Srie dupla de Fourier e convergncia da serie de Fourier

Gabriel Vianna de Macedo

Raphael Jos Elino da Silveira

Renan Cardia

Resumo: Esse artigo busca introduzir os mtodos das sries duplas de Fourier e a convergncia das sries de Fourier, utilizando alguns exemplos de forma a auxiliar os alunos no estudo da matria.

Introduo: Os textos e exemplos aqui apresentados so baseados na apostila e nas aulas do professor Altair. Esse trabalho busca mostrar os mtodos da srie dupla de Fourier que utilizada para representao de funes peridicas e a convergncia da serie de Fourier que so mtodos utilizados para testar se a srie de Fourier converge para algum ponto e para onde converge.

1 Srie dupla de Fourier

Diz-se que uma funo continua por partes num retngulo R do plano se:

(1) contnua no interior o no bordo de R, com a possvel excesso de um nmero finito de pontos, ou ao longo de um nmero finito de arcos diferenciaveis simples, ou em ambos

(2) Existe quando (x0,y0) um ponto de descontinuidade de e (x,y) tende a (x0,y0) pelo interior de qualquer uma das regies em que R dividida pelos arcos de descontinuidade

=

=

Generalizando:

=)

Teorema: Sejam {fi(x)} e {gj(y)} bases ortogonais dos espaos euclidianos cp[a,b] e cp[c,d] respectivamente.Ento, o conjunto de todos os produtos {fi(x)gj(y)}, i=1,2,3,... e j=1,2,3,... uma base de cp[R], onde R o retngulo axb, cyd.

Seja a srie dupla de Fourier abaixo:

i,jhi,j(x,y)

1) Base para cp[-,]

cp[-,], [-,]

{cos(nx),sen(mx)}, n=0,1,2,... e m=1,2,3,...

2) Base para cp[-,]

cp[-,], [-,]

{cos(py),sen(qy)}, p=0,1,2,... e q=1,2,3,...

Assim:

3) Base para cp(R)

{cos(nx)cos(py), cos(nx)sen(qy), sen(mx)cos(py), sen(mx)sen(qy)}

#3.1- Clculo dos coeficientes de Fourier

cp(R)

i,jhi,j(x,y)

i,j=

i,j=I,j 11 , assim:

np

+ nq

+ mp

+ mq

Onde = ; i0 e j0

Exemplo: F(x,y)=x,y

n,p= = 0

n,q== 0

m,p== 0

m,q=

m+q

m,q

m,q

m,q

m,q

m+1 e q+1

m,qm+1][q+1] = m+q

De um modo mais geral o conjunto de funes

{sen(x)sen(), sen()cos(), cos( sen(), cos() cos()} uma base do espao euclidiano das funes contnuas por partes no retngulo -axa, -bxb.

Teorema: Seja r o retngulo -x, -y e suponhamos que F seja contnua em R, e que , , e existam e sejam limitadas em R. Ento, a serie,dupla de fourier de F converge pontualmente para F em R.

2 Convergncia da serie de Fourier

I-Convergncia em mdia

Em um espao de funes com produto interno expresso por uma integral a afirmao segundo a qual R R) = 0 , no o mesmo que dizer que a sequncia {R} converge para fuo em todo ponto de [].(convergncia pontual). Em anlise matemtica essa convergncia via produto interno conheciada como convergncia em mdia, para enfatizar que ela calculada por integrao, que em certo sentido um processo de mdia generalizado.

Exemplo: A seqncia de funes {x, x, x,...} converge em mdia para zero em e[-1,1] (espao das funes contnuas no intervalo fechado [-1,1]).

De fato, k 2k )1/2 =

Entretanto {x, x, x,...} no converge para zero em cada ponto. O exemplo dado mostra que a convergncia em mdia diferente da pontual.

Definio: Diz-se que uma srie infinita R de vetores de um espao euclidiano converge para o vetor a seqncia associada das somas parciais converge para no sentido que R . Se este o caso, escrevemos =R e dizemos que foi desenvolvida em srie infinita mais detalhadamente, R converge para para cada nmero real existe um inteiro R tal que R < toda vez que N>R. O real pode ser entendido como o erro. Na realidade, R ma distncia da soma ao vetor . sabido que todo espao euclidiano de dimenso finita tem base ortonormal 1, 2, 3,..., n e que todo vetor deste espao pode ser escrito de modo nico sobre a forma =(1)1+(...)+(N)N . possivel generlizar este resultado para espaos euclidianos de dimenso infinita, Assim =(1)1+(...)+(N)N+(...) ou R)R . Entretanto sem informaes mais detalhadas no existe nenhuma garantia que esta srie convirja para .

claro que se converge (e isto ocorre em inmeras situaes), justifica-se escrever R)R , e dizemos que a srie converge em mdia para .

Os produtos internos R) se denominam de coordenadas ou coeficientes de Fourier (generalizados) de em relao a base (ou conjunto ortonormal) 1, 2, 3,..., n.

comum escrever ~ R)R , onde o smbolo ~ para ressaltar que a srie em questo pode no convergir para . Caso convirja justifica-se usar o smbolo de igualdade.

Teorema: Seja RR qualquer srie infinita que converge em mdia para , isto , =RR. Ento, aR=uR para cada inteiro R. claro que se a srie converge em mdia para vale escrever RR, onde RR a soma parcial SN.

Se o espao euclidiano em tela for cp[a,b] deve-se entender como f(x), ak com AN e BN e R como sen(Nx) e cos(Ny) (a=-, b=) (Se for peridica de perodo 2).

II- Desigualdade de Bessel/Igualdade de Parseval

Teorema: Seja 1, 2,... , um conjunto ortogonal de vetores de um espao euclidiano de dimenso infinita, e que seja um vetor arbitrrio deste espao. Ento,

(.k) ||||

k=1

Esta expresso chamada de desigualdade de Bessel. Alm disso, 1, 2, ... , uma base do

espao em questo (.k) = |||| , que a igualdade de Parseval. No caso das

k=1

Sries de Fourier a igualdade de Parseval dada por

||f|| = 1/ (f(x)) dx = ao/2 + ((ak) +(bk))

- k=1

(Demonstrao em III)

Teorema: Seja f uma funo continuamente diferencivel por partes em cp [-, ]. (f tem uma derivada primeira contnua por partes em [-, ]). Ento, o desenvolvimento em srie de Fourier de f converge pontualmente em [-, ] e tem o valor [f(xo+) + f(xo )]/2 em cada xo , e

[f(- +) + f( )]/2 em .

Note que ao escrevermos a Srie de Fourier de f como

f(x) = ao/2 + (ak.cos(kx) + bk.sen(kx))

k=1

significa que a srie em questo converge em mdia para f.

N

Lim ||f - (ak.cos(kx) + bk.sen(kx)|| 0

N k=0

ou seja,

f(x) = f .1 / ||1|| + (f.cos(kx) / ||cos(kx)||.cos(kx) + f.sen(kx) / ||sem(kx)||.sen(kx) (mdia) k=1

Ressaltamos que convergncia em mdia no significa que a srie converge pontualmente no sentido que

f(xo) = ao/2 + (ak.cos(kxo) + bk.sen(kxo))

k=1

para todo xo em [-, ]. Contudo, o teorema apresentado explicita sob que condio a convergncia pontual ocorre, ou seja, o desenvolvimento em srie de Fourier de uma funo

f cp [-, ], continuamente diferencivel por partes converge, de fato, para f(xo) quando xo um ponto de continuidade de f. (Ou seja, converge na reta inteira).

Teorema: Seja f uma funo contm em (-,), com perodo 2 , e considere que f tenha derivada primeira contnua por partes. Ento, a srie de Fourier de f converge uniforme e absolutamente para f em todo intervalo fechado de x. Se for continuamente diferencivel por partes em (-,) com perodo 2 . Ento, a srie de Fourier de f converge uniformemente para f e qualquer intervalo fechado do eixo x que no contenha ponto de descontinuidade de f.

3 Derivao e Integrao das Sries de Fourier

Teorema: seja uma funo contnua em [-,], com perodo 2, e considere que tenha derivada primeira contnua por partes. Ento, a srie de Fourier de pode ser obtida derivando a srie de termo a termo, e a srie derivada converge pontualmente para se existe, ou seja, se , =

Teorema: seja f uma funo contnua por partes em [-,], com perodo 2, e seja a srie de Fourier de , , ento

Em outras palavras, a integral definida de f, de a , pode ser calculada, integrando-se a srie de Fourier de termo a termo.

No caso de integral indefinida fica (Teorema da integrao): seja uma funo arbitrria de CP[-,] com srie de Fourier . Ento, a funo, tem uma srie de Fourier que converge pontualmente com relao a todo do intervalo [-,], e

4 Fenmeno de Gibbs

As somas parciais das sries de Fourier tendem a ir alm dos valores da funo prxima a um ponto de descontinuidade

Assim, os valores de entre duas descontinuidades quaisquer esto no intervalo [, ], enquanto que os de a n-sima soma parcial percorrem um intervalo um pouco maior, [, ]. O valor limite de quando n determina aquele que conhecido como o intervalo de Gibbs de .

5 Convergncia Uniforme

Teorema de Weierstrass: Se uma srie convergente de nmeros reais positivos e se uma srie de funes tais que para todo e todo no intervalo, ento uniforme e absolutamente convergente em .

Observao: Se converge, diz-se que a srie converge uniformemente para a funo no intervalo , se qualquer que seja > 0 existe um intervalo positivo , depoendendo de , mas no de , tal que < quando e est mo intervalo dado.

Note que se for a seqncia das somas parciais a srie correspondente converge uniformemente < quando , temos , para todo .

Quando , coincide exatamente com , para todo. A convergncia uniforme global.

Observao: A seqncia contnua a partir da seqncia para o caso da srie de Fourier.

, ou seja,

(...)

, Srie de Fourier.

6 Concluso

Aps a leitura dos assuntos aqui retratados, possvel compreender a