LÓGICA = Sistema Formal + Semântica

Sistema Formal = Linguagem formal + Mecanismo de inferência- Linguagem formal : regras bem definidas de formação da linguagem- Mecanismo de inferência: regras de manipulação de fórmulas para obtenção de novas fórmulas

Semântica- Define precisamente o significado das fórmulas do sistema formal

LÓGICA PROPOSICIONAL

Sintaxe

Alfabeto O alfabeto consiste dos seguintes símbolos:

- Símbolos lógicos(~) negação(&) conjunçãodisjunçãodupla implicação () implicação

- Símbolos não lógicos: conjunto infinito de símbolos (sentenciais ou proposicionais) Usaremos letras maiúsculas ou palavras da língua portuguesa como símbolos sentenciais.

- Símbolos de pontuação: """""", """"""

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Pode-se definir o conjunto de fórmulas da lógica proposicional de diferentes maneiras:- Conjunto das fórmulas como um conjunto livremente gerado:Geradores: f, f, f, f, f. f : U U f() = ( ) f : U x U U f (,) = ( ) f : U x U U f (, ) = ( ) f : U x U U f (, ) = ( ) f : U x U U f (, ) = ( )Base: conjunto dos símbolos sentenciaisU : conjunto de expressões (seqüências finitas de símbolos do alfabeto)Conjunto de fórmulas : conjunto gerado a partir do conjunto dos símbolos sentenciais por { f, f, f, f, f}.i.e, as fórmulas da linguagem são obtidas recursivamente usando as seguintes regras:1- Todo símbolo sentencial é uma fórmula.2- Se é fórmula, então () é uma fórmula.3- Se e são fórmulas, então ( ) é uma fórmula.4- Se e são fórmulas, então ( ) é uma fórmula.5- Se e são fórmulas, então ( ) é uma fórmula.6- Se e são fórmulas, então ( ) é uma fórmula.7- nenhuma outra seqüência de símbolos é uma fórmula.Pode-se mostrar que o conjunto das fórmulas proposicionais é livremente gerado a partir do conjunto dos símbolos sentenciais por { f, f, f, f, f}.

- Conjunto das fórmulas como uma linguagem livre de contexto:FORM (FORM FORM) | (FORM FORM) | (FORM FORM) | (FORM FORM) | ( FORM) | ATAT P, para cada símbolo sentencial P.

As fórmulas que são símbolos sentencias são denominadas por fórmulas atômicas.

Para cada fórmula existe uma árvore cuja a raiz é a fórmula e cujas folhas são os símbolos sentencias que ocorrem na fórmula. Em cada nível da árvore os nós são as subfórmulas obtidas de fórmulas do nível imediatamente superior pela aplicação de uma das funções geradoras.(uma subfórmula de uma fórmula é uma subseqüência da seqüência que é uma fórmula, i.e. é uma fórmula ocorrendo na fórmula ).

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Exemplo

((A B) (( C) (A C)))

(A B) (( C) (A C))

A B ( C) (A C)

C A C.

Exercícios1) Mostre que qualquer expressão com mais abre parênteses ‘(‘ do que

fecha parênteses ‘)’não é uma fórmula bem formada.2) Mostre que não há fórmulas bem formadas de tamanho 2, 3 ou 6; mas

existem para qualquer outro tamanho.Dica: Tome S={k 3/existe fórmula , ||=3k+1} e mostre por indução matemática que S=N-{0,1,2}.Dê exemplos de fórmulas de tamanho 1,4 5,7 e 8 e mostre que nõa é possível ter fórmulas com tamanho 2, 3 ou 6 .3) Seja uma fórmula bem formada. Seja c o número de ocorrências de

conectivos binários (, , , ) em e seja s o número de ocorrências de símbolos sentenciais em . (Note que em ((A1 A2) A1), c = 2 e s = 3)

Mostre que s = c + 1.

Obs.1: Para simplificar a notação serão usadas as seguintes convenções para o uso de parênteses:1- os parênteses mais externos serão omitidos.2- o símbolo de negação se aplica às menores subfórmulas.3- os símbolos de conjunção e de disjunção agem em subfórmulas menores

do que os de implicação e de dupla implicação.

Exemplos:

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Sem convenção Com convenção( ((A)B) ) A B

( (A ( B)) C) (A B)C( (A B) ( C) ) (A B)C

(() B) (C D) ) AB (CD)((A B) (C D) ) (AB) CD

Obs.2: Note que as tabelas verdade de A (B C) e de (A B) C são diferentes. O uso de parênteses não pode ser omitido nesse caso.

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SemânticaA semântica vai associar um valor (T ou F) a cada fórmula da

linguagem prposicional. Usando o teroema da recursão vamos ver que esse valor é unicamente determinado pelos valores associados às letras sentenciais. Considere as funções abaixo definidas sobre valores T e F.

a) E e E(e)T FF T

b) E e1 e2 E(e1,e2) T T T

T F FF T FF F F

c) E e1 e2 E(e1,e2)T T TT F TF T TF F F

d) E e1 e2 E(e1,e2)T T TT F FF T TF F T

e) E e1 e2 E(e1,e2)T T TT F F

F T FF F T

O significado pretendido dos conectivos estará associado às tabelas acima. Os significados de e está bem refletido nas tabelas E e Eisto é dizemos que "" é verdade , se ambos " e o são", " é verdade", se

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" não o for". Já o significado de é o ou não inclusivo. O significado pretendido de pode ser melhor entendido pelo exemplo a seguir:Suponha que um comprador lê um anúncio no jornal dizendo que ao levar aquele anúncio o comprador terá um desconto de 10% na compra de qualquer artigo da loja, isto é: se levar o anúncio, então terá 10% de desconto. Considere as quatro possibilidades abaixo:1. o comprador leva o anúncio e recebe o desconto;2. o comprador não leva o anúncio, mas mesmo assim recebe o desconto;3. o comprador não leva o anúncio e não recebe o desconto;4. o comprador leva o anúncio e não recebe o desconto.Em que circunstâncias o comprador poderia reclamar com o PROCOM por propaganda enganosa? Claro que sòmente no quarto caso o comprador poderia alegar que o anúncio era mentiroso. Assim é o significado pretendido de : a única maneira em que " é falso", é quando " fôr verdade" e " fôr falso". De todas as outras formas possíveis, " é verdade".

Agora,vamos dar esta noção do significado pretendido mais formalmente. Pelo teorema da recursão, já que o conjunto das fórmulas proposicionais é livremente gerado a partir das letras sentenciais pelas funções geradoras f, f, f, f, f, dada uma fórmula e uma atribuição de valores (T/F) a seus símbolos não lógicos, fica determinado de maneira única, através da funções E, E, E, E, E, o significado da fórmula (T ou F). Por exemplo, dada uma função h que associa os valores (T ou F) às letras proposicionais , o valor h’()=E (h’(),h’()).

Considere a árvore do exemplo anterior. Atribuindo-se o valor T a C e A e o valor F a B temos:

(T)((A B) (( C) (A C)))

(F) (T) .(A B) (( C) (A C))

(T) (F) (F) (T)

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A B ( C) (A C)

(T) (T) (T)

C A C.

Observe que se a fórmula tiver n símbolos sentenciais, existem 2n

possíveis atribuições de valores para seus símbolos (equivalentemente, 2n

possíveis valores verdade para a fórmula). Todos estes valores podem ser colocados numa tabela denominada Tabela Verdade.

[Procedimento de decisão?]

DefiniçãoAs fórmulas que têm valor T (F) para todas as entradas na sua tabela

são chamadas de tautologias ou válidas (contradições). As demais são chamadas contingentes.

Exemplos de tautologias e contradições

Tautologias ContradiçõesA A A

A A (C D B) A A(A B)AB

DefiniçõesDadas duas fórmulas e dizemos que implica tautologicamente, se é uma tautologia. Usaremos a notação |= para indicar implica tautologicamente .

é tautologicamente equivalente a se é uma tautologia. Usaremos a notação eqpara indicar é tautologicamente equivalente a .[eqé uma relação de equivalência nas fórmulas do cálculo proposicional ]3) Dadas as fórmulas 1, 2, 3, ... n e , 1, 2, 3, ... n implicam tautologicamente , se (1 2 3 ... n) é uma tautologia.

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Usaremos a notação 1, 2, 3, ... n |= para indicar n implica tautologicamente Exemplos|=B A B |=BB eqB A |= B {A, B}|=B {B,C} |=BC

Proposição1, 2, 3, ... n implicam tautologicamente , se e só se, sempre que 1, 2, 3, ... n têm valor T, o valor de também é T.

A proposição acima facilita a tarefa de determinar se um condicional é uma tautologia sem a construção de sua tabela pois para verificar que 1, 2, 3, ... n não implica tautologicamente em basta determinar uma linha da tabela que faça as fórmulas 1, 2, 3, ... n tomarem valor T e tomar o valor F.Por exemplo, para verificar se (A B) (A D) (B D) é tautologia basta verificar se A B, A D |= B D. Neste caso a resposta é não, já que a atribuição que dá T a B e dá F a A e D, faz A B e A D tomarem o valor T e B D tomar o valor F.

ExemploQueremos determinar se A B, A C e C B implicam

tautologicamente em B.As entradas da tabela das possíveis atribuições de T/F às letras A, B e C que devem ser consideradas são aquelas que fazem as fórmulas A B, A C e C B tomarem o valor T, simultaneamente.

A B C A B A C C B BT T T T T T TT T F T T T TF T T T T T TF F F T T T T

Para cada uma dessas entradas temos B tomando o valor T, portanto temos resposta positiva.As seguintes proposições seguem das definições anteriores.

Proposição Se é uma tautologia, então |= se e só se é uma tautologia.

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Proposição Se é uma contradição, então |= para toda fórmula.

Proposição Se é uma tautologia, então |= para toda fórmula .

O teorema seguinte permite respondermos afirmativamente a pergunta "é uma tautologia?", sem termos a necessidade de construir a tabela de verdade de .

Teorema da tautologiaSeja uma fórmula cujas letras seqüenciais são P1, P2, ..., Pn. Seja ’ o

resultado de substituir cada ocorrência de Pi por uma fórmula i , i = 1..n. Se é uma tautologia, então ’ também é uma tautologia.

DemonstraçãoSeja dada uma atribuição de valores T/F às letras sentenciais de ’.

Para se obter o valor de ’, será necessário obter os valores das subfómulas i. A partir desses valores a manipulação dos valores T/F que se faz para obter o valor de ’, é a mesma que se faz quando esses valores de i são atribuídos a Pi, i=1..n. Como é tautologia, o valor de para essa atribuição é T, portanto o valor de ’ é T também.

Exemplo de aplicação do teorema:(P Q) ((Q (R S T)) (P (R S T))) é uma tautologia porque é uma substituição das letras sentenciais da tautologia : (A B) ( (B C) (A C)).

Observe que o teorema não vale se partimos de uma fórmula que não é uma tautologia, isto é não temos garantia de obtermos uma fórmula contingente a partir da substituição das letras de uma fórmula contingente: P Q não é tautologia, mas substituindo P por Q, obtemos uma tautologia.

O próximo teorema vai permitir que se façam manipulações simbólicas em fórmulas sem que se mude o seu significado.

Teorema da substituição Seja uma fórmula onde ocorre a subfórmula e’ o resultado de

substituir em uma ou mais ocorrências da subfórmula pela fórmula .

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Se for tautologicamente equivalente a então é tautologicamente equivalente a ’.DemonstraçãoPor indução na estrutura da fórmula

ExemploTomando (R S) (Q P), com Q P temos que (R S) (Q P) eq (R S) ( Q P)), já que Q P eq Q P.

As definições abaixo estendem os conceitos já vistos para conjuntos de fórmulas.

DefiniçõesSejam um conjunto de fórmulas, v uma atribuição de valores (T/F) às letras sentenciais e uma fórmula, diz-se que:

1) v satisfaz se todas as fórmulas que estão em tomam valor T com a atribuição v

é satisfatível se existe uma atribuição de valores v que satisfaz 3) é uma conseqüência de se para toda atribuição de valores v,

se v satisfaz então v dá valor T a . (confrontar essa definição com o conceito de implicação tautológica).Usa-se a notação |= para indicar queé uma conseqüência de

Exemplo{pqr, prs} |= pqs {pr, p } |= r

Se é o conjunto vazio, usamos a notação |= Note que neste caso a definição coincide com a de ser uma tautologia.Usa-se a notação | para indicar que NÃO É uma conseqüência de .

Exercícios

1) Se é satisfatível, então é satisfatível ou é satisfatível?2) Se é tautologia, então é tautologia ou é tautologia?

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Representação do conhecimento usando Lógica proposicional

Os símbolos lógicos podem ser associados a conjunções / palavras do português:

associado a "não" associado a "e" associado a "ou " associado a "se e só se" associado a "se .... então"

Assim, dada uma frase em português, pode-se associar uma fórmula da linguagem do cálculo proposicional, atribuindo símbolos sentenciais às partes da sentença que não possuem nenhuma conjunção ou palavras que possam ser associadas aos símbolos lógicos.

Exemplos:1) Associando-se C a "Está chovendo lá fora "; R a "A rua está molhada"; Q a "está quente aqui dentro" e F a "Está frio lá fora", temos a seguinte representação simbólica:

C Q para "Está chovendo lá fora e está quente aqui dentro"C Q para "Está chovendo lá fora mas está quente aqui dentro"C FQ para "Está chovendo e frio lá fora e está quente aqui dentro" C F para "Está chovendo lá fora mas não está frio"C F ou C F ) para "Nem chove nem faz frio"CR para "Uma condição suficiente para a rua estar molhada é que esteja chovendo"

2) Associando-se T a "Um triângulo é isósceles"; L a "Um triângulo tem dois lados iguais"; P a "Duas retas são paralelas"; I a "Duas retas se interceptam" e Co a "Duas retas são coincidentes" temos as seguintes representações simbólicas:L T para "Um triângulo é isósceles se tem dois lados iguais"P ( I Co ) para "Uma condição necessária para duas retas serem paralelas é que elas não se interceptem nem coincidam"

3) Associando-se O a "Oscar vai ser reprovado em lógica"; E a "Oscar estuda lógica"e Exerc a "Oscar faz exercícios de lógica", temos as seguintes representações simbólicas:O E Exerc ) ou E Exerc ) O para "Oscar vai ser reprovado em lógica a não ser que estude lógica e faça os exercícios de lógica"

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Exercícios: Verificação de satisfatibilidade de conjuntos:

Quebra cabeças lógicos1. Artur, (A) , Beth, (B), Carlos (C), e Dora(D), tem diferentes profissões: Advogado (L), Piloto, (P),Veterinário (V), e Professor (T), não necessariamente nessa ordem. Em cada caso abaixo decida se as condições são satisfatíveis e se a profissão de cada pessoa pode ser unicamente determinada.

caso a: (1) V não é A nem C;(2) B não é V nem P;(3) C não é L nem P; (4) D não é L.

caso b: (1) V não é A nem C; (2) B não é P nem T; (3) C não é L nem P;(4) D não é V nem P;(5) L não é B nem D.

2. Quatro amigos, Artur, Beth, Carlos e Dora, são suspeitos de assassinato. Eles deram os seguintes depoimentos:

Artur: “Se a Beth for culpada, a Dora também é.”Beth: “Artur é culpado, mas a Dora não.”Carlos: “Eu não sou culpado, mas Artur ou Dora são culpados.”Dora: “Se Artur não é culpado, então Carlos é.”

a. Cada depoimento é satisfatível? O conjunto consistindo de todos os depoimentos é satisfatível?

b. Se todos estiverem falando a verdade, quem é o culpado?c. Se o(s) culpado(s) mente(m) e o(s) inocente(s) fala(m) verdade, quem é

(são) o(s) culpado(s)?

3. Uma ilha distante, chamada TUFA, é habitada por pessoas de duas raças: os da raça Tu, que sempre falam a verdade, e os da raça Fa, que sempre falam mentira. Numa primeira visita à ilha Dr. Livingstone encontrou três nativos, Rau, (R), Simbá, (S) e Tou (T). Cada um deles fez as seguintes afirmativas:

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- Rau: S e T não pertencem à mesma raça.- Simbá: R é um Tu.- Tou: R é um Fa.

Dr. Livingstone é capaz de determinar a raça de cada um desses nativos?

Numa outra visita à ilha Tufa, Dr. Livingstone encontrou outros 4 nativos: Milo (M), Num (N), Oug (O) e Paim (P), que estavam sentados num círculo como o abaixo:

M

O

N

P

Dr. Livingstone fez a seguinte pergunta a cada um deles: “Você e a pessoa que está à sua direita pertencem à mesma raça?”, tendo recebido as seguintes respostas :- M e N responderam “Sim”- P e O responderam “Não”.

Dr. Livingstone pode determinar a raça de cada um dos nativos encontrados?

Exercícios páginas 46-52 (Rubin).

PROPRIEDADES SINTÁTICAS DE LÓGICA PROPOSICIONAL

Manipulação simbólica de fórmulas para obtenção de fórmulas na forma normal disjuntiva/conjuntiva

DefiniçãoUm literal é uma fórmula atômica ou a negação de uma fórmula atômica.

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Dada uma fórmula de lógica proposicional ,- existe uma fórmula ' equivalente à fórmula tal que ' é da forma: n onde i é da formak e j é um literal para j=1...k.Diz que a fórmula' está na forma normal disjuntiva e é uma forma normal disjuntiva de - existe uma fórmula ' equivalente à fórmula tal que ' é da forma:n onde i é da formak e j é um literal para j=1...k.Diz que a fórmula' está na forma normal conjuntiva e é uma forma normal conjuntiva de

Algoritmo para obtenção de fórmulas na forma normal disjuntiva (conjuntiva)entrada: saída: uma forma normal disjuntiva (conjuntiva) de

1) Elimine os conectivos eisto é:Substitua:

() por () por ) por por

até que os conectivos enão ocorram mais.

( note que pelo teorema da substituição a fórmula resultante é equivalente à

2) Mova para o interior da fórmula, isto é: Substitua:

por por por

até que cada ocorrência de preceda imediatamente uma fórmula atômica.

( note que pelo teorema da substituição a fórmula resultante é equivalente à fórmula obtida no passo anterior, que por sua vez é equivalente a

3)3a) Obtenha uma forma normal disjuntiva, i.e.

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Na fórmula resultante do passo 2 distribua o sobre ousando as equivalências(eq ( () (eq () (

ou

3b) Obtenha uma forma normal conjuntiva, i.e. Na fórmula resultante do passo 2 distribua o sobre ousando as equivalências(eq ( () (eq () (

4) Simplifique (opcional)Transforme a fórmula resultante do passo anterior em outra mais simples ' tal que ' ainda esteja em forma normal disjuntiva (conjuntiva) e que seja equivalente a .( por exemplo1. elimine todas as ocorrências duplicadas de um literal em uma das disjunções de ;2. elimine todas as disjunções que contêm um literal e a sua negação)

Observe que em cada passo do algoritimo a fórmula resultante é equivalente à fórmula do passo anterior. Logo, por transitividade, a saída do algoritmo é uma fórmula equivalente à fórmula de entrada.

Sistema Dedutivo (preliminares)

Dado um conjunto de regras de inferência de um sistema dedutivo, uma prova (derivação, dedução) de a partir de um conjunto de premissas é construida por aplicação repetida de regras de inferência do sistema a partir de fórmulas de terminando em A maneira de representar esta construção pode ser na forma de lista ou de ávore.

Usaremos a notação: |-- para indicar que existe uma prova de a partir de ( 1, 2, 3, ... , n |-- no caso de 1, 2, 3, ... , n}).

Uma refutação num sistema dedutivo é uma prova de uma fórmula insatisfatível.

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Um conjunto de premissas é inconsistente se fôr possivel haver uma refutação a partir dele. Por exemplo, se |-- , para alguma fórmula

Um conjunto de premissas é consistente se não é inconsistente. Diz-se que um sistema dedutivo é correto quando |-- implica em

|= i.e. o sistema só deduz conseqüências das premissas. Assim, o sistema é correto pois só deriva o que é esperado, isto é não nos surpreende derivando uma conclusão que não é conseqüência das premissas.

Diz-se que um sistema dedutivo é completo quando |= implica em |-- i.e. o sistema deduz tudo o que se espera dele: todas as conseqüências das premissas.

ExercícioVocê seria capaz de pensar em um sistema dedutivo completo? e num sistema dedutivo correto?

Vamos apresentar a seguir 3 sistemas dedutivos para a lógica proposicional.

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