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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSACentro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CCE

Departamento de Matemática

MAT093, MAT095 e MAT 097

Tutoria de Cálculo Diferencial e Integral

Apostila

DMA - UFV2010

Sumário

1 Função 31.1 Noções básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Domínio e imagem de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Funções pares e ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Função Crescente e Decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Funções inversíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8 Funções exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.9 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.10 Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.11 Exercícios de Geometria Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Limites e continuidade 192.1 Noção intuitiva de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Teorema do confronto (ou “do sanduíche") . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Derivadas 263.1 Coeficiente Angular da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Antiderivadas 344.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Métodos de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1 Integração por substituição ou mudança de variável . . . . . . . . . 35

1

2 SUMÁRIO

4.2.2 Integração de potências de funções trigonométricas . . . . . . . . . 374.2.3 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.4 Integração por Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.5 Integração por Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . 44

5 Integral Definida 515.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 Propriedades da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3 Área entre Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Construção de Gráficos 586.1 Funções Crescentes e Funções Decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2 Extremos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2.1 Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos . . . . . . . . 606.3 Teste da Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3.1 Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos . . . . . . . . 616.4 Assíntotas Verticais, Horizontais e Oblíquas . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.5 Esboço de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7 Aplicações de Derivada 657.1 Taxas de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.3 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.3.1 Diretrizes para a resolução de problemas de otimização . . . . . . . 67

Capítulo 1

Função

1.1 Noções básicas

1. O que é uma função? Dê um exemplo. A equação satisfeita pelos pontos de umacircunferência é uma função?

2. O que são o domínio e a imagem de uma função?

3. O que é variável? Considere uma função em que a variável está indicada por x. Setrocarmos x por outra letra, por exemplo t ou s, a função muda? Estabeleça asdiferenças entre variável independente e variável dependente.

4. Quando duas funções são iguais?

5. O que é um par ordenado? Dê exemplos práticos.

6. O que se entende por plano cartesiano e coordenadas de um ponto no plano ?

7. O que se entende por gráfico de uma função?

8. O que entendemos por função polinomial?

Exercícios

1. Dadas as curvas representadas na figura 1.1, quais representam gráfico de função?Justifique sua resposta.

2. Dadas as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = −x2 + 2x− 1, pede-se

(a) Calcular f(0), g(0), f(2) e f(3) + g(2);

(b) f(1 + a) é igual a f(1) + f(a), onde a é um número real?

(c) Existe algum x que anula f ou g? Caso exista, determine-o(s).

3

4 Função

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

x

y

-2 2 4 6

500

x

y

-3 -2 -1 1 2 3-2

2

4

6

x

y

Figura 1.1: Exercício 1

1.2 Domínio e imagem de uma funçãoDomínio de uma função f

É o conjunto de todos os valores admissíveis de x (variável independente) e o deno-tamos por Df .Exemplo: Para f(x) =

√x2 − 1, temos

Df = {x ∈ R : x2 − 1 ≥ 0} = {x ∈ R : x ≥ 1 ou x ≤ −1}.

Imagem de uma função fÉ o conjunto Imf de todos os valores y tal que f(x) = y, para algum x no domínio

de f . Em notação de conjunto escrevemos

Imf = {y ∈ R : ∃ x ∈ Df com f(x) = y}.

Qual é o conjunto imagem da função f(x) =√

x2 − 1?

Exercícios

1. Seja f(x) = ax + b, onde a, b ∈ R. Esta é uma função polinomial de grau 1 (ouafim se b 6= 0 e linear caso b = 0). Seu gráfico é uma reta, que pode ser obtida comapenas dois pontos distintos. Pede-se:

(a) Df .

(b) Traçar os gráficos da função f , no mesmo plano cartesiano, para a = 2 e bassumindo os seguintes valores: −2, 0 e 3.

(c) Onde as retas obtidas acima interceptam o eixo y (eixo das ordenadas)? Háalguma relação com o valor adotado por b? Por que isto ocorre? Como o valor b échamado?

(d) Mantendo a fixo e variando o valor de b o que ocorre com as retas resultantes?Como o valor a é chamado?

(e) Traçar os gráficos da função f , no mesmo plano cartesiano, para b = 2 e aassumindo os seguintes valores: −5, 0 e 1.

Domínio e imagem de uma função 5

(f) Que característica observada nos gráficos deve-se ao valor 2 adotado por b?

(g) Descreva suas observações referentes à influência do valor adotado por a notraçado das retas. E, quando a = 0, qual o nome dado à função obtida?

(h) Calcule o valor em que cada reta, obtida no item (e), intercepta o eixo dasabcissas, ou seja, calcule as raízes das funções.

(i) Para que valores de x ∈ R temos f(x) > 0 ou f(x) < 0, considerando as funçõesobtidas no item (e). Estas funções são crescentes ou decrescentes?

2. Seja h(t) = at2 + bt + c, onde a, b, c ∈ R, com a 6= 0. Esta é uma função polinomialde grau 2 (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. Pede-se:

(a) Traçar os gráficos da função h, no mesmo plano cartesiano, para a = 1, b = −2e c assumindo os seguintes valores: −3, 1 e 4.

(b) Considerando o item (a) responda, em que ponto cada curva intercepta o eixodas ordenadas? Comente a relação existente com os valores adotados por c.

(c) Determine, justificando suas respostas, para que valores de c a função h admite:

i. duas raízes reais;

ii. uma raiz real;

iii. nenhuma raiz real.

(d) Calcule as raízes das funções obtidas no item (a).

(e) Esboçar os gráficos da função h, no mesmo plano cartesiano, para b = 0, c = −3e a assumindo os seguintes valores: −1, 1 e 2.

(f) O valor de a pode influenciar o número de raízes reais de h? Justifique.

(g) Determine o intercepto das curvas com o eixo das ordenadas e verifique suarelação com os valores de c.

(h) Descreva a(s)característica(s) determinada(s) pelo valor de a.

(i) Para que valores de t ∈ R temos h(t) > 0 e h(t) < 0, das funções obtidas no item(a)?

(j) Determine o ponto de máximo ou de mínimo das funções obtidas no item (e) eavalie sua concavidade.

3. Faça um esboço do gráfico das seguintes funções e encontre o domínio e a imagemde cada uma:

(a) f(x) =

{1 + x, se x > 2

1− x2, se x ≤ 2

(b) f(x) =

9− x2, se x < 09, se 0 ≤ x < 3

16− x2, se x ≥ 3

6 Função

4. Qual o domínio das funções abaixo?

(a)f(x) =

√x + 2

x2 − 1(c)f(x) =

x4 + 2x

x2 + x + 1(e)f(x) =

√x2 − 2

x− 1

(b)f(x) = ( 3√

2x + 3)(√

x− 1) (d)f(x) =

√x− 1

x2 − 4

5. As funções reais f e g cujas leis de formação são f(x) =

√3x− 2

2x + 3e g(x) =

√3x− 2√2x + 3

são iguais? Justifique sua resposta.

6. Em um curso de cálculo é fundamental conhecermos os gráficos das funções e en-tender o que eles significam. Não precisamos conhecer o gráfico de todas as funçõesmas ao menos o das principais. Os gráficos das funções polinomiais de grau 1 e 2 jásão conhecidos (a reta e a parábola). É interessante conhecer também os gráficosdas funções de grau 3, mas mais importante é entender o que ele significa. Vamosestudar um pouco o gráfico de uma função cúbica (grau 3). Consideremos, porexemplo,

g(x) = x3 − 7x− 6 = (x− 3)(x + 1)(x + 2).

O gráfico de g está ilustrado na figura 1.2 abaixo:

-4 -2 2 4

-40

-20

20

x

y


(a) Determine os valores para os quais g(x) = 0 (as raízes de g).

(b) Determine os subconjuntos dos números reais onde g(x) > 0 e onde g(x) < 0.

(c) Esboce o gráfico da função h(x) = −g(x).

7. Relacione as funções dadas abaixo com seus respectivos gráficos ilustrados na figura1.3 (basta estudar as raízes de cada função).

(a) f(x) = x4

(b) g(x) = x4 − 3x3 − 13x2 + 27x + 36 = (x− 4)(x− 3)(x−?)(x−?)

(c) h(x) = x5 − 8x4 + 2x3 + 92x2 − 99x− 180 = (x− 5)(x− 4)(x− 3)(x + 1)(x + 3)

Funções pares e ímpares 7

(d) p(x) = x2 + 2x

(e) r(x) = 5x− 3

-5

5

x

y

-4 -2 2 4

50

100

150

x

y

-4 -2 0 2 4

100

200

x

y

-3 -2 -1 1

-1

1

2

3

x

y

-2 2 4

-200

-100

100

200

x

y


8. Dadas as funções f(x) =√

4− x2 e g(x) =√

x2 − 3x. Determine:

(a) (f + g)(x), (f − g)(x), (f · g)(x),(

f

g

)(x).

(b) Domínio de f , g, f + g, f − g, f · g, f

g.

9. Um estudo das condições ambientais de uma comunidade suburbana indica que ataxa média diária de monóxido de carbono (CO) no ar será de C(p) = 0, 5p + 1partes por milhão, quando a população for de p milhares. Imaginemos que, daqui at anos, a população da comunidade será de p(t) = 10 + 0, 1t2 milhares.

(a) Expresse a taxa de CO no ar como uma função do tempo.

(b) Quando o nível de CO atingirá 6, 8 partes por milhão?

10. A função f definida em R−{2} por f(x) =2 + x

2− xé inversível. O seu contradomínio

é R− {a}. Calcule a.

1.3 Funções pares e ímparesUma função f é dita:

• par se f(−x) = f(x) para todo x em seu domínio e

8 Função

• ímpar se f(−x) = −f(x) para todo x em seu domínio.

ExemplosA função f(x) = x2 é par, pois f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x) e a função g(x) = x é

ímpar, pois f(−x) = −x = −(x) = −f(x).O que você pode concluir com relação ao gráfico destas funções?Já a função h, dada por h(x) = x + 1 não é nem par nem ímpar (Verifique!).

Exercícios

1. Verifique se a função é par, ímpar ou nenhum destes dois.

(a) f(x) = 3

(b) g(x) = x4 + 3x2 − 1

(c) h(x) =x

x2 − 1

(d) q(t) = 2|t|+ 1

2. O produto de duas funções pares é par? E o produto de duas funções ímpares?Justifique suas respostas!

3. Uma função pode ser simultaneamente par e ímpar? Jusifique sua resposta!

1.4 Função Crescente e Decrescente

• Uma função é dita crescente no intervalo (a,b) se, e somente se,

∀ x1, x2 ∈ (a, b) com x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)

• Uma função é dita decrescente no intervalo (a,b) se, e somente se,

∀ x1, x2 ∈ (a, b) com x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)

1.5 Função Modular

É a função f : R → R definida por f(u) = |u|. Ela também pode ser escrita da

seguinte forma: f(u) =

{u, se u ≥ 0−u, se u < 0

Exemplo:

1. Seja f : R→ R definida por f(x) = |x2 − 1| ={

(x2 − 1), se x2 − 1 ≥ 0−(x2 − 1), se x2 − 1 < 0

.

Composição de funções 9

Logo temos f(x) = |x2 − 1| ={

x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1−x2 + 1, se −1 < x < 1.

Exercícios

1. Construa o gráfico de cada função modular dada abaixo e determine o seu domínioe sua imagem.

(a) t(u) =|u + 2|u + 2

(b) r(x) = |x− 1|+ |x + 2|

2. Considere a função f definida por

f(x) = |x2 − 2| − |x− 1|.

(a)Escreva f(x) eliminando o módulo, ou seja, escreva f(x) definida por váriassentenças.

(b)Faça um esboço do gráfico de f .

1.6 Composição de funções

Definição: Sejam f e g duas funções tais que Imf ⊂ Dg. A função dada por

y = g(f(x)), x ∈ Df

denomina-se função composta de g e f . É usual a notação g ◦ f para indicar a compostade g e f . Assim

(g ◦ f)(x) = g(f(x)), x ∈ Df .

Observe que g ◦ f tem o mesmo domínio que f .

O domínio de uma função composta f ◦ g é: Df◦g = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df}, ondeDg é o domínio de g e Df é o domínio de f .

Exercícios

1. Usando funções elementares, decomponha as funções abaixo, conforme pedido:

u(x) = (1 + 5x + x2)10 ⇒ u(x) = g(f(x)), onde f(x) = 1 + 5x + x2 e g(x) = x10.

(a) r(x) = 1 +√

1 + x (2 funções)

(b) f(x) =

(2

2x− 3

)2

(3 funções)

10 Função

2. Se f(x) = 4x− 5, g(x) = x2 e h(x) =1

x, resolva:

(a)f(g(0)) (b)g(f(0)) (c)h(f(g(x))) (d)h(h(g(x)))

3. Sejam as funções

f(x) =

x + 1 se x ≤ 0−x2

2se 0 < x ≤ 2

−x

4− 3

2se x > 2

e g(x) =√

x + 1

(a)Faça um esboço do gráfico de f .

(b)Encontre o domínio de g ◦ f .

(c)Encontre (f ◦ g)(x).

4. Sejam f e g funções tais que f(x) =1

x2 − 9e g(x) =

√x2 − 16.

(a)Encontre o domínio de f ◦ g.

(b)Encontre (f ◦ g)(x).

1.7 Funções inversíveis

Uma função f é bijetora quando para todo y em seu contra-domínio existe um únicox no domínio de f tal que f(x) = y.

Uma função f : X → Y se diz inversível se existe uma função g : Y → X, tal queg(f(x)) = idX(x), e f(g(y)) = idY (y), ou seja, a função g associa o valor y = f(x) aovalor g(y) = x. A função g é chamada de função inversa de f e é denotada por f−1.Uma função é inversível se, e somente se, for uma função bijetora.

Exercícios

1. Determine a inversa f−1 e verifique que (f ◦ f−1)(x) = (f−1 ◦ f)(x) = x.

(a) f(x) = 2x + 3

(b) f(x) =2x + 1

x + 3

(c) f(x) = x3 − 1

(d) f(x) = ln(x− 2)

(e) f(x) = x2, x < 0

Funções exponenciais e logarítmicas 11

2. Determine y nas seguintes equações:

(a) lny = 2t + 4

(b) ln(y − 1)− ln2 = x + lnx

3. Considere f(x) = ln(x− 2)

(a) Esboce o gráfico de f ;

(b) Justifique que f é inversível;

(c) Encontre a inversa de f exibindo seu domínio e sua imagem;

(d) Esboce o gráfico de f−1.

1.8 Funções exponenciais e logarítmicas

Se a for um número real positivo qualquer, a função f(x) = ax é chamada funçãoexponencial de base a.

O gráfico de uma função exponencial é crescente caso a > 1, figura 1.8 abaixo àesquerda, e decrescente para 0 < a < 1, figura 1.8 abaixo à direita.

-4 -2 0 2 4

2

4

6

x

y

-2 -1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

x

y

Figura 1.4: Representação gráfica da curva ax, a esquerda para a > 1 e à direita para0 < a < 1.

Se a e b forem números positivos e x e y números reais quaisquer, então

1. axay = ax+y

2. (ax)y = axy

3.ax

ay= ax−y

4. (ab)x = axbx

5. a0 = 1

12 Função

A cada x positivo corresponde um único y tal que x = ay. Escrevemos y = logaxe chamamos y de logaritmo de x na base a. Conseqüentemente, y = logax tem omesmo significado que x = ay. Considerando isso, a função logarítmica de base a,g(x) = loga(x), tem as seguintes propriedades:

1. loga(xy) = loga(x) + loga(y)

2. loga

(x

y

)= loga(x)− loga(y)

3. loga(1) = 0

4. loga(xy) = yloga(x)

O gráfico de uma função logarítmica de base a é crescente se tivermos a > 1, videfigura 1.5 à esquerda, e é decrescente no caso de 0 < a < 1, vide figura 1.5 abaixo àdireita.

-1 1 2 3 4

-20

-10

xy

-1 1 2 3 4

5

10

x

y

Figura 1.5: Representação gráfica da curva logax, a esquerda para a > 1 e à direita para0 < a < 1.

Exercícios

1. Considere as funções f(x) = x2 e g(x) = 2x. O que as diferencia? As propriedadesde potências são válidas para ambas as situações?

2. Faça um esboço dos gráficos das funções: f(x) = 2x e g(x) =

(1

2

)x

e responda:

(a) Em que ponto cada gráfico corta o eixo das ordenadas?

(b) De modo geral, quando a função exponencial será crescente? E decrescente?

(c) Para que valores de x as funções acima estão definidas? Quais os valores quef(x) pode assumir?

3. Determine o domínio das funções definidas pelas expressões abaixo (e ∼= 2, 7182).

(a) f(x) = e

√√√√x−

1

x

Funções trigonométricas 13

(b) f(x) = e

√4x− 3

x2 − 4

4. Faça um esboço do gráfico da função f(x) = log2x e responda às questões (a), (b)e (c) do exercício 2. Que conclusões pode-se retirar, observando-se os gráficos dasfunções f(x) = 2x e f(x) = log2x? Qual a relação entre as respostas do exercício 2com as dadas neste exercício?

5. Sabendo-se que loge2∼= 0, 69 e loge3

∼= 1, 09 calcule loge6 e loge

1

27.

6. Determine o domínio da função definida pela expressão:

(a)f(x) = ln(x2 + 1) (b)y = log(x2−1)(2− x)

7. Resolva as equações abaixo:

(a) 8x+1 = 4x+2

(b) x(log53x + log521) + log5

(3

7

)x

= 0

(c) 52x2−3x−2 = 1

(d) log5x + log5(x− 3) = log54

1.9 Funções trigonométricasConsidere uma circunferência com centro na origem do sistema de coordenadas e raio

1. Imagine agora um ponteiro preso no centro do círculo com extremidade final P , como odo relógio, mas girando no sentido anti-horário a partir do ponto D(1, 0). Se o ângulo queo ponteiro faz com o eixo das abscissas é x radianos, então as coordenadas da extremidadeP do ponteiro que está sobre a circunferência são exatamente (cosx, senx). Veja a figura1.6 abaixo:

1

A

B

C

D

P

x

O

r

Figura 1.6: figura ilustrativa do ciclo trigonométrico.

Assim, temos OA=cosx e OB=senx. Definimos a função seno como a função f de Rem R que a cada x > 0 faz corresponder o número real y =senx (abscissa de P ) e a cada

14 Função

x < 0, faz corresponder a abscissa do ponto P , mas girando no sentido horário a partirdo ponto (1, 0).

Analogamente, definimos a função cosseno como a função f de R em R que a cadax ∈ R faz corresponder o número real y =cosx (ordenada de P ). O domínio da funçãocosseno é R e a imagem é o intervalo [−1, 1]. Na figura, a reta r é a reta tangente aocírculo no ponto D(1, 0).

Na figura 1.7 temos a função cosseno representada pela linha contínua e a funçãoseno pela linha pontilhada.

-4 -2 2 4

-1

1

x

y

Figura 1.7:

A tangente de x é a medida do segmento compreendido entre o ponto (1, 0) e o pontode interseção da reta que contém o ponteiro com a reta r, isto é, tgx = CD. O sinal datangente será positivo se o segmento em questão estiver acima do eixo x, e negativo casocontrário. É fácil ver que tgx =

senx

cosx.

Note que quando x =π

2,3π

2,5π

2, ... =

(2n + 1)π

2, com n = 0, 1, 2, 3, 4, 5... a função

g(x) =tgx não está definida (por quê?).O Gráfico da função tangente está ilustrado na figura 1.8 abaixo:

-4 -2 2 4

-2

2

x

y

Figura 1.8: Gráfico da função tangente


Algumas relações trigonométricas

cos2 x + sen2x = 1 sen2x = 2senx · cos x cos 2x = cos2 x− sen2x

1 + cotg2x = cosec2x 1 + tg2x = sec2x tg(x) =sen(x)

cos(x)

sec(x) =1

cos(x)cossec(x) =

1

sen(x)cotg(x) =

cos(x)

sen(x)=

1

tg(x)

Exercícios

1. Calcule:

(a) o valor de x no triângulo tracejado da figura 1.9.

(b) Utilizando o item (a) mostre que sen45o =1√2, cos45o =

2

2√

2e tg45o = 1.

2

2

2

2

45

x

Figura 1.9: Exercício 1.

2. Usando as relações do seno, cosseno e tangente e observando o triângulo retângulotracejado na figura 1.10, mostre que:

(a) cos30o =cat.adjacente

hipotenusa=

√3

2

(b) tg30o =cat.oposto

cat.adjacente=

1√3·√

3√3

=

√3

3

(c) sen60o =cat.oposto

hipotenusa=

√3

2

(d) cos60o =cat.adjacente

hipotenusa=

1

2

16 Função

x22

1 1


3. Qual o domínio e a imagem da função seno?

4. Apenas observando o círculo trigonométrico (e sabendo que π radianos correspon-dem a 180o), dertemine:

(a) sen(0); cos(0);

(b) sen(π); cos(π);

(c) sen(π

2); cos(

π

2);

(d) sen(−π

4); cos(−π

4);

(e) sen(−3π

2); cos(−3π

2);

(f) sen(2π); cos(2π);

(g) sen(kπ), cos(kπ), k ∈ Z;(h) sen(x + 2π); cos(x + 2π);

5. Determine, se possível, tg(0), tg(π

4

), tg(−π), tg(2π), tg(kπ), k ∈ Z, tg

(π

2

)e

tg(−3π

2

).

1.10 Funções trigonométricas inversas

As funções trigonométricas não são inversíveis, pois não são bijetoras. Contudo, é fácil verque, restrita ao intervalo

[−π

2,π

2

]a função seno é inversível. Sua inversa é a função g(x) =

arcsen(x) chamada arco-seno, vide seu gráfico na figura 1.11 abaixo à esquerda. Como,sen

([−π

2,π

2

])= [−1, 1] então g(x) = arcsen(x) está definida no intervalo

[−π

2,π

2

]. Da

mesma forma, restringindo o domínio da função cosseno e da função tangente é possíveldefinir suas inversas, arccos(x) e arctg(x), vide seu gráfico na figura 1.11 abaixo à direita.

Exercícios de Geometria Analítica 17

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1

1

x

y

-10 -5 5 10

-1

1

x

y

Figura 1.11: Gráfico das funções arcsen(x) e arctg(x, respectivamente).

Exercícios

1. Calcule:

(a) arcsen(0) (b) arccos

(1

2

)(c) arcsen

(−√

3

2

)

(d) arccos

(− 1√

2

)(e) arctg(1) (f) arctg

(1√3

)

2. Mostre que:

(a) arccos(−x) = π − arccos(x)

(b) arcsec(x) = arccos

(1

x

)

(c) arcsec(−x) = π − arcsec(x)

1.11 Exercícios de Geometria Analítica

1. Determine as equações das retas que passam pelos pontos:

(a) P (2, 7) e Q(5, 6);

(b) P (3, 5) e Q(4, 8);

2. Determine se as retas do item a e b do exercício anterior cortam os pontos (1, 3) e(1, 5), respectivamente.

3. Determine se as retas abaixo são perpendiculares.

(a) 3y + 4x− 3 = 0 e 2y − 7x + 2 = 0

(b) 2y + 6x− 4 = 0 e 3y − x + 8 = 0

18 Função

4. Qual é o coeficiente angular da reta3y − 5

5x− 5= 3?

5. Determine o ponto de interseção das retas:

(a){

8x + y = 9x − y = 9

(b){

3x + y − 8 = 0−2y + 6y + 4 = 0

(c){

6x − 3y = 4y − 2x = 3

6. Determine as equações das circunferências:

(a) Raio = 4 e centro (3, 2).

(b) Raio = 1 e centro (0, 0)

7. Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto de interseção das retas3x + 4− y = 0 e x− y + 2 = 0, sendo o raio igual a 3.

8. Determine a equação da circunferência que corta os eixos coordenados nos pontos(0, 2) e (2, 0). (Sugestão: desenhe).

Capítulo 2

Limites e continuidade

2.1 Noção intuitiva de limite

Em geral, se uma função f é definida em todo um intervalo aberto contendo umnúmero real a, com a possível exceção que f(x) não precisa estar definida em a, podemosperguntar:

1. À medida que x está cada vez mais próximo de a (mas x 6= a), o valor de f(x) tendepara um número real L?

2. Podemos tornar o valor f(x) tão próximo de L quanto queiramos, escolhendo xsuficientemente próximo de a (mas x 6= a)?

Se a resposta a estas perguntas é afirmativa, escrevemos

limx→a

f(x) = L

e dizemos que o limite de f(x), quando x tende para a é L, ou que f(x) se aproxima deL quando x se aproxima de a. É possível também fazer essas perguntas considerando xsempre maior do que a, ou sempre menor do que a. O primeiro caso é chamado limitelateral à direita de a e o segundo é chamado limite lateral à esquerda de a. Se aresposta ainda é afirmativa escrevemos

limx→a+

f(x) = L e limx→a−

f(x) = L.

Considere uma função f(x) para a qual tem-se limx→0

f(x) = 0. O que se pode afirmar sobreos valores de f(x) quando x está próximo de 0? Analisemos, por exemplo, qual valor da

função f(x) =1− cos(x)

xquando x se aproxima de zero.

x -0,01 -0,001 -0,0001 0,0001 0,001 0,01

f(x) =1− cos(x)

x-0,004999 -0,000499 -0,000049 0,000049 0,000499 0,004999

19

20 Limites e continuidade

Vimos que ao aproximarmos o valor de x de zero (tanto pela direita quanto pelaesquerda), o valor da função se aproxima do valor zero. Que informação lim

x→0f(x) dá a

respeito da função f(x)?

Propriedades: Se limx→p

f(x) = L e limx→p

g(x) = M , então:

1. limx→p

(f(x) + g(x)) = limx→p

f(x) + limx→p

g(x) = L + M

2. limx→p

(f(x).g(x)) = limx→p

f(x). limx→p

g(x) = L.M

3. limx→p

(k.f(x)) = k. limx→p

f(x) = k.L

4. limx→p

f(x)

g(x)=

limx→p

f(x)

limx→p

g(x)=

L

M, se M 6= 0

Exercícios

1. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→−1

√x2 + 8− 3

x + 1(b) lim

x→−5

x2 + 3x− 10

x + 5(c) lim

x→−2

−2x− 4

x3 + 2x2

(d) limx→3

ln|x− 4| (e) limx→1

x3 − 6x2 + 11x− 6

x2 − 1(f) lim

x→0−

1

x2

(g) limx→−√2

x2 − 2

x +√

2(h) lim

x→4

3−√5 + x

1−√5− x(i) lim

x→0

√x + 2−√2

x

(j) limx→1

3√

x− 1

x− 1(k) lim

y→5

y − 5

y2 − 25(l) lim

t→1

t4 − 1

t3 − 1

(m) limx→0,5−

√x + 2

x + 1(n) lim

x→−2+

{(x

x + 1

)(2x + 5

x2 + x

)}(o) lim

x→−2−(x− 3)

|x + 2|x + 2

(p) limx→1−

√2x(x− 1)

|x− 1| (q) limx→1

x− 1√x + 3− 2

(r) limx→−3

x√

x2

(s) limx→0

√x + 1− 1

x(t) lim

x→−∞2x + 5√2x2 − 5

(u) limx→7

√x−√7√

x + 7−√14

(v) limx→p

n√

x− n√

p

x− p

Teorema do confronto (ou “do sanduíche") 21

2. Calcule os limites no infinito

(a) limx→∞

x5 + x4 + 1

2x5 + x + 1(b) lim

x→∞

√x2 + 1

3x + 2(c) lim

x→∞

3√

x3 + 2x− 1√x2 + x + 1

(d) limx→∞

√x + 3

√x

x2 + 3(e) lim

x→∞(x−

√x2 + 1) (F ) lim

x→∞(√

x + 1−√x + 3)

(g) limx→∞

(x− 3√

2 + 3x3) (h) limx→∞

√x + 1

x + 3(i) lim

x→∞(

√x +

√x−√x− 1)

2.2 Teorema do confronto (ou “do sanduíche")

Suponha que as funções f , g e h estejam definidas num intervalo aberto I contendoo ponto a, exceto possivelmente no ponto a e que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para qualquer xem I, com x 6= a. Se lim

x→ag(x) = lim

x→ah(x) = L, então lim

x→af(x) = L.

Exercícios

1. Sendo 1− x2

4≤ u(x) ≤ 1 +

x2

2para qualquer x 6= 0, determine lim

x→0u(x).

2. Calcule limx→0

x3sen

(2

x

). Obs: Note que não podemos utilizar a propriedade que

limx→a

f(x)g(x) = limx→a

f(x) limx→a

g(x). Por quê?

3. Sejam f e g duas funções com mesmo domínio D tais que limx→a

f(x) = 0 e |g(x)| ≤ M

para todo x em D, onde M > 0 é um número real fixo. Prove que limx→a

f(x)g(x) = 0.

4. Calcule limx→0

x2g(x) onde g(x) =

{1 se x ∈ Q

−1 se x 6∈ Q .

2.3 Limites Fundamentais

limx→0

sen(x)

x= 1 lim

x→0

1− cos x

x= 0 lim

x→∞

(1 +

1

x

)x

= e limh→0

ah − 1

h= ln a

Exercício


1. Determine o valor dos limites, caso exista:

(a) limx→∞

(2x

x + 1

)x

(b) limx→0

sen(3x)

sen(5x)(c) lim

h→0

ex+h − ex

h

(d) limx→π+

sen(x)

x− π(Sug.: faça t = x− π) (e) lim

x→0

(cos 2x− cos 3x

x2

)(f) lim

x→a

(cos(x)− cos(a)

sen(x)− sen(a)

)

(g) limx→0

(cos(5x)− cos(3x)

sen(4x)

)(h) lim

x→0

(x− sen(x)

x + sen(x)

)(i) lim

x→0

(x− 1 + cos(x)

x + 1− cos(x)

)

(j) limx→0

cos(x)− 1

x(k) lim

x→0

sen(2x)

5x

2.4 Continuidade

Definição: Dizemos que uma função f é contínua em um número x = a se as trêscondições abaixo forem satisfeitas:

(i) a ∈ Df

(ii) limx→a

f(x) existe(iii) lim

x→af(x) = f(a)

Exercícios1. Dada a função f definida por

f(x) =

3x2 − 5x− 2

x− 2se x < 2

3− ax− x2 se x ≥ 2

determine a ∈ R para que exista limx→2

f(x).

2. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado.

(a) f(x) =

x3 − 8

x− 2se x 6= 2

L se x = 2em p = 2

(b) f(x) =

√x−√5√

x + 5−√10se x 6= 5

L se x = 5

em p = 5

Continuidade 23

3. Intuitivamente, dizemos que uma determinada função real f é contínua, se o gráficode f pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel. Observe os seguintes gráficos nafigura 2.1 e defina quais são contínuos e quais são descontínuos. Nota: este fato só ématematicamente correto quando o domínio da função é um intervalo (um conexo).Mas uma coisa curiosa sempre acontece: para uma função ser contínua, o númerode “pedaços"de seu gráfico precisa coincidir com o número de “pedaços"do domínio.


4. Determine se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas no ponto dado. Nocaso de descontinuidade, verifique qual dos ítens da definição de continuidade não ésatisfeito.

(a) f(x) =1

x− 3; a = 3 (b) g(x) =

1

x + 3; a = −3

(c) h(x) =

{ −x + 1 x ≤ 0x2 x > 0

; a = 0 (d) h(x) =

{ −x2 + 4 x ≥ 2x2 − 4 x < 2

; a = 2

(e) P (x) =

−x + 2 x > 0

2 x = 0x + 2 x < 0

; a = 0 (f) f(x) =

{ 1

x− 3x 6= 3

0 x = 3; a = 3

(g) f(x) =

x2 + x− 2

x− 1x 6= 1

2 x = 1; a = 1 (h) f(x) =

2x2 + 1 x < 11 x = 1

x + 1 x > 1; a = 1

(i) f(x) = sen(x− sen(x)); a = 0 (j) f(x) = tan(π

4cos(senθ

13 )

); θ = 0


2.5 TeoremasTeorema do Valor Intermediário: Uma função y = f(x) que é contínua em um

intervalo [a, b] assume cada valor entre f(a) e f(b). Em outras palavras, se y0 for qualquervalor entre f(a) e f(b), então yo = f(c) para algum c em [a, b].

Teorema de Bolzano: Seja f um função contínua em um intervalo [a, b]. Sef(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um valor c em (a, b) tal que f(c) = 0, ou seja, se fmuda de sinal em [a, b] então f possui pelo menos uma raiz no intervalo (a, b).

Teorema do Ponto Fixo de Brouwer: Seja f : [a, b] → [a, b] uma função bijetorae contínua. Então existe pelo menos um ponto x em [a, b] tal que f(x) = x.

Excercícios

1. Usando o teorema do valor intermediário, prove que, se f é contínua, então qualquerintervalo que f muda de sinal contém uma raiz de f .

2. Algum número real somado a um é igual a seu cubo?

3. Se f(x) = x3− 8x + 10, mostre que há pelo menos um valor de c para o qual f(c) éigual a:

(a) π (b) −√3 (c) 0

4. Em quais intervalos as funções dadas abaixo são contínuas?

(a) y =1

x− 2− 3x (b) z =

t + 1

t2 − 4t + 3(c) r =

cos x

x(d) s =

√2v + 3

5. Suponha que f seja uma função contínua em [a, b] e que f admita uma única raizc ∈ [a, b]. Suponha que exista x0 em [a, b], x0 > c, tal que f(x0) > 0. Prove quepara todo x ∈ [a, b], com x > c, f(x) > 0.

2.6 AssíntotasDefinição: Seja f uma função e c um número. A reta de equação x = c se diz assíntotavertical de f se

limx→c+

f(x) = +∞ou lim

x→c+f(x) = −∞

ou limx→c−

f(x) = +∞ou lim

x→c−f(x) = −∞

Assíntotas 25

Definição: A reta y = L é dita uma assíntota horizontal do gráfico de f se pelo menosuma das seguintes afirmações for válida:

(i) limx→+∞

f(x) = L e existe N > 0 tal que se x > N , então f(x) 6= L.

(ii) limx→−∞

f(x) = L e existe N < 0 tal que se x < N , então f(x) 6= L.

Definição: A reta y = a x + b é denominada assíntota inclinada (ou oblíqua), ondea e b são dados por

a = limx→±∞

f(x)

xb = lim

x→±∞(f(x)− a x),

desde que os limites existam.

Exemplo: No gráfico abaixo a reta x = 2 é uma assíntota vertical e a reta y = 5 éuma assíntota horizontal.

1 2 3 4

-20

20

x

y

Figura 2.2: Exemplo

Exercícios

1. Ache as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas abaixo, caso existam.

(a) f(x) =x2 + 1

x2(b) f(x) =

2 + x

1− x(c) f(x) =

x2 − 2

x2 − x− 2

(d) f(x) = − 8

x2 − 4(e) f(x) = cotg(x) (f) f(x) = 2sen(x) +

1

x

2. Encontre, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de

f(x) =4x +

√x2 + 1√

x2 − 4x + 4.

3. Encontre as assíntotas horizontais das funções f(x) =x

x2 + 2x− 3e f(x) =

√x2 + 1

3x− 5.

Alguma dessas funções possui assíntota vertical? Dê exemplo de uma função quepossua duas assíntotas verticais e uma horizontal.

4. Encontre, se existirem, as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função

f(x) =x2 + x

x− 1.

Capítulo 3

Derivadas

3.1 Coeficiente Angular da Reta

Dada uma reta y = ax + b, o termo a é denominado coeficiente angular da reta, e otermo b é o coeficiente linear da reta. Podemos definir o coeficiente angular m de umareta que passa pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2) como:

m =∆y

∆x=

y2 − y1

x2 − x1

, com x1 6= x2 (3.1)

A equação da reta com coeficiente angular m e que passa pelo ponto (x1, y1) dadapor 3 é y − y1 = m(x− x1).

Nos exercícios a seguir, ache uma equação da reta que contenha os pontos P e Q.1. P (-2,1), Q(2,4) 2. P (2,2), Q(-5,2).Num gráfico de uma função f qualquer, a tangente num ponto é a aproximação

linear do gráfico neste ponto. Essa afirmação é exemplificada pela figura 3.1 abaixo:

Figura 3.1: Exemplo ilustrativo da tangente como aproximação linear do gráfico em umponto.

Para determinarmos a inclinação m do gráfico de f no ponto (x, f(x)), basta achar-mos o coeficiente angular da tangente em (x, f(x)), que é dado por:

26

Coeficiente Angular da Reta 27

m = limh→0

f(x + h)− f(x)

h, desde que o limite exista, ou seja, m ∈ R.

x

y

P

Q

x

f( ) - f( )f( )

x+h

x+h xx

h

Figura 3.2: Exemplo geométrico ilustrativo para um melhor entendimento da definiçãode derivada.

Desta forma, podemos definir uma nova função, a derivada de f em x, isto é,

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)

h

Obs: f ′(x) lê-se “f linha de x".Uma outra alternativa para o cálculo da derivada de f no ponto a é o limite

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a

Uma função é derivável em x se sua derivada existe em x. O processo de cálculo dederivadas é chamado derivação.Exercícios

1. Aplique a definição de limite para achar a derivada das funções dadas.(a) f(x) = 3 (b) f(x) = x2

(c) h(t) =√

t− 1 (d) g(s) =1

s2

2. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto indicado.Em seguida, determine uma equação da reta tangente ao gráfico de f nos mesmospontos.(a) f(x) = 2x + 4 P (1, 6) (b) f(x) = x3 + 3 Q(−2,−5)

(c) f(x) =1

x + 1A(0, 1) (d) f(x) =

√2x− 2 B(9, 4)

28 Derivadas

3. Encontre as derivadas laterais em x1 se existirem e determine se f é derivável emx1.

(a) f(x) =

{x + 2 se x ≤ −4−x− 6 se x > −4

x1 = −4 (b) f(x) = 3√

x x1 = 0

(c) f(x) = |x| x1 = 0 (d) f(x) = 6− 2x x1 = 3

Notações para derivada de y = f(x): f ′(x) = Dxy = y′ =dy

dx=

d

dxf(x)

3.2 Regras de DerivaçãoAs regras de derivação abaixo não devem ser decoradas. A demonstração formal de

algumas delas certamente será feita em sala pelo professor de cálculo. Que tal tentardemonstrar as restantes? É só usar a definição!

Função Derivada Função Derivaday = c, c = cte y′ = 0 y = f(g(x)) y′ = f ′(g(x))g′(x)y = xn y′ = nxn−1 y = ax y′ = ax ln ay = f(x)± g(x) y′ = f ′(x)± g′(x) y = ex y′ = ex

y = f(x)g(x) y′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) y = loga x y′ =1

x ln a

y =f(x)

g(x)y′ =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

(g(x))2y = ln |x| y′ =

1

x

Exercícios Nos exercícios abaixo, encontre a derivada da função dada aplicando as regrasde derivação.

1. y(x) = 2x

2. f(x) = −7x + 2

3. h(t) = 1− 2t− t2

4. s(x) = x4 − 3x2 + 5

5. y(t) = 4t23

6. g(x) = 5 4√

x− x5

7. f(x) =√

x(√

x + 2)

8. h(p) =p3

3+

3

p3

9. g(t) = (2t4 − 1)(5t3 + 6t)

10. g(w) = wew + ln(w)cos(w)

Regra da Cadeia 29

3.3 Regra da CadeiaFunção Composta

Imagine que uma indústria consiga vender tudo o que produzir. É claro que o lucroL da empresa depende de sua produção p. Ou seja, L é uma função de p (podemosescrever L(p)). Mas a produção, por sua vez, pode depender do tempo t durante o qualdeterminada máquina funciona. Isto é, p depende de t (escrevemos p(t)), e portanto,o lucro L também depende de t (escrevemos L(p(t))). Neste caso, o que temos é acomposição das funções L e p. Queremos introduzir agora o tipo de função que modelasituações como estas.

Definição 1 A função dada por (fog)(x) = f(g(x)) é a composta de f com g. O domíniode fog é o conjunto de todos os valores de x do domínio de g tais que g(x) está no domíniode f (Vide seção 1.2).

Exemplo: Expresse y = (2x + 5)8 sob forma de uma função composta. Suponha que,para um número real x, queiramos calcular (2x + 5)8 usando uma calculadora. Primeirocalcularíamos 2x + 5 e em seguida elevaríamos o resultado à potência 8. Isto sugere fazeru = 2x + 5 e y = u8, que é uma forma funcional composta para y = (2x + 5)8.

Exercícios Nos exercícios a seguir, determine uma forma funcional composta para y:

1. y = (x2 + 3x)13

2. y = 4√

x4 − 16

3. y =√

(senx2)3

Se y = f(u), u = g(x), e as derivadasdy

due

du

dxexistem, então a função composta

definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por

dy

dx=

dy

du

du

dx= f ′(u)g′(x) = f ′(g(x))g′(x)

Exercícios

1. Dadas as funções f e g abaixo, determine h(x) = (fog)(x) e os domínios de f , g eh. Calcule h′(x) diretamente e usando a regra da cadeia.

(a) f(x) = x2 + x e g(x) = 2

(b) f(x) = 3√

x e g(x) = x2 + 5x

(c) f(x) =x2

x + 1e g(x) = x2

30 Derivadas

(d) f(x) =1

xe g(x) = x

(e) f(x) = x2 + 1 e g(x) =√

x

2. Use a regra da cadeia para derivar as funções:

(a) f(x) = (x + 2)2

(b) f(x) =√

x(x2 + 1)

(c) f(t) =

√2t

4t + 1

(d) y =1

s− 2

(e) h(t) = 2t√

t + 6t

(f) g(s) =s4 − 3s2 + 1

(2s + 3)4

(g) f(x) =2

ex − e−x

(h) f(x) = log x2 + 6x

(i) f(x) = 42x−3

(j) f(x) = e1x

(k) g(w) = ew2

3.4 Funções trigonométricas

A tabela abaixo não deve ser decorada. A dedução das fórmulas abaixo é simples eseu tutor pode te ajudar a entender o processo.

No caso das funções trigonométricas, faça pelo menos os casos y = arcsen(x) e y =arctg(x) e os outros serão análogos. Os passos, no primeiro caso, são: aplique a função senoem ambos os lados, derive implicitamente em relação a x, use uma importante identidadetrigonométrica e pronto.

Derivada de Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas


Função Derivada Função Derivada

y = senx y′ = cos x y = arcsenx y′ =1√

1− x2

y = cos x y′ = −senx

y = tan x y′ = sec2 x y = arccos x y′ =−1√1− x2

y = sec x y′ = sec x tan x

y = csc x y′ = − csc x cot x y = arctan x y′ =1

x2 + 1

y = cot x y′ = − csc2 x

Exemplo: Encontre a derivada de arcsen x.Temos que a função seno,

sen :[−π

2,

π

2

]→ [−1, 1]

x 7→ y = senx

é inversível e sua inversa é definida por

arcsen : [−1, 1] →[−π

2,

π

2

]

x 7→ y = arcsen x

Calculemos então a derivada de y = arcsen x. Como y = arcsen x, segue que seny = x.Derivando em relação a x e lembrando que y depende de x temos: y′ cos y = 1. Então

y′ =1

cos y. Mas cos y =

√1− sen2y =

√1− x2. Portanto y′ = ( arcsen x)′ =

1√1− x2

.

Exercícios

1. Derive as funções:

(a) f(x) = e2xsen3x

(b) f(x) = x2 − cos x

(c) f(x) = ln | csc x− cot x|(d) f(x) = tan x− x

(e) f(x) = 5x sec x

(f) f(x) = sen2x + cos2 x

(g) f(x) =cos 2x

x

(h) f(x) = 12csc 2x

32 Derivadas

2. Derive as funções trigonométricas inversas

(a) f(x) = arctan x

(b) f(x) = arcsen√

x

(c) f(x) = arctan2x

1− x2

(d) f(x) = x2 arccos x

(e) f(x) = arcsec(x2 + 1)

(f) f(x) = arccos 12x

(g) f(x) = ln | arctan 3x|(h) f(x) = arccsc

√x2 + 4

3.5 Derivação ImplícitaDada a equação y = 3x2 − 5, costumamos dizer que y é uma função explícita de x,

pois podemos escrever y = f(x) com f(x) = 3x2 − 5. A equação 6x2 − 2y = 10 define amesma função f , pois, resolvendo em relação a y, temos −2y = 10− 6x2 ou y = 3x2 − 5.Para o caso 6x2−2y = 10, dizemos que y é uma função implícita de x, ou que f é definidaimplicitamente pela equação.

O método da diferenciação implícita consiste em diferenciar cada termo da equaçãoem relação a x.

ExercíciosNos exercícios a seguir, derive implicitamente.

1. 4x2 − 9y = 1

2.x√y− 4xy = x

3. y3 + 2xy = ex4

4. (x + y)2 − (x− y)2 = x3

5. x3 + y3 = 8xy

6. 3√

x + 3√

xy = 4y2

7. 4xy + ln(x2y) = 7

8. y = cos(x− y)

9. 5y2 + 3 = x2sen2y

10. xy + y cos x = 1

Teoremas 33

11. y = (1 + x)e−x

12. cos y + ln(x2 + y2) = 2x

13. y = tgh(x3) + log3

√x2 + 1

14. y = (x2 + cos x)(1+senx)

3.6 TeoremasTeorema 1 (Teorema de Rolle) Se f : [a, b] → R é uma função contínua em [a, b] ederivável em (a, b) com f(a) = f(b), então existe c em (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Teorema 2 (Teorema do Valor Médio) Se f : [a, b] → R é uma função contínua em

[a, b] e derivável em (a, b), então existe c em (a, b) tal que f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Capítulo 4

Antiderivadas

4.1 IntroduçãoAté aqui nossa atenção esteve voltada essencialmente para o seguinte problema: dada

uma função, achar a sua derivada. Muitas aplicações importantes do Cálculo envolvem oproblema inverso: determinar uma função, dada sua derivada. Esta operação, que consisteem determinar a função original a partir de sua derivada, é chamada antidiferenciaçãoou integração.

Como estas operações são inversas, algumas aplicações da integração são imediatas.Por exemplo, a integração de uma função aceleração gera uma função velocidade. Aintegração pode ser utilizada para achar a área de uma região, o valor médio de umafunção ou o volume de um sólido.

Definição 2 Uma função F é uma antiderivada de uma função f se, para todo x nodomínio de f , temos F ′(x) = f(x).

Se F (x) é uma antiderivada de f(x), então F (x) + C também o é , onde C é umaconstante arbitrária. Assim, o processo de antidiferenciação não define uma únicafunção, e sim uma família de funções que diferem entre si por uma constante.Notação: O símbolo

∫denota a operação de antidiferenciação e escrevemos

∫f(x)dx = F (x) + C,

onde f(x) é o integrando e C é a constante de integração. A diferencial dx naequação acima identifica a variável de integração. Ou seja, o símbolo

∫f(x)dx denota a

“antiderivada de f em relação a x”(ou integral indefinida de f em relação a x).Exercícios

1. Verifique se F1(x) = x2−2x, F2(x) = x2−2x−1 e F3(x) = (x−1)2 são antiderivadasde f(x) = 2x− 2. Faça o gráfico de F1, F2 e F3 no mesmo plano coordenado. Como

34

Métodos de Integração 35

se relacionam estes gráficos? Que podemos dizer sobre o gráfico de qualquer outraantiderivada de f ?

2. Utilize as regras básicas de integração para resolver a integral indefinida e verifiqueo resultado por diferenciação.

(a)∫

1dx (d)∫

3x5 dx (g)

∫sec u · tgu du (j)

∫(4 + 4tg2v)dv

(b)∫

1tdt (e)

∫[sen(t) + cos(t)]dt (h)

∫(x4 + 5x2 − 3)dx (k)

∫t2+2

t2dt

(c)∫

etdt (f)∫

x3−1x−1

dx (i)∫

3√

x2dx (l)∫

1sen2z

dz

3. Resolva os problemas seguintes utilizando seus conhecimentos de derivação e inte-gração.

(a) (Movimento Vertical) Joga-se uma bola para cima, de uma altura inicial de 80m, com uma velocidade inicial de 64 m/s. Deduza a função que dê a altura h(em metros) como função do tempo t (em segundos). Em que instante a bolaatinge o solo? (Considere a gravidade g = 10 m/s2).

(b) (Consumo de Gás Natural) O consumo S (em quatrilhões de m3) de gás naturalaumentou consistentemente entre 1986 e 1992. A taxa de aumento admite comomodelo dS

dt= −0, 175t2+0, 4t+0, 81, com 0 ≤ t ≤ 6 onde t = 0 representa 1986.

Em 1986, o consumo foi de 16,7 quatrilhões de m3. Estabeleça um modelo parao consumo de 1986 a 1992 e determine o consumo em 1992.

(c) (Custo) O Custo Marginal* da fabricação de x unidades de um produto temcomo modelo dC

dx= 32 − 0, 04x. A produção de uma unidade custa R$ 50,00.

Ache o custo total da produção de 200 unidades.*Custo Marginal é a taxa de variação do custo em relação ao número x deunidades produzidas ou vendidas.

4.2 Métodos de Integração

4.2.1 Integração por substituição ou mudança de variável

Esta técnica utiliza a Regra da Cadeia para a Antidiferenciação. Considere a integralindefinida

∫f(g(x))[g′(x)dx]. Fazendo u = g(x) e, conseqüentemente, du = g′(x)dx,

fazemos as substituições e obtemos:∫

f(g(x))[g′(x)dx] =∫

f(u)du = F (u) + C = F (g(x)) + C.

Esta técnica só é possível se o integrando for do tipo f(g(x))g′(x), ou seja, deve conteruma função composta e a derivada da função interna da composta. Pode ser necessáriaa introdução de constantes no integrando a fim de ajustá-lo para que esteja na formaf(g(x))g′(x). Quando fazemos uma substituição, o objetivo é obter um integrando f(u)que é facilmente integrado através das regras básicas de integração.

36 Antiderivadas

Diretrizes para a integração por substituição:

1. Analisar o integrando e decidir se é possível obter uma função u = g(x), dependendode x , conveniente.

2. Derivar a função u em relação a x e destacar o diferencial du.

3. Fazer os ajustes necessários no integrando para proceder a substituição.

4. Escrever todo o integrando em função da variável u e procurar adaptá-lo a uma oumais regras básicas de integração. Se nenhuma se ajustar, tentar outra substituição.

5. Após efetuar a integração, escrever a antiderivada como função de x.

Exemplo: Para calcular a integral indefinida∫

x√

x2 + 1dx,

considere a seguinte substituição u = x2 − 1. Assimdu

dx= 2x, ou seja, du = 2xdx. Para

fazer com que 2xdx faça parte do integrando, sem alterá-lo, multiplicamos e dividimospor 2 como segue:

∫x√

x2 + 1dx =1

2

∫ √x2 + 1 · 2xdx =

1

2

∫u

12 · du =

1

2

u32

32

+ C =1

3(x2 − 1)

32 + C.

Exercícios

1. Identifique f(g(x))g′(x) no integrando, faça a substituição u = g(x) e reescreva aintegral em termos de u e du. Depois calcule as integrais indefinidas a partir dasintegrais obtidas após a substituição.

(a)∫√

1− 3xdx (b)∫

2xe−x2dx (c)

∫1√

t− 1dt

(d)∫

e4x

1− e4xdx (e)

∫12x + 2

3x2 + xdx (f)

∫ln t

tdt

2. Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de mudança de variáveis.

(a)∫

x2 − 1√2x− 1

dx (b)∫

6x +√

2x

xdx (c)

∫3x2

√3− x3dx

(d)∫

x2

(x + 1)2dx (e)

∫3t√

1− t2dt (f)

∫x2√

1− xdx

3. Determine as integrais indefinidas.(a)

∫tgx · sec2 xdx (b)

∫(senx + cos x)2dx (c)

∫7

csc xdx

(d)∫

x · sen(x)2dx (e)∫

ecos xsenxdx


4.2.2 Integração de potências de funções trigonométricas

Convém relembrar as seguintes relações trigonométricas:(a) sen2x + cos2 x = 1 (b) sen2x = 2senx · cos x (c) cos 2x = cos2 x− sen2x(d) sec2 x = 1 + tg2x (e) sen2x = 1

2(1− cos 2x) (f) cos2 x = 1

2(1 + cos 2x)

Diretrizes para calcular∫sennxdx :

1. Se n é um número inteiro positivo ímpar, fazemos

∫sennxdx =

∫senn−1x · senxdx

Como o inteiro n − 1 é par, podemos utilizar a identidade sen2x = 1 − cos2 x parachegar a uma fórmula fácil de integrar.

2. Se n é um inteiro positivo par, aplicamos sen2x = 12(1− cos 2x), fórmula de ângulo-

metade, para simplificar o integrando.

A fórmula de ângulo-metade sen2x = 12(1 − cos 2x) pode ser obtida da seguinte

maneira: De sen2x + cos2 x = 1 obtemos cos2 x = 1 − sen2x. Sabemos que cos 2x =cos2 x−sen2x. Daí, temos que cos 2x = (1−sen2x)−sen2x. Portanto, sen2x = 1

2(1−cos 2x).

Diretrizes para calcular∫

cosn xdx:

1. Se n é um número inteiro positivo ímpar, fazemos

∫cosn xdx =

∫cosn−1 x · cos xdx

Como o inteiro n − 1 é par, podemos utilizar a identidade cos2 x = 1 − sen2x parachegar a uma fórmula fácil de integrar.

2. Se n é um inteiro positivo par, aplicamos a fórmula cos2 x = 12(1 + cos 2x) , ângulo-

metade, para simplificar o integrando.

Já a fórmula de ângulo-metade cos2 x = 12(1 + cos 2x) pode ser obtida da seguinte

maneira: De sen2x + cos2 x = 1 obtemos sen2x = 1 − cos2 x. Sabendo que cos 2x =cos2 x− sen2x, temos cos 2x = cos2 x− (1− cos2 x). Assim, cos2 x = 1

2(1 + cos 2x).

Exercícios

1. Calcule as integrais indefinidas.

(a)∫sen3xdx (b)

∫sen4xdx (c)

∫cos4 xdx (d)

∫cos3 xdx

38 Antiderivadas

4.2.3 Integração por Partes

Se duas funções f e g deriváveis, então

Dx[f(x)g(x)] = f(x)g′(x) + g(x)f ′(x)

ou ainda,f(x)g′(x) = Dx[f(x)g(x)]− g(x)f ′(x).

Integrando ambos om membros, teremos,∫

f(x)g′(x)dx =

∫Dx[f(x)g(x)]dx−

∫g(x)f ′(x)dx

∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)− ∫

g(x)f ′(x)dx

Esta equação denominamos integração por partes, uma fórmula alternativa é uti-lizada quando tomamos u = f(x) e v = g(x), e daí obtemos, du = f ′(x)dx e dv = g′(x)dx.Portanto,

∫udv = uv − ∫

vdu

Observações:

1. Para os casos onde se desejar aplicar a técnica de intergração por partes, ao seescolher a função de substituição para u, o restante do integrando obrigatóriamenteserá designado como dv.

2. Devemos ter em mente que ao escolhermos u, precisamos encontrar a sua derivadadu, por outro lado, para encontrarmos v precisaremos integrar dv. Logo é viávelescolher para dv termos que saibamos integrar, pois independente de qual seja uhaverá uma regra para derivá-lo.

Exemplo: Desejamos calcular∫

x cos xdx.

Neste caso conhecemos tanto a derivada quanto a integral dos membros do produto,todavia se integramos o polinômio dado neste caso por x, estaremos aumentando o seugrau do polinômio e conseqüentemente a complexidade de nosso problema, isso portantosugere:

u = x e dv = cos xdx ⇒ du = dx e v = senx.

Assim,∫

x cos xdx = xsenx−∫

senxdx

e por fim,


∫x cos xdx = xsenx + cos x + C


exsenxdx.

Neste exemplo se adotarmos u = ex e dv = senxdx, teremos du = exdx e v = − cos x,por outro lado se adotarmos u = senx e dv = exdx, teremos v = cos x e v = ex, ou seja,independente do que escolhermos o resultado será semelhante. Neste caso adotaremos aprimeira escolha, daí teremos:

∫exsenxdx = ex(− cos x)−

∫(− cos x)exdx

∫exsenxdx = −ex cos x +

∫ex cos xdx

Esta última se assemelha a inicial, porém em termo de cosseno, logo devemos aplicarintegração por partes novamente. Escolhendo u = ex e dv = cos x, teremos du = exdx ev = senx, logo,

∫exsenxdx = −ex cos x + (exsenx−

∫exsenxdx)

Porém o último termo foi o nosso ponto de partida, portanto podemos fazer,

2

∫exsenxdx = exsenx− ex cos x

E finalmente,∫

exsenxdx =1

2ex(senx− cos x) + C

Observação: Caso fizemos a seguinte escolha u = cos x e dv = exdx, teríamos du =−senxdx e v = ex, e no final encontraríamos a identidade,

∫exsenxdx =

∫exsenxdx.

Verifique!ExercíciosResolva as integrais a seguir utilizando a técnica de integração por partes.

1.∫

xe3xdx

2.∫

ln xdx

3.∫

x arctan xdx

4.∫

x sec2 xdx

40 Antiderivadas

5.∫

x2 cos xdx

6.∫

senx ln(cos x)dx

7.∫

ex cos xdx

8.∫

sec3 xdx

9.∫

sen ln xdx

10.∫

x(2x + 3)99dx

11.∫

xex

(x + 1)2dx

4.2.4 Integração por Frações Parciais

Nesta seção estamos interessados em calcular integrais do tipo∫

P (x)

Q(x)dx,

onde P (x) e Q(x) são polinômios. Se o grau do numerador for maior do que o grau dodenominador, temos uma fração imprópria, e, nesse caso, dividimos o numerador pelodenominador até obter uma fração própria, isto é, uma fração cujo grau do numeradorseja menor do que o grau do denominador. Por exemplo,

x4 − 10x2 + 3x + 1

x2 − 4= x2 − 6 +

3x− 23

x2 − 4

Em geral é necessário escrever o quociente P (x)/Q(x) como a soma de frações par-ciais. Os denominadores das frações parciais são obtido por meio da fatoração de Q(x)em produtos lineares de primeira e segunda ordem, sendo que os de segunda ordem nãoapresentam raízes reais.

Após fatorar Q(x) num produto de fatores, o método de determinar as frações irádepender da natureza dos fatores.Caso 1: Os fatores de Q(x) são todos lineares e nenhum é repetido. Ou seja,

Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)...(anx + bn)

Podemos escrever,

P (x)

Q(x)=

A1

a1x + b1

+A2

a2x + b2

+ ... +An

anx + bn


Onde A1, A2, ..., An são constante a definir.


1

x2 − 4dx.

Fatorando o denominador, teremos o seguinte produto notável,

1

x2 − 4=

1

(x− 2)(x + 2)

Assim, fazemos a separação em frações parciais,

1

x2 − 4≡ A

(x− 2)+

B

(x + 2)

Temos portanto, a partir do mínimo comum, a identidade a seguir,

1 = A(x + 2) + B(x− 2)

Para encontramos os valores das constantes faremos as seguintes suposições. Primeiro,vamos adotar x = 2, pois assim teremos,

1 = A(2 + 2) + B(2− 2) ⇒ A =1

4.

Posteriormente, faremos x = −2, e teremos,

1 = A(−2 + 2) + B(−2− 2) ⇒ B = −1

4.

Substituindo os valores das constantes na fração parcial teremos,

1

x2 − 4=

14

(x− 2)+

−14

(x + 2).

Assim a integral dada pode ser representada da seguinte forma:∫

1

x2 − 4dx =

1

4

∫1

x− 2dx +

∫1

x + 2dx

=1

4ln |x− 2| − 1

4ln |x + 2|+ C

=1

4ln

∣∣∣∣x− 2

x + 2

∣∣∣∣ + C

Caso 2: Os fatores de Q(x) apresentam algumas raízes repetidas, mas são lineares.Suponha que o fator linear (aix + bi) se repita por p vezes. Então este fator será repre-sentado por:

42 Antiderivadas

A1

(aix + bi)p+

A2

(aix + bi)p−1+ · · ·+ Ap−1

(aix + bi)2+

Ap

(aix + bi)

Exemplo: Desejamos calcular a integral a seguir:∫

3x2 − x + 1

x3 − x2dx

A fração do integrando pode ser escrita pela fração parcial a seguir:

3x2 − x + 1

x3 − x2=

3x2 − x + 1

x2(x− 1)≡ A

x+

B

x2+

C

x− 1

Através do mínimo comum teremos:

3x2 − x + 1 = Ax(x− 1) + B(x− 1) + Cx2

Seguindo o raciocínio do exemplo anterior, vamos assumir x = 0,

1 = B(−1) ⇒ B = −1

Para x = 1, teremos,3− 1 + 1 = C ⇒ C = 3

Por não ter um valor real que explicite o termo em A, adotaremos um valor qualquercomo, por exemplo, x = −1, daí,

3 + 1 + 1 = A(−1)(−2) + B(−2) + C ⇒ 5 = 2A− 2(−1) + 3 ⇒ A = 0

Assim, podemos representar nossa integral como,∫

3x2 − x + 1

x3 − x2dx = −

∫1

x2dx +

∫3

x− 1dx

=1

x+ 3 ln |x− 1|+ C

Caso 3: Os fatores de Q(x) são lineares e quadrática, porém os fatores quadrático nãopossuem termos repetidos. Para os fatores quadráticos temos uma fração parcial na forma:

Ax + B

ax2 + bx + c.

Exemplo: Calcular∫

x + 1

x3 + xdx.

Vamos desmembrar o integrando em em frações parciais:

x + 1

x3 + x≡ A

x+

Bx + C

x2 + 1


Através do mínimo comum temos:

x + 1 = A(x2 + 1) + x(Bx + C)

Adotando x = 0, teremos que A = 1. Agora para encontrar o valor das demais constantesadotaremos x = 1 e x = −1. Primeiramente, vamos obter

2 = 2 + B + C ⇒ B + C = 0,

e depois,0 = 2 + B − C ⇒ B − C = −2

Por fim tem-se que B = −1 e C = 1 e, assim, poderemos escrever:∫

x + 1

x3 + xdx =

∫1

xdx +

∫1− x

x2 + 1=

∫1

xdx +

∫1

x2 + 1dx−

∫x

x2 + 1dx

= ln |x|+arctan x− 1

2ln |x2 +1|+C = ln |x|+arctan x− 1

2ln(x2 +

1) + C

Nota: Para calcular a integral∫

x

x2 + 1dx utilizamos substituição simples. Tomando

u = x2 + 1 teremosdu

2= xdx. Logo

1

2

∫du

u=

1

2ln |u| = 1

2ln(x2 + 1) + C.

Exercícios Calcule as seguintes integrais indefinidas:

1.∫

5x− 2

x2 − 4dx

2.∫

t2 + t + 1

(2t + 1)(t2 + 1)dx

3.∫

1

x2(x + 1)2dx

4.∫

3x + 1

(x2 − 4)2dx

5.∫

x2 + 4x− 1

x3 − xdx

6.∫

x4 + 1

x4 − 1dx

44 Antiderivadas

7.∫

1

x3 + x2 + xdx

8.∫

6x2 − 2x− 1

4x3 − xdx

9.∫

e3x

(ex + 1)(e2x + 1)dx

10.∫

1

16x4 − 8x2 + 1dx

11.∫

4x− 2

x3 − x2 − 4dx

12.∫

2x3 + 9x

(x2 + 3)(x2 − 2x + 3)dx

13.∫

1− x

x2 + 3x + 2dx

14.∫

1

9x4 + x2dx

4.2.5 Integração por Substituição Trigonométrica

Vamos aprender agora uma poderosa técnica de integração que nos auxiliará a resolverintegrais que contenham em seu integrando as seguintes expressões:

√a− u2,

√a + u2 e√

u2 − a, essa técnica se chama substituição trigonométrica.As substituições trigonométricas nos permitem substituir os binômios a + x2, a− x2

e x2 − a pelo quadrado de um único termo e, portanto, transformar várias integrais quecontém raízes quadradas em integrais que podemos calcular diretamente. Para efeito desimplificação vamos considerar cada forma como um caso separado.

Para fazer uma escolha adequada da substituição que utilizaremos podemos procederde duas formas:

Para efeito de visualização, imagine que queremos resolver uma integral com a forma∫ √

a− x2 dx

1) Podemos olhar para o famoso teorema de Pitágoras que diz

h2 = co2 + ca2,


onde h é a hipotenusa, co é o cateto oposto e ca é o cateto adjacente de um triânguloretângulo. E reescrevê-lo na forma

ca2 = h2 − co2

que comparando coma− x2

nos induz a identificar h ∼ √a e co ∼ x, e da figura 4.1 vemos que senθ = x√

a⇒ x =√

a senθ.

Figura 4.1: Figura ilustrativa para auxiliar na escolha da substituição trigonométrica

2) O segundo método consiste em identificar a semelhança do integrando com umadas formas abaixo:Para todo θ ∈ IR, tem-se

sen2θ + cos2θ = 1 ⇒{

cos2θ = 1− sen2θsen2θ = 1− cos2θ

(4.1)

tan2θ + 1 = sec2θ ⇒ tan2θ = sec2θ − 1 (4.2)

Nosso integrando tem a forma a− x2 que pode ser escrita como

a

[1−

(u√a

)2]

que comparando com (4.1) e (4.2) vemos que é razoável identificar u√acom senθ ou seja

u =√

a senθ, que é a mesma substituição que havíamos chegado no primeiro método.Comparando a última expressão com (4.1) e (4.2) a única substituição possível é a queescolhemos?

Então, para resolver a integral vamos tentar a seguinte mudança de variável

x =√

a senθ ⇒ dx =√

a cosθ dθ

46 Antiderivadas

daí ∫ √a− x2 dx =

=

∫ √a− asen2θ

√a cosθ dθ = a

∫ √cos2θ cosθ dθ = a

∫|cosθ|cosθ dθ (4.3)

Você consegue justificar porque em (4.3) as três últimas passagens são verdadeiras?√a.b =

√a√

b e√

a2 = a é sempre verdadeiro?Note que na última integral temos |cosθ|. Como faremos para resolvê-lo? Vamos

analisar com bastante cuidado o intervalo onde θ varia, pois é isso que nos dará a respostade como ficará esse módulo.

Olhando para a figura 1 parece bastante óbvio que θ está entre 0 < θ < π2, mas

cuidado! É importante ter em mente que a figura 1 é apenas um desenho que foi feitosomente com o intuito de nos auxiliar na escolha da substituição mais propícia pararesolver nossa integral. O que eu quero dizer é o seguinte: a figura 1 poderia ter sidofeita em qualquer quadrante que chegaríamos ao mesmo resultado em (4.3), no entanto,o intervalo onde θ varia será diferente para cada quadrante, e consequentemente |cosθ|também poderá ser diferente.

Como escolheremos o intervalo onde θ varia então? É importante ter em menteque queremos que toda substituição que usarmos em uma integração seja reversível demaneira que possamos voltar para a variável original posteriormente. Por exemplo, sex =

√a tgθ, queremos poder estabelecer que θ = arctg x√

aapós a integração ter ocorrido.

Se x =√

a senθ, queremos poder estabelecer que θ = arcsen x√ano final, o mesmo valendo

para as demais substituições trigonométricas.Para garantir a reversibilidade temos:

x =√

a tgθ exige θ = arctg x√acom −π

2< θ < π

2

x =√

a senθ exige θ = arcsen x√acom −π

2≤ θ ≤ π

2

x =√

a secθ exige θ = arcsec x√acom

{0 ≤ θ < π

2se x√

a≥ 1

π2

< θ ≤ π se x√a≤ −1

Como ficam esses intervalos para as outras substituições? Esses intervalos são os únicospossíveis?

Com isso, vemos que em nosso problema inicial θ varia de −π2

< θ < π2e como

x =√

a senθ devemos pegar 0 < θ ≤ π2se x > 0 e −π

2≤ θ < 0 se x < 0. Senda assim,

podemos concluir com segurança que |cosθ| = cosθ.

Caso 1 O integrando contém uma expressão da forma√

a− u2.

Vamos introduzir uma nova variável θ tomando u =√

a senθ, onde 0 ≤ θ ≤ π2se u ≥ 0 e

−π2≤ u ≤ 0.

Então du =√

a cosθ dθ, e √a− u2 =

√a− asen2θ√

a(1− sen2θ) =√

a√

cos2θ


como −π2≤ θ ≤ π

2, cosθ ≥ 0. Então

√cos2θ = cosθ, e

√a− u2 =

√a cosθ

como senθ = u√ae −π

2≤ θ ≤ π

2,

θ = sen−1 u√a

.

Exemplo 1 Calcule ∫ √5− x2

x2dx

Solução: Seja x =√

5 senθ, onde 0 < θ ≤ π2se x > 0 e −π

2≤ θ < 0 se x < 0. Então

dx =√

5 cosθ dθ e√

5− x2 =√

5− 5sen2θ =√

5√

cos2θ =√

5 cosθ

Logo, ∫ √5− x2

x2dx =

∫ √5 cosθ(

√5cosθ dθ)

5sen2θ

=

√5√

5

5

∫cotg2θ dθ =

∫(cosec2θ − 1) dθ

= −cotgθ − θ + C

Como senθ = x3e −π

2≤ θ ≤ π

2, θ = arcsenx

3. Para encontrar cotgθ, consulte as Figuras

4.2 (a) (para x > 0) e 4.2 (b) (para x < 0). Observe que em ambos os casos cotgθ =√

5−x2

x.

Logo, ∫ √5− x2

x2dx = −

√5− x2

x− arcsen

x

3+ C


a + u2

Agora vamos introduzir uma nova variável θ fazendo u =√

a tgθ, onde 0 ≤ θ < π2se u ≥ 0

e −π2

< θ < 0 se u < 0 então du =√

a sec2θ dθ, e

√a + u2 =

√a + atg2θ =

√a

√1 + tg2θ

√a√

sec2θ

Como −π2

< θ < π2, secθ ≥ 1. Assim

√sec2θ = secθ, e

√a + u2 =

√a secθ

Como tgθ = uae −π

2< θ < π

2, θ = arctg u

a

48 Antiderivadas

Figura 4.2: (a)Figura ilustrativa para o caso x > 0 (b) Figura ilustrativa para o casox < 0

Exemplo 2 Calcule ∫ √x2 + 6 dx

Solução: Substituímos x =√

6 tgθ, onde 0 ≤ θ < π2se x ≥ 0 e −π

2< θ < 0 se x < 0.

Entãão dx =√

6 sec2θ dθ e √x2 + 6 =

√6tg2θ + 6

= √6√

sec2θ =√

6 secθ

Logo, ∫ √x2 + 6 dx =

∫ √6 secθ(

√6 sec2θ) dθ

= 6

∫sec3θ dθ

Usando o resultado do exercício 8 da secção 4.2.3 (que esperamos que você tenha feito!),temos ∫ √

x2 + 6 dx =6

2secθtgθ +

6

2ln |secθ + tgθ|+ C

Determinamos secθ das Figuras 4.3 (a) (para x ≥ 0) e 4.3 (b) (para x < 0), ondetgθ = x√

6. Em ambos os casos vemos que secθ =

√x2+6√

6. Logo,

∫ √x2 + 6 dx = 3

√x2 + 6√

6

x√6

+ 3 ln |√

x2 + 6√6

+x√6| +C


=x

2

√x2 + 6 + 3 ln |

√x2 + 6 + x | − 3 ln

√6 + C

=x

2

√x2 + 6 + 3 ln (

√x2 + 6 + x) + C1

Observe que substituímos −3 ln√

6 + C pela constante arbitrária C1. Além disso, como√x2 + 6 + x > 0, retiramos as barras de valor absoluto.

Figura 4.3: (a)Figura ilustrativa para x > 0 (b) Figura ilustrativa para x < 0


u2 − a.

Agora faremos a seguinte substituição u =√

a secθ, onde 0 ≤ θ < π2se u ≥ √

a eπ ≤ θ < 3π

2se u ≤ −√a.

Então du =√

a secθ tgθ dθ e√

u2 − a =√

asec2θ − a√

a(sec2θ − 1) =√

a√

tg2θ

Como 0 ≤ θ < π2ou π ≤ θ < 3π

2, tgθ ≥ 0. Assim,

√tg2θ = tgθ, e temos

√u2 − a =

√a tgθ

Como secθ = u√ae θ está em [0, π

2]⋃

[π, 3π2

],

θ = arcsecu√a

ExercícioCalcule as integrais indefinidas:

50 Antiderivadas

1.∫ √

4− x2

x2dx

2.∫ √

x2 − 4

x2dx

3.∫

x2

√x2 + 6

dx

4.∫

dx

(16 + x2)3/2

5.∫ √

16− e2x

exdx

6.∫

dx√x2 − 4

Capítulo 5

Integral Definida

5.1 IntroduçãoA figura 5.1 abaixo exibe uma região delimitada pelo eixo x e o gráfico da função

f definida em [a, b], a qual desejamos encontrar a sua área através de aproximações porretângulos. Para isso, particionaremos o intervalo [a, b] em n partes.

Da x1x2 x3 xi=

... ... b xn+1=

f f

D ...i x...

2xDD1 x nx

Figura 5.1: Figura ilustrativa da aproximação de uma área por retângulos.

A soma das áreas destes n retângulos é dada por:

Sn = f(x1)∆1x + f(x2)∆2x + f(x3)∆3x + · · ·+ f(xn)∆nx

ou, como somatória, cuja soma é denominada Soma de Riemann,

Sn =n∑

i=1

f(xi)∆ix

Por sua vez, se fixarmos o incremento de ∆x, ou seja, consideremos uma partiçãoregular, teremos:

Sn =n∑

i=1

f(xi)∆x

51

52 Integral Definida

Definição 3 Se f for uma função definida no intervalo fechado [a, b], então a integraldefinida de f de a até b, denotada por

∫ b

af(x)dx, será dada por

∫ b

a

f(x)dx = lim∆x→0

n∑i=1

f(xi)∆x

se o limite existir.

Obs: Note que à medida que ∆x decresce, n cresce.

Na notação de integral definida,∫ b

af(x)dx, f(x) é chamada de integrando, a de

limite inferior e b de limite superior.

Se uma função for contínua no intervalo fechado [a, b], então ela será integrável em [a, b].

Definição 4 Seja f uma função contínua em [a, b] e f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b]. SejaR a região limitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b comomostra a figura 5.2. Então, a medida A da área da região R é dada por

A = lim∆x→0

n∑i=1

f(xi)∆x ⇔ A =

∫ b

a

f(x)dx

R

a bO

f

x

yx=bx=a

Figura 5.2: Área da região limitada pela curva f e pelas retas x = a e x = b e pelo eixox.

Propriedades:

1. Sendo a > b, se∫ b

a

f(x)dx existir, então∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx.

2. Se f(a) existe, então∫ a

a

f(x)dx = 0

Propriedades da Integral Definida 53

5.2 Propriedades da Integral Definida

Teorema 3 Se k for qualquer constante, então∫ b

akdx = k(b− a)

Exemplo: Calcule∫ 5

2

2dx. Pelo Teorema 3, temos:∫ 5

2

2dx = 2(5− 2) = 6

Teorema 4 Se a função f for integrável no intervalo fechado [a, b] e se k for uma con-

stante qualquer, então∫ b

a

kf(x)dx = k

∫ b

a

f(x)dx.

Exemplo:∫ 5

2

7x2dx. Pelo Teorema 4, temos:

∫ 5

2

7x2dx = 7

∫ 5

2

x2dx.

Teorema 5 Se as funções f e g forem integráveis em [a, b], então f + g será integrável

em [a, b] e∫ b

a

[f(x) + g(x)]dx =

∫ b

a

f(x)dx +

∫ b

a

g(x)dx.

Exemplo:∫ 5

2

(x2 +

1

x

)dx. Pelo Teorema 5, temos:

∫ 5

2

(x2 +

1

x

)dx =

∫ 5

2

x2dx +

∫ 5

2

1

xdx.

Teorema 6 Se a função f for integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b], então∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx, onde a < c < b.

Exemplo:∫ 5

2

4x3dx. Pelo Teorema 6, temos:∫ 5

2

4x3dx =

∫ 3

2

4x3dx +

∫ 5

3

4x3dx.

Teorema 7 Se as funções f e g forem integráveis no intervalo fechado [a, b] e se f(x) ≥g(x) para todo x em [a, b], então

∫ b

a

f(x)dx ≥∫ b

a

g(x)dx.

Exemplo: Sejam as funções f e g dadas, respectivamente, por f(x) = x3/2 + 1 e g(x) =√x, como podemos visualizar na figura 5.3 abaixo, temos que f(x) ≥ g(x) no intervalo

fechado de [0, 2]. Daí, pelo Teorema 7, teremos∫ 2

0

(x3/2 + 1

)dx ≥

∫ 2

0

√xdx.


0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

x

y

Figura 5.3: Exemplo

Teorema 8 (Teorema do Valor Médio para Integrais) Se a função f for contínua

no intervalo fechado [a, b], existe um número c em [a, b] tal que∫ b

a

f(x)dx = f(c)(b− a).

Teorema 9 (Teorema Fundamental do Cálculo-Parte 1) Se f for contínua em [a, b],então a função F definida por

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt, a ≤ x ≤ b (5.1)

é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b) e F ′(x) = f(x).

Teorema 10 (Teorema Fundamental do Cálculo-Parte 2) Se f for contínua em [a, b],então ∫ b

a

f(x)dx = G(b)−G(a)

onde G é qualquer antiderivada de f , isto é, uma função tal que G′ = f.

Exercícios

1. Calcule a integral definida:

(a)∫ 1

0

z

(z2 + 1)3dz

(b)∫ 5

4

x2√

x− 4dx

(c)∫ 1

0

√x

√1 + x

√xdx

(d)∫ 1

0

t

t3 + 1dt

Área entre Curvas 55

(e)∫ π/6

0

sen2θ

cos2 2θdθ

(f)∫ 6

3

|x− 4|dx

(g)∫ 1

0

x3e−x2

dx

(h)∫ 3

−1

|x2 − 2x|dx

2. Calcule a derivada:

(a)d

dx

∫ tan x

2

2

t2 + 4dt

(b)d

dx

∫ x3

1

√t2 + 1dt

3. Afirmar que∫ 1

−1

3

4x2dx = −3

2é uma verdade? Justifique sua resposta.

4. Se f for contínua e∫ 4

0f(x)dx = 7, calcule

∫ 2

0f(2x)dx.

5. Se x sen(πx) =∫ x2

0f(t)dt, onde f é uma função contínua, ache f(4).

6. Explique por que∫ 3

1

1

x2dx = −x−1

∣∣∣∣3

1

=−1

x

∣∣∣∣3

1

=−1

3−

(−1

1

)=

2

3está certo, e

∫ 3

−1

1

x2dx = −x−1

∣∣∣∣3

−1

=−1

x

∣∣∣∣3

−1

=−1

3−

(−1

−1

)=−4

3está errado.

5.3 Área entre CurvasSe f e g são funções contínuas em [a, b] e f(x) ≥ g(x) para todo x no intervalo, então

a área da região delimitada pelos gráficos de f e g, e as retas x = a e x = b é dada por

A =

∫ b

a

[f(x)− g(x)] dx.

Obs: É possível que os gráficos das duas funções f e g se interceptem em alguns pontos eque a área procurada corresponda à região entre estes dois gráficos. Observe a figura 5.4abaixo. Neste caso, devemos encontrar os pontos de interseção das funções f e g, fazendof(x) = g(x). Os valores de x obtidos correspondem aos limites de integração.

A1 =

∫ c

a

[g(x)− f(x)]dx


a c b x

y

AA

12

f(x)

g(x)

Figura 5.4: Ilustração de duas curvas que se interceptam.

A2 =

∫ b

c

[f(x)− g(x)]dx

Exercícios

1. Faça o esboço da região cuja área é representada pela integral definida.

(a)∫ 4

0

[(x + 1)− x

2

]dx

(b)∫ 1

−1

[(1− x2)− (x2 − 1)

]dx

2. Faça um esboço região delimitada pelos gráficos das funções e calcule a área daregião.

(a) f(x) = x2, g(x) = 4x

(b) y =√

x, y = −x, x = 1, x = 4

(c) y = x3, y = x2

(d) f(x) = senx, g(x) = cos x, −π ≤ x ≤ 2π

(e) f(x) = e0.5x, g(x) = −1

x, x = 1, x = 2

(f) f(x) = x2, x = 1, x = 2

3. Dadas as funções e retas, faça o que se pede.

• Esboce uma figura mostrando a região delimitada pelas curvas.

• Expresse a área da região como o limite da soma dos n elementos retangularesde área. Encontre este limite, calculando a integral definida pela TeoremaFundamental do Cálculo.

• O que ocorre com as áreas calculadas quando a → +∞

Área entre Curvas 57

(a) f(x) =1

x, y = 0, x = 1, x = a > 1

(b) f(x) =1

x2, y = 0, x = 1, x = a > 1

(c) f(x) =1

xr, y = 0, x = 1, x = a > 1

4. Ache a área da região destacada no gráfico da figura 5.5 a seguir.

-1 1 2 3

-1

1

2

3

x

yx-2x+1

-x+3

2 2

x


Capítulo 6

Construção de Gráficos

6.1 Funções Crescentes e Funções Decrescentes

Definição 5 Seja f uma função definida num intervalo I, e sejam x1 e x2 números emI(i) f é crescente em I se f(x1) < f(x2) quando x1 < x2;(ii) f é decrescente em I se f(x1) > f(x2) quando x1 < x2;(iii) f é constante em I se f(x1) = f(x2) para todos x1 e x2.

O a cb d h

f (a)>0f (c)

f (d)<0

f (e)=0

f (b)=0

e g

Figura 6.1: Relação entre uma curva e sua derivada.

Observe, na figura 6.1 acima , que quando a declividade da reta tangente ao gráficode f é positiva, a função é crescente. Quando a declividade da reta tangente é negativa,a função é decrescente. Isso é formalizado no teorema abaixo:

Teorema 6 Seja f uma função diferenciável no intervalo (a, b).(i) Se f ′(x) > 0 para todo x em (a, b), f é crescente em (a, b).(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x em (a, b), f é decrescente em (a, b).(iii) Se f ′(x) = 0 para todo x em (a, b), f é constante em (a, b).

58

Extremos de Funções 59

Definição 7 Se f é definida em c e f ′(c) = 0 ou se f ′ não é definida em c, então c é umponto crítico de f .

Suponhamos que tivéssemos que determinar os intervalos em que a função contínuaf é crescente e decrescente. Para tanto, poderíamos levar em consideração os pontoscríticos de f .

Diretrizes para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento deuma função:

1. Achar a derivada de f .

2. Determinar os pontos críticos de f e utilizá-los para estabelecer os intervalos deteste.

3. Testar o sinal de f ′(x) para um valor arbitrário em cada um dos intervalos de teste.

4. Estudar o sinal de f ′(x) para decidir se f é crescente ou decrescente em cada inter-valo.

Obs.: Devemos tomar cuidado com os pontos onde a função é descontínua.Exercícios

1. Encontre os pontos críticos e os intervalos abertos onde a função é crescente oudecrescente.

a) f(x) = −(x− 1)2 b) f(x) =√

4− x2

c) f(x) = cos(x) + sen(x); com x ∈ (0, 2π) d) f(x) = x + 1x

6.2 Extremos de Funções

Os pontos em que uma função passa de crescente para decrescente, ou vice-versasão chamados de extremos relativos da função, que podem ser mínimos relativos oumáximos relativos.

Definição 8 Seja f uma função definida num intervalo I tal que c ∈ I.(i) f(c) é um valor máximo relativo de f se existe um intervalo (a, b) ⊂ I contendoc tal que f(x) ≤ f(c) para todo x em (a, b). Neste caso, c é dito ponto de máximorelativo de f .(ii) f(c) é um valor mínimo relativo de f se existe um intervalo (a, b) ⊂ I contendoc tal que f(x) ≥ f(c) para todo x em (a, b). Neste caso, c é dito ponto de mínimorelativo de f .

Teorema 9 Se f tem um extremo relativo em um ponto c em um intervalo aberto, entãoc é um ponto crítico de f , isto é, ou f ′(c) = 0 ou f ′(c) não é definida.

60 Construção de Gráficos

Definição 10 Seja f uma função definida num intervalo I tal que c ∈ I.(i) f(c) é um valor máximo absoluto de f se f(x) ≤ f(c) para todo x em I.(ii) f(c) é um valor mínimo absoluto de f se f(x) ≥ f(c) para todo x em I.

Exercícios

1. Determine os extremos relativos e absolutos da função f(x) = 12x2 − 2x em cada

intervalo.

a) [0, 5] b) (0, 4)c) (0, 2) d) [2, 5]

6.2.1 Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos

Seja c um ponto crítico de f , e suponhamos f contínua em c e diferenciável em umintervalo aberto I contendo c, exceto possivelmente no próprio c.

1. Se f ′(x) passa de positiva para negativa em c, então f(c) é valor máximo relativode f .

2. Se f ′(x) passa de negativa para positiva em c, então f(c) é valor mínimo relativode f .

3. Se f ′(x) tem o mesmo sinal à esquerda e à direita de x = c no intervalo I, entãof(c) não é extremo relativo de f .

Exercícios

1. Determine os extremos relativos de f , os extremos absolutos de f e os intervalos emque f é crescente ou decrescente, utilizando o teste da derivada primeira.

a) 5− 7x− 4x2 b) 2x√

3− xc) f(x) = 2x

16−x2 d) tan(x)− 2 sec(x); com x ∈ (−π4

, π4)

2. Encontre a, b, c e d tal que a função f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenha extremosrelativos em (1, 2) e (2, 3).

3. Encontre a, b e c, tal que a função f(x) = ax2 + bx + c tenha um valor máximorelativo y = 7 em x = 1 e o gráfico de y = f(x) passe pelo ponto (2,−2).

6.3 Teste da Concavidade

Definição 11 Seja uma função f diferenciável em um intervalo aberto I. O gráfico de fé(i) côncavo para cima em I se f ′ é crescente em I.(ii) côncavo para baixo em I se f ′ é decrescente em I.

Teste da Concavidade 61

Teste da Concavidade: Se a derivada segunda f ′′ de f existe em um intervalo abertoI, então o gráfico de f é

(i) côncavo para cima em I se f ′′(x) > 0 em I.(ii) côncavo para baixo em I se f ′′(x) < 0 em I.

Definição 12 Um ponto (c, f(c)) do gráfico de f é um ponto de inflexão se são verificadasas duas condições:(i) f é contínua em c.(ii) Existe um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em(a, c) e côncavo para baixo em (c, b), ou vice-versa.

Observação: Se (c, f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico de f , então ou f ′′(x) = 0 ouf ′′(x) não existe.Exercícios

1. Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou côncavo parabaixo.

a) f(x) =x2

x2 + 4b) f(x) =

√9− x2

c) f(x) = 2x− 3 d) f(x) =1

2x− sen(x); com x ∈ (0, 2π)

2. Determine os pontos de inflexão, se existirem, para as funções do exercício anterior.

3. Considerando a primeira figura deste capítulo, determine os intervalos onde f écôncava para cima e côncava para baixo.

4. Considerando o gráfico de f ′ na figura 6.2 abaixo determine os intervalos onde f écôncava para cima e côncava para baixo.

O a cb d


6.3.1 Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos

Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c tal que f ′(c) = 0.

1. Se f ′′(c) > 0, então f(c) é mínimo relativo em c.


2. Se f ′′(c) < 0, então f(c) é máximo relativo em c.

Exercícios

1. Encontre os extremos relativos, usando o teste da derivada segunda, para as seguintesfunções:

a) f(x) =x2

x2 + 4b) f(x) =

√9− x2

c) f(x) = 2x− 3 d) f(x) =1

2x− sen(x); com x ∈ (0, 2π)

6.4 Assíntotas Verticais, Horizontais e Oblíquas

Definição 13 A reta x = a será uma assíntota vertical do gráfico da função f , se pelomenos uma das afirmativas for verdadeira:(i) lim

x→a+f(x) = +∞

(ii) limx→a+

f(x) = −∞(iii) lim

x→a−f(x) = +∞

(iv) limx→a−

f(x) = −∞

Definição 14 A reta y = b é denominada uma assíntota horizontal do gráfico dafunção f se pelo menos uma das seguintes afirmações for válida:(i) lim

x→+∞f(x) = b e para um número N , se x > N , então f(x) 6= b;

(ii) limx→−∞

f(x) = b e para um número N , se x < N , então f(x) 6= b.

Definição 15 A reta y = a x + b é denominada assíntota inclinada (ou oblíqua),onde a e b são dados por

a = limx→±∞

f(x)

xb = lim

x→±∞(f(x)− a x),

desde que os limites existam.

Exercícios

1. Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função.

a) f(x) =2√

x2 − 4b) f(x) =

4− 3x

x + 1

Esboço de Gráficos 63

6.5 Esboço de GráficosPara obter um esboço do gráfico de uma função f , você deverá aplicar as propriedades

já discutidas e proceder da seguinte forma:

1. Achar o domínio de f.

2. Determinar se f é contínua em seu domínio e, caso contrário, achar e classificar asdescontinuidades.

3. Calcular os interceptos x e y. Os interceptos-x são as soluções da equação f(x) = 0;o intercepto-y é o valor f(0) da função, se existir.

4. Testar a simetria em relação ao eixo-y e a origem. Se f é uma função par, o seugráfico é simétrico em relação ao eixo-y. Se f é uma função ímpar, o seu gráfico ésimétrico em relação à origem.

5. Calcular f ′(x) e determinar os pontos críticos de f , isto é, os valores de x tais quef ′(x) = 0 ou f ′(x) não existe. Use o teste da derivada primeira para auxiliar napesquisa dos extremos relativos. Utilize o sinal de f ′(x) para achar intervalos emque f é crescente (f ′(x) > 0) ou decrescente (f ′(x) < 0).

6. Determinar f ′′(x) e usar o teste da derivada segunda sempre que adequado. Quandof ′′(x) > 0 em um intervalo I, o gráfico é côncavo para cima. Quando f ′′(x) < 0 ográfico é côncavo para baixo. Se f é contínua em c e se f ′′(x) muda de sinal em c,então (c, f(c)) é um ponto de inflexão.

7. Verificar a existência de possíveis assíntotas.

Exercícios

1. Esboce os gráficos das funções seguintes usando as diretrizes acima.

a) f(x) = x3 − 9 b) f(x) =2x2

9− x2

c) f(x) = exp x2 d) f(x) =−3x√x2 + 4

2. Leve em conta as informações abaixo e o gráfico da derivada f ′ de uma função f nafigura 6.3 para resolver esta questão.

(i) f(0) = 18, f(−1) = f(1) = 0

(ii) limx→+∞

f(x) = limx→−∞

f(x) = 12

(iii) limx→−2+

f(x) = −∞ e limx→−2−

f(x) = +∞(iv) lim

x→2+f(x) = +∞ e lim

x→2−f(x) = −∞

a) Determine os pontos críticos de f .


2

-2-4

4

f


b) Determine o(s) intervalo(s) em que f é crescente e decrescente.

c) Determine o(s) extremo(s) relativo(s) de f .

d) Determine o(s) intervalo(s) em que f é côncava para cima ou para baixo.

e) Determine o(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f , se existirem.

3. Considere a função f(x) = x3 − 3x− 2.

(a) Analise o crescimento;

(b) Ache os pontos críticos e classifique-os;

(c) Analise a concavidade;

(d) Esboce o gráfico.

Capítulo 7

Aplicações de Derivada

7.1 Taxas de VariaçãoAprendemos que a derivada de f é a função que a cada x de seu domínio associa a

inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)). Apresentaremos agora, umnovo conceito: a derivada de f é uma função que dá a taxa de variação de f(x) em relaçãoa x no ponto (x, f(x)). Existem inúmeras aplicações de taxas de variação na vida real:velocidade, aceleração, taxas de crescimento populacional, taxas de desemprego, taxas deprodução, taxas de fluxo de água, . . .

1. (Eficácia de um remédio) A eficácia E de um remédio (em uma escala de 0 a 1)de um analgésico t horas após penetrar na corrente sanguínea é dada por E =1

27(9t + 3t2− t3), 0 ≤ x ≤ 4, 5. Determine a taxa de variação da eficácia E quando:

(a) t = 0 (b) t = 1 (c) t = 3

2. (Congelamento) A 0o Celsius, a perda H de calor (em quilocalorias por metroquadrado por hora) do corpo de uma pessoa pode ser dada por H = 33(10

√v− v +

10, 45), onde v é a velocidade do vento (em metros por segundo). Ache a taxa devariação de H quando: (a) v = 2 e (b) v = 5

3. (Velocidade) Deduza a equação da velocidade instantânea de um objeto cuja posiçãos (em metros) é s(t) = t2 + 2t, onde t é o tempo (em segundos).

4. O Modelo de Ebbinghaus para a memória humana é p(t) = (100− a)e−bt + a, ondep é a percentagem retida após t semanas - as constantes a e b variam de uma pessoapara outra. Se a = 20 e b = 0, 5, qual a taxa de retenção de informações após:(a) 1 semana e (b) 3 semanas

5. (Química) Os isótopos radioativos de einstenium têm uma meia-vida de 276 dias. Se1 grama de isótopos está presente em um objeto agora, a quantidade A (em gramas)presente após t dias é A(t) = 0, 5t/276. A que taxa a quantidade A está variandoquando t = 500 dias?

65

66 Aplicações de Derivada

7.2 Taxas RelacionadasSuponha que duas variáveis x e y sejam funções de outra variável t, x(t) = f(t) e

y(t) = g(t). Podemos interpretar as derivadasdx

dte

dy

dtcomo as taxas de variação de x e

y em relação a t. Em certas aplicações, x e y podem estar relacionadas por uma equação,

neste caso as derivadasdx

dte

dy

dtsão chamadas taxas relacionadas.

Diretrizes para resolver problemas de taxas relacionadas:

• Faça uma figura, se isto for possível.

• Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmentedependem de t.

• Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas emrelação a t.

• Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t.

• Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa anterior.

• Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa anterior eresolva em termos da quantidade desejada.

1. Nos exercícios a seguir admita que todas as variáveis sejam funções de t.

(a) Se A = x2 e dxdt

= 3, determinedA

dtquando x = 5.

(b) Se 2y3 − x2 + 4x = −10 edy

dt= −3 quando x = −2 e y = 1, determine

dx

dt.

(c) Se 3x2y + 2x = −32 edy

dt= −4 quando x = 2 e y = -3, determine

dx

dt.

(d) Se −x2y2 − 4y = −44 edx

dt= 5 quando x = −3 e y = 2, determine

dy

dt.

(e) Uma pessoa parte do ponto A em direção sul a 4m/s. Um minuto depois,outra pessoa parte de A em direção oeste a 3m/s. A que taxa está variando adistância entre elas 1min após a partida da segunda pessoa?

(f) Joga-se uma pedra em um lago, produzindo ondas circulares cujos raios au-mentam a uma razão constante de 0,5m/seg. A que taxa está aumentando acircunferência da uma onda quando o raio é de 4m?

(g) Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Sea base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,6m/s, comque velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 4m do solo?

Problemas de Otimização 67

(h) Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindoa direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul,a 60km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro noinstante em que o primeiro carro está a 0,2km do cruzamento e o segundo a0,15km?

(i) Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio docírculo aumenta à razão de 1m/min. Determine a taxa à qual a área incendiadaestá aumentando quando o raio é de 20m.

(j) Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m3/min, formandoum monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base,com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura?

7.3 Problemas de Otimização

Em aplicações, uma quantidade física ou geométrica costuma ser descrita por meiode alguma função. Por exemplo, a função T pode representar a temperatura de um objetonum instante t. Se T é diferenciável, então a derivada T ′ pode ser útil na pesquisa demáximos e mínimos de T . A tarefa de determinar esses valores constitui um problema deotimização. Um resultado importante para trabalharmos com esse tipo de problema é oseguinte:

Teorema 16 (Weierstrass) Se f é uma função contínua no intervalo [a, b] então f possuium valor máximo e um valor mínimo em [a, b], ou seja, existem x1 e x2 pertencentes aointervalo [a, b] tal que f(x1) = m , f(x2) = M e m ≤ f(x) ≤ M , para todo x ∈ [a, b] .

a xx b12

m

M

Figura 7.1: Figura ilustrativa do teorema de Weierstrass.

7.3.1 Diretrizes para a resolução de problemas de otimização

1. Ler cuidadosamente o problema algumas vezes, refletindo sobre os fatos descritos eas quantidades desconhecidas a serem determinadas.


2. Sempre que possível, esboçar um diagrama e rotulá-lo adequadamente, introduzindovariáveis para representar as quantidades desconhecidas.

3. Registrar os fatos conhecidos juntamente com quaisquer relações envolvendo as var-iáveis.

4. Determinar qual variável deve ser maximizada ou minimizada, e expressar esta var-iável como função, f , de uma das outras variáveis.

5. Determinar o domínio e os pontos críticos da função, f , obtida no passo 4 .

6. Determinar os extremos da função f da seguinte forma:

(i) se o domínio for um intervalo aberto, utilizar os testes de derivadas primeira ousegunda.

(ii) se o domínio for um intervalo fechado e f for contínua neste intervalo, verificar ovalor de f nos pontos extremos do domínio e nos pontos críticos – o maior (menor)valor assumido será o máximo(mínimo).

Exemplo: Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolinade 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto dacartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho doquadrado que permite construir uma caixa com volume máximo. (Desprezar a espessurada cartolina).Solução:1) Ler o problema ao menos uma vez mais.2) Fazer um esboço da caixa como na figura 7.2 abaixo, introduzindo uma variável x paradenotar o lado do quadrado a ser cortado de cada canto.

Figura 7.2: Exemplo.

3) Dobrando-se a cartolina, a base da caixa obtida terá dimensões 52− 2x e 40− 2x.

Problemas de Otimização 69

4) A quantidade a ser maximizada é o volume V da caixa. Com base na figura 7.2 acima,expressamos V como função de x:

V (x) = x(40− 2x)(52− 2x) = 4(520x− 46x2 + x3)

5) Para determinar o domínio de V , basta analisar as restrições do problema: as dimensõesx, 52− 2x e 40− 2x, bem como o volume, V , da caixa devem ser não negativos, isto é:

x ≥ 0 e (52− 2x) ≥ 0 e (40− 2x) ≥ 0 e x(40− 2x)(52− 2x) ≥ 0

Daí, resulta D(V ) = [0, 20]. E para encontrar os pontos críticos da função, diferen-ciamos V em relação a x:

V ′(x) = 4(520− 92x + 3x2)

Fazendo V ′ = 0, obtemos as raízes(aproximadas) 23, 19 e 7, 47, que são possíveispontos críticos. Como 23, 19 está fora do domínio da função volume V , o ponto crítico é7, 47.6) Uma vez que V possui como domínio o intervalo fechado [0, 20] e é continua nesteintervalo, basta calcularmos os valores que V assume nos extremos do domínio e nospontos críticos – o maior valor será o máximo e o menor, o mínimo: os pontos x = 0 ex = 20 dão o valor mínimo V (0) = V (20) = 0, já para o ponto crítico x = 7, 47, obtemosV = 15, 537cm3, que é o valor máximo.

Exercícios

1. Resolva os seguintes problemas :

(a) Um fazendeiro tem 200m de cerca para construir três lados de um cercadoretangular. Um muro longo e retilíneo servirá como o quarto lado. Que dimen-sões maximizarão a área do cercado?

(b) Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado, com exceção dolado ao longo rio. O custo do material é de R$12 por metro linear no ladoparalelo ao rio e R$8 por metro linear nos dois extremos. Ache a maior áreapossível do campo que possa ser cercado com um custo de R$3600 de material.

(c) Sendo 5832 cm3 o volume de um reservatório de base quadrada, R$ 3,00 porcm2 o preço do material da tampa e da base e R$ 1,50 por cm2 o valor domaterial para os lados, calcule as dimensões desse reservatório de modo que ocusto total do material seja mínimo.

(d) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375πcm3.O custo do material usado para base do recipiente é de 15 centavos por cm2

e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm2 . Senão há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo domaterial.


(e) Numa determinada vila, a taxa segundo a qual um boato se espalha é conjunta-mente proporcional ao número de pessoas que ouviram o boato e ao número depessoas que não ouviram. Mostre que o boato será espalhado com velocidademáxima, quando a metade da população já o escutou.

(f) Para um pacote ser aceito por um determinado serviço de entrega de encomen-das, a soma do comprimento e do perímetro da seção transversal não deveser maior que 100cm. Se um pacote tiver o formato de uma caixa retangularcom uma seção quadrada, ache as dimensões do pacote, tendo o maior volumepossível, que possa ser despachado.

(g) Uma pessoa se acha em um bote a 2km de distância do ponto mais próximoem uma praia retilínea, e deseja atingir uma casa a 6km praia abaixo. Se apessoa pode remar à razão de 3km/h e andar à razão de 5km/h, determine otempo mínimo que a pessoa levará para atingir a casa.

(h) Um construtor deseja construir um depósito com capacidade de 30m3, tetoplano e base retangular cuja largura é três quartos do comprimento. O custodo material, por m2, é de R$36.000,00 para o chão, R$204.000,00 para os ladose R$102.000,00 para o teto. Que dimensões minimizarão o custo?

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