M ATRIZES COLÉGIO CEEB NOVA FRIBURGO, 29 DE AGOSTO DE 2014.
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MATRIZESCOLÉGIO CEEB
NOVA FRIBURGO, 29 DE AGOSTO DE 2014.
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PROFESSOR JOABE
PROF. JOABE NUNES- MATEMÁTICA
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MATRIZES: O
PERAÇÕES E
PROPR
IEDADES
PROF. J
OABE NUNES COSTA
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Definição de Matrizes
Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Amxn = [a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
M M Mam1 am2 K amn
] = [aij]mxn
matriz A de m linhas e n colunas
Elemento da linha ie coluna j
Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna
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TIPOS DE MATRIZES
214
311
221
Matriz quadrada
m = n (x linhas = x colunas)
Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)
DiagonaisSó tem sentido falar de diagonais
em matrizes quadradas.
Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)
Elementos dadiagonal principal:
1, 1 e 2
Elementos dadiagonal secundária:
2, 1 e 4
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400
210
112
Matriz triangular superior
Matrizes Triangulares
2754
0432
0011
0002
Matriz triangular inferior
500
020
004
Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são
todos nulos.
Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também
quando ambos são verdade!
Esta também é uma matriz triangular!
Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares
são quadradas.
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Casos especiais de Matrizes
Triangulares. Matriz identidade
700
040
002
100
010
001
Matriz diagonal
Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero
A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal
são todos iguais a um.
Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares
são quadradas. Chatice hein!
Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.
Chamamos a matriz acima de I3
(identidade de ordem 3)
No geral, In onde n é a ordem da matriz.
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0000
0000
0000
Matriz nula
Todos os elementos são nulos.
Chamamos a matriz nula de Omxn
Então essa é O3x4
A Matriz nula não precisa ser quadrada!
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos
correspondentes são iguais.
421
21 3
112
421
21 3
112
Caso ao olhar essas duas
matrizes e não ver que elas são iguais,
favor procurar o oculista.
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Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m )
3x2 41
30
12
=A .
431
102
2x3
=At
Matriz A transposta
Simétrica Matriz quadrada tal que At = A
2x2 23
31
=A
2x2 23
31
=At
Matriz A transposta
Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A
3x3 013
102
320
=A
3x3 013
102
320
=At
=Os elementos da transposta
são os opostos da original.
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OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição
[1 −14 02 5 ]+[ 0 4
−2 51 0 ] = [1 3
2 53 5 ]
Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.
É sempre possível somar matrizes?
Não!
Somente quando estas forem de mesma ordem.
+ =
Se liguem, o mesmo vale pra subtração.
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Multiplicação por escalar
Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.
31
102 2.
2.3 2.1
2.102.2=
6 2
204=
Matriz A Matriz -2A
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Multiplicação de matriz por matriz
CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.
2x2
3x2
40
11 .
35
24
12
3x2 3.4153.05.1
2.4142.04.1
1.4121.02.1
+)(+
+)(+
+)(+=
75
44
22=
Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo
Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.
O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.
O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.
Ihhh... Aqui fu...!
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[2 14 25 3 ]3x2
.[1 −10 4 ]
2x2
75
44
22=2.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4
4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.45.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4
Observe, multiplicamos
ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o
primeiro elemento da elemento com o
primeiro da coluna e por aí vai...
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EXEMPLO 1
1) Seja A =
143201
e seja B =
012
411
Calcule A + B.
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EXEMPLO 2
2) Seja A =
143201 e seja B =
012
411 .
Calcule A – B.
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EXEMPLO 3
3) Calcule o produto das matrizes:
205312
.021102321
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EXEMPLO 4
4) A matriz A de ordem 2 x 3 definida por , .i ja i j é dada por:
a)
321642
b)
1242621
c)
642321
d)
321111
e)
321642
17
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EXEMPLO 5
5) Dadas as matrizes
654321
A
102231
B
calcule a matriz A – Bt é:
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AGORA VAMOS RESOLVER OS EXERCÍCIOS...
PROF. JOABE NUNES - MATEMÁTICA
LIVRO VOL.2 – JACKSON RIBEIRO
Página 125 – exercícios 28 e 29.
Página 132 – exercícios 42 e 43.Página 135 – exercícios 51
Página 138 – exercícios 59 e 60.
Créditos - site: www.matematiques.com.br