Mas afinal, o que um paradoxo?

Em sentido amplo, paradoxo significa o que contrrio opinio recebida e comum, ou opinio admitida como vlida.

Em Filosofia, paradoxo designa o que aparentemente contraditrio, mas que apesar de tudo tem sentido.

Em Matemtica, fala-se muitas vezes de paradoxo matemtico ou paradoxo lgico, ou seja, de uma contradio deduzida no seio dos sistemas lgicos e das teorias matemticas.

No entanto, as fronteiras do conceito de paradoxo no esto muito bem definidas. As ideias de conflito ou de dificuldade insupervel parecem acompanhar de forma estvel a ideia de paradoxo. Mas, demasiado gerais, elas podem servir tambm para caracterizar antinomia (que originariamente significava conflito entre duas leis) ou aporia (caminho sem sada).

Um paradoxo lgico consiste em duas proposies contrrias ou contraditrias derivadas conjuntamente a partir de argumentos que no se revelaram incorrectos fora do contexto particular que gera o paradoxo. Ou seja, partindo de premissas geralmente aceites e utilizadas, (pelo menos aparentemente) possvel, em certas condies especficas, inferir duas proposies que ou afirmam exactamente o inverso uma da outra ou no podem ser ambas verdadeiras.

Os paradoxos so conhecidos e discutidos desde a antiguidade e o seu aparecimento tem impulsionado, em vrios casos, um estudo mais rigoroso e profundo dos fundamentos da matemtica.

Os paradoxos mais conhecidos:

Paradoxo de Burali-Forti

Trata-se de um paradoxo da teoria dos conjuntos. Sabe-se que a toda a boa ordem corresponde um nico nmero ordinal . Tambm se sabe que todo o segmento inicial de ordinais forma uma boa ordem cujo nmero ordinal correspondente excede todos os ordinais desse conjunto. Considere-se a coleco de todos os ordinais. Esta coleco uma boa ordem e, portanto, corresponde-lhe um ordinal A . Logo, A excede todos os ordinais e, em particular, excede-se a si prprio, o que uma contradio.

Na raiz deste paradoxo est o uso irrestrito do princpio da abstraco, o qual permite formar o conjunto A .

Paradoxo de Cantor

Paradoxo de Cantor o paradoxo da teoria dos conjuntos que se obtm devido a considerar-se a cardinalidade do conjunto V de todos os conjuntos. Por um lado, esta cardinalidade no pode ser inferior cardinalidade do conjunto das partes de V, pois todas as partes de V so conjuntos e. portanto, formam um subconjunto de V. Por outro lado, o Teorema de Cantor diz precisamente que a cardinalidade de um qualquer conjunto inferior cardinalidade do conjunto das partes desse conjunto.

Na raiz deste paradoxo est tambm o uso irrestrito do princpio da abstraco , o qual permite formar o conjunto

Paradoxo do Mentiroso, de Epimnides ou do Cretense

Epimnides cretense e afirma que todos os cretenses mentem.

Se Epimnides for cretense e se todos os cretenses mentem ento, quando Epimnides afirma:

Todos os cretenses mentem

Afirma uma proposio verdadeira. Portanto Epimnides no mente quando afirma que todos os cretense, incluindo Epimnides, mentem. V.

Em consequncia:

1- Epimnides mente se e s se no mente (isto , diz a verdade)

2- Epimnides no mente (isto , diz a verdade) se e s se mente.

Antinomia

Muitas vezes, usam-se as palavras paradoxo e antinomia como sinnimos ou ento consideram-se as antinomias como uma classe especial de paradoxos: os resultantes de uma contradio entre duas proposies, em que cada uma delas racionalmente defensvel.

De uma forma geral, antinomia designa um conflito entre duas ideias, proposies, atitudes, etc.. Fala-se, por exemplo, de antinomia entre f e razo, entre amor e dever, entre moral e poltica. Num sentido mais restrito, antinomia designa um conflito entre duas leis.

O termo antinomia , por vezes, utilizado para designar um conflito entre duas proposies, ou entre as consequncias que delas advm. A antinomia de duas proposies difere da contrariedade. Duas proposies podem ser contrrias sem que constituam uma antinomia, no entanto, ela surge quando se pretende provar a validade de cada uma delas.

Especificamente, emprega-se o termo antinomia dentro da crtica Kantiana do sistema de ideias cosmolgicas na Crtica da Razo Pura (1781). Kant (1724-1804) fala da antinomia da razo pura que consiste em usar ideias transcendentes com o fim de obter conhecimentos relativos ao mundo. Kant salienta que "Uma tese dialctica da razo pura dever, por consequncia, possuir algo que a distinga de todas as proposies sofsticas e o seguinte: que no se ocupe de uma questo arbitrria, levantada apenas por capricho, mas de um problema que se depara necessariamente razo humana na sua marcha; e, em segundo lugar, que apresente, como proposio contrria, no uma aparncia artificial que logo desaparece desde que como tal se examina, mas uma aparncia natural e inevitvel que, mesmo quando j no engana, continua ainda a iludir, embora no a enredar, e que, por conseguinte, pode tornar-se inofensiva sem nunca poder ser erradicada." 2 Kant d uma lista de quatro antinomias, divididas em dois grupos: antinomias matemticas e antinomias dinmicas.

1 Antinomia Tese: "O mundo tem um comeo no tempo e tambm limitado no espao." Anttese: "O mundo no tem comeo nem limites no espao; infinito tanto no tempo como no espao."

2 Antinomia Tese: "Toda a substncia composta, no mundo, constituda por partes simples e no existe nada mais que o simples ou o composto pelo simples." Anttese: "Nenhuma coisa composta, no mundo, constituda por partes simples, nem no mundo existe nada que seja simples."

3 Antinomia Tese: "A casualidade segundo as leis da natureza no a nica de onde podem ser derivados os fenmenos do mundo no seu conjunto. H ainda uma casualidade pela liberdade que necessrio admitir para os explicar." Anttese: "No h liberdade, mas tudo no mundo acontece unicamente em virtude das leis da natureza."

4 Antinomia Tese: "Ao mundo pertence qualquer coisa que, seja como sua parte, seja como sua causa, um ser absolutamente necessrio." Anttese: "No h em parte alguma um ser absolutamente necessrio, nem no mundo, nem fora do mundo, que seja a sua causa."

Contradio

A noo de contradio , geralmente estudada sob a forma de um princpio: o princpio de contradio ou princpio de no contradio. Com frequncia, tal princpio considerado um princpio ontolgico e, neste sentido, enuncia-se do seguinte modo:

impossvel que uma coisa seja e no seja ao mesmo tempo, a mesma coisa. Outras vezes, considerado como um princpio lgico, e ento enunciado do modo seguinte: no se pode ter p e no p, onde p smbolo de um enunciado declarativo.

O primeiro pensador que apresentou este princpio de forma suficientemente ampla foi Aristteles. Vrias partes da sua obra esto consagradas a este tema, mas nem sempre o princpio formulado do mesmo modo. s vezes apresenta-o como uma das noes comuns ou axiomas que servem de premissa para a demonstrao, sem poderem ser demonstradas. Noutras ocasies, apresenta-o como uma noo comum, usada para a prova de algumas concluses. Apresenta ainda este princpio como uma tese segundo a qual se uma proposio verdadeira, a sua negao falsa e se uma proposio falsa, a sua negao verdadeira, quer dizer, como a tese segundo a qual, duas proposies contraditrias no podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Estas formulaes podem reduzir-se a trs interpretaes do mesmo princpio: ontolgica, lgica e metalgica. No primeiro caso o princpio refere-se realidade; no segundo, converte-se numa formula lgica ou numa tautologia de lgica sequencial, que se enuncia do seguinte modo: (p p)

e que se chama geralmente de lei de contradio. No terceiro caso, o princpio uma regra que permite realizar inferncias lgicas.

As discusses em torno do princpio de contradio tm diferido consoante se acentua o lado ontolgico ou o lado lgico e metalgico. Quando se d mais relevncia ao lado ontolgico, trata-se sobretudo de afirmar o princpio como expresso da estrutura constitutiva do real, ou de o negar supondo que a prpria realidade contraditria (Hereclito) ou que, no processo dialctico da sua evoluo, a realidade supera, transcende ou vai mais alm do princpio de contradio (Hegel). Quando predomina o lado lgico e metalgico, trata-se ento de saber se o princpio deve ser considerado como um axioma evidente por si mesmo ou como uma conveno da nossa linguagem que nos permite falar acerca da realidade.

Contraditrio

relao de oposio que se d entre proposies contraditrias, a que se d entre as proposies A-O e E-I. Segundo a relao de oposio contraditria, duas proposies contraditrias no podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas. Portanto:

Se A verdadeira, O falsa.

Se A falsa, O verdadeira.

Se E verdadeira, I falsa.

Se E falsa, I verdadeira.

A contradio respeita a proposies, no a ideias. As ideias no so contraditrias entre si; podem ser contraditrias apenas as proposies em que se afirma ou nega algo.

Para saber mais sobre o significado das proposies A, E, I, O clique aqui. (pgina dos nossos colegas: Gonalo e Cludia)

Absurdo

Absurdo significa contrrio razo. Habitualmente, chamamos absurdo ao que est fora do considerado normalou que est contra ou se afasta do sentido comum.

frequente falar-se de proposies absurdas ou crenas absurdas, com efeito, podemos conceber crenas absurdas e express-las em proposies que no tm um aspecto absurdo.

tambm frequente dar um sentido lgico ou se quisermos, ilgico- a "absurdo", equiparando absurdo a ilgico. Neste sentido, surge a expresso "Reduo ao absurdo", que designa um tipo de raciocnio, que consiste em provar uma proposio p, assumindo a falsidade de p e demonstrando que da falsidade de p se deduz uma proposio contraditria com p.

H, no entanto, uma outra acepo de absurdo, estritamente ligada a sem sentido. Por exemplo, quando falamos de um rectngulo redondo, um tringulo com quatro lados, substncias imateriais, etc. estamos a falar de coisas sem sentido. Segundo alguns autores, estas situaes no traduzem um erro mas antes uma situao em que as palavras carecem de significao, isto , so absurdas.

1- Mora, J. F.(1986). Dicionrio de Filosofia. Barcelona: Alianza Editorial.

2- Kant, I. (1985). Crtica da Razo Pura. Lisboa: Fundao Calouste Gulbenkian, p. 389.