1

TÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA I MÓDULO 2 : Números , Múltiplos e Divisores 3a Série – Ensino Médio Prof. Rogério Rodrigues

Nome : ............................................ Número : ............ Turma : ...........

2

II - NÚMEROS INTEIROS – MÚLTIPLOS E DIVISORES

II.1) Base de um sistema de numeração : Um conjunto finito de coisas (moedas iguais ou selos iguais ou adesivos iguais ou ...) pode ser quantificado ou contado de infinitos modos . No nosso caso , contamos de 10 em 10 , ou sejá : Se temos um conjunto com 112 moedas , procuramos agrupá-las de 10 em 10 , sendo que cada grupo de 10 moedas recebe o nome de Dezena e cada grupo de 10 Dezenas recebe o nome de Centena e aí vem a Unidade de Milhar , Dezena de Milhar , ... Então , em 112moedas , há 11 grupos de 10 moedas , portanto , 11 dezenas , ou seja uma centena , mas sobra 1 dezena e mais duas moedas (duas unidades) . 112 moedas →→→→ (10 + 1 ) dezenas + 2 unidades 1 centena 1 dezena 2 unidades , portanto , 112 . Suponhamos que no mesmo exemplo anterior , contássemos de 5 em 5 . Então teríamos 112 moedas →→→→ 22 X 5 + 2 moedas Se cada grupo de 5 moedas se chamasse Quinquina e cada grupo de 5 qunquinas fosse 1 Square , 112 moedas (no nosso sistema de m numeração ) , seriam , no sistema de base 5: 22 quinquinas + 2 moedas = 4 Squares + 2 quinquinas + 2 unidades e o numeral correspondente seria 422 (5) . Lê-se “ quatro , dois , dois , base 5 ” .

Na difusão dos números indoarábicos, inclusive tratando o zero como número, duas correntes de matemáticos, lá pelo fim da Idade Média, os algoristas que eram metódicos no tratamento com os números e os abacistas, que usavam o famoso ábaco no desenvolvimento de sua matemática com números inteiros .A gravura ao lado é uma obra sobre madeira, representando a Aritmética ensinando aos algoristas e aos abacistas, representados por Boécio e Pitágoras . * ( obra de Gregor Reisch - Freiburg , 1.503 )

3

Exercício Resolvido :

Resolução : O numeral 236 , na base 7 , significa 2 grupos de 72 + 3 grupos de 71 + 6 elementos ( ou 6 x 70 ) . Trazendo para a base 10, daria 2 X 49 + 3 X 7 + 6 X 1 = 98 + 21 + 6 = 125 . Então , na base 10 , o valor da conta seria R$ , 125 , 00 . Se o & vale 3 , então , a conta seria de R$ 135 ,00 e o Semanal teve que desembolsar mais R$ 10 , 00 .

Lá em Boa Névoa, canto escondido de Minas Gerais, tinha o Seu Wilson, apelidado de Wilson Semanal, porque tinha a mania de só contar usando a semana como base, ou seja, como a semana tem 7 dias, o Seu Semanal só contava de 7 em 7 e justificava - Deus levou 7 dias para construir o mundo,então o 7 é um número de Deus . E tinha, uma facilidade estupenda o Semanal para ouvir na base decimal e, imediatamente, converter para a sua base favorita . O Seu Natalino era quem cuidava das contas do Seu Semanal, era um suplício para ele aquela missão: só podia usar como consulta as anotações de Semanal, que estavam todas na base 7; além da primitiva calculadora, ele usava um ábaco para lidar com a estranha base 7 . Numa manhã chuvosa, o Semanal recebeu uma conta de luz com o valor de R$ 1&5 ,00, ou quase isto.O fato é que o segundo algarismo do numeral estava quase todo apagado, não dava para descobrir . Então, o Semanal, de esperto que gostava de ser , entregou a anotação para o Natalino, obviamente na base 7, como R$ 236 , 00 . Calcule quanto o Semanal teve que desembolsar além de sua “previsão”, para pagar a conta, depois que o & foi esclarecido como sendo igual a 3 .

Qualquer que seja a base do sistema de numeração , o numeral correspondente será uma soma de potências da base escolhida , com expoentes naturais . Por exemplo , → 223 na base 9 , significa 2 X 92 + 2 X 91 + 3 X 90 = 183 , na base 10 . → 110 na base 2 , significa 1 X 22 + 1 X 21 + 0 X 20 = 6 , na base 10 .

4

OBSERVAÇÃO : Em situações concretas do cotidiano é comum se trabalhar com bases diferentes da decimal . Exemplo 1 : Vamos contar ovos

Exemplo 2 : O tempo não para

Exercícios propostos : 1) Calcule a soma 101(2) + 43(5) na base decimal . 2) Dois feirantes contaram , cada um por si , as frutas de uma cesta . Um deles , usando a base 10, registrou 138 frutas e o outro , usando a base 8 , registrou 21X(8) frutas . Supondo que as duas contagens estejam corretas , quanto vale X ? 3) O número 10X0 , na base 6 , é divisível por 3 . Nessas condições , qual é o menor valor possível para X ? 4)Se o numero 25 , na base 10 , é representado em uma determinada base b por 221(b) , qual é o valor de b ?

Ainda hoje contamos ovos usando a Dúzia, ou seja, 12 ovos . Como, na maioria das vezes, não vivemos a experiência de contar mais de 11 dúzias, não temos oportunidade de conhecer a terceira ordem desse sistema de numeração, a Grosa, equivalente a 12 dúzias. Se tivéssemos que contar 164 ovos nesse sistema de numeração , teríamos 1 grosa + 1 dúzia + 8 ovos e o numeral correspondente seria, nessa base 12, 118(12) .

Quando marcamos o tempo, usamos a base 60 para quantificá-lo, ou seja, contamos de 60 em 60 os segundos. Então, cada grupo de 60 segundos é 1 minuto e cada grupo de 60 minutos é 1 hora . Então, se formos expressar numericamente um tempo de 8.235 segundos teremos 2h 17 min 15 s, que é o mesmo que 2 X (60)2 + 17 X (60)1 + 15 X (60)0.

5

5) O número de elementos de um conjunto A foi registrado por duas pessoas de modos diferentes. Uma das pessoas escreveu 315(7) e a outra escreveu 23b(8) . Nessas condições, calcule o valor de b . 6) Dados os numerais n = 134(X) e m = 54(X) , sabe-se que , n – m = 24 . Calcule o valor de X . 7) (PUC – MG) – Se a = 1112 e b = 123 , então quanto vale a + b na base 10 ? 8) (PUC – MG) – Se A = 1.0023 , B = 2214 e C = 1.0012 , qual é o valor de A + B – C na base 6 ? 9) (PUC – MG) – Se 301 na base a é igual a 193 na base 10 , calcule o valor de a . 10) (PUC – MG) – Dados os números A = 10101 e B = 11011 , na base dois . Calcule , na base dois a soma A + B . 11) (PUC – MG) - Dado o número 201 na base 3 , calcule esse número na base 2 . 12) (UFMG) – Um certo número , na base 10 é 103 e na base b é 205 . Calcule b. II . 2) Divisores e múltiplos de um número natural : Quando efetuamos uma operação de divisão consideramos o Dividendo , o Divisor , Quociente e o Resto , assim posicionados no Algoritmo de Euclides :

DIVIDENDO DIVISOR

RESTO QUOCIENTE E equacionados em DIVIDENDO = QUOCIENTE X DIVISOR + RESTO . Notemos que o Resto pode ser até 1 unidade inferior ao divisor . Se o Resto for igual a zero , o número que representa o Dividendo será dito Múltiplo daquele que representa o Divisor e o Divisor será dito Divisor daquele que representa o Dividendo . Exemplo 1 :

Se dividirmos o número 261 por 3 , teremos 261 3 21

0 87 onde o Resto é zero . Então , 261 é múltiplo de 3 e , por sua vez , 3 é divisor de 261 . Exemplo 2 :

→→→→ O conjunto dos divisores de de 72 é indicado por D72 = {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24,

6

36 , 72 } .

→→→→ O conjunto dos múltiplos de 3 é indicado por M3 = {0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , ... } . Observemos que - O conjunto dos divisores de um número é finito . - O conjunto dos múltiplos de um número é infinito . - O 1 (um) é divisor de qualquer número natural. - O zero é múltiplo de qualquer número natural . II . 3) Máximo divisor comum (MDC) : Os divisores de 42 são dados por D42 = {1, 2 , 3 , 6 , 7 , 14 , 21 , 42} e os divisores de 54 é D54 = {1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 , 27 , 54 } , então os elementos comuns aos dois conjuntos é dado por D42 ∩ D54 = {1 , 2 , 3 , 6 } . Esse conjunto é Conjunto dos divisores comuns de 42 e 54 . Nesse caso , o maior dos divisores comuns é o 6 e ele será o Máximo Divisor Comum de 42 e 54 , ou seja MDC(42 , 54) = 6 . Exemplo 1 : No caso dos números 32 , 48 e 64 , teremos - D32 = {1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32} - D48 = {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 16 , 24 , 48} - D64 = {1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64} - D32 ∩ D48 = {1 , 2 , 4 , 8 , 16 } ⇒ MDC (32 , 48 , 64) = 16 . Exemplo 2 : No caso dos números 8 e 15 , temos - D8 = {1 , 2 , 4 , 8} - D15 = {1 , 3 , 5 , 15} - D8 ∩ D15 = {1 } ⇒ MDC (8 , 15) = 1 . Quando o máximo divisor comum entre dois números é 1 , dizemos que eles são Primos entre sí . Então 8 e 15 são primos entre si . Exemplo 3 : O conjunto dos divisores de 7 é D7 = {1 , 7}, o conjunto dos divisores de 11 é D11 = {1 , 11} , o conjunto dos divisores de 17 é D17 = {1 , 17} e ... isso acontece com muitos números . Se um número natural possui apenas dois divisores diferentes, em geral o 1 e o próprio número , dizemos que o número é primo . São primos os números do conjunto P = {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , ... }

7

II . 3.1) Decomposição de um número natural em fatores primos : O número 18 pode ser escrito como 18 = 2 . 32 , um produto com dois fatores nos quais as bases das potências que são os fatores são números primos . Um método de se decompor qualquer natural do mesmo modo anterior é dado pelos exemplos a seguir . Exemplo 1 : Seja decompor em fatores primos o número 180 , ou seja , fatorar o número 180 . Basta dividir o 180 sucessivamente pelos números primos em sua ordem natural . Isso pode ser registrado na forma de algoritmo do seguinte modo

180 2 90 2 45 3 ⇒ 180 = 22 . 32 . 5 (2 , 3 e 5 são primos) 15 3 5 5 1

Exemplo 2 : Do mesmo modo anterior , teremos que a) 363 = 3 . 112 b) 144 = 24 . 32 c) 400 = 24 . 52 d) 1.024 = 210 e) 1.050 = 2 . 3 . 52 . 7

Eratóstenes de Cirene foi um homem de muitas facetas lá pelo século II a.C na Grécia antiga. Eratóstenes estudou matemática, filosofia, gramática e astronomia, mas ficou famoso pelo cálculo do raio da Terra com uma precisão muito boa e pelo famoso Crivo de Eratóstenes, um método de determinar os números primos, dispondo-se os naturais em ordem crescente, riscando-se a seguir os números de dois em dois, depois de três em três, depois de cinco em cinco, depois ... , sempre na seqüência de partida. Os números restantes desse processo serão primos .

8

II . 3 . 2) Cálculo do Máximo divisor comum (MDC ) Os dois processos mais conhecidos para calcular o MDC de dois números são os que serão mostrados a seguir . a) Processo da fatoração Consiste em fatorar separadamente cada um dos números e selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes . Exemplo 1 : (UFMG) Entre algumas famílias de um bairro , foi distribuído um total de 144 cadernos , 192 lápis e 216 borrachas . Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos , o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas ,sem haver sobra de qualquer material .Qual foi o número de cadernos que recebeu cada família ? Resolução : Se o maior número de famílias será contemplado ,esse número é o Máximo divisor comum de 144 , 192 e 216 . Fatorando 144 , 192 e 216 , encontramos 144 = 24 . 32 , 192 = 26 . 3 e 216 = 23 . 33 . Todos os fatores têm base comum .Escolhendo os fatores comuns com os menores expoentes , teremos MDC (144,192,216) = 23 . 3 = 24 e , então , o material será dividido do seguinte modo :

→→→→ CADERNOS : cada família receberá 144 : 24 = 6 cadernos .

→→→→ LÁPIS : cada família receberá 192 : 24 = 8 lápis .

→→→→ BORRACHAS : cada família receberá 216 : 24 = 9 borrachas . Exemplo 2 : Verificar se os números 54 e 95 são primos entre sí . Resolução : Fatorando-se os números 54 e 95 , encontra-se 54 = 2 . 33 e 95 = 5 . 19 , mostrando que 54 e 95 não têm fator comum diferente de 1 .Os números 54 e 95 são primos entre sí , pois MDC(54 , 95) = 1 . b) Grade de Euclides (Processo das divisões sucessivas) : Nesse processo , divide-se , inicialmente , o maior dos números pelo menor deles . Se a divisão tiver resto diferente de zero , efetua-se uma nova divisão , sendo que agora , o divisor anterior será o dividendo e o primeiro resto será o divisor . Se a nova divisão apresentar resto diferente de zero , repete-se o processo até que algum resto seja zero e , nesse caso , o MDC dos números dados será o último divisor considerado . Se , de imediato , o resto for zero , então o menor dos números é o MDC dos dois .Observe bem que nesse último caso , o maior dos números é múltiplo do menor . Exemplo 1 : Usando a Grade de Euclides , calcule o MDC de 1.080 e 1.600 .

9

Resolução : 1 2 13 →→→→ linha dos restos

1.600 1.080 520 40 →→→→ linha dos dividendos e divisores

520 40 0 →→→→ linha dos restos

As divisões efetuadas , nesse caso , foram 1.600 : 1.080 = 1 , resto 520 ; 1.080 : 520 = 2 , resto 40 e 520 : 40 = 13 , resto 0 . Então MDC(1.600 , 1.080) = 40 . Exemplo 2 : Usando o Processo das divisões sucessivas , calcule o MDC de 24 , 192 e 540 . Resolução: Neste caso , efetua-se , inicialmente , o processo com dois dos números e o MDC deles será divisor do outro na segunda aplicação do processo . Primeiro passo : Efetuemos o processo com 24 e 192 . 8

192 24

0 Segundo passo : Efetua-se o processo com o 24 - resultado anterior e o 540.

22 2

540 24 12 12 0 Então , MDC (24 , 192 , 540) = 12 . Exercícios propostos : 13) (PUC – MG) – Na divisão do número natural p pelo número natural m , o quociente é 13 e o resto 5 . Qual é o menor valor para p ? 14) (PUC – MG) – Os números m e n são inteiros positivos . Na divisão de m por n o quociente é 17 e o resto é o maior possível . Se m – n = 407, qual é o resto?

10

15) (UFMG) – O número natural n é o máximo divisor comum dos números 756 e 2.205. Calcule a soma dos algarismos de n . 16) Dois números naturais x e y são tais que x = 23m - 5 . 32 . 5 e y = 22m + 1 . 3 . 7 , sendo m um número natural . Se o maior número que divide x e y exatamente é 48 , calcule m . 17) (UFMG) – Um desenhista quadriculou um retângulo de dimensões 56 cm e 104 cm .Obteve quadrados de mesma área e na menor quantidade possível. Quanto mede o lado de cada quadrado?

18) (PUC – MG) – Os números naturais a e b são tais que ab = 23.32.5 e b

a = 0,4 . Qual é o

máximo divisor comum de a e b . 19) (PUC – MG) – No conjunto N , a divisão do número M por 14 apresenta como resto o triplo do quociente . Calcule a soma dos possíveis valores do quociente. 20) (F.C.M – MG) - Calcule o valor de a no número 32a81 para que o resto de sua divisão por 11 seja 3. 21) (UFMG) – Um depósito em forma de paralelepípedo retângulo tem as seguintes dimensões internas : 14 m , 22 m e 6 m . Pretende-se encher esse depósito com caixas cúbicas de mesmo volume e de mesmas dimensões internas . Calcule o número mínimo de caixas desse tipo que enchem exatamente o depósito . 22) (PUC – MG) – Os números a e b são os menores divisores possíveis , respectivamente , de 324 e 116 de modo que os quocientes sejam iguais . Calcule a + b . 23) (UFMG) – Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3 , respectivamente . Os restos das divisões de 167 e 213 por y são 5 e 3 , respectivamente .Determine o maior valor possível para x + y . 24) (UFMG) – Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por 17 , cujo resto é igual ao quadrado do quociente . Calcule a soma dos quocientes dessas divisões . 25) (UFRO) - Um número A de três algarismos é tal que : a)A soma de seus algarismos é 10 . b)O algarismo das dezenas é o Quádruplo do algarismo das centenas . c)O algarismo das unidades é o consecutivo do algarismo das dezenas .

Calcule o valor de 5

A .

II .4) Número de divisores de um número : Há uma regra prática que determina a quantidade de divisores de um número natural . Ela se baseia na decomposição do número em fatores primos . Suponhamos que o número x , decomposto em fatores primos seja x = am . bn . cp ... dq . Então seu número de divisores será dado pelo produto (m+1)(n+1)(p+1)...(q+1) . Exemplos : a) Vejamos quantos divisores tem o número 1440 .

11

→ Decompondo 1440 em fatores primos teremos

1440 2 720 2 360 2 180 2 90 2 ⇒ 1440 = 25 . 32 . 5 45 3 15 3 5 5 1

→ Então , 1440 tem (5+1)(2+1)(1+1) divisores , ou seja 36 divisores . b) (PUC – MG) - O número 2a . 3b tem oito divisores . Se ab = 3 , calcule a + b . O número citado tem (a + 1)(b + 1) = 8 divisores , ou seja ab + a + b + 1 = 8 . Como ab =3, então 3 + a + b + 1 = 8 , ou seja a + b = 4 . II . 5) Determinação dos divisores de um número : Uma regra prática para determinar todos os divisores de um número é descrita pelos passos a seguir . → Decompõe-se o número em seus fatores primos; → Coloca-se á direita e acima do primeiro fator primo o número 1; → Multiplica-se cada fator primo obtido por todos os números á direita e acima dele (valores repetidos não são registrados) . Exemplo : Determinar todos os divisores de 180 . 1

180 2 2 90 2 4 45 3 3 , 6 , 12 15 3 9 , 18 , 36 5 5 5 , 10 , 20 , 15 , 30 , 60 , 45 , 90 , 180 . 1

Então o conjunto dos divisores de 180 é dado por todos os números situados á direita do segundo traço, ou seja, D180 = {1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,60,90,180}.

12

II . 5) Divisibilidade entre números naturais : Em geral , dados dois números naturais m e n , decompostos em seus fatores primos , sabemos que m é divisível por n se m contiver todos os fatores primos de n , com expoentes maiores ou iguais aos respectivos fatores de n . Exemplo : O número 5400 , decomposto em fatores primos , é igual a 23 . 33 . 52 e o número 360 , também decomposto em seus fatores primos é igual a 23 . 32 . 5 . Portanto , 5400 é divisível por 360 .

Alguns critérios particulares de divisibilidade são úteis em determinadas situações , são eles

→ Um número natural é divisível por 2 , se seu último algarismo for par .

→ Um número natural é divisível por 3 , se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for um múltiplo de 3 .

→ Um número natural é divisível por 4 , se seus dois últimos algarismos forem iguais a zero ou se constituírem um múltiplo de 4 .

→ Um número natural é divisível por 5 , se seu último algarismo for 0 ou 5 .

→ Um número natural é divisível por 6 , se for divisível por 2 e por 3 .

→ Um número natural é divisível por 8 , se seus três últimos algarismos forem iguais a zero ou constituírem um múltiplo de 8 .

→ Um número natural é divisível por 9 , se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for um múltiplo de 9 .

→ Um número natural é divisível por 10 , se seu último algarismo for 0 .

→ Um número natural é divisível por 11 , se a soma de seus algarismos de ordens ímpares menos a soma de seus algarismos de ordens pares for um múltiplo de 11 .

→ Se o número natural m é divisível pelos naturais a e b , com a e b primos entre si , então m é divisível por ab .

II . 6) O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois naturais :

Sejam os conjuntos dos múltiplos de 12 e 40 , dados , respectivamente por M12 = ={0,12,24,36,48,60,72,84, 96,108,120, ...) e M40 = {0,40,80,120,160,200,240, ...}. Fazendo a interseção dos dois conjuntos teremos M12 ∩ M40 = {0,120, ... , 240 , ... } , onde o menor múltiplo comum , maior do que zero é 120 . Então dizemos que MMC(12,40) = 120 .

Há basicamente dois processos para a obtenção do MMC de dois números naturais , sem ter que escrever os conjuntos de múltiplos , são os processos apresentados a seguir .

13

II .6.1) Processo da decomposição em fatores primos (fatoração) :

Dados dois números decompostos em seus fatores primos , o MMC desses números é o produto dos fatores comuns e dos fatores não comuns com os maiores expoentes .

Exemplo 1 : Calcule o mínimo múltiplo comum de 48 e 180 .

Fatorando os números dados , teremos 48 = 24 . 3 e 180 = 22 . 32 . 5 . Então , escolhendo os fatores apropriados , teremos que MMC(48,180) = 24 . 32 . 5 = 720 .

Exemplo 2 : Calcule o mínimo múltiplo comum de 12 , 27 e 40 .

Fatorados , os números dados serão 12 = 22 . 3 , 27 = 33 e 40 = 23 . 5 e então teremos que MMC(12,27,40) = 23 . 33 . 5 = 1.080 .

II . 6.2) Processo da fatoração simultânea :

Trata-se de dividir os números dados pelos números primos , sendo que cada vez que um dos números dados não for divisível por um primo , repete-se o número na linha seguinte .O MMC será dado pelo produto dos fatores primos colocados á direita no algoritmo do processo .

Exemplo 1 : Determine o mínimo múltiplo comum de 27 e 84 .

27 , 84 2

27 , 42 2

27 , 21 3

9 , 7 3 ⇒ MMC(27,84) = 2.2.3.3.3.7 = 756 .

3 , 7 3

1 , 7 7

1 , 1

Exemplo 2 : Calcular o MMC de 18 , 30 e 48 .

18 , 30 , 48 2

9 , 15 , 24 2

9 , 15 , 12 2

9 , 15 , 6 2 ⇒ MMC(18,30,48) = 2.2.2.2.3.3.5 = 720 .

9 , 15 , 3 3

3 , 5 , 1 3

1 , 5 , 1 5

1 , 1 , 1

14

Observações :

→ Se dois números são primos entre si , então o MMC desses números é o produto deles .

→ Dados dois números a e b , temos que MDC(a,b) . MMC(a,b) = a.b .

Exercícios Propostos :

26) (UFMG) – Um número é da forma 3a7b . Sabendo-se que este número é divisível por 25 e por 9 , calcule os algarismos a e b .

27) (UFMG) – Calcule a soma de todos os divisores de 105 .

28) (PUC – MG) – A quantidade de números compreendidos entre 200 e 600 que são divisíveis simultaneamente por 12 , 18 e 30 é n . Calcule n .

29) (PUC – MG) – A soma dos valores absolutos do número ab é 9 . Se invertermos a ordem dos algarismos (ba) , o número obtido será maior que o anterior em 45 unidades . Calcule o número ab .

30) (PUC – MG) – M e P são inteiros positivos . Na divisão de M por P , o quociente é 25 e o resto é o maior possível . O que se pode afirmar sobre o número M ?

31) (PUC – MG) – O número natural A é ímpar e a soma de seus dois algarismos é 11 . Calcule a soma dos valores possíveis de A .

32) (UFMG) – O número 2a . 3 . 6 . 20 tem 48 divisores . Calcule o valor de a .

33) (F.C.M – MG) – Calcule o valor do algarismo a no número 32a81 , para que o resto de sua divisão por 11 seja 3 .

34) (UFMG) – O número n = 2a . 3b . c divide 3.600 .Suponha que a , b e c são inteiros positivos, c seja um número primo maior que 3 e n tem 16 divisores . Calcule a + b – c .

35) (UFMG) – Três torneiras estão com vazamento . Da primeira cai uma gota de 4 em 4 segun-dos , da segunda uma de 6 em 6 segundos , e da terceira , uma de 10 em 10 segundos . Exatamente ás 2 horas , cai uma gota de cada torneira . Calcule o número de vezes que as três torneiras pingaram juntas , no intervalo de 2h 30s ás 2h 27 min .

36) (UFMG) – Calcule o menor número inteiro positivo n pelo qual se deve multiplicar 1.188 para se obter um número divisível por 504 .

37) (UFMG) – Se a = 23 . 3 . 52 . 7 e b = 22 . 32 . 72 . 11 , então , calcule a diferença entre o m.m.c. (a , b) e o m.d.c. (a , b) .

38) (UFMG) – De uma praça partem , ás 6 horas da manhã , dois ônibus A e B . Sabe-se que o ônibus A volta ao ponto de partida a cada 50 minutos , e o ônibus B , a cada 45 minutos . Qualé o primeiro horário , após as 6 horas , em que os dois ônibus partirão juntos ?

39) (FUVEST – SP) – No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes piscam com freqüências diferentes . A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto . Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente , após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente ?

40) (UFMG) – Três fios têm comprimentos de 36 m , 48 m e 72 m . Deseja-se cortá-los em pedaços menores , cujos comprimentos sejam iguais , expressos em número inteiro de metros e sem que haja perda de material . Qual é o menor número total possível de pedaços ?

15

41) (UFMG) – A partir das 7 horas , as saídas de ônibus de Belo Horizonte para Itabira , Barbacena e Patos de Minas obedecem ao seguinte horário :

Para Itabira , de 20 em 20 minutos .

Para Barbacena , de 30 em 30 minutos .

Para Patos de Minas , de 50 em 50 minutos .

Depois de quanto tempo , após as 7 horas , saem simultaneamente , pela primeira vez , os três ônibus?

42) (UFMG) - Sabe-se que o número 213 - 1 é primo . Seja n = 217 - 16 . No conjunto dos números naturais , quantos divisores tem n ?

43) (UFMG) - Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve multiplicar 2 520 para que o resultado seja o quadrado de um número natural. Então, calcule a soma dos algarismos de N. 44) (UFMG) - Sabe-se que: • para se escreverem os números naturais de 1 até 11, são necessários 13 dígitos; e • para se escreverem os números naturais de 1 até o número natural n, são necessários 1 341 dígitos. Calcule n. 45) (UFMG) - Sejam N um número natural de dois algarismos não-nulos e M o número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N - M = 45. Então, quantos são os possíveis valores de N ? 46) (UFMG) - Seja S o conjunto dos números naturais maiores que 1 que são divisores de 360 e não possuem fatores primos em comum com 147. Quantos elementos possui o conjunto S?

47) (UFMG) – Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y, obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representação decimal de x/y é a dízima periódica 7,363636... Calcule o valor de x + y + z.

48) (UFMG) - Três atletas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 2,4 min, 2,0 min e 1,6 min para completar uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez, no local da largada. Nesse momento, quantas voltas estará completando o atleta mais veloz? 49) (UFMG) - O número natural n é o máximo divisor comum dos números 756 e 2205. Então, calcule a soma dos algarismos de n. 50) (UFMG/2a Etapa) - Seja S o conjunto formado por todos os números naturais n tais que o mínimo múltiplo comum de n e 504 é igual a 5040. DETERMINE todos os elementos do conjunto S.

16

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1) 28 2) X = 2 3) X = 0 4) b = 3 5) b = 7 6) X = 6 7) 12 8) 141 9) 8 10) 110000 11) 10011 12) 7 13) 83 14) 23 15) 9 16) m = 3 17) 8 18) 6 19) 10 20) 9 21) 231 22) 110 23) 30 24) 10 25) 29 26) a = 3 e b = 5 27) 192 28) 2 29) 72 30) M é ímpar 31) 224 32) a = 4 33) a = 9 34) –1 35) 27 36) 14 37) 970.116 38) 13h 30 min 39) 12 40) 13 41) 5 horas 42) 10 divisores 43) 7 44) 483 45) 4 46) 7 elementos 47) 191 48) 15 voltas 49) 9 50) S = {80, 240, 560, 720, 1680, 5040}.