Equações do 1º grau (Parte 3)

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumário Página Equações do 1º grau com uma incógnita .................................................................................... 1

Resolvendo uma equação do 1º grau com uma incógnita .......................................................... 2

Usando equações na resolução de problemas ............................................................................ 6

Referências bibliográficas .......................................................................................................... 9

1

EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Equações do 1º grau com uma incógnita

Toda equação que, reduzida à sua forma mais simples, assume a forma bax = , onde x representa a incógnita e a e b são números racionais, com a ≠ 0, é denominada equação do 1º grau com uma incógnita.

Os números a e b são denominados coeficientes da equação.

Exemplos:

a) 6=x � equação do 1º grau na incógnita x

b) 123 =x � equação do 1º grau na incógnita x

c) 102 =− y � equação do 1º grau na incógnita y

d) 53 −=t � equação do 1º grau na incógnita t

Entretanto existem outras equações do 1º grau com uma incógnita que não são escritas na forma bax = .

Exemplos:

a) 452 −=+ xx � equação do 1º grau na incógnita x

b) 53

2 =+ yy � equação do 1º grau na incógnita y

c) 6)1(3 =−x � equação do 1º grau na incógnita x

d) 13

1

2=−+ zz

� equação do 1º grau na incógnita z

Essas equações podem ser reduzidas à forma mais simples de uma equação do 1º grau com uma incógnita através de transformações. Essas transformações são baseadas na aplicação dos princípios de equivalência das igualdades.

2

Resolvendo uma equação do 1º grau com uma incógnita

Consideremos a equação )1(232

−=+ xx

cuja incógnita é representada pela letra

x, sendo x um número racional desconhecido (U = �).

Essa equação estabelece, numa linguagem matemática, que, para um certo

número racional x, as expressões 32

+x e )1(2 −x representam o mesmo

número.

Como descobrir esse x?

Lembre-se:

Resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita, dentro de um conjunto universo, significa determinar a solução ou raiz dessa equação, caso exista.

Observe os exemplos a seguir para ver como proceder para resolver equações do 1º grau com uma incógnita:

Exemplos:

a) Resolver a equação 3615 =+x , sendo U = �.

Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar (−1) aos dois membros da equação, isolando o termo que contém a incógnita x no 1º membro:

355

136115

3615

=−=/−/+

=+

x

x

x

Aplicando o princípio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros da

equação por 5

1, descobrindo assim o valor do número x.

75

135

5

15

355

=

⋅=⋅

=

x

x

x

Como 7 ∈ �, temos S = {7}

3

Podemos resolver a mesma equação utilizando o método prático:

7

tivomultiplica princípio o aplicamos 5

35

355

aditivo princípio o aplicamos 1365

3615

=

→=

=→−=

=+

x

x

x

x

x

Como 7 ∈ �, temos S = {7}

OBS: No método prático, cada vez que um termo troca de membro, troca a operação. Muito cuidado para não confundir: não devemos trocar o sinal do número e sim a sua operação. Por exemplo:

52

10

102

−=−

=

=−

y

y

y

S = {−5}

b) Resolver a equação 547 += xx , sendo U = �.

Utilizando o método prático:

35

53

547

547

=

==−+=

x

x

xx

xx

Como 35

∈ �, temos:

=35

S

4

c) Resolver a equação 13579 +=− xx , sendo U = �.

Utilizando o método prático:

5420

204

71359

13579

=

=

=+=−

+=−

x

x

x

xx

xx

Como 5 ∈ �, temos:

{ }5S=

d) Resolver a equação )54(2)21(6)12(2 −⋅=−⋅−−⋅ xxx , sendo U = �.

Utilizando o método prático:

41

82

28

810816

62108124

10812624

)54(2)21(6)12(2

−=

−=

−=+−=−

++−=−+−=+−−

−⋅=−⋅−−⋅

x

x

x

xx

xxx

xxx

xxx

Como 41− ∈ �, temos:

−=

41

S

5

e) Resolver a equação 2

5

3

2

4

3 −=− xx

, sendo U = �.

Utilizando o método prático:

322

322

223

830129

30128912

301212

8925

32

43

=

−−=

−=−+−=−

−=−

−=−

−=−

x

x

x

xx

xx

xx

xx

ou

3

22

223

)1(223

=

=−⋅−=−

x

x

x

Como 322

∈ �, temos:

=

322

S

f) Resolver a equação 10767 +=+ xx , sendo U = �.

Utilizando o método prático:

40

61077

10767

=−=−

+=+

x

xx

xx

Como não existe nenhum número racional que multiplicado por zero dá resultado 4, dizemos que a equação é impossível e S = �.

6

g) Resolver a equação xx 2525 −=− , sendo U = �.

Utilizando o método prático:

00

5522

2525

=−=+−

−=−

x

xx

xx

Como todo número racional verifica essa igualdade, dizemos que a equação é uma identidade e S = �.

Usando equações na resolução de problemas

A resolução matemática de problemas é muito facilitada pela estrutura algébrica. Quando vamos resolver um problema, devemos:

• Ler com atenção o problema e levantar dados.

• Fazer a tradução do enunciado para a linguagem das equações, usando letras e símbolos.

• Resolver a equação estabelecida.

• Analisar o resultado obtido e dar a resposta conveniente.

Vejamos alguns exemplos de problemas em cujas soluções serão usadas equações do 1º grau.

Exemplos:

a) Luiz e Roberto jogam na mesma equipe de basquete. No último jogo dessa equipe, os dois marcaram juntos 52 pontos. Luiz marcou 10 pontos a mais que Roberto. Quantos pontos cada um marcou nessa partida?

Resolução:

x = número total de pontos que Roberto marcou

x + 10 = número total de pontos que Luiz marcou

7

Como os dois junto marcaram 52 pontos, vamos escrever a equação:

212

42

422

10522

5210

52)10(

=

=

=−=

=++=++

x

x

x

x

xx

xx

Roberto marcou 21 pontos

Luiz marcou 21 + 10 = 31 pontos.

Resposta: Roberto marcou 21 pontos e Luiz marcou 31 pontos.

b) Em uma página de jornal, 25% da área foi reservada às fotos, e sobraram 420 cm2. Qual era a área total da página?

Resolução:

x = área total da página

Convém lembrar que 4

1

100

25%25 ==

x4

1 = área da página destinada às fotos

Escrevendo a equação que relaciona os dados, temos:

8

5603

1680

16803

)1(16803

168044

1680

4

4

4204

1

4204

1

=

=

=−⋅−=−

−=−

−=−

−=−

=+

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

Resposta: A área total dessa página de jornal era 560 cm2.

c) Numa 6ª série de uma escola, ocorre um fato curioso. Os 42 alunos da turma ou torcem pelo Grêmio ou pelo Internacional ou por ambos. Uma professora perguntou:

_ Quem torce pelo Internacional?

36 alunos levantaram a mão.

A seguir, a professora perguntou:

_ Quem torce pelo Grêmio?

28 alunos levantaram a mão.

Nessa turma, quantos alunos torcem, ao mesmo tempo, pelo Grêmio e pelo Internacional?

Resolução:

Para resolver este problema, podemos montar o seguinte diagrama:

9

x = número de alunos que torcem pelos dois times ao mesmo tempo

36 – x = número de alunos que torcem pelo Internacional

28 – x = número de alunos que torcem pelo Grêmio

A soma desses números deverá dar o total de alunos da sala; assim, teremos a equação:

22

)1(22

6442

4264

422836

42)28()36(

=−⋅−=−

−=−=+−

=−++−=−++−

x

x

x

x

xxx

xxx

Resposta: Nessa turma, há 22 alunos que torcem, ao mesmo tempo, pelos dois clubes.

Referências bibliográficas

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando

matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:

FTD, 2006.

BRASIL ESCOLA. Disponível em: <http://www.brasilescola.com>. Acesso em:

30 de julho de 2008.

10

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:

Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e

descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José

Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São

Paulo: Scipione, 2006.

MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.