ,

temos:

,

6.7 Simetria em relação ao OX e OY

Em uma circunferência trigonométrica, se M éum ponto no primeiro quadrante e M' o simé-trico de M em relação ao eixo OX, estes pontosM e M' possuem a mesma abscissa e as orde-nadas possuem sinais opostos.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a oângulo correspondente ao arco e b o ân-gulo correspondente ao arco , obtemos:

sen(b) = –sen(a)

cos(b) = cos(a)

tg(b) = –tg(a)

Seja M um ponto da circunferência trigonomé-trica localizado no primeiro quadrante, e sejaM' simétrico a M em relação ao eixo OY, estespontos M e M' possuem a mesma ordenada, eas abscissa são simétricas.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a oângulo correspondente ao arco e b o ân-gulo correspondente ao arco . Desse mo-do:

sen(b) = sen(a)

cos(b) = –cos(a)

tg(b) = –tg(a)

6.8 Simetría em relação à origem.

Seja M um ponto da circunferência trigonomé-trica localizado no primeiro quadrante, e sejaM’ simétrico de M em relação à origem; estespontos M e M' possuem ordenadas e abscis-sas simétricas.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a oângulo correspondente ao arco e b o ân-gulo correspondente ao arco . Desse modo:

sen(b) = –sen(a)

cos(b) = –cos(a)

tg(b) = tg(a)

6.9 Seno e co-seno de ângulos notáveis

Uma maneira de obter o valor do seno e co-seno de alguns ângulos que aparecem commuita frequência em exercícios e aplicações,sem necessidade de memorização, é pormeio de simples observação no círculotrigonométrico.

40

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 41: Mate Matic a Element a Riv

Exemplos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

1. Calcule as expressões:

a)

b)

2. Sabendo que , qual é o valor do

seno de:

a) b)

3. Calcule as expressões:

a)

b)

4. Sabendo que , qual é o valor do co-

seno de:

a) b)

5. Qual é o sinal de cada uma das expressões:

a) y1 = sen 45º + cos 45º

b)

6. Calcule as expressões:

a)

b)

7. Sabendo que , qual é o valor da

tangente de:

a)

b)

41

Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência

Page 42: Mate Matic a Element a Riv

TEMA 07

RAZÕES RECÍPROCAS DO SENO, CO-SENO, DA TANGENTE E OUTRASRELAÇÕES.

7.1 Cotangente, secante e cossecante de umarco trigonométrico

Essas três novas relações têm relativa impor-tância na trigonometria, pois sempre que exi-gidas podem ser substituídas por expressõesem seno, cosseno e tangente.

Indicamos a cotangente de um arco α, a se-cante de α e a cossecante de α pelos símbo-los cotg α, sec α e cosec α, respectivamente.

Definições:

, para sen α ≠ 0;

, para cos α ≠ 0;

, para sen α ≠ 0;

Observe, pela definição de cotg α, que, sealém de sen α ≠ 0 tivermos também cos ≠ 0,então:

Exemplos:

1. Calcular:

a) cotg 30º

b) sec 180º

c) cosec 90º

Solução:

a)

b)

c)

7.2 Relações entre as razões trigonométricas

A figura abaixo mostra um ciclo trigonométrico,no qual foi destacado um arco que medex rad.

O triângulo retângulo OMM1 fornece-nos:

Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos arelação fundamental:

sen2 x + cos2 x = 1

Analisando agora, o triângulo retângulo OATfornece-nos:

Os triângulos OMM1 e OAT são semelhantes,pois possuem ângulos de mesma medida. As-sim sendo, seus lados homólogos são propor-cionais. Portanto:

42

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 43: Mate Matic a Element a Riv

, esta relação é verdadeira

para todo x tal que cos ≠ 0.

Sabendo, portanto, que OT = sec x, temos:

Aplicando teorema de Pitágoras no triânguloretângulo OAT, encontramos:

1 + tg2 x = sec2 x

A relação acima é verdadeira sempre que asrazões envolvidas existam, ou seja, quando Mnão coincidir com B ou com B1.

Além disso, temos:

.

Logo, 1 + cotg2 x = cos sec2 x

Relações desse tipo, que fornecem sentençasnuméricas verdadeiras para qualquer valor dex, são chamadas de identidades.

Exemplos:

1. Sabendo que , com , deter-

mine:

a) cos α

b) tg α

c) sec α

Solução:

a) cos α = ?

Temos que :

Como x é do 2.o quadrante, o valor do co-seno é negativo.

Portanto: .

b) tg α =?

Temos que:

2. Sendo tg x = com , determinar

cos x.

Solução:

Temos que 1 + tg2 x = sec2 x.

Então: 1 + ( )2 = sec2 x = 1 + 2 + 3 ⇒

Como o co-seno é negativo no 3.º quadrante,

temos:

1. Calcule as expressões:

a)

b)

2. Sabendo que , qual é o valor da

co-tangente de:

a) b)

3. Sabendo que , qual é o valor da se-

cante de:

a)

b)

43

Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência

Page 44: Mate Matic a Element a Riv

4. Qual é o sinal de cada uma das expressões:

a) y1 = sec 269º + sen 178º

b)

5. Sabendo que , qual é o valor

da secante de:

a)

b)

6. Qual é o sinal de cada uma das expressões:

a) y1 = cos91º + cosec 91º

b) y2 = sen 107º + sec 107º

TEMA 08

REDUÇÃO AO 1.º QUADRANTE

Vamos deduzir fórmulas para calcular as ra-zões trigonométricas de x, com x não perten-cente ao 1.o Quadrante, relacionando com al-gum elemento do 1.o quadrante. A meta é ficarconhecendo sen x, cos x e tg x a partir de umatabela que dê as razões circulares dos reais

entre .

8.1 Redução do 2.o ao 1.o quadrante

Dado o número real x tal que , seja P

a imagem de x no ciclo (ou seja, = x). SejaP’ o ponto do ciclo, simétrico de P em relaçãoao eixo dos senos.

Temos:

+ ’ = π (no sentido anti-horário) e,como = ’, vem: + ’ = π, portan-to ’ = π – x.

Podemos concluir que:

sen x = sen(π – x)

cos x = –cos(π – x)

Levando em conta as relações fundamentais,também temos que:

cot gx = –cot g (π – x)

sec x = –sec(π – x)

cosec x = cosec(π – x)

Exemplos:

sen 115º = sen(180º – 115º) = sen 65º

cos 120º = –cos(180º – 120º) = –cos 60º

44

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 45: Mate Matic a Element a Riv

8.2 Redução do 3.o ao 1.o quadrante

Dado o número real x tal que , seja P

a imagem de x no ciclo (ou seja, = x). SejaP’ o ponto do ciclo, simétrico de P em relaçãoao centro.

Temos:

– ’ = π (no sentido anti-horário), por-tanto ’ = x – π.

Podemos concluir que:

sen x = –sen(x – π)

cos x = –cos(x – π)

Em conseqüência, temos:

cotgx = cotg(x – π)

sec x = –sec(x – π)

cosec x = –cosec(x – π)

Exemplos:

sen 115º = sen(180º – 115º) = sen 65º

cos 225º = –cos(225º – 180º) = –cos 45º

8.3 Redução do 4.o ao 1.o quadrante

Dado o número real x tal que , seja

P a imagem de x no ciclo (ou seja, AP = x).Seja P’ o ponto do ciclo, simétrico de P emrelação ao eixo dos co-senos.

Temos:

+ ’ = 2π (no sentido anti-horário) e,como ’ = , vem: + = 2π, por-tanto ’ = 2π – x.

Podemos concluir que:

sen x = –sen(2π – x)cos x = cos(2π – x)

Em conseqüência, temos:

cotgx = –cotg(2π – x)sec x = sec(2π – x)cosec x = –cosec(2π – x)

Exemplos:

sen 280º = –sen(360º – 280º) = –sen 80º

cos 340º = cos(360º – 3400º) = cos 20º

8.4 Redução de a

Dado o número real x tal que , seja P

a imagem de x no ciclo (ou seja, AP = x). SejaP’ o ponto do ciclo, simétrico de P em relaçãoà bissetriz do 1.o quadrante.

45

Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência

Page 46: Mate Matic a Element a Riv

Temos: (no sentido anti-horário) e,

como = ’, vem: , então

.

Considerando a congruência de triângulosOPP2 e OP’P’1 , temos:

Em conseqüência, temos:

Exemplos:

sen 71º = cos(90º – 71º) = cos 19º

cos 60º = sen(90º – 60º) = sen 30º

tg 50º = cotg(90º – 50º) = cotg 40º

1. Reduza ao intervalo .

a) sen 261º b)

c) d)

e)

2. Sabendo que e , calcule:

a) cos x b)

c) d)

e) f)

g)

3. Calcule:

01. (Cefet–MG) Os valores de x, de modo que a ex-

pressão exista, são:

a) –1 ≤ x ≤ 1

b) –2 ≤ x ≤ 2

c) –1 ≤ x ≤ 2

d) 1 ≤ x ≤ 2

e) 1 ≤ x ≤ –1 ou 1 ≤ x ≤ 2

02. (EU–CE) Se ,

então n2 + 1 é igual a:

a) 2

b)

c) 4

d)

e) 5

03. (Unifor–CE) Sendo e ,

conclui-se que, dos intervalos abaixo, o únicoao qual x pode pertencer é:

46

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 47: Mate Matic a Element a Riv

a)

b)

c)

d)

e) n.d.a.

04. (UFAM) A área do triângulo mostrado a seguiré: (sendo )

a)

b) 3

c) 12

d)

e) 4

05. (unifor–CE) O valor de tg 150º + 2 sen 120º – cos330º é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

06. (UF–AM) Quando simplificamos a expressão

, obtemos:

a) 2 sec x

b) 2 cosec x

c) 2 sec2 x

d) 2 cos x

e) cos x

7. (FMU/Fiam/Faam–SP) Sabendo que tg α = 2eque α é um arco do 3º quadrante, sen α vale:

a) b)

c) – d)

e) –

8. (Ucsal–BA) Se x e y são números reais tais que

, então y é igual a:

a) 2 . sec x . tg x

b) 2 . sen x . cos x

c) 2 . cos2 x

d) 2 . sec x

e) sen x

47

Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência

Page 48: Mate Matic a Element a Riv
Page 49: Mate Matic a Element a Riv

UNIDADE IIIFunções Circulares e Identidades

Page 50: Mate Matic a Element a Riv
Page 51: Mate Matic a Element a Riv

51

Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades

TEMA 09

FUNÇÃO SENO

9.1 Introdução

Vamos estudar as seis razões trigonométricasdo ponto de vista das funções. Para um bomentendimento, devemos ter um conhecimentorazoável das definições e propriedades que ca-racterizam essa teoria.

9.2 Conceito de função

Dados dois conjuntos A e B, diferentes do con-junto vazio, uma função ƒ, de A em B, é umacorrespondência que associa a cada elementode A um único elemento de B.

O conjunto A é denominado domínio de ƒ; oconjunto B é denominado contradomínio deƒ; se x é um elemento qualquer de A, então oúnico y de B, associado a x, é denominadoimagem de x pela função ƒ e é indicado pory = ƒ(x).

O conjunto de todos os elementos de B quesão imagem de alguns elementos de A é de-nominado conjunto imagem de ƒ e é indicadopor Im(ƒ).

Função real de variável real

Uma função ƒ, de A em B, diz-se função realde variável real se A ⊂ |R e B ⊂ |R.

Correspondência entre um número real eum ponto da circunferência trigonométrica

Consideremos a circunferência trigonométricadada abaixo. Já sabemos que, dado um núme-ro real x, existe sempre um arco orientado ,cuja medida algébrica é x radianos.

Portanto é claro que, dado x, fica determinadoum único ponto P da circunferência trigonomé-trica, extremidade do arco .

Temos, então, definida a seguinte correspon-dência:

A todo número real x está associado um únicoponto P da circunferência trigonométrica.

9.3 Função seno

Na circunferência trigonométrica dada abaixo,seja P o ponto associado a um número real x;P1 é a projeção ortogonal de P em Oy. Sabe-mos que a ordenada OP1 do ponto P é o senodo arco de medida algébrica x, cuja extremi-dade é P.

Escrevemos, então, que:

A ordenada OP1 do ponto P denomina-se senodo número real x.

Deve ser observado que ao número real xassociamos o ponto P, extremidade de um arco

; por sua vez, ao arco está associadoum único número real OP1, que é o seno de ;assim, fica definida uma função ƒ de lR em lRpara a qual f(x) = sen x. que é denominadafunção seno.

O domínio da função é lR.

Para todo x real –1 ≤ sen x ≤ 1, temos que:

Im (f) = [–1; 1]

Definição de função periódica

Uma função f, de domínio A ⊂ lR, diz-se perió-dica se existe um real T, não nulo, tal que

F (x + T) = f (x), ∀ x ∈ A

Período de uma função periódica f é o menor Tpositivo que satisfaz a condição acima.

Gráfico da função seno

Comparando agora com a definição de funçãoperiódica, temos T = 2kπ; o menor valor de T,positivo, é obtido fazendo k = 1; temos, assim, operíodo 2π da função seno. Pois, sen x = sen=(x + 2π) = sen (x + 4π) = … = sen (x + 2kπ).

A

Page 52: Mate Matic a Element a Riv

52

UEA – Licenciatura em Matemática

Sendo assim, para a construção do gráfico def(x) = sen x, vamos considerar alguns valoresparticulares para x no intervalo [0; 2π], já pre-viamente sabendo que a “figura” obtida nessetrecho será repetida à esquerda de 0 e à direi-ta de 2π.

Tabela:

Devemos observar que:

• A função seno é crescente no intervalo

e decrescente no intervalo ,

voltando a ser crescente no intervalo

.

• O sinal da função é positivo nos 1.o e 2.o

quadrantes e negativo nos 3.o e 4.o qua-drantes.

• Também podemos dizer que é uma funçãoímpar, pois sen(–x) = –sen x para todo x real.

Exemplos:

1. Determinar o domínio, a imagem, o gráfico e operíodo da função ƒ(x) = 2sen x.

Solução:

Tabela

O domínio é D(ƒ) = lR

A imagem é Im(ƒ) = [–2, 2]

O período é 2πrad.

2. Construa o gráfico e determine o domínio, a

imagem e o período da função .

Solução:Tabela

D(ƒ) = lR

Im(ƒ) = [–1, 1]

O período é 4πrad.3. Determinar os valores reais de m de modo que

exista a igualdade sen x = 5m – 1.

Solução:

sen x

0 0 0

π 1

π 2π 0

3π –1

2π 4π 0

x rad sen x y = 2 sen x

0 0 0

1 2

π 1 0

–1 –2

2π 0 0

Page 53: Mate Matic a Element a Riv

53

Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades

Sabemos que –1 ≤ sen x ≤ 1. Logo, –1 ≤ 5m –1≤ 1. Somando 1 a cada membro dessa dupladesigualdade, temos:

– 1 +1 ≤ 5m – 1 + 1 ≤ 1 + 1

ou seja:

0 ≤ 5m ≤ 2

Dividindo os membros dessa última desigual-

dade por 5, obtemos .

Portanto a desigualdade sen x = 5m – 1 só

existe m ∈ lR e

Observamos que pode haver mudança no pe-ríodo. Essa mudança ocorre quando multipli-camos o arco por uma constante (não-nula ediferente de 1).

De modo geral, temos que o período da função

y = sen kx é dado por .

Exemplos:

a) temos .

Logo, o período é .

b) y = sen (–2x) temos k = –2.

Logo, o período é

1. Lembrando que a função seno é uma funçãoímpar, verifique quais das sentenças abaixosão verdadeiras:

a) sen (–30º) = –sen 30º

b) –sen (–45º) = sen 45º

c) sen (–60º) = sen 60º

d)

2. Dê o domínio, a imagem, o período, e construao gráfico das funções:

a) y = 3 . sen x

b) y = –2 + sen x

3. Dê o domínio e a imagem das funções:

a)

b) y = sen(–3 x)

4. Dê o período das seguintes funções:

a) y = sen(7x)

b)

c)

5. Na função f(x) = sen(k . x), determine k demodo que o período da função seja:

a)

b)

6. Construa o gráfico das funções:

a) b) f(x) = sen(–x)

9.4 História

A idéia da função corda, precursora da nossafunção seno, foi trabalhada com bastante in-tensidade durante muitos séculos anteriores aPtolomeu. No seu Almagesto, obra compostade 13 livros, em que são estudados os movi-mentos dos planetas, aparece uma tábua dafunção corda, desde 0,5 grau até 180 graus, demeio em meio grau.

A função corda relacionava um arco de circun-ferência com a corda respectiva. Com a naturalevolução do pensamento matemático, quandoalguém pensou em utilizar uma tábua relacio-nando a metade da corda de um arco duplo,estava inventada a nossa função seno, que emlatim era designada sinus. Há registros de que,por volta do século V de nossa era, o matemá-tico hindu Aryabhata já calculava essas semi-cordas.

Page 54: Mate Matic a Element a Riv

54

UEA – Licenciatura em Matemática

O termo co-sinus foi utilizado pela primeira vezno século XVII, por Edmund Gunter, para in-dicar o seno do complemento, combinando aspalavras “complemento” e “sinus”, que emportuguês ficou co-seno.

Idéias equivalentes às nossas conhecidas fun-ções tangente e co-tangente apareceram hámais de três milênios, tanto em cálculos relati-vos à construção de pirâmides, como em cál-culos envolvendo relógios de sol. Esses reló-gios mostravam a relação entre as horas do diacom o comprimento da sombra de uma vara,chamada gnômon.

No caso de a vara ser vertical, a sombra eraprojetada no chão, e no caso de ser horizontal,a sombra era projetada numa parede. Veja issonas figuras seguintes.

Page 55: Mate Matic a Element a Riv

55

Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades

TEMA 10

FUNÇÃO COSSENO

Na circunferência trigonométrica dada abaixo,

seja P o ponto associado a um número real x;

P2 é a projeção ortogonal de P em Ox. Sabe-

mos que a abscissa OP2 do ponto P é o co-

seno do arco de medida algébrica x, cuja ex-

tremidade é o ponto P.

Escrevemos, então, que

A abscissa OP2 do ponto P denomina-se co-

seno do número real x.

Fica, assim, estabelecido que ao número real x

associamos um único número real OP2, que é

o co-seno de x; está, então, definida uma fun-

ção f de lR em lR, denominada função co-

seno, para a qual:

f(x) = cos x. que é denominada função co-

seno.

O domínio da função é lR.

Para todo x real –1 ≤ cos x ≤ 1, temos que:

Im (f) = [–1; 1]

Gráfico da função co-seno.

O menor valor de T, positivo, é obtido fazendo

k = 1; temos, assim, o período 2π da função

co-seno. Pois, cos x = cos (x + 2π) = cos (x +

4π) = … = cos (x + 2kπ).

A exemplo do que fizemos para a função seno,

vamos construir o gráfico de f (x) = cos x no

intervalo [0; 2π] e “completá-lo em seguida”.

Temos, assim:

Observe que:

A função cosseno é decrescente no intervalo[0; π] e crescente no intervalo [π; 2π].

O sinal da função é positivo nos 1.o e 4.o qua-drantes e negativo nos 2.o e 3.o quadrantes.

É uma função par, pois cos (–x) = cos x paratodo x real.

Exemplos:

1. Determinar o domínio, a imagem, o gráfico e operíodo da função ƒ(x) = 2 cos x.

Solução:

Tabela

x rad cos x y = 2cos x

0 1 –2

0 –3

π 1 –4

0 –3

2π 1 –2

Page 56: Mate Matic a Element a Riv

56

UEA – Licenciatura em Matemática

O domínio é D(ƒ) = lR

A imagem é Im(ƒ) = [–2, 2]

O período é 2πrad.

2. Determinar o domínio, a imagem, o gráfico e operíodo da função ƒ(x) = –3 + cox x.

Solução:

Tabela

O domínio é D(ƒ) = lR

A imagem é Im (ƒ) = [–2, 2]

O período é 2πrad.

O valor do período é calculado da mesma for-ma que foi feita para a função seno, ou seja

dividindo-se 2πrad por |k|, ou seja, .

Exemplos:

1.,

, portanto o período é:

rad

2. ƒ(x) = cos(–2x), k = 2, portanto o período é:

rad

1. Lembrando que a função seno é uma funçãoímpar, verifique quais das sentenças abaixo sãoverdadeiras:

a) cos(–30º) = –cos 30º

b) –cos(–45º) = cos 45º

c) cos(–60º) = cos 60º

d)

2. Dê o domínio, a imagem, o período e o gráficoda função:

a) y = 3 . cos x b) ƒ(x) = –2 – cos x

3. Dê o período das funções:

a) y = 8 cos x

b) ƒ(x) = cos x(–5x)

c)

d)

01. (PUC–MG) Considere a função f: lR → lR defi-nida por ƒ(x) = 1 + cos x. O conjunto imagemdessa função é o intervalo:

a) [–3, 4] b) [–3, 5]

c) [3, 4] d) [3, 5]

e) n.d.a.

02. (Vunesp–SP) Se x é a medida de um ângulo

em radianos e , então:

a) cos x > 0 b) cos 2x < 0

c) tg x > 0 d) sen x < 0

e) sen 2x > 0

x rad cos x y = –3 + cos x

0 1 2

0 0

π –1 –2

0 0

2π 1 2

Page 57: Mate Matic a Element a Riv

03. (CESGRANRIO–91) Se tg x = , então sen2 xé igual a:

a) b)

c) d)

e)

04. (CESGRANRIO–91) Se x é um arco do 3.o qua-drante e tg x = 1, então cos x é:

a) b) –1

c) – d)

e)

05. (UF–PA–84) Sendo x um arco do 2.o quadrantee sec x = –3, então cosec x é:

a) – b)

c) 2 d)

e)

06. ( UF–PA–85) Qual a menor determinação posi-tiva de um arco de 1000°?

a) 270° b) 280°

c) 290° d) 300°

e) 310°

07. (PUC–SP) sen 1200º é igual a:

a) cos 60º b) –sen 60º

c) cos 30º d) –sen 60º

e) cos 45º

08. (UNICAMP–87)Para x = 1410º, assinale a alter- nativa que corresponde ao valor de

.

a) 1 + b) 1 –

c) – 1 + d) –1 –

TEMA 11

FUNÇÃO TANGENTE

Na circunferência trigonométrica dada abaixo,seja P o ponto associado a um número real x;T é o ponto de interseção da reta com oeixo Az. Sabemos que a ordenada AT, do pon-to T, é a tangente do arco de medida algébricax, enquanto que OP1 e OP2 são, respectiva-mente, o seno e o co-seno desse mesmo arco.

Lembrando que, se o ponto P coincidir com B

ou com B’, isto é, se , não existe a

tangente; excluindo esses pontos, temos as-sociado ao número real x um único númeroreal tg x, que sabemos ser igual ao quocienteentre sen x e cos x.

Fica, então, definida uma função f de lR

- em lR, para a qual ƒ(x) = tg x e

tg x = .

Deve ser notado que o domínio da função

tangente é em que

estão excluídos os reais x para os quais cos x= 0.

A tangente pode assumir qualquer valor real;assim: Im(f) = lR.

Pela definição, temos T = kπ, de onde tiramos,para k = 1, o período π da função tangente.

Podemos obter o gráfico de ƒ(x) = tg x no in-

tervalo e, em seguida, ampliá-lo para

o domínio A.

57

Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades

Page 58: Mate Matic a Element a Riv

Vamos analisar, na figura abaixo, o gráficof(x) = tg x no intervalo de ]0; π[; a tangentecresce indefinidamente, percorrendo todo oconjunto imagem lR, de –∞ a +∞.

O sinal da função é:

Positivo no 1.o e no 3.o quadrante.

Negativo no 2.o e no 4.o quadrante.

A função é impar, pois tg(–x) = –tg x.

Observações:

O período da função ƒ(x) = tg(kx) para k ≠ 0 édado por:

Exemplos:

1. A função y = tg 8x é periódica, de período ,ou seja, rad.

2. Achar o domínio e o período das funções:

a) b) ƒ(x) = tg(4x)

Solução:

Para determinarmos o domínio, devemos ter:

O domínio é:

Período – O coeficiente do arco x é k = 1.Logo, p = πrad.

3. Determinar tg x e o quadrante do arco x, sen-

do e .

Solução:

tg x = ?Temos: .

Então:

Como o seno e cosseno são negativos, con-cluímos que x é do 3.o quadrante.

1. Dê o período das funções:

a) b)

c) d)

2. Dê o domínio das funções:

a) b)

c) d)

3. Determinar sen x e o arco x, sendo e

.

4. Esboce o gráfico de cada uma das funções:

a) y = tg 3x

b)

58

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 59: Mate Matic a Element a Riv

TEMA 12

OUTRAS FUNÇÕES CIRCULARES

12.1Função cotangente

Na circunferência trigonométrica dada abaixo,seja P o ponto associado a um número real x;S é o ponto de interseção da reta com oeixo Bs. Sabemos que a abscissa Bs do pontoS, é a cotangente do arco de medida algébricax, enquanto que OP1 e OP2 são, respectiva-mente, o seno e o cosseno desse mesmo arco.

Lembrando que, se o ponto P coincidir com Aou com A’, isto é, se x = kπ, não existe acotangente; excluindo esses pontos, temosassociado ao número real x um único númeroreal cotg x, que sabemos ser igual ao quoci-ente entre cos x e sen x.

Fica, então, definida uma função f de lR - {kπ,k ∈ Z} em lR, para a qual f(x) = cotg x e

cotg x = .

Deve ser notado que o domínio da função co-tangente é A = {x ∈ lR | x ≠ kπ, k ∈ Z} em queestão excluídos os reais x para os quais sen x = 0.

A tangente pode assumir qualquer valor real;assim: Im (f) = lR.

Deve-se observar, inicialmente, que para todo xdo domínio A da função

cotg x = cotg (x +π) = cotg (x + 2π) = cotg (x + 3π) = ... = cotg (x + kπ), k ∈ Z, ver-emos que a função co-tangente é periódica eseu período é p = π.

O gráfico da função f(x) = cotgx é chamadoco-tangentóide e aparece na figura abaixo.

12.2Função secante

Já vimos que a todo número real x está asso-ciado um único número real cos x.

Se cos x ≠ 0, isto é, se x ≠ , existe e é

único, o seu inverso = sec x. Definimos,

então, função secante como sendo uma fun-

ção f de R - em lR, dada por

f(x) = sec x =

O domínio da função secante é

A =

Como para todo x ∈ A, temos sec x ≤ –1 ousec x ≥ 1,

Im (f) = {y ∈ R / y ≤ –1 ou y ≥ 1}

É claro que, se x ∈ Asec x = sec (x + 2π) = sec (x + 4π) = … =sec (x + 2kπ) e, por isso, a função secante éperiódica e seu período é p = 2π.

12.3Função co-secante

Já vimos que a todo número real x está asso-ciado um único número real sem x. Se sen x ≠ 0, isto é, se x ≠ k , existe, e é único,

oseu inverso = cosec x. Definimos, en-

tão, função co-secante como sendo uma fun-

59

Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades

Page 60: Mate Matic a Element a Riv

função f de lR - {kπ, k ∈ Z} em lR, dada por

f(x) = cosec x = .

O domínio da função co-secante éA = {x ∈ R / x ≠ kπ, k ∈ Z}

Como para todo x ∈ A temos cosec x ≤ –1 ouy ≥ 1,

Im (f) = {y ∈ R / y ≤ –1 ou y ≥ 1}

É claro que, se x ∈ A

cosec x = cosec (x + 2π) = cosec (x + 4π) =… = cosec (x + 2kπ), a função co-secante éperiódica e seu período é p = 2π.

1. Determine domínio e período das funções rais:

a)

b) g(x) = sec 2x

c)

2. Em cada caso, determine o conjunto ao qual mdeve pertencer de modo que existe x, satis-fazendo a igualdade:

a)

b) sec x = 3m – 2

c) cosec x =

3. Simplifique

4. Dê uma expressão, em função de cotg x, equi-

lente a

TEMA 13

IDENTIDADES

13.1 Definição

Sejam f e g duas funções de domínio D1 e D2

respectivamente. Dizemos que ƒ é idêntica a g,(indicamos por ƒ ≡ g) se, e somente se, ƒ(x) =g(x) para todo x em que ambas as funçõesestão definidas. Colocando em símbolos:

ƒ ≡ g ⇔ ƒ(x) = g(x), ∀x ∈ D1 ∩ D2

Exemplos:

1. ƒ: ℜ → ℜ tal que ƒ(x) = (x +1)2 – (x – 1)2 eg : ℜ → ℜ tal que g(x) = 4x são idênticas, pois:

ƒ(x) = x2 + 2x + 1 – x2 + 2x – 1 = 4x

ƒ(x) = g(x), ∀x ∈ ℜ.

2. ƒ: ℜ → ℜ tal que ƒ(x) = x + 1 e g : ℜ – {1} → ℜ

tal que são idênticas, pois:

ƒ(x) = g(x), ∀x ∈ ℜ – {1}

3. ƒ: ℜ → ℜ tal que ƒ(x) = sen2 x e g : ℜ → ℜ talque g(x) = 1 – cos2 x são idênticas, pois:

ƒ(x) = sen2 x = 1 – cos2 x

ƒ(x) = g(x), ∀x ∈ ℜ

4. tal que

ƒ(x) = sec2 x – tg2 x e g : ℜ → ℜ tal queg(x) = 1 são idênticas, pois:

ƒ(x) = sec2 x – tg2 x = (1 + tg2 x) – tg2 x = 1

ƒ(x) = g(x) para todo .

13.2Demonstração de identidade

Para demonstrar uma identidade trigonométri-ca, podemos aplicar qualquer uma das fórmu-las (que são também identidades) estabeleci-das na teoria, a saber, as relações fundamen-tais, as fórmulas de redução, as de adição, as

60

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 61: Mate Matic a Element a Riv

de multiplicação, as de divisão e as de trans-formação em produto (estas últimas veremosem unidades posteriores).

Existem basicamente três processos para pro-var uma identidade. Conforme a dificuldade dademonstração, escolhemos o método mais ade-quado entre os seguintes:

1.o) Partimos de um dos membros (geralmenteo mais complicado) da identidade e trans-formamos no outro.

2.o) Transformamos o 1.o membro (ƒ) e, separa-damente, o segundo membro (g), chegan-do com ambos na mesma expressão (h). Avalidade deste método é justificada pelapropriedade:

3.o) Construímos uma função h = ƒ – g e pro-vamos que h ≡ 0. A validade deste métodoé justificada pela propriedade:

ƒ – g ≡ 0 ⇔ ƒ ≡ g

Exemplos:

1. Prove que .

Solução:

A expressão do 2.o membro g(x) é mais com-plicada.

Então ƒ(x) = g(x) é verdadeira para qualquervalor de x onde as funções estão definidas.

2. Prove que (1 + cotg2 x)(1 – cos2 x) = 1 paratodo x real, x ≠ kπ.

Solução:

Fazendo ƒ(x) = (1 + cotg2 x) (1 – cos2 x)

3. Prove que

para

todo x real, .

Solução:

Fazendo ƒ(x) = 2 . sec x . tg x e

Começaremos nosso desenvolvimento por g.

4. Prove que a igualdade tgx . cotg x = sec x .

cosec x, sendo U = {x ∈ ℜ | sen x ≠ 0 e cos x ≠0}.

Solução:Temos:

Logo, tg x . cotg x = sec x . cosec x em U.

1. Verifique as seguintes identidades:

a) sec x + cotg x = (cosec x)(cos x + tg x)

b) sec2 θ + cosec2 θ = sec2 θ . cosec2 θ

c) tg2 x + tg4 x = sec4 x – sec2 x

2. Prove que (1 – tg x)2 + (1 – cotg x)2 = (sec x – cosec x)2

para todo x real, .

61

Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades

Page 62: Mate Matic a Element a Riv

3. Demonstre as identidades:

a)

b) (tg x + cotg x) . sen x = sec x em

U = {x ∈ ℜ | sen x . cos x ≠ 0}.

4. Verifique se as identidades abaixo são ou nãoidentidades nos respectivos conjuntos universo:

a) tg x . cotg x = 1 em U = R

b) 1 + cot g2 x = cosec2 x em U = {x ∈ ℜ | sen x ≠ 0}

5. Demonstre a identidade:

1. (PUC–PR) Sendo x um número real em que asfunções são definidas e o denominador diferente

de zero, a expressão é

igual a:

a) 1

b) 1 – cos x

c) 1 + cos x

d) sen x

e) –sen x

2. (Cescem–SP) Se sen θ ≠ 1, a expressão

é igual a:

a) tg θ

b) sen θ . cos θ

c) 1 + cos θ

d) 1 + sen θ

e) Nenhuma das respostas anteriores.

3. (FGV) A expressão para

sen x ≠ 0, é idêntica a:

a)

b)

c) sec x

d) 2 cosec x

e)

4. (PUC–SP) A expressão com

cos x ≠ 0 e sen x ≠ 0, é identicamente igual a:

a) cotg3 x

b) sec2 x

c) sen2 x + cos x

d) tg2 x + sec x

e) cosec3 x

62

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 63: Mate Matic a Element a Riv

UNIDADE IVFórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos

Page 64: Mate Matic a Element a Riv
Page 65: Mate Matic a Element a Riv

65

Matemática Elementar IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos

TEMA 14

TRANSFORMAÇÕES: FÓRMULAS DEADIÇÃO

Vamos deduzir as fórmulas para calcular as fun-ções trigonométricas da soma (a + b) e da di-ferença (a – b) de dois números reais quais-quer a e b, conhecidas as funções circularesde a e b.

1. Co-seno da soma

Sejam P, Q e R os pontos do ciclo associadosaos números a, (a + b) e –b, respectivamente.Em relação ao sistema cartesiano, as coorde-nadas desses pontos são:

P(cos a, sen a)

Q(cos (a + b), sen(a + b))

R(cos b, –sen b)

Os arcos e têm a mesma medida, por-tanto as cordas

⎯AQ e

⎯RP têm medidas iguais.

Aplicando, então, a fórmula da distância entredois pontos da Geometria Analítica, temos:

d2AQ = (XQ – XA)

2 + (YQ – YA)2 =

= [cos (a + b) – 1]2 + [sen(a + b) – 0]2 =

= cos(a + b)2 – 2 . cos(a + b) + 1 +

+ sen2 (a + b) = 2 – 2 cos(a + b)

d2RP = (XP – XR)2 + (YP – YR)2 =

= [cos a – cos b]2 + [sen a + sen b]2 =

= cos2 a – 2 . cos a . cos b + cos2 b +

+ sen2 a + 2 . sen a . sen b + sen2 b =

= 2 – 2 . cos a . cos b + 2 sen a . sen b

d2AQ = d2

RP

2 – 2 . cos(a + b) = 2 – 2 . cos a . cos b +

+ 2 . sen a . sen b

e, então temos a fórmula:

cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b

2. Co-seno da diferença

cos (a – b) = cos[a + (–b)]

cos(a – b) = cos a . cos(–b) – sen a . sen(–b)

Sabemos que cos(–b) = cos b e sen(–b) = –sen b.

Então:

cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b

3. Seno da soma

Então:

sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

4. Seno da diferença

sen(a – b) = sen[a + (–b)] =

= sen a . cos(–b) + sen(– b) . cos a =

sen a . cos b + (–sen b) . cos a

Então:

sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a

5. Tangente da soma

=

Então:

Page 66: Mate Matic a Element a Riv

66

UEA – Licenciatura em Matemática

Essa fórmula só é aplicável se:

6. Tangente da diferença

então:

Essa fórmula só é aplicável se:

Exemplos:

1. Calcule os valores de:

a) cos 15º b) sen 105ºc) tg 75º d) sec 285ºSolução:

a) cos 15º = cos(45º – 30º) == cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º =

b) sen 105º = sen(60º + 45º) == sen 60º . cos 45º + sen 45º . cos 60º =

c)

d)

2. Dado: e , calcule o

cos(x + y), sabendo que e

.

Solução:

1.

2.

3. cos(x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y =

1. Calcule cotg165º, sec 255º e cosec 15º.

2. Dados tg A = 2 e tg B = 1, determine tg (A – B).

3. Calcule o valor da expressão sen 105º – cos 75º.

4. Sabendo que e com

, calcule tg(a + b).

5. Sabendo que ,

e , calcule sen(x + 1), cos(s + y) e

tg(x + y).

6. Sabendo que tg 75º = 2 + e tg 60º = ,calcule tg 15º.

1. (FMU/FIAM–SP) O co-seno de de 105° vale:

a) b)

c) – d)

e)

2. (F. Ibero-Americana–SP) Dado ,

calcule cos 2x.

Page 67: Mate Matic a Element a Riv

a) b)

c) d)

e)

3. (U. E. Ponta Grossa–PR) Sendo ,

então é correto afirmar que:

a)

b)

c)

d)

e)

4. (UFCE) Se , então , e o valor

de é:

a) 25;

b) 30;

c) 35;

d) 40;

e) 45.

5. Sejam α um arco do 1.o quadrante e β um arcodo 2.o quadrante tais que cos α = 0,8 esen β = 0,6. O valor de sen(α + β) é:

a) 0,00

b) 1,40

c) 0,96

d) 0,48

e) 0,70

TEMA 15

ARCO DUPLO E TRIPLO

Vamos agora achar as funções trigonométri-cas do dobro de um arco.

15.1Seno do arco duplo

Fazendo b = a na expressão

sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a,obtemos:

sen 2a = sen(a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a

sen 2a = 2sen a . cos a

15.2Co-seno do arco duplo

Fazendo b = a na expressão

cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b, obte-mos:

cos 2a = cos(a + a) = cos a . cos a – sen a . sen a

cos 2a = cos2 a – sen2 a

Podemos também representar o cos 2a de ou-tras formas:

• Fazendo cos2 a = 1 – sen2 a, obtemos:

cos 2a = 1 – sen2 a – sen2 a ou

cos 2a = 1 – 2 . sen2 a

• Fazendo sen2 a = 1 – cos2 a, obtemos:

cos 2a = cos2 a – (1 – cos2 a) ou

cos 2a = 2 . cos2 a – 1

15.3Tangente do arco duplo

Fazendo b = a na expressão

, obtemos:

. Portanto:

, para e ,com k∈ .

Exemplos:

1. Sabendo que sen 27º = 0,454 e cos 27º = 0,891,calcular sen 54º.

67

Matemática Elementar IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos

Page 68: Mate Matic a Element a Riv

68

UEA – Licenciatura em Matemática

Solução:

sen 2x = 2 . sen x . cos x

sen 54° = 2 – sen 27° . cos 27°

sen 54° = 2 . 0,454 . 0,891 = 0,809

2. Dado , com , calcule

a) sen 2x b) cos 2x c) tg 2x

Solução:

a) sen 2x

como x é um arco do primeiro quadrante,

então . Daí:

b)

c)

3. Sabendo que , calcular o valor

de sen 2a.

Solução:

4. Sabendo que tg x + cotg x = 5, determinar ovalor de sen 2x.

Solução:

1. Determine sen 2x, cos 2x, e tg 2x nos seguintescasos:

a) e

b) cotg x = –5 e

2. Se , com e

, determine o valor de y.

3. Sabendo que sen 20° = 0,342 e cos 20° = 0,940,qual o valor de sen 40°?

4. (FEI–SP) Calcule sen 2x sabendo que tg x + cot gx = 3.

5. Dado , , calcule cos 2x e

sen 2x.

6. Dada tg 35° ≅ 70, calcule tg 70° e cotg 70°.

15.4Seno do arco triplo

sen 3a = 3sen a – 4sen3 a

Demonstração:

sen 3a = 2sen a cos a cos a + sen a(1 – 2sen2 a)

sen 3a = 2sen x (1 – sen2 a) + sen a – 2sen3 asen 3a = 2sen a – 2sen3 a + sen a – 2sen3 asen 3a = 3sen a – 4sen3 a

15.5Co-seno do arco triplo

cos 3a = 4cos3 a – 3cos a

Page 69: Mate Matic a Element a Riv

Demonstração:

cos 3a = (2cos2 a – 1)cos a – 2sen a cos a sen a

cos 3a = 2cos3 a – cos a – 2cos a(1 – cos2 a)

cos 3a = 2cos3 a – cos a – 2cos a + 2cos3 a

cos 3a = 4cos3 a – 3cos a

Exemplos:

1. Sendo , calcular sen3 a.

Solução:

sen 3a = 3sen a – 4sen3 a

2. Sendo , calcular cos 3a.

Solução:

cos 3a = 4cos3 a – 3cos a

1. Calcule:

a) sen 3a, sendo sen a = 1

b) cos 3a, sendo .

2. Calcule sen 9x, sabendo que .

3. Sendo , calcular cos 6a.

TEMA 16

ARCO METADE

Vamos agora achar as funções trigonométricasda metade de um arco, partindo das anteriores.

16.1Seno do arco metade

Podemos escrever:

cos 2a = (1 – sen2 a) – sen2 a = 1 – 2sen2 a

Daí vem:

Fazendo , vem:

Podemos escrever, então, a fórmula do senodo arco metade como segue:

Observação: o sinal algébrico vai depender do

quadrante ao qual pertenceo arco .

16.2Co-seno do arco metade

Sabemos que cos(2a) = cos2 a – sen2 a.Substituindo sen2 a, por 1 – cos2 a, já quesen2 a + cos2 a = 1, vem: cos 2a = 2 . cos2 a – 1.

Daí, vem:

Fazendo , vem, .

Podemos escrever, então, a fórmula do co-seno do arco metade como:

em que o sinal algébrico vai depender do qua-

drante ao qual pertence o arco .

16.3Tangente do arco metade

Dividindo membro a membro as equações (I)e (II) anteriores, lembrando que

, vem:

69

Matemática Elementar IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos

Page 70: Mate Matic a Element a Riv

em que o sinal algébrico vai depender do qua-

drante ao qual pertence o arco .

Exemplos:

1. Sendo , calcular

e .

Solução:

Como o arco x pertence ao primeiro quadran-te, a função seno é positiva.

Logo:

Como o arco x pertence ao primeiro quadran-te, a função co-seno é positiva.

Logo:

Como o arco x pertence ao primeiro quad-rante, a função tangente é positiva.

Logo:

2. Calcular o valor de sen 112º 30’.

Solução:

Temos:

sen 112º 30’ = sen(90º + 22º 30’)

Pelas identidades trigonométricas,

sen(90º + x) = cos x. Assim :

sen(90º + 22º 30’) = cos 22º 30’

Mas, . Logo:

Portanto .

3. Verifique a identidade:

Solução:

1. Dado , com , calcule

e .

2. Dado , com , calcule .

3. Calcule sen 22°30’.

4. Mostre que tg 22°30’ = – 1

5. , quais são os possíveis valores de

?

6. Se , com , calcule e

.

7. Dado , calcule o valor de cos x.

8. Dado , calcule os valores possíveis

de sen x.

70

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 71: Mate Matic a Element a Riv

TEMA 17

FÓRMULAS DE TRANFORMAÇÃO EM PRO-DUTO PARA SENO, CO-SENO E TAN-GENTE

17.1Fórmulas de tranformação em produto paraseno, co-seno

O uso da fatoração em cálculos algébricos temfacilitado a resolução de vários problemas.

Em trigonometria, a fatoração tem sido útil naresolução de algumas equações trigonométri-cas, bem como na adaptação de expressõestrigonométricas ao cálculo logarítmico.

Vamos relembrar as fórmulas do seno e co-seno da adição e subtração de dois arcos.

(I) sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

(II) sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a

(III) cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b

(IV) cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b

Fazendo:

(I) + (II) ⇒

sen(a + b) + sen(a – b) = 2 . sen a . cos b (V)

(I) – (II) ⇒

sen(a + b) – sen(a – b) = 2 . sen b . cos a (VI)

(III) + (IV) ⇒

cos(a + b) + cos(a – b) = 2 . cos a . cos b (VII)

(III) – (IV) ⇒

cos(a + b) – cos(a – b) = –2 . sen a . sen b (VIII)

Chamando p, e ∈ lR e resolvendo o

sistema, vamos encontrar:

Substituindo (a + b) por p, (a – b) por q, a por

e b por nas expressões (V), (VI),

(VII) e (VIII), obtemos:

Exemplos:

1. Transformar em produto a soma sen 80º + sen20º.

Solução:

Aplicando a fórmula de transformação da so-ma em produto, temos:

sen 80º + sen 20º =

= 2 . sen 50º . cos 30º =

2. Transformar em produto y = sen 70º + cos 30º.

Solução:

sen 70º = cos(90º – 70º) = cos 20º

Então temos: y = cos 20º + cos 30º

Pela fórmula de transformação em produto,obtemos:

y = 2 . cos 25º . cos(–5º)

Como cos(–5º) = cos 5º, temos:

y = 2 . cos 25º . cos 5º.

Podemos também resolver esse item fazendo:

cos 30° = sen(90° – 30°) = sen 60°

Dessa forma, teríamos y = sen 70° + sen 60° eassim obteríamos y = 2 . sen 65° . cos 5°.

3. Transformar em produto a soma + sen 10°,

sendo o valor de um arco no 1.o quadrante.

Solução:

71

Matemática Elementar IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos

Page 72: Mate Matic a Element a Riv

4. Transforme em produto:

a) y = sen 2x + sen x

b) y = 1 + sen x

c) y = cos 2x – 1

d) y = sen x + cos x

Solução:

a) y = sen 2x + sen x

b) y = 1 + sen x

Substituindo-se 1 por , temos:

c) y = cos 2x – 1y = cos 2x – cos 0

y = –2 . sen x . sen x = –2 sen2 x

d) y = sen x + cos x1.° modo – Substituindo-se sen x por

:

2.° modo – Substituindo-se cos x por

:

Observação – Os dois modos conduzemà mesma resposta, pois

, devido à identi-

dade cos(–α) = cos α.

5. Fatore a expressão y = sen x + sen 3x + sen 5x + sen 7x.

Solução:

Agrupando os termos dois a dois, temos:

y = (sen x + sen 3x) + (sen 5x + sen 7x)

y = 2 . sen 2x . cos(–x) + 2 .sen 6x . cos (–x)

Sendo cos(–x) = cos x, vem:

y = 2 . cos x . (sen 2x + sen 6x)

y = 4 . cos x . sen 4x . cos (–2x)

logo, y = 4cos x . cos 2x . sen 4x.

1. Transforme em produto:

a) sen 36º + sen 22º

b) sen 72º – sen 8º

2. Transforme em produto:

a) cos 23º + cos 7º

b) cos 258º + cos 12º

3. Transforme em produto:

a) y = sen 7x + sen 5x

b) y = 1 – sen 2x

c) y = cos 9x + cos x

d) y = cos(3x – π ) – cos x

4. Fatore as expressões:

a) y = sen x – cos x

b) y = sen 2x + 2cos x

c) y = cos 8x + cos 6x + cos 4x + cos 2x

d) y = sen x + 2sen 3x + sen 5x

72

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 73: Mate Matic a Element a Riv

17.2Fórmulas de tranformação em produto paratangente

Considerando e , com

k∈ , são válidas as segintes fórmulas:

Demonstração:

Exemplos:

1. Transformar em produto as expressões:

a) y = tg 2x + tg x

b) y = 1 – tg x

Solução:

a) y = tg 2x + tg x

b) y = 1 – tg x

1. Transforme em produto as seguintes expres-sões:

a) y = tg 50º – tg 32º

b) y = 1 + tg x

Observação:

Há casos em que será preciso “desfazer” algunsprodutos e transformá-los em somas.

Exemplos:

1. Calcular o valor de: .

Solução:

Sabemos que,

cos(a + b) + cos(a – b) = 2 . cos a . cos b

Então:

1. Transforme em produto a expressão y = tg 50º – tg 30º.

2. Transforme em produto a expressão y = 1 + tg x.

73

Matemática Elementar IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos

Page 74: Mate Matic a Element a Riv
Page 75: Mate Matic a Element a Riv

UNIDADE VEquações e Inequações Trigonométricas

Page 76: Mate Matic a Element a Riv
Page 77: Mate Matic a Element a Riv

77

Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas

TEMA 18

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

18.1 Introdução

Equações trigonométricas são igualdades queenvolvem uma ou mais funções trigonométri-cas de arcos incógnitos.

Exemplos:

1. sen x = 1

2. sen x – cos x = 0

3. sec2 x – 1 = tg x

Resolver uma equação trigonométrica significadeterminar o conjunto de valores dos arcos,para os quais essa equação é verdadeira.

Toda equação trigonométrica é verdadeira parauma infinidade de arcos. A equação sen x = 1,por exemplo, é verdadeira para arcos e medi-da

com κ∈ . Acompanhe pelo gráfico:

Observe que existem infinitos arcos que satis-fazem à equação sen x = 1, entre os quais

estão os arcos , e .

A equação sen x = 1 tem como solução geralo seguinte conjunto solução:

S = {x ∈ lR }

18.2 Soluções particulares

Na resolução de equações trigonométricas, po-demos obter soluções particulares. Para isso,basta estabelecer intervalos dentro dos quaisessas equações são verdadeiras.

Voltando ao gráfico, observe que, se estabele-cermos o intervalo 0 ≤ 2 < 2π, o conjuntosolução da equação sen x = 1 passará a ser

.

As soluções particulares podem ser obtidas apartir da solução geral, bastando para isso atri-buir valores a κ (κ∈ ) e verificar se a soluçãopertence ao intervalo considerado.

Por exemplo, na equação sen x = 1, cuja solu-

ção geral é se considerarmos o

intervalo 0 ≤ x < 2π, obteremos:

• para κ = 0,

• para κ = 1,

Observe que o arco não pertence ao inter-

valo 0 ≤ x < 2π. Logo:

Na verdade, não há um processo único pararesolver todas as equações trigonométricas.

Diante disso, procuramos reduzi-las a equa-ções mais simples, do tipo sen x = a, cos x =a e tg x = a, denominadas equações fun-damentais, as quais passaremos a estudar.

Observação:

Quando não se fizer menção do intervalo a serconsiderado, admite-se como tal o conjunto lR.

18.3 Equações do tipo sen x = a

A equação sen x = a terá solução somente se–1 ≤ a < 1.

Para determinar os valores de x que satisfazemessa equação, vamo-nos basear na seguintepropriedade:

Se dois arcos têm senos iguais, então eles sãocôngruos ou suplementares.

Seja x = α uma solução da equação

sen x = a.

As outras soluções são todos os arcos côn-gruos ao arco α ou ao arco π – α, isto é:

sen x = sen α ,

Page 78: Mate Matic a Element a Riv

78

UEA – Licenciatura em Matemática

com κ∈ .

Portanto a solução geral da equação sen x = a é:

S{x∈lR| ∈ }

Exemplos:

1. Resolva a equação

Solução:

Então, a equação tem como solu-

ção todos os arcos côngruos ao arco ou ao

arco π – , isto é:

sen x = sen

Portanto:

2. Resolver a equação sen2 x = 1.

Resolução:

sen2 x = 1 ⇒ sen x = ≠ 1 ⇒

Então temos:

Portanto:

S = {x ∈ lR ∈ }

3. Resolver a equação sen 2x = sen x.

Resolução:

• Quando os arcos 2x e x são côngruos:

• Quando os arcos 2x e x são côngruos:

Portanto:

S = {x∈ lR ∈ }

1. Resolva as seguintes equações :

a)

b) sen x = 1

c) , no intervalo 0 ≤ 2 ≤ 2π.

2. Resolva a equação no in-

tervalo [0, 2π]

3. Resolva a equação sen 5x = sen 3x.

18.4 Equações do tipo cos x = a

A equação cos x = a tem solução somente se–1 ≤ a < 1

Vamos então obter todos os valores de x quesatisfazem à equação proposta, a partir da se-guinte propriedade:

Se dois arcos têm co-senos iguais, então elessão côngruos ou replementares.

Seja x = α uma solução particular da equaçãocos x = a.

Page 79: Mate Matic a Element a Riv

79

Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas

As outras soluções são todos os arcos côn-gruos ao arco α ou ao arco –α (ou ao arco 2π– α), isto é:

cos x = cos α

com κ∈ .

A solução geral é dada por:

S = {x ∈ lR }

Exemplos:

1. Resolver a equação .

Solução:

Observe que:

Portanto:

S = {x ∈ lR }

2. Resolver a equação cos 2x = cos x.

Solução:

• Quando os arcos 3x e x são côngruos:

• Quando os arcos 2x e x são côngruos:

Portanto:

S = {x ∈ lR }

3. Resolver a equação no inter-

valo 0 ≤ 2 < 2π.

Solução:

Então, temos:

Observa que – não pertence ao intervalo con-

siderado. Portanto:

1. Resolva as equações:

a) cox = 1

b) no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.

c) 2 . cos x – = 0, no intervalo 0 ≤ x ≤ π.

2. Resolva a equação cos 4x – cox x = 0

3. Resolva a equação cos(x – π) = 0, no intervalo0 ≤ x ≤ 2π.

18.5 Equações do tipo tg x = a

A equação tg x = a tem solução para todoa∈lR.

Os valores de x tais que com κ∈

que satisfazem essas equações podem ser ob-tidos a partir da seguinte propriedade:

Se dois arcos têm tangentes iguais, então elessão côngruos ou explementares.

Seja x = α uma solução particular da equaçãotg x = a.

As outras soluções são todos os arcos côn-gruos ao arco α ou ao arco π + α, isto é:

Page 80: Mate Matic a Element a Riv

80

UEA – Licenciatura em Matemática

tg x = tg α

com κ∈ .

Portanto a solução geral da equação é dadapor:

S = {x ∈ lR }

Exemplos:

1. Vamos resolver a equação

Solução:

Observe, na figura, que todos os arcos de ex-tremidades em M e em M1 são soluções dessaequação. Portanto uma das soluções é

e outra é .

• Se x [0, 2π], a solução é:

• Se x ∈ lR a solução é:

S = {x ∈ lR }

2. Vamos resolver a equação com

x ∈ lR.Solução:

Um valor possível para 2x é: pois:

Então, temos

Portanto,

Logo, o conjunto solução é:

S = {x ∈ lR }

1. Resolva as equações que seguem.

a) tg (4x) = com x ∈ lR

b) tg (2x) = –1, com x x ∈ lRc) – tg x = 0 com 0 ≤ x ≤ 2π.

2. Resolva a equação 2 . cos x = 3 . tg x, com x∈ lR.

3. Se e tg x = 1, quanto vale x?

4. Resolva a equação tg2 x – 3 = 0, com 0 ≤ x ≤ 2π.

5. Se , determine os valores de x para os

quais se tenha:

3 . tg2 x – 4 . tg x + 3 = 0

Page 81: Mate Matic a Element a Riv

81

Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas

TEMA 19

INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

19.1 Introdução

Um jardineiro precisa construir um canteiro tri-angular, com um lado medindo 8m, outro me-dindo 10m e uma área de, no mínimo, 20m2.Qual deve ser o ângulo de abertura dos dois la-dos citados?

Seja α a medida de um ângulo que satisfaz ascondições dessa situação.

Note que a área o triângulo, em m2, é dada por

em que o valor de h é h = 8 . sen α.

Dessa forma, para 0 < α < π a área do triân-gulo é:

Como a área deve ser de, no mínimo, 20m2, te-mos que:

Sabemos que e, para

qualquer valor de α entre e , o valor de

sen é maior que .

Assim, o problema proposto possui infinitassoluções, pois qualquer valor real de α tal que

≤ α ≤ torna a sentença sen α ≥ ver-

dadeira.

Veja isso na figura a seguir, na qual B e C sãodois dos vértices do canteiro.

A inequação sen α ≥ é exemplo de inequa-

ção trigonométrica.

Chamamos de inequação trigonométrica qual-quer inequação em que a incógnita está asso-ciada a alguma função trigonométrica.

Veja outros exemplos de inequações trigono-métricas.

a)

b)

c) tg 2x ≤ π

d) 0 < sen α < 1

19.2 Resolução de inequações trigonométricas

Do mesmo modo que fizemos para as equa-ções trigonométricas, estudaremos alguns ti-pos de inequações trigonométricas Em geral,essas inequações recaem em inequações trigo-nométricas mais simples, porém equivalentes.

19.2.1 Inequações do 1.o tipo

São inequações que podem ser colocadas emuma das seguintes formas:

sen x > a ou sen x ≥ a ou sen x < a ou sen x ≤a, com –1 ≤ a ≤ 1

Page 82: Mate Matic a Element a Riv

82

UEA – Licenciatura em Matemática

Exemplos:

1. Resolva a inequação com x ∈ lR.

Solução:

Observando a figura abaixo, notamos que per-correndo o ciclo no sentido positivo, a partir deA, temos:

e

O conjunto solução é obtido ao se percorrer ociclo no sentido positivo, a partir de A, até com-pletar uma volta e, em seguida, generalizamosa medida do arco obtido para qualquer volta:

S = {x ∈ lR }

2. Resolva a inequação com x ∈ lR.

Solução:

Observando a figura do exemplo anterior, nota-mos que os arcos 2x são tais que:

ou

com κ∈ .

Logo,

S = {x ∈ lR ou

, κ∈ }

3. Resolva a inequação com 0 ≤ x ≤ 2π.

Solução:

Observe o gráfico da função y = sen x e ospontos que nesse gráfico correspondem às

soluções da inequação no interva-

lo 0 ≤ x ≤ 2π.

Logo,

S = {x ∈ lR

1. Considerando o gráfico da função y = sen x,determine os valores de x, com 0 ≤ x ≤ 2π, paraos quais se tem:

a) sen x < 0b) sen x ≥ 0

c)

2. Qual é a inequação trigonométrica cuja solu-ção no intervalo [0, 2π] está representada nociclo trigonométrico abaixo?

Page 83: Mate Matic a Element a Riv

83

Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas

3. Resolva a inequação |sen 2x| ≤ , para

0 < x < π.

19.2.2 Inequações do 2.o tipo

São inequações que podem ser colocadas emuma das seguintes formas:

cos x > a ou cos x ≥ a ou cos x < a ou cos x ≤ a com –1 ≤ a ≤ 1

Exemplos:

1. Resolva a inequação com x ∈ lR.

Resolução:Procedendo como nas inequações do 1.o tipo,temos:

e

Veja a figura:

Logo, o conjunto solução obtido é:

S = {x ∈ lR }

2. Resolva a inequação cos x > , com x ∈ lR.

Solução:

Observando a figura do exemplo anterior, en-contramos o conjunto solução:

S = {x ∈ lR

∈ }

1. Resolva as inequações trigonométricas, comx ∈ lR.

a) cos x ≤ 0

b)

c)

2. Resolva:

a) com 0 ≤ x ≤ 2π

b) com 0 ≤ x ≤ 2π

19.2.3 Inequações do 3.o tipo

São inequações que podem ser colocadas emuma das seguintes formas:

tg x > a ou tg x ≥ a ou tg x < a ou tg x ≤ a, com

com κ∈ .

Exemplos:

1. Resolva a inequação tg x > , com x ∈ lR.

Solução:

Percorrendo o ciclo no sentido positivo, a par-tir de A, temos:

Veja a figura:

Page 84: Mate Matic a Element a Riv

84

UEA – Licenciatura em Matemática

Logo, o conjunto solução obtido é:

S = {x ∈ lR

}

2. Resolva a inequação tg x ≤ , com x ∈ lR .

Solução:

Observando a figura do exemplo anterior, en-

contramos o conjunto solução:

S = {x ∈ lR

}

1. Resolva as inequações:

a) tg x ≥ 1, com x ∈ [0, 2π]

b) |tg x | ≤ 1, com x ∈ [0, π]

c) 0 < tg x ≤ 1 com

d) 3 . tg x ≥ , com x ∈ lR

TEMA 20

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

20.1 Introdução

Quando, na disciplina Matemática elementar III,aprendemos os conceitos de função inversa,vimos que somente as funções bijetoras (ouseja, injetoras e sobrejetoras) tinham inversa.

Veremos agora como ajustar aqueles concei-tos para as funções trigonométricas aprendidas.

20.2 Função arco seno

Vamos rever a definição da função seno:

f: lR: → lR tal que f(x) = sen x

Agora veja o gráfico dessa função:

Por ele, vemos que a função não é sobrejetora,pois a imagem dela é im(f) = [–1, 1], e o seucontradomínio é lR.

A figura mostra também que a função não éinjetora, pois, para um mesmo valor x1∈lR,existem infinitos valores de x, tais que senx = sen x1 como, por exemplo,

Então, nas condições apresentadas, a funçãoy = sen x não possui inversa.

No entanto, podemos restringir o contrado-mínio ao conjunto [-1,1], intervalo esse ondeestão todos os valores de sen x para qualquerx ∈ lR. Fazendo isso, a função é sobrejetora.

Vamos agora restringir o domínio, de modo quea função seja também injetora.

Existem infinitos intervalos onde tal peculiari-dade ocorre, como, por exemplo,

(veja figura). No entanto conven-

cionamos adotar para domínio o intervalo

Page 85: Mate Matic a Element a Riv

85

Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas

no qual a mesma peculiaridade tam-

bém ocorre.

Dessa forma, temos a função

F: → [–1, 1]

definida por F(x) = sen x.

Nessas condições, a função é bijetora e, por-tanto, tem inversa. Ela é definida assim:

F–1: [–1, 1] →

tal que F–1(y) = arc sen y

(entende-se: arco cujo seno é y).

Veja o esquema:

Exemplos:

Achar y nos casos seguintes

a) y = arc sen

b)

Solução:

a) y = arc sen

Portanto rad.

b)

Portanto rad.

1. Determine o valor de y nos casos:

a)

b)

c) y = 2 . arc sen (0,342)

2. Calcule y = 2 . cos(arc sen 0,8).

3. Calcule o valor de N, sendo

.

20.3 Função arco co-seno

Do mesmo modo que a função seno, a funçãoco-seno definida por

f: lR → lR tal que f(x) = cos x,

não é bijetora e, portanto, não tem inversa.

Restringindo o contradomínio ao intervalo [–1, 1],a função é sobrejetora.

Convencionamos restringir o domínio ao inter-valo [0, π], no qual a função é injetora. Dessaforma, temos a função:

Page 86: Mate Matic a Element a Riv

86

UEA – Licenciatura em Matemática

F: [0, π] → [–1, 1], tal que F(x) = cos x.

Agora, então, a função é bijetora e, portanto, tem

inversa:

F–1 : [–1, 1] → [0, π]

tal que

F–1(y) = arc cos y

(entende-se: arco cujo co-seno é y).

Veja o esquema:

Exemplos:

Determine y:

a) y = arc cos

b)

Solução:

a) y = arc cos

Portanto rad.

b)

Portanto rad.

1. Determine y sabendo que:

a)

b) y = arc cos (–1)

c)

2. Calcule o valor de N para:

a) N = arc cos(0,9703)

b)

20.4 Função arco tangente

A função tangente foi definida assim:

f: lR1 → lR tal que f(x) = tg x,

com lR1 = {x ∈ lR }.

Nessas condições, a função é sobrejetora, poistg x assume qualquer valor real, mas não é in-jetora. Desse modo, não é bijetora e, portanto,não tem inversa.

Vamos restringir o domínio a um intervalo ondeela assuma todos os valores reais e, além dis-so, seja injetora. Existem infinitos intervalos on-de isso ocorre.

Convencionamos restringir o domínio ao

Page 87: Mate Matic a Element a Riv

87

Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas

intervalo aberto . A função fica assim

determinada:

F: → lR, definida por F(x) = tg x

A função agora é bijetora e, portanto, tem inver-sa:

F–1: → definida por F–1(y) = arc tg y

(arco cuja tangente é y).

Veja o esquema:

Exemplos:

Determine y nos casos abaixo::

a) y = arc tg

b)

Solução:

a) y = arc tg

Temos que

Portanto rad.

b)

Chamando z = arc tg 1, temos:

rad

Chamando , temos:

rad

Como

rad.

Portanto rad.

1. Determine y nos casos:

a) y = arc tg (–1)

b)

c) y = sen(arc tg 3) + cos(arc tg 3)

d) y = tg(arc tg 4) – arc tg 1

2. (U.MACK–82)Para todo n inteiro sen(b + nπ) éigual a:

a) sen b

b) (–1)n cos b

c) (–1)n+1 sen b

d) (–1)n sen b

e) cos b

3. (CESGRANRIO–83) Para κ= 1, 2, 3,... o núme-

ro de valores distintos de é:

a) 2;

b) 6;

c) 8;

d) 16;

e) infinito.

Page 88: Mate Matic a Element a Riv

4. (V.UNIF–RS) O período e a imagem da funçãoreal ƒ definida por ƒ(x) = 3sen 2x, respecti-vamente, são:

a) π e [–3, 3]

b) 4πe [–3, 3]

c) e [–2, 2]

d) 6π e [–2, 2]

e) 2π e [–1, 1]

5. (CESGRANRIO–90) Se e ,

então tg x vale:

a) b)

c) d)

e)

6. (U.C.mg–81) Seja ƒ(x) ≠ 0 uma função definidapara todo número real x > 0. Então, a função

é:

a) apenas ímpar;

b) apenas par;

c) par e ímpar;

d) nem par nem ímpar;

e) simétrica em relação ao eixo x.

7. (UNICAP–87) Sabendo que x – y = 60º, assi-nale a alternativa que corresponde à expressão(cos x + cos y)2 + (sen x + sen y)2.

a) 1 b)

c) 2 d) 3

e)

8. (EAESP–FVG) Se , então

(1 + tg α)(1 + tg β) é igual a:

a) 1 b) 2

c) 2tg α d) 2tg β

e) tg α . tg β

9. (UF–GO) Se , então cos 2θ vale:

a) b)

c) d)

e)

10. (PUC–SP) O valor de

(cos2 1º + cos2 2º + ... + cos2 89º)2 –

– (sen2 1º + sen2 2º + ... + sen2 89º)2 é:

a) –1;

b) 0;

c) 1;

d) 89;

e) impossível calcular sem tabela trigonométrica.

11. (FUVEST) Se , então cos x vale:

a) b)

c) d)

e)

12. (U.F.PA) Qual das expressões abaixo é idêntica

a ?

a) sen x

b) cos x

c) tg x

d) cosec x

e) cotg x

13. (UF–RN) A expressão (sec x – tg x)(sec x + tgx) é equivalente a:

a) –2

b) –1

c) 0

d) 1

e) 2

88

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 89: Mate Matic a Element a Riv

14. (UF–PA) A expressão mais simples de

é:

a) sec 2a

b) sec2 a

c) sen2 a

d) cot2 a

e) tg 2a

15. (UF–PR) Qualquer que seja o valor de x,(sen x + cos x)2 é igual a:

a) sen 2x

b) 2sen x

c) 2sen2 x – 1

d) 2cos2 x – 1

e) . sen x . cos x

16. (UCDB–MS) Sendo sen x + cos x = , o valor

de sen 2x é:

a) 0,48

b) –0,48

c) –0,96

d) –0,8

e) –0,6

17. (UNIFOR–Ce) O período da função ƒ: ℜ → ℜ,definida por ƒ(x) = cos2 x – sen2 x é:

a) b)

c) π d)

e) 2π

18. (CESGRANRIO–88) Sendoκ∈ , as soluções

da equação são da forma:

a) b)

c) d)

e)

19. (CESGRANRIO–90) O número de raízes reais

da equação + cos x = 0 é:

a) 0;

b) 1;

c) 2;

d) 3;

e) maior do que 3.

20. (PUC–SP) A igualdade sen πx = 0 é verdadeirase, e somente se, sen x é:

a) Real.

b) Inteiro.

c) Complexo.

d) Racional.

e) Irracional.

21. (CESGRANRIO–88) O arco x é medido em ra-dianos. Então, a soma das duas menores raí-

zes positivas de é:

a) b) π

c) d)

e)

22. (F.SANTANA–83) Uma das soluções da equa-ção sen 3x = sen x é:

a) – b)

c) d)

e)

23. (CESGRANRIO–80) O menor zero positivo da

função é:

a) b)

c) d)

e)

89

Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas

Page 90: Mate Matic a Element a Riv

24. (UC–PR–82) Para ser verdadeira a desigualda-de tg θ . sec θ < 0, θ deve ser um arco perten-cente apenas:

a) ao 1.o quadrante;

b) ao 2.o quadrante;

c) ao 4.o quadrante;

d) ao 2.o ou 4.o quadrantes;

e) ao 3.o ou 4.o quadrantes.

25. (FEI–SP) Se 0 < x < 2π e sen x > cos x, então:

a) b)

c) d)

e)

26. (PUC–RS) Se x ∈ [0, 2π], o conjunto soluçãopara a inequação x – sen x ≥ 0 é:

a) b) [0, 2π]

c) [0, π] d) (0, +∞)

e) ℜ

27. (Unifor-CE) Se , então tg α é

igual a:

a) –

b) –1

c) –

d)

e)

28. (Unit-SE) A solução da equação

arc sen(arc cos x) = 0 é:

a) x = 0

b) x =

c) x = 1

d) x = πe) n.d.a.

29. (PUC–PR) O conjunto domínio deƒ(x) = arc sen (2x – 3) está contido no intervalo:

a)

b) [–1, 1]

c) [0, 1]

d) [1, 2]

e)

30. (Unifor–CE) Se , então cos θ é

igual a:

a) b)

c) d)

e)

90

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 91: Mate Matic a Element a Riv

UNIDADE VINúmeros Complexos

Page 92: Mate Matic a Element a Riv
Page 93: Mate Matic a Element a Riv

93

Matemática Elementar IV – Números Complexos

TEMA 21

FORMA ALGÉBRICA E POTÊNCIAS DE i

21.1. Um pouco de história

Os números complexos, assim como são co-nhecidos hoje, surgiram por volta do século XVI,quando ainda os matemáticos ocidentais malhaviam superado as dificuldades com os nú-meros irracionais e negativos.

As primeiras idéias sobre esses novos núme-ros foram observadas em trabalhos de váriosmatemáticos italianos quando da descobertada solução algébrica de equações cúbicas.

Em 1545, Cardano publica Ars magna (Artemaior), uma obra dedicada à álgebra, em querelata a solução da equação x3 + px = q. Nes-sa obra, ele faz uma observação acerca dessesnovos números.

Inspirado no trabalho de Cardano, o matemá-tico bolonhês Rafael Bombelli (cerca de 1526-1573), ao resolver a equação cúbica incom-pleta x3 – 15x – 4 = 0, passou a operar com osímbolo .

Mais tarde, outros matemáticos também utiliza-ram esse símbolo. A partir daí, os números com-plexos começaram a perder um pouco do ca-ráter sobrenatural que tinham até então, massó foram totalmente aceitos no século XIX.

Esses números inauguraram um extenso cam-po de estudos na matemática. Um exemplo dis-so são suas aplicações no estudo das equa-ções algébricas.

Na física, eles são usados, por exemplo, no ele-tromagnetismo e na eletricidade, em circuitoselétricos

21.2 O número iAo resolver a equação x2 + 4 = 0, obtemos asraízes – e , ou seja, números não-reais.

Se considerarmos U = lR, teremos como con-junto solução o conjunto vazio, isto é, S= ∅.

A solução de equações como essa passou a serpossível devido à introdução de um elementomatemático, denominado unidade imaginária,que será indicado pela letra i, tal que:

i = ou i2 = –1

Em manuscrito datado de 1777 e publicadoposteriormente em 1794, o matemático suíçoLeonhard Euler (1707-1783) foi o primeiro a uti-lizar a letra i para representar .

A partir da unidade imaginária, começava a con-figurar-se um novo conjunto, o dos númeroscomplexos, que será indicado por .

21.3 Potências de iVejamos agora como podemos calcular potên-cias de i.i0 = 1

i1 = i

i2 = –1

i3 = i2 . i = –1 . i = –i

i4 = i3 . i = –i . i = –i2 = 1

i5 = i4 . i = 1 . i = i

i6 = i5 . i = i . i = i2 = –1

i7 = i6 . i = –1 . i = –1

i8 = i7 . i = –i . i = i2 = 1

:.

Observando os valores obtidos para essas po-tências, verificamos que eles se repetem a gru-po de quatro potências, assumindo os valores1, i, –1 e –i.

21.4 Processo prático para calcular potênciasde i

Dado in, com n ∈ lN, temos:

O resto r da divisão de n por 4 será sempre umdestes valores: 0, 1, 2 ou 3.

Portanto o valor da potência de i depende doresto r. Observe o quadro:

Page 94: Mate Matic a Element a Riv

94

UEA – Licenciatura em Matemática

Exemplos:

1. Calcular:

a) i250

b) i931

Solução:

a) i250

Logo, i250 = i2 = –1

b) i931

Logo, i931 = i3 = –i

2. Calcular o valor das seguintes expressões:

a) i39 + i42 – i14

b) i25 + i148 – 2i79

Solução:

a) i39 + i42 – i14

Logo, i39 + i42 – i14 = i3 + i2 – i2 = –i

b) i25 + i148 – 2i79

Logo,

i25 + i148 – 2i79 = i1 + i0 – 2i3 =

= i + 1 – 2 (–i) = i + 1 + 2i = i + 3i

1. Calcule:

a) i329

b) i105

c) i94

2. Calcule:

a) i4n – 2

b) i3 + 8n

3. Calcule o valor de:

21.5 Forma algébrica de um número complexo

Todo número complexo pode ser colocado naforma

z= a + bi

denominada forma algébrica, em que a e bsão números reais, e i é a unidade imaginária.

O número a é a parte real de z, e indicamospor Re(z) = a.

O número b é a parte imaginária de z, e indi-camos por Im(z) = b.

• Se Re(z) = 0, então z é um número imagi-nário puro.

• Se Im(z) = 0, então z é um número real.

Todo número real a é o número complexo a +0i.Logo, lR ⊂ . Podemos visualizar essa relaçãode inclusão no diagrama:

Exemplos:

1. z = 2 + 7i ⇒ Re(z) = 2 e Im(z) = 7

2. z = –4i ⇒ Re(z) = 0 e Im(z) = –4

3. z = 2 ⇒ Re(z) = 2 e Im(z) = 0

Valor de r 0 1 2 3

valor de ir 1 i –1 –i

Page 95: Mate Matic a Element a Riv

95

Matemática Elementar IV – Números Complexos

4. Considerando o número complexo z = (3 – 5m) + (2k + 3)i, determinar m e k reais,tais que:

a) z seja um número real;

b) z seja um número imaginário puro.

Solução:

a) z é um número real se Im(z) = 0. Então,devemos fazer:

2k + 3 = 0, ou seja, k = –

b) z é um número imaginário puro se Re(z) = 0.Então:

3 – 5m = 0, isto é, m =

Nesse caso, devemos ter k ≠ – .

1. Determine a parte real e a parte imaginária decada um dos números complexos:

a) z = –3 + 4i e) z = 3

b) z = 2 – 1i f) z = – i

c) z = 4 + i g) z = 3 + 2πi

d) z = 5i

2. Dado z =(m2 – 4) + (k – 5)i, determine m e kreais, tais que:

a) z seja um número real;

b) z seja um núero imaginário puro.

3. Determine os números reais p e q, tais que z = 0,nos seguintes casos:

a) z = 2p – 10 + (q + 1)ib) z = p – 2 + (q2 – 9)ic) z = p2 + 3p – 4 + (q + 4)i

4. Qual deve ser o valor de x para que o númerocomplexo z = (x – 4) + (x2 – 4x + 3)i seja umnúmero real?

5. Determine o valor de x para que o número com-plexo z seja imaginário puro:

a) z = (x2 – 4x + 4) + (x – 2)ib) z = (x2 – 6x + 5) + (x – 5)i

TEMA 22

IGUALDADE, SOMA E SUBTRAÇÃO DENÚMEROS COMPLEXOS

22.1 Igualdade de números complexos

Dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di são iguais se, e somente se, suaspartes reais e imaginárias forem respectiva-mente iguais, ou seja:

z1 = z2 ⇔ a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d

Exemplos:

1. Sendo z1 = 8x + 3i e z2 = –5 + 4yi, deter-minar os números reais z e y de modo que z1 = z2.

Solução:

Se z1 = z2, devemos ter:

2. Determinar os números reais x e y de modo que

3x = –5x + 2 + (y + 3)i

Solução:

Devemos ter:

1. Determine os números x e y nas seguintesigualdades:

a) 5x –3yi = 2 + 12ib) (x – 3) + (y + 1)i = 6 + 4ic) (x2 – 2x – 15) + (3y – 9)i = 3id) (4 – x + 5y) + 3yi = 0e) 15 + 3x + 6i = –2yi

2. Calcule os números reais a e b para que se te-nha a + 7i = –5 + bi.

3. Determine os reais x e y para que seja válida aigualdade (2x – 1) + 5i = 11 – (y + 2)i.

Page 96: Mate Matic a Element a Riv

22.2 Adição de números complexos

Sejam os números complexos z1 = a + bi ez2 = c + di, com a, b, c, d ∈ lR. Então, temos:

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di ⇒

Exemplos:

1. Sendo z1 = 3 + 4i e z2 = –1 + 2i, determinarz1 + z2.

Solução:

2. Dados z1 = 3 + 6i, z2 = –2 – 5i e ,

calcule:

a) z1 + z2

b) z2 + z3

c) z1 + z2 + z3

Solução:

a) z1 + z2

(3 + 6i) + (–2 – 5i) = (3 – 2) + (6 – 5)i = 1 + i

b) z1 + z3

c) z1 + z2 + z3

22.2.1 Propriedades

A adição de números complexos goza das pro-priedades seguintes:

1. Associativa:

(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3), ∀z1 ∈ , ∀z2 ∈

e ∀z3 ∈

2. Comutativa:

z1 + z2 = z2 + z1, ∀z1 ∈ e ∀z2 ∈

3. Elemento neutro:

0 = 0 + 0i é o elemento neutro da adição, poisz + 0 = 0 + z = z, ∀z∈ .

4. Oposto:

Todo complexo z = a + bi possui um oposto,–z = –a – bi, tal que z + (–z) = 0

22.3 Subtração de números complexos

Sejam os números complexos z1 = a + bi ez1 = c + di, com a, c, d ∈ lR. Então, temos:

z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = a + bi – c – di ⇒

Exemplos:

1. Sendo z1 = 5 + i e z2 = –1 + 3i, calcularz1 – z2.

Solução:

2. Dados z1 = 1 + 2i, z2 = –3 – i e z3 = 5i,calcule:

a) z1 – z2

b) z1 + z2 – z3

Solução:

a) z1 – z2

b) z1 + z2 – z3

3. Calcular os reais x e y de modo que se verifiquea igualdade 2x + xi + 3y – yi – 2 = 0 .

Solução:

Igualando as partes reias e as partes imaginá-rias, temos:

96

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 97: Mate Matic a Element a Riv

1. Efetue:

a) (3 + 7i) + (2 – 6i)b) (3 – 4i) + (2 + 3i)c) (1 + 2i) – (1 + i)d) (3 – 5i) + (2 + 3i) – (1 – i)

2. Determine a parte real e a parte imaginária dosseguintes números complexos:

a) z = (5 + i) – (–2i)

b) z = (1 – i) + 2(3i – 4)

3. Determine os números reais x e y nas seguin-tes igualdades:

a) (2x – i) + (x – 2yi) = –2ib) –3yi – (2x + yi) = 1 – ic) (x + y) + (x – yi) = 0

d) (x – 3yi) – (2yi) = 3 – i

4. Dada a igualdade 1 +(x + y)i = 2y – x – 4i, emque i é a unidade imaginária, determine a rela-

ção , sendo x e y números reais.

5. Dados z1 = 2 + 5i, z2 = –6 + i, z3 = 1 – 3i ez4 = –2 – i, calcule:

a) z1 + z2

b) z3 + z4

c) z2 – z3

d) z1 – z4

e) z1 + z2 + z3 + z4

f) z1 – z2 – z3 – z4

6. Dados , cal-

cule:

a) z1 + z2

b) z2 – z3

c) z1 – z2 – z3

7. Dados ,

calcule:

a) z1 + z2

b) z3 – z1

c) z3 – z2 + z1

8. Calcule:

a) 4 + 2 –(–4 – 2i)

b) – 6 + 8i –(–6 – 8i)

c)

d)

9. Calcule:

a)

b)

c) (m + ni) – (–m + ni)

d) –(a + bi) + (a – bi)

10. Calcule:

a)

b)

c)

d)

11. Calcule os reais x e y nas igualdades:

a)

b)

12. Calcule os reais x e y na igualdade:

13. Calcule os reais x e y na igualdade:

97

Matemática Elementar IV – Números Complexos

Page 98: Mate Matic a Element a Riv

TEMA 23

MULTIPLICAÇÃO, CONJUGADO E DIVISÃODE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMAALGÉBRICA

23.1 Multiplicação de números complexos na forma algébrica

Consideremos os números complexosz1 = a + bi e z2 = c + di, com a, b, c, d ∈lR. Assim:

Exemplos:

1. Sendo z1 = 2 – 3i e z2 = 1 + i, determinarz1 . z2.

Solução:

2. Dados z1 = 3 – 4i e z1 = 5 – i, calcular:

a) X = 3z1 – 2z2

b) Y = (z2)2

c) K = z1 – 2(z2)2

Solução:

a) X = 3z1 – 2z2

X = 3(3 – 4i) – 2(5 – i)

X = 9 – 12i – 10 + 2i

X = –1 – 10i

b) Y = (z2)2

Y = (5 – i)2 = 25 – 10i + i2

Y = 25 – 10i – 1 = 24 – 10i

c) K = z1 – 2(z2)2

K = 3 – 4i – 2(5 – i)2

K = 3 – 4i – 2(25 – 10i – 1)

k = 3 – 4i – 50 + 20i + 2 = –45 + 16i

3. Determinar o valor de A para que o produto(a + 2i)(3 – 2i) seja real.

Solução:

(a + 2i)(3 – 2i) = 3a – 2ai + 6i – 4i2

(a + 2i)(3 – 2i) = 3a – 2ai + 6i + 4

(a + 2i)(3 – 2i) = (3a + 4)+ (–2a +6)i

para que o produto seja real, devemos ter–2a + 6 = 0, ou seja, a = 3

4. Determinar os números reais x e y para que:2(x – yi) + (x + 3y)i = 1 – 2i.

Solução:

2(x – yi) + (x + 3y)i = 1 – 2i

2x – 2yi + xi + 3yi = 1 – 2i

2x + (–2y + x + 3y)i = 1 – 2i

2x + (y + x)i = 1 – 2i

e

5. Dado o número complexo z = 2 + 3i, calcule:

a) –z b) i . z c) z2 d) z3 e) z4

Solução:

a) –z = (–1) . z = (–1)(2 + 3i) = –2 – 3i

b) i . z = i(2 + 3i) = 2i + 3i2 =2i + 3(–1) = –3 + 2i

c) z2 = z . z = (2 + 3i)(2 + 3i) =4 + 6i + 6i + 9i2 = –5 + 12i

d) z3 = z2 . z = (–5 + 12i)(2 + 3i) =–10 – 15i + 24i + 36i2 = –46 + 9i

e) z4 = z2 . z2 = (–5 + 12i)(–5 + 12i) =25 – 60i – 60i + 144i2 = –119 – 120i

23.1.1 Propriedades

A multiplicação de números complexos gozadas propriedades seguintes:

1. Associativa:

(z1 . z2). z3 = z1 . (z2 . z3), ∀z1 ∈ , ∀z2 ∈ e ∀z3 ∈

2. Comutativa:

z1 . z2 = z2 . z1, ∀z1 ∈ e ∀z2 ∈ .

98

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 99: Mate Matic a Element a Riv

3. Elemento neutro:

1 = 1 + 0i é o elemento neutro da multipli-cação, pois z . 1 = 1 . z = z, ∀z ∈

4. Inverso:

Todo complexo não nulo z possui um inver-

so , tal que .

1. Sendo z1 = 2 – 2i e z2 = 1 + 3i, calcule:

a) z1 + z2 e) (z1)2

b) z1 – z2 f) (z2)2

c) z2 – z1 g) (z1)2 . (z2)2

d) z1 . z2 h) 2z1 – z2

2. Dado o produto (3x – i)(2 – 3i), determine o valorde x para que esse produto seja um númeroreal.

3. Mostre que o número (2 – 3i)(2 + 3i) é um nú-mero real.

4. Determine o valor de x para que (x – 3i)(2 + 6i)seja real.

5. Efetue:

a) (3 + i) . (7 – 3i)

b) (3 – 2i) . (1 + 2i)

c) (5 – 4i) . (5 + 2i) . i

d) (4 + i) . (1 + i) . (–2i)

6. Efetue:

a) (5 + i) . (5 – i) + (2 + i). i

b) (1 + i) . (1 – 2i) – (1 + i)2. i

c) i . (1 + i) + (1 + i) . (2 + i) – (2 + i). (3 + 2i)

7. Obtenha a parte real x e a parte imaginária y docomplexo x + yi = (1 + i) . i .(1 – 3i).

8. Calcule x e y reais de modo quex = yi . (2 + 3i) = 1 + 8i.

9. Efetue os produtos z1 = i(2 – 3i)(3 – 2i) ez2 = (1 + 2i)(2 + 3i)(1 – 2i)(2i + 3) e respon-da:

a) Qual deles é real?

b) Qual deles é imaginário puro?

10. Determine dois números complexos cuja somaé 4 e cujo produto é 29.

11. Obtenha dois números cuja soma seja -6 e cujoproduto seja 10.

12. Dados , calcule:

a) z1 . z2

b) z2 . z3

c) z1 . z3

d) z1 . z2 . z3

13. Dados ,

calcule:

a) z1 . z2

b) z2 . z3

c) z3 . z4

d) z4 . z2 . z1

14. Dados , calcule:

a) z1 . z2

b) z1 . z3

c) z2 . z3

15. Calcule:

a) i(2 + 3i)

b) –3i(–1 – 2i)

c) 2(3 – i) + i(–1 + 2i)

d)

16. Calcule:

a) (2 – 6i)(3 – i)

b)

c)

99

Matemática Elementar IV – Números Complexos

Page 100: Mate Matic a Element a Riv

d)

17. Calcule:

a)

b)

18. Calcule:

a)

b)

19. Calcule os reais x e y em cada igualdade:

a)

b)

23.2. Conjugado de um número complexo

Dado um número complexo z = a + bi, deno-minamos conjugado de z ao número complexo

z– = a – bi

Exemplos:

1. Se z = 2 + 5i, então: z– = 2 – 5i

2. Se z = –4 + 2i, então: z– = –4 – 2i

3. Se z = 3i, então: z– = –3i

4. Se z = 2, então: z– = 2

Observação:

O conjugado de um número real é o próprionúmero.

5. Sendo z – 2z– = 3 + 2i, calcular z.

Solução:

Façamos z = a + bi, com a e b reais. Então, z– = a – bi.

Substituindo z e z– na expressão dada, temos:

z – 2z– = 3 + 2i ⇒ a + bi – 2(a – bi) = 3 + 2i ⇒a + bi – 2a + 2bi = 3 + 2i ⇒ –a + 3bi = 3 + 2i

Pela igualdade de dois números complexos,temos:

–a = 3 ⇒ a = –3

3b = 2 ⇒ b =

Portanto, o número procurado é: z = –3 + i

6. Determine o número complexo z tal que2z + iz– = 7 – i.Solução:

Fazendo z = a + bi e, portanto, z– = a – bi,temos:

2a + 2bi + ai + b = 7 – i ⇒ (2a + b) + i(2b + a) = 7 – iE então:

cuja solução é a = 5 e b = –3, logo z = 5 – 3i.

23.2.1 Propriedades do conjugado

Sejam z1, z2 e z3 números complexos quais-quer. Então, são válidas as seguintes proprie-dades:

1.

2.

3. z = z– ⇒ z ∈ lR4. , com n ∈ lN5. z= = z

1. Determine o conjugado dos seguintes núme-ros complexos:

a) z = 8 – ib) z = 1 – ic) z = 13d) z = 7ie) z = p – qi, sendo p e q reais

2. Determine o valor de z, com z ∈ , em cada ex-pressão:

a) 2z – z– = 3 – 6ib) z + 5z– = 6 + 16ic) z– – 2z = –2 +6id) 3z – 2z– = 5ie) z . z– + (z – z–) = 2 – 2i

3. Dados os complexos z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + i,verifique a validade das seguintes igualdades:

100

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 101: Mate Matic a Element a Riv

a)

b)

4. Sendo z =(4 + 3i) + (5 – 2i) – (11 – 7i),determine seu conjugado z–.

5. Sabendo que z = (2 + i)(3 + i)(4 + i), calculeseu conjugado z–.

6. Mostre que z = z– se, e somente se, z é real.

7. Calcule o número complexo z que satisfaz acondição (z – z– – 1)i + (z + z– – 2) = z.

8. Obtenha o número complexo z que verifica acondição z . z– + (z – z–) = 13 + 6i

23.3 Divisão de números complexos na forma algébrica

Sejam os números complexos z1 e z2, com z2 ≠ 0.

O número complexo é obtido multiplicando

o numerador e o denominador pelo conjugadodo denominador, isto é:

Exemplos:

1. Sendo z1 = 5 + 3i e z2 = 1 – 4i, calcular z1 ÷ z2.

Solução:

2. Colocar na forma a + bi a expresão:

.

Solução:

Colocando na forma a + bi

Fazendo o mesmo para

, logo,

3. Dado z = 2 + i, calcular .

Solução:

4. Determine x ∈ lR de modo que o número

complexo seja imaginário puro.

Solução:

Devemos ter 2 – 2x2 = 0 e –5x ≠ 0, portanto, re-solvendo a equação –2x2 + 2 = 0, obtemos x = 1 ou x = –1.

1. Calcule:

a) e)

b) f)

c) g)

d)

2. Coloque na forma a + bi as seguintes expres-sões:

101

Matemática Elementar IV – Números Complexos

Page 102: Mate Matic a Element a Riv

a) b)

3. (UFBA) Existe um número real x tal que o

quociente é um número imaginário puro.

Determine o simétrico de x.

4. Dado z = 3 + 5i, determine o complexo z=.

5. Determine o valor de k, com k ∈ lR, para que

o número complexo seja:

a) real; b) imaginário puro.

6. Dado o complexo z = 2 + 5i, verifique se z + z–

é um número real.

7. Determine o número complexo z tal que

.

8. Divida 2 + i por 1 + i.

9. Calcule os quocientes:

a)

b)

c)

d)

10. Calcule o inverso de z em cada caso:

a) z = 4 – 3i

b) z = 12 + 5i

c) z = i

d) z = 1 + i

102

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 103: Mate Matic a Element a Riv

UNIDADE VIINúmeros complexos na forma trigonométrica

Page 104: Mate Matic a Element a Riv
Page 105: Mate Matic a Element a Riv

105

Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica

TEMA 24

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA, MÓDULO EARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

História

No fim do século XVIII, em 1797, um topógrafonorueguês, Caspar Wessel, entregou à Aca-demia Dinamarquesa de Ciências e Letras umaMemória, publicada em 1799, “Sobre a repre-sentação analítica da Direção” em que, pelaprimeira vez, foi apresentada uma representa-ção geométrica dos números complexos. Háqualquer coisa de novo, para além da idéia decoordenadas cartesianas, pois, na representa-ção a que acabamos de nos referir, todos oscomplexos da forma O + bi, isto é, todos osimaginários puros têm representação sobre oeixo Oy.

Mas o trabalho de Wessel foi esquecido duran-te um século e, só alguns anos depois, em1806, o suiço Jean-Robert Argand (1768-1822)criava, por sua vez, a mesma representação.

Foi o seu nome que ficou ligado a ela durantemuitas dezenas de anos.

Entretanto Gauss escreveu, numa carta datadade 1811:

“... da mesma maneira que se pode representar

todo o domínio das quantidades reais por meio

de uma linha recta indefinida, pode representar-

se o domínio complexo de todas as quantidades,

as reais e as imaginárias, por meio de um plano

indefinido; onde cada ponto determinado pela

sua abcissa a e pela sua ordenada b representa,

ao mesmo tempo, a quantidade a + bi.”

24.1 Representação geométrica de um número complexo

Entre os séculos XVIII e XIX, três obras sobre arepresentação geométrica dos número com-plexos foram publicadas: a de Caspar Wessel,a de Gauss e a de Argand.

Atualmente, essa representação é conhecidacomo Argand-Gauss.

Agora, observe, no gráfico, a representação do

número complexo z = a + bi, sendo a e bnúmeros reais:

O ponto P do plano denomina-se imagem ouafixo de z.

O eixo Ox, das abscissas, é chamado eixo real,e o eixo Oy, das ordenadas, é chamado eixoimaginário.

Podemo também indicar um número complexoz = a + bi como par ordenado, isto é, z = (a, b).

Exemplos

1. Representar no plano de Argand-Gauss os com-plexos:

z1 = 4 + 9i, z2 = 4i, z3 = –2 + 6i, z4 = 7 ez5 = 6 – 4i.Solução:

2. Colocar na forma algébrica o complexoz = (–2, 5).

Solução:

Sendo z = (–2, 5), então temos a = –2 e b = 5.Logo, z = –2 + 5i.

Page 106: Mate Matic a Element a Riv

106

UEA – Licenciatura em Matemática

1. Represente em um único plano os pontos cor-respondentes aos seguintes números comple-xos:

z1 = –3 + 5i, z2 = –3i, z3 = 5, z4 = 7 – 2i,z5 = –4 e z6 = 5 + 3i

2. Coloque na forma algébrica os seguintes nú-meros complexos:

a) z1 = (–3, 1) b) z2 = (0, 3)

c) z3 = (4, –0) d) z4 = (–5, 0)

e) z5 = (–1, 1) f) z6 = (–2, –2)

3. Dado o número complexo z = 2 + 3i, repre-sente, no plano complexo de Argand-Gauss, osafixos de z, i . z, i2 . z e i3 . z.

4. Dado o número complexo z = –3 + 4i, repre-sente, no plano complexo de Argand-Gauss, osafixos de z, do seu conjugado z– e do seu opos-to –z.

5. Represente, no plano complexo, os afixos dez = –4 – 5i, do seu conjugado e do seu oposto –z.

6. Sendo z = 2i, represente, no plano complexo,os afixos z, iz, i2z e i3z.

7. Marque, no plano complexo, os afixos z, iz, i2z,i3z e i4z, sendo z = 3.

24.2 Módulo de um número complexo

Seja P o afixo do número complexo z = a + bi.Denomina-se módulo de z a distância de P àorigem (0, 0).

O módulo de z será indicado por |z| ou pelaletra grega ρ (rô).

Graficamente, temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triânguloretângulo, vem:

Portanto o módulo do número complexo z édado por:

Observação:

ρ é real não-negativo.

Exemplos:

1. Calcular os módulos de z1 = 3 + 4i, z2 = –3 + 4i,z3 = 4 – 3i e z4 = –4 –3i.

Solução:

Os afixos de z1, z2, z3 e z4 estão todos na cir-cunferência de centro O(0,0) e raio r = 5.

2. Calcular o módulo do número complexoz = –6i.

Solução:

Como z = –6i, temos a = 0 e b = –6. Daí:

3. Calcular o módulo do número complexoz = + i.

Solução:

Page 107: Mate Matic a Element a Riv

107

Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica

24.2.1 Propriedades do módulo

• |z| ≥ 0

• |z1 . z2| = |z1 |.|z2|

• |z| = 0 ⇔ z = 0

• |zn| = |z|n

Exemplos:

1. Dado z1 = 3 + i, z2 = 1 + 2i e z3 = 3 + 4i, cal-cular:

a) |z1 . z2| b) c)

Solução:

a) =

b)

c)

Observação:

Se z = a + bi for real, ou seja, b = 0, temos:

Isto é, o módulo de z é igual ao módulo de a,noção já estudada no campo dos números reais.Por exemplo:

z = 5 ⇒ |z| = 5

z = –3 ⇒ |z| = 3

z = 0 ⇒ |z| = 0

1. Determine módulo dos seguintes númeroscomplexos:

a) z1 = 3 + 4ib) z2 = 2 – 2ic) z3 = 5id) z4 = 1 + 2ie) z5 = 2 + 3i

2. Dados z1 = 1 + 2i e z2 = 3 + i, calcule:

a) |z1 + z2| d)

b) |z1|+|z2| e) |z1|.|z2|

c) f) |z–2|

3. Calcule o módulo de cada um dos seguintesnúmeros complexos:

a) (1 – 2i)(3 – 2i)b) (4 + 3i)4

c)

4. Calcule o módulo dos seguintes números com-plexos:

a) 2 + 2 i e) 3ib) –3 + 4i f) –3ic) –12 – 5i g) 4

d) h) –

5. Calcule o módulo do número complexo z talque z = (2 – 7i) + (3 – 3i) – 2i.

6. Calcule o módulo do número complexo z talque z = (2 + 2i)(1 – i).

7. Determine o módulo do complexo .

8. Sendo , calcule |z|.

24.3 Argumento de um número complexo

Seja P o afixo do número complexo z = a + bi,representado no plano:

θ

Page 108: Mate Matic a Element a Riv

108

UEA – Licenciatura em Matemática

Denomina-se argumento de z a medida doângulo θ, formado pelo segmento

⎯OP e pelo

eixo x, medido em radianos no sentido anti-horário, com 0 ≤ θ < 2π.

Então, temos:

e

Indicamos por arg(z) = θ (leia: argumento dezê igual a teta) .

Geometricamente, temos: Conhencendo e , determi-

namos um único valor de θ no intervalo 0 ≤ θ< 2π. Na figura abaixo, indicamos os “arcosnotáveis” do intervalo [0, 2π[ com seus respec-tivos co-senos e senos.

Exemplos

1. Representar, geometricamente, cada um dos se-guintes números complexos:

a) z1 = 5ib) z2 = –4ic) z3 = + iSolução:

a) z1 = 5i ⇒ z1 = 0 + 5iMódulo:

Sendo a = 0 e b = 5, temos:

(I)

e (II)

Page 109: Mate Matic a Element a Riv

109

Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica

O ângulo , que satisfaz as con-

dições (I) e (II), é: .

b) z1 = 4i ⇒ z1 = 0 – 4i

Módulo:

Sendo a = 0 e b = –4, temos:

(I)

e

(II)

O ângulo satisfaz as condi-

ções (I) e (II).

Então, temos:

c)

Módulo:

(I)

e

(II)

O ângulo satisfaz as con-

dições (I) e (II).

Então, temos o seguinte gráfico:

2. Determinar o argumento de z = 1 + i.Solução:

Temos:

3. Determinar o argumento de z = – i.

Solução:

Temos:

1. Determinar o módulo ρ e o argumento θ decada um dos seguintes números complexos:

a) z1 = 2 – 2i b) z2 = 4i

c) z3 = –3 d) z2 = 1 + i

e) z5 = –3 – 3i

Page 110: Mate Matic a Element a Riv

110

UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 25

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UMNÚMERO COMPLEXO

Vimos, anteriormente, que:

(I)

e

(II)

Substituindo (I) e (II) em z = a + bi, temos:

Portanto:

Essa expressão é a forma trigonométrica ouforma polar do número complexo z = a + bi,de módulo ρ e argumento θ.

Exemplos

1. Dar a forma trigonométrica dos seguintes nú-meros complexos:

a) z = – 1 + ib) z = –3iSolução:

a) z = – 1 + iTemos: a = – 1 e b = 1

Módulo:

Portanto

Graficamente, temos:

b) z = –3iTemos: a = 0 e b = –3

Módulo:

Temos ainda:

Portanto

Graficamente, temos:

2. Colocar z = 1 + i na forma trigonométrica.

Solução:

Temos: a = 1 e b = 1

Módulo:

Portanto

ou

3. Colocar z = – i na forma trigonométrica.

Solução:

Temos: a = e b = –1

Módulo:

Portanto

Page 111: Mate Matic a Element a Riv

111

Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica

4. Escrever, na forma algébrica, o número complexo:

.

Solução:

O arco é do quarto quadrante. Então, temos:

Substituindo os valores encontrados na expres-são dada, vem:

5. Escrever, na forma algébrica, os seguintes nú-meros complexos:

e

.

Solução:

e

6. Escrever, na forma algébrica, os seguintes nú-meros complexos:

a)

b)

c)

Solução:

a)

b)

c)

1. Calcule o módulo, o argumento e escreva osseguintes números complexos na forma trigo-nométrica. Em seguida, represente-os no pla-no complexo, indicando na figura o módulo e oargumento.

a) z = 5 + 5i i) z = 3i

b) z = 1 – i j)

c) z = –2 + 2i k) z = – i

d) z = –1 – il)

e) z = 1 + i m)

f) z = + i n) z = 5

g) z = – i o) z = –5

h) z = 2i

Page 112: Mate Matic a Element a Riv

112

UEA – Licenciatura em Matemática

2. Escreva na forma algébrica os seguintesnúmeros complexos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3. Dado z = 1 + i, escreva na forma trigo-nométrica os seguintes números complexos:

a) z= b) z2 c) z2 . z–

4. Dada a representação geométrica do afixo deum número complexo z, escreva-o na formatrigonométrica:

a) b)

5. Coloque na forma trigonométrica o complexo

.

6. Coloque na forma algébrica os complexos:

a) z1 = 2(cos 135º + isen 135º)

b) z2 = 30(cos 300º + isen 300º)

7. Escreva na forma trigonométrica o complexo ztal que z = (i + 1)+(i + 2)+(i – 3).

8. Escreva na forma trigonométrica o complexo ztal que z = (1 – 2i)(3 + 4i)+2i(1 + i).

9. Obtenha na forma trigonométrica, o complexo

z tal que .

TEMA 26

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO COMNÚMEROS COMPLEXOS NA FORMATRIGONOMÉTRICA

26.1 Multiplicação

Sejam os números complexos

z1 = ρ1 . (cos θ1 + i . sen θ1) e

z2 = ρ2 . (cos θ2 + i . sen θ2)

O produto desses dois números é dado por:

z1 . z2 = ρ1ρ2[(cos θ1 cos θ2 + isen θ2 cos θ2 +

+ isen θ1 cos θ2 – sen θ1 sen θ2)]

Então, temos:

z1 . z2 = ρ1ρ2[(cos θ1 cos θ2 – sen θ1 sen θ2 )+

+ i(sen θ1 cos θ2 + sen θ2 cos θ1)]

Sabendo que:

cos(θ1 + θ2 ) = cos θ1 cos θ2 – sen θ1 sen θ2

sen(θ1 + θ2 ) = sen θ1 cos θ2 + sen θ2 cos θ1

Concluímos:

z1 . z2 = ρ1 . ρ2 [cos(θ1 + θ2 ) + i . sen(θ1 + θ2 )]

Note que, para obter o módulo de z1 . z2, mul-tiplicamos os módulos de z1 e z2 e para obter oargumento de z1 . z2, somamos os argumentosde z1 e z2.

Exemplos

1. Dados

e ,

determinar z1 . z2.

Solução:

Temos:

ρ1 . ρ2 = 4 . 5 = 20

Portanto:

Page 113: Mate Matic a Element a Riv

113

Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica

2. Sendo

e ,

calcule z1 . z2.Solução:

Temos:

ρ1 . ρ2 = 2

Portanto:

3. Sendo

e ,

calcule z1 . z2.

Solução:

Temos:

ρ1 . ρ2 = 3 . 2 = 6

Portanto:

4. Calcule o produto z1 . z2 com

e .

Solução:

Fazendo a interpretação geométrica desteproblema temos:

Em z1 . z2 houve uma rotação positiva a z1 deum ângulo igual ao ângulo de z2. Ou seja,

nesse caso, houve uma rotação de a z1.

Como o argumento de z1 era e z1 recebeu

uma rotação de , o produto z1 . z2 passa a ter

argumento igual a . Já o módulo de

z1 . z2 é 6, que corresponde a 2 . 3 ou |z1|.|z2|.

Observação:

Considerando o produto de n números com-plexos, temos:

Exemplo

Sendo ,

e ,

calcule z1 . z2 . z3.

Solução:

Temos:

Portanto:

1. Dados os números complexos

,

,

e

, calcule:

Page 114: Mate Matic a Element a Riv

114

UEA – Licenciatura em Matemática

a) z1 . z2 f) z2 . z3 . z4

b) z1 . z3 g) z1 . z2 . z3 . z4

c) z1 . z4 h) (z4)2

d) z2 . z3 i) (z3)3

e) z1 . z2 . z3 j) (z1)3

2. Obtenha, na forma trigonométrica, o complexou . v, sendo dados u = i – 1 e v = i – .

3. Obtenha, na forma trigonométrica, o complexot . u . v, sendo dados t = 1 + i, u = i ev = –1 + i .

26.2 Divisão

Considere os números complexos:z1 = ρ1 . (cos θ1 + i . sen θ1) e

z2 = ρ2 . (cos θ2 + i . sen θ2).

Aplicando o raciocínio análogo ao da multipli-cação, chegaremos à expressão:

, com z2 ≠ 0.

Note que para obter o módulo de , dividi-

mos o módulo de z1 pelo módulo de z2.

Exemplos:

1. Dados

e ,

calcular .

Solução:

.

2. Calcule o quociente para

e

Solução:

1. Dados os números complexos

, e

, calcule:

a)

b)

c)

2. Dados os números complexos

e ,

calcule e .

Page 115: Mate Matic a Element a Riv

115

Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica

TEMA 27

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMATRIGONOMÉTRICA

27.1 Potenciação

Considere o número complexo z = ρ . (cos θ + i . sen θ). Então, temos:

z2 = z . z = ρ2 . (cos 2θ + i . sen 2θ)

z3 = z2 . z ⇒ z3 = ρ3 . (cos 3θ + i . sen 3θ)

z4 = z3 . z ⇒ z4 = ρ4 . (cos 4θ + i . sen 4θ)

Generalizando, temos:

zn = ρn . (cos nθ + i . sen nθ).

Essa fómula é denominada primeira fómulade De Moivre.

Exemplos:

1. Dado , calcule z6.

Solução:

Aplicando a primeira fómula de De Moivre, te-mos:

Portanto

2. Dado o número , deter-

mine z7.

Solução:

Aplicando a primeira fómula de De Moivre, temos:

Escrevendo na forma algébrica, temos:

Logo, .

2. Calcular ( + i)10.

Solução:

Temos: ( + i)10 = z10.

Vamos passar o número complexo z = + ipara a forma trigonométrica.

Módulo:

A forma trigonométrica é .

Aplicando a primeira fómula de De Moivre, temos:

Portanto .

3. Determine o menor valor de n ∈ lN*, para o qual(2 i + 2)n é real positivo.

Passando o número complexo z = 2 i + 2para a forma trigonométrica:

Módulo:

A forma trigonométrica é .

Aplicando a primeira fómula de De Moivre, te-mos:

Page 116: Mate Matic a Element a Riv

116

UEA – Licenciatura em Matemática

Para que zn seja real e positivo, devemos ter:

Como n ∈ lN*, fazemos:

:.

Logo, o menor valor de n ∈ lN* é 6.

Nesse caso, temos:

que é um número real positivo.

1. Dados

,

, z3 = 1 + i,

, e

, calcule:

a) (z1)4 e) (z5)3

b) (z2)8 f) (z6)4

c) (z3)6 g) (z3)100

d) (z4)9

2. Dado , calcule as potên-

cias:

a) z2 b) z6 c) z9 d) z12

3. Usando a fórmula de De Moivre, calcule as po-tências:

a) (1 – 3i)3 e) (1 + i)4

b) (3 – 3i)5 f) ( + i )9

c) ( + i )7 g)

d) (–1 – i)100 h) (– 3i)17

4. (UFMG) Determine o menor inteiro n, tal que( – i )n seja um número real negativo.

Abraham de Moivre nasceu no dia 26 demaio de 1667, em Vitry (próximo a Paris),França, e morreu no dia 27 de novembro de1754, em Londres, Inglaterra. Depois de passarcinco anos em uma academia protestante, emSedan, Moivre estudou lógica em Saumur, de1682 até as 1684. Ele foi, então, para Paris,estudando no Collège de Harcourt, e tendo au-las particulares de matemática com Ozanam.

Um protestante francês, Moivre emigrou paraa Inglaterra, em 1685, seguindo a revogação doÉdito de Nantes e a expulsão de Huguenots.Ele se tornou tutor particular de matemática eesperou por uma cadeira da matéria, mas nãoconseguiu, visto que os estrangeiros estavamem desvantagem. Em 1697, ele foi eleito ummembro da Sociedade Real.

Em 1710, Moivre foi designado à Comissãomontada pela Sociedade Real para revisar asreivindicações rivais de Newton e Leibniz de

Page 117: Mate Matic a Element a Riv

quem seria o descobridor do cálculo. Suanomeação para esta Comissão foi devido àsua amizade com Newton. A Sociedade Realsoube a resposta que queria!

Moivre abriu caminho para o desenvolvimentoda geometria analítica e a teoria de probabi-lidade. Ele publicou A Doutrina de Chance em1718. A definição de independência estatísticaaparece neste livro junto com muitos problemascom dados e outros jogos. Ele também inves-tigou estatísticas de mortalidade e a fundaçãoda teoria de anuidades.

Em Miscellanea Analytica (1730), aparece afórmula de Stirling (injustamente atribuída aStirling) que Moivre usou em 1733 para deri-var a curva normal como uma aproximaçãopara a binomial. Na segunda edição do livro,em 1738, Moivre dá crédito a Stirling por umamelhoria para a fórmula.

Moivre é lembrado também pela sua fórmulapara (cos x + isin x)n que levou trigonometriaem análise.

Apesar da eminência científica de Moivre, asua renda principal estava no ensino da ma-temática, e ele morreu na pobreza. Ele, comoCardan, é afamado por predizer o dia da pró-pria morte. Ele achou que estava dormindo15 minutos a mais cada noite, e somando aprogressão aritmética, calculou que ele mor-reria no dia que dormisse durante 24 horas.Ele estava certo!

27.2 Radiciação

Considere o número complexo z, não-nulo, da-do na forma trigonométrica:

z = ρ . (cos θ + i . sen θ)

Denomina-se raiz n-ésima de z o número com-plexo , com n ∈ lN*, dado por:

W = r(cos θ + i . sen θ)

Então, temos:

⇒ Wn = z ⇒ rn(cos θ + i . sen θ) =

= ρ (cos θ + i . sen θ)

Dessa igualdade, obtemos:

e

Portanto:

,

com k ∈ e 0 ≤ k < n

Essa expressão é conhecida como segundafórmula de De Moivre.

Para k = 0, temos :

Para k = 1, temos:

..........................................................................

Para k = n – 1, temos:

Para k = n, temos: Wn = W0

A partir daí, para k = n + 1, k = n + 2, etc.,recairemos em valores já obtidos. Então, pode-mos concluir:

O número de raízes n-ésimas de um númerocomplexo z é igual a n.

Observações:

1. As n raízes do número complexo z têm omesmo módulo .

2. Como é constante, verifica-se que osafixos estão situados sobre uma mesma cir-cunferência de centro na origem e raio ,e dividem essa circunferência em n partesiguais.

3. Os n argumentos ϕ0, ϕ1, ϕ2,...., ϕn – 1, das nraízes, estão em progressão aritmética de

razão e cujo primeiro elemento é .

Temos , etc.

Exemplos:

1. Calcular as raízes cúbicas de i.

117

Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica

Page 118: Mate Matic a Element a Riv

Solução:

Temos:

Para as raízes cúbicas (n = 3), temos:

Módulo :

Aplicando a segunda fórmula de De Moivre, asraízes cúbicas de i são:

• k = 0

• k = 1

• k = 2

Geometricamente,

Os afixos das raízes cúbicas de i estão numacircunferência de centro O(0,0), raio r = 1 e di-videm essa circunferência em três partes iguais.

2. Calcular as raízes cúbicas de –1 e representá-las geometricamente.

Solução:

Temos:

z = –1 ⇒ ρ = 1 e θ = π

Para as raízes cúbicas (n = 3), temos:

Módulo :

Aplicando a segunda fórmula de De Moivre, asraízes cúbicas de i são:

• k = 0

• k = 1

W1 = 1 . (cos π + i sen π) = –1

• κ = 2

Geometricamente, temos:

Observe que as raízes cúbicas de z = –1, re-presentadas no plano de Argand-Gauss, formamum triângulo eqüilátero inscrito em uma cir-cunferência de raio unitário e centro na origem.

3. Encontre as raízes quartas do número com-plexo 1 + i.

Solução:

118

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 119: Mate Matic a Element a Riv

Temos:

Para as raízes quartas (n = 4), temos:

Módulo :

Aplicando a segunda fórmula de De Moivre, as

raízes quartas de z são:

• k = 0

• k = 1

• k = 2

• k = 3

Geometricamente, as quatro raízes quartas es-

tão sobre uma circunferência de raio e di-

videm a circunferência em quatro arcos congru-

entes a , formando um quadrado de vér-

tices P0, P1, P2, e P3.

1. Determine as raízes quartas de 16.

2. Calcule as raízes cúbicas de –27i.

3. Calcule e represente geometricamente as raí-zes cúbicas de 8i.

4. Encontre as raízes quartas dos seguintes nú-meros complexos :

a) –1 d) –8 – 8 ib) –1 – i e) + ic) –i

5. Calcule e represente geometricamente as raí-zes cúbicas de –i.

1. (CEFET–PR) A expressão , na qual i

é a unidade imaginária, é igual a:

a) b)

c) 1 + 2i d) 1 – 2i

e)

2. (UFAL) seja o número complexo

z = i101+ i102+ i103+ i104+ i105+ i106.

Calculando-se z2, obtém-se:

a) –2i b) 2ic) –1 + i d) 2 – 2ie) –6 + 6i

119

Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica

Page 120: Mate Matic a Element a Riv

3. (PUC–MG) O produto (a + bi)(3 + 2i) é um nú-mero real. O valor de 2a + 3b é:

a) –3

b) –2

c) 0

d) 2

e) 3

4. A forma de a + bi de é:

a) b)

c) d)

e)

5. A representação cartesiana dos números com-plexos 1 + 2i, –2 + i e –1 –2i são vértices deum quadrado. O quarto vértice desse quadra-do corresponde a:

a) 1 – i

b) 2 – i

c) 1 + i

d) 1 – 2i

e) –2 – 2i

6. (MACK–SP) O valor da expressão

é:

a) 1

b) i

c) –i

d) –1

e) –6 + 6i

7. (UF–BA) O número complexo z que satisfaz aigualdade é:

a) b)

c) d)

e)

8. (UEFS–92) O valor da expressão E = x–1 + x2,para x = 1 – i, é:

a) –3i

b) 1 – i

c) 5/2 + (5/2)i

d) 5/2 - (3/2)i

e) 1/2 – (3/2)i

9. (UEFS–93) Simplificando-se a expressão

E = i7 + i5 + (i3 + 2i4)2, obtém-se:

a) –1 + 2ib) 1 + 2ic) 1 – 2id) 3 – 4ie) 3 + 4i

10. (UEFS–93) Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i),então m e n são respectivamente:

a) 1 e 10

b) 5 e 10

c) 7 e 9

d) 5 e 9

e) 0 e -9

11. (UEFS–94) A soma de um numero complexo zcom o triplo do seu conjugado é igual a –8 – 6i.O módulo de z é:

a)

b)

c) 13

d) 7

e) 5

12. (FESP/UPE) Seja z = 1 + i , onde i é a unidadeimaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:

a) 16 b) 161

c) 32 d) 32ie) 32+16i

13. (UCS–AL) Sabendo que (1+i)2 = 2i, então ovalor da expressão y = (1+i)48 – (1+i)49 é:

a) 1 + i b) –1 + i

120

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 121: Mate Matic a Element a Riv

c) 224 . i d) 248 . ie) –224 . i

14. (CESCEM–SP) O conjugado de vale:

a)

b) –

c) 1 + i

d)

e) (1 – i)–1

15. (UFS–SE) Se o número complexo z é tal queZ = 3 – 2i, então (z–)2 é igual a:

a) 5

b) 5 – 6ic) 5 + 12id) 9 + 4ie) 13 + 12i

16. (CESGRANRIO-RJ) Se , então

z + z– + z . z– vale:

a) 0 b) 1

c) –1 d) –

e)

17. (PUC–MG) O número complexo z, tal que5z + z– = 12 + 16i é igual a:

a) –2 + 2ib) 2 – 3ic) 1 + 2id) 2 + 4ie) 3 + i

18. (UEL–PR) O número complexo tem

módulo igual ao valor de:

a) sen 150º

b) cos 315º

c) sen 60º

d) tg 225º

e) sen 45º

19. (UFS–SE) O módulo de um número complexo

é igual a 2 , e seu argumento é igual a ;

a expressão algébrica deste número é:

a) 4 + 4ib) 2 + 2ic) –2 – 2id) – ie) + i

20. A forma trigonométrica do número complexoy = 4 + 4i é:

a) 8(cos 30º + isen 30º)

b) 8(cos 45º + isen 45º)

c) 8(cos 60º + isen 60º)

d) 8(cos 120º + isen 120º)

e) 8(cos 150º + isen 150º)

21. (FEI–SP) o módulo do número complexo

é:

a) b) 1

c) d)

e)

22. A forma algébrica do número complexo

é:

a) b)

c) d)

e)

23. (Unificado–RJ) Sejam z1 e z2 os números com-plexos z1 = 3(cos 30º + isen 30º) ez2 = 5(cos 45º + isen 45º). O produto de z1 por

121

Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica

Page 122: Mate Matic a Element a Riv

z2 é o número complexo:

a) 15(cos 1350º + isen 1350º)

b) 8(cos 75º + isen 75º)

c) 8(cos 1350º + isen 1350º)

d) 15(cos 15º + isen 15º)

e) 15(cos 75º + isen 75º)

24. (UNICAMP–SP) Dado o número complexo w = cos 60º + isen 60º, assinale a alternativaque corresponde à soma 1 + w + w2 + w3:

a) i

b) i

c) i

d) i

e) i

25. (UFPE) Considere o seguinte gráfico, que re-presenta o número complexo z = a + bi

Sabendo que o segmento⎯OZ mede duas uni-

dades de comprimento, assinale a alternativacorreta:

a) z = + i

b) z = + i

c) z = 1 + + i

d) z = + i

e) z = 1 – i

26. (ULBRA–RS) Sendo z = 1 + i na formaalgébrica, o valor de z5 é:

a) 16 b) 16 + i

c) d) 16 + 16i

e) 16 – 16i

27. (CESGRANRIO-RJ) Entre os complexos abai-xo, aquele que é uma raiz quadrada de

é:

a)

b)

c)

d)

e)

28. (FGV–SP) As raízes quadradas do número 3 + 4i onde, i representa a unidade imagináriasão:

a) {2 + 2i; –2 – i}

b) {1 + i; –1 – i}

c) {3 + i; –3 – i}

d) {4 + i; –4 – i}

e) n.d.a.

29. (UCS–BA) Considere o número complexo z, talque z6 = –64. O número z pode ser:

a) + i

b) 1 + i

c)

d)

e) –i

122

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 123: Mate Matic a Element a Riv

UNIDADE VIIIPolinômios

Page 124: Mate Matic a Element a Riv
Page 125: Mate Matic a Element a Riv

Matemática Elementar IV – Polinômios

TEMA 28

POLINÔMIOS

28.1 História

Originalmente, a história dos polinômios asso-cia-se à busca de solução para equações line-ares e quadráticas. O problema clássico de re-solver equações polinomiais é bastante antigoe influenciou muito o desenvolvimento da Ma-temática ao longo de vários séculos. Já na Me-sopotâmia, os babilônios encontraram um pri-meiro algoritmo que resultaria em uma equa-ção quadrática, embora não tivessem noção deequação. Nas culturas grega, hindu e árabe, osmatemáticos também lidavam implicitamentecom equações quadráticas.

Estamparia da Renascença, do frontispício

de um livro de Erasmo de Roterdam.

Durante o Renascimento, a Matemática passatambém a assumir um outro papel, mais apli-cada aos avanços da época. Em meados doséculo XV, deu-se um sensível aumento na pro-dução de trabalhos matemáticos. Para isso,contribuíram fatos relevantes, como a queda deConstantinopla, em 1453, as grandes navega-ções e o invento da impressão com tipos mó-veis, que possibilitaria a maior difusão das obras.

Com a contribuição de Johann Gensfleisch Gutemberg –

que inventou a composição com letras móveis de metal –

houve um aumento na produção e divulgação dos trabal-

hos matemáticos.

Como conseqüência desse período demudanças, o estudo matemático, no Renas-cimento, assumiu características de Mate-mática Aplicada, a qual passou a ser utilizadaem campos como arte, óptica, mecânica, car-tografia e contabilidade.

Somente no século XVI, as primeiras equaçõescúbicas foram resolvidas algebricamente pelomatemático Scipione del Ferro (1465–1526),que utilizou o conhecimento hindu de númerosnegativos. Nessa época, matemáticos comoNiccolo Tartaglia (1500–1557) e LudovicoFerrari (1522–1565) contribuíram para a res-olução das equações cúbicas e quadráticas,respectivamente. Mas somente em 1545,Gerônimo Cardano (1501–1576) publica ArsMagna com a resolução dessas equações,constituindo-se num marco importante para osalgebristas da época.

Cardano, médico e jogador, dedicou grandeparte da sua vida à álgebra e ao reconheci-mento da importância das raízes negativas,chamadas por ele de “fictícias”. Embora falas-se das raízes quadradas dos números nega-tivos, não chegou ao conceito dos imaginários.A continuidade desse seu estudo foi realizadapor Bombelli.

Os polinômios possuem diferentes aplicaçõesna Matemática, por exemplo, em aproximaçõesde funções que são usadas na teoria e prática

125

Page 126: Mate Matic a Element a Riv

126

UEA – Licenciatura em Matemática

de computação, nos cálculos realizados em umamáquina de calcular.

Frontispício de uma edição (1529) de Rechenmeister, de Adam Riese, que representa uma

competição entre um algorista e um abacista. A algoritmia é uma c do cálculo e envolve a

aritmética e a álgebra. Os polinômios e as equações polinomi-ais são ferramentas fundamentais da álgebra.

28.2 Polinômios

Já estudamos, na Teoria das Funções, o binô-mio do 1.o grau f(x) = ax + b e o trinômio do 2.o

grau f(x) = ax2 + bx + c (ambos com a ≠ 0).

Essas expressões ax + b e ax2 + bx + c sãoos primeiros exemplos de polinômios que te-mos.

Então, P(x) = 2x – 3, Q(x) = –x + 4 são exem-plos de polinômios do 1.o grau na variável x, eP(x) = x2 – 4x + 6, Q(x) = x2 – 3 são exemplosde polinômios do 2.o grau na variável x.

De modo geral, as expressões redutíveis àforma:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ....+ an–1xn–1 + anxn

(em que n é um número natural, a0, a1, a2, ..., an,são números quaisquer (ai ∈ , com i{0, 1, 2, 3, ..., n}), denominados coeficientes,e x uma variável do conjunto), tais expressõessão chamadas polinômios na variável x.

28.3 Grau de um polinômio

Se an ≠ 0, dizemos que n é o grau de P(x), eindicamos gr(P) = n.

Assim, o grau de P(x) é o maior dos expoentesde x com coeficiente não-nulo.

Por exemplo, no polinômio:

P(x) = (a – 1)x3 + 3x2 – 5x + 6

• se a ≠ 1, gr(P) = 3.

• se a = 1, gr(P) = 2.

28.4 Polinômio reduzido e ordenado

Observe, como exemplo, o polinômio

P(x) = 2x3 – 5x4 + 2x – 3x2 + x3 – 1 + 8x

P(x) apresenta termos semelhantes que podemser somados (2x3 e x3, 2x e 8x). Se escrever-mos P(x) com essas somas efetuadas e orde-narmos seus termos segundo potências cres-centes ou decrescentes de x, diremos que eleestá reduzido e ordenado.

28.5 Valor numérico de um polinômio

Consideremos o polinômio

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ....+ an–1xn–1 + anxn

e o número complexo. Substituindo x por α,obtemos o número complexo P(α), tal que:

P(x) = a0 + a1α + a2α2 + a3α3 +....+ an–1αn–1 + anαn

que é chamado de valor numérico de P(x) parax = α.

Por exemplo, sendo

P(x) = 2x3 – 5x2 + x – 2,

temos:

• para x = 3:

P(3) = 2 . 33 – 5 . 32 + 3 – 2

P(3) = 54 – 45 + 1

P(3) = 10

10 é o valor numérico de P(x) para x = 3.

• para x = –1:

P(–1) = 2 . (–1)3 – 5 . (–1)2 + (–1) – 2

P(–1) = –2 – 5 – 3

P(–1) = –10

–10 é o valor numérico de P(x) para x = –1.

• para x = 2:

P(2) = 2 . 23 – 5 . 22 + 2 – 2

P(2) = 16 – 20

P(2) = –4

–4 é o valor numérico de P(x) para x = 2.

Considere, agora,

Page 127: Mate Matic a Element a Riv

127

Matemática Elementar IV – Polinômios

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +....+ an–1xn–1 + anxn

com an ≠ 0.

São de grande importância e utilidade os se-guintes resultados:

I. Se P(α) = 0, isto é:

a0 + a1α + a2α2 + a3α3 +....+ an–1αn–1 + anαn = 0

α é a raiz ou zero de P(x).

P(α) = 0 ⇔ α é a raiz de P(x)

Por exemplo, em P(x) = x4 – 3x2 + 5x – 14,temos:

P(2) = 24 – 3 . 22 + 5 . 2 – 14

P(2) = 16 – 12 + 10 – 14

P(2) = 0

Então, 2 é raiz (ou zero) de P(x).

II. Para x = 1, temos:

ou seja, em qualquer polinômio, P(1) represen-ta a soma dos coeficientes.

III. Para x = 0, temos P(0) = a0, ou seja, em qual-quer polinômio, P(0) é o seu termo indepen-dente.

P(0) = termo independente de P(x)

28.6 Polinômio identicamente nulo

Se todos os coeficientes de um polinômio P(x)são iguais a zero, dizemos que P(x) é um po-linômio identicamente nulo, e indicamos :

P(x) ≡ 0

(É evidente que, neste caso, P(x) assume o valorzero para todo x.)

Por exemplo, se P(x) = ax2 + bx + c ≡ 0, deve-mos ter a = b = c = 0.

É importante que você saiba que não se definegrau para o polinômio identicamente nulo.

Exemplos:

1. Dado P(x) = ax3 + 3x2 – bx2 + x3 + x – 8, discu-ta, segundo os valores de a e b, o grau de P(x).

Solução:

Vamos reduzir e ordenar o polinômio:

P(x) = ax3 + 3x2 – bx2 + x3 + x – 8

P(x) = (a + 1)x3 + (3 – b)x2 + x – 8

Então, temos:

• Se a + 1 ≠ 0, isto é, a ≠ –1, então gr(P) = 3.

• Se a = –1 e 3 – b ≠ 0, isto é, b ≠ 3, entãogr(P) = 2.

• se a = –1 e b = 3 então gr(P) = 1.

2. Calcule a soma dos coeficientes e o termo in-dependente do polinômio

P(x) = (x3 + 3x – 5)7

Solução:

Para determinar a soma dos coeficientes, bas-ta fazer x = 1:

P(1) = (13 + 3 . 1 – 5)7

P(1) = (1 + 3 – 5)7

P(1) = (–1)7

P(1) = –1

P(1) = (1 + 3 – 5)’ –(–1)’ = –1

Logo, Scoef = –1

Para determinar o termo independente, bastafazer x = 0:

P(0) = (03 + 3 . 0 – 5)7

P(0) = (–5)7

P(0) = –57

Logo, a0 = –57.

3. Determine k no polinômio

P(x) = 2x3 – x2 + (2 + k)x + 1

de modo que:

a) P(2) = 5

b) –2 seja raiz de P(x)

Solução:

a) P(2) = 5

P(2) = 2 . 23 – 22 + (2 + k) . 2 + 1

5 = 16 – 4 + 4 + 2k + 1

5 = 17 + 2k

2k = –12

k = –6

b) Se –2 é raiz de P(x), então

P(–2) = 0

Page 128: Mate Matic a Element a Riv

128

UEA – Licenciatura em Matemática

P(–2) = 2 .(–2)3 – (–2)2 + (2 + k) . (–2) + 1

0 = –16 – 4 – 4 – 2k + 1

0 = –23 – 2k

2k = –23

4. Determine a e b de modo que o polinômio

P(x) = (a + b)x2 – a + 2b – 3 seja identicamen-te nulo.

Solução:

Para que P(x) ≡ 0, devemos ter todos os seuscoeficientes nulos:

a + b = 0 e –a + 2b – 3 = 0

Resolvemos, então, o sistema:

----------------------3b – 3 = 0

b = 1

Substituindo o valor de b primeira equação,vem: a = –1.

1. Dê o grau de cada um dos polinômios na variá-vel x:

a) P(x)=x4 –3x5+7x3–2x2+5x+3x5+2x4 – 8+x – 1

b) R(x) = ax3 + 3x2 + 5x – 1

c) Q(x) = ax2 + 3x – 5 + 8 + 6x – 3x2

d) A(x) = x3 – 3x2 + 5x + 3x2 – x3 + 1

e) B(x) = 0x2 + 0x + 7

f) R(x) = ax2 + bx + c

2. Determine a soma S dos coeficientes e o termoindependente (t) dos polinômios:

a) P(x) = (x2 + 7x – 8)2

b) P(x) = (2x + 1)(3x – 4)(7x2 – 1)

c) P(x) = (x – 1)13 + (x2 + 1)5

d) P(x) = (x3 + 1)(x3 – 2) – (x – 3)3

3. a) Dado P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6, calcule P(1),P(–1), P(2) e P(–2).

b) Dos elementos do conjunto {1; –1; 2; –2},quais são raízes do polinômio dado no item a?

c) Dado P(x) = x3 + (k – 1)x2 + 8x + k, deter-mine k de modo que P(1) = 10.

d) No polinômio do item c, determine k de mo-do que P(–3) = 20.

e) No polinômio do item c, determine k de mo-do que 2 seja raiz.

f) No polinômio do item c, determine k de mo-do que –1 seja raiz.

g) Determine a e b em P(x) = ax + b de modoque P(2) = 7 e P(–1) = –2.

h) Determine a e b em P(x) = 2x3 – ax + b demodo que P(1) = 5 e –2 seja raiz.

4. a) Determine a, b e c para que

A(x) = (a – 1)x3 + (b + 2)x2 + (c + 1)x sejaidênticamente nulo.

b) Sendo

P(x) = (a + b + c)x2 + (a – b –3c)x + c – 4 ≡ 0,determine a, b e c.

Page 129: Mate Matic a Element a Riv

129

Matemática Elementar IV – Polinômios

TEMA 29

POLINÔMIOS IDÊNTICOS E OPERAÇÕESCOM POLINÔMIOS

29.1 Polinômios Idênticos

Dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos (in-dica–se A(x) ≡ B(x)), quando todos os coe-ficientes de A(x) são iguais aos corresponden-tes coeficientes de B(x).

A(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +....+ an–1xn–1 + anxn

B(x)= b0 + b1x + b2x2 + b3x3 +....+ bn–1xn–1 + bnxn

A(x) ≡ B(x) ⇔ ai = bi, ∀i∈ {0, 1, 2, 3,...,n}.

Por exemplo, se A(x) = ax3 + bx2 + cx + de B(x) = 5x2 – 7x + 8, para que A(x) ≡ B(x)devemos ter:

a = 0, b = 5, c = –7 e d = 8

(É claro que, sendo idênticos, A(x) e B(x) têmvalores numéricos iguais para todo x.)

Exemplos:

1. Determine a e b para que se tenha:

(a + b –2)x2 + (a – 2b – 3)x + 5 ≡ x2 + 6x + 5.

Solução:

Para que a identidade se verifique, devemos ter:

---------------------3b + 1 = –5

b = –2

a = 5

2. Escreva o binômio 2x+4 na forma (x+a)2 – (x+b)2.

Solução:

Devemos ter (x + a)2 – (x + b)2 ≡ 2x + 4. Então:

x2 + 2ax + a2 – (x2 + 2bx + b2) ≡ 2x + 4

x2 + 2ax + a2 – x2 – 2bx – b2 ≡ 2x + 4

(2a – 2b)x + a2 – b2 ≡ 2x + 4

Daí temos:

Multiplicando a equação (i) por , temos:

Observe que a2 – b2 = (a + b)(a – b), logo

Vamos substituir (i) em (ii) e adicioná-las:

---------------2a = 5

Portanto podemos escrever:

1. a) Determine a, b e c para que se tenha

b) Determine a, b e c para que a identidade

se verifique.

c) Determine a e b para que se tenhaA(x) ≡ B(x), sendo

A(x) = (2a + b + 1)x2 + 3x + a – b + 4 eB(x) = –x2 + 3x – 3.

d) Determine a para que se tenha

(x + a) (x2 – 3) ≡ x3 + a2 x2 – 3x – 3a.

2. a) Escreva o binômio 6x – 15 na forma(x + a)2 – (x + b)2.

b) Escreva o binômio 8x + 8 na forma(x + a)2 – (x – b)2.

Page 130: Mate Matic a Element a Riv

130

UEA – Licenciatura em Matemática

c) Escreva a fração polinomial naforma

d) Escreva a fração polinomial na

forma

29.2 Adição e subtração

A soma de dois ou mais polinômios é o polinô-mio cujos coeficientes são obtidos adicionan-do-se os coeficientes dos termos que apresen-tam o mesmo grau. E a diferença é feita de for-ma análoga, ou seja, o polinômio cujos coefici-entes são obtidos subtraindo-se, numa certaordem, os coeficientes dos termos que apre-sentam o mesmo grau.

Vamos relembrar com exemplos. Considere osseguintes polinômios:

• P1(x) = 2x3 – x2 + 4x + 1

• P2(x) = x3 – 2x2 + 2x – 1

• P3(x) = x2 – 3x + 2

29.2.1 Adição

P1(x) + P2(x) =

= (2x3 – x2 + 4x + 1)+(x3 – 2x2 + 2x – 1)

Eliminamos os parênteses e fazemos a redu-ção dos termos semelhantes.

= 2x3 – x2 + 4x + 1 + x3 – 2x2 + 2x – 1

P1(x) + P2(x) = 3x3 – 3x2 + 6x

29.2.2 Subtração (diferença)

P1(x) – P3(x) = (2x3 – x2 + 4x + 1) – (x2 – 3x + 2)

Eliminamos os parênteses e fazemos a redu-ção dos termos semelhantes.

= 2x3 – x2 + 4x + 1 – x2 + 3x – 2

P1(x) – P3(x) = 2x3 – 2x2 + 7x – 1

29.3 Multiplicação

Para se obter o produto de dois polinômios,faremos, inicialmente, a multiplicação de cadatermo de um deles, por todos os termos dooutro (propriedade distributiva dos númeroscomplexos). Posteriormente, faremos a adiçãodos resultados.

Observe o exemplo:

Considere os seguintes polinômios:

• P1(x) = 2x3 – x2 + 4x + 1

• P2(x) = x3 – 2x2 + 2x – 1

• P3(x) = x2 – 3x + 2

Vamos multiplicar P1(x) por P3(x) e fazer [P3(x)]2.

Resolução:

a) P1(x) . P3(x) =

= (2x3 – x2 + 4x + 1).(x2 – 3x + 2)

Aplicamos a propriedade distributiva da mul-tiplicação e reduzimos os termos semelhan-tes.

= 2x3 . (x2 – 3x + 2) – x2 . (x2 – 3x + 2)++ 4x . (x2 – 3x + 2) + 1 . (x2 – 3x + 2)+

= 2x5 – 6x4 + 4x3 – x4 + 3x3 – 2x2

+ 4x3 – 12x2 + 8x + x2 – 3x + 2

P1(x) . P3(x) = 2x5 – 7x4 + 11x3 – 13x2 + 5x + 2

b) [P3(x)]2 = (x2 – 3x + 2)2

= (x2 – 3x + 2) . (x2 – 3x + 2)

= x2.(x2 – 3x+2)– 3x.(x2 – 3x+2)+2.(x2 – 3x+ 2)

= x4 – 3x3 + 2x2 – 3x3 + 9x2 – 6x + 2x2 – 6x + 4

[P3(x)]2 = x4 – 6x3 + 13x2 – 12x + 4

Exemplo:

Determine o polinômio P(x) do 2.o grau tal queP(0) = 3 e P(x) – P(x + 1) ≡ 2x.

Solução:

Seja P(x) = ax2 + bx + c

Devemos, inicialmente, ter P(0) = 3.

P(0) = a . 02 + b . 0 + c

P(0) = c ⇒ c = 3

Então, escrevemos P(x) = ax2 + bx + 3.Equacionemos, agora, P(x) – P(x + 1) ≡ 2x(lembrando que P(x + 1)obtém-se substituin-do-se, em P(x), x por x + 1).

ax2 + bx + 3 – [a(x + 1)2 + b(x + 1) + 3] ≡ 2x

ax2 + bx + 3 – [ax2 + 2ax + a + bx + b + 3] ≡ 2x

ax2 + bx + 3 – ax2 – 2ax – a – bx – b – 3 ≡ 2x

–2ax – a – b ≡ 2x

Page 131: Mate Matic a Element a Riv

131

Entao:

Portanto o polinômio pedido é:

P(x) = ax2 + bx + 3.

P(x) = –x2 + x + 3.

1. a) Determine o polinômio P(x) do 2.o grau talque P(0) = 5 e P(2) ≡ 15x2 – 3x.

b) Determine o polinômio P(x) do 2.o grau talque P(0) = –1 e P(x + 1) – P(x) ≡ 6x + 1.

c) Determine o polinômio P(x) do 2.o grau talque P(0) = 0 e P(x + 1) – P(x – 1) ≡ 2x.

2. Calcule m e n de modo que sejam idênticos ospolinômios:

(x2 – 3x + 3)(mx + n) e 2x3 – 2x2 – 6x + 12

TEMA 30

DIVISÃO DE POLINÔMIOS (PARTE I)

30.1 Introdução

Observe as duas contas de divisão entre nú-meros naturais:

Evidentemente, a conta da direita está incor-reta, apesar de verificar a condição:

(Dividendo) = (divisor) . (quociente) + (resto)

17 = 3 . 5 + 2 17 = 3 . 4 + 5

Isso ocorre porque, na divisão de naturais, nãobasta que a condição acima fique satisfeita. Énecessário, você lembra, que o resto seja menorque o divisor.

Assim, são duas condições que devem ser satis-feitas na divisão entre os naturais a e b (b ≠ 0):

(i) a = b . q + r(ii) r < b

(r ∈ IN e q ∈ IN)

(r ∈ IN e q ∈ IN)a = b . q + rr < b

Há uma grande similaridade entre a divisão denaturais e a divisão de polinômios (não apenasna definição, mas também no mecanismo dedividir).

Observe:

Dados os polinômios A(x) e B(x), B(x) não nulo,dividir A(x) por B(x) é determinar dois poli-nômios Q(x) e R(x) (chamados quociente e resto,respectivamente), que satisfaçam as duas con-dições:

(i) A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x)

(ii) gr(R) < gr(B)

Vamos, agora, fazer a divisão de polinômiosestudando alguns métodos de resolução.

Matemática Elementar IV – Polinômios

Page 132: Mate Matic a Element a Riv

132

UEA – Licenciatura em Matemática

30.2 Método da chave

Vamos ver esse método por meio dos exem-plos a seguir.

1. Vamos dividir P(x) = 6x3 – 13x2 + x + 3 por D(x) = 2x2 – 3x – 1.

• Tanto o dividendo P(x) como o divisor D(x)estão ordenados segundo as potências de-crescentes de x. Caso não estivessem, de-veríamos, inicialmente, ordená-los dessemodo.

6x2 – 13x2 + x + 3

• Dividimos o primeiro termo do dividendo 6x3

pelo primeiro termo do divisor 2x2, obtendo,assim, o primeiro termo do quociente 3x.

6x2 – 13x2 + x + 3

• Multiplicamos o quociente obtido pelo di-visor 2x2 – 3x – 1 e obtemos o produto: 6x3 – 9x2 – 3x, que será subtraído do divi-dendo.

Subtrair 6x3 – 9x2 – 3x do dividendo é equi-valente a somar com o polinômio oposto.

• A divisão encerra-se quando o grau do res-to for menor que o grau do divisor. Comoisso ainda não ocorreu, devemos prosseguira divisão, considerando, agora, o resto–4x2 + 4x + 3 como novo dividendo, eprocedendo como nos itens anteriores.

• Agora, o grau do resto é menor que o graudo divisor, logo a divisão está encerrada.Obtivemos para quociente Q(x) = 3x – 2, epara resto R(x) = – 2x + 1.

2. Agora, vamos dividir o polinômio P(x) = 4x3 + 3x + 18 por D(x) = 2x + 3.

Como o polinômio P(x) é incompleto, ele será

escrito na forma completa e, a seguir, proce-demos como no exemplo anterior.

1. Calcule o quociente da divisão de:3x3 + 17x2 + 7x – 2 por 3x + 2.

2. Determine o resto da divisão de:2x4 + 9x3 + x2 – 15x + 6 por x2 – 3x + 2.

3. Determine o resto da divisão de: x4 – 3x2 + 8x + 5 por x2 – x + 2.

4. Divida 6a3 +7a2 – 8a – 5 por 3a2 + 2x – 5; aseguir, determine o valor numérico do

quociente para a = – .

Page 133: Mate Matic a Element a Riv

133

TEMA 31

DIVISÃO DE POLINÔMIOS (PARTE II)

31.1 Método dos coeficientes a determinar (ou de Descartes)

Quando temos a divisão de P(x) por D(x), obte-mos a seguinte identidade de polinômios:

Por meio dessa identidade, podemos determi-nar um desses polinômios, conhecendo-se osdemais. Esse método é chamado de métododos coeficientes a determinar ou método deDescartes.

Vejamos alguns exemplos de aplicação dessemétodo.

1.

Solução:

• gr(Q) = gr(P) – gr(D) ⇒ gr(Q) = 3 – 2 = 1

O polinômio quociente é de grau 1 e, por-tanto, da forma: Q(x) = ax + b (a ≠ 0)

• gr(R) < gr(D), ou seja, gr(R) < 2, portanto oresto é da forma R(x) = cx + d.

Então:

Para que se verifique a identidade devemos ter:

logo, Q(x) = 3x – 2 e R(x) = –2x + 1.

2. Vamos obter o quociente e o resto da divisão deP(x) = 2x4 – 5x3 – 2x + 4 por D(x) = x3 + x + 1,usando o método de Descartes.

Solução:

gr(Q) = gr(P) – gr(D) ⇒ gr(Q) = 4 – 3 = 1 egr(R) < gr(D), ou seja, gr(R) < 3.

Façamos Q(x) = ax + b e R(x) = cx2 + dx + e.

Então, temos:

Portanto:

Logo, Q(x) = 2x – 5 e R(x) = –2x2 + x + 9.

1. Determine o quociente e o resto da divisão dex4 + 5x2 – 27 por x2 + x – 3.

2. Aplicando o método de descartes, dê o quo-ciente da divisão de:3x5 + 2x4 + 7x3 – x2 + 3x – 2 por 3x3 – x2 + 2x – 1.

3. Divida o polinômio 18x3 + 3x2 – 28x – 12 por(3x + 2)2. Subtraia x – 2 do quociente encon-trado. Qual o resultado obtido?

31.2 Divisão de um polinômio por um binômiodo 1.o Grau

Observe o que ocorre com o resto da divisãode um polinômio P(x) por um binômio do tipo(x + b).

Como o divisor x + b tem grau 1, o resto R(x)tem grau zero ou é nulo e, portanto, R(x) é umaconstante.

Então, temos: P(x) ≡ (x + b) . Q(x) + R

Calculando o valor de P(x) para x = –b, temos:

P(–b) = (–b + b) . Q(b) + R

P(–b) = R

Matemática Elementar IV – Polinômios

Page 134: Mate Matic a Element a Riv

134

UEA – Licenciatura em Matemática

Então, obtemos uma importante conclusão:

O resto da divisão de um polinômio P(x) por(x + b) é o valor numérico de P(x) para x = –b.

Assim, por exemplo, o resto da divisão de

P(x) = 2x3 – 4x2 + 2x – 1 por (x + 2) é:

P(–2) = 2(–2)3 – 4(–2)2 + 2(–2) – 1

P(–) = –16 – 16 – 4 – 1

P(–2) = –37

O resto da divisão de P(x) por (x – 3) é P(3),pois (x – 3) = [x + (–3)]’. Então, o resto é:

P(3) = 2 . 33 – 4 . 32 + 2 . 3 – 1

P(3) = 54 – 36 + 6 – 1

P(3) = 23

Vamos generalizar esse resultado consideran-do a divisão de um polinômio P(x) por umbinômio da forma (ax + b).

Quando dividimos um polinômio P(x) pelobinômio do 1.o grau ax + b, já vimos que o restoé uma constante. Então, temos:

P(x) ≡ (ax + b) . Q(x) + R

Calculando o valor de P(x) para , obte-

mos:

Com isso, provamos o seguinte teorema:

Teorema do resto:

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelobinômio ax + b é igual ao valor numérico de

P(x) para .

Exemplo:

Vamos calcular o resto da divisão de:

a) 2x3 – 5x2 + 4x – 4 por 2x – 3

Resolução:

b) 5x3 – 11x2 + 3x – 2 por x – 2

R = 5(2)3 – 11(2)2 + 3(2) – 2

R = 0

Do teorema do resto, temos como conseqüên-cia o teorema de D’Alembert:

Um polinômio P(x) é divisível pelo polinômio

ax + b se, e somente se,

Assim, por exemplo, o polinômio

P(x) = 2x3 – 5x2 + 4x – 4 é divisível por x – 2,pois P(2) = 2(2)3 – 5(2)2 + 4(2) – 4 = 0

Exemplos:

1. Vamos verificar se o polinômio P(x) = x3 – 4x2 – 11x + 30 é divisível porB(x)= x2 – 7x + 10.

Solução:

Observe que x2 – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5). Paraque P(x) seja divisível por B(x), devemos terP(x) divisível por (x – 2) e por (x – 5).

P(2) = 23 – 4 . 22 – 11 . 2 + 30

P(2) = 8 – 16 – 22 +30

P(2) = 0

Logo, P(x) divisível por (x – 2).

P(5) = 53 – 4 . 52 – 11 . 5 + 30

P(2) = 125 – 100 – 55 + 30

P(2) = 0

Portanto, P(x) divisível por (x – 5).

Logo, P(x) é divisível por B(x).

2. Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 6,e dividido por (x – 3) dá resto 2. Vamos calcularo resto da divisão de P(x) por (x + 1)(x – 3).

Solução:

Page 135: Mate Matic a Element a Riv

Temos (x + 1)(x – 3) = x2 – 2x – 3. O divisor éum polinômio do 2.o grau, portanto o resto éum polinômio cujo grau é no máximo 1, isto é,o resto é da forma ax + b.

Isso nos leva a P(x) ≡ (x2 – 2x – 3) Q(x) + R(x)

P(x) ≡ (x + 1)(x – 3)Q(x) + ax + b

Então:

P(–1) = (–1 + 1)(–1 – 3)Q(–1) + a(–1) + b

P(–1) = –a + b = 6

P(3) ≡ (3 + 1)(3 – 3)Q(3) + a(3) + b

P(3) = 3a + b = 2

Resolvemos o sistema:

a = –1 e b = 5.

Logo, R(x) = –x + 5.

1. Aplicando o teorema do resto, calcule o restoda divisão de 5x3 – 3x2 + 4x – 3 por x – 2.

2. Qual o resto da divisão de 2x4 – 3x3 + 5x2 – 2x + 1por 2x – 1?

3. Verifique se o polinômio de P(x)= x3 – 3x2 – 6x + 1é divisível por 3x + 2.

4. Determine m e n de modo que o polinômiox4 + mx3 – 3x2 – nx + 6 seja divisível por (x – 1) e (x + 2).

5. Um polinômio P(x), quando dividido por (x – 4),dá resto 2, e quando dividido por (x + 3), dáresto –5. Qual o resto da divisão por (x – 4) . (x + 3)?

TEMA 32

DIVISÃO DE POLINÔMIOS (PARTE III)

32.1 Dispositivo de Briot–Ruffini

A divisão de um polinômio P(x) por um binômioda forma (x – a) também pode ser feita utilizan-do-se o dispositivo de Briot–Ruffini.

Acompanhe o exemplo para ver como esse dis-positivo funciona.

Vamos dividir o polinômio P(x) = 5x4 – 3x2 + x – 1 pelo binômio (x – 2).

Identificando (x – a) com (x – 2), temos que a = 2.

As setas indicam os passos do dispositivo deBriot a serem seguidos.

Coeficientes de P(x) ordenados segundo aspotências decrescentes de x

Cálculo: 5 . 2 + 0 = 10

Cálculo: 10 . 2 +(–3) = 17

Cálculo: 17 . 2 + 1 = 35

Cálculo: 35 . 2 + (–1) = 69

135

Matemática Elementar IV – Polinômios

Page 136: Mate Matic a Element a Riv

136

UEA – Licenciatura em Matemática

Na última linha do dispositivo, temos os núme-ros 5, 10, 17, 35 e 69. O último deles (69) é oresto da divisão. Os outros são os coeficientesdo quociente Q(x) que tem grau 3.

Logo, o quociente é:Q(x) = 5x3 + 10x2 + 17x + 35;o resto é R = 69.

Exemplos:

1. Vamos dividir o polinômio 3x3 – 5x2 + 2x – 3por x + 3.

Solução:

Temos: x + 3 = x – (–3) ⇒ a = –3

Cálculos:

3.(–3) – 5 = –14

–14.(–3) + 2 = 44

44 .(–3) – 3 = –135

Logo, o quociente é Q(x) = 3x2 – 14x + 44, e oresto é R = – 135.

2. Vamos verificar se P(x) = x4 – x3 – 4x2 + 16x – 24é divisível por (x – 2) . (x + 3).

Solução:

Em primeiro lugar, calculamos o resto da divi-são de P(x) por (x – 2). Se o resultado for zero,calculamos o resto da divisão do quociente obti-do por (x + 3).

Logo, P(x) é divisível por (x – 2) . (x + 3).

1. Aplicando o dispositivo de Briot–Ruffini, determi-ne o quociente e o resto de P(x) por D(x) nosseguintes casos:

a) P(x) = 5x4 – 14x3 + 10x2 – 7x + 7 eD(x) = x – 2.

b) P(x) = x5 – 4x4 – 3x3 – 11x2 + 7x – 10 eD(x) = x – 5.

c) P(x) = x3 – 5 e D(x) = x + 1.

d) P(x) = x4 – 9 e D(x) = x + 3.

2. Determine p para que o polinômio

P(x) = 3x3 – 4x2 + px + 3 seja divisível por x – 1.

POLINÔMIOS

1. (CEFET–PR) Os valores de A e B de forma que

são, respectivamente:

a) 1 e –2 b) –1 e –2

c) –1 e 2 d) 1 e 2

e) –2 e –1

2. (UF–PA) Dos polinômios abaixo, qual o únicoque pode ser identicamente nulo?

a) a2 . x3 + (a – 1)x2 – (7–b)x

b) (a + 1)x2 + (b2 – 1)x + (a – 1)

c) (a2 + 1)x3 – (a – 1)x2

d) (a – 1)x3 – (b + 3)x2 + (a1 – 1)

e) a2 x3 – (3 + b) x2 – 5x

3. (UNIFOR–CE) Dados os polinômios p, q e r degraus 2, 4 e 5, respectivamente, é verdade queo grau de p + q + r :

a) não pode ser determinados;

b) pode ser igual a 2;

c) pode ser igual a 4;

d) pode ser menor que 5;

e) é igual a 5.

4. (PUC–BA) Se os polinômios x2 – x + 4 e (x – a)2 + (x + b) são idênticos, então a + b éigual a:

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

Page 137: Mate Matic a Element a Riv

137

5. (PUC–MG) Se com x ≠ 0

e x ≠ –1, é correto afirmar que o produto A.B éigual a:

a) –3 b) –2

c) 0 d) 2

e) 3

6. (UEPG–PR) Os valores de a e b que tornamidênticos os polinômios P1(x) = x2 – x – 6 eP2(x) = (x + a)2 – b são, respectivamente:

a) 1 e 7 b) –1 e –5

c) –1 e 7 d) 1 e 5

e) –1/2 e 25/4

7. (UEL – PR) – Sendo f, g e h polinômios degraus 4, 6 e 3, respectivamente, o grau de(f + g).h será:

a. 9 b. 10

c. 12 d. 18

e. 30

8. (UFRS)–Se P(x) é um polinômio de grau 5,então o grau de [P(x)]3 + [P(x)]2 + 2P(x) é:

a) 3 b) 8

c) 15 d) 20

e) 30

9. (CEFET–PR) Se A(x – 3)(x – 2) + Bx( x – 3 ) +Cx(x – 2) = 12, então:

a. A = 2; B = 1 e C = –3;

b. A = 2; B = –6 e C = 4;

c. A = 2; B = 0 e C = –2;

d. A = 2; B = 1; C qualquer;

e. Não existem valores reais de A, B e C.

10. (UF–PR) Se os polinômios P(x) = 4x4 – (r + 2)x3 – 5 e Q(x) = sx4 + 5x3 – 5são idênticos, então r3 – s3 é:

a. 279 b) –343

c. –407 d) –64

e. –279

11. (PUC–BA) Dado o polinômio P(x) = x3 – 2x2 + mx – 1, onde m ∈ lR e sejaP(a) o valor de P para x = a. Se P(2) = 3.P(0),então P(m) é igual a:

a) –5 b) –3

c) –1 d) 1

e) 14

12. (UEL–PR) Sejam os polinômios f = 2x3 – 3x2 + 3;g = x2 + 3 e h = x3 – 2x2. Os números reais ae b, tais que f = a.g + b.h, são, respectiva-mente:

a) –2 e –1 b) –2 e 1

c) –1 e –2 d) 1 e –2

e) 1 e 2

13. (PUCC–SP) Dado o polinômio P(x) = xn + xn–1 +...+ x2 + x + 3, se n for ímpar,então P(–1) vale:

a) –1 b) 0

c) 2 d) 1

e) 3

14. (PUC–SP) O polinômio P(x) = (x – 1).(x – 2)2.(x – 3)3 .(…).(x – 10)10 temgrau:

a) 10 b) 10!

c) 102 d) 110

e) 55

15. (UF–BA) O polinômio P(x) = (C2

m – 1)x2 + (Amn – 20)x + (p – 8)! – 2 é

identicamente nulo, se mnp é:

a) 10 b) 20

c) 50 d) 80

e) 100

16. (FUVEST–SP) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c satisfaz as seguintescondições: P(1) = 0; P(–x) + P(x) = 0, qual-quer que seja x real. Qual o valor de P(2)?

a) 2 b) 3

c) 4 d) 5

e) 6

17. (UFV–MG) Para que o polinômio de segundograu P(x) = ax2 – bx + c seja o quadrado dopolinômio Q(x) = dx + e, é necessário que:

Matemática Elementar IV – Polinômios

Page 138: Mate Matic a Element a Riv

138

UEA – Licenciatura em Matemática

a) b2 = 4c b) b2 = 4ac

c) b2 = 4a d) b2 = 4a2c

e) b2 = 4a2

18. (UMPA) – Sejam P(x) e Q(x) dois polinômios degrau n. Se p é o grau de P(x) + Q(x),temos:

a) p < n b) p ≤ n

c) p = n d) p ≥ n

e) p > n

19. (VUNESP–SP) Sabe–se que a soma dos n pri-meiros termos da sucessão ak = k.(k + 1), k = 1, 2, 3,... é um polinômio degrau 3. Esse polinômio é:

a) b)

c) d) 3n3–n

e) n3

POLINÔMIOS – OPERAÇÕES

1. (UF–MG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4 – 4x3 + x – 1 por q(x) = 4x3 +1 é:

a) x – 5 b) x – 1

c) x + 5 d) 4x – 5

e) 4x + 8

2. (UF–PE) Qual o resto da divisão do polinômiox3 – 2x2 + x + 1 por x2 – x + 2 ?

a) x + 1 b) 3x + 2

c) –2x + 3 d) x – 1

e) x – 2

3. (CEFE–PR) O quociente da divisão de P(x) = x3 – 7x2 +16x – 12 por Q(x) = x – 3 é:

a) x – 3 b) x3 – x2 + 1

c) x2 – 5x + 6 d) x2 – 4x + 4

e) x2 + 4x – 4

4. (UNICAMP–SP) O resto da divisão do polinômioP(x) = x3 – 2x2 + 4 pelo polinômio Q(x) = x2 – 4 é:

a) R(x) = 2x – 2 b) R(x) = –2x + 4

c) R(x) = x + 2 d) R(x) = 4x – 4

e) R(x) = –x + 4

5. (PUC–PR) O resto da divisão de x4 – 2x3 + 2x2 + 5x + 1 por x – 2 é:

a) 1 b) 20

c) 0 d) 19

e) 2

6. (PUC–BA) O quociente da divisão do polinô-mio P = x3 – 3x2 + 3x – 1 pelo polinômio q = x – 1 é:

a) x b) x – 1

c) x2 – 1 d) x2 – 2x + 1

e) x2 – 3x + 3

7. (UEM–PR) A divisão do polinômio 2x4 + 5x3 – 12x + 7 por x – 1 oferece o seguinteresultado:

a) Q = 2x3 + 7x2 + 7x – 5 e R = 2

b) Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 2

c) Q = 2x3 + 3x2 – 3x – 9 e R = 16

d) Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 0

e) Q = 2x3 + 3x2 – 15x + 22 e R = 2

8. (CESGRANRIO–RJ) O resto da divisão de 4x9 + 7x6 + 4x3 + 3 por x + 1 vale:

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

9. (UF–RS) A divisão de p(x) por x2 + 1 tem quo-ciente x – 2 e resto 1. O polinômio P(x) é:

a) x2 + x – 1

b) x2 + x + 1

c) x2 + x

d) x3 – 2x2 + x – 2

e) x3 – 2x2 + x – 1

10. (UF–SE) Dividindo-se o polinômio f = x4 pelopolinômio g = x2 – 1, obtém-se quociente eresto, respectivamente, iguais a:

Page 139: Mate Matic a Element a Riv

139

a) x2 + 1 e x + 1 d) x2 – 1 e –1

b) x2 – 1 e x + 1 e) x2 + 1 e 1

c) x2 + 1 e x – 1

11. (FATEC–SP) Se um fator do polinômio P(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2 é Q(x) = x2– 3x + 1,então o outro fator é:

a) x – 2 b) x + 2

c) –x – 2 d) –x + 2

e) x + 1

12. (CESCEM–SP) Dividindo x3 – 4x2 + 7x – 3 porum certo polinômio P(x), obtemos como quo-ciente x – 1 e resto 2x –1. O polinômio P(x) éigual a:

a) 2x2 – 3x + 2 b) x2 – 3x + 2

c) x2 – x + 1 d) 2x2 – 3x + 1

e) n.d.a.

13. (UFU–MG) Dividindo–se um polinômio f por (x – 3), resulta um resto (–7) e um quociente (x – 4) . O polinômio é:

a) 2x

b) x + 4 / x – 4

c) 2x2 – x + 14

d) x2 – 14x + 33

e) x2 – 7x + 5

14. (S. CASA–SP) Dividindo–se um polinômio f porx2 – 3x + 1 obtém–se quociente x + 1 e resto2x + 1. O resto da divisão de f por x + 1 é:

a) –2 b) –1

c) 3 d) 2x – 1

e) 2x + 1

15. (UF–PA) O polinômio x3 – 5x2 + mx – n é divisí-vel por x2 – 3x + 6 . Então, os números m e nsão tais que m + n é igual a:

a) 0 b) 12

c) 24 d) 18

e) 28

16. (UF–GO) Se o polinômio x3 + kx2 – 2x + 3 édivisível pelo polinômio x2 – x + 1, então o quo-ciente é:

a) x – 3 b) x + 3

c) x – 1 d) x + 1

e) x + 2

17. (UFPA) Sejam P e Q dois polinômios de grau ne m respectivamente. Então, se r é o grau de R,resto da divisão de P por Q , temos:

a) r = n/m b) r = n – m

c) r ≤ m d) r < m

e) r < n – m

18. (EESCU–SP) – Seja Q o quociente e R o restoda divisão de um polinômio A por um polinô-mio B . Então, quando A é dividido por 2B:

a) quociente é 2Q e o resto 2R;

b) quociente é Q/2 e o resto R/2;

c) quociente é Q/2 e o resto é R;

d) quociente é 2Q e o resto R;

e) quociente é 2Q e o resto R/2.

19. (PUC–PR) O resto da divisão de P(x) = 3x3+4x2 –2x+1 por x+1 é :

a) 2 b) 4

c) –1 d) 0

e) 5

20. (PUC–SP) O resto da divisão do polinômioP(x)= x4–2x3+x2–x+1 por x+1 é:

a) 3 b) 4

c) 7 d) 5

e) 6

21. (UNESP–SP) Indique o resto da divisão

.

a) 32 b) 30

c) –60 d) 28

e) 62

22. (CESGRANRIO–RJ) O resto da divisão do poli-nômio x100 por x+1 é:

a) x–1 b) x

c) –1 d) 0

e) 1

Matemática Elementar IV – Polinômios

Page 140: Mate Matic a Element a Riv

140

UEA – Licenciatura em Matemática

23. (FGV–SP) O resto da divisão de 5x2n – 4x2n+1 – 2(n é natural) por x+1 é igual a:

a) 7 b) 8

c) –7 d) 9

e) –9

24. (UF–RN) Se o polinômio f(x)= 3x2+7x–6K édivisível por x–3, então K é igual a:

a) 2 b) 3

c) 5 d) 7

e) 8

25. (PUC–SP) Qual é o resto da divisão de x31+31por x+1?

a) 0;

b) 1;

c) 30x;

d) 31;

e) um polinômio de grau 30.

26. (UF–RS) O resto da divisão de p(x)= x3+ax2–x+a por x–1 é 4. O valor de a é:

a) 0 b) 1

c) 2 d) 4

e) 6

27. (UFCE) Se x2+px–q é divisível por (x+a),então:

a. a2=ap b. a2+pa=q

c. a2–q=ap d. p–q=a

e. nda

28. (UEL–PR) O valor de K para que o polinômiop(x)= kx2+kx+1 satisfaça a sentença p(x) –x = p(x–1) é :

a) –1/2 d) 1

b) 0 e) 3/2

c) 1/2

29. (UF–PA) Sabendo-se que os restos das divi-sões de x2+px+1 por x–a e x+2 são iguais,então o valor de p é:

a) –2 b) –1

c) 0 d) 1

e) 2

30. (UEPG–PR) Sabendo-se que o polinômioP(x)= 6x3+ax2+4x+b é divisível por D(x)= x2+4x+6, então a+b vale:

a) 8 b) –32

c) –8 d) 32

e) 64

31. (UEL–PR) Se o resto da divisão do polinômiop= x4–4x3–kx2–75 por (x–5) é 10, o valor de k é:

a) –5 b) –4

c) 5 d) 6

e) 8

32. (PUC–BA) Dividindo-se um polinômio f por8x2+1 obtém-se quociente 3x–1 e resto 4x–2.Qual é o resto da divisão de f por x–1

a) 22 b) 20

c) 10 d) –2

e) –10

33. (PUC–PR) O resto da divisão de f(x)= xn–an porg(x)= x–a, é:

a) 0; d) 2an, se n for par;

b) 1; e) 2an, se s for ímpar.

c) –a;

34. (FGV–P) Para que o polinômio P(x)= x3–8x2+mx–n seja divisível por (x+1). (x–2), m.n deve ser igual a :

a) –8 d) 8

b) 10 e) –6

c) –70

35. (UF–PE) Seja p(x) um polinômio com coefici-entes reais. Assinale a alternativa certa para oresto da divisão de p(x) por x2–5x+6, sabendo-se que p(2)= 2 e p(3)= 3:

a) 2x+1 d) x–2

b) x+1 e) x

c) x–3

36. (PUC–SP) O resto da divisão do polinômiop(x)= (x–1). (x–2).(...).(x–n)+b pelo polinômiog(x)= x é:

a) b d) (–1)n n!

b) (–1)n b e) (–1)n n! + b

c) n! + b

Page 141: Mate Matic a Element a Riv

UNIDADE IXEquações Algébricas

Page 142: Mate Matic a Element a Riv
Page 143: Mate Matic a Element a Riv

Matemática Elementar IV – Equações algébricas

TEMA 33

Equações algébricas

33.1 Introdução

Equação polinomial ou algébrica na incógnitax é toda equação do tipo P(x) = 0, onde

P(x) = anxn + an–1xn–1+....+ a3x3 + a2x2 + a1 + a0

sendo n ∈ lN e an, an–1,...., a3, a2, a1 e a0

números complexos. O maior expoente de xde coeficiente não-nulo é o grau da equação.

São exemplos de equações algébricas:

a) 5x3 – 3x2 + 2x – 1 = 0, que é uma equaçãopolinomial do 3.o grau na incógnita x.

b) 3y4 – 5y2 + 1 = 0, que é uma equação po-linomial do 4.o grau na incógnita y.

33.2 Raiz de uma equação algébrica

Dizemos que o número complexo z é raiz daequação P(x) = 0 se, e somente se, P(z) = 0.Como exemplo, vamos verificar quais númerosdo conjunto A ={1, 2, 3, i} são raízes da equa-ção x3 – x2 – 14x + 24 = 0.

a) Para x = 1, temos:

13 – 12 – 14 . 1 + 24 = 1 – 1 – 14 + 24 = 10

Logo 1 não é raiz.

b) Para x = 2, temos:

23 – 22 – 14 . 2 + 24 = 8 – 4 – 28 + 24 = 0

Logo 2 é raiz.

c) Para x = 3, temos:

33 – 32 – 14 . 3 + 24 = 27 – 9 – 42 + 24

x = 0

Logo 3 é raiz.

d) Para x = i, temos:

i3 – i2 – 14 . i + 24 = –i + 1 – 14i + 24 = 25 – 15i

Logo i não é raiz.

Vejamos como encontrar as raízes de algumasequações do 3.o grau, tendo como universo oconjunto dos números complexos e usando afatoração.

1. x3 – 7x2 + 12x = 0

Resolução:

Como não há termo independente, podemos co-locar x em evidência, assim:

x3 – 7x2 + 12x = 0

x(x2 – 7x + 12) = 0

x = 0 ou x2 – 7x + 12 = 0

Resolvendo a equação x2 – 7x + 12 = 0,encontramos x = 3 ou x = 4.

Logo, as raízes complexas dessa equação são0, 3 e 4.

2. x3 – 5x2 + 14x – 20 = 0

Resolução:

Fatorando o polinômio do 1.o membro, temos:

x2(x – 5) + 4(x – 5) = 0

(x – 5)(x2 + 4) = 0

Resolvendo as equações obtidas, temos:

• x – 5 = 0 ⇒ x = 5

• x2 + 4 = 0 ⇒ x2 = –4 ⇒ x ± 2i

Logo, as raízes complexas dessa equação são5, –2i e 2i.

1. A equação x3 + 2x2 – 5x – 6 = 0 tem três raízesque pertencem ao conjunto {–3, –1, 1, 2}.Quais são elas?

2. Quais dos números – 2, – 1, 1, 2, – i e i sãoraízes da equação x4 – 3x3 + 3x2 – 3x + 2 = 0?

3. Ache o valor de k de modo que a equaçãox5 + kx4 – 2x2 + 8 = 0 tenha o número – 2 comoraiz.

4. Resolva as equações abaixo, sendo o conjun-to dos números complexos o universo.

a) 2x3 + 10x = 0b) x3 – 9x2 + 18x = 0c) x3 + 2x2 – 9x – 18 = 0d) x4 + x3 – 7x2 – x + 6 = 0

143

Page 144: Mate Matic a Element a Riv

144

UEA – Licenciatura em Matemática

33.3 Decomposição de um polinômio em um produto de fatores do 1.o grau.

Para as equações algébricas, é válida a se-guinte propriedade, demonstrada pelo mate-mático CarI Friedrich Gauss em sua tese dedoutorado, em 1799, que ficou conhecida comoteorema fundamental da álgebra.

Toda equação algébrica de grau (n ≥ 1) possuipelo menos uma raiz complexa.

Considerando

P(x) = anxn + an–1xn–1+....+ a3x3 + a2x2 + a1x+ a0

e com base no teorema fundamental da ál-gebra, temos:

a) Se z1 é raiz da equação P(x) = 0, então,dividindo P(x) por x – z1, encontramos oquociente Q1(x) e o resto P1(z1) = 0. Logo,podemos escrever a equação:

P(x) = (x – z1) . Q1(x) = 0 na qual x – z1 = 0ou Q1(x) = 0, sendo que Q1(x) tem grau n – 1.

b) Se z2 é raiz da equação Q1(x) = 0, então,dividindo Q1(x) por x – z2, encontramos oquociente Q2(x) e o resto Q2(z2) = 0. Logo,podemos escrever a equação:

P(x) = (x – z1) . (x – z2) . Q2(x) = 0 na qualx – z1 = 0, x – z2 = 0 ou Q2(x) = 0, sendoque Q2(x) tem grau n – 2.

Procedendo dessa maneira, tantas vezesquantas for o grau da equação P(x) = 0, che-garemos a:

P(x) = an(x – z1) . (x – z2) . (x – z3)...(x – zn)

o que nos permite concluir que:

Toda equação algébrica de grau n (n ≥ 1)admite n raízes complexas.

Exemplos:

1. Vamos escrever o polinômio P(x) = x3 – 3x2 – 10x + 24 na forma fatorada,sabendo que uma da raízes é 2.

Resolução:

Se 2 é raiz de P(x), então P(x) é divisível por x – 2 . Daí: P(x) = (x – 2) . Q(x).

Aplicando o dispositivo de Briot–Ruffini, vamos

dividir P(x) por x – 2:

Logo, Q(x) = x2 – x – 12.

Resolvendo a equação x2 – x – 12 = 0, encon-tramos as raízes – 3 e 4. Logo, as raízes de P(x)são –3, 2 e 4; assim, a decomposição de P(x) é:

P(x) = an(x – z1) . (x – z2) . (x – z3)P(x) = 1.[x – (–3)] . (x – 2) . (x – 4)P(x) = (x + 3) . (x – 2) . (x – 4)

2. Vamos resolver a equação polinomial

x4 – 5x3 + 10x2 – 10x + 4 = 0, sabendo queduas de suas raízes são 1 e 2.

Resolução:

Como 1 e 2 são raízes da equação, podemosescrever:

P(x) = (x – 1)(x – 2) . Q(x) = 0.

Para achar Q(x), vamos dividir P(x) por x – 1 e,a seguir, dividir o resultado obtido por x – 2:

Logo, Q(x) = x2 – 2x + 2.

Para encontrarmos as outras raízes, devemosresolver a equação:

x2 – 2x + 2 = 0

∆ = (–2)2 – 4 . 1 . 2

∆ = –4

Logo, o conjunto solução é S = {1, 2, 1 – i, 1 + i}.

1. Fatore o polinômio x3 – 8x2 + 4x + 48, saben-do que P(6) = 0.

Page 145: Mate Matic a Element a Riv

2. Fatore o polinômio P(x)=x4 –2x3 – 10x2 + 10x –75,sabendo que duas de sua raízes são 3 e –5.

3. Fatore o primeiro membro da equação x4 – 16 = 0 e determine suas quatro raízes.

4. Fatore o primeiro membro da equação x3 – x2 + 10x – 10 = 0 e determine suas raízes.

Nieis Henrik Abel (1802 – 1829)

E o que fazemos com a equação do quinto grau?

Passaram-se aproximadamente três mil anospara ir das equações de primeiro ou segundograu às equações de terceiro e quarto graus.Foi necessário que transcorressem mais unstrezentos anos para que a equação de quintograu fosse compreendida, [...] Viète resolveuequações de terceiro grau por redução ao se-gundo grau, e equações de quarto grau porredução ao terceiro grau. Tanto Euler quantoLagrange (1770) tentaram encontrar reduçõescorrespondentes para a equação do quintograu. Paolo Ruffini (1799) mostrou que a es-tratégia de Lagrange não podia levar ao resul-tado.

Foi o norueguês Nieis Henrik Abel que resol-veu este importante problema em 1824. Co-mo ele mesmo diz:

Os matemáticos têm-se ocupado muito, ten-tando encontrar soluções gerais de equaçõesalgébricas, e são muitos os que têm tentadomostrar que é impossível. Se não me engano,

ainda não tiveram êxito. [...] É impossívelresolver a equação geral do quinto grau porradicais.

Conseqüentemente: também é impossível re-solver por radicais equações de graus maio-res que cinco.

Mais tarde, Abel perguntou-se se tambémera impossível averiguar quais as equaçõesde quinto grau que podiam ser solucionadas.Este problema foi resolvido em 1831, porÉvariste Galois. Penetrar nos pensamentosde Abel e Galois leva-nos à álgebra moderna[...] algo que ultrapassa nosso tema ele-mentar. [...]

Fonte: Reproduzido de BEKKEN, Otto B. Equaçães de Ahmes

até Abel. Trad. José Paulo Guimarães Carneiro. Rio de Janeiro,

Universidade Santa Úrsula/GEPEM,1994.

145

Matemática Elementar IV – Equações algébricas

Page 146: Mate Matic a Element a Riv

146

UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 34

MULTIPLICIDADE DAS RAÍZES E RAÍZESCOMPLEXAS

34.1 Multiplicidade de uma raiz

Ao fatorarmos um polinômio P(x), pode acon-tecer que um fator (x – z) apareça exatamentem vezes. Dizemos, então, que o número z é araiz de multiplicidade m do polinômio P(x) ouda equação P(x) = 0

Assim, no polinômio

P(x) = x4 (x – 2)3 (x + 1)2 (x – 5), dizemos que:

• o número zero é a raiz de multiplicidade 4(ou raiz quádrupla);

• o número 2 é raiz de multiplicidade 3 (ouraiz tripla);

• o número –1 é raiz de multiplicidade 2 (ouraiz dupla);

• o número 5 é raiz de multiplicidade 1 (ouraiz simples).

Exemplos:

1. Dada a equação algébrica (x – 5)(x + 3)4(x – 1)2=0, vamos determinar oque se pede.

Resolução:

a) O grau da equação

Somando os graus de cada fator, obtemoso grau da equação: 1 + 4 + 2 = 7

Logo, o grau é 7.

b) O conjunto solução nos complexos

(x – 5)(x + 3)4(x – 1)2 = 0

x – 5 = 0 ⇒ x = 5

(x + 3)4 = 0 ⇒ x + 3 = 0 ⇒ x = –3

(x – 1)2 = 0 ⇒ x – 1 = 0 ⇒ x = 1

Logo, o conjunto solução é:

S = {–3, 1, 5}

c) A multiplicidade da raiz –3

A raiz –3 tem multiplicidade quatro, pois opolinômio x + 3 aparece quatro vezes naforma fatorada da equação.

2. Vamos verificar qual é a multiplicidade da raiz2 na equação x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8 = 0.

Resolução:

Devemos dividir o polinômio do 1.o membro daequação por x – 2 o quociente encontrado porx – 2, o novo quociente por x – 2, e assim pordiante, até obtermos um resto diferente de zero,ou todos os restos nulos.

Logo, 2 é raiz de multiplicidade 3.

3. Vamos resolver a equação x4 – 10x3 + 32x2 – 38x + 15 = 0, sabendo que1 é raiz de multiplicidade 2.

Resolução:

Se 1 é raiz de multiplicidade 2, então podemosescrever: P(x) = (x – 1)2 . Q(x)

Para obtermos Q(x), devemos dividir P(x) por(x – 1) duas vezes seguidas:

Logo, Q(x) = x2 – 8x + 15.

Resolvendo a equação Q(x) = 0, encontramosas outras raízes: 3 e 5.

Logo, o conjunto solução é: S = {1, 3, 5}.

1. Na equação 3(x + 2)3 (x – 5)2 (x + 4) = 0, dê amultiplicidade da raiz:

a) –4 b) –2 c) 5

2. Determine a multiplicidade:

a) da raiz 5 na equação polinomialx4 – 14x3 + 60x2 – 50x – 125 = 0

b) da raiz 1 na equação polinomial

x4 – 5x3 + 9x2 – 7x + 2 = 0.

Page 147: Mate Matic a Element a Riv

147

Matemática Elementar IV – Equações algébricas

34.2 Raízes complexas

Teorema:

Se um número complexo z = a + bi (b ≠ 0) éraiz de uma equação algébrica de coeficientesreais, então o conjugado de z, z– = a – bi, tam-bém é raiz da equação.

Demonstração:

Seja P(x) = 0 uma equação com raiz z = a +bi com b ≠ 0. Para demonstrar o teorema,basta que P(x) seja divisível por (x – z–).

Dividindo P(x) por (x – z) . (x – z–), obtemos umquociente Q(x) e um resto R(x) = px + q.Assim, temos:

P(x) = (x – z)(x – z–) Q(x) + R(x)

P(x) = (x – z)(x – z–) Q(x) + px + q

Calculando P(z), temos:

P(z) = (z – z)(z – z–) Q(x) + pz + q = 0

pz + q = 0 ⇒ p(a + bi) + q = 0

pa + q + pbi = 0

Temos, então, p = 0; substituindo na primeiraequação do sistema, temos q = 0, portantoR(x) = 0. Assim, temos P(x) divisível por z–, logoz– é raiz de P(x) = 0.

Conseqüências do teorema

1.a) Se uma equação algébrica de coeficientes reaisadmite a raiz z = a + bi (b ≠ 0) de multipli-cidade m, então admite também como raiz oconjugado z– = a – bi de mesma multiplicidade.

2.a) Toda equação algébrica de coeficientes reais egrau ímpar admite pelo menos uma raiz real,pois o número de raízes não-reais é semprepar.

Exemplos:

1. Vamos ver qual é o menor grau que pode teruma equação de coeficientes reais que admitaas raízes 2, 3i e 1 + i.

Resolução:

A equação algébrica terá no mínimo 5 raízes:2, 3i, – 3i, 1 + i, 1 – i.

Logo, o menor grau da equação é 5.

2. Vamos resolver a equação x4 – 4x3 + 12x2 + 4x – 13 = 0, sabendo queuma de suas raízes é 2 – 3i.

Resolução:

Se 2 – 3i é raiz da equação, então 2 + 3i tam-bém é raiz.

Portanto:

P(x) = [x – (2 + 3i)].[x – (2 – 3i)].Q(x) = 0

P(x) = [x2 – 4x + 13).Q(x) = 0

Dividindo P(x) por x2 – 4x + 13, encontramosQ(x) = x2 – 1.

Para obtermos as outras raízes, devemos ter:x2 – 1 = 0 ⇒ x = ±1

Logo, S {–1, 1, 2 – 3i, 2 + 3i}

1. Qual o menor grau de uma equação que tem 4, 2 + 3i e 1 + i por raízes.

2. Encontre uma equação de menor grau possí-vel que tenha por raízes 2 e 1 + 5i.

3. Resolva a equação x4 – 5x3 + 5x2 + 25x – 26 = 0,sabendo que 3 + 2i é uma de suas raízes.

4. A equação x3 – x2 + 2x – 2 = 0 tem duas raízescomplexas não-reais. Quais são essas raízes?

Page 148: Mate Matic a Element a Riv

148

UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 35

RAÍZES RACIONAIS

35.1 Introdução

A seguinte propriedade possibilitar-nos-á de-terminar todas as raízes racionais de uma equa-ção algébrica de coeficientes inteiros.

Se com p e q primos entre si é uma raiz

racional da equação algébrica de coeficientesinteiros anxn + an–1xn–1+....+ a2x2 + a1x + a0 = 0,

então p é divisor de a0 e q é divisor de an (coman ≠ 0 e a0 ≠ 0)

Demonstração:

Sejam p e q inteiros, primos entre si eP(x)= anxn + an–1xn–1+....+ a2x2 + a1x + a0 = 0,uma equação algébrica de coeficientesinteiros.

Fazendo x = , temos:

Multiplicando os dois membros da igualdadepor qn, temos:

anxn + an–1xn–1+....+ a1pqn–1 + a0qn = 0

Isolando a0qn no 2º membro, vem:

anpn + an–1pn–1q+....+ a1pqn–1 = –a0qn

Dividindo os dois membros por p, temos:

No 1.o membro, os números p, q, n e os coe-ficientes são números inteiros, portanto o 1.o

membro representa um número inteiro.

Então, a0qn é múltiplo de p e, como p e q sãonúmeros primos entre si, qn não é múltiplo dep, ou seja, p é divisor de a0.

De modo análogo, podemos provar que an émúltiplo de q, isto é, que é divisor de an.

Exemplo:

Vamos resolver a equação

6x4 – 11x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0

Solução:

A equação tem coeficientes inteiros.

Como a0 = –2 e p é divisor de a0 temos que

p ∈{±1, ±2}.

Como an = 6 e q é divisor de an., temos que

q∈{±1, ±2, ±3, ±6}.

Dividindo p por q, obtemos as possíveis raízes

racionais da equação dada:

Primeiro, vamos determinar as raízes inteiras,

se existirem. Observe que elas são divisores do

termo independente. Achando o valor numérico

do polinômio do 1.o membro da equação para

as possíveis raízes inteiras, temos:

P(–2) = 6(–2)4 – 11(–2)3 – 6(–2)2 + 9(–2) – 2

P(–2) = 140 ⇒ –2 não é raiz.

P(–1) = 6(–1)4 – 11(–1)3 – 6(–1)2 + 9(–1) – 2

P(–1) = 0 ⇒ –1 é raiz.

P(1) = 6(1)4 – 11(1)3 – 6(1)2 + 9(1) – 2

P(1) = –4 ⇒ 1 não é raiz.

P(2) = 6(2)4 – 11(2)3 – 6(2)2 + 9(2) – 2

P(2) = 0 ⇒ 2 é raiz.

Dividindo P(x) por (x + 1).(x – 2), temos:

P(x) = (x + 1).(x – 2)Q(x)

Logo, Q(x) = 6x2 – 5x + 1.

Igualando Q(x) a zero, temos 6x2 – 5x + 1= 0.

Resolvendo essa equação, encontramos as

outra raízes: , .

Logo,

Page 149: Mate Matic a Element a Riv

149

1. Determine as possíveis raízes inteiras da equa-ção 6x4 – 4x3 + 15x2 – x + 4 = 0.

2. Quais as possíveis raízes fracionárias positivasda equação 6x3 – 13x2 + x + 2 = 0?

3. Resolva as equações seguintes:

a) x3 – 2x2 + 9x + 18 = 0

b) 2x3 + 5x2 – 9x – 18 = 0

c) 6x4 – x3 – 25x2 + 4x + 4 = 0

4. Uma piscina tem a forma de um paralelepípe-do retângulo. Suas dimensões, expressas emmetros, são 2a, a + 1 e a – 3. Calcule o valorde a, sabendo que essa piscina comporta até40.000 litros.

5. O volume de um prisma, em cm3, é represen-tado pelo polinômio 2a3 – 9a2 + 7a + 6.

Determine o valor que a deve ter para que oprisma tenha 18cm3 de volume.

6. A altura de um prisma hexagonal regular mede(3x – 2)cm, e uma aresta da base mede xcm.

a) Expresse o polinômio que representa o vo-lume desse prisma.

b) Se o volume desse prisma for 24 cm3, qualo valor de x?

7. Gabriela pensou em um número natural. Ele-vou esse número ao cubo e somou o resultadocom o triplo dele. Danilo pensou no mesmonúmero, multiplicou por 3 o quadrado dele esomou 65 ao resultado. Os dois obtiveram omesmo número. Em que número eles pensa-ram?

8. Um recipiente cilíndrico tem internamente 6dmde atura. Seu espaço interior é ocupado poruma esfera cujo raio tem a mesma medida doraio do recipiente e por 18dm3 de água. Deter-mine a medida do raio desse recipiente.

TEMA 36

RELAÇÕES DE GIRARD

36.1 Introdução

As relações entre os coeficientes de uma equa-ção algébrica e as raízes da mesma equaçãoforam enunciadas em 1629, pelo matemáticoAlbert Girard (1590–1632). Essas relações po-derão ser-nos úteis na resolução de equaçõesalgébricas quando tivermos mais alguma infor-mação a respeito de suas raízes.

Vejamos essas relações para uma equação do2.o grau.

Sendo x1 e x2 as raízes da equação

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), temos:

ax2 + bx + c = a(x – x1).(x – x2)

Dividindo os dois membros por a, obtemos:

Essas são as relações de Girard para umaequação do 2.o grau.

Consideremos, agora, uma equação qualquerdo 3.o grau:

ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0),

cujas raízes são x1, x2 e x3. Procedendo domesmo modo, temos:

ax3 + bx2 + cx + d = a(x – x1).(x – x2).(x – x3)

Logo,

Portanto,

Matemática Elementar IV – Equações algébricas

Page 150: Mate Matic a Element a Riv

150

UEA – Licenciatura em Matemática

Essas são as relações de Girard para umaequação do 3.o grau.

Prosseguindo com esse raciocínio, encontra-mos para uma equação algébrica de grau n daforma

anxn + an–1xn–1+....+ a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0

(n > 1 e an ≠ 0) as seguintes relações:

• A soma das raízes é

• A soma dos produtos das raízes tomadas

duas a duas é

• A soma dos produtos das raízes tomadas

três a três é

:.

• O produto das n raízes da equação é

Exemplos:

1. Vamos escrever as relações de Girard paraequação ax4 – 2x3 – 25x2 + 26x + 120 = 0.

Solução:

Temos:

a = 2, b = – 2, c = – 25, d = 26 e e = 120

Sendo x1, x2, x3 e x4 as raízes da equação,temos:

2. Dada a equação 6x3 – 13x2 + 9x – 2 = 0 deraízes y, z, e w, vamos calcular:

a)

b)

c) y2 + z2 + w2

Solução:

Como a = 6, b = – 13, c = 9 e d = –2, pelasrelações de Girard, temos:

a)

b)

c) (y + z + w)2 = y2 + z2 + w2 + 2(yz + yw + zw)

3. Vamos resolver a equação x3 – 3x2 – 4x + 12= 0,sabendo que duas raízes são opostas.

Solução:

Temos: a = 1, b = – 3, c = – 4, e d =12

Digamos que as raízes da equação sejam p, –p e m. Então, pelas relações de Girard ob-temos:

p – p + m = –(–3) = 3 ⇒ m = 3

p(–p) + pm + (–p)m = –4

–p2 = –4 ⇒ p2 = 4 ⇒ p = ±2

Logo, S{–2, 2, 3}

4. Vamos resolver a equação x3 – 15x2 + 66x – 80 = 0, sabendo que suas raí-zes estão em PA.

Page 151: Mate Matic a Element a Riv

151

Matemática Elementar IV – Equações algébricas

Solução:

Temos: a = 1, b = – 15, c = 66 e d = – 80

Sejam as raízes p – r, p e p + r, com r > 0.Então, pelas relações de Girard, temos:

p – r + p + p + r = –(–15)

3p = 15 ⇒ p = 5

(p – r).p.(p + r) = –(–80)

(5 – r).5.(5 + r) = (80)

25 – r2 = 16 ⇒ r2 = 9 ⇒ r = 3

p – r = 5 – 3 = 2

p = 5

p + r = 5 + 3 = 8

Logo, S = {2, 5, 8}.

1. Sendo a, b e c as raízes da equaçãox3 – 2x2 – 13x – 10 = 0, calcule:

a) a + b + c

b) ab + ac + bc

c) abc

2. Determine m, n e p, sabendo que a equaçãox3 + mx2 + nx + p = 0 tem raízes 2, 3 e 5.

3. Encontre uma equação de grau 3 que tenhapor raízes –2, 3 e .

4. Estabeleça as relações de Girard para as equa-ções:

a) 3x4 + 19x3 – 23x2 – 59x + 30= 0

b) x3 – 15x2 + 74x – 120 = 0

5. Dada a equação x3 – 11x2 + 38x – 40 = 0, deter-mine:

a) a2bc + ab2c + abc2

b) a2 + b2 + c2

c)

6. Resolva a equação x3 – x2 – 49x + 49 = 0, sa-bendo que duas de suas raízes são opostas.

7. Uma das raízes da equação x3 + 6x2 – x – 30 = 0é a soma das outras duas. Qual o conjunto so-lução dessa equação.

8. Determine quais são as raízes da equaçãox3 – x3 – 6x2 – 4x + 24 = 0, sabendo que elasestão em PA.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO

TEOREMA DE D' ALEMBERT

1. (FGV–SP) O valor de m , de modo que –1 sejaraiz da equação x ³ + (m+2)x² + (1–m)x – 2 =0, é igual a:

a) 0 b) –1

c) 1 d) –2

e) 2

2. (UF–RN) Seja P(x) = x³ + 6x – x – 30. Se P(2) = 0, então oconjunto solução de P(x) = 0 é :

a) {–2, –3, –5}

b) {2, –3, –5}

c) {2, –2}

d) {2, 3, 5}

e) {2, 6, 30}

3. (PUC–SP) A equação do terceiro grau cujasraízes são 1, 2 e 3 é:

a) x³ – 6x² + 11x – 6 =0

b) x³ – 4x² + 3x – 5 = 0

c) x³ + x² + 3x – 5 = 0

d) x³ + x² +2x + 3 = 0

e) x³ + 6x² – 11x + 5 = 0

4. (FGV–SP) Na equação x4 + px³ + px² + p = 0,sabendo–se que 1 é raiz, então:

a) p = –1/4

b) p = 0 ou p = 1

c) p = 0 ou p = –1

Page 152: Mate Matic a Element a Riv

152

UEA – Licenciatura em Matemática

d) p = 1 ou p = –1

e) p = –1/3

5. (CESGRANRIO–RJ) A soma das raízes da

equação vale:

a) –10 b) –7

c) –3 d) 7

e) 21

6. (ACAFE–SC) A maior raiz da equação x³ + 4x² + 3x = 0 é:

a) –4 b) –1

c) 0 d) 2

e) 3

7. (CESCEM–SP) A equação 2x³ – 5x² – x + 6 = 0 admite uma raiz igual a 2.Então, as outras duas raízes são:

a) –3/2 e 1 b) –2 e 1

c) 3 e –1 d) 3/2 e –1

e) 3/2 e 2

8. (UEL–SP) A equação 2x³ – 5x² + x + 2 = 0 temtrês raízes reais. Uma delas é 1. As outras duassão tais que:

a) ambas são números inteiros;

b) ambas são números negativos;

c) estão compreendidas entre –1 e 1;

d) uma é o oposto do inverso da outra;

e) uma é a Terça parte da outra.

9. (PUC–BA) É verdade que a equação (x – 4x).(x² + 2x + 1) = 0, no inverso IR:

a) tem quatro soluções distintas;

b) tem uma solução que é número irracional;

c) tem cinco soluções distintas;

d) não tem soluções;

e) tem apenas duas soluções distintas.

10. (PUC–SP) O polinômio P(x) = x³ + x² – 26x + 24 é divisível por x – 4.Os zeros deste polinômio são:

a) –6, –4, 1 b) –6, 1, 4

c) –4, –1, 6 d) –1, 4, 6

e) 1, 4, 6

11. (UFSE) Sabe-se que –1 é raiz de multiplicidade2 da equação 2x³ + x² – 4x – 3 = 0. A outra raizdessa equação é um número:

a) racional e não inteiro;

b) inteiro;

c) irracional e negativo;

d) irracional positivo;

e) complexo e não real.

12. (UF–RN) Se 2 é raiz de multiplicidade 3 da equa-ção x4 – 9x³ + 30x² – 44x + 24 = 0, então seuconjunto solução é:

a) {1; 2} b) {1;3}

c) {2;3} d) {1;2;3}

e) {1;2;3;4}

13. (PUC–SP) A raiz x = 1 da equação x4 – x³ – 3x² + 5x – 2 = 0 é:

a) simples b) dupla

c) tripla d) quádrupla

e) quíntupla

14. (FATEC–SP) Se a, b e –1/2 são as raízes daequação 2x³ + 3x² – 3x – 2 = 0, então ab é iguala:

a) –1 ou 0 b) –1/2 ou 2

c) 2 d) 1/2 ou –1/2

e) –2 ou 1

15. (OSEC–SP) O grau de uma equação polino-mial P(x) = 0 , cujas raízes são 3, 2 e 4 commultiplicidade de 5, 6 e 10, respectivamente, é:

a) 9; b) 300;

c) menor que 20; d) 21/9;

e) 21.

16. (MACK–SP) Na equação (x³ – x² + x – 1 ) = 0,a multiplicidade da raiz x = 1 é:

a) 1 b) 9

c) 18 d) 36

e) 54

Page 153: Mate Matic a Element a Riv

153

Matemática Elementar IV – Equações algébricas

17. (CESCEA–SP) Assinale, entre as equações abai-xo, a que representa raiz de multiplicidade três:

a) x³ – 1 = 0

b) (x–2) = 0

c) x – 4x² = 0

d) (x–1)3 . (x+1) = 0

e) n.d.a.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TEOREMA DASRAÍZES RACIONAIS E COMPLEXAS

1. (UF–MG) Sabe–se que a equação x4 – 6x3 +15x 2 – 18x + 10 = 0 admite as raízescomplexas 1 – i e 2 + i. Quais as demais raízesdessa equação?

a) –1 – i e –2 + i

b) 1 + i e 2 + i

c) –1 + i e –2 – i

d) 1 – i e 2 – i

e) 1 + i e 2 – i

2. (PUC–SP) Qual dos números abaixo é raiz daequação 15x3 + 7x2 – 7x + 1 = 0 ?

a) 7/15 b) 1/2

c) 2/3 d) 3/5

e) 1/3

3. (VUNE–SP) Uma das raízes da equação 2x3 +x2 – 7x – 6 = 0 é x = 2.pode–se afirmar que:

a. as outras raízes são imaginárias;

b. as outras raízes são 17 e – 19;

c. as outras raízes são iguais;

d. as outras raízes estão entre – 2 e 0;

e. só uma das outras raízes é real.

4. (UF–RN) A equação (x + 1) (x2 + 4) = 0 tem:

a) duas raízes reais e uma imaginária;

b) uma raiz real e uma imaginária;

c) duas raízes reais e duas imaginárias;

d) uma raiz real e duas imaginárias;

e) apenas raízes reais.

5. (PUC–SP) As raízes da equação 3x3 – 13x2 + 13x – 3 = 0 são:

a) 7; 6 e 1/7 b) 6; 5 e 1/6

c) 1; 3 e 1/3 d) 2; 4 e 1/2

e) 5; 7 e 1/5

6. (PUC–RJ) Sobre as raízes da equação x3 – x2 + 3x – 3 = 0, podemos afirmar que :

a) nenhuma raiz é real;

b) há uma raiz real e duas imaginárias;

c) há três raízes reais, cuja soma é 3;

d) há três raízes reais, cuja soma é 1;

e) há três raízes reais, cuja soma é – 3.

7. (ITA–SP) A equação (1 – x) (1 – x).x = 1 – x2 tem:

a) três raízes reais;

b) uma raiz dupla igual a 1;

c) não tem raízes complexas;

d) S = {1; i ; – i};

e) n.d.a.

8. (CEFET–PR) Os valores de p e q para que iseja raiz da equação 2x3 + px2 + qx + 2= 0,são respectivamente:

a) 2 e 2 b) –1 e 0

c) 1 e –1 d) 1/2 e 2

e) 1/2 e 0

9. (UEPG–PR) O polinômio P(x) = x3 – x2 + x + aé divisível por x – 1.Suas raízes são:

a) 1, i e – i b) –1, – i e i

c) 0, 1 e i d) 1, – 1 e – i

e) n.d.a.

10. (PUC–SP) O grau mínimo que um polinômio decoeficientes reais admite, sabendo-se que 1 + i e – 1 + i são raízes, é :

a) 1.o grau; b) 2.o grau;

c) 3.o grau; d) 4.o grau;

e) 5.o grau.

11. (ITA–SP) A equação 4x3 – 3x2 – 4x – 3 = 0admite uma raiz igual a i (unidade imaginária).

Page 154: Mate Matic a Element a Riv

154

UEA – Licenciatura em Matemática

Deduzimos que :

a) tal equação não admite raiz real menor que2;

b) tal equação admite como raiz um númeroracional;

c) tal equação não admite como raiz umnúmero positivo;

d) tal equação não possui raiz da forma bi,com b < 1;

e) n.d.a.

12. (MACK–SP) A equação 2x4 – 3x3 – 13x2 + 37x – 15 = 0 tem uma raizigual a 2 + i. As outras raízes da equação são:

a) 2 – i; – 3; 1/2

b) 2 + i; 3; –1/2

c) 3 – i; –3; 1/2

d) 3 + i; – 1 ;–3/2

e) 2 – i; 1; 3/2

EQUAÇÕES ALGÉBRICASRELAÇÕES DE GIRARD

1. (AMAN–RJ) A soma das raízes da equação x4– x3– 4x2+ 4x = 0 é igual a:

a) 0 b) 1

c) –4 d) 4

e) n.d.a.

2. (UF–PR) A média aritmética das raízes da equa-ção x3 – x2 – 6x = 0 é:

a) 1 b) 1/3

c) 8/3 d) 7/3

e) 5/3

3. (CESGRANRIO–RJ) A soma das raízes de x4 + 1 = 0 é:

a) 1 b) –1

c) 0 d) i

e) –i

4. (UF–SE) A soma e o produto das raízes daequação x3 + x2 – 8x – 4 = 0 são, respectiva-mente:

a) – 8 e – 4

b) – 8 e 4

c) – 4 e 1

d) – 1 e 4

e) 4 e 8

5. (FGV–SP) A soma e o produto das raízes daequação x4 – 5x3+ 3x2+ 4x – 6 = 0 formamqual seguinte par de valores?a) –5; 6

b) 5; –6

c) 3; 4

d) 1; 6

e) 4; 3

6. (PUC–PR) Se a, b e c são raízes da equaçãox3– 4x2– 31x + 70 = 0, podemos afirmar quelog2(a + b + c) é igual a:

a) 4

b) 0

c) 1

d) 2

e) n.d.a.

7. (UNESP–SP) Consideremos a equação x2+ ax + b = 0. Sabendo-se que 4 e –5 são asraízes dessa equação, então:

a) a = 1, b = 7

b) a = 1, b= –20

c) a = 3, b = –20

d) a = –20, b = –20

e) a = b = 1

8. (PUC–SP) Os números complexos 1 e 2 + isão raízes do polinômio x3+ ax2 + bx + c,onde a, b e c são números reais. O valor de cé:

a) –5

b) –3

c) 3

d) 5

e) 9

9. (UFMT)– Sejam –2 e 3 duas das raízes daequação 2x3– x2 + kx + t =0, onde k, t ∈ lR. A terceira raiz é:

Page 155: Mate Matic a Element a Riv

155

a) –1

b) –1/2

c) 1/2

d) 1

e) n.d.a.

10. (UE–CE) Se p e q são as raízes da equação2x2– 6x + 7= 0, então (p + 3)(q + 3) é igual a:

a) 41/2

b) 43/2

c) 45/2

d) 47/2

11. (UF–MG) As raízes da equação 2x2 – 2bx + 3 = 0são positivas, e uma é o triplo da outra. Então,o valor de b é:

a) –2 b) –2

c) 2 d) 2

e) 4

12. (MACK–SP) Uma das raízes da equaçãox2+ ax + 2b =0, a e b reais, é 1 – i. Os val-ores de a e b são, respectivamente:

a) –2 e 3/2

b) –2 e –3/2

c) 2 e –3/2

d) 2 e 2/3

e) 2 e 3/2

13. (FGV–SP) Se a soma das raízes da equaçãokx2 + 3x – 4 = 0 é 10, podemos afirmar que oproduto das raízes é:

a) 40/3 b) –40/3

c) 80/3 d) –80/3

e) –3/10

14. (UFP–RS) A soma dos inversos das raízes daequação x3– 2x2 + 3x – 4 = 0 é igual a:

a) –3/4 b) –1/2

c) 3/4 d) 4/3

e) 2

15. (MACK–SP) Uma raiz da equação x3– 4x2 + x + 6 = 0 é igual à soma das outrasduas. As raízes dessa equação são:

a) 2, –2, 1

b) 2, –1, 3

c) 3, –2, 1

d) 1, –1, –2

e) n.d.a.

16. (CEFET–PR) Se a, b, e c são raízes da equaçãox3– 8x2 + 24x – 16 = 0, então o valor de sen(p /a + p /b + p /c) será:

a) –1

b) 1

c) –8/24

d) –16/24

e) 1/2

17. (ITA–SP) A soma dos quadrados das raízes daequação x3+ x2 + 2 + 8 = 0 é igual a:

a) 5

b) 5 – 4

c) 12

d) 9 + + 2

e) n.d.a.

18. (PUC–SP) O produto de duas das raízes daequação 4x3– 33x2 + 68x – 15 = 0 é 3/4. Asoma das duas maiores raízes da equação é:

a) 13/4

b) –2

c) 21/2

d) 8

e) 11

19. (MACK–SP) As raízes (x1, x2, x3) da equaçãox3– 3x2 + cx + d = 0 formam uma progressãoaritmética de razão 3, então o valor de x1 . x2 . x3 é:

a) –8

b) 12

c) 3

d) 9

e) 6

Matemática Elementar IV – Equações algébricas

Page 156: Mate Matic a Element a Riv
Page 157: Mate Matic a Element a Riv

Respostas dos Exercícios

Page 158: Mate Matic a Element a Riv
Page 159: Mate Matic a Element a Riv

159

Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios

UNIDADE IRazões trigonométricas no triângulo

TEMA 1

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Pág. 14

1. a)

b)

c)

d)

e)

f)

2. Seno: e

Cosseno: e

Tangente: e

3. b = 40 e c = 304. b = 2 e c = 45. a) x = 3,52cm

b) x = 2,3cmc) x = 5,3dm

6. 113,6m 7. b) 69,23m, aprox. 8. a) OA = 5,0 cm

CC’ = 2,5 cmDD’ = 3,5 cmOD’ = 3,5 cmOE’ = 2,5 cm

b) OA = 1 uCC’ = 0,5 uDD’ = 0,7 uOD’ = 0,7 uOE’ = 0,5 u

c) sen 30º = 0,5

sen 45º = 0,7

cos 45º = 0,7

sen 60º = 0,5

tg 45º = 1

9. a) oposto

b) Adjacente

Pág. 16

1. b 2. c 3. b 4. d 5. a

TEMA 02

RELAÇÕES ENTRE SENO,

COSSENO E TANGENTE

Pág. 20

1. a)

b)

2.

3. (30 + 15 )cm

4. a)

b)

5. 240 m e aprox. 207,8 m

6. Aprox. 141,96 m

7. 30cm

8. a) 0,6293 b) 0,9613 c) 0,9397

d) 0,0872 e) ≅1,0724 f) ≅0,5543

Page 160: Mate Matic a Element a Riv

160

UEA – Licenciatura em Matemática

Pág. 21

1. c 2. b 3. e 4. b 5. b

TEMA 03

RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS

Pág. 24

1. 2. 27 + 93. 5 cm e 5 cm4. A = 30º5. α = 30º

Pág. 25

1. c 2. a 3. a 4. b 5. b6. a 7. a 8. a 9. e 10. c11. a 12. d 13. d 14. b 15. a

UNIDADE IITrigonometria na circunferência

TEMA 04

ARCOS E ÂNGULOS

Pág. 33

1. a) 78°06’15” b) 6°52’30”

2. a)

b)

c)

d)

3. a) aprox. 4,19 cmb) aprox. 43°c) aprox. 115 cm

4. a)12560mb) 3750 voltas

5. 350 voltas6. ≅ 229,3cm

Pág. 33

1.a 2. e 3. d 4. c

TEMA 05

CICLO TRIGONOMÉTRICO

Pág. 37

1. a) 54° b) 120°

c)

d)

2. a) –296° b) –(179°36’)

c)

d)

3. a) 1ª determinação positiva é 260° e 1ª deter-minação negativa é -100°

b) 1ª determinação positiva é 280° e 1ª deter-minação negativa é –80°

c) 1ª determinação positiva é e 1ª

determinação negativa é

Page 161: Mate Matic a Element a Riv

161

Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios

d) 1ª determinação positiva é e 1ª de-

terminação negativa é

4. a) –

b)

5. a) –215°

b) 120°

TEMA 06

SENO, COSSENO E TANGENTE

Pág. 41

1. a)

b)

2. a)

b) –

3. a)

b)

4. a) –

b) –

5. a) y1 > 0

b) y2 = 0

6. a) 1 +

b)

7. a) –

b)

TEMA 07

RAZÕES RECÍPROCAS DO SENO, COSSENOE TANGENTE E OUTRAS RELAÇÕES.

Pág. 43

1. a)

b)

2. a) –

b)

3. a) –2b) –2

4. a) y1<0b) y2 >0

5. a)

b) –

6. a) y1 > 0 b) y2 <0

TEMA 08

REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE

Pág. 46

1. a) –cos 9º

b) –cos

c) –cos

d) –cos

e) –cot g

Page 162: Mate Matic a Element a Riv

162

UEA – Licenciatura em Matemática

2. a)

b) –

c)d) –

e) –

f) – 2

g)

3. –1

Pág. 46

1. b 2. a 3. c 4. b5. e 6. a 7. c 8. a

UNIDADE IIIFunções circulares e identidades

TEMA 09

FUNÇÃO SENO

Pág. 53

1. a, b e d2. a) D(ƒ) = lR

Im(ƒ) = [–3, 3]período = 2π rad

b) D(ƒ) = lR

Im(ƒ) = [–3, –1]período = 2π rad

3. a) D(ƒ) = lRIm(ƒ) = [–1, 1]

b) D(ƒ) = lRIm(ƒ) = [–1, 1]

4. a) rad

b) 10π rad

c) rad

5. a) ±

b) ±12

6. a)

b)

TEMA 10

FUNÇÃO COSSENO

Pág. 56

1. c 2. a)

Page 163: Mate Matic a Element a Riv

163

O domínio é D(ƒ) = lR A imagem é Im(ƒ) = [–3, 3]O período é 2π rad

b)

O domínio é D(ƒ) = lR A imagem é Im(ƒ) = [–3, 1]O período é 2π rad

3. a) rad

b)

c)

d) 8π rad

Pág. 56

1. b 2. b 3. e 4. d5. e 6. b 7. c 8. b

TEMA 11

FUNÇÃO TANGENTE

Pág. 58

1. a) πradb) 2πrad

c) rad

d) 2πrad

2. a) D(ƒ) = {x∈lR|

b) D(ƒ) = {x∈lR|

c) D(ƒ) = {x∈lR|

d) D(ƒ) = {x∈lR|

3. e x é do 4º

4. a)

b)

TEMA 12

OUTRAS FUNÇÕES CIRCULARES

Pág. 60

1. a) e p(ƒ) = π

b) e p(g) = π

c) e p(h) = 2π

2. a) m ≤ 2

b) m ≤ ou m ≥ 1

c) 0 ≤ m < ou < m ≤

3. cotg x4. cotg3 x

Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios

Page 164: Mate Matic a Element a Riv

164

UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 13

IDENTIDADES

Pág. 61

1. Demonstração2. Demonstração3. Demonstração4. a) Não é identidade em ℜ

b) É identidade em U5. Demonstração

Pág. 62

1. e 2. d 3. d 4. a

UNIDADE IVFórmulas da adição,

multiplicação e divisão de arcos

TEMA 14

TRANSFORMAÇÕES: FÓRMULAS DE ADIÇÃO

Pág. 66

1. a) cot g 165º = –(2 + ) b) sec 255º = –( + )c) cos sec 15º = +

2.

3.

4.

5.

6. tg 15º = 2 –

Pág. 66

1. e 2. a 3. a 4. a 5. a

TEMA 15

ARCO DUPLO E TRIPLO

Pág. 68

1. a)

b)

2.

3. 0,643

4.

5.

6. tg 70º ≅ 2,7; cot g 70º ≅ 0,36

Pág. 69

1 a) –1

b) –1

2. –1

3. 1

Page 165: Mate Matic a Element a Riv

165

TEMA 16

ARCO METADE

Pág. 70

1.

2.

3.

4. Demonstração

5.

6.

7. –

8.

TEMA 17

FÓRMULAS DE TRANFORMAÇÃO EM PRODU-TO PARA SENO, COSSENO E TANGENTE

Pág. 72

1. a) 2 . sen 29º . cos 7ºb) 2 . sen 32º . cos 40º

2. a) 2 . cos 15º . cos 8ºb) –2 . sen 35º . sen 23º

3. a) 2 . sen 6x . cos x

b)

c) 2 . cos 5x . cos 4xd) –2 . cos 2x . cos x

4. a)

b)

c) 4 . cos x . cos 2x . cos 5x

d) 4 . cos2 x . sen 3x

Pág. 73

1. a)

b)

Pág. 73

1.

2.

UNIDADE VEquações e Inequações Trigonométricas

Funções Trigonométricas Inversas

TEMA 17

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Pág. 78

1. a) S={x∈lR }

b) S={x∈lR }

c)

2.

3. S={x∈lR }

Pág. 79

Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios

Page 166: Mate Matic a Element a Riv

166

UEA – Licenciatura em Matemática

1. a) S = {x∈lR }

b)

c)

2. S = {x∈lR }

3.

Pág. 80

1. a) S = {x∈lR }

b) S = {x∈lR }

c)

2. S = {x∈lR }

3.

4.

5.

TEMA 19

INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Pág. 82

1. a) π ≤ x ≤ 2πb) 0 ≤ x ≤ π

c) 0 ≤ x ≤ ou ≤ x ≤ 2π

2. sen x ≥

3. {x∈lR

Pág. 83

1. a) {x∈lR κ∈ }

b) {x∈lR

}

c) {x∈lR

}

2. a) {x∈lR

b) {x∈lR

Pág. 84

1. a) {x∈lR

b) {x∈lR

c) {x∈lR

d) {x∈lR

}

TEMA 20

Page 167: Mate Matic a Element a Riv

167

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Pág. 85

1. a) rad b) – rad c) 40º

2. 1,23. 1,1

Pág. 86

1. a) rad

b) πrad

c) rad

2. a) 14º

b)

Pág. 87

1. a) – rad

b) – rad

c)

d) 4 –

2.d 3.c 4.a 5.a 6.b 7.d 8.b 9.e 10.b 11.d 12.b 13.d14.b 15.a 16.c 17.c 18.a 19.a 20.b 21.b 22.b 23.e 24.e 25.a26.b 27.e 28.c 29.d 30.a

UNIDADE VINúmeros complexos

TEMA 21

FORMA ALGÉBRICA E POTÊNCIAS DE i

Pág. 94

1. a) ib) ic) –1

2. a) –1

b) –i3) i

Pág. 95

1. a) Re(z) = –3 e Im(z) = 4

b) Re(z) = 2 e Im(z) = –1

c) Re(z) = 4 e Im(z) =

d) Re(z) = 0 e Im(z) = 5

e) Re(z) = 3 e Im(z) = 0

f) Re(z) = e Im(z) = –

g) Re(z) = 3 e Im(z) = 2π2. a) K = 5

b) m = ± 2 e k ≠ 5 (k real)

3. a) p = 5 e q = –1

b) p = 2 e q = 3 ou p = 2 e q = –3

c) p = 1 e q = –4 ou p = –4 e q = –4

4. x = 1 ou x = 3

5. a)

b) x = 1

TEMA 22

Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios

Page 168: Mate Matic a Element a Riv

168

UEA – Licenciatura em Matemática

IGUALDADE, SOMA E SUBTRAÇÃO DENÚMEROS COMPLEXOS

Pág. 95

1. a) x = 4 e y = –4b) x = 9 e y = 3c) x = –3 e y = 4 ou x = 5 e y = 4d) x = 4 e y = 0e) x = –5 e y = –3

2. a = –5 e b = 73. x = 6 e y = –7

Pág. 97

1. a) 5 + i b) 5 – ic) –3i d) 4 – i

2. a) Re(z) = 5 e Im(z) = 3 b) Re(z) = –7 e Im(z) = 5

3. a) x = 0 e y =

c) x = 0 e y = 0

b) x = – e y =

d) x = 3 e y =

4.

5. a) –4 + 6ib) –1 – 4ic) –7 + 4id) 4 + 6ie) –5 – 2if) 11 + 2i

6. a)

b)

c)

7. a) 3 ib) + 1 + (– – 1)ic) 2 + + (–1 – )i

8. a) 8 + 4i c) – 2i

b) 16i d) – i

9. a) 6

b)

c) 2md) –2bi

10. a) c)

b)

d) 7x – 5yi

11. a) x = –2, y = –

b) x = 4, y = 2 12. x = 5, y = 613. x = 2, y = 3

TEMA 23

MULTIPLICAÇÃO, CONJUGADO E DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

NA FORMA ALGÉBRICA

Pág. 99

1. a) 3 + i e) –8ib) 1 – 5i f) –8 + 6ic) –1 + 5i g) 48 + 64id) 8 + 4i h) 3 + 7i

2.

3. Demonstração4. x = 15. a) 24 – 2i c) 17 + 30i

b) 7 + 4i d) 10 – 6i6. a) 25 + 2i

b) –3 + 3ic) –4 – 3i

7. x = 2 y = 4 8. x = 2 e y = 19. a) z1

b) z2

10. 2 + 5i e 2 – 5i11. –3 + i e –3 – i

Page 169: Mate Matic a Element a Riv

169

12. a) 1+ 5ib) 26c) 10 + 2id) 26 + 26i

13. a) 17

b)

c)

d)

14. a) –6b) 6 + 12ic) 2 + 2 i

15. a) –3 + 2ib) –6 + 3ic) 4 – 3i

d) 16. a) 12 + 6i

b)

c) 2 – id) –1 – 12 i

17. a) –10 – 4ib) 24 – 7i

18. a) –3 + 9ib) –25 + 22i

19. a) x = –1, y = 1 ou x = –2, y = 2b) x = y = ±1

Pág. 100

1. a) z– = 8 + ib) z– = 1 + ic) z– = 13 d) z– = –7ie) z– = p + qi

2. a) z = 3 – 2ib) z = 1 – 4ic) z = 2 – 2id) z = ie) z = 1 – i ou z = 1 + i

3. Demonstração4. z– = –2 – 8i5. z– = 15 – 25i

6. Demonstração7. z = –i8. z = 2 + 3i ou z = –2 + 3i

Pág. 101

1. a) e)

b) f) –2i

c) g)

d) + i

2. a)

b) 3. 34. z= = 3 + 5i5. a) k = 4

b) k = –16. Demonstração7. z = 3 + 2i

8.

9. a)

b)

c) d) – i

10. a)

b)

c)

d)

Unidade VIINúmeros complexos na forma

Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios

Page 170: Mate Matic a Element a Riv

170

UEA – Licenciatura em Matemática

trigonométrica

TEMA 24

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA, MÓDULO EARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Pág. 106

1.

2. a) z1 = –3 + ib) z2 = 3ie) z5 = –1 + ic) z5 = –4 – 3id) z4 = –5f) z5 = –2 + 2i

3.

4.

5.

6.

7.

Pág. 107

1. a) ρ1 = 5 d) ρ4 = b) ρ2 = 2 e) ρ5 = c) ρ3 = 5

2. a) 5 b) +

c)

d) 10e) 5f)

3. a) b) 625 c) 2

4. a) 4 e) 3b) 5 f) 3c) 13 g) 4

Page 171: Mate Matic a Element a Riv

171

d) 1 h)

5. 136. 4

7.

8. |z| = 10

Pág. 109

1. a)

b)

c)

TEMA 25

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO

Pág. 111

1. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios

Page 172: Mate Matic a Element a Riv

172

UEA – Licenciatura em Matemática

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n) ρ = 5, θ = 0z = 5(cos 0 + isen 0)

o) ρ = 5, θ = πz = 5(cos π + isen π)

2. a) z = 3 + 3 ib) z = – + i

c)

d) z = –2 – 2ie) z = –7f) z = –2 –2i

Page 173: Mate Matic a Element a Riv

173

3. a)

b)

c)

4. a)

b)

5.

6. a)b)

7.

8. z = 9(cos 0 + isen 0)

9.

TEMA 26

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO COM NÚMEROSCOMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Pág. 113

1. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

2.

3.

Pág. 114

1. a)

b)

c)

2. a)

b)

TEMA 27

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROSCOMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Pág. 116

1. a) –4 e) 64b) 256 f) –104

c) –8i g) –250

d) 81 i

2. a) c) –625 i

b) –125 d) 156253. a) – 2 – 2i b) –972 + 972i

c) 64 – 64 i d) –299 – 299 ie) – 8 – 8 i f) –512i

g) h) –317i

4. n = 4

Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios

Page 174: Mate Matic a Element a Riv

174

UEA – Licenciatura em Matemática

Pág. 119

1. –2i, 2i, –2 e 2

2.

3.

4. a) e

b)

,

e

c) ,

,

e

e

d) ,

,

e

e)

e

5.

Pág. 119

1. A 2. A 3. C 4. B5. B 6. B 7. B 8. B9. D 10. A 11. A 12. A13. E 14. C 15. C 16. A17. D 18. C 19. C 20. A21.E 22. E 23. E 24. C

25. B 26. E 27. D 28. A29. A

Unidade VIIIPolinômios

TEMA 28

POLINÔMIOS

Pág. 128

1. a) 4. b) 3, se a ≠ 0; 2 se a = 0c) 2, se a ≠ 3; 1, se a = 3.d) 1.

Page 175: Mate Matic a Element a Riv

e) 0 f) 2, se a ≠ 0;

1, se a = 0 e b ≠ 0;0, se a = b = 0 e c ≠ 0;não se define grau se a = b = c = 0.

2. a) S = 0 e t = 64b) S = -18 e t = 4c) S = 32 e t = 0d) S = 6 e t = 25

3. a) -8; 0; 0; 4.b) -1 e 2c) k = 1d) k = 8e) k = -4 f) k = 5 g) a = 3 e b = 1.

4. a) a = 1; b = -2; c = -1b) a = 4; b = -8; c = 4.

TEMA 29

POLINÔMIOS IDÊNTICOS E OPERAÇÕESCOM POLINÔMIOS

Pág. 129

1. a) a = 5; b = 3; c = –3b) c = ± 1; b = 3; c = ± 3c) a = –3; b = 4d) a = 0 ou a = 1

2. a) (x – 1)2 – (x – 4)2

b) (x + 3)2 – (x – 1)2

c)

d)

131

1. a) P(x) = 5x2 – 3x + 5b) P(x) = 3x2 – 2x – 1

c) P(x) = x2

2. m = 2 e n = 4

TEMA 30

DIVISÃO DE POLINÔMIOS (PARTE I)

Pág. 132

1. x2 + 5x – 1 2. 3x – 23. 2x + 3 4. zero

TEMA 31

DIVISÃO DE POLINÔMIOS (PARTE II)

Pág. 133

1. Q(x) = x2 – x + 9 e R(x) = –12x2. x2 + x + 2

3. x –

Pág. 135

1. 332. 13. não é divisível.4. m = 3 e n = –75. (x – 2)

TEMA 32

DIVISÃO DE POLINÔMIOS (PARTE III)

Pág. 136

1. a) Q(x) = 5x3 – 4x2 +2x –3 e R = 1b) Q(x) = x4 –+ x3 + 2x2 – x + 2 e R = 0

175

Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios

Page 176: Mate Matic a Element a Riv

c) Q(x) = x2 – x + 1 e R = 4

d) Q(x) = x3 – 3x2 + 9x – 27 e R = 72

2. –2

Pág. 136

POLINÔMIOS

1. c 6. e 11. b 16. e

2. d 7. a 12.e 17. b

3. e 8. c 13. c 18. b

4. e 9. b 14. e 19. d

5. a 10. c 15. e

POLINÔMIOS - OPERAÇÕES

1. b 10. e 19. b 28. c

2. c 11. a 20. e 29. d

3. d 12. b 21. e 30. b

4. d 13. e 22. e 31. e

5. d 14. b 23. a 32. b

6. d 15. c 24. e 33. a

7. a 16. b 25. c 34. c

8. c 17. d 26. c 35. e

9. e 18. c 27. c 36. e

UNIDADE IXEquaçãoes algébricas

TEMA 33

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Pág. 143

1. (x – 4).(x + 2).(x – 6)

2. (x – 3)(x + 5)(x + i )(x – i )

3. –2i, 2i, –2 e 2

4. 1, i , –i

TEMA 34

MULTIPLICIDADE DAS RAÍZES E RAÍZES COMPLEXAS

Pág. 146

1. a) 1b) 3c) 2

2. a) 3b) 3

Pág. 147

1. 52. (x – 2)(x – 1 – 5i)(x – 1 + 5i) = 03. {–2, –1, 3 – 2i, 3 + 2i} 4. –i e i

TEMA 35

RAÍZES RACIONAIS

Pág. 148

1. – 4, –2, –1, 1, 2 e 4

2.

3. a) {–3, 2, 3}

b)

c)

4. 45. 4

6. a)

b) 2cm7. 58. 3dm

176

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 177: Mate Matic a Element a Riv

TEMA 36

RELAÇÕES DE GIRARD

Pág. 151

1. a) 2

b) –13

c)10

2. m = –10, n = 31 e p = –30

3. 2x3 – 5x2 – 9x + 18 = 0

4. a)

b) 15, 74, 120

5. a) 440

b)45

c)

6. {–7, 1, 7}

7. {–5, –3, 2}

8. – 2, 2 e 6

Pág. 151

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TEOREMA DA

DECOMPOSIÇÃO TEOREMA DE D' ALEMBERT

1. c 6. c 11. a 16. c

2. b 7. d 12. c 17. d

3. a 8. d 13. c

4. e 9. a 14. e

5. e 10. b 15. e

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TEOREMA DAS

RAÍZES RACIONAIS E COMPLEXAS

1. e 5. c 9. a

2. e 6. b 10. d

3. d 7. d 11. b

4. d 8. a 12. a

EQUAÇÕES ALGÉBRICASRELAÇÕES DE GIRARD

1. b 6. d 11. d 16. a2. b 7. b 12. a 17. b3. c 8. a 13. a 18. d4. d 9. b 14. c 19. a5. b 10. b 15. b

177

Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios

Page 178: Mate Matic a Element a Riv
Page 179: Mate Matic a Element a Riv

CALCULU'S - O lado divertido e curioso da vida: paginas.terra.com.br/educacao/calculu .Acesso10/12/2006

Só Matemática: www.somatematica.com.br/biograf/abel.php . Acesso 10/12/2006

Matemática Essencial: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html>. Acesso em 10/12/2006

Do Carmo, Manfredo Perdigão, Trigometria e Números Complexos, SBM.

Iezzi, G.: Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 3, Atual Editora.

IEZZI Gelson et.al. Matemática. São Paulo: Atual, 1997.

PAIVA, Manoel R. Matemática. São Paulo: Moderna, 2000. vol 1 e 3.

Lima, E. L. [et al]. A Matemática do Ensino Médio - Coleção do Professor de Matemática - SociedadeBrasileira de Matemática - Vols 1 e 3.

Antar Neto, A. Matemática Básica. São Paulo, Atual, 1991.

Bianchini, E. e Paccola, H. Matemática. São Paulo, Moderna, 2004. v. I, II e III.

Dante, L. R. Matemática: Contexto & Aplicação. São Paulo, 2004. v. III

BUCCHI, Paulo. Curso prático de Matemática. São Paulo: Moderna. Vol 1 e 3

Gentil,N. et al. – Matemática para o segundo grau. São Paulo, Ática, 1997. Vol 3.

Machado, A. S. – Matemática na escola do segundo grau. . São Paulo, Atual, 1996. Vol 3.

REFERÊNCIAS