MagnetostáticaCap. 5

Campo magnético e potencial vetor magnéticoEquações da magnetostáticaTransformações de calibre Momentos de dipolo magnéticoCampo magnético dipolarMagnetização e correntes de magnetizaçãoDensidades efetivas de cargas magnéticasClassificação magnética dos materiaisPotencial escalar magnéticoProblemas de condições de contorno

Lei de Biot - Savart

Equivalentes de cargas em movimento : densidades de correntefiliformes, superficiais e volumétricas

Fluxo magnético

Ex.: Campo magnético no eixo de uma bobina plana e na vizinhança do eixo.

Fluxo sobre o cilíndro :

Fluxo nasuperfícielateral

Fluxo atravésda tampa decima

Fluxo atravésda tampa debaixo

-

Sobre o eixo (r = 0) temos :

Na vizinhança do eixo temos :

Lembando que : ou seja a inclinação de B relativaao eixo em M é:

Divergência nula de B implica na inexistência de observação experimental de monopolos magnéticos:

Teorema da divergência :

Em consequência, define-se o Potencial Vetor A :

Expressão integral para o Potencial Vetor A :

Verifique que :

Lembrando que J é função das coordenadas (x’, y’, z’) :

Analogia

Se em Eletrostática temos :

Então em Magnetostática temos :

Sendo

Então

Pois

Uma vez que

x Magnetostática !!!

Lei de Ampère

Equações do Campo Magnetostático

Forma integral

Campos magnetostáticos não apresentam dependência do tempo.

Transformação de Calibre

Calibre de Coulomb

ExercícioÉ possível haver uma onda magnetostática? Qual é o seu significado?

Sugestão:

http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/spinwave.pdf

Momento de dipolo magnético

Momento de dipolo magnético

Campo magnético dipolar

Ex.: Campo magnético dipolar (releitura!)

Momento dipolar magnético (generalização!)

( )

ExercícioMostre que a expressão geral do campo magnético dipolar inclusive dentro da distribuição dipolar de raio R é dada por:

tal que

satisfazendo a condição:

Interação entre dipolos magnéticosimersos num campo externo

321o

2

3

4 r

mm

A B C D E

Ex. : Verifique as energias magnéticas das configuracões de A a F.

F

ExercícioObtenha o dipolo magnético associado a uma espira plana no limite r >> a.

ExercícioReleitura do exercício anterior sem a imposição r >> a.

Integrais Elípticas

ExercícioObtenha o campo magnético do dipolo magnético do exercício anterior.

Mostre que:

ExercícioNova releitura do exercício anterior usando os harmônicos esféricos.

m =1

l par

l impar

ExercícioObtenha o campo dipolar magnético do exercício anterior.

Uma força magnética conservativa no caso de uma distribuição de correntes localizadas

num campo eletrostático que varia suavemente

Equivale a um monopolo

"Nulo"

Força Conservativa

Energia potencial magnetostática

Magnetização

A magnetização é definida através do momento de dipolo magnético por

unidade de volume de um material.

Pictoricamente, é associada as correntes de magnetização (Amperianas).

“pictórico”

Visão microscópica

Admitindo:

Da relação vetorial : x (f F) = (f ) x F + f ( x F)

∫ X F dV = ∫ dA X F Gauss-Ostrogradski

Materiais magnetizados

Densidade de corrente de magnetização volumétrica :

Densidade de corrente de magnetização superficial :

JM

jM

B e M são funcionais de H

Magnetização : M = dm/dV no SI a unidade de M é A m-1

Susceptibilidade magnética

Permeabilidade magnética

Permeabilidade magnética relativa

Indução Magnética B e Campo Magnético H

Definição do campo magnético H :

Equação constitutiva ou funcional :

Em consequência

Lei de Ampère em presença de material magnético

Ex.: Campos magnéticos externos a ferromagnetos

Densidades efetivasde carga magnética

Distante de uma região com M localizada

= o +

B H M

Resposta magnética dos materiais

Diamagnéticos : materiais com todos os spins eletrônicos emparelhados.

Paramagnéticos: materiais com spins eletrônicos desemparelhados não interagentes e flutuando térmicamente.

Ferromagnéticos: materiais com spins eletrônicos desemparelhados e acoplados via interação de troca quantum-mecânica.

O ciclo de histerese

Br indica quanto forte é o ímã.HC indica quanto é difícil desmagnetizar o ímã.

(BH)maxindica o volume de material necessário para obter uma certa energia.

M

Magnetic domain walls

Ferromagnetismo é um fenômeno quantum-mecânico ! A interação dipolar magnética é << kT

C

Energia magnética armazenada

espaço material

xdxdxdW 33

03

0 2

1

2

1MHHHM)(HH

Condições de contorno em interfaces com materiais magnéticos

Interfaces

Potenciais Magnéticos

Caso

Ex.: Blindagem magnética usando uma casca esférica de material permeável num campo magnético uniforme.

Temos B = H somente entre b > r > a. Logo, é preciso resolver apenas a equação de Laplace nas regiões r > b e r < a.

As soluções fisicamente aceitáveis nas três regiões são :

As condições de contorno em r = a e r = b são tais que H e Br são contínuos.

Em termos do potencial escalar magnético estas condições são:

( relativo)

Estas quatro condições são suficientes para a determinação de todas as

constantes desconhecidas pois todos os coeficientes com l ≠ 1 anulam-se.

Para l = 1 os coeficientes satifazem simultaneamente as equações :

As soluções para 1 e são :

O potencial fora da casca esférica corresponde ao campo uniforme Bo mais um

campo dipolar com um momento de dipolo orientado paralelo a Bo. Dentro da

cavidade há um campo magnético uniforme paralelo à Bo igual em magnitude à .

Quando >> 1, o momento de dipolo e o campo interior tornam-se :

Portanto, o campo no interior da casca é proporcional a 1/e a blindagem magnética

com um material de alta permeabilidade torna-se bastante efetiva. Sendo ~ 103–106

se reduz significativamente o campo no interior da casca esférica.

B ~ 0

Exercício(a) Obtenha o potencial e campo magnéticos de uma esfera uniformente magnetizada.

(b) Obtenha B, H e M no interior uma esfera magnetizada imersa em um campo magnetostático.

ExercícioObtenha o potencial e campo magnéticos em torno de um orificio circular num plano condutor com um campo magnético externo assintoticamente tangencial e uniforme em um dos lados (seção 5.13 do livro do Jackson 3a Ed.)