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MAT146 - Calculo I - Continuidade e Assıntotas

Alexandre Miranda AlvesAnderson Tiago da Silva

Edson Jose Teixeira

MAT146 - Calculo I - Continuidade e Assıntotas UFV

DefinicaoUma funcao f : I → R, onde I ⊂ R e um intervalo nao degenerado econtınua a direita em a se

limx→a+

f (x) = f (a).

Uma funcao f : I → R, onde I ⊂ R e um intervalo nao degenerado econtınua a esquerda em a se

limx→a−

f (x) = f (a).

Assim, definiremos a continuidade em um ponto interior a do domınio deuma funcao f , se, e somente se, ela for contınua tanto a direita em aquanto a esquerda em a.


Em outras palavras, temos a seguinte definicao

DefinicaoDizemos que uma funcao e contınua em um ponto interior a de seudomınio se, e somente se,

limx→a

f (x) = f (a).

Definicoes mais especıficas podem ser extraıdas a partir da ultima definicao,como a seguinte:

DefinicaoDizemos que uma funcao e contınua em um intervalo aberto se, esomente se, ela for contınua em todos os numeros do intervalo aberto.


Agora, podemos definir continuidade em um intervalo fechado.

DefinicaoUma funcao cujo domınio inclui o intervalo fechado [a, b] sera contınuaem [a, b] se, e somente, ela for contınua no intervalo aberto (a, b),contınua a direita em a e contınua a esquerda em b.

ObservacaoUsando a condicao (ε, δ), podemos expressar a definicao de limite daseguinte forma.

DefinicaoA funcao f sera contınua em um ponto interior a de seu domınio se festiver definida em um aberto contendo a e se para todo ε > 0, existirum δ > 0, tal que

se | x − a |< δ, entao | f (x)− f (a) |< ε.


ExemploSeja f definida por

f (x) =

{2x + 1 se x 6= 2

1 se x = 2

Neste exemplo, a funcao f esta definida em todos os numeros reais, ouseja, Dom(f ) = R.. Observe que existe uma ”quebra”no grafico ondex = 2. Assim, devemos verificar se lim

x→2f (x) = f (2).

Por definicao da funcao, f (2) = 1. Como

limx→2

2x + 1 = 5 6= 1 = f (2),

f e descontınua em x = 2.


Seja a 6= 2 ∈ R. Como f (a) = 2a + 1 e

limx→a+

f (x) = limx→a−

f (x) = 2(a) + 1 = f (a),

entao f e contınua para todo x ∈ R, tal que x 6= 2.


Intuitivamente, qualquer funcao y = f (x) cujo grafico possa ser esbocadosobre seu domınio em um movimento contınuo, sem levantar o lapis, e umexemplo de funcao contınua.

DefinicaoUma funcao contınua e aquela contınua em cada ponto de seu domınio.


Figura : Continuidade da funcao f (x) = x2 no ponto (√

2, 2)


ExemploSeja f definida por

f (x) =x

x2 + 1

Observe que o grafico acima de f pode ser esbocado em um movimentocontınuo, sem levantar o lapis. Isto nos diz intuitivamente que f econtınua em todo ponto x ∈ R.


ExemploConsidere a seguinte figura que representa o grafico de uma funcaodescontınua.

Nela, os limites laterais existem e limx→0

f (x) 6= f (0).

Esta descontinuidade e removıvel e sera definida formalmente a seguir.


DefinicaoSeja f uma funcao descontınua em um numero a, mas para o quallimx→a

f (x) existe. Assim,

limx→0

f (x) 6= f (a).

Tal descontinuidade e chamada de descontinuidade removıvel, pois sef for redefinida em a de tal forma que lim

x→0f (x) = f (a), a funcao tornar

se-a contınua em a.

Se a continuidade nao for removıvel, ela sera chamada dedescontinuidade essencial.


No exemplo anterior, abordamos uma funcao com uma descontinuidaderemovıvel.Vejamos agora um exemplo de funcao com uma descontinuidade essencial.

Exemplo

Seja f (x) =

{3x + 2, se x < 2−x + 7, se x ≥ 2

Como

limx→2−

f (x) = limx→2−

3x + 2 = 8 e limx→2+

f (x) = limx→2+

−x + 7 = 5,

nao existe limite de f (x) quando x → 2.


Propriedades de Funcoes Contınuas

No proximo teorema, veremos quando podemos realizar operacoes comfuncoes contınuas em um ponto e ainda obter uma funcao contınua.

TeoremaSe as funcoes f e g sao contınuas em a, entao as seguintes funcoes saocontınuas em a:

1. f + g2. f − g3. k · f4. f · g5. f /g , desde que g(a) 6= 06. f n sendo n um inteiro positivo

7. n√

f desde que seja definida em um intervalo aberto contendo a, en seja um inteiro positivo.


Compostas

No proximo teorema, veremos sobre a continuidade da composta defuncoes.

TeoremaSe f e uma funcao contınua em a e g e uma funcao contınua em f (a),entao a composta g ◦ f e continua em a

Neste caso, limx→a

g(f (x)) = g(f (a)).


Teoremas Envolvendo Continuidade

A seguir, enunciaremos alguns teoremas sobre a continuidade de algumasfuncoes.

TeoremaUma funcao polinomial e contınua em todo numero real.

TeoremaUma funcao racional e contınua em todos os numeros de seu domınio.

TeoremaSe n for um inteiro positivo e f (x) = n

√x, entao:

(i) Se n for ımpar, f sera contınua em todo numero real.

(ii) Se n for par, f sera contınua em todo numero positivo a.



TeoremaA funcao exponencial f (x) = ax , com a > 0, a 6= 1 e contınua.

TeoremaA funcao logarıtmica f (x) = loga(x) com a > 0 e a 6= 1 e contınua emtodo seu domınio.



Um teorema bastante utilizado nao so na demonstracao do limitefundamental

limt→0

sin t

t

e o teorema conhecido por Teorema do Sanduıche que enunciaremos aseguir:

TeoremaSuponha que as funcoes f , g e h estejam definidas em algum intervaloaberto I contendo a, exceto possivelmente no proprio a e que

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ I , tal que x 6= a.

Suponha tambem que limt→a

f (x) e limt→a

h(x) existam e tenham o mesmo

valor L. Entao, limt→a

g(x) existe e e igual a L.



Com o teorema do sanduıche, podemos provar o seguinte teorema:

Teoremalimt→0

sin t

t= 1

ExemploCom o teorema anterior, podemos agora, calcular o seguinte limite

limx→0

sin 3x

sin 5x.

limx→0

sin 3x

sin 5x=

limx→0

sin 3x

limx→0

sin 5x=

lim3x→0

3sin 3x

3x

lim5x→0

5sin 5x

5x

=3

5

lim3x→0

sin 3x

3x

lim5x→0

sin 5x

5x

=3

5· 1

1=

3

5.



TeoremaA funcao sin(x) e contınua em todos os numeros reais.

TeoremaA funcao Cosseno e contınua em todos os numeros reais.

TeoremaA funcao tangente, cotangente, secante e cossecante sao contınuas emseus domınios.



Teorema

limt→0

1− cos t

t= 0

Prova:

limt→0

1− cos t

t= lim

t→0

(1− cos t)(1 + cos t)

t(1 + cos t)

= limt→0

(1− cos2 t)

t(1 + cos t)

= limt→0

sin2 t

t(1 + cos t)

= limt→0

sin t

t· limt→0

sin t

(1 + cos t)

= 1 · limt→0

sin t

(1 + cos t)=

0

1 + 1= 0


Os limites infinitos podem ser aplicados para encontrar assıntotas verticaisde um graficos, se elas existırem. A figura abaixo que representa o graficoda funcao f (x) = 1

x−2

Neste caso, quanto mais os valores de x se aproximam do numero 2, ografico de f (x) se aproxima da reta x = 2.


DefinicaoA reta x = a sera uma assıntota vertical do grafico da funcao f , se pelomenos uma das alternativas abaixo for verdadeira:

(i) limx→a+

f (x) = +∞

(ii) limx→a+

f (x) = −∞

(iii) limx→a−

f (x) = +∞

(iv) limx→a−

f (x) = −∞

ObservacaoDada uma funcao f contınua, pode existir mais de uma assıntota verticale o grafico nunca interceptara tais assıntotas.

Geometricamente, a assıntota vertical do grafico de uma funcao f e areta paralela ao eixo Oy que passa pelo ponto (a, 0).


Exemplo

Ache a(s) assıntota(s) vertical(is) da funcao f (x) =x + 2

x2 − 4.

Observe que os candidatos a assıntotas verticais sao x = 2 e x = −2,pois sao os valores que satisfazem a equacao x2 − 4 = 0.Como

limx→−2

x + 2

x2 − 4= lim

x→−2

x + 2

(x − 2)(x + 2)= lim

x→−2

1

x − 2= −1

4,

x = −2 nao e uma assıntota vertical.


Como

limx→2−

x + 2

x2 − 4= lim

x→2−

x + 2

(x − 2)(x + 2)= lim

x→2−

1

x − 2= −∞

e

limx→2+

x + 2

x2 − 4= lim

x→2+

x + 2

(x − 2)(x + 2)= lim

x→2+

1

x − 2= +∞,

pela definicao, a reta x = 2 e uma assıntota Vertical.


Segue o grafico da funcao f (x) =x + 2

x2 − 4e de sua assıntota.


DefinicaoUma reta y = b e uma assıntota horizontal do grafico de uma funcaoy = f (x) se pelo menos uma das seguintes afirmacoes for valida:

(i) limx→+∞

f (x) = b e existe um numero N, tal que, se x > N,

entao f (x) 6= b.

(ii) limx→−∞

f (x) = b e existe um numero N, tal que, se x < N,

entao f (x) 6= b

ObservacaoA assıntota horizontal pode nao ser unica e o grafico da funcao y = f (x)pode interceptar a assıntota.


ExemploEncontre a(s) assıntota(s) horizontal(is) da funcao f (x) = x2−4x+2

3x2−2 .

Observe que

limx→∞

x2 − 4x + 2

3x2 − 2= lim

x→∞

x2(1− 4x + 2

x2 )

x2(3− 2x2 )

= limx→∞

(1− 4x + 2

x2 )

(3− 2x2 )

=1

3,

e,

limx→−∞

x2 − 4x + 2

3x2 − 2= lim

x→−∞

x2(1− 4x + 2

x2 )

x2(3− 2x2 )

= limx→−∞

(1− 4x + 2

x2 )

(3− 2x2 )

=1

3,


ExemploSe x > 2

3 , entao −x < − 23 .

Logo,

−4x < −8

3= −2− 2

3. Assim, − 4x + 2 < −2

3.

Somando x2 em ambos os lados da igualdade obtemos

x2 − 4x + 2 < x2 − 2

3= (3x2 − 2) · 1

3.

Portandox2 − 4x + 2

3x2 − 2<

1

3.

Tomando N = 23 , se x > N, entao f (x) 6= N. Portanto, reta y = 1

3 euma assıntota horizontal.


Segue o grafico da funcao f (x) = x2−4x+23x2−2 e de sua assıntota horizontal.


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