MAT 3A AULA 7 1 2 3 4 - Portal Positivoblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/... · II –...

MAT 3A AULA 7

MAT 3A AULA 7 – 1

(4; 2)

y = ax + b b = 0

2 = a 4 a = 1

2 f(x) = 0,5x

MAT 3A AULA 7 – 2

{4a + b = 2 (1)} + {7a + b = 4} = 3a = 2 a = 2

3

MAT 3A AULA 7 – 3

4 2

3 + b = 2

B = 2 8

3 b =

2

3

MAT 3A AULA 7 – 4

Do gráfico temos:

f(0) = 0,5

f(1) = 0

f(x) é decrescente

f(x) > 0 para x < 1

f(x) < 0 para x < 1

f(x) > 0,5 para x < 0

V F F V V V

MAT 3A AULA 7 – 5

S = 800 +4

100×V

S = 800 + 0,04V

Alternativa C

MAT 3A AULA 7 – 6

2k + 10 = 20 2k = 10 k = 5

f(x) = 5x + 10

MAT 3A AULA 7 – 7

f(x) decrescente, então, a <0

f(x) intercepta eixo y em um valor positivo, logo, b > 0

Alternativa A

MAT 3A AULA 7 – 8

a + b = 3

a + b = 1

2b = 4 a = 1

f(x) = x + 2

MAT 3A AULA 7 – 9

1

2a + b = -3

-a + b = 6

· 3ª = 9

a = 3 b = 3

b a = 3 (3) = 6

MAT 3A AULA 7 – 10

1

a + b = 190

50a + b = 2 052

·

49ª = 1 862

a = 38 b = 152

f(x) = 38x + 152

f(50) = 760 + 152 = 912


(-1)a + b = 6

3a + b = 2

·

2a = 4 a = 2


L(x) = 45x 25x 500


P = 4,60 + 0,96 d

P = 19,00 19 = 4,60 + 0,96

d = 15 km

Alternativa C


1º Mês: 500 . 1,40 = 700 m2

S = 300+ 0,50 ×700®S = 650,00

2º Mês: 1400 m2

S = 300+ 0,50 ×1400®S =1000,00

Alternativa C


T = 150 -150

12x

T = 150 -12,5x

T = 12,5 ×(12 - x)

Alternativa A


V1

= 100 -100

40d

V2

= 80 -80

48d

ì

íïï

î

ïï

V1 = V2

100 -100

40d = 80 -

80

48d

20 =5

2d -

5

3d

120 = 5d d = 24


1 litro = 1 000 ml = (400 ml diesel) + (600 ml álcool)

Vol. Diesel com ml de álcool

400 = 0,3 (1 000 + x)

x = 1 000

3 ml


L =70,00;0 < x £ 50

45 + 0,50x;x > 50

ìíî

C =40,00;0 < x £ 40

x;x > 40

ìíî

I – Falsa. C(80) = 80,00

II – Verdadeira

x = 69

L(69) = 84,50

C(69) = 69,00

ìíî

III – Falsa

x = 80L(80) = 85,00

C(80) = 80,00

ìíî

x = 100L(100) = 95,00

C(100) = 100,00

ìíî

ì

í

ïï

î

ïï


a) P(x) = 3,2 + 0,8 x

b) P(x) ≤ 120

3,20 + 0,80 x ≤ 120

x ≤ 146 km xmáx = 146 km


6 6 2 4

2 2

18 4

14 .

S

S

S u a

MAT 3A AULA 8 – 1

Inteceptar eixo das ordenadas: x = 0

2(0) 0 4.0 10

(0) 10

f

f

Alternativa C

MAT 3A AULA 8 – 2

“zeros” da função : Raízes f(x)=0

2 3 0

( 3) 0

0 (0,0)

3 (3,0)

x x

x x

x

ou

x

Alternativa B

MAT 3A AULA 8 – 3

Análise do

2

1 2

4

02 4.1.4

16

b ac

x ex IR

Gráfico não intercepta o eixo das abscissas.

Alternativa A

MAT 3A AULA 8 – 4

2

4

2 4.1.5

4.1

4

v

v

v

ya

y

y

Alternativa C

MAT 3A AULA 8 – 5

2

1

14

2 4.1.1

4.1

4 4 4

2

vy

a

k

k

k

Alternativa D

MAT 3A AULA 8 – 6

Tangencia o eixo das abscissas 0

2

0

( 4) 4.1. 0

4

m

m

Alternativa D

MAT 3A AULA 8 – 7

2

2

( ) 4

: 4 0 0; 4

(0,0) ( )

: 0

f x x x

Raízes x x x x

O f x

Concavidade a

Alternativa C

MAT 3A AULA 8 – 8

2

2

( ) 40 5

(3) 40.3 5.3 (3) 75

h t t t

h h m

Alternativa C

MAT 3A AULA 8 – 9

2

( 2)

2.1

1

v

v

v

bx

a

x

x

Alternativa B


2

4 1

2 2.4 2

4 4.4.10

4 4.4

1,0

2

v v v

v v v

bx x x

a

y y ya

V

Alternativa A


Único ponto em comum com eixo das abscissas 0

2

2

2

2

0

4.1. 1 0

4 4 0

2

2 1

2 2 2.2 1 1

m m

m m

m

y x x

x y y

Alternativa D


2

2

( ) 2 2

2 4.( 1).2

4.( 1)

3

v

v

f x x x

y

y

Alternativa B


2

.(400 2 )

400 2

400100

2.( 2)

100:100 ;200 0,5

200

máx

v v

A x x

A x x

A Vértice

x x m

Lados m m

Alternativa B


2

( ) 2 (250000 )

( ) 500000 2

500000125000

2.( 2)

máx

v v

R x x x

R x x x

R Vértice

x x

Alternativa E


2

Re ( ).( )

( ) .(86 2 )

( ) 86 2

8621,50

2.( 2)

máx

v v

ceita preço quantidade

R x x x

R x x x

R Vértice

x x

Alternativa B


2

( ) ( )

( )

R x kx P x

R x Pkx kx

Parábola concavidade pra baixo;

Passa pela origem;

Alternativa E


2( ) 44000

4400022000

2.( )

máx

v v

R x kx kx

R Vértice

kx x

k

Alternativa B


x(x + p) = 0

x = 0 x = p

p

2 = 3 p = 6

32 + 6 3 = k 9 + 18 = k


a)

2

( ) 0

3 3 0

3 (1 ) 0

0 ( )

1 ( )

solo h t

t t

t t

t s início

ou

t s retorno

b)

2

2

( ) 3 3

3 1

2.( 3) 2

1

2

1 13 3

2 2

0,75

máx

v v

máx

máx

máx

h t t t

h Vértice

t t s

h h

h

h m


MAT 3A AULA 9 – 1

2( ) 16

1 0

1 0

0

0

0 0v

f x x

V a

F a

F a Mínimo

V a Mínimo

V b x

MAT 3A AULA 9 – 2

2

(1,2) ( ) (1) 2

(1) 1 .1 3 2 2

A f x f

f k k

Alternativa D

MAT 3A AULA 9 – 3

2

2

5 2 1

2 4.( 5).( 1) 4

4.( 5) 5v v

y x x

y y

Alternativa B

MAT 3A AULA 9 – 4

: 3

Im( ) ] ,3]

máxGráfico y

f

Alternativa D

MAT 3A AULA 9 – 5

1 53

2v vx x

Forma Fatorada

( ) ( 1)( 5)

3(3) 3 (3 1)(3 5) 3

4

3( ) ( 1)( 5)

4

y f x a x x

f a a

f x x x

Alternativa B

MAT 3A AULA 9 – 6

2

1

2

1 2

( ) 10 9

1

1

9

( ) ( )( )

( ) ( 1)( 9)

f x x x

a

xRaízes

x

f x a x x x x

f x x x

Alternativa C

MAT 3A AULA 9 – 7

2

22

22 2 4 4 0,5

2( 1)

xv

b

a

m mm

Alternativa A

MAT 3A AULA 9 – 8

2

* 0

* 0

* 0 0v

y ax bx c

Concavidade a

c

x b

Alternativa A

MAT 3A AULA 9 – 9

2

460 .6

450 .7,50

2010 1,50

3

500

20500

3

( ).( )

20500 .

3

20500

3

50037,50

202

3

máx

v v

q ap b

a b

a b

a a

b

q p

A quantidade preço

A p p

A p p

A Vértice

p p

Alternativa D


2

2

( ) 48 10

48 4.( 1).( 10)

4.( 1)

566.000,00

v

v

L x x x

Lmáx Vértice

L

L

Alternativa A


2

( ) (30 ).

( ) 30

3015

2.( 1)

máx

v v

A x x x

A x x x

A Vértice

x x

Lados: 15m x 15m

Alternativa A


2( )

1 1

2.( 1) 2

136 36 18

2

máx

v v

d x x x

d Vértice

x x

x


Passa pelo ponto (0, 25)

xv = 3

x1 = 1, logo, x2 = 5

Forma Fatorada

( ) ( 1)( 5)

(0) 25 (0 1)(0 5) 25 5

( ) 5( 1)( 5)

(3) 5(3 1)(3 5) 20

Im( ) : [ 20, [

mín

mín mín mín

y f x a x x

f a a

y f x x x

y Vértice

y f y y

f

Alternativa A


2

2

( ) ( ) ( )

( ) 16 (4 8 32)

( ) 4 24 32

243

2.( 4)v v

L x R x C x

L x x x x

L x x x

Lmáx Vértice

x x

Alternativa C


1 2

2

2

.

.1

1

cx x

a

kk x

x

Alternativa D


2

( ) 55 2,50(54 ) .

( ) 55 135 2,50 .

( ) 190 2,50

19038

2.( 2,50)

máx

v v

R x x x

R x x x

R x x x

R Vértice

x x

Alternativa C


f (x) = ax2 + bx +12

f (x) = a(x + 3)(x - 4)® f (x) = ax2 - ax -12a

Comparando :

12 = -12a ® a = -1

b = -a ® b = 1

f (x) = g(x)

g(-2) = f (-2) ® -2m + n = -(-2)2 + (-2) +12 ® -2m + n = 6(I)

f (x) = 10 ® -x2 + x +12 = 10 ® -x2 + x + 2 = 0x = -1

x = 2 ® g(2) = 10 ® 2m + n = 10(II)

ìíî

ì

íï

îï

-2m + n = 6

2m + n = 10

ìíî

2n = 16 ® n = 8;m = -1

b.n = 1.8 = 8

Alternativa D


2

2

2

2

( ) ( ) ( )

( ) 60 10 400

( ) 50 400

10( ) 0 50 400 0 ( )

40

( ) : 25( )

5025( )

2.( 1)

(50) (50) 50.50 400 (50)

máx

v v

L x R x C x

L x x x x

L x x x

xI L x x x VERDADEIRO

x

II L x crescente x VERDADEIRO

III L Vértice

x x FALSO

IV L L

400 ( )PREJUÍZO VERDADEIRO


a)

b)

( ) ( )

21 ( 1)( 2)

3

2( 1) ( 1)( 2) 0

3

2( 1) 1 ( 2) 0

3

1 0 1 1,0

2 7 7 51 ( 2) 0 ,

3 2 2 2

f x g x

x x x

x x x

x x

x x

ou

x x


a)

( 0)( 24)

1(12,16) 16 (12 0)(12 24)

9

1( 24)

9

y a x x

V a a

y x x

b)

3: 30

3

:

3 1( 24)

3 9

3 1( 24) 0

3 9

3 1( 24) 0

3 9

0 (0,0)

3 1( 24) 0 24 3 3 24 3 3,8 3 3

3 9

or y tg x y x

Igualando

x x x

x x x

x x

x O

ou

x x P

MAT 3B AULA 7

MAT 3B AULA 7 – 1

tg 30° = x

2

3

2 =

x

2

x = 2 0,58 x = 1,16

João

S = 1,16 2

2

· S = 1,16

ST = 2 3 = 6 S

ST = 0,19 = 19%

MAT 3B AULA 7 – 2

A = 54 + 180 A = 234m2

MAT 3B AULA 7 – 3

S = 290 (90 - 50)(90 - 65)· S = 290 40 25· ·

S = 60 25 S = 1 500

S = abc

4R = 1 500 =

250 65

4R

·

30 4R = 4 225 R 35,2

So = R2 = 3,14 (35,2)2 3 890,6

MAT 3B AULA 7 – 4

Em um triângulo retângulo, a área pode ser definida como o semiproduto dos catetos, sendo assim:

S =

5.6

2®S = 15m2

Alternativa E

MAT 3B AULA 7 – 5

h = L 3

2 h = 3

S = 2 3

2 S = 3

MAT 3B AULA 7 – 6

S = 1

2 4 6 3 sen 60° S = 12 3

3

2

S = 18

MAT 3B AULA 7 – 7

x2 = 9 + 25 x2 = 34

MAT 3B AULA 7 – 8

S = 28 (8 - 5) (8 - 6)· · S = 28 3 2· ·

S = 4 3 S = 12

MAT 3B AULA 7 – 9

h = 3 3

2

S =

7 R 9 R 8 R + + = 12 5

2 2 2

24R = 12 5

2

· · ·

S = 13 + 10 3 3

4

·

S = 69 3

4 S = P r

MAT 3B AULA 7 – 10

p = 12

S = 12 12 - 7 12 - 8 12 - 9 = 720 = 12 5

AO BO O 12 5

7 R 9 R 8 R + + = 12 5

2 2 2

· · ·

24R = 12 5

2

12R = 12 5 R = 5


L C

72 = 52 + x2 2 5 x cos 60°

49 = 25 + x2 5x x2 5x 24 = 0

x = 5 11

2

x’ = 8 x’’ = 3

P = 10

S = 10 5 2 3· · · S = 10 3



I) 2 x 2 x

= = x = 11sen 45° sen 30° 222

2

sen 45° = 2R

2

2

2

= 2R R = 1m

II) sen 30° = h

2

1 h =

2 2 h =

2

2

III) A CBD + A DBA = 1 2 1 2

2 sen 60° + 1 sen 45°2 2 2 2· · · · · ·

A CBD + A DBA = 1 3 2 2

+ 2 2 4 2· · A CBD + A DBA =

3 + 1

4


- AF é a medida da diagonal do retângulo ABFE

- como CE é um arco de circunferência com centro em A, AC = AE = 2 m

A = (B h)/2

A =

2

2 m2

c) AD = 1 m e AE = 2 m, logo:

(AF)2 = (FE)2 + (1 + 2 )2

(AF)2 = 12 + 1 + 2 2 + 2 = 4 + 2 2 = 6,8

AF = 2,6 m

- como FH é um arco de circunferência com centro em A, AF = AH = 2,6 m. Logo:

(AG)2 = (AH)2 + (GH)2

(AG)2 = 2,62 + 12

AG = 2,8 m

- O ângulo GAH é:

sen GAH =

GH

AG=

1

2,82,8

GAH = 20,9º


* A1 = 2 A2 (AB)2 = 2 (EF)2 AB = EF 2

* Se EF = L AB = L 2 e EP =

L

2

* A área do quadrado ABCD é:

A2 = L × 2( )

2

= 2L2

* A área do triângulo é:

A =

B ×h

2=

L ×L

2=

L2

2

* tanEFP =

EP

EF=

0,5L

L = 0,5

* (FP)2 = (EF)2 + (EP)2 (FP)2 = L2 +

L2

4

(FP) =

L

25


13h = (8 + 2

3) 6

13h = 26

3 62 h = 4

Sen = 4

6 sen =

2

3


(1) = 1

2 x a sen 30°

(2) = 1

2 x b sen 150°

(3) = 1

2 b y sen 30°

(4) = 1

2 a y sen 150°

(1 + 2 + 3 + 4) = a + b x + a + b yax + bx + by + ay

4 4

(1 + 2 + 3 + 4) = a + b x + y 20

4 4

(1 + 2 + 3 + 4) = 5 cm2


Sen2 A + cos2 A = 1

cos Â = 3

5 sen Â =

4

5 tg Â =

4

3

sen C = 2

5

52 = h2 + y2 y2 = 25 20 y = 5

tg Â = h

x

4

3 =

2 5

x x =

3 5

2

A = x + y h

2 A =

5 5 2 5

22

·

A = 25

2

sen C = h

5

2 h =

55 h =

10 5 =

55

h = 2 5 cm2


Resolução no material



MAT 3B AULA 8 - 1

AM – RJ 2 865 km

RJ – RS 1 141 km

AM – RS x

x2 = (2 865)2 + (1 141)2

x = 3 084 km

MAT 3B AULA 8 – 2

A = A

= 20 10

2

· 100

A = ??

10 20 - x 10 + = 100

2 2

100 rx + ry = 100 x = y

2

10 x =

10 100 20 - x

x2 = 100 + 400 40x + x2

x = 50

4 x = 12,5

MAT 3B AULA 8 – 3

Adotar um ponto P entre A e C, mais próximo de C tal que AP = 250 e CP = 100

Traçar um arco com raio 250 com centro em A tal que Q é o ponto de encontro do arco com

AB.

Traçar um arco com raio 100 tal que R seja o ponto de encontro com BC

AP + CP = AC = 350

AQ = 250 e CR = 100

AB = 650 BQ = AB - AQ

BQ = 650 - 250 BQ = 400

BR = BQ BR = 400

BC = BR + CR ----> BC = 400 + 100 ----> BC = 500

MAT 3B AULA 8 - 4

x = 49 + 576 625

x = 25

sen = 24

25

MAT 3B AULA 8 – 5

x 4 + 16 20 2 5

4 2 2 5cos =

52 5

·

MAT 3B AULA 8 – 6

2

6 2 = x2 + 62

72 = x2 + 36 x2 = 36 x = 6

A = b h 6 6

= 2 2

· · = 18 m2

MAT 3B AULA 8 – 7

x = 9 + 4 x = 13 x 3,6 m

MAT 3B AULA 8 – 8

12 xx = =

sen 120° sen 45°

12 xx = =

3 2

2 2

12 2 3x = = 4 6

3 3·

MAT 3B AULA 8 – 9

= 2

+ = 96

3 = 96 = 32

x + + 48 48 = 180

x = 180 128 x = 52°


sen 60° = h

2

3 h = h = 3

2 2


x2 = 32 + 2

2 2 3 2 2

2

x2 = 11 6 x = 5


S = p p - a p - b p - c

S = 29 4 1· · S = 3 4 S = 12


AE2 = 102 + 102 2 10 10 1

2

AE2 = 300 10 3

sen 60° = 10 + CE

10 3

3 10 + CE =

2 10 3

15 = 10 + CE CE = 5


x2 = 82 + (12 x)2 2 8 (12 x) 1

2

x2 = 64 + 144 24x + x2 96 + 3x

16x = 112 x = 7


2xy

2 = xy

AND = 2yx

2 = xy

CMH = xy

2

AMN = 4xy 2xy xy

2 =

4xy - xy 3xy =

2 2

ABCD = 4xy


A = 1

2 1 1 sen 120° =

3

4

A ABC = 1 3

4

A = 1

AT = 3 + 3 3

4 +

3

4 = 3 + 3


(LC)

14 1 1 1 1 = + - 2 cos

16 4 4 2 2

1 1 7 cos = -

2 2 8

1 3 cos = -

2 8

3cos = -

4

· · ·

·

DAM (LC)

X2 = 1 + 1

4 2 1

1

2 cos(180 )

X2 = 5 3 2

- 4 4 4

X2 = 1

2

2

2


ABC (LC)

72 = 82 + 32 2 8 3 cos B

49 = 64 + 9 48 cos B

cos B = 1

2

ABM

AM2 = 32 + 42 2 3 4 cos B

AM2 = 9 + 16 12

AM2 = 9 + 4

AM = 13



MAT 3B AULA 8 - 20


MAT 3B AULA 9 – 1

Pela interpretação direta: alternativa E

MAT 3B AULA 9 - 2

CPF: 123.456.789 – d1d2

d1 = 1 10 + 2 9 + 3 8 + 4 7 + 5 6 + 6 5 + 7 4 + 8 3 + 9 2 = 210

210 11 = 19 1 de resto d1 = 0

d2 = 2 10 + 3 9 + 4 8 + 5 7 + 6 6 + 7 5 + 8 4 + 9 3 + 0 2 = 244

244 11 = 22 2 de resto

d2 = 11 2 = 9

MAT 3B AULA 9 - 3

nº de pessoas “novas” > nº de pessoas que “deixaram” a pop.

N + 1 > M + E

MAT 3B AULA 9 – 4

Dia + Noite = 1 m

8º (Dia + Noite) = 8 m

9º Dia = 10 m (Sem necessidade de descer afinal chegou ao topo do muro)

Alternativa D

MAT 3B AULA 9 – 5

788 825 7 = 112 689 2 de resto quarta-feira + 2 dias = sexta-feira

MAT 3B AULA 9 – 6

1º salto = x

2º salto = x 1,2

3º salto = x 2,7

3x 3,9 = 17,4 3x = 21,3 x = 7,1

MAT 3B AULA 9 – 7

Se em um caso extremo, tivéssemos 12 pessoas nascidas uma em cada mês do ano, a 13ª pessoa, com

certeza, faria com que PELO MENOS DUAS PESSOAS FAZEM ANIVERSÁRIO NO MESMO MÊS.

Alternativa C

MAT 3B AULA 9 – 8

3

7

x 10 =

1010

x = 109

MAT 3B AULA 9 – 9

5 1 = 5

8 2 = 16 + 1 = 17

6 1 = 6

4 2 = 8

2 1 = 2

5 + 17 + 6 + 8 + 2 = 38 38 10 = 3 com 8 de resto.


Aldo para Dino que fornece o número do Ênio

Aldo para Ênio que fornece o número de Carlos

Aldo para Carlos.

3 telefonemas

Alternativa C


Se fizer tudo 3,6 = 18 séries 17 intervalos

Caminhada: 10 min.

Desc. Caminhada: 1 min.

18 séries (0,5 cada): 9 min

Descanso ente as séries (1 min. de cada): 17 min

10 + 1 + 9 + 17 = 37 min.


Ritmo de coleta dos 20 alunos 12Kg/3h 4Kg/h

Sendo assim:

x = 200 2 x = 10Kgqh

10 dias 10 3 4 = 120 Kg

20 dias 10 4 10 = 800 Kg

120 + 800 = 920 Kg

MAT 3B AULA 9 - 13

Máquina 2.0 megapixels = 2 106 pontos

Aluno Coleta (Kg/h)

20 4

50 x

Reduz 95%, ou seja, usa 5% de 3 bytes

= 0,15 bytes (valor de cada ponto)

Total ponto Valor do ponto = 2 106 0,15

Total ponto Valor do ponto =0,3 106

Total ponto Valor do ponto =300 000 bytes 300 Kb (uma foto)

300 150 = 45 000 Kb 45 MB


Gasto em 6 dias = 6(12 10 + 4 1 000) = 24 720 reais

Hectares colhidos em 6 dias: 6 20 = 120 hec

Como os gastos são ineriores a R$ 25 000,00, então

Hectares Horas

120 6

180 x

x = 9 horas


Distância = 7 16 = 112Km

L Km

75 100

X 112

x = 84L

d = massa vol 750 = y 84 y = 63 000g ou 63 Kg

605 Kg + 63 Kg = 668 Kg


I) x > 4 x2 > 16

y < 2 2y < 4 2y > 4

Assim sendo, x2 2y > 16 4 x2 2y 12

III) como y > 0 e y2 > 2

y > 2 2y > 2 2 2y < 2 2

2y < 2 2 + x2 < 1 = x2 2y < 1 2 2

Mas 1 2 2 < 0 x2 2y < 0

MAT 3B AULA 9 - 17

314 1573,14 100 50

50 50150 7 3 7

50

2 = 2 = 2

2 2 2 2

8 128

· ·

·


INÍCIO: 2n + 1

1º marinheiro pagou n

2º marinheiro pagou n - 1

2

Imediato deu para cada um

n - 1 - 1

2

2

=

n - 3

4

o

o

n - 3 5nn +

1 5n - 3 294 4 = = = = n - 1 n -3 3n - 5 3n - 5 172

+ 2 4 4

85n 51 = 87n 145 2n = 94

2n + 1 = 95


resolvido no material

MAT 3B AULA 9 - 20

resolvido no material

MAT 3C AULA 7

MAT 3C AULA 7 – 1

10 0 1

20 2 1

15 10 1

= 20 + 200 30 100 = 90

MAT 3C AULA 7 – 2

(1) 3 2

1 3 = 7

MAT 3C AULA 7 – 3

–2 = a13

A13 = (1)1 + 3 3 10

1 7

A13 = (1) 3 10

1 7

MAT 3C AULA 7 – 4

(1)7

2 1 1

1 3 2

1 3 2

= 12 2 3 3 12 2 = 10

MAT 3C AULA 7 – 5

2 (2 + 9 + 4 6 3 4) = 4

1 (12 + 12 + 12 16 4 27) = 11

4 + (11) = 7

MAT 3C AULA 7 – 6

(1)6

1 1 1

2 0 3

0 3 2

= 6 9 4 = 7

MAT 3C AULA 7 – 7

1

1 1 0

2 3 1

2 1 0

1 (2 1) = 3

MAT 3C AULA 7 – 8

2 3

1 1 2

2 4 1

1 2 3

6 (12 + 1 + 8 8 2 6) = 6 5 = 30

MAT 3C AULA 7 – 9

A =

1 1 1

1 4 4

1 4 9

(1)5 1 1

1 4 1 (4 1) = 3

MAT 3C AULA 7 – 10

(1)3 1 x

1 2

= 5

(2 x) = 5 2 + x = 5 x = 5

(1)5 2 x

y 1 = 10

(2 xy) = 10 2 + 3y = 10

3y = 12 y = 4


3

1 1 1

1 1 2

2 1 0

2

5 1 1

2 1 1

1 2 1

3 (4 + 1 2 2) 2 (5 + 1 4 + 1 10 2)

3 (7) 2 (9) 21 + 18 3


3 (+2)

3 1 2

2 1 1

1 3 1

6 (3 + 1 + 12 2 9 2) 6 3 = 18

MAT 3C AULA 7 - 13

3 (2)

4 3 2

1 2 3

3 2 2

(6) (16 + 27 + 4 12 24 6) (6) 5 = 30

30 = 2 3 5

D(30) = (2 2 2) 2 = 16

MAT 3C AULA 7 - 14

A + B =

0 1 1 1

3 1 2 2

0 1 1 1

0 1 0 2

(3)

1 1 1

1 1 1

1 0 2

(3) (2 + 1 + 1 2) = 6


(2) (x3 + x x2 x3 + x x2) = 0

(2) (2x2 + 2x) = 0 4x2 4x = 0 4

x(x 1) = 0

x = 0 e x = 1


x (2x2 + x) 2x3 + x2

MAT 3C AULA 7 - 17

x (6x + 1 4x 3) 0 x (2x 2) 0

MAT 3C AULA 7 - 18

x (x2 + 4 6x + 1) 0

x (x2 6x + 5) 0

MAT 3C AULA 7 - 19

x

1 1 2

3 1 1

2 1 3

y

3 1 2

3 1 1

2 1 3

+ z

3 1 2

1 1 2

2 1 3

t

3 1 2

1 1 2

3 1 1

x (3 + 2 + 6 4 1 9) y (9 + 4 + 2 4 6 3) + z (9 + 4 + 2 4 6 3) t (3 + 6

+ 2 6 6 1)

3x 1y + 2z + 2t (3 1 + 2 + 2) = 0


X 3 (x2 + 2 4x + 1) 0 3x (x2 4x + 3) 0

{x IR / x 0 ou 1 x 3}

MAT 3C AULA 8 – 1

1 2

2 1

S S0 0 1 = =

S S1 1 0· S2 = 0 e S1 = 1

43

34

SS1 0 1 = =

SS0 1 0· S4 = 1 e S3 = 0

MAT 3C AULA 8 – 2

20 8 3 60 16 76 = =

15 12 2 45 24 69

·

MAT 3C AULA 8 – 3

+ A11 = 4 + 1 + 12 8 2 3 = 4

A12 = 6 + 1 + 4 8 3 1 = 1

+ A13 = 9 + 2 + 4 12 3 2 = 2

A14 = 9 + 4 + 1 3 6 2 = 3

detA = 2 4 + 1 (1) + 1 (2) + 3 (3)

detA = 8 + 1 2 9 detA = 2

MAT 3C AULA 8 – 4

detA = 36 6 28 36 + 28 + 6 detA = 0

MAT 3C AULA 8 – 5

1 49 64

0 3 9 1.3.4 12

0 0 4

Alternativa A

MAT 3C AULA 8 – 6

detA = 5

det(3A) = 33 5 det(3A) = 135

MAT 3C AULA 8 – 7

12x + 20y + 9z 8z 15x 18y = 8

3x + 2y + z = 8

60x + 32z + 72y 36z 48x 80y

12x 4z 8y = 4 (8) 32

MAT 3C AULA 8 – 8

01 – VERDADEIRO (Propriedade)

02 – VERDADEIRO (Propriedade)

04 – VERDADEIRO (Condição de existência da Matriz Inversa)

08 – det (kA) = k5.det (A) – VERDADEIRO

16 – FALSO – O número de colunas de A precisa ser igual ao número de linhas da outra matriz.

SOMA = 01 + 02 + 04 + 08

SOMA = 15

MAT 3C AULA 8 – 9

Matriz Triangular – Determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Det(A) = a11 a22 a33 a44

Alternativa B


2 3x = y 6x = y


x3 6 = 48 x3 = 8


det(M NT) = detM detNT

det(M NT) = 2 3 det(M NT) = 6


detA = 4 e detB = 3

A B = (4) 3 = 12


(detA)3 = 32 detA

(detA)2 = 32

detA = 3


23 detA = 40 detA = 5

(1

3)3 detB = 3 detB = 24

det(AB) = 5 24 det(AB) = 120


a) FALSO – det (2A) = 22.det(A)

b) FALSO – Há outras matrizes diferentes da identidade que possuem determinante igual a 1;

c) VERDADEIRO – Cada linha ou coluna que multiplicamos por uma constante, o determinante fica

multiplicado pela mesma constante;

d) FALSO – Há outras matrizes diferentes da Nula que possuem determinante igual a zero;

e) FALSO – O det (A) será o oposto do produto dos elementos da diagonal secundária.

Alternativa C


23 detA = 24 detA =3

33 detB = 54 detB = 2

A B = 3 2 = 6


detA = 3

4 det(

3

2 B) =

3

4

aij = ij

3b

4

A = 3

2 B

(3

2)4 detB =

3

2 detB =

4

27


* Matriz de vandermonde

1 1 1 12 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

1 2 3 4 = 4 9 16 - 1 9 16 + 1 4 16 - 1 4 9

1 4 8 168 27 64 1 27 64 1 8 64 1 8 27

1 8 27 64

det = (2 1) (3 1) (3 2) (4 1) (4 2) (4 3)

det = 2 3 2 det = 12


a) detP = 16ab + 5ab 3b2 3a2

detP = 3 (a2 7ab + b2)

b) detQ = 23 detP

detQ = 8 [3 (a2 7ab + b2)]

detQ = 24 (a2 + 7ab b2)

Logo é divisível por 24

MAT 3C AULA 9 – 1

Tabela 1

4m + 5c

Tabela 2

Total de fechaduras de mogno: 10 + 8 + 4 = 22

Total de fechaduras de cerejeira: 12 + 8 + 6 = 26

Assim, 4 22 + 5 26 = 218

MAT 3C AULA 9 – 2

20 3 4

5 2 2

10 2 3

æ

è

çç

ö

ø

÷÷×

6 5,5 5,5

4 4,5 3

2 2 3

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

=

140 131,5 131

42 40,5 39,5

74 70 70

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

No mercado C gastarão menos do que em A e B

MAT 3C AULA 9 – 3

7 6 6 4 0 2 1 2 2

1 3 0 2 2 1 = 2 2 1

10 9 7 6 2 3 1 1 1

detA = 2 + 2 + 4 4 1 4 detA = 1

MAT 3C AULA 9 – 4

7 6 6 4 0 2 1 2 2

1 3 0 2 2 1 = 2 2 1

10 9 7 6 2 3 1 1 1

detA = 2 + 2 + 4 4 1 4 detA = 1

MAT 3C AULA 9 – 5

2 1 2 1 2 1 1 1 1

2 1 3 1 3 1 = 1 2 2

2 1 3 1 4 1 1 2 3

= 6 + 2 + 2 2 4 3 1

MAT 3C AULA 9 – 6

7 7 2 3 3 6 0 1 3

5 7 3 1 2 6 = 2 2 4

6 7 2 1 4 6 1 1 1

= 0 4 + 6 6 + 0 + 4 = 0

MAT 3C AULA 9 – 7

(1)

2 3 7 9 10 12 1 2 2

1 1 2 3 3 4 = 2 5 7

3 5 9 15 13 20 2 6 7

= 35 + 28 + 24 20 42 28 = 3

MAT 3C AULA 9 – 8

1 2 2 35 4 0 4 7 6 1 4 1

2 5 0 7 = 6 6 2 6 10 9 0 8 1

3 6 2 103 4 2 4 5 6 1 2 1

2 3 2 5

= 8 + 4 + 0 8 + 2 + 0 = 6

MAT 3C AULA 9 – 9

2 3 2 33 2 2 4 3 0 5 2 3

1 1 2 0 = (-1) 4 2 3 4 4 0 6 1 4

2 4 3 43 4 2 8 2 0 7 6 2

4 3 2 2

·

= (1) (10 56 108 + 21 + 120 + 24) (1) (9) = 9


detA2 = det(2At) (detA)2 = (2)3 det A detA = 8

2 3 1 33 2 1 2 3 4 1 3 1

1 1 1 2 = (-1) 2 1 3 1 2 2 (-1) 3 4 0

1 2 3 25 3 2 3 3 6 2 5 3

3 5 2 3

· ·

= 12 + 0 + 15 + 8 + 0 27 (1) (16) = 16


I)

2 3 1 3

( 1) 3 4 0 5

1 2 3 2

3 5 2 3

·

II) det(3A) = 18

32 detA = 18 detA = 2

det(ABt) = 6 detA detB = 6

2 detB = 6 detB = 3

III) 2 6 + x2 12 + x x = 0 x2 16 = 0 x = ± 4


(1)

m m 1 p 1 1 1

m m 1 1 1 r 1

m m(1 s) 1 1 s 1 1 s

(1)

0 p 0

0 0 r

ms s s

(1) (mspr) mprs


2 2 2 3

4 9 4 9

1 0 3 1

2 4 1 5

(1)

2 4 2 8 3 10

4 8 9 16 9 20

1 6 0 12 1 15

= (1)

6 10 13

4 7 11

7 12 16

(1) 672 + 770 + 624 637 792 640 2 066 2 069 = 3 (1) = 3


2 0 2 5

1 2 1 2

2 4 3 8

1 2 3 2

(1)

4 4 1

0 1 4

4 4 0

= 64 + 4 64 = 4


(1)

2 1 0

1 1 3

2 1 3

= 6 6 + 6 + 3 = 3

x(x 1) 2x 2x2 + (x 1)2 3 x2 x 2x x2 + x2 2x + 1 3

x2 5x + 4 0 x’ = 4 e x’’ = 1


1 + x2 x + 1 + x2 x = 2x2 2x = 0

x(2x 2) = 0 x = 0 e x = 1

detA (x = 1

2) = 2 (

1

2)2 2

1

2 =

1

2 1 =

1

2


(1)

x

x x

x x

0 0 2

1 2 0 2

0 2 2 2

= 2x x

x

0 0 1

1 2 0 1

0 2 2 1

= 0

2x (1 + 2x)(2 2x) = 0 2x 0 ou 2 2x = 0 2x = 2


(1)

0 0 c

a 0 c

1 b c

= +abc


(1)

0 0 6 x

1 x 0 6 x

0 2 x 6 x

= (6 x)

0 0 1

1 x 0 1

0 2 x 1

= (6 x) (1 + x)(2 + x) = 0

x = 6 ou x = 1 ou x = 2

S = {1; 2; 6}


a) detA > 0

16 x3 36x 64x > 0 16 x3 100x > 0

x(16x2 100) > 0

b) B A C =

2 2 0 3

2 2 6 4

0 6 32 1

·

6 8 2

6 8 6 = 8

24 32 56

MAT 3D AULA 7 – 1

4 36 + 2a = 180

2a = 180 144 2a = 36 a = 18°

MAT 3D AULA 7 – 2

Para que o polígono seja invariante por rotações em torno do seu centro, basta os ângulos formados pelos

três eixos que partem do centro (dois a dois) serem iguais, ou seja, cada ângulo deve valer 120º .

Alternativa D

MAT 3D AULA 7 – 3

Na utilização de octógonos, forma-se entre eles um QUADRADO.

Alternativa B

MAT 3D AULA 7 – 4

( V ) Número de vértices é sempre igual ao número de lados. VERDADEIRO

( V ) Dodecágono possui 12 lados

( V ) Polígono regular: Lados iguais e ângulos iguais

( V ) Polígono regular: Lados iguais e ângulos iguais

MAT 3D AULA 7 – 5

Si = (n 2) 180 Si = (20 2) 180

Si = 18 180 Si = 3 240°

MAT 3D AULA 7 – 6

Si = (12 2) 180 Si = 1 800°

d = n(n 3)

2

d =

12 9

2

· d = 54

MAT 3D AULA 7 – 7

Si = 2 520

(n 2) 180 = 2 520 n 2 = 14 n = 16

d = 16 13

2

· d = 104

MAT 3D AULA 7 – 8

ai = (5 - 2) 180

5

· ai =

540

5 ai = 108

MAT 3D AULA 7 – 9

ae = 20 ai = 160°

160 = (n - 2) 180

n

· 20n = 360 n = 18

d = 18 15

2

· d = 135

MAT 3D AULA 7 – 10

d = 9

n(n - 3)

2 = 9 n2 3n 18 = 0

S = 3

P = 18

x’ = 6 e x’’ = 3

Si = (n 2) 180 Si = 4 180 Si = 720°


Si = 2 520° n = 16

d = 16 13

2

· d = 104

16

2

d = 104 8 96 não passam pelo centro


ai ae = 150°

(n 2) 180 360 -

n n

· = 150

180n 360 360 = 150n

30n = 720 n = 24

d = 24 21

2

· d = 252

ae = 360

24 ae = 15°


a + b + c + d + e =

5 36 = 180°


I) d = n

n(n 3)

2

= n n2 3n 2n = 0

n2 5n = 0

n = 0 ou n = 5

II)

d = 4n

n(n 3)

2

= 4n n2 3n = 8n n2 11n = 0

n = 0 ou n = 11

III)

n(n 3)d n 32 = = n n 2



( 3)

2

3

2

( 3)

d

n

n n

n

n

n PAR

n ÍMPAR

Alternativa B


Si = (n 2) 180°

1 900 + = (n 2) 180

= 180n 2 260°

Como é ângulo interno de um polígono 0 < < 180°

0 < 180n 2 260 < 180

2 260 < 180n < 2440

2 260

180 < n <

2 440

180

12,5 < n < 13,5 n = 13

Então: = 180 13 2 260

= 2 340 2 260 = 80°


n2 3n = 2 99 n2 3n 198 = 0

S = 3 e P = 198

2 2 - 3n(n 1) -3 (1+1) n 2 > 2

2

·· n2 + 2n + 1 3n > 2n2 6n

n2 + 5n – 2 > 0

D(n) = {2, 5, 9, 14, ...}


Resolvido no material


Resolvido no material

MAT 3D AULA 8 – 1

A mediana de um triângulo divide-o em dois triângulos de áreas iguais.

Alternativa D

MAT 3D AULA 8 – 2

A1 = A2

A3 = A4

A5 = A6

A6 = A5 Pergunta A1 = A6?

A1 = A6 = A3

MAT 3D AULA 8 – 3

( V ) Ponto de encontro das medianas: Baricentro

( F ) Ponto de encontro das mediatrizes: Circuncentro

( F ) Ponto de encontro das bissetrizes: Incentro

( V ) Ponto de encontro das alturas: Ortocentro

MAT 3D AULA 8 – 4

64 > 9 + 49

MAT 3D AULA 8 – 5

2 < a < 28

MAT 3D AULA 8 – 6

Altura: Segmento perpendicular traçado de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto.

Alternativa D

MAT 3D AULA 8 – 7

MAT 3D AULA 8 – 8

MAT 3D AULA 8 – 9



20 70 90o o oy y

Alternativa C



(3)18 12 30 18 6 = = = = BE = 15

BE EC 25 BE 5

18 9 27 9 27 = = = = DE = 5

BD DE 15 DE 15


CG = 2

3cm

CM2 = 9 + 4 CM = 13


1612

32

·

= 32

CGD AGD 2 QR AR QR 6

= = 6 15 AR 15

AGE BGE

164

323 = 2 3

·

ABC = 2 64 32

+ 3 3

ABC = 64


No ABC

15 20 =

x 14 - x 210 15x = 20x

35x = 210 x = 6

QR AR QR 6 = =

6 15 AR 15 = 0,4






MAT 3D AULA 9 – 1

2,2

0,8 4 =

x

3,2 x = 8,8 3,2 = 5,6 metros

MAT 3D AULA 9 – 2

2 d'

b d b 3 = = a c a c

b 2d' 2 = d = d'

a 3c 3

·

·

MAT 3D AULA 9 – 3

S = (30 + 60) 5

2

· S = 225

x h 15 = x =

15 4h 4

y 2h 30 = y =

15 4h 4

z 3h 45 = z =

15 4h 4

Comprimento mínimo:

2 15

4 + 2

30

4 + 2

45

4 + 30 5 + 2 15 = 225 cm

MAT 3D AULA 9 – 4

Como a sombra do poste é de 3 m, ela é 5 vezes menor que a sombra do poste.

Logo, a altura do poste é também 5 vezes a altura do poste, H = 5 3 H = 25 m.

MAT 3D AULA 9 – 5

1 6 =

10 000 x x = 60 000 cm 100 = 600 m.

MAT 3D AULA 9 – 6

MAT 3D AULA 9 – 7

4 6 4 x x 6 20 = 12 + 8

2 2 2

· · ·

100 = 24 + 6x + 4x + 24 100 48 = 10x

52 = 10x x = 5,2 m.

MAT 3D AULA 9 – 8

0,1x = 1,8 x = 18

MAT 3D AULA 9 – 9

Analisando a figura 1

a 1 =

a + z 1 + b a + ab = ax x = 1b

Analisando a figura 2

a a + y =

b b + 1 ab + a = ab + by a = by y =

a

b



8 + 16 + 9,6 + 10,8 = 44,4 cm


DA = x

5 FD =

3x

5 BF =

x

5

x 1

DE FG5 = 4x FG DE

5

· = 4


01)

2

1

2

AAB 1 1 1 = = =

CD 3 A 3 9

02) 10 5

2

· = 25

04) 10x 1

= 930 20 x

9x = 60 3x 12x = 60 x = 5

08) Sim, na proporção de 3 para 1

16) 30 15

2

· = 225


3 x =

x 5 x2 = 15


PC PA CA = =

PA PB AB

x y 6 3 = =

y x 7 8 4

x = 3

4y y =

3(x 7)

4

x = 3

4

3(x 7)

4

16x = 9x + 63

7x = 63 x = 9


h 1 =

10 x 5 x = 10 5h

x 5 10 5h 5 = =

h 4 4 4

40 20h = 5h 25h = 40 h = 1,6


GA//JE FJE ~ FGA

JE EF 1 = =

GA AF 5 JE =

1

5GA

HC//GA DHC ~ DGA

HC CD 1 = =

GA AD 3 HC

1

3GA

1GA

HC 53 = = 1JE 3

GA5


S = p r 6 4 6 + 5 + 5 14 3

= r r = 2 2 16 2

·

H + r + r = 4 h = 4 3 h = 1

ABC ~ ADE

6 4 =

DE 1 DE = 1,5 cm





MAT 3E AULA 7

MAT 3E AULA 7 – 1

triângulo pitagórico: 3, 4 e 5

tan α =

c.oposto

c.adjacente=

3

4

MAT 3E AULA 7 – 2

( F ) sec x possui os mesmos sinais que cos x;

( V ) cossec x possui os mesmos sinais que sen x;

( F ) cosx e sec x são NEGATIVOS no 3º quadrante;

( V ) cosx e cossec x são NEGATIVOS no 3º quadrante;

( V ) tg x e cotg x possuem os mesmos sinais em TODOS os quadrantes;

MAT 3E AULA 7 – 3

2 2 210 6 8

60,6

10

8cos cos 0,8

10

60,75

8

10sec sec 1,25

8

10cossec cossec 1,67

6

8cot cot 1,33

6

c c cm

senx senx

x x

tgx tgx

x x

x x

gx gx

Alternativa C

MAT 3E AULA 7 – 4

y = 1 cos2 x y = sen2 x

MAT 3E AULA 7 – 5

sen(A) = 0

A = 0o cos A = 1

A = 180º cos A = -1

Alternativa D

MAT 3E AULA 7 – 6

Sen2 x + cos2 x = 1 cos2 x = 1 9

25

Cos2 x 16

25 = cosx =

4

5

MAT 3E AULA 7 – 7

221 M + M 2 = 1

1 M2 + M2 + 4M + 4 = 1 4M = 4 M = 1

MAT 3E AULA 7 – 8

secx = 1 13

= cosx 12

cos x = 12

13 4º quadrante

sen2x = 1 144

169 sen2x =

25

169 semx =

5

13

MAT 3E AULA 7 – 9

Sec2x tg2x sen2x

sen2x

2

2

cos x

cos x sen2x 1 sen2x cos2x

MAT 3E AULA 7 – 10

1 m 4 1 3 m 5


1 1

= 1cos 10

= 1


senx = 5

cosx cos x =

senx

5

sen2x = 1 cos2x

sen2x = 1 2sen x

5

5sen2x + sen2x = 5 sen2x = 5

6


cossecx = 1

sen e secx =

1

cos

sen2x = 1 1

9 sen2x =

8

9

semx = 8

9 semx =

2 2

3

cossex = 2

2

3 3 2 =

42 2

·

·


2 1 sen 1 sen1 - cos =

1 - sen θ 1 sen

= sem + 1


y = (1 cos2)(1 sen2

) cos2 sen2

y = 1 sen2 cos2

+ cos2 sen2

cos2 sen2

y = sen2 sen2


2cos x

cosx sen x

senx·

cosx


4

4

4 4

sen x1 -

cos x cos - sen x

4 4

4 4 4

cos x - sen x 1

cos x cos x - sen x· = sec4x


2 2a cosu(cos v + sen v = a cosu


senx = 3cosx

4 e senx =

3

5

sen2x + cos2x = 1 2 29cos x 16cos x

+ 16 16

= 1

cos2x = 16

25 cosx =

4

5

y = 4

5 (

3

5) y =

1

5


cos2x = 1 1

9 cosx =

2 2

3

y =

11 2 2 3 - 3 3 2 2

31 - 3

·

y =

2 2 2 -

9 42

y = 2

9 +

2

8

y = 8 2 + 9 2

72

y = 2

72

MAT 3E AULA 08

08.01

tgx = 1

3

sec2x = 1 + tg2x sec2x = 1 + 1

3

sec2x = 4

3 secx =

2

3=

2 3

3

08.02

sec2x = 1 + 3 secx = 2

08.03

y = 1 cos2 +

2 2

2 2

cos cos -

sen sen

cos2

y = sen2 +

2 2

2

cos (1 - cos )

1 - cos

·

y = 1

08.04

cosx = 8

10 e senx =

6

10

tgx = 6

8 =

3

4= 0,75

08.05

sen2x + cos2x = 1

cos2x = 1 21 - m

4 cos2x =

24 - (1 - m )

4

cos2x = ± 23 + m

2

08.06

E =

1 - senx

senx1

- cosxcos x

E =

2

2

1 sen x

senx

1 cos x

cos x

E = 2

2

cos x cosx

senx sen x· E =

3

3

cos x

sen x = cotg3x

08.07

E = Cos2x cossec2x

E = Cos2x 2

1

sen x

E = cotg2x

08.08

y = 2

2 2

cot g x 1 -

cossec x sec x

y =

2

2

2

cos x

sen x1

sen x

cos2x

y = 0

08.09

m = senx cosx

+ cosx senx

senx cosx m = 2 2sen x + cos x

senx cosx

·

senx cosx

m = 1

08.10

1 1

senx cos x + 1 1

cos x senx

= 5

cosx senx +

senx cosx = 5

2 2cos x + sen x

senx cosx· = 5

sex cosx = 1

5

[sem(x) + cos(x)]2 = 1 + 2 1

5

[sem(x) + cos(x)]2 = 5 + 2

5 =

7

5

08.11

senx = 4

5 cosx =

3

5 tgx =

4

3

9 (1 + tg2 + tg2)

9 (1 + 2 16

9) 9 + 32 = 41

08.12

cosx = 4

5 senx =

3

5

y = 12

5 5 -

4 34

1 - 3

y = 12

15 20

123 4

3

y = 5

1

3

y = 15

08.13

f(60o) = 1

2 2 +

3 2

2 3·

f(60o) = 1 + 1 = 2

08.14

y = o o o

o o o

cos360 + 2 tg45 - sen180

cot g90 cossec90 + sec720

·

·

y = 1 + 2 - 0

0 1 + 1· y = 3

08.15

cos

sen = k cos = k sem

sen2 + cos2

= 1

sen2 + k2 sen2

= 1

sen2 =

2

1

1 + k

y = 1 sen2 sen2 y = 1 2 sen2

y = 1 2 2

1

1 + k y =

2

2

1 + k - 2

1 - k

y = 2

2

k - 1

k + 1

08.16

y = 2 2

2 2

tg - tg

sec sec

·

y =

2 2 2 2

2 2

2 2

sen cos - sen cos

cos cos

1

cos cos

· ·

·

·

y = sen2 cos2

sen2 cos2

y = (1 cos2)(1 sen2

) sen2 cos2

y = 1 sen2 cos2

+ sen2 cos2

sen2 cos2

y = cos2 cos2

08.17

* senx = cos(90 x)

* sen280 = cos2(90 80) = cos210

Sen270 = cos2(90 70) = cos220

Sen260 = cos230

Sen250 = cos240

y = (sen210 + cos210) + (sen220 + cos220) + (sen230 + cos230) + (sen240 + cos240) +

(sen250 + cos250)

y = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 y = 5

08.18

Sen2x + 2 senx cosx + cos2x = a2

1 + 2b = a2

08.19

y = (cosx senx) 1 1

- senx cosx

+ 2

y = (cosx senx) cosx - senx

senx cosx

·

+ 2

y = 2 2cos x - 2senx cosx + sen x + 2 senx cosx

senx cosx

· · ·

·

y = 1

senx cosx·

y = cossecx sec

08.20

*Pertence ao 3º Q

* cosx = 2

2

1sec = = 2

cosx

Senx = 2

2

21 + 1 +

2

1 + 1

=

2 - 2

2

MAT 3E AULA 9

09.01

y = cos30o = 3

2

09.02

180 80 = 100 cos80o

09.03

y = sen30o 2 cos60o tg 45º

y = 1

2 2

1

2 1

y = 1,5

09.04

sec100 sec80

100 80

cos100 cos80

100 80

cossec100 cossec80

cot 100 cot 80

o o

o o

o o

o o

o o

o o

F

V sen sen

V

V tg tg

F

F g g

09.05

09.06

(V) 0º + 30º / 180º – 30º

(F) 0 + 25º / 180º + 25º = 205º

(V) 0 + 20º / 360º – 20º

(V) A = 180º - B

(V) cos θ = 1 para ambos

(V) tan θ < 0 e de mesmo valor.

09.07

2 340 360 = 6 com 180 de resto

Sen2 340 = sem 180o = 0

09.08

y = cos30o sem60o tg45o cos90o

y = 3 3

- 2 2

1 0

y = 3 1

09.09

cos60o + sen270o + tg45o

1

2 1 + 1

1

2

09.10

1 200 360 = 3 com resto de 120

cos1200 = cos120o = cos60o = sen30o

09.11

b = a a + b =

09.13

N =

1

3 1 - 4 + 2 12

26

4

N = 3 + 2 - 2

3

N = 1

[2; 1]

09.14

* cossec2460o = 300o

* sec1110o = 30o

*cotg2205o = 45o

A =

2 2

3 3

1

·

A = 4

3

09.15

92 88

178 88

268 88

272 88

o o

o o

o o

o o

I tg tg VERDADEIRO

II tg tg FALSO

III tg tg VERDADEIRO

IV tg tg VERDADEIRO

Alternativa D

09.16

A (cosx , senx) para qualquer quadrante, então:

A = 30º B = 210º

60º Sentido Horário B´ = 150º 3 1

´ ,2 2

B

Alternativa A

09.17

Ang. Complementares

cos88o = sen2o

cos86o = sen4o

... Cos44o = sen46o

cos22 = cos2178 = cos2182 = cos2358

cos24 = cos2176 = cos2184 = cos2356

... cos288 = cos292 = cos2268 = cos2272

ENTÂO

cos20o + cos22o + cos24o + cos26o + ... + cos2358o + cos2360o = B

B = cos20o + cos290o + cos2180o + cos2270o + cos2360o

+ 4 (cos22o+ cos24o + cos24o + ... + cos244o + sen244o + ... + sen24o + sen22o)

B = 3 + 4 (22)

B = 3 + 88 B = 91

09.18

3

- 13 + 2 32 =

23 3

3

·

3 3 + 6 3

2 3 3·

9 + 6 3

6

3 + 2 3

2

09.19

1 410 360 = 3 com 330 de resto

y =

2 3 -

33

1 3 +

2 2

y = 6 + 3 2

3 3 3 - 1

·

y = 3 2

3 3 - 1·

y = 6 3 + 3

3 - 3 3 + 3

·

y = 6 3 + 3

9 - 3

y = 3 + 3

09.20

a) 830 360 = 2 com 110o de resto

1 195 360 = 3 com 115o de resto

Sen830o

b)

535 360 = 1 com 175o de resto

360 175 = 185o

cos190o

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