Lógica Lógicas Clássicas Lógicas Não-Clássicas Prof. Dr. Jorge M. Barreto - UFSC-INE.

LógicaLógicas ClássicasLógicas Não-Clássicas

Prof. Dr. Jorge M. Barreto - UFSC-INE

Prof. Jorge M. Barreto

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SúmulaSúmula• Introdução e HistóricoIntrodução e Histórico

• Lógicas ClássicasLógicas Clássicas– Cálculo das ProposiçõesCálculo das Proposições– Cálculo dos PredicadosCálculo dos Predicados

• SintaxeSintaxe• SemânticaSemântica• Regras de InferênciaRegras de Inferência• Árvore de RefutaçãoÁrvore de Refutação

– Prova Automática de TeoremasProva Automática de Teoremas

• Lógicas Não-ClássicasLógicas Não-Clássicas– Lógica Modal, Lógicas Multivalores, Lógica Lógica Modal, Lógicas Multivalores, Lógica

TemporalTemporal


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Introdução e HistóricoIntrodução e Histórico• IntroduçãoIntrodução

– É dificil dar uma definição precisa de Lógica.É dificil dar uma definição precisa de Lógica.

– ““Logic is the systematic study of the structure of propositions and of the general Logic is the systematic study of the structure of propositions and of the general conditions of valid inference by a method which abstracts from the content or matter conditions of valid inference by a method which abstracts from the content or matter of the propositions and deals only with their logical formof the propositions and deals only with their logical form” Encyclopaedia Brittanica ” Encyclopaedia Brittanica

– Importância como teoria matemática.Importância como teoria matemática.

– Adequada como método de representação de conhecimento.Adequada como método de representação de conhecimento.

– É SISTEMA FORMAL SIMPLES QUE APRESENTA UMA TEORIA É SISTEMA FORMAL SIMPLES QUE APRESENTA UMA TEORIA SEMÂNTICA INTERESSANTE DO PONTO DE VISTA DA REPRESENTAÇÃO SEMÂNTICA INTERESSANTE DO PONTO DE VISTA DA REPRESENTAÇÃO DO CONHECIMENTO.DO CONHECIMENTO.

– Ainda hoje grande parte da pesquisa em IA está ligada direta ou indiretamente à Ainda hoje grande parte da pesquisa em IA está ligada direta ou indiretamente à Lógica.Lógica.


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Introdução e HistóricoIntrodução e Histórico• HistóricoHistórico

– Longa história de mais de 23 séculos.Longa história de mais de 23 séculos.

– Aristóteles, na Grécia Antiga, sistematizou e codificou os fundamentos da lógica. Aristóteles, na Grécia Antiga, sistematizou e codificou os fundamentos da lógica. ““Silogismo é um discurso no qual, tendo-se afirmado algumas coisas, algo além destas coisas Silogismo é um discurso no qual, tendo-se afirmado algumas coisas, algo além destas coisas se tornam necessariamente verdadese tornam necessariamente verdade”. ”. Aristóteles, Primeira Analítica, Livro I, 24Aristóteles, Primeira Analítica, Livro I, 24aa

– Em 1847, George Boole propôs uma linguagem formal que permite a realização de Em 1847, George Boole propôs uma linguagem formal que permite a realização de inferências.inferências.

– Lógica Moderna ( 1879), Gottlob Frege publicou a 1a. versão do “Cálculo de Predicados”.Lógica Moderna ( 1879), Gottlob Frege publicou a 1a. versão do “Cálculo de Predicados”.

– Russel e o Positivismo - Lógica como base para todas as outras ciências.Russel e o Positivismo - Lógica como base para todas as outras ciências.

– David Hilbert, Guiseppe Peano, Georg Cantor, Ernst Zermelo, Leopold Lowenheim e David Hilbert, Guiseppe Peano, Georg Cantor, Ernst Zermelo, Leopold Lowenheim e Thoralf Skolem.Thoralf Skolem.


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– Um sistema lógico como sistema formal, consiste em um conjunto de fórmulas e um Um sistema lógico como sistema formal, consiste em um conjunto de fórmulas e um conjunto de regras de inferência.conjunto de regras de inferência.

– As fórmulas são sentenças pertencentes a uma linguagem formal cuja sintaxe é dada.As fórmulas são sentenças pertencentes a uma linguagem formal cuja sintaxe é dada.

– A parte de lógica que estuda os valores de verdade é chamada teoria de modelos.A parte de lógica que estuda os valores de verdade é chamada teoria de modelos.

– Uma regra de inferência é uma regra sintática que quando aplicada repetidamente a Uma regra de inferência é uma regra sintática que quando aplicada repetidamente a uma ou mais fórmulas verdadeiras gera apenas novas fórmulas verdadeiras.uma ou mais fórmulas verdadeiras gera apenas novas fórmulas verdadeiras.

– A seqüência de fórmulas geradas através da aplicação de regras de inferência sobre A seqüência de fórmulas geradas através da aplicação de regras de inferência sobre um conjunto de inicial de fórmulas é chamada de prova.um conjunto de inicial de fórmulas é chamada de prova.

– A parte de lógica que estuda as provas é chamada teoria de provas.A parte de lógica que estuda as provas é chamada teoria de provas.


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– Gödel e Herbrand na década de 30 mostraram que toda e qualquer fórmula Gödel e Herbrand na década de 30 mostraram que toda e qualquer fórmula verdadeira pode ser provada.verdadeira pode ser provada.

– Church e Turing em 1936 mostraram que não existe um método geral capaz de Church e Turing em 1936 mostraram que não existe um método geral capaz de decidir, em um número finito de passos, se uma fórmula é verdadeira.decidir, em um número finito de passos, se uma fórmula é verdadeira.

– Um dos primeiros aplicações da Lógica foi a Prova Automática de Teoremas, a Um dos primeiros aplicações da Lógica foi a Prova Automática de Teoremas, a partir da segunda metade da década de 60. partir da segunda metade da década de 60.

– A partir de Kowalsky (1973) lógica passou a ser estudada com método A partir de Kowalsky (1973) lógica passou a ser estudada com método computacional para a solução de problemas.computacional para a solução de problemas.

– O método explora o fato de expressões lógicas poderem ser colocadas em formas O método explora o fato de expressões lógicas poderem ser colocadas em formas canônicas (apenas com operadores “e”, “ou” e “não”). canônicas (apenas com operadores “e”, “ou” e “não”).


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– Teoria da Resolução de Robinson - 1965. Transforma a expressão a ser provada Teoria da Resolução de Robinson - 1965. Transforma a expressão a ser provada para a forma normal conjuntiva ou forma clausal. Existe uma regra de inferência para a forma normal conjuntiva ou forma clausal. Existe uma regra de inferência única, chamada única, chamada regra da resoluçãoregra da resolução. Utiliza um algoritmo de casamento de padrões . Utiliza um algoritmo de casamento de padrões chamado algoritmo de chamado algoritmo de unificaçãounificação..

– Base para a Linguagem Prolog.Base para a Linguagem Prolog.– Recentemente Lógicas Não-Padrão ou Não-Clássicas tem sido cada vez mais Recentemente Lógicas Não-Padrão ou Não-Clássicas tem sido cada vez mais

utilizadas, não somente em IA. Ex: Lógica Temporal tem sido utilizada em estudos utilizadas, não somente em IA. Ex: Lógica Temporal tem sido utilizada em estudos de programas concorrentes. de programas concorrentes.

– Em IA estas lógicas vem sendo usadas para tratamento de imprecisão, informações Em IA estas lógicas vem sendo usadas para tratamento de imprecisão, informações incompletas e evolução com o tempo em que evolui o problema tratado por IA.incompletas e evolução com o tempo em que evolui o problema tratado por IA.


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Lógicas ClássicasLógicas Clássicas• Cálculo das ProposiçõesCálculo das Proposições

– O Cálculo das Proposições se interessa pelas SENTENÇAS DECLARATIVAS, as O Cálculo das Proposições se interessa pelas SENTENÇAS DECLARATIVAS, as PROPOSIÇÕES, que podem ser Verdadeiras ou Falsas.PROPOSIÇÕES, que podem ser Verdadeiras ou Falsas.

– No âmbito da IA, a lógica permite a representação de conhecimento e o processo de No âmbito da IA, a lógica permite a representação de conhecimento e o processo de raciocínio para um sistema inteligente.raciocínio para um sistema inteligente.

– Como uma linguagem para representação de conhecimento no computador, ela deve Como uma linguagem para representação de conhecimento no computador, ela deve ser definida em dois aspectos, A SINTAXE e a SEMÂNTICA.ser definida em dois aspectos, A SINTAXE e a SEMÂNTICA.

– A SINTAXE de uma linguagem descreve as possíveis configurações que podem A SINTAXE de uma linguagem descreve as possíveis configurações que podem constituir sentenças.constituir sentenças.

– A SEMÂNTICA determina os fatos do mundo aos quais as senteças se referem., ou A SEMÂNTICA determina os fatos do mundo aos quais as senteças se referem., ou seja, ou sistema “acredita” na sentença correspondente.seja, ou sistema “acredita” na sentença correspondente.


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Cálculo das ProposiçõesCálculo das Proposições

• Semântica do Cálculo das ProposiçõesSemântica do Cálculo das Proposições– A semântica é definida especificando a interpretação dos A semântica é definida especificando a interpretação dos

símbolos da proposição e especificando o significado dos símbolos da proposição e especificando o significado dos conectivos lógicos.conectivos lógicos.

– Uma fórmula tem uma interpretação a qual define a Uma fórmula tem uma interpretação a qual define a semântica da linguagem. A interpretação pode ser semântica da linguagem. A interpretação pode ser considerada um mapeamento do conjunto das fórmulas considerada um mapeamento do conjunto das fórmulas para um conjunto de valores de verdade, que na Lógica para um conjunto de valores de verdade, que na Lógica dicotômica é o conjunto {verdadeiro,falso} ou {V,F}.dicotômica é o conjunto {verdadeiro,falso} ou {V,F}.

P Q P P Q P V Q P Q P Q

V V F V V V V

V F F F V F F

F V V F V V F

F F V F F V V


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Cálculo das ProposiçõesCálculo das Proposições• Tabelas VerdadeTabelas Verdade

– Elas fornecem um teste rigoroso e completo para a validade ou invalidade de Elas fornecem um teste rigoroso e completo para a validade ou invalidade de formas de argumento do cealculo das proposições. Quando existe um algoritmo formas de argumento do cealculo das proposições. Quando existe um algoritmo que determina se as formas de argumento expressáveis em um sistema formal são que determina se as formas de argumento expressáveis em um sistema formal são válidas ou não, esse sistema é dito DECIDÍVEL. Desta forma, elas garantem a válidas ou não, esse sistema é dito DECIDÍVEL. Desta forma, elas garantem a decidibilidade da lógica proposicional.decidibilidade da lógica proposicional.

– Uma forma de argumento é válida sss todas as suas instâncias são válidas.Uma forma de argumento é válida sss todas as suas instâncias são válidas.

– Uma instância de argumento é válido se sua conclusão for verdade se suas Uma instância de argumento é válido se sua conclusão for verdade se suas premissas o forem.premissas o forem.

– Se a forma for válida, então qualquer instância dela sera igualmente válida. Assim Se a forma for válida, então qualquer instância dela sera igualmente válida. Assim a Tabela-Verdade serve para estabelecer a validade de argumentos específicos.a Tabela-Verdade serve para estabelecer a validade de argumentos específicos.


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Cálculo das ProposiçõesCálculo das Proposições• Tabelas Verdade para Formas de Argumento Tabelas Verdade para Formas de Argumento

– Tabelas-Verdade podem ser usadas, não apenas para definir a semântica do Tabelas-Verdade podem ser usadas, não apenas para definir a semântica do conectivos, mas também para testar a validade de sentenças.conectivos, mas também para testar a validade de sentenças.

– ExemploExemplo::– A Rainha ou a Princesa comparecerá à cerimônia.A Rainha ou a Princesa comparecerá à cerimônia.– A Princesa não comparecerá.A Princesa não comparecerá.– Logo, a Rainha comparecerá.Logo, a Rainha comparecerá.

R R P, P, P P R R

P R P P R

V V F V

V F F V

F V V V

F F V F

R

V

F

V

F


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Cálculo das ProposiçõesCálculo das Proposições• Regras de InferênciaRegras de Inferência

– Sejam as fórmulas f1, f2, ..., fn (nSejam as fórmulas f1, f2, ..., fn (n1) e C. Então, toda seqüência finita de 1) e C. Então, toda seqüência finita de fórmulas, consequencia de regras de inferência tem como conseqüência fórmulas, consequencia de regras de inferência tem como conseqüência final C, chama-se PROVA.final C, chama-se PROVA.

– Um ARGUMENTO é uma seqüência de enunciados no qual um deles é a Um ARGUMENTO é uma seqüência de enunciados no qual um deles é a CONCLUSÃO e os demais são as PREMISSAS que servem para provar CONCLUSÃO e os demais são as PREMISSAS que servem para provar ou, pelo menos, fornecer algumas evidências para a conclusão.ou, pelo menos, fornecer algumas evidências para a conclusão.

– Evita o trabalho tedioso de ficar construindo Tabelas-Verdade.Evita o trabalho tedioso de ficar construindo Tabelas-Verdade. |- |- significa que significa que pode ser derivado de pode ser derivado de através do processo de através do processo de

inferência, onde inferência, onde e e são fórmulas bem formadas. são fórmulas bem formadas.


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Cálculo das ProposiçõesCálculo das Proposições• Regras de InferênciaRegras de Inferência

– REGRAS BÁSICASREGRAS BÁSICAS


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Lógicas das ProposiçõesLógicas das Proposições


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• Regras de InferênciaRegras de Inferência– REGRAS DERIVADASREGRAS DERIVADAS


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Cálculo das ProposiçõesCálculo das Proposições• Regras de Inferência, Exemplos:Regras de Inferência, Exemplos:

““Se há jogo na Ressacada, então viajar de avião é difícil.”Se há jogo na Ressacada, então viajar de avião é difícil.”

““Se eles chegarem no horário no aeroporto, então a viagem de Se eles chegarem no horário no aeroporto, então a viagem de avião não será difícil.”avião não será difícil.”

““Eles, chegaram no horário.”Eles, chegaram no horário.”

““Logo, não houve jogo na Ressacada.”Logo, não houve jogo na Ressacada.”


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Cálculo das ProposiçõesCálculo das Proposições• EquivalênciaEquivalência

– É um bicondicional que é um teorema.É um bicondicional que é um teorema.


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Cálculo das ProposiçõesCálculo das Proposições• Árvores de RefutaçãoÁrvores de Refutação

– São uma outra maneira de garantir a decidibilidade da Lógica São uma outra maneira de garantir a decidibilidade da Lógica Proposicional.Proposicional.

– REGRAS PARA ÁRVORE DE REFUTAÇÃOREGRAS PARA ÁRVORE DE REFUTAÇÃO

1. Inicia-se colocando-se as PREMISSAS e a NEGAÇÃO DA CONCLUSÃO.1. Inicia-se colocando-se as PREMISSAS e a NEGAÇÃO DA CONCLUSÃO.

2. Aplica-se repetidamente uma das regras a seguir:2. Aplica-se repetidamente uma das regras a seguir:2.1. Negação (2.1. Negação (): Se um ramo aberto contém uma fórmula e sua negação, coloca-se ): Se um ramo aberto contém uma fórmula e sua negação, coloca-se

um “X” no final do ramo, de modo a representar um ramo fechado.um “X” no final do ramo, de modo a representar um ramo fechado.

(um ramo termina se ele se fecha ou se as fórmulas que ele contém são apenas (um ramo termina se ele se fecha ou se as fórmulas que ele contém são apenas fórmulas-atômicas ou suas negações, tal que mais nehuma regra se aplica às suas fórmulas-atômicas ou suas negações, tal que mais nehuma regra se aplica às suas fórmulas. Desta forma tem-se um ramo fechado, que é indicado por um X, fórmulas. Desta forma tem-se um ramo fechado, que é indicado por um X, enquanto o ramo aberto não é representado por um X.)enquanto o ramo aberto não é representado por um X.)


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2.2. Negação Negada (2.2. Negação Negada ( ): Se um ramo aberto contém ): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma uma fórmula não ticada da forma Ø, tica-se Ø, tica-se Ø e escreve-se Ø no final de cada ramo aberto que Ø e escreve-se Ø no final de cada ramo aberto que contém contém Ø ticada. Ø ticada.

2.3. Conjunção (2.3. Conjunção (): Se um ramo aberto contém uma ): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma Ø fórmula não ticada da forma Ø ß, tica-se, Ø ß, tica-se, Øß e ß e escreve-se Ø e ß no final de cada ramo aberto que escreve-se Ø e ß no final de cada ramo aberto que contém Ø contém Ø ß ticada. ß ticada.

P Q P1. P Q2. P

3. P 1 4. Q 1 5. P 2 6. X 3

A árvore de refutação está COMPLETA, isto é, com todos os ramos fechados, logo, a busca de uma refutação para o argumento de negar a conclusão falhou, pois só encontrou contradições, e portanto, a FORMA É VÁLIDA.


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2.4. Conjunção Negada (2.4. Conjunção Negada ( ): Se um ramo aberto contém uma ): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma fórmula não ticada da forma (Ø (Øß), tica-se, ß), tica-se, (Ø (Øß) e ß) e BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que contém BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que contém (Ø (Ø ß) ticada, no final do primeiro ramo se esreve ß) ticada, no final do primeiro ramo se esreve Ø e no Ø e no final do segundo ramo se escreve final do segundo ramo se escreve ß. ß.

(P Q) P Q

1. (P Q)

2. ( P Q)

O exemplo acima nos mostra que há dois ramos abertos,

conseqüentemente a fórmula é inválida, o que significa

que estes ramos são contra-exemplos.

3. P (1 ) Q (1 )

4. P (2 ) Q (2 ) P (2 ) Q (2 ) 5. X (3,4 ) Q (4 ) P (4 ) X (3,4 )


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2.5. Disjunção (v): Se um ramo aberto contém uma fórmula 2.5. Disjunção (v): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma Øvß, tica-se, Øvß e BIFURCA-SE o o não ticada da forma Øvß, tica-se, Øvß e BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que contém Ø v ß ticada, no final final de cada ramo aberto que contém Ø v ß ticada, no final do primeiro ramo se esreve Ø e no final do segundo ramo do primeiro ramo se esreve Ø e no final do segundo ramo se escreve ß. se escreve ß.

P v Q, P Q

1. P v Q

2. P

3. Q

4. Q (3 )

O exemplo acima nos mostra que há dois ramos abertos,

conseqüentemente a fórmula é inválida, o que significa

que estes ramos são contra-exemplos.

5. P (1 v) Q (1 v)


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2.6. Condicional (2.6. Condicional (): Se um ramo aberto contém uma ): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma Ø fórmula não ticada da forma Ø ß, tica-se, Ø ß, tica-se, Ø ß e ß e BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que contém Øcontém Ø ß ticada, no final do primeiro ramo se ß ticada, no final do primeiro ramo se esreve esreve Ø e no final do segundo ramo se escreve ß. Ø e no final do segundo ramo se escreve ß.

P Q, Q R, P R

1. P Q

2. Q R3. P

4. R

5. P (1 ) Q (1 v)

6. X (3,5 )

7. Q (2 ) R (2 )

8. X (5,7 ) X (4,7 )

Como a árvore completa

está fechada, a refutaçao

enpreendida falha e a

forma é válida.


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2.7. Disjunção Negada (2.7. Disjunção Negada ( v): Se um ramo aberto contém uma v): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma fórmula não ticada da forma (Øvß), tica-se, (Øvß), tica-se, (Øvß) e (Øvß) e ESCREVE-SE ESCREVE-SE Ø e Ø e ß no final de cada ramo aberto que ß no final de cada ramo aberto que contém contém (Øvß) ticada. (Øvß) ticada.

P Q P v Q

1. P Q

2. (P v Q)

3. P (2 v)

4. Q (2 v)

5. P (1 ) Q (1 )

6. X (4,5 )

O ramo aberto indica que a forma é inválida


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2.8. Condicional Negado (2.8. Condicional Negado ( ): Se um ramo aberto contém ): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma uma fórmula não ticada da forma (Ø(Øß), tica-se, ß), tica-se, (Ø (Ø ß) e ESCREVE-SE Ø e ß) e ESCREVE-SE Ø e ß no final de cada ramo aberto ß no final de cada ramo aberto que contém que contém (Ø (Øß) ticada.ß) ticada.

P Q P Q

1. P Q

2. (P Q)

3. P (2 )

4. Q (2 )

5. P (1 ) Q (1 )

6. P (5 )

Os ramos abertos indica que a forma é inválida


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• Árvores de RefutaçãoÁrvores de Refutação2.9. Bicondicional (2.9. Bicondicional (): Se um ramo aberto ): Se um ramo aberto

contém uma fórmula não ticada da forma Ø contém uma fórmula não ticada da forma Ø ß, tica-se, Ø ß, tica-se, Ø ß e BIFURCA-SE o o final de ß e BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que contém Ø cada ramo aberto que contém Ø ß ticada, ß ticada, no final do primeiro ramo se esreve Ø e ß e no no final do primeiro ramo se esreve Ø e ß e no final do segundo ramo se escreve final do segundo ramo se escreve Ø e Ø e ß. ß.

P Q, P Q


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2.10. Bicondicional Negado (2.10. Bicondicional Negado ( ): Se um ramo aberto ): Se um ramo aberto contém uma fórmula não ticada da forma contém uma fórmula não ticada da forma (Ø (Ø ß), ß), tica-se, tica-se, (Ø (Ø ß) e BIFURCA-SE o o final de cada ß) e BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que contém ramo aberto que contém (Ø (Ø ß) ticada, no final do ß) ticada, no final do primeiro ramo se esreve Ø e primeiro ramo se esreve Ø e ß e no final do segundo ß e no final do segundo ramo se escreve ramo se escreve Ø e ß. Ø e ß.

P, P Q P Q

As Tabelas-Verdade garantem a decidibilidade da lógica proposicional, porém elas são enfadonhas e ineficazes(NP-COMPLETAS) para um número muito grande de fórmulas-atômicas. Já as árvores de refutação fornecem um algoritmo mais eficaz para executar as mesmas tarefas.


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Pucha!Pucha!

Ainda bem que acabou!Ainda bem que acabou!

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