Lógica Proposicional SAT e Custo Computacional. O problema SAT Dada uma fórmula proposicional =...
Transcript of Lógica Proposicional SAT e Custo Computacional. O problema SAT Dada uma fórmula proposicional =...
Lógica Proposicional
SAT e Custo Computacional
O problema SAT Dada uma fórmula proposicional
= (a b) ( a b c) Determinar se é satisfazível
Problema de decisão Para n símbolos proposicionais, são
necessárias 2n linhas numa tabela verdade e 2m+1 colunasa
b b
c c c c
0
0 0
00 001
1 1
1 1 1
1
Aplicações Um “resolvedor de SAT” é a principal
ferramenta computacional para: Em Inteligência Artificial:
Programação em lógica Provadores de teoremas
Em Projeto Automático de Componentes Eletrônicos:
Teste e Verificação Síntese
Escalonamento Planejamento …
Custo Computacional O custo (determinístico) de SAT é dito
exponencial Não-determinísticamente, o custo de SAT cai
para cerca de 2m+1 2m+1 é o número de sub-proposições, por
indução m= no. de conectivos da fórmula Custo não-deterministicamente polinomial (NP) Testam-se apenas algumas linhas da tabela
Complexidade Computacional
Criação da classe de problemas NP-CompletoS. A. Cook, The complexity of theorem proving
procedures, Proceedings, Third Annual ACM Symp. on the Theory of Computing,1971, 151-158
Abordagem mais simples: B. Hayes, Can’t get no satisfaction, American
Scientist, Vol. 85, nr. 2, Mar-Apr 1997, 108-112
Complexidade Computacional (cont.) Algoritmos deterministicamente
polinomiais: logarítmico, linear quadrático, cúbico (log n, n, n**2, n**3, …, n**500,…)
Algoritmos exponenciais (ou não-deterministicamente polinomiais): 2**n,n**n,n**log n
Algoritmos exponenciais são mais lentos que os polinomiais para valores altos de n
Polinomiais são preferíveis!
Complexidade e SAT 1-SAT:linear (um literal por
subfórmula) 2-SAT: linear (com fases)
(x11 OR x12) AND(x21 OR x22) AND(x31 OR x32) AND…
3-SAT: NP-completo (x11 OR x12 OR x13) AND
(x21 OR x22 OR x23) AND(x31 OR x32 OR x33) AND ...
O problema são os conflitos, que diminuem a satisfabilidade!
Não existe um algoritmo polinomial para todas as instâncias do problema SAT, a não ser que P = NP
Vira deterministicamente polinomial quando as sentenças viram
2-SAT (no máximo 2 símbolos proposicionais por fórmula)
Cláusula de Horn – 1-SAT (No máximo 1 símbolo proposicional positivo em todas as sub-fórmulas)
Resolvedores de SAT
Davis-Puttnan DPLL Resolução
Todas elas exigem que a fórmula esteja na forma normal conjuntiva
Forma normal conjuntiva Uma fórmula está na forma normal
conjuntiva (fnc ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de disjunções de literais
F é da forma F1 ^ F2 ^ ... ^ Fn, onde Fi é uma disjunção (da forma
A1 v A2 v ... v An ) e Ai é um literal
Ex: G=(PvQ) ^ (RvQvP) ^ (PvS)
Algoritmos para obter CNF usando leis (repetidamente) 1 -Leis de eliminação
PQ = (PvQ) P Q = (P Q)^(Q P)
2 -Lei da negação (H) H
2 -Leis de De Morgan (PvQ) = P ^ Q (P^Q) = P v Q
3 -Leis distributivas: F v (G^H) = (FvG) ^ (FvH) F ^ (GvH) = (F^G) v (F^H) (não usada para
CNF)
Notação na forma de conjuntos H=(PvQvR)^(PvQ)^(PvP) Representação na forma de
conjuntos: H={[P,Q,R],[P,Q],[P]} Note que
(PvQvR) = [P,Q,R] (PvP)=[P]
Não é necessário representar duplicidade na forma de conjuntos
Cláusulas e literais complementares
Cláusula em lógica proposicional é uma disjunção de literais Usando a notação de conjuntos: C1=[P,Q,R], C2=[P,Q], C3=[P]
Dois literais são complementares quando um é a negação do outro
Resolvente de 2 cláusulas Supondo 2 cláusulas C1=[A1,..., An]
e C2=[B1, ..., Bn], com literais complementares A, um conjunto de literais em C1, tal
que -A, um conjunto de literais
complementares a A, estão em C2 Resolvente de C1 e C2: Res(C1,C2)=(C1-A)U(C2- -A) Res(C1,C2) pode ser {}
Resolvente vazio ou trivial
Exemplo de resolvente
C1=[P,Q,R] e C2=[P,R] Res (C1,C2) = [Q,R], que também
é uma cláusula D1=[P,Q] e D2=[P,Q] Res (D1,D2) = {}, que também é
uma cláusula
a + b + g + h’ + fa + b + g + h’
Idéia básica em todos os algoritmos: Resolução Resolução de um par de cláusulas com exatamente
UMA variável incompatível
a + b + c’ + f g + h’ + c + f
E se tivermos mais de uma variável incompatível?
(a + b)
(a + b’) (a’ + c) (a’ + c’)
Algoritmo de Davis Putnam
M .Davis, H. Putnam, “A computing procedure for quantification theory", J. of ACM, Vol. 7, pp. 201-214, 1960
Escolher uma variável a cada iteração para resolução até elas acabarem
INSAT se aparecer a cláusula vazia Descarta as cláusulas resolvidas depois de cada iteração
(a + b + c)
(b + c’ + f’)
(b’ + e)
(a + c + e)(c’ + e + f’)
(a + e + f’)
(a’ + c) (a’ + c’)
(c)
(c’)
( )SATINSAT
(a)
Pode explodir a memória!!!
Algoritmo DPLL
(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
Algoritmo DPLL
(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
a
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
Decisão
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0 Decisão
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0 Decisão
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0
d=1
c=0
(a + c + d)a=0
d=0(a + c + d’)
Conflict!Grafo de Implicação
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0
d=1
c=0
(a + c + d)a=0
d=0(a + c + d’)
Conflict!Grafo de Implicação
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0
Backtrack
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0
d=1
c=1
(a + c’ + d)a=0
d=0(a + c’ + d’)
Conflict!
1 Decisão Forçada
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0 1
Backtrack
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0 1
1 Decisão Forçada
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0
d=1
c=0
(a + c’ + d)a=0
d=0(a + c’ + d’)
Conflict!
1
c
0
1
Decisão
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0 1
c
0
1
Backtrack
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0
d=1
c=1
(a + c’ + d)a=0
d=0(a + c’ + d’)
Conflict!
1
c
0 1
1
Decisão Forçada
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0 1
c
0 1
1
Backtrack
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0 1
c
0 1
1
1 Decisão Forçada
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0 1
c
0 1
1
1
b
0 Decisão
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0 1
c
0 1
1
1
b
0
c=1
b=0
(a’ + b + c)a=1
c=0(a’ + b + c’)
Conflito!
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0 1
c
0 1
1
1
b
0
Backtrack
Algoritmo DPLLa
0(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0 1
c
0 1
1
1
b
0 1
a=1
b=1
c=1(a’ + b’ + c)
Decisão Forçada
Algoritmo DPLLa
(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0 1
c
0 1
1
1
b
0 1
a=1
b=1
c=1(a’ + b’ + c) (b’ + c’ + d)
d=1
0
Algoritmo DPLLa
(a + c + d)(a + c + d’)
(a + c’ + d)(a + c’ + d’)
(a’ + b + c)
(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)
b
0
c
0 1
c
0 1
1
1
b
0 1
a=1
b=1
c=1(a’ + b’ + c) (b’ + c’ + d)
d=1
SAT
0
Análise de DPLL e assorted… Podem ser usados para provar tanto
satisfatibilidade quanto insatisfatibilidade Mas DPLL não faz busca exaustiva, então não prova
insatisfatibilidade (e portanto conseqüência lógica) WalkSAT (método incompleto):
Estado Inicial: sorteia valorações de variáveis pré-ordenadas
Operador de busca: Pega uma cláusula ainda insatisfeita e um literal nela Sorteia uma valoração pro literal
A cada passo, escolhe aleatoriamente entre as seguintes estratégias para pegar um literal:
Pega o literal cujo sorteio resulta na maior redução no número de cláusulas insatisfeitas
Pega um literal aleatório
Métodos de Busca (GSAT, WSAT)
Cost
Solution Space
Global
minimum
Local Minima
Com Lógica de Predicados, o método mais popular é a
resolução
Prova por resolução
Método por refutação Dadas uma fórmula H e Hc, a
forma clausal associada a H Uma Prova de H por resolução é
uma expansão fechada sobre Hc H é um teorema do sistema de
resolução
Exemplo de Prova por resolução
H=((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^ (P3P4)) P4
Determinar Hc associada a H Hc=(((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^
(P3P4)) P4)) =(((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^(P3P
4))vP4) =(P1vP2vP3)^(P1vP4)^(P2vP4)^(P3vP4)
^ P4 ={[P1,P2,P3],[P1,P4],[P2,P4],[P3,P4],
[P4]} Agora, é só fazer a expansão por resolução!
Exemplo de Prova por resolução (cont.) 1. [P1,P2,P3] 2. [P1,P4] 3. [P2,P4] 4. [P3,P4] 5. [P4] 6. [P2,P3,P4] Res(1,2) 7. [P3,P4] Res(3,6) 8. [P4] Res(4,7) 9. {} Res(5,8)
Exercício de Conseqüência Lógica por Resolução Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um
perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente
“Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??
Solução
Provar H=(P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1
Mostrando que H é absurdo (P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1))
P1) gera uma expansão por resolução fechada a partir da sua forma clausal?
Lógica de Predicados
Sintaxe
Alfabeto da Lógica de Predicados Símbolos de pontuação: (,) Símbolos de verdade: false, true Conjunto enumerável de símbolos para
variáveis: x, y, z, w, x1, y1, x2, z2... Conjunto enumerável de símbolos para
funções: f, g, h, f1, g1, f2, g2... Conjunto enumerável de símbolos para
predicados: p, q, r, s, p1, q1, p2, q2... Conectivos proposicionais: ,v, ,
Termos São construídos a partir destas
regras: Constantes e variáveis são termos
(representam objetos) Se t1, t2, ..., tn são termos
f é um símbolo de função n-ária, então f(t1, t2, ..., tn) também é um termo
Exemplos de termos x, a (constante, função zero-ária) f(x,a) se e somente se f é binária g(y, f(x,a), c) se e somente se g é
ternária +(9,10), -(9,5)
interpretados como 10+9, 9-5 Notação polonesa
h(x,y,z), considerada implicitamente como ternária
Átomos São construídos a partir destas
regras: O símbolo de verdade false é um
átomo Se t1, t2, ..., tn são termos
p é um símbolo de predicado n-ário então p(t1, t2, ..., tn) é um átomo
Exemplos de átomos P (símbolo proposicional)
Predicado zero-ário) p(f(x,a),x) se e somente se p é binário q(x,y,z) considerado implicitamente
como ternário Ex: >(9,10), =(9,+(5,4))
interpretados como 10>9, 9=5+4 Interpretados como T Note os abusos de linguagem
> e = são predicados + e – são funções
Fórmulas
São construídos a partir destas regras: Todo átomo é uma fórmula da Lógica
de Predicados Se H é fórmula então (H) também é Se H e G são fórmulas, então (HvG)
também é Se H é fórmula e x variável, então
((x)H) e ((x)H) são fórmulas
Construção de fórmulas
Átomos p(x), R e false ((p(x)) v R) Que equivale a (p(x) R)
também fórmula ((x) p(x) R)
Expressão = termo v fórmula
Correspondência entre quantificadores
((x)H)= ((z)(H)) ((x)H)= ((z)(H))