M1-Sistemas-Digitais

Módulo 2 Álgebra e Lógica Booleana

SDACProf. Isabel Cortinhas

Para comunicarmos com pessoas de outras nacionalidades, precisamos de falar a mesma língua, assim também acontece com o computador, pois este não nos entende se não existir um intérprete pelo meio.

Esse intérprete não faz mais do que traduzir os vossos comandos para a linguagem da máquina.

Chama-se a essa linguagem, binária.

Introdução

São conjuntos de bits (zeros e uns), que, agrupados correspondem a uma letra, número, frase ou mesmo a um comando de acelerar, travar, chutar a bola, desviar-se, etc.

Todos os comandos introduzidos quer pelo teclado ou pelo rato, são traduzidos para esta linguagem antes de chegar ao processador.

Linguagem Binária

1. Sistemas de Numeração e Códigos

A palavra bit resulta de binary digit. O computador apenas trabalha com linguagem binária. Os únicos caracteres aceites por esta linguagem são o zero e o um.

Como contraste temos a linguagem decimal (a que nós humanos, utilizamos), que permite 10 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Bit

Com a linguagem binária, zeros e uns, o computador consegue representar qualquer letra, número, palavra, imagem, etc.

Bit (continuação)

Um byte representa um conjunto de 8 bits.

◦ Exemplos:11001010 ->1 byte;11111111 ->1 byte;10101010 ->1 byte;10000000 ->1 byte;…

Byte

Todos os exemplos anteriores e muitos outros conjuntos de 8 bits são considerados 1 byte.

Mas quantas combinações serão possíveis?

O número de bits irá defenir um número limite de combinações possíveis.

Byte (continuação)

Exemplo:


Analogia entre a rede de águas pública e a linguagem binária

A figura anterior mostra dois chuveiros em apartamentos diferentes do mesmo prédio.

Cada chuveiro tem uma torneira que, quando está fechada, corresponde ao bit zero e quando está aberta, corresponde ao bit um.


Vamos analisar qual o número de combinações possíveis, considerando apenas a casa do Dinis:


Para um só chuveiro, temos um total de duas combinações. Então:◦ N.º de combinações (NC)=2 n.º de chuveiros existentes

Neste caso, como somente existe 1 chuveiro

NC=21=2


Analisando agora uma segunda situação, onde existem os chuveiros da casa do Dinis e da Joana, temos:


Neste caso, temos 4 combinações possíveis. NC=22 (porque agora temos 2

chuveiros)=4Se tivéssemos 10 chuveiros, seria quase impossível pensar em todas as situações/combinações possíveis, logo pela fórmula, basta um simples cálculo para obtermos o resultado.

NC=210 =1024 combinações possíveis


Quando falamos de bits, o processo é o mesmo. Tal como o chuveiro só pode estar aberto ou fechado, um bit só pode ter o valor zero ou um.

Desta forma podemos dizer que: NC=2n.º de chuveiros existentes =2n.º de bits


Assim, se dispusermos de um bit, é como se existisse um único chuveiro. A torneira está fechada (bit 0) ou está aberta (bit 1). Para dois chuveiros, temos:


Sabendo que 1 byte são 8 bits, qual é o número de combinações (NC) possível?

Exercício

RESPOSTANC=28bits=256

Kilobytes, megabytes, gigabytes, etc… Quanto representa cada um??? Anteriormente, vimos que 1byte equivale

a 8bits.1kB ou 1 kilobyte = 1024 bytes = 210

Uma vez que esta linguagem só possui 2 algarismos, tem de ser sempre um resultado de potência de 2, logo o mais aproximado de 1000 é o 1024 (210).

Reduções

Se pretendermos saber quanto são 2 KB:◦ 2KB=2*1KB◦ 2KB=2*1024 bytes◦ 2KB=2048◦ 2KB=211

Calculando com potências:◦ 2KB=2*1KB (1kB=210)◦ 2KB=2*210

◦ 2KB=21*210

◦ 2KB=211 (Mantemos as bases e somamos os expoentes)◦ 2KB=2048

Reduções (continuação)

1KB=2 10

1MB=2 20

1GB=2 30

1TB=2 40


Do mais pequeno…

Ao maior…

Então quanto será 1 MB?◦ 1MB=1KB*1KB◦ 1MB=210*210

◦ 1MB=220

◦ 1MB=1 048 576 bytes


Conversão

1. 1024 bytes = _______ KB;

2. 1 GB = ___________ MB;

3. 2048 KB = ______ MB;

4. 1,5 MB = ________ bytes;

5. 2,4 KB = ________ bits;

6. 41 943 040 bits = __________ MB;

7. 2 bytes = __________ bits;

8. 1,2 bytes = _________ bits;

9. 24 bits = ______ bytes;

10. 400 bits = ______ bytes.

Exercícios 1

1024

2

1572864

19660,8

5

16

9,6

3

50

Vamos aqui ver quatro bases de numeração: binária, octal, decimal, hexadecimal.

Estes números, quando são representados, são seguidos de um índice, para que possamos identificar a base em que se encontram.

Sistemas de numeração

BASE BINÁRIA 10111101(2) ou 10111101(BIN)

Alfabeto binário: 0 e 1; -> Não aceita outros algarismos que não estes dois. Ex: 10121 nunca poderia ser porque contém o algarismo 2.

Sistemas de numeração (continuação)

BASE OCTAL 7235(8) ou 7235(OCT)

Alfabeto octal: 0,1,2,3,4,5,6,7. -> Ex: 8596 nunca poderia ser porque conter os algarismos 8 e 9.


BASE DECIMAL 956(10) ou 956(DEC)

Alfabeto decimal: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.


BASE HEXADECIMAL 59E2(16) ou 59E2(HEX)

Alfabeto hexadecimal: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.


Conversão de qualquer base para a decimal; Conversão de decimal para outras bases; Conversão de base binária para a base octal e vice-

versa; Conversão de base binária para a base hexadecimal

e vice-versa; Conversão de base octal para a base hexadecimal e

vice-versa.

Conversões entre bases

Conversões entre bases (continuação)

Binário Octal Hexadecimal

Conversão para decimal

Decimal

Para converter qualquer base para a base decimal iremos utilizar uma fórmula geral:

10110101(2)

Exemplo Binário ->Decimal

7 6 5 4 3 2 1 0

Primeiro escreve-se o número e por cima de cada dígito, numeramos a sua posição. Começa-se sempre no zero, numerando da direita para a esquerda.

Pos

10110101(2)

7 6 5 4 3 2 1 0Pos

1*20

Logo,

Exemplo Binário ->Decimal

7

Pos=0dígito*2Pos

Ou seja,

=1*20+0*21+1*22+0*23+1*24+1*25+0*26+1*27=181(10)

No caso de termos um número em octal, e querermos passá-lo para decimal, o processo é exatamente o mesmo.

Apenas a base muda para oito na fórmula anterior.


No caso de termos um número em hexadecimal, e querermos passá-lo para decimal, o processo é exatamente o mesmo.

Apenas a base muda para dezasseis na fórmula anterior, mas como vamos multiplicar letras por números?!


Resp.: através de uma tabela de correspondência entre os valores hexadecimais e decimais, a conversão é imediata.

HEXADECIMAL DECIMAL0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9A 10B 11C 12D 13E 14F 15

Binário Octal Hexadecimal

Conversão de decimal para outras bases

Decimal

Converter números em base decimal para qualquer outra base, tendo em conta uma expressão geral:

A expressão geral apresentada anteriormente, deverá ser aplicada sucessivamente, até que o valor de x seja menor que a base.

Por exemplo, no caso de se tratar de uma conversão para binário, a base será igual a 2, logo a condição de paragem irá ocorrer para x<2.


O resultado escreve-se do dígito mais significativo (MSB – Most Significant Bit) para o menos significativo (LSB – Least Significant Bit). (Do último resto para o primeiro).

Sempre que da divisão resultar um número inteiro, o resto é zero. Caso contrário, o resto será um.


Relembrando que os números em octal apenas podem ser representados por 8 dígitos, de quantos bits necessitamos para representar um número octal em binário?

Conversão Binário ->Octal

NC=23=8

Resp.: 3.

Significa que podemos representar 8 dígitos diferentes com apenas 3 bits.

Desta forma, cada dígito em octal terá de ser passado para binário em grupos de 3 bits ou vice-versa.


Converter o número 100101(2) para octal:

100 101(2)1*22+0*21+0*20 1*22+0*21+1*20

4 545(8)

Estes cálculos podem ser evitados, se recorrermos à seguinte tabela:


B3 B2 B1 Octal0 0 0 00 0 1 10 1 0 20 1 1 31 0 0 41 0 1 51 1 0 61 1 1 7

Para a operação inversa, de Octal para Binário, também podemos utilizar a tabela.

Muito semelhante ao método anterior, onde a única diferença é no número de bits que se agrupam, que em vez de ser de 3 bits, temos agora de o fazer num

conjunto de 4 bits. NC=24=16 Neste caso também podemos recorrer a

uma tabela para evitar os cálculos.

Conversão Binário ->Hexadecimal

B4 B3 B2 B1 HEX0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 20 0 1 1 30 1 0 0 40 1 0 1 50 1 1 0 60 1 1 1 71 0 0 0 81 0 0 1 91 0 1 0 A1 0 1 1 B1 1 0 0 C1 1 0 1 D1 1 1 0 E1 1 1 1 F

Para a operação inversa, de Hexadecimal para Binário, também podemos utilizar a tabela.

Neste caso não existe nenhum método de conversão direta entre estas bases, para o fazermos é sempre necessário converter primeiro para Binário.

Conversão Octal <-> Hexadecimal

Ficha de Trabalho Nº2

2. Operações

A adição é feita da mesma forma que os números decimais, à exceção de quando somamos 1+1, visto que não pode ser 2.

Adição entre binários

Como a base binária só contempla os algarismos 0 e 1, neste caso o resultado da soma será 0 e vai +1 para juntar ao número imediatamente à esquerda.

Resolver 001+011

Exercício 1

Para confirmar se o cálculo está correto, podemos fazer corresponder os números binários a decimais. Assim, resolvendo de novo o exercício, temos:

Exercício 1 (Cont.)

Resolver 101111+001011

Exercício 2

O quadro seguinte mostra todos os cenários possíveis de ocorrer na subtração:

Subtração entre binários

Quando subtraímos 0-1, temos de estar atentos ao transporte, pois, sempre que vai +1 ele soma-se ao membro inferior da subtração e o resultado dessa soma subtrai-se ao membro superior.

Subtração entre binários

Resolver 101-011

Exercício 1

Para confirmar se o cálculo está correto, podemos fazer corresponder os números binários a decimais. Assim, resolvendo de novo o exercício, temos:

Exercício 1

Resolver 110010-101101

Exercício 2

0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1

Produto entre binários O produto entre números binários segue à

risca as regras da multiplicação entre números decimais.

Exercício 1

A multiplicação é realizada normalmente, mas no final temos de aplicar as regras da soma, para obter o resultado final do produto.

Para confirmar o resultado, podemos converter para decimal os valores:

Exercício 1

Conversão de números de qualquer base para a base binária -> CODIFICAÇÃO BINÁRIA.

Dois códigos binários:◦ BCD8421◦ ASCII

Códigos binários

Este código utiliza 4 bits, que apenas representam valores decimais de 0 a 9.

Como se pode verificar em BCD, necessitamos de 4bits por cada dígito decimal que pretendemos codificar.

BCD(Binary Coded Decimal)8421

Codifique o número 9526(10) em BCD 8421(nota: se cada dígito tem 4bits, logo o resultado terá 16bits)

Exercício

9526(10)

1001

0101

0010

0110

Resultado final: 1001010100100110(BCD)

O código ASCII é conhecido por associar conjuntos de 7 bits a caracteres alfanuméricos.

Basicamente, podemos representar qualquer tecla do nosso teclado através deste tipo de código.

Com 7 bits, conseguimos um total de 128 combinações.

ASCII (American Standart Code for Information Interchange)

Relembrando…

NC=2n.º de bits

Tabela ASSCII

3. Álgebra de Boole e

circuitos lógicos

Neste ponto, vamos aprender o funcionamento dos circuitos lógicos.

Estes estão na base dos cálculos efetuados por um microprocessador aos realizar as suas operações.

Introdução

Álgebra de Boole Para percebermos o funcionamento dos

processadores e dos computadores, a primeira coisa que necessitamos de entender é algo chamado Lógica de Boole.

Ela foi originalmente desenvolvida por George Boole, em meados de 1800, e permite-nos “transformar” as coisas mais inesperadas em bits e bytes.

Famílias Lógicas O desenvolvimento da tecnologia dos circuitos

integrados, que possibilita a colocação num único invólucro diversos componentes já interligados, veio permitir um desenvolvimento muito rápido da eletrónica digital.

Foi criada uma série de circuitos integrados que continham numa única pastilha as funções lógicas digitais mais usadas que todas eram compatíveis entre si.

Famílias Lógicas Estas séries de circuitos integrados formaram então

as famílias lógicas que consistem num grupo de dispositivos compatíveis com os mesmos níveis lógicos e tensões de alimentação.

◦ por isso se pode conectar diretamente a saída de um dispositivo na entrada de outro se ambos forem da mesma família.

A álgebra de Boole, assim como a linguagem binária, assenta nos valores 0 e 1.

Valor 0 nível baixo (Low – entre 0V e 0,8V) Valor 1 nível alto (High – entre 2V e 5V)

Estas nomenclaturas têm relação direta com a eletrónica, daí os níveis High e Low.

3.1 Constantes e variáveis de Boole

Uma porta lógica é um componente eletrónico com uma saída e várias entradas.

Conforme o valor dessas entradas coloca à saída um valor lógico (0 ou 1).

Vamos analisar as portas lógicas OR, NOR, AND, NAND, NOT, XOR e XNOR.

3.2 Gates (portas lógicas)

A tradução direta do inglês para esta gate é porta “ou”.

Símbolo utilizado para representar uma gate OR:

Gate OR

Saída = A+B

Esta porta coloca, à saída, a soma das entradas.

Como só apresenta duas entradas (A e B), a saída (S) será a soma delas S = A+B.

Para obtermos o valor da saída em função destas entradas, representa-se de seguida uma tabela de verdade da gate OR.

Gate OR (Cont.)

A B S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Como apenas podemos utilizar 0’s ou 1’s, a nossa saída também só poderá tomar um desses valores. A gate coloca à saída a soma das entradas.

Analisando a tabela anterior:

Gate OR (Cont.)

1.ª Situação possível 2.ª Situação possívelA=0B=0

Saída =S=A+B=0+0=0

A=0B=1

Saída =S=A+B=0+1=13.ª Situação possível 4.ª Situação possível

A=1B=0

Saída =S=A+B=1+0=1

A=1B=1

Saída =S=A+B=1+1=1

No exemplo anterior, vimos que a porta OR apenas toma o valor zero quando todas as entradas são zero.

Então como seriam as saídas de uma gate OR com mais de duas entradas?

Imagine uma gate OR de 4 entradas:

Gate OR (Cont.)

A BCD

S= A+B+C+D

A nova tabela seria:

Gate OR (Cont.)

A B C D S

0 0 0 0 0

1 x x x 1

x 1 x x 1

x x 1 x 1

x x x 1 1

Os x’s representados indicam que o valor dessa posição tanto poderá ser 0 como 1.

A saída só toma o valor 0 quando todas as entradas são 0.

Basta que um bit de entrada seja 1, para que a saída tome o valor 1.

1

0A

B 1

0

Exercício: Desenhe a onda de saída para as ondas de entrada representadas por A e B se estas fossem aplicadas às entradas de uma gate OR.

Gate OR Exemplo de 1 exercício resolvido

1

0A

B 1

0

S 1

0

Gate OR Exemplo de 1 exercício resolvido

A gate AND traduz-se por porta “e”. Símbolo utilizado para representar uma gate

AND:

Gate AND

Saída = A*B

Como verificamos anteriormente, esta porta coloca à saída o produto das entradas.

Representa-se de seguida uma tabela de verdade da gate AND.

Gate AND (Cont.)

A B S

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1


Gate AND (Cont.)

1.ª Situação possível 2.ª Situação possívelA=0B=0

Saída =S=A*B=0*0=0

A=0B=1

Saída =S=A*B=0*1=03.ª Situação possível 4.ª Situação possível

A=1B=0

Saída =S=A*B=1*0=0

A=1B=1

Saída =S=A*B=1*1=1

Verifica-se pela tabela, que a saída só toma o valor 1 quando todas as entradas se encontram a 1.

Como seria uma saída de uma gate AND com mais de duas entradas?

Gate AND (Cont.)

A BCD

S= A*B*C*D

A nova tabela seria:

Gate AND (Cont.)

A B C D S

0 x x x 0

x 0 x x 0

x x 0 x 0

x x x 0 0

1 1 1 1 1

A saída só toma o valor 1 quando todas as entradas são 1.

Basta que uma das hipóteses conte com um zero, para que a saída tome o valor 0.

1

0A

B 1

0

Exercício: Desenhe a onda de saída para as ondas de entrada representadas por A e B, se estas fossem aplicadas às entradas de uma gate AND.

Gate AND Exemplo de 1 exercício resolvido

1

0A

B 1

0

S 1

0

Gate AND Exemplo de 1 exercício resolvido

A gate NOT traduz-se por porta “porta inversora” e tem a particularidade de só admitir uma entrada.

Símbolo utilizado para representar uma gate NOT:

Gate NOT

Saída = A

A saída gate NOT é a negação da sua entrada. Utiliza-se uma barra por cima da letra, para identificar que esta é negada.

Representa-se de seguida uma tabela de verdade da gate NOT, que é a mais simples de todas.

Gate NOT (Cont.)

A S

0 1

1 0


Gate NOT (Cont.)

1.ª Situação possível 2.ª Situação possívelA=0

Saída =S=A=0=1

A=1

Saída =S=A=1=0

1

0A

Exercício: Desenhe a onda de saída para a onda de entrada representada por A, se esta for aplicada à entrada de uma gate NOT.

Gate NOT Exemplo de 1 exercício resolvido

1

0A

S 1

0

Gate NOT Exemplo de 1 exercício resolvido

A gate NOR não é mais que uma negação da porta OR. O nome NOR é a abreviatura de NOT OR, que indica que existe uma inversão do sinal na saída desta gate.

Símbolo utilizado para representar uma gate NOR:

Gate NOR

Saída = A+B

Este símbolo é uma abreviatura do que realmente acontece. Uma gate NOR é o resultado da associação em série de uma gate OR e um inversor.

EXEMPLO:

Os dois esquemas são equivalentes.

Gate NOR (Cont.)

Saída = A+B Saída = A + B

Representa-se de seguida uma tabela de verdade da gate NOR, baseada na gate OR.

Gate NOR (Cont.)

A BS’OR

SNOR

0 0 0 10 1 1 01 0 1 01 1 1 0

Apenas se inverte os resultados em relação à tabela OR. Tudo o que é 0 passa a 1 e vice-versa.

Esta porta apresenta duas entradas, tal como a gate OR. Contudo se esta tivesse 4 entradas, a nova tabela seria:

Gate NOR (Cont.)

A B C D S

0 0 0 0 1

1 x x x 0

x 1 x x 0

x x 1 x 0

x x x 1 0

A BCD

S= A+B+C+D

Apenas quando todos os valores à entrada são 0, a saída toma o valor 1.

1

0A

B 1

0

Exercício: Desenhe a onda de saída para as ondas de entrada representadas por A e B, se estas fossem aplicadas às entradas de uma gate NOR.

Gate NOR Exemplo de 1 exercício resolvido

1

0A

B 1

0

S 1

0

Gate NOR Exemplo de 1 exercício resolvido

TAREFA A FAZER

Fazer um documento reflexivo em WORD sobre as 7 PORTAS LÓGICAS.

A gate NAND não é mais que uma negação, ou seja, o oposto da porta AND.

Símbolo utilizado para representar uma porta AND:

Gate NAND

Saída = A*B

Esta porta também a podemos representar da seguinte forma, igualmente correta:

Gate NAND (Cont.)

Saída = A*BSaída = A*B

Para a construção da tabela de verdade, podemos apoiar-nos na tabela da porta AND:

Gate NAND (Cont.)

A BS

AND

SNAN

D0 0 0 10 1 0 11 0 0 11 1 1 0

Da mesma forma que a porta AND, esta também pode ter mais entradas. Imaginemos uma porta NAND de 4 entradas:

Gate NAND (Cont.)

A BCD

S= A*B*C*D

A B C D S

0 x x x 1

x 0 x x 1

x x 0 x 1

x x x 0 1

1 1 1 1 0

Mais uma vez, a única diferença resulta na saída, que é o oposto à saída de uma porta AND.

1

0A

B 1

0

Exercício: Desenhe a onda de saída para as ondas de entrada representadas por A e B se estas fossem aplicadas às entradas de uma gate NAND.

Gate NAND Exemplo de 1 exercício resolvido

1

0A

B 1

0

S 1

0

Gate NAND Exemplo de 1 exercício resolvido

Gates – XOR e XNOR As duas portas que nos falta falar são as XOR e

XNOR ou “Exclusivamente OR” e “Exclusivamente NOR”.

Gates– XOR e XNOR XOR:

◦ Se as entradas “A” e ”B” são “1”, mas não ambos, então a saída “Q” é “1”.

◦ Este tipo de gate não existe com um número de entradas superior a dois.

XNOR (será a negação da XOR)◦ Se ambas as entradas “A”

e ”B” forem “0” ou “1”, então a saída “Q” é “1”.

A B Q0 0 00 1 11 0 11 1 0A B Q0 0 10 1 01 0 01 1 1

1

0A

B 1

0

Exercício: Desenhe a onda de saída para as ondas de entrada representadas por A e B se estas fossem aplicadas às entradas de uma gate XOR.

Gate XOR Exemplo de 1 exercício resolvido

1

0A

B 1

0

S 1

0

Gate XOR Exemplo de 1 exercício resolvido

1

0A

B 1

0

Exercício: Desenhe a onda de saída para as ondas de entrada representadas por A e B se estas fossem aplicadas às entradas de uma gate XNOR.

Gate XNOR Exemplo de 1 exercício resolvido

1

0A

B 1

0

S 1

0

Gate XNOR Exemplo de 1 exercício resolvido

Todas as portas anteriormente vistas, podem ser associadas, numa lógica combinatória.

As diferentes associações, permitem colocar à saída resultados derivados de várias portas lógicas e não de apenas só uma, como vimos até agora.

3.3 Lógica combinatória (Parte 1)

Mediante as entradas aplicadas às gates, encontre a expressão de saída:

3.3 Lógica combinatória (Parte 1) Exemplo de 1 exercício resolvido

O primeiro passo é identificar as gates presentes no nosso problema.

Exemplo de 1 exercício resolvido (Cont.)

Neste tipo de exercícios, temos de começar sempre a resolver da esquerda para a direita.


Estas serão as duas entradas da AND.

Finalmente, podemos obter o valor de S, visto já termos as entradas da gate final AND.


Se agora A=1, B=0, C=0, D=1, substituindo em S temos:

S=(A+B) * CD S=(1+0) * 0*1 S=1*0 S=1*1=1


Nota: Em CD, primeiro faz-se a multiplicação entre C e D e só depois se nega esse valor.

Existem formas de simplificar as expressões que resultam dos circuitos combinatórios que possibilitam obter circuitos equivalentes menos complexos.Boole definiu 17 teoremas (regras) para a simplificação de expressões.

3.4 Teoremas de ÁLGEBRA DE BOOLE

1 ) X = XA regra demonstra que, qualquer que seja o valor de x, quando este é negado duas vezes, mantém o seu valor.

Se x= 0 0 = 1 = 0

Se x= 1 1 = 0 = 1

2) X*1=XA regra demonstra que qualquer que seja o valor X multiplicado por 1 (elemento neutro da multiplicação é 1)


3) X*0=0

Esta regra demonstra que qualquer que seja o valor de x multiplicado por 0 resulta sempre em 0 (elemento absorvente da multiplicação). Se X= 0 0*0=0Se X= 1 1*0=0

4) X*X=X

Esta regra demonstra que qualquer que seja o valor de x multiplicado por ele mesmo resulta sempre em x.

Se X=0 0*0=0Se X=1 1*1=1


5) X*X=0

Esta regra demonstra que qualquer que seja o valor de x multiplicado pelo seu valor negado resulta sempre em 0.

Se X= 0 0*0= 0*1=0Se X= 1 1*1= 1x0=0

6) X+0=X

Esta regra demonstra que qualquer que seja o valor de x adicionado a 0 (elemento neutro da adição) resulta sempre em x.

Se X=0 0+0=0Se X=1 1+0=1


7) X+1=1

Esta regra demonstra que qualquer que seja o valor de x adicionado a 1 resulta sempre em 1.

Se X= 0 0+1= 1Se X= 1 1+1= 1

8) X+X=X

Esta regra demonstra que qualquer que seja o valor de x adicionado a ele próprio resulta em X.

Se X=0 0+0=0Se X=1 1+1=1


9) X+X=1

Esta regra demonstra que qualquer que seja o valor de x adicionado ao seu valor negado resulta sempre em 1.

Se X= 0 0+0= 0+1=1Se X= 1 1+1= 1+0=1

10) X+Y = Y+X

Este teorema baseia-se na propriedade comutativa da adição, que demonstra que o resultado de uma adição permanece inalterável, independentemente da ordem pela qual os termos são adicionados.

Se X=0 Y=1X+Y=0+1=1Y+X=1+0=1


11) X*Y = Y*X

Este teorema baseia-se na propriedade comutativa da multiplicação.

Se X= 0 e Y=1 X*Y=0*1=0Y*X=1*0=0

12) Z+(Y+X) = (Z+Y)+X

Quando se quer adicionar três ou mais parcelas, podem-se associar os termos da maneira que melhor convier. A posição dos parênteses é indiferente quando só estamos na presença de somas (propriedade associativa da adição).

Exercício: Demonstre que o teorema 12 é verdadeiro,

atribuindo valores a x, y e z.


13) Z(Y*X) = (Z*Y)*X= ZYX

A posição dos parênteses é indiferente quando só estamos na presença de produtos (propriedade associativa da multiplicação).

Exercício: Faz a demonstração

14) Z(Y+X) = Z*Y+Z*X

Este teorema baseia-se na propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição.



Z(Y+X) = Z*Y+Z*X* *

15) (W+Z) (X+Y)= WX+WY+ZX+ZY

Este teorema segue a mesma lógica que o anterior mas, neste caso, cada elemento do primeiro membro multiplica-se por cada elemento do segundo membro.


16) X+XY=X

Este teorema é um dos mais importantes a conhecer. O teorema é semelhante ao n.º 8, apesar de conter o fator Y. No entanto, este fator não influencia o resultado, pelo que este só depende de X. Vejamos:

Se X=0 e Y=1 0+0x1=0Se X=1 e Y=0 1+1x0=1


17) X+XY= X+Y

Este teorema também é muito importante. Diz que a soma entre um valor X e o seu negado multiplicado por outro valor, resulta na soma de X e Y. Vejamos:

Se X=0 e Y=1 X+ XY= 0+0*1=0+1*1= 0+1=1 X+Y=0+1=1

Se X=1 e Y=0 X+XY= 1+1x0=1+0x0=1+0=1X+Y= 1+0= 1

E se X=0 e Y=0?



Simplifique a expressão Z=DBA+DBA através dos teoremas de Boole.Resolução:Nesta expressão, existe um fator comum em ambos os termos (BA).Colocando em evidência este fator, resulta:= BA (D+D)Analisando agora o interior dos parênteses, verifica-se a presença do teorema n.º 9: D+D=1Substituindo a expressão, vem:=BA*1 = BA pelo teorema n.º2

3.4 Teoremas de ÁLGEBRA DE BOOLE Por vezes, é necessário aplicar-se vários teoremas para se

chegar a um resultado. Exemplo de um exercício resolvido:

3.5 Teoremas de De Morgan Existem ainda mais dois teoremas. Estes são da autoria de Augustus De Morgan. Como são um seguimento dos teoremas anteriores, serão o

18 e 19.

18) X+Y= X*Y

Este teorema diz-nos que o resultado da negação de uma adição de duas variáveis é igual ao produto destas negadas separadamente.

Se X=1 e Y=0

X+Y= 1+0=1=0

X*Y=1*0=0*1=0

Exercício: atribui outros valores a X e Y e comprove o teorema.

3.5 Teoremas de De Morgan

Verifica-se que uma porta NOR é o mesmo que uma AND com as suas entradas negadas.

19) X*Y = X+Y

Este teorema diz-nos que a negação de um produto de duas variáveis é igual à adição destas negadas separadamente.

Se X=1 e Y=0

X*Y= 1x0=0=1

X+Y=1+0=0+1=1

Exercício: atribui outros valores a X e Y e comprove o teorema.


Verifica-se que uma porta NAND é o mesmo que uma OR com as suas entradas negadas.

Simplifique a expressão Z= C+B+A através dos teoremas de Boole e de De Morgan.Resolução:Aplicando o teorema n.º 1, temos:Z= C+B+AOs dois traços de cima anulam-se um ao outro.

Exemplo de um exercício resolvido:


Quando analisamos a lógica combinatória (Parte 1), apenas obtínhamos as portas de saída.

A partir daqui, para além de as obtermos, já as podemos simplificar.

3.6 Lógica combinatória (Parte 2)

Exemplo de um exercício resolvido:Desenhe o circuito equivalente para a expressão Z= AB + CD(Analisando a expressão, verificamos que se trata de uma soma de produtos. Os produtos são A*B e C*D. Se existem produtos, então estamos na presença de gates AND. Mas de quantas entradas? De tantas, quantas as letras presentes no produto.

3.6 Lógica combinatória (Parte 2) Exemplo de um exercício resolvido (continuação):

Para A*B: Para C*D:

Por fim, falta apenas somar estes sinais. Isso pode ser feito com uma porta OR de duas entradas:


REVISÕES PARA O TESTE DE AVALIAÇÃO

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