7/25/2019 Mat 0 - Aula 1 - Mltiplos e Divisores

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Pr-VestibularProfessor SonnyMatemtica Zero (Matemtica Bsica)Aula 1 - Mltiplos e Divisores

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1.1 DIVISOR DE UM NMERO NATURALDizemos que a divisor de b se a diviso de b por a

exata, ou seja, se o resto for igual a zero.

Exemplo 13 divisor de 27, pois a diviso de 27 por 3 deixa resto

zero.Neste caso, dizemos que 27 divisvelpor 3.

Exemplo 25 divisor de 135, pois a diviso de 135 por 5 deixa resto

zero.Neste caso, dizemos que 135 divisvelpor 5.

Exemplo 37 no divisor de 50, pois a diviso de 50 por 7 no

deixaresto zero. Deixa resto 1.Neste caso, dizemos que 50 no divisvelpor 7.

Exemplo 44 no divisor de 54, pois a diviso de 54 por 4 no

deixaresto zero. Deixa resto 2.Neste caso, dizemos que 54 no divisvelpor 4.

Alguns divisores naturais:D(0) = {1, 2, 3, 4, ...}D(1) = {1}

*D(2) = {1, 2}*D(3) = {1, 3}

D(4) = {1, 2, 4}*D(5) = {1, 5}

D(6) = {1, 2, 3, 6}

*D(7) = {1, 7}D(8) = {1, 2, 4, 8}

1.2 NMEROS PRIMOSDizemos que um nmero natural primo se possui

exatamente dois divisores diferentes:o 1 e o prprio nmero.Alguns nmeros primos positivos:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...}

1.3 MLTIPLOS DE UM NMERO NATRUALDizemos que b mltiplo de ase a diviso de bpor a

exata.Nos exemplos anteriores:

1) 27 mltiplo de 3;2) 135 mltiplo de 5;3) 50 no mltiplo de 7;4) 54 no mltiplo de 4.

Alguns mltiplos naturais:

M(1) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...}M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...}M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...}M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...}

1.4 PARIDADE DOS NMEROS NATURAISDizemos que um nmero natural parse ele for divisvel

por 2 (mltiplo de 2).Dizemos que um nmero natural mpar se ele no for

divisvel por 2.Representao de nmeros desconhecidos:

Par: mpar:

1.5 EQUAO DE EUCLIDESO nmero 30 no mltiplo de 4 (a diviso de 30 por 4

deixa resto 2), mas podemos escrever o nmero 30 da seguinteforma:

Observe que o nmero 75 quando dividido por 6, deixaresto 3 e, portanto, o nmero pode ser escrito como:

O ltimo termo da soma representa o resto da diviso.

De um modo geral, a diviso de (dividendo) por (divisor) resulta em (quociente) e deixa um resto .

(equao de Euclides)

1.6 CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE possvel, em alguns casos, descobrir de um modo

relativamente simples se um nmero ou no divisor de outro.Isso muito til na hora de fatorar nmeros. Vejamos algunscritrios (at 10).

* divisibilidade por 2: um nmero divisvel por 2 se for par.

* divisibilidade por 3: um nmero mltiplo de 3 quando asoma dos algarismos que o compem for divisvel por 3.

divisibilidade por 4: um nmero divisvel por 4 quando onmero formado pelos seus dois ltimos algarismos fordivisvel por 4.

* divisibilidade por 5: um nmero divisvel por 5 quandotermina em 0 ou 5.

divisibilidade por 6: um nmero divisvel por 6 se fordivisvel por 2 e tambm por 3

* divisibilidade por 7: melhor efetuar a diviso.

divisibilidade por 8: um nmero divisvel por 8 quando onmero formado pelos seus trs ltimos algarismos fordivisvel por 8.

divisibilidade por 9: um nmero divisvel por 9 quando asoma dos algarismos que o compem for divisvel por 9.

divisibilidade por 10: um nmero divisvel por 10 quandotermina em 0 (zero).

D(9) = {1, 3, 9}D(10) = {1, 2, 5, 10}

*D(11) = {1, 11}D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

*D(13) = {1, 13}D(14) = {1, 2, 7, 14}D(15) = {1, 3, 5, 15}

D(16) = {1,2, 4, 8, 16}

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EXERCCIOS COMPLEMENTARES(Resolvidos no YouTube em vdeo separado)

QUESTO 1Se a semana tivesse apenas cinco dias, de segunda a sexta-feira, e se o dia 1 julho de um certo ano fosse tera-feira, o dia1 de janeiro do ano seguinte seria:

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

QUESTO 2Considere os pontos M, N, P Q R e S dispostos em crculocomo abaixo.

A partir de M, no sentido horrio de rotao, associemos a cada

ponto um nmero da sucesso de nmeros, como est indicadona tabela abaixo.

Determine o vrtice associado ao nmero 1988.

QUESTO 3 - PUCDetermine o algarismo das unidades do produto

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9

QUESTO 4Sabendo-se que 9 174 532 x 13 = 119 268 916, pode-se con-cluir que divisvel por 13 o nmero:

(A) 119 268 903 (C) 119 268 911 (E) 119 268 923(B) 119 268 907 (D) 119 268 913

QUESTO 5 - ENEMOs nmeros de identificao utilizados no cotidiano (de contasbancrias, de CPF, de Carteira de Identidade etc.) usualmentepossuem um dgito de verificao, normalmente representado

aps o hfen, como em 17326-9. Esse dgito adicional tem afinalidade de evitar erros no preenchimento ou digitao dedocumentos. Um dos mtodos usados para gerar esse dgitoutiliza os seguintes passos:

multiplica-se o ltimo algarismo do nmero por 1, openltimo por 2, o antepenltimo por 1, e assim pordiante, sempre alternando multiplicaes por 1 e por 2.

soma-se 1 a cada um dos resultados dessasmultiplicaes que for maior do que ou igual a 10.

somam-se os resultados obtidos. calcula-se o resto da diviso dessa soma por 10,

obtendo-se assim o dgito verificador.O dgito de verificao fornecido pelo processo acima para onmero 24685 .(A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

QUESTO 6Considere dois nmeros naturais, cada um deles com trsalgarismos diferentes. O maior deles s tem algarismos pares eo menor s tem algarismos mpares. Se a diferena entre eles a maior possvel, qual essa diferena?

(A) 997 (B) 777 (C) 507 (D) 531 (E) 729

QUESTO 7Encontre o menor mltiplo de 9 que no possui algarismosmpares.

QUESTO 8Devido a um defeito de impresso, um livro de 600 pginasapresenta em branco todas as pginas cujos nmeros somltiplos de 3 ou de 4. Quantas pginas esto impressas?

(A) 100 (B) 150 (C) 250 (D) 300 (E) 430

QUESTO 9Uma senhora possui trs filhas em idade escolar. O produto dasua idade com as idades de suas filhas 16555. Determine aidade da filha mais velha.

(A) 8 (B) 9 (C) 11 (D) 13 (E) 17

QUESTO 10Efetue as divises abaixo e coloque a resposta na forma daEquao de Euclides:

a) 223 : 6b) 67 : 5c) 441 : 9d) 36 : 9e) 121 : 3

QUESTO 11Decomponha os nmeros abaixo em fatores primos:

a) 156816b) 59535c) 88200

d) 5400e) 1155