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PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS ( P.G.)

1 - Definição

Vamos analisar algumas seqüências:

( 4 , 8 , 16 , 32 , 64 ) ( 6, - 18 , 54 , - 162 )

( 8 , 2 , )32

1,

8

1,

2

1

Em todas essas seqüências, a lei de formação é : cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior,

multiplicado por um número fixo.

Toda a seqüência que tiver essa lei de formação será denominada PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.

O número fixo pelo qual estamos multiplicando cada termo é chamado razão da progressão.

2 - REPRESENTAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G. )

A representação matemática de uma progressão geométrica (P.G.) é :

(a1 , a2, a3 , a4 , ......, an ,...... ) em que :

a1 significa primeiro termo ( lê-se : a índice 1 )

a2 significa segundo termo ( lê-se : a índice 2 )

a3 significa terceiro termo ( lê-se : a índice 3 )

2

onde : ......3

4

2

3

1

2 GPdarazãoaéqqa

a

a

a

a

a

Vejamos alguns exemplos :

1º) Escreva uma P.G. de cinco termos em que a1 = 2 e q = 3 .

2º) Escreva uma P.G. de cinco termos em que a1 = - 3 e q = 4 .

3º) Escreva uma P.G. de cinco termos em que a1 = 800 e q = 4

1 .

4º) Determine a razão de cada uma das P.G. abaixo :

a) ( 2, 8 ,32, . . . ) b) ( 200, 50 , . . . )

5º) Se a sequência ( x , 3x + 2 , 10x + 12 ) é uma P.G. , calcule x.

3

EXERCÍCIOS

1º) Escrever os cinco primeiros termos de cada P.G. abaixo, onde :

a) a1 = 5 e q = 2 b) a1= 3 e q = -4

c) a1 = - 2 e q= 3 d) a1 = - 3 e q = - 2

2º) Determine a razão de cada uma das seguintes P.G. :

a) (3 , 12 , 48 , . . . ) b) (10 , 5 , . . . ) c) ( 5, - 15 , . . . )

d) (10 , 50 , . . . ) e) ( 8 , .)..2

1 f) ( .)..,

5

2,

4

3

3º) Complete cada uma das P.G. :

a) (3,6,......,.......,.....,.......) b) (1 , 5 , ......,........,.........,.........)

c) (400 , 200 , ........ ,.........,..........,............) d) (-2 , - 6 , ......... ,..........,............,..........)

4

4º) Se a sequência ( x , 3x + 2 , 10x + 12 ) é uma P.G. , calcule x.

5º) Determine o valor de x de modo que os números x + 1 , x + 4 e x + 10 , formem

uma P.G.

6º) Calcule o valor de x de modo que a sequência ( 1 + x , 3 + x , 4 + x ) seja uma P.G.

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3 - FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P . G.

- Da mesma forma como fizemos para a P.A. vamos demonstrar a fórmula do termo geral de uma

P.G. , que permite encontrar qualquer termo sem precisar escreve-la integralmente.

Observe:

(a1 , a2, a3 , a4 , ......, an ,...... ) (2 , 6 ,18 , 54 , 162 , 486 , . . . )

EXEMPLOS:

1º) Achar o décimo termo da P.G. ( 1 , 4, . . . ) .

2º) Achar o vigésimo termo da P.G. ( 2 ,6 , . . . ) .

6

3º) Numa P.G. de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. Calcular o primeiro termo dessa

P.G.

4º) Numa P.G. de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último termo é 486. Calcular a razão dessa P.G.

5º) Numa P.G. de razão 4 , o primeiro termo é 8 e o último é 231

. Quantos termos tem essa P.G. ?

6º) Calcular o número de termos da P. G. ( 3 , 6 , . . . , 768 ).

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EXERCÍCIOS

1º) Ache o décimo segundo termo da P. G. ( 2 , 6 , . . . )

2º) Encontre o décimo termo da P.G. ( )..,.2,2

1

3º) Numa P.G. de seis termos o primeiro termo é 2 e o último é 15552. Calcular a razão

dessa P.G.

4º) Qual é o sexto termo da P.G. ( 512, 256, . . . ) ?

5º) Numa P. G. o 1º termo é 4 e o quarto termo é 4000. Qual é a razão dessa P . G. ?

8

6º) Determine quantos termos tem a P G ( 6 , 18 , . . . , 1458 ) .

7º) Interpolar quatro meios geométricos entre 2 e 486 .

8º) faça a interpolação de 5 meios geométricos entre 4 e 2916 .

9º) (UGF – RJ) Calcule a razão de uma P G , na qual o 1º termo é 2

1 e o 4º termo é

27

4 .

9

10º) Calcule o 1º termo de uma P G , sabendo que a 9 = 1280 e q = 2 .

11º) Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48 .

12º) (UCB – 01) Inserindo-se quatro meios geométricos entre a e 486, obtém-se uma PG de razão

igual a 3 . Qual o valor de a ?

13º) (UERJ-80) Numa P.G. de razão 3 , o primeiro termo é 27 e o último é 315

. Quantos

termos tem essa P.G. ?

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4 - FÓRMULA DA SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.G FINITA

Seja a P.G. finita ( a1 , a2 , a3 , . . . na ) de razão q , a soma dos seus termos

É dada por :

1º caso : Se q = 1

Sn = n.a1

2º caso : Se q 1

Sn = 1

11

q

a qn

ou Sn = 1

. 1

q

aqan

EXEMPLOS

1º) Dada a P.G. ( 1 , 3 , 9 , 27 , . . . ) calcular a soma dos 6 primeiros termos.

2º) Dada a P.G. ( 2 , 8 , . . . ) calcular a soma dos 8 primeiros termos.

3º) Qual é a soma dos 30 primeiros termos da P.G. em que a1 = 1 e q = 3 ?

11

4º) Dar o valor de x na igualdade x + 3x + . . . + 729x = 5465 , sabendo-se que os termos do

1º membro formam uma P.G.

Exercícios

1º) Obtenha a soma dos 6 primeiros termos da P.G. ( 7 , 14 , . . . ) .

2º) Qual será a soma dos 20 primeiros termos de uma P.G. em que a1 = 1 e q = 2 ?

3º) Dar o valor de x na igualdade 10x + 20x +40x . . . +1280x = 7650 , sabendo-se que os termos

do1º membro formam uma P.G

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5 - FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA

Se em uma P.G. – 1 < q < 1 ou seja 1q a soma de seus infinitos termos é dada por:

q

aS

1

1

EXEMPLOS

1º) Calcular a soma dos termos da P.G.

...,

16

1,

4

1,1

2º) Calcular a soma dos termos da P.G. infinita

..,

125

24,

25

12,

5

6,3

3º) Calcular a soma dos infinitos termos da série 1 + .....27

1

9

1

3

1

13

EXERCÍCIOS

1º) Calcule a soma dos termos de cada uma das seguintes P.G. :

a)

...,

5

1,1,5

b) (20 , 10 , 5 , . . . )

c)

..,

3

10,10,30

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2º) Resolva as equações em que o primeiro membro representa a soma dos termos de uma P.G.

infinita :

a) 80x + 4ox + 20x + ... = 320 b) 12.....93

xx

x

c) 1 + x + x2 + x

3 + . . . = 3

3º) Calcule a soma da série infinita ...27

2

9

2

3

2

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