LUBRIFICAÇÃO HIDRODINÂMICA DE MANCAIS RADIAIS POROSOS...

LUBRIFICAÇÃO HIDRODINÂMICA DE MANCAIS RADIAIS POROSOS

Ot4~ito S4nche~ T4v4/te~

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE

PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO

GRAU DE MESTRE EM CifNCIA (M.Sc.).

Aprovado por:

&.J ~1 .. v:=::-, Dur id Mahrus Presidente

::;:::> / Arthur P. Ripper Neto

RIO DE JANEIRÇ>

ESTADO DA GUANABARA - BRASIL

DEZEMBRO DE· 1974

A meuA pai.A.

AGRADECIMENTOS

Ao Professor DURAID MAHRUS pela motivação,

çao e estimulo recebidos.

Ã COPPE e CAPES, pelo apoio financeiro.

orienta

i.i.i.

RESUMO

Este trabalho tem a finalidade de investigar as c a

racter!sticas de operaçao dos mancais radiais finitos porosos

sob cargas estáticas.

Uma solução analítica é apresentada e os resultados

relacionam a razão de excentricidade, o ângulo de atitude, as d!

mensoes e os parâmetros de carga, de atrito e de projeto do man

cal, sendo este Último, 'função da permeabilidade da matriz por~

sa.

i.v

ABSTRACT

The performance of finite porous journal bearings

under static loads is investigated.

An analytical solution is presented and the results

relate the eccentricity ratio, the attitude angle, the geometry

and the load, friction and design parameters, the latter being

a function of the permeability of the porous matrix.

Capítulos:

I

II

III

V

ÍNDICE

INTRODUÇÃO

HISTÕRICO

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TEORIA

3.1

3.2

3.2.1

3.2.2

3.2.3

3.3

3.4

3.4.1

3.4.2

3.4.3

3.5

.........................••.•........... Introdução .......................... .

Fluxo de Fluidos em Meios Porosos ••••

Porosidade e Permeabilidade .•••••••••

Lei de Darcy ................•........

Equação de Laplace •.••.••.•••.•.••.••

Solução da Equação de Laplace .••••••.

Equações Para a Película de Õleo •••••

Hipóteses Simplificativas ••••••••.•••

Equação da Continuidade ...•..........

Equação de Reynolds Modificada

Solução da Equação de Reynolds Modifi

Páginas:

1

3

4

4

6

6

6

9

10

19

19

20

22

cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6

3.7

3.8

Parâmetro de Carga .................. .

Ãngulo de Atitude ................... .

Parâmetro de Atrito .••.••••••••••••••

34

37

38

IV CÃLCULO NUMfRICO • • • • • . . . • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 40

4.1 Elementos Necessários à Solução da Equ~

Capítulos:

çao (3.52) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2

4.2.1

4.2.2

Programa Para Computador . . . . . . . . . . . . . Generalidades ........................ Diagramas de Fluxo

V RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1

6.2

BIBLIOGRAFIA

NOMENCLATURA

APJl!NDICE I

APJl!NDICE II

APJl!NDICE III

Validade da Solução .................. Aplicabilidade dos Resultados

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...........................................

Páginas:

40

44

44

48

52

60

60

61

63

65

70

72

74

1

CAPiTULO I

INTRODUÇÃO

Os mancais porosos sao atualmente muito usados, dev!

do, principalmente, ao baixo custo e à necessidade minima de ma

nu tenção.

são produzidos pela compactação parcial de pós metá

licos (geralmente ligas de bronze ou ferro), seguida de sinteri

zaçao e posterior prensagem para garantir precisão dimensional e

melhor acabamento superficial.

mente, do grau de compactação.

A porosidade depende, principal

Após o processo de fabricação o

mancal é impregnado com Óleo lubrificante.

Os mancais porosos nao necessitam bombas

de Óleo ou recipientes contendo Óleo, de modo que podem ser usa

dos, particularmente, em locais de pouco espaço ou de dificil a

cesso nas máquinas. Como nao possuem ranhuras ou furos para ali

mentação do lubrificante, sao aptos a trabalharem com cargas rota --tivas ou aplicadas em mais de uma direção. Outras vantagens im

portantes são a necessidade minima de manutenção eadisponibilid~

de, a baixo custo, de uma extensa faixa de medidas padronizadas.

2

Como sao fabricados por sinterização, acumulam ainda

todas as vantagens do processo, ou seja:

t possivel o uso de metais de alta temperatura de fu

sao, quando a· fundição torna-se pouco prática;

Pode-se utilizar ligas metálicas que nao sao obtidas

por fusão, devido a problemas de segregação;

Lubrificante sólido pode ser adicionado na compos!

çao, o que permite uma maior vida Útil do mancal, principalmente,

em casos de uso descontinuo da máquina.

A principal limitação é a baixa resi~

tência mecânica, devido â porosidade. Diminuindo-se a porosid~

de, melhora a resistência mecânica, porém, a vida Útil do mancal

ficará reduzida devido a menor quantidade de Óleo disponível.

Devido, também, à porosidade, o mancal possui menor

condutibilidade térmica, o que acarreta maiores temperaturas de

funcionamento e oxidação prematura do Óleo lubrificante.

-Outra desvantagem e a impossibilidade de usinagem da

superfície interna do mancal, o que provocaria o fechamento dos

poros na superfície.

3

CAPITULO II

HISTÕRICO

O primeiro trabalho teórico sobre o assunto foi p~

blicado por Cameron e Morgan em 1957. Porém, a suposição de

que o gradiente de pressão ao longo da espessura do material P2

roso variasse linearmente com a espessura e o uso impróprio de

condições de contorno nas bordas do mancal, fez com que os resul

tados fossem aplicáveis somente a mancais de espessura muito p~

quena em relação ao comprimento.

Trabalhos mais rigorosos foram apresentados por W.T.

ROULEAU 1 -, que usou a aproximaçao do mancal infinitamente curto,

por Shir e Joseph, que consideraram o mancal infinitamente longo

e por Tipei, que encontrou a solução para mancal finito conside

rando pequena espessura de parede.

Finalmente, e. CUSANO 2 . - • , obteve soluçao analitica pa

ra um mancal poroso finito, sendo os resultados apresentados p~

ra uma espessura de parede de 0.15D, onde D é o diâmetro interno

do mancal.

Do ponto de vista prático deve ser citado o trabalho

de V.T. MORGAN 3

4

CAPÍTULO III

TEORIA

3.1 INTRODUÇÃO

A operaçao dos mancais radiais porosos e s,emelhante

a dos mancais comuns, isto é, baseia-se na formação de uma cunha

de Óleo, a qual gera a pressão que sustenta a carga. Sua dife

rença reside na capacidade de absorção de Óleo pela matriz por2

sa, característica essa que irá influir nos parâmetros de funcio

namente tais como, capacidade de carga, espessura de

etc.

película,

o eixo é sólido e a matriz porosa é ajustada externa

mente a uma armadura sólida, de modo a aumentar a resistência e

não permitir fluxo de Óleo para fora do manca! na direção radial.

As faces laterais da matriz porosa são livres (Figura 3.1).

A experiência tem demonstrado que mancais porosos 1~

brificados somente pelo Óleo inicial com que foram impregnados

trabalharão a lubrificação por camada limite (boundary lubrica

tion), a menos que as velocidades sejam médias ou elevadas e a

5

/

carga seja pequena. Nestes casos e também quando o Óleo inici

al é complementado por uma fonte externa, o manca! poderá operar

~em condições hidrodinâmicas de lubrificação. Nestas condições

é possivel a investigação teórica de suas grandezas de funciona

mento.

A r

w

FIG. 3 .1

Li 2 L/2

t. y

LC

seção A-A

A

GEOMETRIA DO MANCAL

POROSO E SISTEMAS

RADIAL

DE

COORDENADAS UTILIZADOS

6

3.2 FLUXO DE FLUIDOS EM MEIOS POROSOS

3.2.1 Porosidade e Permeabilidade.

Define-se porosidade como a fração de volume do mate

ria! correspondente aos espaços vazios em sua estrutura:

volume dos poros t =-------t volume total

A porosidade, como definida acima, e também chamada

de porosidade total ou absoluta.

Denomina-se porosidade efetiva quando VP abrange so

mente o volume dos poros interconectados.

Permeabilidade de um material poroso é a propriedade

que caracteriza a facilidade com que um fluido pode se deslocar

através do material quando um gradiente de pressão é aplicado.

A permeabilidade depende da porosidade efetiva e do tipo de es

trutura do material poroso.

3.2.2 Lei de Darcy.

Seja um elemento de volume cilíndrico tomado no flu

7

xo de um fluido viscoso e incompressível, através de um material

poroso (Figura 3.2):

Figura 3.2

O fluxo é considerado laminar, a viscosidade do flu!

do é constante, o material poroso é isotrópico e, os efeitos de

inércia e gravidade, são desprezíveis. em comparação com as for

ças viscosas.

_A força viscosa agindo sobre o fluido contido no ele

mento de volume na direção ô -s -sera:

F = - n. B. ÔA. V• Ô V -s

onde B é uma constante que depende da geometria dos poros.

A força na direção ô devido ao gradiente de pressao -s

pode ser expressa por:

8

Para um fluxo em regime permanente, estas forças de

vem estar em equilíbrio:

(Vp + n : yl • ~s • <j, • ô A = O

Como a equaçao acima deve ser verificada para

quer orientação do elemento de volume, conclui-se que:

B Vp + n i y = o

Dai resulta a lei de Darcy:

qual

k V = - - Vp n

(3.1)

onde k = <j,/B é a permeabilidade do material poroso.

Deve-se ressaltar que esta dedução é apenas aproxim~

da, pois as grandezas relativas ao material poroso sao tomadas

como valores médios em elementos finitos do material poroso e,

portanto, carecem de sentido quando as dimensões tornam-se infi

nitesimais. Porém, experiências práticas comprovam a lei de Dar

cy, com exceção dos casos em que as velocidades são bastante ele

vadas ou o tamanho dos poros se aproximam das dimensões molecula

res do lubrificante.

9

3.2.3 Equação de Laplace.

Pela equaçao (3.1), as componentes da velocidade do

fluido no material poroso podem ser expressas por:

k ap V = <ax1 (3.2)

X n

k ap V = <ayl (3.3)

y n

k (ap) (3.4) V = z n az

Substituindo-se na equaçao da continuidade para o

meio poroso (é semelhante à equação 3.34) as derivadas

das equações (3.2), (3.3) e (3.4), resulta:

= o

obtidas

(3.5)

~

Esta e a equaçao de Laplace para o meio poroso, que

escrita em coordenadas cilíndricas (Apêndice I) fica:

a2p 1 -·- + -+

aP 1 azp a2P -- + = o (3.6)

éir 2 r ae 2 az 2

10

3.3 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE

As condições de contorno a serem utilizadas sao:

p(r, a, L/2)

ap(r, 8, O)

az

= p(r, a, - L/2) = o

= o

p(r, O, z) = p(r , 2n, z) = O 1 1

ap (r 2

, e, z >

= o ar

p(r, a, z) = p(S, z) 1

( 3. 7)

( 3. 8)

( 3. 9)

(3.10)

(3.11)

A equaçao (3.7) mostra que as faces laterais da ma

triz porosa estão em contato com a atmosfera, cuja pressão foi

tomada como nula por conveniência.

A equaçao (3.8) é obtida considerando-se simetria da

distribuição de pressão na direção z.

A equaçao (3.9) mostra a periodicidade da solução.

Usando-se essas condições de contorno, uma parte da distribuição

de pressão será negativa e, exceto para cargas muito pequenas,

11

ocorre cavitação e o filme se rompe. Entretanto, a equaçao (3 •

• 9) pode ser utilizada para a obtenção de uma solução aproximada,

desprezando-se então a parte negativa do perfil.de pressão no cál

culo da capacidade de carga do manca!.

A equaçao (3.10) decorre do fato de ser a matriz P2

rosa ajustada externamente a uma armadura impermeável, de modo a

não permitir fluxo de Óleo para fora do manca! na direção radial.

A equaçao (3.11) afirma a existência de continuidade

da pressao na interface entre a matriz porosa e o filme de Óleo.

Pelo método de separaçao de variáveis, considera-se

a solução como sendo do tipo:

p(r, 8, z)=R(r). 8(8). Z(z) (3 .12)

Substituindo-se esta expressao na equaçao (3.6) e di

vidindo-se por R.e.z, vem:

R" 1 + R' + _!__ R r R e z

Nesta equaçao, o primeiro membro depende de r e 8,

enquanto o segundo membro é função apenas da variável z. Por

tanto, ambos os membros devem ser iguais a uma constante:

12

R" 1 -+ R' 1 -+ 9" = Z" = À2 (3.13) R r R r2 e z

Daí obtem-se o problema de autovalores:

Z" + Ã2 • Z = O

com as condições de contorno ditadas pelas equaçoes (3.7) e (3.8):

Z(- L/2) = Z(L/2) = O

Z' (O) = O

Este problema tem para solução os autovalores:

1T (2m - 1)

L

e as respectivas autofunções:

Z (z) = C.cos(Ã z) m m

com m = l, 2, 3, ...

( 3 .14)

(3.15)

Multiplicando-se a equaçao (3.13) por r 2 , vem:

13

2 R" R' ·- ,2 2. _9" r + r Am r = R R 9

Nesta equaçao, o primeiro membro depende de r, en

quanto o segundo depende de e. A igualdade implica que ambos

os membros devem ser iguais a uma constante:

r2 R" R' ).2 r2 911

ª2 (3.16) + r - = = m R R 9

Dai se origina o problema de autovalores:

9" + a 2 • 0 = o

com as condições de contorno fornecidas pela equaçao (3.9):

9(0) = 9(2ir) = O

Este problema tem por solução os autovalores a .· = n/2. n

Porém, com esses autovalores a solução converge para um

circunferencial de pressão que se anula em 0 = ir.

perfil

Resultado idêntico é conseguido considerando-se "a

priori" 9 (ir) = O como condição de contorno, ·com as vantagens

de ser a convergência bem mais rápida e o cálculo das funções de

Bessel mais simples.

14

-O segundo caso sera considerado, sendo os autovalo-

res:

ªn = n

e as respectivas autofunções:

o. sena e n

com n = l, 2, 3, ...

Substituindo-se o valor de

(3.17)

(J .18)

dado pela equaçao

(3.17) na equação (3.16) e, a seguir multiplicando-se por R, vem:

r 2 R" + r R' - (1 2 r 2 + ~ 2 )R = O 1B

Esta é a equaçao de Bessel modificada de ordem n, cu

ja solução é expressa por:

R (r) = c • I (l r) + d nm nm n- m nm

K (l r) n m

(3.19)

Substituindo-se as equaçoes (3.15), (3.18) e (3.19)

na equaçao (3.12), a solução da equação de Laplace pode ser es

crita como:

CD CD

p(r, e, z) = n=l m=l

x sen(n8)

15

[a • I (A r)

nm n m

cos (). z) m

+ b nm K (). r)]

n m

(3.20)

Aplicando-se a condição de contorno (3.10), vem:

CD CD

n=l m=l

la . L nm I' (). r ) + b • K' (A r >] A n m 2 nm n m 2 m

x sen(n8) • cos(). z) = O m

( 3. 21)

As funções sen(ne), n = 1,2, ••• , formam uma base

no espaço das funções contínuas no intervalo (0,2n], isto é, foE

mam uma base em c[0,2n], pois são autofunções relativas a auto

valores distintos (ver o teorema 12-7 da ref. 7). Logo, qual

quer função 6(8) deste espaço, pode ser expressa em série infi

nita nessa base. Da mesma forma as funções cos (). z) , m = 1, 2 , m

... , formam uma base em c[-L/2, L/2]. Portanto, os

sen(n8).cos(). z) formam uma base em c[s], onde sé a m

produtos

região

definida por O ~ e ~ 2n e -L/2 ~ z ~ L/2 (ver o teorema 9-7

da ref. 7) •

Então a expressao (3.21) representa o desenvolvimen

to em série de Fourier da função nula e daí se conclui que todos

os coeficientes desse desenvolvimento serao nulos, isto é:

16

[a • I' (J.. r2) + b K' (J.. r )] J.. = o nm n m nm n m 2 m

;,.. t- O, logo: m

I' (},. n m r2)

b = - a (3.22) nm nm K' (J.. r ) n m 2

As funções de Bessel obedecem as seguintes relações:

In_ 1 (u) + I (u) n+l I'(u) = --------

n 2

Kn-1 (u) + Kn+l (u) K' (u) = --------

n 2

Subst:."ituindo-se essas relações

na equaçao (3.22) e levando-se o resultado

tem-se:

... ... p(r, e, z) = l l a r " r)

n=l m=l nm n m

(3.23)

(3.24)

com o argumento >. r m 2

na equação (3.20), 02

I• (;,.. r ) + I (;,.. r )

ri] n-1 m 2 n+l m +

Kn-1 (]..m r ) 2

+ K (].. n+l m

x sen ( n e ) . cos (;,.. z) m

2

r ) ' Kn (]..m

2

(3.25)

17

Derivando-se esta equaçao em relação a r, usando-se

as relações (3.23) e (3.24) e, a seguir, aplicando-se a equaçao

resultante à face interna da matriz porosa (r = r ) , chega-se a: 1

ap(r , e, z) "" ""

a { 1

l l nm

= - I l 0. r ) +I l(>, r ) ar 2 n- m 1 n+ m 1

n=l m=l

In-1 O.m r ) + I 0. r )

r.-, "· 2 n+l m 2 . r )

Kn-1 (Àm r ) + K (À r ) 1

2 n+l m 2

+ K (À r1)] À ,. sen(ne) .cos(À z)

n+l m m m

(3.26)

Tomando-se

Bm À L

1T (m - .!i (3.27) = = m 2 2

z z = (3.28)

L/2

c2 ( 3. 29) p' = . p

r n u 1

as equaçoes (3.25) (para r = r ) e (3.26) podem ser reescritas 1

sob a forma adimensional:

onde:

18

00 00

p' (r , 8, z> = I I e A 1 nm nm

n=l m=l

ap' (r , e' z) 00 00 I

I = I e • B nm nm ar n=l m=l

A nm

= I (u ) + ---------n 1

=

sen(ne).cos(l3

sen(ne) .cos (13

• K (u ) n 1

z> m

(3.30)

m z>

(3.31)

(3.32)

B nm

13m

L I

1 (u ) + I

1 (u ) -

n- 1 n+ 1 K l(u) + K ( ) n- 2 n+l u 2

. r '(u ) + ···•'".,]}

(3.33) n- 1

c2 e = a

nm u nm r TJ 1

com u = 13 D /L 1 m 1

,;;, = 13 D /L. 2 m 2

19

3.4 EQUAÇÕES PARA A PEL!CULA DE ÕLEO

3.4.1 Hipóteses Simplificativas.

(1) O fluido lubrificante é considerado incompressível;

(2) Serão desprezadas as foryas externas (gravitacionais, etc);

(3) A pressao é considerada constante através da espessura da

película do lubrificante (ôp/ôy = O);

(4) A espessura do filme de Óleo é muito pequena em comparaçao

com as dimensões do manca!, de modo que pode ser desprez~

da a curvatura do filme. Desta forma as velocidades se

rãa todas lineares;

(5) O lubrificante é newtoniano;

(6) o fluxo é laminar;

(7) Não existem fontes nem sumidouros de fluido;

(8) Os efeitos de inércia serao desprezados;

(9) Não há deslizamento entre o lubrificante e as superfícies

de contato, isto é, a velocidade do Óleo em contato com a

superfície pode ser tomada como a velocidade da superfície.

Esta hipótese acarreta uma descontinuidade nas componentes

de velocidades tangenciais e axiais do fluxo de Óleo na in

terface entre a matriz porosa e o filme de Óleo. Tal des

20

continuidade ocorre porque, na matriz porosa, a velocida

de do Óleo é proporcional ao gradiente de pressão. Entre

tanto, a descontinuidade é aceitável, já que os efeitos

de inércia foram desprezados, tanto na pelicula de Óleo

como na matriz porosa;

(10) A viscosidade do lubrificante é considerada constante;

(11)

(12)

-O manca! trabalha em regime permanente, isto e, as grand~

zas envolvidas não variam com o tempo;

Em comparaçao com os gradientes de velocidade avx/ay e

avz/ay, todos os outros gradientes de velocidade podem

ser desprezados. Esta consideração é válida, já que V X

e, em seguida vz' são as velocidades predominantes e as

dimensões na direção y sao muito menores que as

sões nas direções x e z;

dimen

(13) Há alinhamento perfeito entre o manca! e o eixo, de modo

que a espessura de pelicula do lubrificante é função ap~

nas da variável x.

3.4.2 Equação da Continuidade.

Seja um elemento de volume de arestas dx, dy e dz,

tão pequeno que as velocidades do fluido nas direções x, y e z

21

possam ser consideradas constantes, através de cada face do ele

mento (Figura 3.3):

z

~X

V z

av z + -- • dz az

V y

av + __ Y . dy

1

1

, /

/ ,

ay

av --'-• 1

X --1---ll~ V X + --

3x

V y

1 dz

/---------, t dy

dx

Figura 3.3.

• dx

Elemento de volume tomado no filme de Óleo.

Considerando-se as hipóteses (1) e (7), o fluxo que

entra deverá ser igual ao fluxo que sai do elemento:

V dy . dz + V . dx . dz + V dx . dy = (v X y z X

avx av I

dx) dy dz + (v y dy)dx dz + . . + .

ax y ay

av z + (v + . dz)dx . dy. z az

22

Dai vem:

av av av X y z

--+ --+ = o. (3.34) ax ay az

3.4.~ Equação de Reynolds Modificada.

De acordo com as hipóteses (2), (3) e (8), as forças

que agem sobre um elemento de fluido são representadas na Figura

3.4.

Do equillbrio de forças nas direções x e z, resulta;

~- + = (3.35) ay az ax

a. a. -xz yz ap --+ =-ax az

Considerando-se as hipóteses (5) e (12):

T xy

av X

ay

(3.36)

(- 1 élp ~ p - - • -dx y • d z

2 3x

L.

23

(

T + a-rxz dztx . dy

xz élz /

1 1

(T + élTxy ·dy)dx • dz

xy ély

-+ 1 T • dx.dz 1 xy (

- 1 aii ) -+--+- p+-.-.dx dy.dz 2 élx 1. dz

1 )-------- - .

+--- -

dx

yz 3T ) + --·dy dx.dz

ély

1 1 1

Txz • dx • dy

élT )

(T + ~ • dx d y • d z xz ... ax

p - - • -·dz dx.dy --+ (

- 1 élp ) 2 az

IT .dy .dz xz +---i-(.p+..:._

3_P .dz)dx.dy

2 élz

L. 1

dy 1

)- ----- -- - -,.. ,.. /,.. ...... - - -·:?"::.......::..:~

dz

Figura 3.4

T • ds • d z yz

Forças que agem sobre um elemento de fluido nas direções x e z.

24

(ªv, avx) ,: = n- + = o xz ax az

ldV av

) av

n __ z + y z ,: = = n yz ay az

~

ay

Substituindo-se nas equaçoes (3.35) e (3.36), vem:

2 a V 1 ílp X

= (3.37) ay2 n ax

'"" 2 cl V z 1 ai:> = (3.38)

ay2 n az

Integrando-se duas vezes a equaçao (3.37) com as con

dições de contorno:

V = 0 X

V = U X

para

para

y = o

y = h

e utilizando-se a hipótese (10) chega-se a:

V = X

1

2n

ílp

ax

y • y (y - h) + u.

h (3.39)

25

Procedendo-se de forma análoga com a equaçao (3.38)

e as condições de contorno:

V = 0 z

resulta:

V = z

1

2n

ap

az

para y = o e y = h

• y (y - h) (3.40)

Substituindo-se as expressoes (3.39) e (3.40) na e

quaçao (3.34), obtem-se:

av 1 a [ :: • y (y -h)] +

a [::. y(y-h)J} y =

ay 2n ax az

a (X: U). ax h

Integrando-se, de acordo com a hipótese (13), vem:

1 ~ (h3 ap )· 1 Vh - v0 = . . - +--

12 n ax ax 12 n

2_ a P u dh

h3 . -- + (3.41) 3z 2 2 dx

26

Porém, a velocidade tangencial U do eixo, possui com

ponente na direção y (Figura 3.5):

\=U.senel • u Qh_ dx

matriz porosa

Figura 3.5

v0 e a velocidade com que o fluido deixa a matriz

porosa na direção y. Portanto, a velocidade v0

. pode ser expre~

sa através da equação (3.3):

k ( ap) 11 ay y~o

Substituindo-se os valores de

(3.41) e lembrando-se que:

X = r . 9 1

e na equaçao

27

h = c(l +e. cosa) (Apêndice II).

pode-se escrever:

a c (1 + e cosa)

2

u n r l

2 2 a p 2 c -- + r aa 2 1 u n r

2 - 3 e sena . (1 + E cosa) .

u

kr

+ 6 e sena+ 12. c ar

l

c2

n

u n l ( ôp)

r=r

r

l

2

a P

ôp

ªª l

= o (3.42)

Considerando-se os grupos adimensionais definidos p~

las equaçoes (3.28) e (3.29) e tomando-se ainda

2 c

* p =---

t =

r n u l

r k l

c3

-p (3.43)

(3.44)

28

a equaçao (3.42) ficará:

2• * 3

(1 + e: cose)

2 * a P a P

ai 2\

2 - 3 e: sena (1 + e: cose)

ae 2 -,•

x -- + 6 e: sena + 12 t * ap

( clp') r --1 ar

· r•r . l

= o (3.45) ae

Esta é a equaçao de Reynolds modificada (pois foi con

siderado o fluxo de Óleo na matriz porosa) e adimensionalizada,

em coordenadas cilíndricas, cuja solução fornecerá a

ção de pressão no filme de Óleo.

3.5 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE REYNOLDS MODIFICADA

distribui

Substituindo-se a equaçao (3.31) na equaçao (3.45),

vem:

t(p*) = (1 + e: cose)3

[a

2

p* +(~)2

a:p·] lãe 2· L ôz

2

* 2 ôp - 3 e: sen8(1 + e: cose) + 6 e: sena+

ae

D 1

.. .. + 6 41

L n=l m=l

X COS('3 z) = 0 m

29

e nm

• E • sen(ne). nm

(3.46)

onde t representa o operador diferencial agindo sobre p* e E = nm

= L.B . nm

As condições de contorno para o filme de Óleo serao

tomadas em concordancia com as usadas para a superficie interna

da matriz porosa, isto é:

* * p (8, 1) = p (8, -1) = O (3.47)

(3.48)

A solução da equaçao (3.45), que satisfaz tais condi

çoes, pode ser expressa através da série de Fourier:

.. .. * p ce, Z> = l l

n=l m=l q

nm o c0, z>

nm

onde as funções Q (8, z) formam uma base na região nm

(3.49)

definida

por O ~ 8 ~ 2,r, -1 ~ z ~ 1, satisfazendo as condições de con

torno (3.47) e (3.48) e q são coeficientes indeterminados. nm

30

Examinando-se a seçao 3.3, ve-se que os produ

tos sen(n8).cos(B z) formam uma base na mesma região e satis m

fazem as condições de contorno (3.47) e (3.48). Para que tam

bém seja satisfeita a condição de contorno (3.11), os coeficien

tes serão tomados como:

q = e A (ver equaçao 3.30) nm nm nm

Então a equaçao (3.49) pode ser escrita na forma:

CD CD

* z> r r sen(n8) cos(B z> p (8, = e A . . nm nm m

n=l m=l

(3.50)

l (p*) é uma função contínua identicamente nula. Co

mo a função nula é ortogonal a todas as funções da base, seu pro

duto interno com qualquer função da base é nulo, isto é:

1 211

f f -1 : O

l(p*) • sen(je) • cos(B z) . d8 • dz k

= o

( 3. 51)

Substituindo-se a equaçao (3.50) na equaçao (3.46) e

* levando-se a seguir o valor de l(p) obtido para a equação (3 •

• 51), chega-se a:

O)"·

' l

nal

31

... 1 21T

J J [ . . 2 2

l e -(e: .cos 8 + 3.e: .cos 8 nm mal

-1 o 2

2 D

2 o, :·~ 1

+ 3.e:.cose + ll • (n + (3)+6t L2 m

L nm

2 2 X sen(n8).COS((3 z) - J.e:.n(e: .COS 8 + 2.E:.COS8

m

+ 1) • ,ene • ~•(•8) • cos(B• il}. ,en(j8)

x cos ( 13k i> • de • dz = 1 211

J J 6.e:.sene

-1 O

X Sen(j8) • COS((3k Z) • d8 • dz

onde e = e • A • nm nm nm

Na equaçao acima, todos os termos do primeiro membro

sao dependentes da variável z, através do produto COS (/3 Z) X m

x cos(l3k z). Quando for efetuada a integração, serão todos nu

los, exceto para m = k.

na forma:

Portanto, a equação pode ser reescrita

CD

r n=l

CD

onde:

cnk

32

Jl I2W [- ' 3 2 2

<e: • cos e + 3, E , COS 8 + 3.E.cos8

-1 o

2 D D

2 1 2 1 nk + 1) . (n + - f\l + 6 t E J

L2 L Ank

2 2 x sen(n8) • cos(ak i) - 3,E,n(E .cos 8 + 2,E,cos8

+ 1) • s=O • cos (n8) • cos "• il} • sen (j8)

X COs(ak i) , d8 , di •

1 2W r I 6 ,E .sen8

-1 O

x sen(j8) • cos(ak i) • d8 • dz.

A integração desta equaçao fornece:

(3.52)

F k" n J

com Gnk

Hkj

(:')' 2 = ,r . n +

2 E

X (l + -) • (ô 4 1, n- j

33

3& 2

2

J3k • (1 + -)

+ ô l,j-n

3 E

)

2

3E +

4

3E ô +-

nj 2

2

. ( 6 • 2 ,n-J

(

+ · ô - ô .l + - • (ô3 . + ô . 2,j-n 2,n+J 8 ,n-J 3,J-n

2 E

ô • ) + n.'IT. 3E

2 • (1 + -) • (ô •

4 l ,J-n - ô )

l ,n-j

+

X

3,n+J

2 3E

2

2 3E

(ô • + ,s - ô ) + -2,n+J 2,j-n 2,n-j 8

(Ô + ,S • - ,S .)] - 6.,r. 3,n+j 3,J-n 3,n-J

D 1

L

X ~ • G ô . llJ nk

E nk

= A

nk

k+l (-1)

= 24.E. ô • 2k - l l,J

(3.53)

(3.54)

34

Atribuindo-se valores de 1 a L para n e j, a equaçao

(3.52) fornece, para cada valor de k, L equações a L incógnitas

Fazendo-se k variar de 1 a M, resulta então um con

junto de M matrizes L x L. A solução desse conjunto de matri

zes fornece os valores dos coeficientes Cnk desejados.

3.6, PARÂMETRO DE CARGA

A capacidade de carga do manca! é calculada, através

da integração da pressão no filme de Óleo.

Na parte negativa do perfil da pressao ocorrerá cav!

tação e rompimento da película lubrificante, de modo que esta Pél!:

te do perfil será desprezada no cálculo da capacidade de carga,

isto é, a integração será efetuada apenas para O~ e~ ,r. Além

disso, considerando-se a simetria da distribuição de pressao em

relação à variável z, a componente da capacidade de carga na

direção da linha dos centros pode ser expressa da seguinte forma:

w0 = - w.costj, = - 2 r 1 f

o

L/2 ,r

f ice, z).cos8.d8.dz o

;-

onde:

35

Usando-se as equaçoes (3.28) e (3.43), vem:

2 = n UL (r /c)

1

1 1T

w 1

w = 1

J J o*. cose . d8. dz

o o

(3.55)

(3.56)


integrando-se, resulta:

k+l 4

00 00 (-1) n

w = r r cnk 1 1T 2k - 1 n=2,4,6, ... k=l

(3.57) n2 - 1

A componente da capacidade de carga na direção peE

pendicular à linha dos centros vale:

W = w.senw = 2 r p 1

JL/l f,r ~(6, z) . sena. d6 . dz

o o (3.58)

Aplicando-se as equaçoes (3.28) e (3.43), vem:

/

onde:

2 w. = nUL(r /c)

p 1

1 1T

W. 2

36

w2

= J J p*. sena. d8 • dz

o o

(3.59)

(3.60)


integrando-se, resulta:

k+l ... (-1)

w = }: 2

k=l clk

2k - 1 (3.61)

f de uso prático o parâmetro de carga definido como

o inverso do número de Sommerfeld:

(Obs. :

onde:

2

1 p c = (3.62)

s nN . r 1

Alguns autores consideram esta expressao como o número

de Sommerfeld) .

p = w

2 L r 1

(3.63)

37

-A capacidade de carga e expressa por:

2 W = (W

o

2 1 / 2

+ w ) p

Usando-se as equaçoes (3.57) e (3.59), vem:

W=21rNr 1

2

L n (r /e) 1

2 (W

1

2 1/2

+W) 2

(3.64)

com U = 21rN r, onde, por simplicidade, foi confundido o raio 1

do eixo com o raio interno da matriz porosa.


levando-se o resultado para a equaçao (3.62), obtem-se a expre~

são final do parâmetro de carga:

1

s

2 = ,r(W

1

2 l / 2

+W) 2

3.7 ÂNGULO DE ATITUDE

f calculado por:

1jl = are tg(W /W ) 2 1

(3.65)

(3.66)

38

3. 8 PARÂMETRO DE ATRITO

Para um fluido newtoniano:

av X

= n··-ay

Derivando-se a equaçao (3.39) em relação a y, subst!

tuindo-se na equação acima e tomando-se y = h (superfície doei

xo), vem:

T = X

h

2 ax +

nu

h

Considerando-se o filme de Óleo completo (O a 211) e

tomando-se o raio do eixo como o raio interno da matriz porosa,

a força de arrasto será:

·F = 2 r l J

o

L/2 211

J o

T X

. d8 . dz

Integrando-se, mediante o uso das equaçoes (3.58),

(A2.2) e x = r • 8, resulta: l

c e; W senlj, F = -----'- +

2r 1

39

211nU·r.L 1

1/2 c(l-e: 2 ).

(3.67)

Usando-se as equaçoes (3.67) e (3.63) e lembrando-se

que U=211Nr, 1

o coeficiente de atrito pode ser expresso por:

• senlj, + 11N

p

r 1 2 11 2

c

Multiplicando-se por

parâmetro de atrito:

r /c, 1

µ

r 1

c

e; 2 11 2 s = • senlj, + ------

1/2 (1 - e:2) 2

sendo S definido pela equaçao (3.62).

tem-se a expr~ssao do

(3.68)

40

CAPfTULO IV

CÃLCULO NU~RICO

4.1 ELEMENTOS NECESSÁRIOS Ã SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO (3.52)

Os parâmetros de operaçao dos mancais radiais por~

sos, tais como parâmetros de carga e de. atrito e ângulo de atitu

de, são funções apenas dos coeficientes Cnk' os quais podem ser

determinados atraves da equação (3.52). Antes, porém, devem ser

calculados os termos Fnkj e Hkj'

determinados pela equação (3.54).

sendo os Últimos facilmente

Para o cálculo dos termos F k" (ver equaçao 3.53), n J

necessita-se conhecer Gnk:

G = nk

E nk

A nk

= A

nk

Usando-se as equaçoes (3.32) e (3.33) e, em seguida,

multiplicando-se numerador e denominador por:

41

resulta:

Gnk = Sk { ~•-1 (u, 1 + I l (u )] • r l (u ) + K l (u >] n+ 1 n- 2 n+ 2

- [r (u ) n-1 2 + I 1 (u ) J . [K (u ) + n+ 2 n-1 1 • .. , ,.,,J}

: • { I (u 1 • n 1 [Kn-1 (u2) + K (u ) J + [r (u ) n+l 2 n-1 2

+ I (u ) ] • n+l 2

K (u 1} n 1 ( 4 .1)

onde: D º2 1

u = Bk e u = Bk 1 L 2 L

Variando-se n de 1 a L, pela expressao de Gnk .

ve-se

que, para cada valor de k, necessita-se das funções de Bessel I

e K de ordens O a L+l, com os argumentos u eu. 1 2

As funções de Bessel modificadas obedecem as segui~

tes leis de recorrência:

2f If+l(u) = If-1 (u) -

u ( 4. 2)

42

2f K (u) = K (u) + - • K (u) f+l f-1 u f

( 4. 3)

Portanto, basta conhecer I , I , K, K com os arg~ O I O 1

mentos u eu. As demais funções de Bessel, para um mesmo va 1 2

lorde k, serao calculadas usando-se as relações (4.2) e (4.3) ~

petidas vezes.

As funções de Bessel I o , I 1 , K e K sao calculadas o 1

através das séries:

2m 00 (u/2)

I (u) = 1 + I (4.4) o 2

m=l (m! J

2m+l u 00 (u/2)

I (u) = - + r (4.5) 1 2 2

m=l (m + 1) (m! J

2m

[,n (u/21 - T(m+l)] 00 (u/2) K (u) = - !n(u/2) - Y - r .

o (m! J 2 m•l

( 4. 6 J

; • r•Cu/21 ;] . am+1 1 00 (u/2)

K (u) = -+ + y - r 1 2 2 m•l (m + 1) (m! J

, [ln (u/21 - T Cm + l} - . 1 ]

2 (m + 1) (4.7)

43

onde:

1 1 1 T(m + 1) = - y + 1 + -+ + . . . +

2 3 m

..,._.

com m = 1, 2, 3, ... e T (1) = - y

sendo y = - 0,577215 ••• a constante de Euler.

Porém, para u >> 1, tais séries convergem muito le~

tamente, sendo conveniente neste caso o uso de desenvolvimentos

assintóticos:

I (u) = o

u e

1/2 (2 1r u)

u e

I (u) = 1 1/2

(2 ,r u)

M

1 + r

M

i + r m=2

M

i + r m=2

2 2

1 ••• (2m - 3) • { 4. 8)

(m-1) ! (8u) m-1

m-1 (-1)

m-1 (m - 1) ! ( 8u)

(4.9)

m-1 2 2

1 ••• (2m-3) (-1)

(m -1) ! (8u) m-1

( 4 .10)

K (u) = e l

-u • ( 2,ru)1/2

44

1 +

M

I m=2

(4 - .1 2

) ; •• 14- (2m - 3) 2 I

m-1 (m-1) ! (Bu)

( 4 .11)

Serão usados os desenvolvimentos assintóticos no cál

culo de I e I quando u ~ 10 e no cálculo de K e K o .l o l

quando

u ~ .6. Esses valores foram encontrados experimentalmente, cal

culando-se as funções de Bessel através das equações (4.4),(4.5),

(4.6) e (4.7) e verificando-se a partir de que valor do argume~

to a convergência não era satisfatória.

Os termos dos desenvolvimentos assintóticos inicial

mente diminuem em valor absoluto e, após determinado número de

termos, passam a aumentar, isto é, as séries divergem após dete~

minado número de termos e têm, portanto, precisão limitada. Pa

ra que a máxima precisão seja obtida, somam-se os termos até que

o termo de menor valor absoluto seja alcançado.

4.2 PROGRAMA PARA COMPUTADOR

4.2.1 Generalidades.

Para a representação das funções de Bessel de ordem

45

n no programa FORTRAN, usou-se n+l como Índice das variáveis

indexadas (ver nomenclatura), porque tais Índices não podem ser

nulos ou negativos. Consequentemente, as leis de recorrência

das funções de Bessel, equações (4.2) e (4.3), ficarão:

BIA(N+2) = BIA(N) - 2.*N/(BETA*D1L)*BIA(N+l) (4.12)

BIB(N+2) = BIB(N) - 2.*N/(BETA*D2L)*BIB(N+l) (4.13)

BKA(N+2) = BKA(N) + 2.*N/(BETA*DlL)*BKA(N+l) (4.14)

BKB(N+2) = BKB(N) + 2.*N/(BETA*D2L)*BKB(N+l) ( 4 .15)

com N = 1, 2 , 3 , •••

A expressao de Gnk (equação 4.1) para o cálculo com

-putacional sera:

G(N,K) = BETA*((BIA(N) + BIA(N92))*(BKB(N) + BKB(N+2))

- (BIB(N) + BIB(N+2))*(BKA(N) + BKA(N+2)))/

/ (BIA(N+l)*(BKB(N) + BKB(N+2)) + (BIB(N)

+ BIB(N+2))*BKA(N+l)) (4.16)

O programa utiliza três subrotinas:

46

S u.b11.o t.i.na BESS calcula as funções de Be ssel

I (u) , I (u) , K (u) D 1 D

e K (u) para u < 6 ou, l

apenas, I (u) e I (u) D 1

quando 6 ~ u < 10. são usadas as equaçoes (4.4), (4.5), (4.6)

e (4.7), sendo que o argumento u assume os valores

º2 li -k L

Su.b11.ot.i.na BASS calcula as funções de

I (u) , · I (u) , K (u) O 1 O

quando 6 ~ u < 10.

e K (u) para 1

u >, 10 ou, apenas K (u) o

Tais funções são calculadas através

e

Bessel

e K (u) 1

das e

quaçoes (4.8), (4.9), (4.10) e (4.11), sendo que o argumento u

assume os valores e

Su.b11.ot.i.na S 1 MQ. consta do arquivo de subrotinas

cientificas do computador e é utilizada para resolver os siste

mas de equações lineares resultantes da equaçao (3.52). A reso

lução é feita pelo método de Gauss-Jordan.

O programa pode ser dividido em três partes:

Cálculo dos termos Gnk'

Cálculo dos coeficientes c nk'

Cálculo dos parámetros de operaçao do manca!.

Na pll..i.me.i.11.a pa11.te, faz-se·uso das subrotinas BASS e

BESS para o cálculo das funções de Bessel I, I, K e K com O 1 D 1

47

os argumentos e e, a seguir, sao. usadas as rela

ções de recorrência (4.12), (4.13), (4.14) e (4.15) para o cálcu

lo das funções de Bessel de ordens superiores, necessárias à a

plicação da equação (4.16).

dos os termos G

Através desta equação são calcula

nk

N4 l>e.gu.nd4 e.t4p4, variam-se os indices n e j de

l até 12, obtendo-se, para cada valor de k, um sistema de 12 e

quaçoes a 12 incógnitas fornecido pela equação (3.52). Este sis

tema é resolvido pela subrotina SIMQ, determinando-se então os

coeficientes clk' c 2k, .•. , c 12k. Fazendo-se k variar de l a

10, todos os coeficientes e são calculados. nk

Os valores finais de k e n (o valor final de j é i

gual ao de n) foram tomados como 10 e 12, respectivamente, pois

com essa escolha obteve-se uma precisão satisfatória dentro das

f.iixas de variação de e:, te D /L. 2

N4 te.~ee.l~4 p4~te. do p~og~4m4, calculam-se primeira

mente as componentes adimensionais da capacidade de carga do mêl!l

cal, que são funções apenas dos coeficientes C (ver equaçoes nk

3.57'e 3.61). Em seguida, determinam-se os parâmetros de carga

e de atrito e o àngulo de atitude, usando-se as equaçoes (3.65),

(3.68) e (3.66), respectivamente. Estes resultados sao obtidos

atribuindo-se valores a cada um dos fatores e:, t e D /L. 2

48

4.2.2 Diagramas de Fluxo.

49

PROGRAMA PRINCIPAL

INÍCIO

Dados: DlL = l. LX = 12 KX = 10

Subrotina BASS

u =0z

-nao

M2=12 18 3

Dados: D2L

< 6

Subrotina BESS

Subrotina BASS

Subrotina BESS

1---------a--i N = 1, LX

cálculo de BIA(N+2), BIB(N+2), BKA(N+2), BKB(N+2)

Cálculo de G(N,K)

M=l,19,9

Dados: FI

I = 1,11

Dados: E

K = l, KX

J = 1, LX

Cálculo de H(J)

N = l, LX

Cálculo de F(J,N)

Cálculo de C(l,K), ••• ,C(LX,K) pela subrotina SIMQ

Cálculo de Wl e W2

Cálculo de PC, ATRI e PSIG

Escreve DlL, ·D2L,.

FI, E, PC, ATRI e PSIG.

FIM

50

SUBROTINA BESS

r--

1

1

---- K = 1,20

Cálculo do termo seguinte da

série de I 0(U)

Efetua a soma algebrica acumulada

-, 1

L __________ J

INÍCIO

19 termo das series de I 0 (U) e I 1 (U)

< 6

r - - --, 1 Cálculo 1 1 semelhante 1

Lpar_: I 1 (U) 1 - _ _J

19 termo

da sêrie de K (U) o

r- -, 1

Idem 1 J para 1 1 K (U) 1 L-º _J

RETURN

FIM

19 termo

da sêrie de K (U)

1

r- -, Idem 1

1 para 1 1 K (U) 1

1 L- - J

51

SUBROTINA BASS

INÍCIO

19 termo das series de K (U) e K (U)

r------ ------, 1 1

--"-'K=2,20 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1

• 1

1 1 1 1

Cálculo do termo seguinte da

serie de K0

(U)

r--:: --, 1 Calculo 1 1 semelhante : 1 para K (U) L.: ___ l_j

L_ - -,

sim 1

1 1 1

-nao fator

multiplicativo

Efetua a soma algebrica

acumulada

1 L. 1 1 1

L-------- _____ ..J

19 termo da serie de I 0 (U)

r- -, 1 Idem 1 1 para 1

1 I (U) 1 L- o - .J

RETURN

FIM·

19 termo da serie de I 1 (U)

r- -, 1 Idem 1 1 par a 1 1 I (U) 1 L;..1_..J

52

CAPiTULO V

RESULTADOS

Os resultados sao apresentados em forma de gráficos

(Figuras 5 .1, 5. 2, 5. 3 e 5. 4) , onde estão. relacionados os param~

tros de carga, de atrito e de projeto, e o ângulo de atitude do

mancal.

Convém salientar que a análise pode ser feita sob va

rios aspectos, porém, para que seja notada apenas a influência

da excentricidade, da capacidade de carga, da permeabilidade e

da espessura da matriz porosa, serão consideradas constantes n,

N, r, L e c, de forma que as variações de E,~ e µ(r /c) resul 1 1

tem, cada uma, na variação de apenas um dos fatores desejados.

A Figura 5.1-A mostra que, para uma mesma razao de

excentricidade, os mancais porosos têm menor capacidade de carga

do que os mancais sólidos semelhantes, sendo tanto menor quanto

maior for a permeabilidade. A diferença é sensivel a partir de

E= 0,5, tornando-se acentuada para maiores valores de E. Além

disso, os mancàis porosos têm uma capacidade finita de carga, is

53

to e, existe um valor crítico do parâmetro de carga para o qual

a razão de excentricidade é igual a 1. Este ponto marca aprox!

madamente a transição do regime hidrodinâmico de lubrificação p~

ra lubrificação por camada limite (boundary lubrication). O mes

mo não acontece nos mancais sólidos (~=O.O), onde teoricamente

o parâmetro de carga cresce indefinidamente quando a razão de ex

centricidade tende à unidade.

Nota-se ainda que a curva de~= 0,001 difere pouco

da curva de~= 0,0 e, para~= 0,0001, o manca! comporta-se~

proximadamente como se fÔsse sólido.

As Figuras 5.1-B e 5.1-C mostram a influência da es

pessura da matriz porosa para valores constantes da permeabilida

de, constatando-se que o parâmetro de carga diminui com o aurnen

to da espessura da matriz porosa. Nota-se tambêm que, para bai

xos valores da permeabilidade, há pouca influência da espessura

da matriz porosa, visto que D /L = 5 2

já é um valor demasiada

mente elevado para fins práticos. Este fato é importante, pois

variando-se a relação D /L 2

de 1,2 para 1,37, dobra-se a quant!

dade de Óleo disponível na matriz porosa.

A Figura 5.2 mostra que existe, para cada valor de

~. um valor do parâmetro de carga para o qual é mínimo o param~

tro de atrito. Observa-se também que, para carga constante, o

parâmetro de atrito aumenta com a permeabilidade, sendo o aumen

to mais sensível para maiores valores da carga.

54

As curvas apresentam valores elevados do parâmetro

de atrito para pequenos valores do parâmetro de carga;·· o que se

justifica pela equaçao µ = F/W (seção 3.8), po~ém, a força de

arrasto se mantém finita.

Para~= 0,0001 o mancal apresenta valores do par.e

metro de atrito muito próximos dos obtidos para mancal sólido.

As figuras 5.3-A e 5.3-B mostram a influência da es

pessura da matriz porosa para valores constantes da permeabilid,e

de, observando-se que o parâmetro de atrito aumenta com o aumen

to da espessura da matriz porosa, sendo menos sensível para bai

xos valores da permeabilidade.

As figuras 5.4-A, 5.4-B e 5.4-C apresentam o ângulo

de atitude como função da razao de excentricidade, sendo os gr,e

ficos apresentados de tal forma que, se o raio do círculo maior

-for tomado igual a folga radial (c) do mancal, tem-se a represe~

tação do "locus" do eixo, isto é, a curva de deslocamento do cen

tro do eixo com a variação da excentricidade (ou da carga). To

mando-se um ponto qualquer sobre a curva, a linha radial passan

do por esse ponto representa a linha dos centros para aquele po~

to de operação.

Tais figuras mostram que, para uma razao de excentri

cidade constante, o ângulo de at.itude aumenta, tanto com o aumen

55

to da permeabilidade, como com o aumento da espessura da matriz

porosa. Nota-se ainda que, diferentemente dos mancais sólidos,

nos quais w + O quando t + 1, os mancais porosos apresentam

um certo ângulo de atitude no ponto limite de lubrificação hidro

dinâmica.

E

1,0 1-----------~--=----~-----~-:~::-7 ... '!'

0,5

o 20

E

0,001 "----- 0.01

D,IL= 1,2

A

40

---- ----- -- - - --- ----~ 1,0 1-----------

-0,5

o 20 40

---- - -

~ = 0,001

D,/L=1,2 5

8

60 1/S

• E

1,0

1 0,S

l /

1/S o

FIG. 5.1 - RAZAO DE EXCEN

TRICIDADE EM FUNÇÃO DO

PARAMETRO DE CARGA

~ = 0,01 D,/L=1,2

s

e

10 20 1/S

V: 1

?(+) 20

10

o 20

0,/L= 1,2

~= o.o 0,001 0,01

40 60 !IS

Fteà S.2 - PARAMETRO OE ATRITO EM fUNCAO 00 PARAMETRO OE CARGA

1

f (~) f (~)

20 20

B

~ = 0,01 0,/L= 1,2

1,5 A s

~ = 0,001

10 02/L= 1,2 10 • 1,S 5

o 20 40 1/S o 10 20 1/S

F.IG 5.3 - INFLUÊNCIA DA RELACAO 02/L SÔBRE O PARAMETRO DE ATRITO

E

A FIG. S.4 - ÃNGULO OE ATITUDE EM FUNÇAO E 0,/ L= 1,2 DA RAZÃO OE EXCENTRICIDADE

P= o.o, 0,001 o.o

oº

• o 0,2 1,0 o o 1,0

90° 90 e ~=0,01 D,IL= S

a 1,2

E @= 0,001 E

02/L= S 1,2

60

CAP1TULO VI

CONCLUSÕES

6.1 VALIDADE DA SOLUÇÃO

A solução ana1Itica obtida, embora aproximada, é de

boa precisão para fins práticos.

Resultados mais precisos poderiam ser obtidos, consi

derando-se a existência de deslizamento entre o Óleo e a superf!

cie interna da matriz porosa e, ainda, a variação da viscosidade

do lubrificante, porém o trabalho tornar-se-ia excessivamente

complicado.

Pode tambêm ser pesquisada uma solução numérica com

as condições de contorno de Reynolds:

p(8, zJ = ap;ae = o para

tomando-se:

e = e > u 1

I

!

I

1

p(9, z) = O para

61

8 > 8 > 2n 1

Com as condições de contorno utilizados neste traba

lho, o perfil de pressão é negativo para n > 8 > 2n, -o que nao

se verifica na prática, pois ocorre cavitação e rompimento d::> fil

me de Óleo. Desprezando-se a parte negativa do perfil de pres

são, cria-se uma descontinuidade no fluxo de Óleo para 8=w, pois

à esquerda desse ponto, ap/ae ~ O e à direita, ap/aa = o.

A utilização das condições de contorno de Reynolds~

limina esta descontinuidade e seu uso já é comum no cálculo de

mancais sólidos.

6.2 APLICABILIDADE DOS RESULTADOS

Da análise dos resultados do capítulo anterior,. ve

-se claramente que a porosidade afeta negativamente os parame

tros de operação dos mancais, o mesmo acontecendo com o aumento

da espessura da matriz porosa.

Porém, devido às inúmeras vantagens práticas já me~

cionadas, os mancais radiais porosos desempenham um papel imptr

tante na lubrificação, sendo seu uso particularmente indicadofem

locais de difícil acesso nas máquinas ou para simplificar o fpr2

62

jeto, devido a ausência de dispositivos auxiliares de lubrifica

çao. Outra alternativa é seu uso em substituição aos mancais

comuns, devido simplesmente ao seu custo mais baixo, pois corno

foi visto, para ~ = 0,0001 o mancal poroso comporta-se pratic~

mente corno se fôsse sólido.

O programa elaborado em linguagem FORTRAN permite,rne

diante simples acréscirno·no número de dados, estender os resulta

dos a uma faixa mais ampla de valores, de modo que os gráficos

possam cobrir, com detalhes, toda a faixa usual de relações de

dimensões e permeabilidade dos mancais. O projeto de mancais

radiais porosos pode, então, ser bastante simplificado mediante

o uso desses gráficos.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

63

BIBLIOGRAFIA

W.T. ROULEAU "Hydrodynamic Lubrication of Narrow

Press Fitted Porous Metal Bearings" Trans.

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Trans. ASME, Journal of Lubrication Technology, Ja

nuary 1972.

V.T. MORGAN "Porous Metal Bearings", Tribology,

May 1969. -

A. CAMERON "Principles of Lubrication".

PINKUS and STERNLICHT "Theory of Hidrodynamic Lubri-

cation".

R.E. COLLINS 1.

"Flow of Fluids Through Porous Materials".

1 -

KREIDER, KULLER, OSTBERG e PERKINS "Introdução a Ap~ lise Linear".

64 I

8. ERWIN KREYSZIG "Matemática Superior".

9. N. Me LACHLAN "Bessel Functions for Engineers".

c

e

h

k

p

p'

p

p*

r l

r 2

V

65/

NOMENCLATURA

folga radial: r - r . 1 eixo

excentricidade.

espessura de película do lubrificante.

permeabilidade.

pressao no meio poroso.

adimensionalização de p:

pressão no filme de Óleo.

adimensionalização de p:

r n u l

2 c

r n u 1

raio interno da matriz porosa.

raio externo da matriz porosa.

velocid.ade do fluxo de Óleo.

• p

p

componentes de velocidade na direção radial, na su

perfície interna da matriz porosa e na superfície do 1

eixo, respectivamente.

66

v, v, v componentes de velocidade nas direções x, y e z. X y Z

D diâmetro interno da matriz porosa. 1

D 2

F V

I (u) n

K (u) n

L

N

p

s

1/S

u

w

diâmetro externo da matriz porosa.

força de arrasto.

força devido ao gradiente de pressao.

força viscosa.

função de Bessel modificada, de primeira espécie, de

ordem n.

função de Bessel modificada, de segunda espécie, de

ordem n.

comprimento do mancal.

rotações do eixo por unidade de tempo.

carga por unidade de área projetada:

número de Sommerfeld:

parâmetro de carga.

2 TI N (r /c) /P

1

W/(LD) 1

velocidade tangencial na superfície do eixo.

capacidade de carga do mancal.

componentes da capacidade de carga na direção.da ~i

nha dos centros e perpendicular à linha dos centros,

respectivamente.

w 1

w 2

z

6 . . 1J

6 -s

V

E

' t

n

µ y -~ ~··

µ(r /c) ' 1

67

adimensionalização de w0

adimensionalização de W p

adimensionalização dez: z/(L/2).

delta de Kronecker.

-areada seçao transversal de um elemento do meio P2

roso.

comprimento do elemento.

vetor normal à seção transversal do elemento, de

dulo igual ao comprimento do mesmo.

operador gradiente: i + a

j + a ax ay -

razao de excentricidade: e/c

porosidade efetiva.

porosidade total ou absoluta.

parâmetro de projeto: r k/c 3

1

ângulo de atitude.

viscosidade absoluta.

coeficiente de atrito.

parâmetro de atrito.

a az

k

-mo

I í

68

T tensão de cizalhamento.

r, 8, z coordenadas cilíndricas.

x, y, z coordenadas cartesianas.

A correspondência entre as variáveis utilizadas no

texto e as usadas no programa de computador, é a seguinte:

FI

E E

D /L DlL l

D /L D2L 2

13k BETA

u = 13k D /L u l l

u = 13k D /L u 2 2

I (u ) BIA(n+l) n l

I (u ) BIB (n+l) n 2

K (u) BKA(n+l) n l

K (u) BKB(n+l) n 2

69

G nk

G (N ,K)

Hkj H(J)

F . nkJ

F(J,N)

e nk

C(N,K)

w Wl 1

w W2 2

1/S PC

PSI(rd), PSIG(graus)

11 (r /e)· 1

ATRI.

70

APfNDICE I

Para a obtenção da equaçao de Laplace (equação 3.5)

em coordenadas ci1Indricas, faz-se a seguinte mudança de variá

veis:

x = r.cosa y = r.sena

ar

ap

ªª

Pode-se então escrever:

= cosa • + sena • ax ay

= - r.sena • + r.cosa • ax

ap

ay

Estas equaçoes formam um sistema de duas equaçoes a

duas incógnitas, cujo determinante valer.

ap

ax

Logo, para r f O, o sistema tem para solução:

= cosa • ap

ar

l

r . sena.

ap

ªª (Al. l)

ap

ay

ap = sena • - +

ar

1

r

71

• cose • ap

ae (Al. 2)

Já que estas fórmulas sao válidas para qualquer fun

çao diferenciável p(x, y, z), ap

podem então ser aplicadas ap

a ax e , resultando:

ay

2 a P

ax2 = cose • ~ ( ap )-

1

ar ax r a ( ap) • sena . - -ae ax

(Al. 3)

2 a P

ay2 = sena • ~ ( ap) + .:. • cose • ~ ( ap)

ar ay r ae ay (Al. 4)

Substituindo-se as equaçoes (Al.1) e (Al.2) nas equ~

çoes (Al.3) e (Al.4) e levando-se a seguir os resultados para a

equação (3.5), obtem-se a equação de Laplace em coordenadas ci

líndricas:

2 a p 1 -- + ar 2 r

ap 1 -+ ar r 2

2 2 a p a p -- + = o. (Al. 5) ae 2 az 2

72

APÊNDICE II

A Figura A2.l representa um manca! radial, onde os

pontos O e C representam os centros do manca! e do eixo, respe~

tivamente.

e

Figura A2.l

A partir de O traça-se uma linha qualquer OB fazendo

um ângulo 8 com a linha dos centros, pelo ponto C traça-se a l!

nha CF paralela a OB e, em seguida, traça-se uma perpendicular a

CF passando pelo ponto O, determinando-se então o ponto D.

Comparadas com OA e CE, as distâncias AB, EF e OC sao /

muito pequenas, de modo que ABFE pode ser considerado um retân

73

gulo. A espessura de pe1Icula h pode então. ser expressa como:

h = EF. = OB - DE= OB - (CE - CD) = OB - CE+ CD

(A2 .1)

Mas, CD= e.cose e OB - CE= c.

Logo, a equaçao (A2.l) pode ser reescrita na forma:

h = c [1 + (e/c) • cose]

ou,

h = c(l + t. cose). (A2. 2)

74

. APtNDICE III

1

2

3

4

5

6

7 8 9

10

75

SUBROUTINE SIMQ(A,B,N,KSl DlMENSIONAtll,Blll TOL=O.O KS=O JJ=-N 008J=l,N JY=J+l JJ=JJ+N+l BIGA=O

. I T=JJ-J D02I=J,N IJ=IT+I IF(ABS(BIGAI-ABS(A(IJllll,2,2 B IGA=AI IJ l I MAX=I CONTINUE IFIABS1BIGAl-TOLl3,3,4 KS=l RETURN Il=J+N:c<(J-21 IT=IMAX-J 005K=J,N Il=ll+N 12=ll+IT SAVE=A(Ill A(lll=AII2l All2l=SAVE A(Ill=A(Ill/BIGA SAVE=B ( IMAX l BIIMAXl=BIJl BIJl=SAVE/BIGA IF(J-Nl6,9,6 IQS=N*( J-1 l 0081X=JY,N IXJ=IQS+IX IT=J-IX D07JX=JY,N IXJX=N*IJX-ll+IX JJX=IXJX+IT A(IXJXl=A(lXJX)-(A(IXJl*AIJJXl) 81 IXl=B( IXl-18( Jl*AI IXJI 1 NY=N-1 IT=N*N DOlOJ=l,NY IA=IT-J IB=N-J IO=N DOlOK=l,J 81 IBl=B( IBI-A( IAl*BI 101 IA=IA-N IO=I0-1 RETURN END SUBROUTINE BASS(B11,BI2,BK1,BK2,UI PI=3.141593 DIF=l.E-6

M=l LKl=O LK2=0 P=l. Q=l. BKl=l. BK2=1. IFIU-10.)2,1,1

l L 11=0 LI2=0 Bll=l. B12=1.

2 D021K=2,20 AK=K M=-M Tl=P T2=Q

76

P=P*l2.*AK-3.l**2/((AK-l.l*B•*Ul Q=Q*l4.-(2.*AK-3.l**2l/l(AK-l.1*8•*UI IF(LK113,3,6

3 IFIABS1Tll-ABSIPIJ5,5,4 4 S=BKl

BKl=BKl+P*M IF(ABSIIBK1-S)/S1-DIFl5,5,6

5 LKl=l 6 IFILK217,7,10 7 IFIABSIT2l-ABS1QlJ9,9,8 8 S=BK2

BK2=BK2+0 IFIABS((BK2-Sl/Sl-Dlfl9,9,10

9 LK2=1 10 IF(U-10.)11,12,12 11 lf(LKl+LK2-2l21,23,23 12 1Fllllll3,13,16 13 IFIABS1Tll-ABS1Pll15,15,l4 14 S=Bll

Bil=Bll+P IFIABSIIBI1-Sl/Sl-DIFll5,15,16

15 Lil=l 16 IFILI2l17,17,20 17 IFIABS1T2l-ABS(Qlll9,19,l8 18 S=B12

BI2=BI2+Q>C:M IFIABS(IBI2-Sl/SI-DIF)l9,19,20

19 LI2=1 20 IF(LKl+LK2+Lil+LI2-4121,22,22 21 CONTINUE

IFIU-10.)23,22,22 22 AUXl=EXP(Ul/SQRT(2.*PI*Ul

Bll=BI l*AUXI B12=BI2*AUXI

23 AUXK=EXP(-Ul*S0RT(0.5*PI/U) BKl=BKl*AUXK BK2=BK2*AUXK RETURN ENO

1

2

3

4 5 6

77

SUBRDUTINE BESSCBI1,BI2,BK1,BK2,UI OIF=l.E-6 FK=l. LI1=0 LI2=0 BI1=1. BI2=0.5*U IFIU-6.ll,2,2

.LKl=O LK2=0 PSI=-0.5772156 BK1=-ALOG(0.5*Ul+PS1 BK2=1./U+0.5*U*CALOGI0.5*Ul-PSI-0.51 0017K=l,20 AK=K FK=FK*AK AUX=IC0.5*Ul**K/FK1**2 IFILI 113,.3,5 T=Bll BI1=B1l+AUX IFIABS(IBI1-TI/TI-DIFl4,4,5 Lll=l IF(LI2l6,6,8 T=BI2 B12=Bl2+AUX*0.5*U/IAK+l.l IFIABSCIBI2-Tl/TI-DIF17,7,8

7 Ll2=1 B IFIU-6.19,16,16

_ 9. ___ P_S_I_=P.Sl + l, /AK

10

11 12 13

14 15 16 17 18

1 2

IFCLKll 10,10, 12 T=BKl BK1=8Kl-AUX*IALDG(0.5*UI-PSII lF(ABS((BKl-TI/TI-DIFlll,11,12 LKl=l IFILK2113,13, 15 T=BK2 BK2=BK2+AUX*0.5*U/(AK+l.l*IALOGI0.5*UI-PSI-0.5/(AK+l.ll IFIABS((BK2-Tl/TI-DIFl14,14,15 LK2=1 IFCLI1+LI2+LK1+LK2-4117,18,l8 IFCLll+LI2-2117,18,18 CONTINUE RETURN END OIMENSION BIA(l41,BIBl14l,BKAl141,BKBl141,G(l2,101,Hll21,F( 12,121 ,CC12,10l Pl=3.141593 LX=l2 KX=lO Dll=l. IU=O D054M2=12,18,3 D2L=O.l*M2 IF(M2-1Bl2,1,2 02L=5. WRITE(5,31

/ /j

3 FORMATC1X,'Dl/L',3X,'02/L',5X,'Fl',7X,'E',4X,'PARAMETRO D', 'E CARGA',3X,'PARAMETRO DE ATRIT0',3X,'ANGULO OE ATITUDE ', • C GRAUS l ' , /, l X, 99 C • - ' l l

C CALCULO DOS COEFICIENTES GCN,Kl D017K=l,KX BETA= 1 K-0 • 5 l * P I U=BETA*DlL IND=O

4 · IF{INDl6,6,5 5 U=BETA*D2L 6 IFIU-10.l7,ll,ll 7 IF{INDlS,8,9 8 CALL BESSIBIAC1),BIAC21,BKAC11,BKAl2l,UI

GO TO 10 9 CALL BESSCBIBC11,BIBC2l,BKB111,BKBl2l,UI 10 IFIU-6,)14,11,11 11 IF(INDl12,12,13 12 CALL BASS(BIAl1l,BIA(2J,BKA(ll,BKA(2l,UI

GOTO 14 13 CALL BASS(BIB111,BIB121,BKBl11,BKB(21,UI 14 IF(INOl15,15,16 15 IND=l

GOTO 4 16 D017N=l,LX

BIAIN+21=BIA(Nl-2,*N/1BETA*D1Ll*BIAIN+ll BIBCN+21=BIB1Nl-2.•NIU*BIBIN+ll BKA(N+2J=BKA(Nl+2,*N/1BETA*Dlll*BKAIN+ll BKB(N+2l=BKBINl+2.*N/U*BKB(N+ll

17 GIN,Kl=BETA*IIBIA(Nl+BIA(N+2ll*IBKB(Nl+BKB(N+2ll-1BIBINI + B1B(N+2ll*IBKACNJ+BKA(N+2Jll/lBIAIN+ll*IBKBINl+BKB(N+21l + IBIB1Nl+BIBIN+2ll*BKA(N+lll

C CALCULO DOS COEFICIENTES CIN,Kl 0054M=l,19,9 WRITE15,l8l

18 FORMATllX,991'-'ll FI=M*0,001 IF(M-19121,19,21

19 IF1IUl54,20,54 20 FI=O.O

IU=l 21 11=0

0054I=l,11 E=O.l*I IFll-9125,25,22

22 IF(I1123,23,24 23 E=0.95

Il=l GOTO 25

24 E=0.99 25 MENl=-1

0050K=l,KX MENl=-l*MENl BETA=(K-0.5l*PI D046J=l,LX

C CALCULO DOS TERMOS INDEPENDENTES HIJJ IFIJ-1126,26,.27

26

27 28

c

29

30 31 32 33

34 35

36 31

38 39

40 41

HCJl=24.*E*MENl/C2 •• K-l.l GOTO 28 H{Jl=O. D046N=l,LX

79

CALCULO DOS COEFICIENTES FCJ,Nl FCJ,Nl=O. V=CN**2+(DlL*BETAl**2l*PI IFCN-Jl32,29,38 FIJ,Nl=FIJ,Nl+V*Cl.+l.5*E**2l-6.*PI*DlL*FI*GIN,KI IFCN-1130,30,31 FCJ,Nl=FCJ,Nl+Cl.5*PI-0.75*Vl•E•*2 GO TO 46 IF{J-N-1)33,33,34 FCJ,Nl=FCJ,Nl+0.5*{3.*E+0.75*E**3l*{V+N•Pll GOTO 44 IFCJ-N-2135,35,36 F!J,Nl=F!J,Nl+C0.75*V+l.5*N*PI1*E**2 GOTO 46 IFCJ-N-3)37,37,46 FCJ,Nl=F(J,Nl+0.125*{V+3.*N*Pil*E**3 GOTO 46 IFCN-J-1139,39,40 FtJ,Nl=F!J,Nl+0.5*C3.*E+0.75*E**31*1V-N*Pll GOTO 44 IF{N-J-2141,41,42 FCJ,Nl=FCJ,Nl+{0.75*V-l.5*N*Pil*E**2 GOTO 46

•

42 IFCN-J-3143,43,46 .43 _ F{J_.N)c:f(J,Nl+_O.l25*{V-3_.*lll"'l>l)*_E*_*3 _________ . _____ _

c c c

44 45 46

47 48

49 50

c c

51

c

GOTO 46 IF(N+J-3146,45,46 F(J,Nl=FIJ,Nl+0.125*13.*N*PI-Vl*E**3 CONTINUE RESOLUCAO DO SISTEMA DE EQUACOES !PARA CADA VALOR DE Kl ATRAVES DA SUBROTINA SIMQ PARA D CALCULO aos COEFICIENTES CIN,Kl CALL SIMQIF,H,LX,KSl IFIKSl47,49,47 WRITEl5,481 FORMAT(//,lOX,'MATRll SINGULAR') GOTO 55 DOSON=l,LX CIN,Kl=HINl CALCULO DAS COMPONENTES ADIMENSIONAIS DA CAPACIDADE DE CARGA DO MANCAL Wl=O. W2=0. MENl=-1 D051K=l,KX MENl=-l•MENl W2=W2+Cll,Kl*MEN1/12.*K-l.l D051N=2,LX,2 Wl=Wl+C(N,Kl*MENl*N/1!2.*K-l.l*IN**2-l.ll Wl=-Wl*Pl/4. CALCULO DO PARAMETRO OE CARGA ( PC=l/S l PC=PI*SQRT(Wl**2+W2**2l

e

e

52

53

54 55

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ANGULO DE ATITUDE EM RADIANOS (PSI) E EM GRAUS IPSIG) PSI=ATANIW2/Wll PSIG=l80.*PSI/PI PARAMETRO DE ATRITO ATRI=0.5*E*S1NlPSil+2.*Pl**2/ISQRT(l.-E**2l*PCI WRITE{5,52)Dll,D2L,Fl,E,PC,ATRl,PSIG WRITE15,53l FORMATl1X,F4.2,' I ',F4.2,' I 1 ,F6.4,' 1 ',F4.2,1X,'I',6X, F6.2,8X,'I',7X,F6.2,8X,'I',6X,F6.2,14X,'I'I FORMATllX,51"-" l,'l",61'-'),•I•,8( 1 - 1 1,'l',6{ 1-'l, 1 I', 201 1 -'l,'I',211'-'l,'1',261'-'1,'I'l CONTINUE STOP END

LUBRIFICAÇÃO HIDRODINÂMICA DE MANCAIS RADIAIS POROSOS...

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