Lógica Proposicional

Lógica Proposicional

Até agora estudamos a Lógica de maneira informal.

A Lógica formal é o estudo de formas de argumento, isto é, regras de raciocínio comum em vários argumentos.

Formas de Argumento Exemplos:

1. . Hoje é segunda-feira ou sexta-feira. . Hoje não é segunda-feira. Hoje é sexta-feira.2. . Rembrandt pintou a Mona Lisa ou

Michelângelo a pintou. . Não foi Rembrandt quem a pintou. Michelângelo pintou a Mona Lisa.

3. . Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável. . Ele não é menor de 18 anos. Ele é um irresponsável.

Formas de Argumento

Os 3 argumentos são da seguinte forma: . P ou Q. Não é o caso que é P Q

As letras P e Q representam sentenças declarativas: (símbolos sentenciais).P pode representar: Hoje é segunda-feira.Q pode representar: Hoje é sexta-feira.

Formas de Argumento

Com essa representação para P e Q, simbolizamos o argumento 1 do exemplo.

Os argumentos 1, 2 e 3 são variantes gramaticais ou instâncias dessa mesma forma.

Esta forma de argumento (ou regra) é conhecida como silogismo disjuntivo.

Formas de Argumento A lógica trata de formas de argumentos

que consistem de letras sentenciais combinadas com as expressões: Não é o caso que negação E conjunção Ou disjunção Se ... Então condicional Se e somente se bicondicional

Essas expressões são chamadas de operadores ou conectivos lógicos.

Formas de Argumento

Conectivo Não é o caso que

Essa epressão prefixa uma sentença para formar uma nova sentença, a negação da primeira.Exemplo: ‘Não é o caso que ele é fumante‘

é a negação da sentença ‘Ele é fumante'.

Variações gramaticais dessa negação: ´Ele é não-fumante’, ´Ele não é fumante’ ´Ele não fuma’.

Formas de Argumento

Conectivo E Uma composição constituindo-se de

duas sentenças ligadas por 'e' chama-se conjunção.

Exemplo: Chove e faz calor

A conjunção também pode ser expressa por palavras como: 'mas', 'todavia', 'embora', 'contudo', ...

Chove mas faz calor

Formas de Argumento

Conectivo Ou Um enunciado composto

consistindo de duas sentenças ligadas por 'ou' chama-se disjunção.

Exemplo: Chove ou faz calor

Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Enunciados do tipo se... então ...

chamam-se condicionais.

O enunciado subsequente ao 'se' chama-se o antecedente e o subsequente ao 'então' chama-se o conseqüente.

Forma do condicional:Se antecedente então consequenteEx: Se sinto frio então visto o casaco

Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Se antecedente então consequente

O antecedente é condição suficiente para ocorrência do consequente

O consequente é condição necessária para ocorrência do antecedente

Se o antecedente for verdadeiro, o consequente também tem, necessariamente que ser verdadeiro

Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Exemplo: Se é Juiz então é advogado e aprovado na OAB

o fato de ser juiz é suficiente para ser advogado

para alguém ser juiz é necessário que seja advogado e aprovado na OAB, mas não são suficientes

Além dessas condições, também é necessário ter dois anos de experiência e ser aprovado em concurso

As quatro condições são necessárias para ser juiz. Neste caso, as 4 condições são suficientes para ser um juiz.

Formas de Argumento

Conectivo Se ... entãoExemplo: Que condições são

necessárias para um aluno ser aprovado em lógica? Se o aluno foi aprovado então

assistiu aula,estudou, fez muitos exercícios de lógicateve um bom método de estudo ......

Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Exemplo:

Se tem fumaça tem fogo ouO fogo é uma condição necessária para a fumaça

Exemplo:Se chover então molha a rua é suficiente chover para você deduzir

que a rua fica molhada o fato da rua ficar molhada não garante

que choveu

Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Uma proposição condicional também

pode ser expressa na ordem inversa.

Visto o casaco se sentir frio

mantém a semântica de

Se sentir frio, visto o casacoSe sentir frio então visto o casaco

Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Variações gramaticais da condicional:

Se P então Q P implica em Q; P, logo Q P só se Q; P somente se Q P apenas se Q; P só quando Q Q se P ; Q segue de P P é condição suficiente para Q Q é condição necessária para P

Formas de Argumento

Conectivo Se e somente se

Os enunciados formados com a expressão ...se e somente se... são chamados bicondicionais.

Exemplo: T é um triângulo se e somente se T é um polígono de três lados

Formas de Argumento

Conectivo Se e somente se Um bicondicional pode ser considerado

uma conjunção de dois condicionais:

1. P se e somente se Q 2. P se Q e P somente se Q 3. Se Q então P e P somente se Q 4. Se Q então P e Se P então Q que equivale a: 5. Se P então Q e Se Q então P

Formas de Argumento

Formalização Para facilitar o reconhecimento e

comparação de formas de argumento, cada operador lógico é representado por um símbolo: Não é o caso que: ~ ou ┐ E: ^ ou & Ou: v Se ... então: Se e somente se:

Ordem de prioridade: ~ , ^, v, ,

Formas de Argumento

Formalização Com os símbolos lógicos e os símbolos

sentenciais, o Silogismo Disjuntivo é representado (simbolizado) na Forma Padrão:

. P v Q

. ~P Q

Ou{ P v Q , ~P} ├ Q

Formas de Argumento

Formalização

{ P v Q , ~P} ├ Q

O traço de asserção (afirmação), ├ ,significa dizer que Q é deduzido (provado) apenas dos enunciados (premissas) P v Q e ~P.

Formas de Argumento Formalização

A linguagem consistindo das letras sentenciais e dos operadores lógicos juntamente com as regras a serem empregadas, chama-se a Lógica Proposicional ou Cálculo Proposicional.

A palavra Cálculo é empregada no sentido de avaliação ou raciocínio e não no sentido de diferenciação ou integração

O objetivo fundamental do Cálculo/Lógica é provar a validade de certas formas de argumento.

Formas de Argumento Formalização

Uma forma de argumento é válida se todas as suas instâncias são válidas.

Uma forma de argumento é inválida se pelo menos uma de suas instâncias é inválida.

Uma instância de uma forma de argumento (um argumento particular) é válida somente quando é impossível que a sua conclusão seja falsa enquanto suas premissas são verdadeiras. Caso contrário ela é inválida.

Formas de Argumento Formalização

Mesmo para uma forma de argumento válida, nem todas as instâncias são corretas. Exemplo:

O argumento da Mona Lisa (exemplo 2) tem a forma válida mas é incorreto‘ Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou’ é uma premissa Falsa.

O Silogismo disjuntivo é uma forma de argumento válida, pois para qualquer instância ocorre que: se as premissas forem verdadeiras, a conclusão será verdadeira.

Formas de Argumento Formalização

Observe a seguinte forma de argumento: . Se P então Q. . Q. P

Ou: {P Q, Q} |-- P

Essa forma é inválida, pois a seguinte instância é notoriamente inválida:

Se você está dançando na Lua então você está vivo.Você está vivo.Você está dançando na Lua.

Formas de Argumento Formalização

Exemplo de formalização: Simbolize o argumento que segue e o represente na Forma Padrão.

A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. (C, S, A)

Solução: A proposta de auxílio está no correio. Se

os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira.

C: A proposta de auxílio está no correio.S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.A: Os árbitros analisarão a proposta.

. C

. SA

. CS {C, SA, CS} |-- A□ A

Formas de Argumento

1[A proposta de auxílio está no correio]. 2[Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão]. Portanto, 3[eles a analisarão] porque 4[se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira].

1 + 2 + 4

3 A Forma Padrão representa a

estrutura do argumento.

Fórmula bem formada – wff – well-formed formula

Qualquer letra sentencial é uma wff.

Se Φ é uma wff, então ~Φ também o é.

Se Φ e Ψ são wff, então (Φ &Ψ), (Φ v Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) também o são.

Exercícios:1) Quais das expressões seguintes

são fórmulas (wff's) e quais não são:

a) ~~~Rb) (~R)c) PQd) ~(PQ)e) ~(~P ^ ~Q)

Exercício: Formalize os seguintes argumentos usando as

letras sentenciais indicadas. Utilize os indicadores de inferência para facilitar.

a) Se Deus existe, então a vida tem significado. Deus existe. Portanto, a vida tem significado. (P,Q)

c) Como hoje não é Quinta-feira, deve ser Sexta-feira. Hoje é Quinta-feira ou Sexta-feira. (Q,S)

d) Hoje é um fim de semana se somente se hoje é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado. (F,S,D)