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matA10 – lógica e teoria de conjuntos
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Proposições
Uma proposição é toda a expressão p suscetível de ser verdadeira ou falsa.
Uma proposição verdadeira tem o valor lógico de V ou 1 (verdade).
Uma proposição falsa tem o valor lógico de F ou 0 (falsidade).
Operações com proposições
Negação
p ~ p
V F
F V
Conjunção
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjunção
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
Implicação
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Equivalência
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
Disjunção exclusiva
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
Propriedades das operações lógicas
Princípio da não contradição
~ Fp p
Princípio do terceiro excluído
~ Vp p
Comutatividade Associatividade
p q q p
p q q p
p q r p q r
p q r p q r
Elemento neutro Elemento absorvente
Vp p
Fp p
F Fp
V Vp
Distributividade Leis de De Morgan
p q r p q p r
p q r p q p r
~ ~ ~p q p q
~ ~ ~p q p q
Implicação e disjunção
~p q p q
Negação da implicação
~ ~p q p q
Implicação contrarrecíproca
~ ~p q q p
Transitividade da implicação
p q q r p r
Dupla implicação
p q q p p q
Dupla negação
~ ~ p p
Operação lógica e expressões
Operação Expressão Operação Expressão
Negação ~ não
não é verdade que … Implicação se … então …
Conjunção … e … Equivalência
… se e somente se …
… se e só se … Disjunção … ou …
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Expressão proposicional ou condição
Uma expressão proposicional ou condição é uma expressão p x envolvendo a variável x, tal que, substituindo a variável
por um objeto a, obtém-se uma proposição p a .
Quantificadores
Quantificador universal:
Se p x é uma condição universal em U, a expressão ,x U p x é uma proposição verdadeira.
Quantificador existencial:
Se p x é uma condição possível em U, a expressão ,x U p x é uma proposição verdadeira.
Condições
Representação
, , x U p x x x U p x
: : x U p x x x U p x
Propriedades
Se p x é uma condição qualquer, u x é uma condição
universal e i x é uma condição impossível, verifica-se:
Negação de uma condição
A negação de uma condição impossível é uma condição
universal.
A negação de uma condição universal é uma condição
impossível.
~ , : ~ x U p x x U p x
~ : , ~ x U p x x U p x
p x u x u x
p x i x p x
p x u x p x
p x i x i x
Segundas leis de De Morgan
~ , : ~ x p x x p x
~ : , ~ x p x x p x
Negação de uma implicação
~ , : ~ x p x q x x p x q x
Dupla implicação
, , x p x q x q x p x x p x q x
Contrarrecíproco
, , ~ ~ x p x q x x q x p x
Contraexemplo
Para provar que , x U p x é uma proposição falsa, basta apresentar um contraexemplo, isto é, a U , tal que p a é
falsa.
Conjuntos e condições
Condições definidas em U Relações entre conjuntos-solução em U
a x A
b x B
~ a x negação A complementar
a x b x conjunção A B interseção
a x b x disjunção A B reunião (ou união)
a x b x implicação A B inclusão
a x b x equivalência A B igualdade
: A B x x A x B
: A B x x A x B
\ , A B x x A x B
, A B x x A x B
A B B A A B
Se B A , então \ A B B é o complementar de B em A
Condições
Impossíveis
Possíveis
Não universais
Universais