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Resolução da lista de exercíciosVariância
Variáveis aleatórias independentesStops para o passeio aleatório
MAC 5796. Aula 7
Walter Mascarenhas
13/04/2011
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 7
Resolução da lista de exercíciosVariância
Variáveis aleatórias independentesStops para o passeio aleatório
Resumo
1 Resolução da lista de exercícios
2 Variância
3 Variáveis aleatórias independentes
4 Stops para o passeio aleatório
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Resolução da lista de exercíciosVariância
Variáveis aleatórias independentesStops para o passeio aleatório
A figura fundamental do cálculo
f (x + δ )
o(δ 2)⋘ δ 2
f (x) + f ′(x)δ + 12 f ′′(x)δ 2
f (x) + f ′(x)δ
f (x)
x + δxWalter Mascarenhas MAC 5796. Aula 7
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Variáveis aleatórias independentesStops para o passeio aleatório
Vacina Gatos Infectados I/G1 10 0 0.002 17 1 0.063 23 2 0.09
Conclusão apressada: a primeira vacina é a melhor pois resulta namenor probabilidade de infecção.
Na verdade esta conclusão é uma confusão!!!
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A confusão surge por não termos claro um modelo probabilístico.
Não faz sentido identificar probabilidade com porcentagem deocorrências.
O que isto tem a ver com trading: TUDO. Se você não entende ummodelo então não deveria confiar nas conclusões obtidas a partirdele. (Ou pode comprar gato por lebre...)
Exemplo: comparação da performance de algoritmos usandoargumentos sem sentido estatístico. Overfitting.
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Modelo I: Vacina funciona × Vacina não funciona
Hipótese: Vacina não funciona
Vacina Gatos Infectados Probabilidade de I ≤
1 10 0(
100
)(34
)10 (14
)0= 0.056
2 17 1 ∑1k=0
(17k
)(34
)17−k (14
)k= 0.050
3 23 2 ∑2k=0
(23k
)(34
)21−k (14
)k= 0.049
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Segundo o Modelo I, a vacina 3 atribui a menor probabilidade aoque foi observado sob a hipótese de que a vacina não. É razoávelentão escolher a vacina 3 como a melhor.
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Modelo II: Estimando a eficácia da vacina
Segunda lista de exercícios...
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ℒ2(Ω,A,P) é a família de variáveis aleatórias f em (Ω,A,P) taisque E
(f 2)< ∞.
Se f ∈ ℒ2(Ω,A,P) então f é integrável pois
E(∣f ∣) = E(∣f ∣; ∣f ∣ ≤ 1) +E(∣f ∣; ∣f ∣> 1)≤ 1+E(f 2)< ∞.
Para f ∈ ℒ2(Ω,A,P) podemos definir
variancia(f) = E(
(f−E(f))2)
e o desvio padrão de f :
σ(f ) =√
variancia(f).
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Desvio pequenoDesvio grande
Variância = dispersão da variável aleatória ao redor da média.
Desigualdade de Chebyshev:
P(∣f −E(f )∣ ≥ ε)≤ σ(f )2
ε2 .
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Desigualdade de Schwarz: se f ,g ∈ ℒ2(Ω,A,P) então
E(∣fg ∣)≤√
E(f 2)E(g2).
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Demonstração da desigualdade de Schwarz.
Primeiro passo: esquentando os motores.
f = 1{A} e g = 1{B} .
Neste caso
E(∣fg ∣) = E(1{A}1{B}) = E(1{A∩B}) = P(A∩B) .
E(f 2)= E(1{A})≥ P(A∩B) .
E(g2)= E(1{A})≥ P(A∩B) .
Logo
E(∣fg ∣)≤√P(A∩B)2 ≤
√E(f 2)E(g2).
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Segundo passo:
f =n
∑j=1
aj1{Aj} e g =m
∑k=1
bk1{Bk} .
Neste caso
∣fg ∣=n
∑j=1
m
∑k=0∣ajbk ∣1{Aj}1{Bk}=
n
∑j=1
m
∑k=1∣ajbk ∣1{Aj ∩Bk}
Logo, como P(A∩B)≤√P(A)
√P(B),
E(∣fg ∣) =n
∑j=0
m
∑k=0∣ajbk ∣P(Aj ∩Bk)
≤n
∑j=1
m
∑k=1
(∣aj ∣√P(Aj)
)(∣bk ∣
√P(Bk)
).
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Pela desigualdade de Cauchy (para números)
E(∣fg ∣)≤
√√√⎷( n
∑j=1
a2j P(Aj)
)(m
∑k=1
b2kP(Bk)
)=√
E(f 2)E(g2).
Logo, a desigualdade vale quando f e g são funções simples.
Usamos agora o Teorema da Classe Monótona:
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Versão simplificada do teorema da classe monótona 1.
Considere duas famílias C ⊂ℳ de variáveis aleatórias não negativas
SeC contém todas as funções da forma f = ∑
nk=1 ak1{Ak} com
ak ∈ [0,∞) e Ak ∈ A.
Se { fn, n ∈N} é uma seqüência de elementos de C efn ↑ f ∈ℳ então f ∈ C.
então C =ℳ.
1veja Probability with Martingales, de David Williams, para a versão completa.
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Terceiro passo:
f =n
∑j=1
aj1{Aj} com aj ≥ 0 e g ≥ 0 com E(g2)< ∞.
Classes: ℳ={
g ≥ 0 com E(g2)< ∞
}e
Cf =
{g ∈ℳ tal que E(∣fg ∣) = E(fg)≤
√E(f 2)E(g2)
}.
Segundo passo ⇒Cf contém as g ’s simples.Convergência monótona: Se gn ∈ Cf ↑ g ∈ℳ então
fgn ↑ fg ⇒ E(fg) = limE(fgn)≤√
E(f 2) limE(g2n ) =
√E(f 2)E(g2).
Logo, g ∈ℳ e classe monótona ⇒Cf =ℳ.
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Quarto passo:
f ≥ 0 com E(f 2)< ∞ e g ≥ 0 com E
(g2)< ∞.
Classes: ℳ={
g ≥ 0 com E(g2)< ∞
}e
Cf =
{g ∈ℳ tal que E(∣fg ∣) = E(fg)≤
√E(f 2)E(g2)
}.
Terceiro passo ⇒Cf contém as g ’s simples.Convergência monótona: Se gn ∈ Cf ↑ g ∈ℳ então
fgn ↑ fg ⇒ E(fg) = limE(fgn)≤√
E(f 2) limE(g2n ) =
√E(f 2)E(g2).
Logo, g ∈ℳ e classe monótona ⇒Cf =ℳ.
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ResumoE(∣fg ∣)≤
√E(f 2)E(g2)
se f ,g ≥ 0 e E(f 2),E(g2)< ∞.
Caso geral:
E(∣fg ∣) = E(∣f ∣ ∣g ∣)≤√
E(∣f ∣2)E(∣g ∣2
)=√
E(f 2)E(g2).
E se E(f 2) ou E
(g2)= ∞?
Ok desde que convencionarmos que 0×∞ = 0.
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Duas variáveis aleatórias f e g são independentes se para todointervalo I = [a,b] e J = [c ,d ] os eventos f −1(I ) e g−1(J) sãoindependentes.
Informalmente, f e g são independentes se o valor de uma nãofornece informação sobre o valor da outra. Por exemplo se Ω é obaralho, com cartas de igual probabilidade, então f e g a seguir sãoindependentes:
f (♦∗) = 1, f (♥∗) = 2, f (♣∗) = 3, f (♠∗) = 4.
g(∗A) = 1, g(∗n) = n, g(∗J) = 11, g(∗Q) = 12, g(∗K ) = 13.
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Teorema: se f ,g ∈ ℒ2(Ω,A,P) são independentes então
E(fg) = E(f )E(g).
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Caso simples:
f =n
∑j=1
aj1{Aj} e g =m
∑k=1
bk1{Bk} .
fg =n
∑j=1
m
∑k=1
ajbk1{A}1{B}=n
∑j=1
m
∑k=1
ajbk1{A∩B} .
E(fg) =n
∑j=1
m
∑k=1
ajbkP(Aj ∩Bk)
Independência ⇒ P(Aj ∩Bk) = P(Aj)P(Bk) e
E(fg) =n
∑j=1
m
∑k=1
ajbkP(Aj)P(Bk) = E(f )E(g).
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Caso semi simples:
f = simples≥ 0 e g ∈ ℒ2(Ω,P,A)
Considere a classesℳ={
g ∈ ℒ2(Ω,P,A) e independente de f}
e G = {g ∈ℳ tal que E(fg) = E(f )E(g)}.
G contém as funções simples (Caso simples).
Se {gn, n ∈N} ∈ G e gn ↑ g ∈ℳ então fgn ↑ fg eE(fgn) = E(f )E(gn) ↑ E(f )E(g) pelo Teorema da convergênciamonótona. Logo g ∈ G.
Pelo teorema da classe monótona, G =ℳ. Ou seja, para todag ∈ ℒ2(Ω,P,A) independente de f temos que E(fg) = E(f )E(g).
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Caso não negativo:
f ∈ ℒ2(Ω,P,A)≥ 0 e g ∈ ℒ2(Ω,P,A)≥ 0
Considere a classesℳ=
{g ∈ ℒ2(Ω,A,P) ,g ≥ 0 e independente de f
}e
G = {g ∈ℳ tal que E(fg) = E(f )E(g)}.
G contém as funções simples ≥ 0 (Caso semi simples).
Se {gn, n ∈N} ∈ G e gn ↑ g ∈ℳ então fgn ↑ fg eE(fgn) = E(f )E(gn) ↑ E(f )E(g) pelo Teorema da convergênciamonótona. Logo g ∈ G.
Pelo teorema da classe monótona, G =ℳ. Ou seja, para todasf ,g ∈ ℒ2(Ω,P,A), f,g ≥ 0 e independentes temos queE(fg) = E(f )E(g).
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Caso geralf = f +− f −, f +, f − ∈ ℒ2(Ω,A,P) ,
g = g+−g−, g+,g− ∈ ℒ2(Ω,A,P) ,
E(fg) = E(f +g+− f +g−− f −g+ + f −g−
)= E
(f +g+
)−E(f +g−
)−E(f −g+
)+E(f −g−
)= E
(f +)E(g+)−E(f +)E(g−)−E(f −)E(g+)
+E(f −)E(g−)
=(E(f +)−E(f −))(
E(g+)−E(g−))
= E(f )E(g).
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A covariância entre duas variáveis aleatórias f e g em ℒ2(Ω,A,P)é definida como
cor (f ,g) = E((f −E(f ))(g −E(g))).
A covariância é uma medida de independência: Se f e g sãoindependentes então f −E(f ) e g −E(g) também sãoindependentes e
cor (f ,g) =E((f −E(f ))(g −E(g))) =E(f −E(f ))E(g −E(g)) = 0.
Em geral variáveis dependentes podem ter correlação 0, ou seja acorrelação nula é apenas um indicativo de independência. Porém,para variáveis com distribuição normal ausência de correlação éequivalente a independência.
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n
vGanho = e−ρn v
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Visão informal:
O valor esperado do ganho é
E(G ) =∞
∑n=v
P(Tv = n)e−ρnv ,
Onde Tv = Tv (ω) é o primeiro instante no qual o preço atinge ovalor v .
Note que pode acontecer do preço NUNCA atingir v . Neste casodefinimos Tv (ω) = ∞.
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Visão Formal:
Tv
Ω
v v +2 v +4 v +6 v +8 v +10
A′ = { subconjuntos que dependem de finitas coordenadas }
Exemplo Cv ,n = {ω ∈ Ω com Tv (ω) = n} ∈ A′.
A= σ(A′)
= menor σ − algebra contendo A′.
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Visão Formal:
Note que para decidirmos se ω ∈ Cv ,n = {ω ∈ Ω com Tv (ω) = n}precisamos apenas decidir se
pk =k
∑j=1
ωj < v para 0≤ k < n e pn =n
∑j=1
ωj = v .
Ou seja, precisamos analisar apenas ωN = {ω1, . . . ,ωN } ∈ ΩN .Logo, podemos atribuir probabilidade a Cv ,n de acordo com oraciocínio para ΩN .
Isto define uma medida de probabilidade P em A′.
Há uma extensão natural de P para A.
Com isto definimos nosso espaço de probabilidade (Ω,A,P).Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 7
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TUDO nesta formalização faz um (bom) sentido.
Por exemplo: porque usar A ao invés de A′?
Resposta: o conjunto Cv ,∞ = {ω ∈ Ω com Tv (ω) = ∞} não estáem A′, pois precisamos considerar infinitas coordenadas ωk paradecidir se ω ∈ Cv ,∞. Porém
Cv ,∞ =
(Ω−
∪n∈N
Cv ,n
)∈ A.
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Voltando ao valor esperado do ganho com o stop:
E(G ) =∞
∑n=1
P(Tv = n)e−ρnv =∞
∑n=1
P(Cv ,n)e−ρnv .
Logo, o primeiro passo para calcular E(G ) é calcular P(Cv ,n).
Esta é a nossa tarefa agora.
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Calculando P(Cv ,n):
v > n⇒ P(Cv ,n) = 0,
pois não há como subir mais que n em n passos.
n ≥ 1,v ≤ 0⇒ P(Cv ,n) = 0
pois p0 = 0, i.e. a primeira chegada no 0 ocorre para n = 0.
v ≥ 0⇒ P(Cv ,v ) = pv , (1)
pois para atingir v em v passos temos que subir em todos eles.
0< v < n⇒ P(Cv ,n) = pP(Cv−1,n−1) +qP(Cv+1,n−1) . (2)
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n
v
p
q
v −1
n−1
v +1
0< v < n⇒ P(Cv ,n) = pP(Cv−1,n−1) +qP(Cv+1,n−1) .
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0≤ v < n⇒ P(Cv ,n) = pP(Cv−1,n−1) +qP(Cv+1,n−1) .
-n
6v
��������
q
q
q
q
q
q q q q
@@I
a
@@I
@@Ia
a
@@I
@@I
@@I
a
a
a
��
��
��
a
a
a
��
��a
a
��
a
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0< v < n⇒ P(Cv ,n) = pP(Cv−1,n−1) +qP(Cv+1,n−1) .
P(Cn,n) = pn e P(C0,n) = 0.
Indução mostra que, para 0≤ v ≤ n,
P(Cv ,n) =vn
(n
n+v2
)p
n+v2 q
n−v2 .
v = n:nn
(n0
)pn = pn✓
v = 0:0n
(nn2
)p
n2 q
n2 = 0✓
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Queremos usar
0< v < n⇒ P(Cv ,n) = pP(Cv−1,n−1) +qP(Cv+1,n−1) .
para provar que
P(Cv ,n) =vn
(n
n+v2
)p
n+v2 q
n−v2 .
Indução:
P(Cv ,n) = pv −1n−1
(n−1n+v−2
2
)p
n+v−22 q
n−v2 +q
v +1n−1
(n−1n+v
2
)p
n+v2 q
n−v−22
=
((v −1)
(n−1n+v−2
2
)+ (v +1)
(n−1n+v
2
))p
n+v2 q
n−v2
n−1.
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((v −1)
(n−1n+v−2
2
)+ (v +1)
(n−1n+v
2
))
= (n−1)!
(v −1(n−v
2
)!(n+v−2
2
)!
+v +1(n−v−2
2
)!(n+v
2
)!
)
=(n−1)!(n−v
2
)!(n+v
2
)!
((v −1)
n + v2
+ (v +1)n− v2
)
=1n
(n
n+v2
)(nv − v)
= (n−1)vn
(n
n+v2
).
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Combinando as últimas equações dos dois slides anteriores obtemos
P(Cv ,n) =vn
(n
n+v2
)p
n+v2 q
n−v2 .
c.q.d.
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Da última equação concluímos que
E(G ) =∞
∑n=v
vn
(n
n+v2
)p
n+v2 q
n−v2 e−ρnv
ou ainda, fazendo n = v +2k ,
E(G ) = v2e−ρvpv∞
∑k=0
1v +2k
(v +2kv +k
)(pqe−2ρ
)k
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P(Cv ,n) =vn
(n
n+v2
)p
n+v2 q
n−v2 . (3)
P(Cv ,n) =vn
(pq
)v/2 n!(n+v2
)!(n−v
2
)!
(pq)n/2 .
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Stirling mostra que
n!(n+v2
)!(n−v
2
)!≈ nn√
2π(n+v
2
)(n−v2n
)(n+v2
) n+v2(n−v
2
) n−v2
=2n√
π (n + v)(n−v
2n
)(1+ v
n
) n+v2(1− v
n
) n−v2
≈ 2n√πn 1
2ev2 e−
v2
≈ 2n
√2
πn.
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