Lógica Proposicional

Dedução Natural

Conseqüência lógica Definição informal:

Uma fórmula é uma conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira.

Definição formal: Dada uma fórmula H e um conjunto

de hipóteses , H é conseqüência lógica de num sistema de dedução, se existir uma prova de H a partir de

Notação de Conseqüência Lógica e Teorema Dada uma fórmula H, se H é

conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses ={H1,H2,...Hn}, diz-se que: ├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H

Uma fórmula H é um teorema se existe uma prova de H que não usa hipóteses ├ H

Cálculo Proposicional

Cálculo = Lógica + Sistema de Prova (ou dedução)

Um sistema de prova serve para analisar e raciocinar sobre argumentos de uma lógica, de maneira a prová-los válidos ou inválidos.

Sistema de dedução natural

Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de fórmulas da Lógica

Proposicional Conjunto de regras de dedução (ou

regras de inferência)

Regras de inferência de dedução natural Servem para inserção e retirada de

conectivos lógicos, criando derivações Regras de Introdução Regras de Eliminação

Chama-se dedução natural por estar próxima da maneira como nós raciocinamos quando queremos (informalmente) provar um argumento.

Prova

Dados H uma fórmula e um conjunto de fórmulas (hipóteses)

Uma prova de H a partir de é uma derivação onde As regras de inferência são aplicadas

tendo como premissas fórmulas de A última fórmula da derivação é H

Regras de inferência - conjunção

Eliminação da conjunção (^E): H^G H^G

H G

Sócrates e Platão eram gregos; logo, Sócrates era grego

Regras de inferência - conjunção

Introdução da conjunção (^I): H G -> derivação

H^G

Platão era grego; Aristóteles era grego; logo, Platão e Aristóteles eram gregos

Exemplo de prova P ^ Q, R |- Q ^ R

P ^ Q (Premissa) Q (^E) R (Premissa)

Q^R (^I)

Exercícios: (P^Q) ^ R, S^T |- Q^S P^Q |- Q^P (P^Q) ^ R |- P ^ (Q^R)

Regras da Dedução Natural - implicação Eliminação da implicação (E)

H H G G

Se Deus existe, a vida é sagrada; Deus existe, logo, a vida é sagrada

Regras da Dedução Natural - implicação Introdução da implicação (I)

[H] (hipótese eliminada)|

G . H G

A neve é branca; logo, tem cor. Se a neve é branca, tem cor.

Exemplo de eliminação da implicação

P^Q, (P (Q R)) ├ (Q R) P^Q

P (^E) P (Q R) (premissa) (Q R) (E)

Exemplo de introdução da implicação ├ (P ((PQ)Q) Supor os antecedentes Eles não poderão ser usados

depois

[P] [(PQ)] (hipóteses) Q (E)

(PQ)Q) (I)(P ((PQ)Q) (I)

Exercício

├ (P(Q P)) ├ (P(Q R)) ((P^Q)R))

Exercícios

1. {P^Q, (P^Q)(R^P)} |- R^P

2. {P (Q R), PQ, P} |- R 3. {P (P Q), P} |- Q

Regras da Dedução Natural- disjunção Introdução da disjunção (vI)

H G . HvG HvG

Um ser é um Homem se, e só se, for racional; logo, se um ser for um Homem, é racional, e se for racional, é um Homem

Regras da Dedução Natural- disjunção Eliminação da disjunção (vE)

[H] [G] (hipóteses) D1 D2

HvG E EE

Ou Deus existe,ou não existe. Se existe, não se pode torturar crianças por prazer. Mas se não existe, não se pode igualmente torturar crianças por prazer. Logo, em qualquer caso, não se pode torturar crianças por prazer.

Exemplo de Eliminação da disjunção

{PvQ,Q,P} |- false

PvQ .[P] P (prem.) [Q] Q (prem.)

false falsefalse

Regras da Dedução Natural- negação

De uma derivação de uma contradição (false) a partir de uma hipótese H, pode-se descartar a hipótese e inferir H e vice-versa

[H] (I) [H] (E ou RAA) | |

false false reductio ad H H absurdum

Exercícios: HH e H H

Regras da Dedução Natural- negação

Reductio ad Absurdum

[H] (I) |

B^ B A Quem não tem deveres não tem direitos;

os bebés não têm deveres; logo, não têm direitos; mas os bebés têm direitos; logo, é falso que quem não tem deveres não tem direitos

Exercício

Mostre que o seguintes argumento é válido:

Se este argumento for incorreto e válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.

Solução

Identificando as Sentenças: P: as premissas deste argumento são

verdadeiras. S: este argumento é correto. V: este argumento é válido.

Formalizando:{(S ^ V) P, P, V} ├ S

Exercício

Deus não existe. Pois, se Deus existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado. Prove isso!

Quando tudo o mais falhar

EFQ: ex falso quodlibet ou regra da contradição

Podemos estar loucos, então qualquer literal é aceitável!

false H

Prova de EFQ

{P, P} ├ Q Q . P P (prem.) false

Q (E)

Exemplo

Prove o Silogismo Disjuntivo, usando EFQ: {P v Q, P} ├ Q

Lógicas clássicas

Lógica minimal: {^v} x {IE} Lógica intuicionista =

Lógica minimal U EFQ

Exercícios {P (QR), P, Q} |= R {P Q, P} |= Q {P (Q ^ R), P} |= P ^ Q {(P ^ Q) (R ^ S), P, Q} |= S

{AB, C(DvE), DC, AE} |= (C B)

{Cv(B A), A R, (B R) S} |= (C S)