Lógica e Estrutura - Dirk van Dalen - Parcial Traduzido-OCR (original)

Lgica e E stru tura(Verso Parcial: 14/12/2001, 10:55hs)

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Dirk van Dalen

Traduzido do original em ingls Logic and S tructure, Springer, 1980, 1983, 1994

(Segunda Edio Corrigida 1997) por Ruy J. Guerra B. de Queiroz

Prefcio

Lgica aparece sob form a "sagrada e sob fornia profana; a form a sagrada predom inante em teoria da prova, a form a profana em teoria dos m odelos. O fenmeno no incom um , observa-se essa dicotom ia tam bm em ou tras reas, e.g. teoria dos conjuntos e teoria d a recurso. A lgum as catstrofes antigas, tais como a descoberta dos paradoxos da teo ria dos conjuntos (C antor, Russell), ou os paradoxos da definibilidade (R ichard, Berry), nos fazem tra ta r um assunto por algum tem po com espanto e tim idez. Mais cedo ou m ais ta rde , en tretan to , as pessoas com eam a tra ta r o assunto de um a m aneira m ais livre e m ais fcil. Tendo sido educado na trad io sag rada, m eu prim eiro contato com a tradio profana foi algo como um choque cu ltural. H artley Rogers me in troduziu a um m undo m ais descontrado da lgica atravs de seu exem plo de ensinar teoria da recurso a m atem ticos como se fosse apenas um curso com um em, digamos, lgebra linear ou topologia algbrica. No decorrer do tem po acabei aceitando esse ponto de v ista como o d idaticam ente seguro: antes de en tra r p ara as belezas esotricas seria preciso desenvolver um certo sentim ento pelo assunto e obter um a quantidade razovel de conhecim ento pleno de trabalho . Por essa razo este tex to in trodu t rio inicia-se na vertente profana e tende sagrada apenas no final.

O presente livro foi desenvolvido a p a rtir de cursos dados nos departam entos de m atem tica da. Universidade de U trecht. A experincia adquirida nesses cursos e a reao dos partic ipantes sugeriram fortem ente que no se deveria p ra tica r e ensinar lgica em isolam ento. Assim que possvel exemplos cotidianos de m atem tica deveriam ser introduzidos; de fato , lgica de prim eira ordem encontra um cam po cheio de aplicaes no estudo dos grupos, anis, conjuntos parcialm ente ordenados, etc.

O papel da lgica em m atem tica e cincia da com putao tem dois aspectos u m a ferram enta p ara aplicaes em am bas as reas, e u m a tcnica para assentar os fundam entos. Esse ltim o papel ser neglicenciado aqui, e nos concentrarem os nos problem as cotidianos da cincia form alizada (ou form alizvel). De fato , optei por u m a abordagem p rtica , cobrirei o bsico de tcnicas de prova e de sem ntica, e passarei ento p ara os tpicos que so menos abstratos. A experincia tem nos ensinado que a tcnica de deduo n a tu ra l de G entzen se p resta m elhor p ara u m a introduo, prxim a o suficiente do verdadeiro raciocnio inform al p ara p erm itir que os estudantes construam as provas por si prprios. P raticam ente nenhum truque artificial est envolvido e no final existe a agradvel descoberta de que o sistem a tem propriedades im pressionantes, em particu lar ele se adequa perfeitam ente in terpretao construtiva da lgica e

perm ite form as norm ais. Esse ltim o tpico foi adicionado a esta edio em v ista de sua im portncia em teoria da com putao. No captu lo 3 j tem os poder tcnico suficiente p a ra ob ter alguns dos tradicionais e (mesmo hoje) surpreendentes resultados da teoria dos modelos.

O livro est escrito p ara principiantes sem conhecim ento de tpicos m ais avanados, nada de teo ria esotrica dos conjuntos ou teoria da recurso. Os ingredientes bsicos so deduo n a tu ra l e sem ntica, esse ltim o sendo apre- sentado tan to na form a constru tiva quanto na form a clssica.

No captulo 5 a lgica intuicionstica tra ta d a com base na deduo n a tu ra l sem a regra de R eductio ad absurdum , e da sem ntica de Kripke. A lgica intuicionstica tem se livrado gradualm ente da im agem de excentricidade e hoje reconhecida por sua utilidade em e.g., teoria de topos e teoria de tipos, por isso sua incluso em um tex to in trodu t rio plenam ente justificado. O captulo final, sobre norm alizao, foi adicionado pelas m esm as razes; norm alizao tem um papel im portan te em certas partes da cincia da com putao; tradicionalm ente norm alizao (e elim inao do corte) pertence teoria d a prova, m as gradualm ente aplicaes em ou tras reas tm sido introduzidas. No captulo 6 consideram os apenas norm alizao fraca, e um nm ero de aplicaes simples fornecido.

V rias pessoas tm contribudo p ara o perfil do tex to em u m a ocasio ou outra; D ana Scott, Jane Bridge, Henk B arendregt e Jeff Zucker foram m uito im portan tes na preparao da prim eira edio. Desde ento m uitos colegas e estudantes tm localizado erros e sugerido m elhoram entos; esta edio teve o benefcio de contar com as observaes de Eleanor M cDonnell, A. Scedrov e K arst Koym ans. A todos esses crticos e consultores sou grato.

O progresso im ps que a m qu ina de datilografar tradicional deveria ser substitu da por dispositivos m ais m odernos; este livro foi refeito em DT^X por A ddie Dekker e m inha m ulher Doke. Addie abriu cam inho com as prim eiras trs sees do captulo um e Doke concluiu o restan te do m anuscrito; devo a am bas, especialm ente a Doke que encontrou tem po e coragem p ara dom inar os secredos do DTgX. Agradecim entos tam bm a Leen Kievit por te r confeccionado as derivaes e por te r adicionado o toque final necessrio a um m anuscrito IXTgX. A m acro de Pau l Taylor p ara rvores de prova foi usada p ara as derivaes em deduo natu ra l.Junho 1994

A converso p ara T E X introduziu um punhado de erros de im presso que esto corrigidos nesta nova tiragem . M uitos leitores tm sido bondosos m e enviando sua coleo de erros de im presso, sou-lhes gra to por sua ajuda . E m particu lar quero agradecer a Ja n Sm ith, Vincenzo Scianna, A. Ursini, M oham m ad A rdeshir e Norihiro K am ide. Aqui em U trecht m inhas tu rm as de lgica tm contribudo bastan te , e em particu lar M arko Hollenberg, que ensinou parte de um curso, m e passou com entrios teis. G ostaria de agradec-los tam bm .Usei a ocasio p ara incorporar uns poucos m elhoram entos. A lgum as formulaes foram m odificadas de m odo a to rn-las m ais precisas, e a definio de subfrm ula foi padronizada - ju n tam en te com a noo de ocorrncia positiva e negativa. Existe tam bm um pequeno adendo sobre induo sobre a com plexidade de um a frm ula. Os exerccios 14 e 18 d a seo 3.2 foram transferidos p ara a seo seguinte, pois eles so basicam ente aplicaes do lem a do D iagram a.Maro 1997 D irk van Dalen

nd ice

0 Introduo 1

1 Lgica Proposicional 51.1 Proposies e C onec tivos............................................................................ 51.2 S e m n tic a ........................................................................................................ 151.3 A lgum as Propriedades d a Lgica P ro p o s ic io n a l ............................... 201.4 Deduo N a t u r a l .......................................................................................... 281.5 C o m p le tu d e .................................................................................................... 371.6 Os conectivos que f a l ta m ............................................................................ 45

2 Lgica de Predicados 512.1 Q u a n tif ic a d o res ............................................................................................. 512.2 E s t r u tu r a s ....................................................................................................... 522.3 A Linguagem de um T ipo de S im ila r id a d e .......................................... 542.4 S e m n tic a ........................................................................................................ 612.5 Propriedades Simples da Lgica de Predicados ............................... 662.6 Id e n tid a d e ........................................................................................................ 742.7 E x e m p lo s ....................................................................................................... 762.8 Deduo N a t u r a l .......................................................................................... 832.9 A dicionando o Q uantificador E x is te n c ia l ............................................. 882.10 Deduo N atu ra l e Id e n tid a d e .................................................................. 90

3 C o m p le tu d e e A p lic a e s 953.1 O Teorem a da Com pletude ..................................................................... 953.2 C om paccidade e S k o lem -L w en h e im .......................................................1023.3 Algo de Teoria dos M o d e lo s ........................................................................ 1093.4 Funes de S k o le m ......................................................................................... 125

4 L g ic a d e S e g u n d a O rd e m 133

5 L g ic a I n tu ic io n s t ic a 1435.1 Raciocnio C o n s tru tiv o .................................................................................. 1435.2 Lgica In tuicionstica Proposicional e de P r e d i c a d o s ........................1465.3 Sem ntica de K r ip k e ...................................................................................... 1525.4 Algo de Teoria dos M o d e lo s ........................................................................ 162

1

2 NDICE

6 N o rm a liz a o 1756.1 C o r t e s ..................................................................................................................1756.2 N orm alizao p ara a Lgica C l s s ic a ........................................................ 1796.3 N orm alizao p ara a Lgica In tu ic io n s tica ..............................................185

Captulo 0

In tro d u o

Sem ado ta r u m a das vrias vises defendidas nos fundam entos da m atem tica, podem os concordar que m atem ticos precisam e fazem uso de u m a linguagem , m esm o se apenas p ara a com unicao de seus resultados e seus problem as. Enquanto m atem ticos tem afirm ado pela m xim a possvel exatido p ara seus m todos, eles tm sido m enos sensveis com respeito a seu meio de comunicao. bem conhecido que Leibniz props colocar a pr tica da comunicao m atem tica e do raciocnio m atem tico sobre u m a base firme; en tretan to , no foi antes do sculo dezenove que ta is em preitadas foram levadas a cabo com m ais sucesso por G. Frege e G. Peano. Independentem ente do quo engenhosa e rigorosam ente Frege, Russell, H ilbert, Bernays e outros desenvolveram a lgica m atem tica , foi apenas na segunda m etade desse sculo que lgica e sua linguagem m ostraram algum as caractersticas de interesse p ara o m atem tico em geral. Os resultados sofisticados de Gdel obviam ente foram logo apreciados, m as eles perm aneceram por um longo tem po como destaques tcnicos m as sem uso prtico. A t m esm o o resultado de Tarski sobr a decidibilidade da lgebra elem entar e geom etria tiveram que esperar seu m om ento adequado at que algum as aplicaes aparecessem.

Hoje em d ia as aplicaes de lgica a lgebra, anlise, topologia, etc. so em grande nm ero e bem reconhecidas. Parece estranho que um bom nm ero de fatos simples, dentro da capacidade de percepo de qualquer estudante, passassem despercebidos por tan to tem po. No possvel d ar o crdito apropriado a todos aqueles que abriram esse novo territ rio , qualquer lista dem onstraria inevitavelm ente as preferncias do au tor, e om itiria algum as reas e pessoas.

Vamos observar que m atem tica tem um a m aneira bem regular, cannica de form ular seu m ateria l, em p arte por sua natu reza sob a influncia de fortes escolas, como a de B ourbaki. Alm do m ais, a crise no incio do sculo forou os m atem ticos a p restar m ais ateno aos detalhes m ais finos de sua linguagem e s suas pressuposies concernentes natu reza e o alcance do universo m atem tico . Essa ateno comeou a d ar frutos quando se descobriu que havia em certos casos u m a estreita ligao entre classes de estru tu ras m atem ticas e suas descries sintticas. Aqui vai um exemplo:

Sabe-se bem que um subconjunto de um grupo G que fechado sob mul-

1

2 CAPTULO 0. INTRODUO

tiplicao e inverso, um grupo; en tretan to , um subconjunto de um corpo algebricam ente fechado F que fechado sob som a, produto , m enos e inverso, em geral um corpo que no algebricam ente fechado. Esse fenmeno um a instancia de algo bem geral: um a classe axiom atizvel de estru tu ras axiom- a tizada por um conjunto de sentenas universais (da form a Vari,. . . , x n

3Por ou tro lado o leitor deve sem pre se lem brar que ele no um com putador e que, certam ente quando ele chegar ao captulo 3, alguns detalhes devem ser reconhecidos como triviais.

P a ra a pr tica propriam ente d ita d a m atem tica a lgica de predicados sem dvida a ferram enta perfeita, pois ela nos perm ite m anusear objetos individualm ente. Mesmo assim iniciam os o livro com u m a exposio da lgica proposicional. H vrias razes p a ra essa escolha.

Em prim eiro lugar a lgica proposicional oferece em m in ia tu ra os problem as que encontram os n a lgica de predicados, m as l as dificuldades obscurecem alguns dos aspectos relevantes e.g. o teorem a da com pletude p ara a lgica proposicional j usa o conceito de conjunto consistente m axim al, m as sem as complicaes dos axiom as de Henkin.

Em segundo lugar existem um nm ero de questes verdadeiram ente proposicionais que seriam difceis de tra ta r em um captu lo sobre a lgica de predicados sem criar um a im presso de descontinuidade que se aproxim a do caos. F inalm ente parece um a questo de pedagogia saudvel deixar que a lgica proposicional preceda a lgica de predicados. O principiante pode em um nico contex to se fam iliarizar com as tcnicas de teo ria d a prova, as algbricas e as da teo ria dos m odelos que seria dem asiado em um prim eiro contato com a lgica de predicados.

Tudo o que foi d ito sobre o papel da lgica em m atem tica pode ser repetido p ara a cincia, da com putao; a im portncia dos aspectos sintticos ainda m ais pronunciada que em m atem tica , m as no p ra aqui. A lite ra tu ra de teo ria d a com putao abundante em sistem as lgicos, provas de com pletude e coisas do gnero. No contexto de teoria dos tipos (lam bda clculo tipificado) a lgica intuicionstica tem adquirido um papel im portan te , enquanto que as tcnicas de norm alizao tm se to rnado um a d ie ta bsica p ara cientistas da com putao.

4 CAPTULO 0. INTRODUO

Captulo 1

Lgica P roposic ional

1.1 Proposies e Conectivos

Tradicionalm ente, lgica d ita ser a arte (ou estudo) do raciocnio; p o rtan to p ara descrever a lgica na sua tradio, tem os que saber o que raciocnio. De acordo com algunas vises tradicionais o raciocnio consiste do processo de constru ir cadeias de entidades lingusticas por meio de certas relaes . segue de . . u ma viso que sufi.cientem.ente boa p a ra nossos propsitos. As entidades lingusticas que ocorrem nesse tip o de raciocnio so tom adas como sendo sentenas, i.e. entidades que exprim em um pensam ento com pleto, ou estado de coisas. C ham am os ta is sentenas de declarativas. Isso significa que, do ponto de v ista da lngua, n a tu ra l nossa classe de objetos lingusticos aceitveis bastan te restrita .

Felizmente essa classe suficientemente larga quando olhada, do ponto de v ista do m atem tico . A t o presente a lgica tem sido capaz de cam inhar m uito bem m esm o com essa restrio. E verdade, no se pode lidar com perguntas, ou enunciados im perativos, m as o papel desses entidades desprezvel em m atem tica pura. Devo fazer um a exceo a enunciados de ao, que tem um papel im portan te em program ao; pense em instrues como goto, if . . . then, else . . etc. Por razes dadas adiante, vamos, no en tan to , deix-las de fora.

As sentenas que tem os em m ente so do tip o 27 um nm ero quadrado, todo inteiro positivo a som a de quatro quadrados, existe apenas um conjunto vazio. U m aspecto com um de todas essas sentenas declarativas a possibilidade de atribu-las um valor de verdade, verdadeiro ou falso. No exigimos a determ inao propriam ente d ita do valor de verdade em casos concretos, como por exemplo a conjectura de G oldbach ou a hiptese de R iem ann. B asta que possam os em princpio a tribu ir um valor de verdade.

Nossa cham ada lgica bi-valorada baseada na suposio de que to d a sentena verdadeira ou falsa, e a pedra angular da p r tica de tabelas-verdade.

A lgum as sentenas so m nim as no sentido de que no h p arte prpria que seja tam bm u m a sentena, e.g. 5 {0 ,1 , 2, 5, 7}, ou 2 + 2 = 5; ou tras podem ser divididas em partes menores, e.g. c um racional ou c um irracional (onde c um a constante). Por outro lado, podem os constru ir sentenas m aiores a p a rtir de sentenas m enores atravs do uso de conectivos. Conhecemos m uitos conectivos em lngua natu ra l; a seguinte lista no tem de form a algum a o propsito de

5

6 CAPTULO 1, LGICA PROPOSICIONAL

ser exaustiva: e, ou, no, se . . . ento . . . , mas, pois, como, por, embora, nem. No discurso usual, como tam bm em m atem tica inform al, usa-se esses conectivos incessantem ente; en tretan to , em m atem tica form al seremos econmicos nos conectivos que adm itim os. Isso sobretudo por razes de exatido. Com pare, por exemplo, as seguintes sentenas: tt irracional, m as no algbrico , M ax um m arxista , m as ele no carrancudo . No segundo enunciado pode- m os descobrir um a sugesto de algum contraste, como se deveram os nos surpreender que M ax no carrancudo. No prim eiro caso ta l surpresa no pode ser facilm ente im aginada (a menos que, e.g. se tenha acabado de ler que todos os irracionais so algbricos); sem m odificar o significado pode-se transform ar esse enunciado em w irracional e tt no algbrico . Logo por que usar (em um tex to form al) a form ulao que traz certos tons vagos, em ocionais? Por essas e ou tras razes (e.g. de economia) em lgica nos fixamos em um nm ero lim itado de conectivos, em particu lar aqueles que tm -se m ostrado teis na ro tina d iria de form ular e dem onstrar.

Note, en tretan to , que m esm o aqui as am biguidades am eaam . C ada um dos conectivos j tem um ou m ais significados em lngua natu ra l. Vamos dar alguns exemplos:

1. Joo passou direto e b a teu num pedestre.

2. Joo bateu num pedestre e passou direto.

3. Se eu abrir a jan e la ento term os ar fresco.

4. Se eu abrir a jan e la ento 1 + 3 = 4.

5. Se 1 + 2 = 4, ento terem os ar fresco.

6. Joo est trabalhando ou est em casa.

7. Euclides foi um grego ou um m atem tico .

De 1 e 2 concluimos que '

1.1. PROPOSIOES E CONECTIVOS 7

sentido de que v ia de regra no usam os ou quando poderam os de fato usar V . Alm disso, norm alm ente hesitam os em usar um a disjuno se j sabem os qual das duas partes se verifica, e.g. 32 um nm ero prim o ou 32 no um nm ero prim o ser considerada (no m nim o) artificial pela m aioria das pessoas, pois j sabem os que 32 no um nm ero prim o. A inda assim a m atem tica usa livrem ente ta is disjunes suprfluas, por exem plo 2 > 2 (que designa 2 > 2 ou 2 = 2 ).

De form a a prover a m atem tica de um a linguagem precisa criarem os um a linguagem artificial, form al, que se p restar ao tra tam en to m atem tico . P rim eiram ente definiremos u m a linguagem p ara a lgica proposicional, i.e. a lgica que lida com proposies (sentenas, enunciados). Mais adian te estenderem os nosso tra tam en to lgica que tam bm leva em conta propriedades de objetos.

O processo de formalizao da lgica proposicional consiste de dois estgios:(1) apresentar um a linguagem form al, (2) especificar um procedim ento p ara se ob ter proposies vlidas ou verdadeiras.

Inicialm ente descreveremos a linguagem , usando a tcnica de definies indutivas. 0 procedim ento bem simples: Primeiro especifique quem so as proposies menores, que no decomponveis em proposies menores que elas; depois descreva como proposies com postas so construdas a p a rtir de proposies previam ente dadas.

D e fin i o 1 .1 .1 A linguagem da lgica propositional tem um alfabeto consistindo de

(i) smbolos proposicionais: po, p i, P2 , . ..,(ii) conectivos: A, V, -i, >, -L,(iii) smbolos auxiliares: ( , ).

Os conectivos carregam nom es tradicionais:A conjunoV OU disjuno

se ...} ento ... implicao1 no negao** sse equivalncia, bi-im;_L falso falsum, absurdum

Os smbolos proposicionais e o smbolo J_ designam proposies indecom- ponveis, que cham am os tomos, ou proposies atmicas.

D e fin i o 1 .1 .2 O conjunto P R O P de proposies o m enor conjunto X com as propriedades(*') p e x (i eN),e x,{a) < p ,ip e x =>- (tp a if), { (


p ara proposies. Com o querem os estudar lgica, devemos usar u m a linguagem p ara discut-la nessa linguagem . E m geral essa linguagem o portugus puro, cotidiano. C ham am os a linguagem usada p a ra d iscutir lgica de nossa meta- linguagem e -L} tam bm satisfaz (i), (ii) e (iii). Como _L,pj X , tam bm _L,p; Y . Se Y , en to


O procedim ento acim a que perm ite ob ter todas as proposies e provar propriedades de proposies elegante e perspicaz; existe u m a ou tra abordagem , no entan to , que tem suas prprias vantagens (em particu lar p ara codificao) : considere proposies como o resultado de u m a construo linear passo- a-passo. E.g. ((ij>o) > _L) construdo m ontando-se a expresso a p a rtir de suas partes m enores usando as partes previam ente construdas: po . . . _L ( - 1po). . . ((^po) > -L). Isso form alizado da seguinte m aneira:

D e fin i o 1 .1 .4 U m a sequncia po , . . . ,


Suponha que todas as expresses com sequncia de form ao de com prim ento to < n esto em P R O P . Por definio tpn (ifiUipj) p a ra todo i , j < n, ou


T(


Convenes de notao. De form a a simplificar nossa notao vam os econom izar em parnteses. Vamos sem pre desprezar os parnteses m ais externos e om itirem os tam bm os parnteses no caso de negaes. Alm do m ais usarem os a conveno que A e V tm precedncia sobre > e *-> (cf. e + em aritm tica), e que -> tem precedncia sobre os outros conectivos.

Exemplos.-up V p -'{-'-'-p A A)p V ip ) pp p V (ip x)

designa ((->) V A{p)) =>- \/p A (p)

10 le ito r po d e p u la r essa dem onstrao n a p rim eira le itu ra . E s ta r fazendo bem ap licando a induo sobre o p o sto ingenuam ente*


D em onstrarem os que o princpio d a induo sobre o posto segue do princpio da induo. Suponha que

V^(W> A


6. Seja ff a funo posto:(a) D em onstre que p(

1.2. SEMNTICA 15

11. (a) D um a definio indutiva p ara a funo F , definida por recurso sobre P R O P a p a rtir das funes H at, H a, H-,, como um conjunto F* de pares.

(b) Form ule e dem onstre p a ra F* o princpio da induo.

(c) D em onstre que F* de fa to um a funo sobre P R O P .

(d) D em onstre que ela a nica funo sobre P RO P satisfazendo as equaes recursivas.

1.2 SemnticaA ta refa de in terp re tar a lgica proposicional sim plificada pelo fa to de que as entidades consideradas tm um a estru tu ra simples. As proposies so constru das a p a rtir de blocos adicionando-se conectivos.As partes m ais simples (os tom os) so d a form a a gram a verde , M aria gosta de G oetlie , 6 3 = 2 , que so sim plesm ente verdadeiras ou falsas. Estendem os essa atribuio de valores-verdade a proposies com postas, por reflexo sobre o significado dos conectivos lgicos.

Vamos com binar de usar 1 e 0 ao invs de verdadeiro e falso. O problem a que enfrentam os como in terp re tar pO if, up, dados os valores-verdade de


No ltim o caso ele pode fazer u m a escolha, porm isso no um problem a, pois ele deseja ver pelo menos um dos caras, no im p o rta qual.

E m nossa notao, a in terpretao de V dada por

v(

1.2. SEMNTICA 17

E m nossa notao a in terpretao da im plicao dada por v( tf) = 0 sse v(ip) = 1 e v(tf) 0.

Sua tabela-verdade :0 1

0 1 11 0 1

Equivalncia. Se nosso v isitan te sabe que Sm ith est se e som ente se Jones est , ento ele sabe que am bos esto presentes ou am bos no esto. Logo v( tf) = 1 sse v(


U m im portan te subconjunto de P R O P o de todas as proposies p que so sempre verdadeiras, i.e. verdadeiras sob todas as valoraes.

D e fin i o 1 .2 .4 (i) p um a tautologia se = 1 p ara todas as valoraes v,(ii) |= p designa p um a tau to log ia ,(iii) Seja r um conjunto de proposies, ento T \= i\_pi/ p \d '4,2 Vpi/ P^v unicam ente determ inado por suas partes I4>j[pi/p\\v, logo [(ViD ^2)[

1.2. SEMNTICA 19

ip -tipi. Deixo p ara o leitor.

A prova da segunda, p arte essencialm ente usa o fato de que | p ) \p sse M v < [0 ] t, p ara to d a v (cf. Exerccio 6).

A prova do teorem a da substitu io agora segue im ediatam ente.

O teorem a da substitu io diz em bom portugus que partes podem ser substitudas por partes equivalentes.

Existem vrias tcnicas p ara se te s ta r tauto logias. U m a delas (bastan te lenta) usa tabelas-verdade. D am os um exemplo:

~p ( p n p ) -H- (- ip -ip)1 I T T

0 1 1 11 0 0 10 1 1 1

A ltim a coluna consiste de l s apenas. Como, pelo lem a 1.2.3 apenas os valores de


2. D em onstre que: (a) p

(b ) tp\=cr;

(c) |= p -> ip 4 p |= -tf;.

3. D eterm ine p[~>po - P3 /P 0] p a ra (po -> P)\

< P = {P 3 ^ po) V (p2 'Po)-

4. D em onstre que existem 2^ valoraes.

5. D em onstre que [p A i/jJv [[ xj)\v = 1 4 [Pit; < H lv

1.3 Algumas Propriedades da Lgica Proposi- cional

Com base nas sees anteriores j podem os provar m uitos teorem as sobre a lgica proposicional. U m a das prim eiras descobertas n a lgica proposicional m oderna foi sua sem elhana com lgebras.Aps Boole, um estudo am plo das propriedades algbricas foi realizado por m uitos lgicos. Os aspectos puram ente algbricos tm desde ento sido estudados na cham ada lgebra de Boole.

A penas m encionarem os um pequeno nm ero dessas leis algbricas.

Teorema 1.3.1 A s seguintes proposies so tautologias.

(

1.3. ALGUMAS PROPRIEDADES DA LGICA PROPOSICIONAL 21

P ara aplicar o teorem a anterior em clculos lgicos precisam os de rnais algum as equivalncias. Isso dem onstrado na simples equivalncia |= p A (p V ip) -H- p (exerccio p ara o leitor). Pois, pela lei da d istribu tiv idade |= p A {}, ou {>, !_}.O u seja, podem os encontrar e.g. um a proposio envolvendo apenas V e - 1, que equivalente a p tf, etc.

Teorema 1.3.4(a) |= (p *+ tf) ) A (tf -4 95),(b) |= (9? -4 VO tf),(d) |=


Vamos dar alguns exemplos de clculos algbricos que estabelecem um a cadeia de equivalncias.

1. | (p (ip (ip > cr) -up V (-uip V cr) (-1 p V -up) V cr

- |(p A ip) V cr Logo p > (ip > (r)

f t V (V1 > c ),f t V ( 'V V ) V


Facilm ente se verifica que todas as proposies - i(pV -'p), pW~ n + l) = $(A ,P 2 ,...,P n+ l) e _$a(.P2, ,Pn+1) = $(T ,P2, -,Pn+i) onde T = -iJ.

(como foi dado pelas m etades superior e inferior da tab e la ac im a).Pela hiptese da induo existem proposies


io 1.3.7=


Definio 1.3.10 Defina um m apeam ento auxiliar * : P R O P > P R O P recursivam ente d a seguinte form a

p * -ip se p atm ica,(p A tp f p*\Zip*,(p V VO* p*Aip*,H>r = - p , | rf>* ^ np. Com o | p ^ tem os tam bm |= ->p -up. Logo |= p* ** ip*, e p o rtan to |= p* [ -p o ,. . . , p n /p o , , Pn]p +[ - p o , . . . , - p n ] /p o , . . . ,P n ] .

U sando a relao acim a entre p d e p* obtem os |= p d ipd. A recprocasegue im ediatam ente, pois p dd p.

O Teorem a da D ualidade nos d g ra tu itam en te um a identidade p ara cada identidade que estabelecemos.


Exerccios

1. D em onstre por meios algbricos

N ( VO ** ( -tip > -i)) - t -tip,

N (v? -> ")) -> ")

N -,(vp a ,,p ) ,N < p ^ { ip ^ - p A ip ) ,|= (( ip)

1.3. A LG U M AS PROPRIEDADES DA LGICA PROPOSICIONAL 27

9. Seja o conectivo b inrio # definido pela tabela# 0 10 0 11 1 0

E xprim a # em term os de V e -i.

10. D eterm ine as form as norm ais conjuntivas e disjuntivas p a ra - i( if) t if>) y ip, ( ( (ip A - ^ ) ) .

11. D um critrio p a ra que um a form a norm al conjuntiva seja um a tautologia.

12. D em onstre que V A A (v*- v ^')ei


1.4 Deduo NaturalNas sees precedentes adotam os a viso de que a lgica proposicional baseada nas tabelas-verdade, i.e. olham os p ara a lgica do ponto de v ista sem ntico. Essa, en tretan to , no a nica viso possvel. Se se pensa em lgica como u m a codificao do raciocnio (exato), ento ela deveria perm anecer prxim a p r tica de se fazer inferncia, ao invs de se basear na noo de verdade. Agora explorarem os a abordagem no-sem ntica, definindo um sistem a p ara derivar concluses a p a rtir de prem issas. E m bora essa abordagem seja de natureza form al, i.e. se abstenha de in terp re tar os enunciados e as regras, aconselhvel m an ter em m ente algum a interpretao. Vamos in troduzir um nm ero de regras de derivao, que so, a t certo ponto, os passos atm icos em u m a derivao. Essas regras de derivao so concebidas (por G entzen), p ara reproduzir o significado intu itivo dos conectivos to fielmente quanto possvel.

Existe um pequeno problem a, que ao m esm o tem po um a grande vantagem , nom eadam ente: nossas regras exprim em o significado construtivo dos conectivos. Essa vantagem no ser explorada agora, m as bom guard-la na m em ria quando lidam os com lgica (a vantagem explorada na lgica intuicionstica).

U m exem plo simples: o princpio do terceiro excludo nos diz que |=

1.4. DEDUO NATURAL 29

Temos duas regras p ara J_, am bas elim inam _L, m as in troduzem u m a frm ula.

_L(_L) _L (RAA) ;


E m Anlise introduzim os a noo de sequncia convergente (an ) e posteri- orm ente a noo a um lim ite de (ara) . O prxim o passo dem onstrar que p ara cada sequncia convergente existe um nico lim ite; estam os interessados na p arte da dem onstrao que m ostra que existe no m xim o um lim ite. Tal dem onstrao pode se processar d a seguinte m aneira: assum im os que existem dois lim ites distin tos a e a1, e a p a rtir dessa hiptese, a ^ a ', derivamos u m a contradio. Concluso: a a!. Nesse caso desprezam os a hiptese a ^ a! , dessa vez no o caso de ser suprflua, m as de estar em conflito! Logo, tan to no caso de ( I) quanto no de (RAA), pr tica segura cancelar todas as ocorrncias da hiptese em aberto.

P a ra dom inar a tcnica da Deduo N atu ral, e p a ra se fam iliarizar com a tcnica de cancelam ento de hipteses, nada m elhor que olhar p ara alguns casos concretos. P ortan to , antes de proceder noo de derivao, consideremos alguns exemplos.

[


V V V '

Notao, se so derivaes com concluses I ) se no h hiptese disponvel p a ra o P

cancelam ento e.g. ------------ > 1 c um a derivao correta, usando apenas (> /) .ip y ip (ou ip) no fundo da rvore e cancelando algum as (ou todas) as ocorrncias, e cancelando algum as (ou todas) as ocorrncias, se existe algum a, de p (ou ~fi) localizada no a lto d a rvore.

A lgum as palavras sobre o uso prtico d a deduo natu ra l: se voc deseja constru ir um a derivao p ara um a proposio aconselhvel conceber algum tip o de estratgia, ta l qual num jogo. Suponha que voc quer m ostrar que (p ^ (ip ^ cr)) ^ (p A ip cr) (Exem plo I I I ) , ento (como a proposio um a frm ula im plicacional) a regra (> I) sugere a si prpria. P o rtan to ten te derivar cr). A gora sabem os onde com ear e para onde ir. P a ra usar p (ip > cr) desejam os ter p (para aplicar (> E )). Por ou tro lado desejamos derivar cr a p a rtir de p Aip, logo podem os usar cr em suas partes m enores ; isso claram ente ip. Mas ip fornecido pela hiptese


o significado de no p . A derivao d ire ita nos diz que a suposio de up leva a um a contradio, p o rtan to (pelo m esm o raciocnio) -up no pode ser o caso. Logo, pelo significado da negao, obteram os apenas iup. No est de form a algum a claro que iup equivalente a p (de fato , isso rejeitado pelos in tu icion istas), logo essa um a propriedade ex tra de nossa lgica. (Isso confirm ado num sentido tcnico: iup p no derivvel no sistem a sem RAA.)

R etornam os agora s noes tericas.

Definio 1.4.1 O conjunto de derivaes o m enor conjunto X ta l que

(1) A rvore de um nico elem ento p pertence a X p a ra to d a p P R O P .

____ _ V V, x V V(2A) Se , , ento p p ' X .

ip -----------------

VV

(2_L) Se A , ento _L A .

-"P

A , ento A .

1 -


Dizemos que


Recipr ocam ente:

h ^ ]1 -> -+E-,

-> h

+E

99 > xph

(-1 xp > > (99 > xp)

v vP ortan to agora tem os (99 > xp) > (-i^> > - 199) (-i^> > - 199) (tp xp)

(99 > ( 'V ~^ "P)

5. J dem onstram os 99 > - 1-199 como um exemplo. Reciprocam ente:

[P]1 [ ' "P]2_L RAAiV

+ E

- .- .99-^99

0 resultado agora segue im ediatam ente. Os nm eros 6 e 7 so deixados p ara o leitor.

0 sistem a delineado nesta seo cham ado de clculo de deduo n a tu ra l por u m a boa razo. Isto : sua form a de fazer inferncias corresponde ao raciocnio que usam os intu itivam ente. As regras apresentam meios pelos quais se pode quebrar frm ulas, ou jun t-las. U m a derivao ento consiste de um a m anipulao habilidosa das regras, cujo uso usualm ente sugerido pela form a d a frm ula que desejam os provar.

D iscutirem os um exemplo de m odo a ilustrar a estra tg ia geral de construo de derivaes. Vamos considerar a recproca do nosso exem plo anterior III.

P ara provar (99 A xp > cr) > (99 > (xp cr)) existe apenas um nico passoinicial: supor p A xp cr e ten ta r derivar 99 > (xp ) cr). A gora podem os olhar p ara a suposio ou p ara o resultado desejado. Vamos considerar a ltim a opo inicialm ente: p ara provar p (xp cr), devemos supor 99 e derivar xp cr, m as p ara esse ltim o caso devemos supor xp e derivar cr.

Logo, podem os supor ao m esm o tem po 99 A xp > cr, 99 e xp. A gora o procedim ento sugere a si prprio: derive 99 A xp a p a rtir de 99 e xp, e cr a p a rtir de 99 A xp e 99 A xp > cr.

Colocando tudo ju n to , obtem os a seguinte derivao:

y f m1 r--------------- A /

99 A xp [99 A xp > cr]'i------------------------------------------- E

xp > Ji

99 > (xp > cr)+ / 2

+ /3(99 A xp cr) > (99 > (xp > a ))


Se tivssemos considerado prim eiro p A ip > cr, en to a nica m aneira de seguir adian te seria adicionar p A ip e aplicar > E . Agora p A ip ou perm anece como um a suposio, ou o b tida a p a rtir de um a o u tra coisa. Im ediatam ente ocorre ao leitor derivar p A xf> a p a rtir de 99 e ip. Mas agora ele te r que construir a derivao que obtivem os acim a.

Por m ais sim ples que esse exemplo parea, existem complicaes. Em particu lar a regra de reductio ad absurdum no nem de perto to n a tu ra l quanto as outras regras. Seu uso tem que ser aprendido praticando-se; alm disso um a certa habilidade p ara perceber a distino entre o construtivo e o no-construtivo ser til quando se vai ten ta r decidir quando us-la.

F inalm ente, recordam os que T um a abreviao de -i_L (i.e. _L > _L).

Exerccios

1. D em onstre que as seguintes proposies so derivveis.

() p - > p , (d) (

1.5. COMPLETUDE 37

8. (Teorema da Substituio) h ( {4>[. D um a definio indutiva de t('Dj. D em onstre que se pode provar propriedades de derivaes por induo sobre o seu tam anho.

10. D u m a definio recursiva d a relao b (use a lis ta do Lem a 1.4.3), dem onstre que essa relao coincide com a relao derivada da Definio 1.4.2. Conclua que cada T com T b


(A.L) H iptese d a induo:V

paxa qualquer T contendo as hipteses dep} contm todas as hipteses da primeixa dexivao e [(,6] = 1 paxa to d a ip r " . Isto impossvel pois T" |= _L. Logo U |=

1.5. COMPLETUDE 39

tarefa m uito trabalhosa. Teram os que m ostrar que no existe derivao (sem hipteses) da proposio dada. Em geral isso requer profunda percepo sobre a natu reza das derivaes, o que est alm das nossas possibilidades no m om ento.

Exemplos. I/ po, \f ( p A ijj.

No prim eiro exemplo, tom e a valorao constante 0. [po] = 0, logo po e p o rtan to I/ po- No segundo exemplo nos deparam os com u m a m eta-

proposio (um esquema)-, estritam ente falando ela no pode ser derivvel (apenas proposies reais podem ). Por b (p > ip) p A 4> queremos dizer que todas as proposies daquela form a (obtidas substituindo-se ip e ip por proposies reais, por exemplo) so derivveis. P a ra refu t-la precisam os apenas de um a instncia que no derivvel. Tome p ijj p0. P a ra dem onstrar a recproca do enunciado do Lem a 1.5.1 precisam os de algum as novas noes. A prim eira tem u m a h istria im pressionante; tra ta -se da noo de ausncia de contradio ou consistncia. Foi transform ada na pedra angular dos fundam entos d a m atem tica por H ilbert.

D e fin i o 1 .5 .2 U m conjunto T de proposies consistente se T \f _L.

Em palavras: no se pode derivar u m a contradio a p a rtir de T. A consistncia de r pode ser expressa de vrias ou tras formas:

L e n ia 1 .5 .3 A s seguintes condies so equivalentes:

(i) r e consistente,

(ii) Para nenhuma p, T P p e T I - (v) Trivial.(v) => (iv) Suponha que T b p e T b -ip. A p a rtir das duas derivaes

associadas a essas hipteses, obtm -se u m a derivao p ara r b l usando a regra (-> E ).

A clusula (vi) nos diz por que razo conjuntos inconsistentes (ou teorias inconsistentes) so destitu das de interesse m atem tico . Pois, se tudo derivvel, no podem os distinguir entre boas e m s proposies. A m atem tica ten ta encontrar distines, no borr-las.


N a pr tica m atem tica procura-se estabelecer consistncia exibindo-se um m odelo (pense n a consistncia d a negao do quinto postu lado de Euclides e as geom etrias no-euclideanas). No contexto da. lgica proposicional isso significa procurar u m a valorao apropriada.

Lema 1.5.4 Se existe uma valorao tal que [V1]?/ = 1 para toda \p G T, ento r consistente.

Demonstrao. Suponha, que T h X, ento pelo Lem a 1.5.1 T |= X, logo para qualquer valorao v [(V,)]/ = 1 p a ra to d a ip G T => [-L]t, = 1. Como [X],; = 0 p ara todas as valoraes, no existe valorao com = 1 p a ra to d a -ip G T. C ontradio. P o rtan to T consistente.

Exemplos.

1. {po, ~o[= 1> [Pi] = 0.

2. { p o ,P i,. . .} consistente. Escolha a valorao constante 1.

A clusula (v) do Lem a 1.5.3 nos diz que T U {tp,*

1.5. COMPLETUDE 41

Porm como T C T ' isso im plica que T ' inconsistente. C ontradio. Por conseguinte [-0] = 1 p ara to d a ^ P , logo por definio T T '. Da dem onstrao do Lenia 1.5.11 segue que esse basicam ente o nico tip o de conjunto m axim am ente consistente que podem os esperar.

O lem a fundam ental a seguir dem onstrado diretam ente. O leitor pode reconhecer nele um anlogo do Lem a da Existncia do Ideal M xim o da teoria dos anis (ou o Teorem a do Ideal P rim o Booleano), que usualm ente dem onstrado por um a aplicao do Lem a de Zorn.

L e m a 1 .5 .7 Cada conjunto consistente T est contido em. um conjunto maximamente consistente r +.

Demonstrao. Existem um nm ero contvel de proposies, p o rtan to suponha que tem os um a lista (po,(pi, de todas as proposies (cf. Exerccio 5). Definimos um a sequncia no-decrescente de conjuntos l\- ta l que a unio desses conjuntos m axim am ente consistente.

(a) r n consistente p ara todo n.

Im ediato , por induo sobre n.

(b) r* consistente.

Suponha que T* h 1 ento, pela definio de T existe um a derivao V de _L com hipteses em T*; T> tem um nm ero finito de hipteses if>o, . . . , -0^. Com o T* ( J{ r | n > 0}, tem os p ara cada i < k ipf. Pni p a ra algum n j. Suponha que n seja max{rj,- | i < k}, en to if>o, , i>k e p o rtan to r P _L. M as r consistente. C ontradio.

(c) r* m axim am ente consistente. Suponha que C A e que A seja consistente. Se A , ento xjj


(b) Suponha que p > b T e que p T. Vamos m ostrar que: b T.Com o y?, y? > b G r e considerando que T fechado sob derivabilidade (Lema1.5.8), obtem os que ip T por y if .

Reciprocam ente: Suponha que p T im plica em ip I . Se p T entoobviam ente r b b , logo r b p y b- Se p T, ento -ip T, e p o rtan to T I--- up.Por conseguinte r b p ip.

N ote que obtem os au tom aticam ente o seguinte:

C o ro l r io 1 .5 .1 0 Sc b maximamente consistente, ento p 1' O- up b , e-

1.5. COMPLETUDE 43

P a ra teorias lgicas as vezes se leva em conta um a o u tra noo de completude: um a conjunto T cham ado de completo se p ara cada


D em onstra-se facilm ente que cr* um a tau to log ia se e som ente se cada operando da conjuno contm um tom o e sua negao, ou i_L, e jun ta-se todos para obter um a derivao de cr*, que im ediatam ente resu lta num a derivao de cr.

Exerccios

1. Verifique quais dos seguintes conjuntos so consistentes

(a) {-ipi A p 2 Po, Pi -> ( - Pl - P2), Po ~>P2},

(b) {po -> Pl, Pl - t P2 , P2 - P3, P3 -A - p i, Po A Pi Pi A P3, po A P2 A p4 -> Pi A P3 A p 5, - ..} .

2. M ostre que as seguintes condies so equivalentes:

(a) {

1.6. OS CONECTIVO S QUE FALTAM 45

9. Considere um conjunto infinito {


m ais terica. A linguagem enriquecida e o conjunto de derivaes expandido. Com o consequncia preciso que se reveja os resultados tericos (ta l como o Teorem a da Com pletude) obtidos p ara a linguagem m ais simples.

A dotarem os o prim eiro procedim ento porm esboarem os tam bm a segunda abordagem .

D e fin i o 1 .6 .1

1.6. OS CONECTIVOS QUE FALTAM 47

[ < p ]

i


Reciprocam ente

(

1.6. OS CONECTIVOS QUE FALTAM 49

I i (p A ip} > -ip V -iip

by] bV][1(_up v 'ip'}] ' (-i^? V -i^>)

A gora vamos dar u m a ideia de como seria a segunda abordagem . Adicionam os V, "i e f> linguagem , e consequentem ente extendem os o conjunto de proposies. E m seguida adicionam os as regras p a ra V, i e relacionadas acim a ao nosso estoque de regras de derivao. P a ra ser m ais precisos, nesse ponto deveram os tam bm introduzir um novo smbolo de derivabilidade, porm continuarem os a usar o j estabelecido h na esperana de que o leitor se lemb ra r que agora estam os fazendo derivaes em um sistem a m aior. As seguintes condies se verificam:

Teorema 1.6.3h p V ip ++ -i(-i -L).b (


que convenientemente) apagado pela identificao de A ~p) triv ial, m as b

Captulo 2

Lgica de P red icados

2.1 Quantificadores

N a lgica proposicional usam os pores grandes da linguagem m atem tica , a saber aquelas partes que podem ter um valor-verdade. Infelizm ente, esse uso d a linguagem claram ente insuficiente p ara a p r tica m atem tica . U m simples argum ento, ta l como todos os quadrados so positivos, 9 um quadrado, por conseguinte 9 positivo no pode ser tra tad o . Do ponto de v ista proposicional a sentena acim a da form a

52 CAPTULO 2. LGICA DE PREDICADOS

3 xP (x) existe um x com propriedade P,VyP(y) p ara todo y P se verifica (todo y tem a

propriedade P),Wx3y(x 2y) p ara todo x existe um y ta l que x

o dobro de y,Me(e > 0 > 3n( < e)) p ara todo s positivo existe um n ta l que

n < x < y > 3z(x < z A z < y) se x < y, en to existe um ^ ta l quex < z e z < y,

Wx3y(x.y = 1 ) p ara cada x existe um inverso y.

Sabem os da teoria elem entar dos conjuntos que funes so tipos especiais de relaes. E n tre tan to , seria um flagrante conflito com a p r tica m atem tica ev itar funes (ou m apeam entos). Alm do m ais, seria extrem am ente incmodo. P o rtan to vam os incorporar funes em nossa linguagem .

Grosso m odo a linguagem lida com duas categorias de entidades sintticas: u m a p a ra objetos - os termos, um a p ara enunciados - as frmulas. Exemplos de term os so: 17, x, (2 + 5) 7, a?3y+1.

De que que fala a lgica de predicados com um a certa linguagem ? Ou, em ou tras palavras, os term os e as frm ulas falam de qu? A resposta : frm ulas podem expressar propriedades relativas a um dado conjunto de relaes e funes sobre um determ inado dom nio de discurso. J encontram os ta is situaes em m atem tica; falam os sobre estruturas, e.g. grupos, anis, m dulos, conjuntos ordenados (consulte um tex to de lgebra). Farem os de estru tu ras nosso ponto de p a rtid a e voltarem os lgica m ais adiante.

E m nossa lgica falarem os sobre todos os nm eros ou todos os elementos , m as no sobre todos os ideais ou todos os subconjuntos , etc. Em geral nossas variveis tero seus valores variando sobre elementos de um dado universo (e.g. as m atrizes n x n sobre os reais), m as no sobre propriedades ou relaes, ou propriedades de propriedades, etc. Por essa razo a lgica de predicados desse livro cham ada de lgica de primeira ordem, ou tam bm lgica elementar. N a p r tica d a m atem tica, e.g. em anlise, usa-se lgica de a lta ordem . N um certo sentido surpreendente que a lgica de prim eira ordem possa fazer tan to pela m atem tica , como veremos adiante. U m a breve in troduo lgica de segunda ordem ser apresentada no captu lo 4.

2.2 Estruturas

U m grupo um conjunto (no-vazio) equipado com duas operaes, um a binria e u m a unria , e com um elem ento neutro (satisfazendo certas leis). U m conju n to parcialm ente ordenado um conjunto, equipado com u m a relao binria (satisfazendo certas leis).

Generalizam os isso d a seguinte forma:

Definio 2.2.1 U m a estrutura u m a sequncia ordenada {A, R x , . . . , R n, F i , . . . , Fm, {cj | i G /}}, onde A um conjunto no-vazio. R i , . . . ,R n so relaes sobre A, F-\,. . . , Fm so funes sobre A, os c fs (i G I) so os elem entos de A (constantes).

2.2. ESTRUTURAS 53

Advertncia. As funes Ff so totais, i.e. definidas p ara todo os valores de entrada; isso s vezes pede a utilizao de alguns truques, ta l como com O-1 (cf. a definio de anis m ais adiante).

Exemplos. (M, + , -,_ 1 ,0 ,1 ) - o corpo dos nm eros reais,(N, < ) - o conjunto ordenado dos nm eros naturais.

Designamos estru tu ras por meio de letras gticas m aisculas: A, B, C, D,

Se por um m om ento esquecermos as propriedades especiais das relaes e operaes (e.g. com utativ idade da adio sobre os reais), ento o que resta o tipo de um a estru tu ra , que dado pelo nm ero de relaes, funes (ou operaes), e seus respectivos argum entos, m ais o nm ero (cardinalidade) de constantes.

D e fin i o 2 .2 .2 O tipo de similaridade de um a estru tu ra A = {A, R \ , . . . , R., F i , . . . , Fm , {cj | i /} ) um a sequncia, ( j q , . . . , rn; e q , . . . , am ; k), onde Rj A Ti, Fj : A a A, k |{cf | i /} | (cardinalidade de / ) .

As duas estru tu ras no nosso exemplo tm tip o de sim ilaridade (; 2 ,2 ,1 ; 2) e (2; ; 0). A ausncia de relaes, funes indicada por . No h objeo a estender a noo de es tru tu ra p a ra conter um nm ero arb itrariam ente grande de relaes ou funes, m as as estru tu ras m ais comuns tm tipos finitos (incluindo um nm ero finito de constan tes).

O bviam ente, te ria sido m elhor usar notaes sim ilares p ara nossas estrutu ras, i.e. (A; R i , . . . , R n' f i , . . . ,F m',{c{ \ i /}} , m as seria dem asiadam ente pedante.

Se R C A, en to dizemos que R um a propriedade (ou relao unria); se R C A 2 dizemos que R um a relao binria; se R C A n , dizemos que R um a relao n-ria.

O conjunto A cham ado de universo de A.

Notao. A |A |.A d ita (in)finita se seu universo (in)finito. Frequentem ente com eterem os

um pequeno abuso de linguagem escrevendo as constantes ao invs do conjunto de constantes, como no exem plo do corpo dos nm eros reais no qual deveram os te r escrito: (M, + , -,- 1 , {0 ,1}), porm (M, + , -,- 1 ,0 ,1 ) m ais tradicional. E ntre as relaes que encontram os em estru turas, existe um a m uito especial: a relao de identidade (ou de igualdade).

V isto que, v ia de regra, estru tu ras m atem ticas so equipadas com a relao de identidade, no listam os essa relao separadam ente. P ortan to , ela no aparece no tip o de sim ilaridade. D aqui por d ian te assum im os que todas as estru tu ra s possuem um a relao de identidade, e m encionarem os explicitam ente quaisquer excees. P a ra investigaes puram ente lgicas, bvio que faz sentido considerar u m a lgica sem a identidade, m as este livro serve a leitores das com unidades de m atem tica e de cincia da com putao.

Considera-se tam bm os casos lim ite de relaes e funes, i.e. relaes e funes 0-rias. U m a relao 0-ria um subconjunto de A. Com o A = {0} existem duas dessas relaes: 0 e {0} (consideradas como ordinais: 0 e 1). Relaes 0-rias podem p o rtan to ser vistas como valores-verdade, o que


faz com que elas desem penhem o papel das interpretaes de proposies. N a p r tica as relaes O-rias no aparecem , e.g. elas no tm qualquer funo em lgebra. A m aior parte do tem po o leitor pode prazerosam ente esquec-las, em bora que ainda assim vamos perm itir ta is relaes em nossa definio porque elas simplificam certas consideraes. U m a funo O-ria um m apeam ento de {0} p ara A. Com o o m apeam ento tem um conjunto un itrio como dom nio, podem os consider-lo como igual sua im agem .

Dessa form a, funes O-rias podem fazer o papel das constantes. A vantagem desse procedim ento , no entan to , desprezvel no presente contexto, portan to m anterem os nossas constantes.

Exerccios

1. Escreva o tip o de sim ilaridade das seguintes estru turas:(i) (C \ < , 0>(ii) (N, + , -, S, 0 ,1, 2 , 3 , 4 , . . . , n , . . . ) , onde S (x ) = x + 1,(iii) ,(iv) 0 , aj > 0 .

O alfabeto consiste dos seguintes smbolos:

1. Smbolos de predicado: P l, , P-n, 2. Smbolos de funo: f i t t f m3. Smbolos de constante: Ci p a ra i /4. Variveis: xo, x \ , X2 , . (um nm ero contvel delas)5. Conectivos: V, A , f - A -L, V, 36 . Smbolos auxiliares: ( , )

V e 3 so cham ados de quantificador universal e quantificador existencial. O sm bolo de igualdade de curiosa aparncia (com um ponto em cim a) foi escolhido p ara ev itar possveis confuses, pois existem na verdade vrios smbolos de igualdade em uso: um p ara indicar a identidade nos modelos, um p ara indicar a igualdade na m eta-linguagem , e o sin ttico in troduzido acim a. P raticarem os, no entan to , o costum eiro abuso de linguagem , e usarem os essas distines apenas se for realm ente necessria. V ia de regra o leitor no te r dificuldade em reconhecer o tip o de identidade envolvida.

2.3. A LINGUAGEM DE UM TIPO DE SIMILARIDADE 55

A seguir definimos as duas categorias sintticas.

Definio 2.3.1 T E R M o m enor conjunto X com as seguintes propriedades:() c e x (:i e i ) e x g x (?' g n ) ,(ii) f i , . . . , t ai E X f i ( t 1, . . . , f aJ G A , p ara 1 < i < m

T E R M o nosso conjunto de termos.

Definio 2.3.2 F O R M o m enor conjunto " com as seguintes propriedades:(i) 1 G X ; P{ e A se r; = 0; f i , . . . , A, G T E R M =>

P i(h , , trf) A ; t i , Q T E R M t 2 G Ar,(ii) < f,^ .X= > G A onde {A, V, -4-, ( - 19?) A ,(iv) 95 G A => ((Vari)y>), ((3x.-)p) G A .

F O R M o nosso conjunto de frmulas, in troduzim os 11 = 2 separadam ente, m as poderam os t


L e m a 2 .3 .4 Seja A(

2.3. A LINGUAGEM DE UM TIPO DE SIMILARIDADE 57

Em m atem tica existem um nm ero de operaes que ligam variveis, ta is como som atrio, integrao, abstrao: considere, por exemplo, integrao, em f 0 sin xdx a varivel tem um papel pouco usual p a ra um a varivel. Pois x no pode variar ; no podem os (sem acaber escrever besteira) substitu ir x por qualquer nm ero que desejemos. N a in tegral a varivel x reduzida a um a m arca. Dizemos que um a varivel x ligada pelo sm bolo da integrao. De form a anloga distinguim os em lgica entre variveis livres e variveis ligadas.

Ao definir vrias noes sintticas novam ente farem os livrem ente uso do princpio da definio por recurso (cf. 1.1.6). A justificativa im ediata: o valor de um term o (ou frm ula) unicam ente determ inado pelos valores de suas partes. Isso nos perm ite encontrar o valor de H (t) em um nm ero finito de passos.

D e fin i o p o r R e c u r s o s o b re T E R M : Seja IIo : V ar U C onst t A (i.e. o m apeam ento H q definido sobre variveis e constantes), 77,- : A a' ) A, ento existe um nico m apeam ento H : T E R M ) A ta l que

{H (t) Ho(t) p a ra t um a varivel ou um a constante,. . . , t aJ ) = H i(H (t i ) , . .D e fin i o p o r R e c u r s o s o b re F O R M :

Seja H at : A t > A (i.e. H at definido sobre tom os),H u : A 2 > A, ( e {V, A, }),Tf-, : A > A,H y . A x N A,H 3 : A x N A.

ento existe um nico m apeam ento H : F O R M > A ta l que H ((f) Hat {


D e fin i o 2 .3 .8 t ou

2.3. A LINGUAGEM DE UM TIPO DE SIM ILARID AD E 59

(i)


Exemplos,1. *2 livre para xo em 3x3 P ( x o, X3),2. / ( x 0, x i) no livre p a ra xq em 3 x i P (x 0, X3),3. X5 livre p ara xi em P(x 1, X3) > 3x i Q(x 1, X2).

P a ra todos os propsitos prticos o uso de t livre p ara x em p consiste do fa to de que as variveis (livres) de t no vo se to rn a r ligadas aps a substitu io em p.

Lema 2.3.13 t livre para x em p -O- as variveis de t em p \t/x \ no so ligadas por um quantificador.

Demonstrao. Induo sobre ip.

P ara 2 as variveis de t em p \\t/x ] no so ligadas por um quantificador e as variveis de t em \\Ap2) \ t / x\ no so ligadas por um quantificador.

p -11px , sem elhante.

p Vy ip. t livre p ara x em p y V L (t) e t livre p a ra x em ip asvariveis de t no esto no escopo de My e as variveis de t em ip[tfx\ no so ligadas por um (outro) quantificador as variveis de t em p \t/x \ no so ligadas por um quantificador.

Existe u m a definio anloga e um lem a anlogo p ara a substitu io de frm ulas.

Definio 2.3.14 p livre p ara $ em cr se:(i) cr atm ica,(ii) cr uiU\a2 (ou -ioq) e p livre p ara $ em ui e em 02 (ou em

2.4. SEMNTICA 61

Usam os as linguagens in troduzidas acim a p ara descrever estru tu ras, ou classes de estru tu ras de um dado tipo . Os smbolos de predicado, smbolos de funo e os smbolos de constante agem como nom es p ara vrias relaes, operaes e constantes. Ao descrever um a es tru tu ra de grande a ju d a ser capaz de se referir a todos os elementos de |A |, i.e. dispor de nomes p a ra todos os elementos (em bora que apenas como um dispositivo auxiliar). Por conseguinte introduzimos:

Definio 2.3.16 A linguagem estendida, L(A) de A ob tida a p a rtir da linguagem L, do tipo de A, adicionando-se smbolos de constante p ara todos os elem entos de A. Usam os p a ra fazer referncia ao smbolo de constante correspondente ao elem ento a |A |.

Exemplo. Considere a linguagem L dos grupos; ento L(A), p a ra A o grupo aditivo dos inteiros, tem smbolos de constante (extras) 0 ,1 , . . . , 1, 2, 3,. . . . Observe que dessa m aneira 0 tem dois nomes: o nom e antigo e um dos nom es novos. Isso no problem a, pois por que razo algum objeto no deveria te r m ais que um nome?

Exerccios

1. Escreva um alfabeto p ara as linguagens dos tipos dados no Exerccio 1 da seo 2.2.

2. Escreva cinco term os da linguagem do Exerccio 1 (iii), (viii). Escreva duas frm ulas atm icas da linguagem do Exerccio 1 (vii) e dois tom os fechados d a linguagem do Exerccio 1 (iii), (vi).

3. Escreva um alfabeto p ara linguagens de tipos (3; 1 ,1 , 2; 0), {; 2; 0) e

4. Verifique quais term os so livres nos seguintes casos, e realize a operao de substituio:

(a) x p a ra x em x x, (f) x + w p a ra z em Vw[x + z = ),0 0 y p a ra x em x x, (g) x + y p a ra z em \/w (x + z = )A(c) x + y p a ra y em z 0 3y(z - x),(d) 0 + 3/ p a ra y em 3x(y x ), 0 0 x + y p a ra z em Vw(w v)(e) x + y p a ra z em

3i;(u; + x 0),Vz(z = y).

2.4 SemnticaA arte de in terp re tar enunciados (m atem ticos) pressupe u m a rg ida separao entre linguagem e o universo m atem tico de entidades. Os objetos da linguagem so smbolos, ou cadeias de smbolos, as entidades da m atem tica so nm eros, conjuntos, funes, tringulos, etc. E um a questo p ara a filosofia da m atem tica refletir sobre o universo da m atem tica; aqui sim plesm ente aceitarem os o que nos dado. Nossas necessidades com relao ao universo m atem tico so, no m om ento, bem m odestas. Igualm ente, nossos desidrios com respeito linguagem so m odestos. A penas supom os que existe um suprim ento ilim itado de smbolos.


A ideia por tr s d a sem ntica d a lgica de predicados m uito simples. Seguindo Tarski, assum im os que um enunciado cr verdadeiro em um a estru tu ra , se de fato o caso que cr se aplica (a sentena A neve branca verdadeira se a neve de fa to branca). U m exem plo m atem tico: 2 + 2 = 4 verdadeiro na estru tu ra dos nm eros natu rais (com adio) se 2 + 2 = 4 (i.e. se a adio dos nmeros 2 e 2 resu lta no nmero 4.) In terpretao a a rte de relacionar objetos sintticos (cadeias de smbolos) e estados de coisas na realidade .

Vamos com ear dando um exem plo de u m a in terpretao em um caso simples. Consideram os a e s tru tu ra A = (Z , 0), i.e. o grupo ordenado dosinteiros.

A linguagem tem no seu alfabeto: smbolos de predicado : L

smbolos de funo : P , Msmbolos de constante : 0

L(A) tem , alm de tudo isso, smbolos de constante m p ara todo m G Z . Prim eiro interpretam os os term os fechados de L{A); a in terpretao t A de um term o t um elem ento de Z .

t t Am m

S { t \ , t 2 ) ff" + ^2M (t) - t A

Grosso m odo, interpretam os m como seu nm ero , S como soma, M como menos. N ote que interpretam os apenas term os fechados. Isso faz sentido, pois como se deveria a tribu ir um inteiro definitivo a x l

A seguir in terpretam os sentenas de L (A) a tribu indo um dos valores 0 ou1. No que concerne aos conectivos proposicionais, seguimos a sem ntica p ara a lgica proposicional.

0, 1 se t A sA 1 0 caso contrrio, f 1 s e t A < s A \ 0 caso contrrio,

ta l qual na Definio 1.2.1

m in{v(tp\fi/x\) | n G Z ) max{v([r/a;]) | n G Z}

A lgum as observaes so necessrias.

1. Na realidade definimos u m a funo v por recurso sobre

2.4. SEM N TIC A 63

4. Tal qual na sem ntica da lgica propositional, escreveremos []a para designar v a ( n , logo p ara um n fixo, m axm ([5 (n , m )]) = 1, e p o rtan to m inn m axm [ 5 (n, m )] = 1.

Vamos agora apresentar um a definio de in terpretao p ara o caso geral. Considere A = {A, R i, . . . , R n , F \ , . . . , Fm , {c,- | i /} ) de um dado tip o de sim ilaridade ( r i , . . . , r; a\ , . . . , am ; |/ |) .

A linguagem correspondente tem smbolos de predicado R \ , . . . , Rn, smbolos de funo F i , . . . , F m e smbolos de constante c,-. 5 (A ), alm do m ais, tem smbolos de constante p a ra todo a |A |.

Definio 2.4.1 U m a in terpretao dos term os fechados de 5(A ) em A um m apeam ento (-)A : T E R M C > |A| satisfazendo:

(*) c f = Ci,__Aa a,

( ) ( F i ( t , . . . , t p))A = F{(tA, . . . , tA), onde p = a4-.

Tam bm escreveremos [ ] a p a ra designar t A . A escolha u m a questo de convenincia ou conveno.

Definio 2.4.2 U m a in terpretao das sentenas

64 C A P TU LO 2. L G IC A D E P R E D IC A D O S

(*') H am a

(ii) {Ri ( t l , . . . , t p) \A

[*1 = * 2] A

{Ui) [

2.4. SEMNTICA 65

L e n ia 2 .4 .5 Se nos restringirmos a sentenas, ento (i) A |= ip A V1 -O- A |=


3. Seja A a e s tru tu ra do exerccio l(v iii), 2.2. Calcule ( |( - \/3 )----- 5|)A,

( I - ( I H ) | - ( 5 - R ) ) a

4. Que casos do Lem a 2.4.5 perm anecem corretos se considerarm os frm ulas em geral?

5. P a ra sentenas cr tem os A |= cr ou A |= ->cr. M ostre que isso no se verifica p a ra 3x

2.5. PROPRIEDADES SIMPLES DA LGICA DE PREDICADOS 67

(iv) pode ser obtido de (i), (ii).

A ordem em que os quantificadores do mesmo tipo (universal ou existencial) aparecem irrelevante, e a quantificao sobre um a varivel que no ocorre na frmula pode ser desprezada.

Teorema 2.5.2(i) |= ' ix iy i f Myixt,(ii) |= 3x3y


N a dem onstrao acim a ilustram os um a tcnica p ara lidar com as variveis adicionais z i , . . . ,Z k , que perm anecem livres, e que na verdade no desem penham um papel real. Escolhe-se um a seqiincia a rb itr ria de elem entos ( q , . . . , a* para substitu ir os z ,s e procura-se m ant-los fixos duran te a dem onstrao. P o rtan to daqui por d ian te na m aior p arte dos casos ignorarem os as variveis adicionais.

A D V E R T N C IA . Vx( Vx 3x


Corolrio 2.5.5 () Se z V L (t), ento t\a /x \ {t\z/ x\)[a/z],(ii) Se z VL(ip) e z livre para x em


- f a tm ica. O caso de um smbolo proposicional (incluindo J_) triv ial. P o rtan to considere = P (s ,.. . , S k ) . A |= P (s i , . . . , S jt)[i/^] -O- A N P (si[ ti/x ] , < (s i[ t i /x] )A, . . . , (s* [fi/x ])A) P . Pelo item(i), (s j[* i/* ])A - {s j[h /x \)A , _Logo obtem os ((si[ti/a?])A, . . . , ) G P O . . . O A |= P {si,

-


U sando um a notao m ais frouxa, podem os escrever (i) e (ii) da seguinteform a: __ __ __l * m - K M )1> u A |= s(t) - s([f]) e [y>(f)] = M M ) ] , O U A |= eq^ p a ra designar | ip ^ ip.

Exemplos.

1. Vx ipeq-A/x


E m m atem tica com um se pressupor que o leitor benvolo pode adivinhar as intenes do au tor, no apenas as explcitas, m as tam bm as que so tacitam ente passadas atravs de geraes de m atem ticos. Tom e por exemplo a definio de convergncia de um a sequncia: Vs > 03nV ro(|an an+m \ > e). De m odo a fazer algum sentido dessa expresso preciso acrescentar: as variveis n, m variam sobre o conjunto dos nm eros natu ra is. Infelizmente nossa sintaxe no perm ite usar variveis com sortes (tipos) diferentes. D a como incorporarm os expresses do tip o acim a? A resposta simples: adicionam os predicados do sorte desejado e indicam os n a frm ula a natureza da varivel.

Exemplo. Seja A = (R, Q, < ) a e s tru tu ra dos reais com o conjunto dos nm eros racionais destacado, provido com a ordem na tu ra l. A sentena cr := Mxy(x < y > 3z(Q (z) A x < z A z < y)) pode ser in terp re tada em A da seguinte form a: A |= cr, e ela nos diz que os racionais form am um conjunto denso nos reais (na ordenao n a tu ra l). Achamos, en tretan to , que esse m odo de expresso um pouco pesado. Por conseguinte introduzim os a noo de quantificadores relativizados. Com o no im p o rta se expressam os inform alm ente x racional atravs de x Q ou de Q {>'), vam os facilitar nossas vidas e a cada vez escolher a notao que nos seja m ais conveniente. Usaremos (3a* Q) e (Va Q ) como notao inform al p ara existe um x em Q e p ara todo x em Q. Agora vamos escrever cr da form a Mxy(x < y > 3 r Q (x < z A z < y)). Note queno escrevemos (Va i/ R )(-----), pois: (1) no existe relao R em A, (e) asvariveis au tom aticam ente variam sobre |A| = R

Vamos agora dar a definio propriam ente d ita da relativizao de um quantificador:

D e fin i o 2 .5 .1 2 Se P um smbolo de predicado unrio, ento (Va P)


Sub+ (Qx. ip),(iii) |= (V> > 3xp) > 3x(il> p),(iv) |= (ip > Wxp) > \/x(ip -4 p).

3. M ostre que a condio sobre V L(i() no exerccio 2 necessria.

4. M ostre que \jx3yp > 3yWxp.

5. M ostre que |= p =>|= Mxp e |= 3,c^>.

6. M ostre que 3,r >

7. M ostre que 3 xp A 3a i^> > 3a;(y> A V0-

8. M ostre que a condio sobre a?, y no Teorem a 2.5.6 necessria.

9. M ostre que

(i) |\= M x(p> i/;)) (M xptMxi();(ii) |= (3x 3xil>) 3a?(yp V);(iii) |= Va?(9? > V1) -4 (Va:^ > Mxtp)](iv) |= (Vx^ -4 3rV0 ^4 3x (p ijj)\(v) |= (3xp Mxi)) Mx(p > V)-

10. M ostre que as recprocas das implicaes do exerccio 9 (i)-(iii) e (v) no se verificam.


11. Suponha que L tenha um predicado unrio P . Defina a relativizao crp de cr por

crp cr p ara cr atm ica,:=

2.6. IDENTIDADE 75

Do contrrio adicionam os quantificadores p ara cada varivel restan te e acrescentam os identidades postias, e.g.

Val . . . z k x i . . . x nyx . . . y n ( f \ x i - y{ A f \ z k zk - H ( x 1} . . . , x n) = t ( y i , . . .,y )) .i x ~ z). M ostre que se A |= cqAoqAcrs, onde A = {A, R), ento R u m a relao de equivalncia. Obs.: x ~ y um a notao sugestiva p ara o tom o R (x, y).

6. Seja


8. O btenha a verso-para-term os de I 4 a p a rtir de sua verso-para-frm ulas.

Considerarem os linguagens p ara alguns tipos fam iliares de estru tu ras. Com o todas as linguagens so construdas d a m esm a m aneira, no listarem os os smbolos lgicos. Supe-se que todas as estru tu ras satisfazem os axiom as da identidade /1 -/4 . P a ra um refinam ento veja 2.10.2.

1. A lin g u a g em da id en tid a d e . T ipo: ;0).

Alfabeto.

Smbolo de predicado: =

As estru tu ras desse tip o so da form a A = (A), e satisfazem l i , 12, 1a- (Nessa linguagem I4 segue de I \ , l 2 ,Ia, cf. 2.10 Exerccio 5).

E m um a es tru tu ra som ente com a identidade existe to pouca estru tu ra que tudo o que se pode fazer o lhar p ara o nm ero de elem entos (cardinalidade). Existem sentenas Xn e ji.n dizendo que existem pelo menos (ou, no m xim o) n elem entos (Exerccio 3, seo 3.1)

P ortan to A |= An A p n sse |A| tem exatam ente n elementos. Com o universos no so vazios |= 3x(x x) sem pre se verifica.

Podem os tam bm form ular existe um nico x tal que ... .

D e fin i o 2 .7 .1 3\x

2.7. EXEMPLOS 77

A notao pode confundir, pois usualm ente se introduz a relao < (e.g. sobre os reais) como um a disjuno x < y ou x y. Em nosso alfabeto a relao prim itiva, em bora um outro sm bolo teria sido prefervel, m as decidim os seguir a tradio. Note que a relao reflexiva: x < x.

C onjuntos parcialm ente ordenados so bem bsicos em m atem tica , pois aparecem sob vrias form as. E m uitas vezes conveniente visualizar posets por meio de diagram as, onde a < b representado como igual ou acim a (respectivam ente d ireita). U m a das tradies em lgica a de m an ter objetos e seus nom es separadam ente. Por conseguinte falam os de smbolos de funo que so in terpretados por funes, etc. E n tre tan to , n a pr tica isso to rna a notao um pouco carregada. Preferim os usar a m esm a notao p ara os objetos sintticos e suas interpretaes, e.g. se R = (M, < ) o conjunto parcialm ente ordenado dos nm eros reais, ento R. |= Vx3y(x < y), enquanto que a rigor deveria ser escrito algo como Wx3y(x


Notao: De m odo a estar de acordo a p r tica escrevemos t s e t 1 ao invs de (t,s) e - ^ t ) .

D e fin i o 2 .7 .4 A grupo se ele um m odelo de V xyz((x y) z) = x (y z)),Vx(x e x A e x x),Vx (x x ~ l e A x ~ 1 x e).

Q uando conveniente, escreveremos ts p a ra designar t s; adotarem os as convenes de parentizao da lgebra. U m grupo A comutativo ou abeliano se A |= \/xy(xy = yx).

G rupos com utativos so frequentem ente descritos n a linguagem dos grupos aditivos, que tm o seguinte alfabeto:

Smbolo de predicado: =Smbolos de funo: + , Smbolos de constante: 0

4 . A lin g u a g em da g eo m etr ia p ro je tiv a p la n a . T ipo: (2 ; ;0).As estru tu ras que se considera neste caso so planos projetivos, que so

usualm ente assum idos como consistindo de pontos e retas com um a relao de incidncia. Nessa abordagem o tip o seria ( 1 , 1 , 2 ; ;0). Podem os, en tretan to , usar um tip o rnais simples, j que um ponto pode ser definido como algo que incidente a um a reta , e um a re ta como algo p a ra o qual podem os encontrar um ponto que lhe incidente. O bviam ente isso requer u m a relao de incidncia no-sim trica.

A gora relacionarem os os axiom as, que divergem um pouco do conjunto trad icional de axiom as. E um exerccio simples m ostrar que o sistem a equivalente aos conjuntos tradicionais.

Alfabeto.

Smbolos de predicado: I , .

Introduzim os as seguintes abreviaes: n (x ) := 3 y(x ly ), A(y) := 3 x(xIy ).

D e fin i o 2 .7 .5 A plano projetivo se satisfaz70 : Vx(II(x) -B -iA (x)),71 : Vxj/(TT(x) A n (j/) > 3 z ( x lz A y lz ) ,72 : \/uv{A(i) A A(u) > 3x ( x lu A x lv ) ) ,73 : Vxy u v (x lu A y lu A x lv A y lv x y V u v),7 4 :3x,XiX2X3UoUiU2U3(/\ XilUi A XflUj A ^ - iXilUj).

j = ? - l ( m o d . l ) j '5 i - i ( m o d 3 )

7o nos diz que em um plano projetivo tudo ponto, ou reta; 71 e 72 nos dizem que quaisquer duas retas se in tersectam em um ponto e quaisquer dois pontos podem ser unidos por um a re ta , por 73 esse ponto (ou reta) nico se as dadas retas (ou os dados pontos) so d istin tas (ou d istin tos). F inalm ente 74

2.7. EXEMPLOS 79

to rn a os planos projetivos no-triviais, no sentido de que existem pontos e retas em nm ero suficiente.

n A = {a |A | | A |= n ( )} e Aa = {6 e |A| | A |= A()} so os conjuntos de pontos e retas de A; I a a relao de incidncia em A.

A form alizao acim a um bocado com plicada. N orm alm ente se usa um form alism o bi-sortido, com P ,Q , R , . . . variando sobre pontos e t , m , n . . . variando sobre retas. O prim eiro axiom a en to om itido por conveno. Os axiom as restantes ficam assim

7j : VPQ 3C(PIAQ I),72 : Vm3P(PI A P Im ),73 : MPQm(PI A QI A P Im A Q lm ^ P = Q V = m),74 ^ P o J W V o W s A W - A f \ Pili A / \

j=-i(m od3) jji-i(mod3)

A traduo de u m a linguagem p ara a o u tra no apresenta qualquer dificuldade. Os axiom as acim a so diferentes dos axiom as usualm ente dados no curso de geom etria projetiva. Escolhemos esses axiom as especficos porque so fceis de form ular e tam bm porque o cham ado principio da dualidade segue im ediatam ente. (cf. 2.10, Exerccio 8). O quarto axiom a um axiom a de extenso, e sim plesm ente diz que certas coisas existem ; ele pode ser parafraseado diferentem ente: existem quatro pontos entre os quais no h um grupo de trs pontos colineares (i.e. sobre u m a re ta). Tal axiom a de extenso m eram ente um a precauo p ara assegurar que m odelos triv iais sejam excludos. Nesse caso particular, no se poderia fazer m u ita geom etria se houvesse apenas um tringulo!

5 . A lin g u a g em dos a n is com e lem en to u n it r io . T ipo: {;2 ,2 ,1 ;2 ) .

Alfabeto.Smbolo de predicado: =Smbolos de funo: + , -, Smbolos de constante: 0,1

Definio 2.7.6 A um anel (com elem ento unitrio) se ele um m odelo de V xyz((x + y) + z x + (y + z)),Vxy(x + y - y + x),Wxyz ( (x -y ) z = x (y z)),'ix y z lx (y + z) - x y + x z),V r( r + 0 = x),V r( r + (x) 0),V r ( l - i = i A r - l = x),0 = 1 .

U m anel A comutativo se A |= iixy{x y y x).U m anel A um anel de diviso se A |= V r ( r ^ 0 > 3y(x y 1)).U m anel com utativo de diviso cham ado de corpo.

N a verdade m ais conveniente se te r disponvel na linguagem de corpos, um smbolo p ara a funo que d o elem ento inverso, da a linguagem te ria o tipo


{> 2 ,2 ,1 ,1 ; 2).Por conseguinte adicionam os lista anterior de axiom as as sentenas \/x(x 0 t x x -1 = 1 A x -1 x 1) e O-1 = 1.

N ote que devemos de algum a m aneira fixar o valor de O-1 , e a razo para isso aparecer em 2.10, Exerccio 2.

6 . A lin g u a g em da a r itm tic a . T ipo: (; 2 ,2 ,1 ;1 ) .

Alfabeto.

Smbolo de predicado: =Smbolos de funo: + , , SSmbolo de constante: 0(S representa a funo sucessor n i q n + 1).

H istoricam ente, a linguagem da a ritm tica foi in troduzida por Peano com a inteno de descrever os nm eros na tu ra is com adio, m ultiplicao e sucessor, a m enos de isomorfismo. Isso em contraste com, e.g. a teoria dos grupos, na qual se procura cap tu rar u m a grande classe de estru tu ras no-isom orfas. Aconteceu, en tretan to , que os axiom as de Peano caracterizaram um a grande classe de estru tu ras, que cham arem os (na fa lta de um term o) estruturas de Peano. Sem pre que algum a confuso am eaa acontecer usarem os a notao oficial para0 sm bolo zeo: 0, porm na m aioria das vezes confiaremos no bom senso do leitor.

Definio 2.7.7 U m a estrutura de Peano A um m odelo de VT(0 ^ S(x)),V xy(S(x) = S(y) x = y),Mx(x + 0 = x),Mxy(x + S(y) - S (x + y)),V r(r *0 = 0),Vxy(x -S(y) - x - y + x ),^>(0) A 'x( Vx n < ? j : pela definio de in terpretao tem os que 0 = 0 . A ssum a que n N = n , n + 1 = (5 (n ))N =n N + 1 = n + 1. Agora aplicam os a induo m atem tica na m eta-linguagem , e obtem os que = n p a ra todo n. P a ra a segunda alegao veja o Exerccio 13. Em N podem os definir todos os tipos de conjuntos, relaes e nm eros. P a ra ser m ais preciso dizemos que um a relao fc-ria II em N definida por

2.7. EXEMPLOS 81

( a i , . . . , ak) R-O- N |=


Se abandonam os a condio de irreflexividade ento um grafo simplesm ente um conjunto com u m a relao binria. Podem os generalizar a noo ainda m ais, de form a que m ais arestas podem conectar um p ar de vrtices.

P a ra t ra ta r ta is grafos generalizados consideram os u m a linguagem com dois predicados i m, ri os V, E e um predicado ternrio C. Pense em V (x) como x um vrtice . E (x ) como x um a aresta , e C ( x ,z ,y ) como z conecta x e y. U m multigrafo direcionado um a estru tu ra = (A, V, E , C } satisfazendo os seguintes axiomas:

\/x{y{x ) -iE (x)),V x y z (C (x ,z ,y ) V(x) A V(y) A E{z)).As arestas podem ser vistas como setas. A dicionando a condio de sim etria,

Wxyz(C(x, z, y) C(y, z, a?)) obtm -se m ultigrafos no-direcionados.

Exemplos,

figuras da pgina 90

Observao: A nom enclatura em teoria dos grafos no m uito uniform e.Escolhemos nosso arcabouo form al de ta l form a que ele se preste ao tra tam en to em lgica de prim eira ordem.

P a ra o propsito de descrever m ultigrafos u m a linguagem bi-sortida (cf. geom etria) bem adequada. Deixo a reform ulao ao leitor.

Exerccios

1. Considere a linguagem das ordens parciais. Defina predicados p ara (a) x o mximo; (b) x maximal; (c) no existe elem ento entre x e y; (d) x um sucessor imediato (respectivam ente predecessor imediato) de y; (e) z o nfimo de x e y.

2. D um a sentena cr ta l que Ao |= cr e A4 |= -icr (para A,- associado aos diagram as da pgina ??).

3. Sejam A i = (Ff,

2.8. DEDUO N A TU R A L 83

9. De u m a frm ula cr{x) na linguagem dos anis ta l que A |= cr(a) o ideal principal (a) prim o (em A).

10. Defina n a linguagem da aritm tica: (a) x e y so prim os entre si; (b) x o m enor prim o m aior que y; (c) x o m aior nm ero com 2 x < y.

11. cr := Vaq . . .x n3yi .. .ymp e t 3yi . . . ymip so sentenas em um a linguagem sem a identidade, smbolos de funo ou constantes, onde


nenhum dos objetos que conhecemos em m atem tica pode ser considerado arb itrrio . P o rtan to ao invs de procurar pelo objeto a rb itrrio no m undo real (do ponto de v ista d a m atem tica), vamos ten ta r encontrar um critrio sinttico. Considere u m a varivel x (ou um a constante) em um a derivao, existem fundam entos razoveis p ara cham ar x de a rb itrrio ? Aqui vai um a sugesto plausvel: no contexto das derivaes cham arem os x arbitrrio se nada foi assum ido concernente a x. E m term os m ais tcnicos, x a rb itrrio em sua ocorrncia especfica em u m a derivao se a p arte d a derivao acim a dela no contm qualquer hiptese que contenha x livre.

D em onstrarem os a necessidade das restries acim a, lem brando sem pre que o sistem a pelo m enos tem que ser seguro, i.e. que enunciados derivveis devem ser verdadeiros.

Restrio sobre V/:1> - 0]

\fx(x = 0)

x 0 y Mx(x 0)

Mx(x 0 Vx(x = 0))

0 = 0 - ^ Vx(x = 0)

A in troduo do V no prim eiro passo foi ilegal.

Logo b 0 = 0 > Var(ar 0), porm claram ente 0 = 0 ^ 'ix[x 0) (tom e qualquer estru tu ra contendo m ais que apenas o 0).

Restrio sobre VA:

[Var-.Vy(ar = y)]

V x-N y(x = y) ~Ny(y = y)

A elim inao do V no prim eiro passo foi ilegal.

N ote que y no livre p a ra x em -iVy(x y). A sentena derivada claram ente falsa em estru tu ras com pelo m enos dois elementos.

A gora vam os dar alguns exemplos de derivaes. Assum im os que o leitor nesse ponto tenha experincia suficiente em cancelar hipteses, de ta l form a que no m ais indicarem os os cancelam entos usando nm eros.

\jx'iy


Seja x VL( j>(x))]

{x)V E

[{x)Vx^(x)

E

V I Vx (v5 > V x ip (x ) )-+I

N a derivao m ais d ire ita V I foi perm itido , pois x VL(


No caso em que apenas sentenas forem envolvidas, a definio pode ser simplificada:r 1=


Exemplos.

1. I/ VT3/ > 3yMx


P ( t1 ) . . . , t ny : = P e J - t := . L

( 'V) t :=(Vx^)t :=

M ostre que r b - M ^>t, onde M quer dizer derivvel sem usar (V/) ou (Vi?) (e a recproca se verifica?)Conclua que a lgica de predicados consistente.M ostre que a lgica de predicados conservativa sobre a lgica proposicional (cf. definio 3.1.5).

2.9 Adicionando o Quantificador ExistencialVamos in troduzir 3x

2.9. ADICIONANDO O QUANTIFICADOR EXISTENCIAL 89

Podem os com pactar a ltim a derivao em um a regra de elim inao p ara 3:

[


O resultado no seria derivvel se pudssemos apenas fazer substituies p ara todas as ocorrncias ao m esm o tem po. Mesmo assim , o resultado evidentem ente verdadeiro.

A form ulao apropriada das regras agora :

9 'ixwVA ---------

'ix p

2.10. DEDUO N ATU RAL E ID ENTID AD E 91

Exemplo.

x y x 2 + y2 > 1 2 x

2 y2 > 1 2 x

x y x 2 + y2 > 1 2 x

x 2 + y2 > 12y

x y x 2 + y2 > 2 x

2y2 > 12yOs exemplos acim a so aplicaes legtim as de R I4 que tm trs diferentes concluses.

A regra R I1 no tem hipteses, o que pode parecer surpreendente, porm certam ente no proibido.

As regras R I4 tm m uitas hipteses, e em consequncia as rvores de derivao podem parecer um pouco com plicadas. O bviam ente pode-se obter todos os benefcios de R I4 a travs de um a regra restrita , perm itindo-se apenas um a substitu io a cada vez.

L e n ia 2 .1 0 .1 b /, para i 1,2, 3, 4,

Demonstrao. Im ediata .

Podem os enfraquecer um pouco as regras R I4 considerando apenas os term os e as frm ulas m ais simples.

L e n ia 2 .1 0 .2 Seja L do tipo ( r q , . . . , r n ; Gq,. . . , am ; k ). Se as regras

x i - y i , . . . . x T i - y Tt P 1(x1 , . . . , x rt) _--------------------------------------------------------- para todo 1 < n

x 1 = y1 , . . . , x aj = ya . .----------------------------------------------- para todo j < mf j ( x 1, , x aj) = f j ( y 1, . . . , yaj)

so dadas, ento as regras R I4 so derivveis.

Demonstrao. Consideram os um caso especial. Suponha que L ten h a um smbolo binrio de predicado e um sm bolo unrio de funo.

(i) M ostram os que x y b t (x) t(y) por induo sobre t.

(a) t (x) u m a varivel ou um a constante. Im ediato.(b) t (x) f (s{xj ) . H iptese da induo: x y b s ( r ) = s(y)

[ x - y \

f (x) = f(y)Mxy{x - y ^ f ( x ) = f (y) )

- s{y) f ( s (x) ) = f (s(y))

VI 2x

f ( s (x) ) = f (s(y))

x y

V

s ( r ) = s(y)


Isso m ostra que x y h f(s (x )) f(s (y )).

(ii) M ostram os que x y, t .Hiptese da induo: x y,

2.10. DEDUO N ATU RAL E ID ENTID AD E 93

Logo x y,Wzlip(z, x) b Vz'ip(z, y).Isso estabelece, por induo, a regra geral.

Exerccios

1. M ostre que Vx(x x),M xyz{x y A z y ^ - x z)\~ Io A I3 (usando apenas a lgica de predicados).

2. M ostre que b 3x(t x) p a ra qualquer term o 1. Explique por que to das as funes em um a es tru tu ra so to ta is (i.e. definidas p ara todos os argum entos); que significa O- 1 ?

3. M ostre que b Mz(z = x >z = y ) ^ x = y.

4. M ostre que b V xyz(x j t / ^ x ^ z V i / ^ z ) .

5. M ostre que na linguagem da identidade, , Io, I3 b I4 .

6. M ostre que Vx(x a \ / x b \ / x c) b \!x

Captulo 3

C om ple tude e A plicaes

3.1 O Teorema da CompletudeTal qual no caso da lgica propositional m ostrarem os que derivabilidade e consequncia sem ntica coincidem. Farem os bastan te coisa antes de chegar no teorem a. E m bora a dem onstrao do teorem a da com pletude no seja rnais difcil que, digam os, algum as dem onstraes em anlise, recom endaram os ao leitor que fizesse um a le itu ra do enunciado do teorem a e que saltasse a dem onstrao na prim eira leitura, retornando a ela m ais tarde. E m ais instru tivo ir s aplicaes e isso provavelm ente d ar ao leitor um m elhor sentim ento p a ra o assunto.

A principal ferram enta neste captu lo o

Lenia 3.1.1 (Lenia da Existncia de Modelo) Se T um conjunto consistente de sentenas, ento T tem um modelo.

U m a verso m ais refinada

Lenia 3.1.2 Suponha que L tenha cardinalidade k. Se T um conjunto consistente de sentenas, ento T tem um modelo de cardinalidade < k.

De 3.1.1 im ediatam ente deduzim os o teorem a de Gdel

Teorema 3.1.3 (Teorema da Completude) T h

96 CAPTULO 3. COM PLETUDE E APLICA ES

Isso significa que a teo ria tem que provar ip(t) p a ra um term o fechado apropriado t. Esse problem a resolvido nas cham adas teorias de Henkin. (ii) U m modelo tem que decidir sentenas, i.e. ele tem que dizer se a ou -ia se verificam, para cada sentena cr. Tal qual em lgica proposicional, isso tra ta d o pelas teorias consistentes m axim ais.

Definio 3.1.4 (i) U m a teoria T um a coleo de sentenas com a propriedade T Pvarphi =>

3.1. O TEOREMA DA COMPLETUDE 97

5. T h (3x 3y

98 CAPTULO 3. COM PLETUDE E APLICA ES

1. C ada cadeia em A tem um lim itan te superior. Seja {Ti \ i 1} um a cadeia. E nto T ' (J T um a extenso consistente de T contendo todos os 7}s (Exerccio 2). Logo T ' um lim itan te superior.

2. Por conseguinte A tem um elem ento m axim al Tm (lem a de Zorn).

3. Tm u m a extenso m axim am ente consistente de T . A penas tem os quedem onstrar que: se Tm C T ' e T A, ento Tm T ' M as isso triv ial pois Tm m axim al no sentido de C. Concluso: T est contida na teoria m axim am ente consistente Tm .

N ote que em geral T tem m uitas extenses m axim am ente consistentes. A existncia acim a est longe de ser nica (na verdade a dem onstrao de sua existncia usa essencialm ente o axiom a da escolha). Note, en tretan to , que se a linguagem contvel, pode-se reproduzir a dem onstrao de 1.5.7 e dispensar o Lem a de Zorn.

A gora com binam os a construo de um a extenso de H enkin com um a extenso m axim am ente consistente. Felizmente a propriedade de ser um a teoria de H enkin preservada sob a operao de se to m ar um a extenso m axim am ente consistente. Pois, a linguagem perm anece fixa, da se p ara um enunciado existencial 3x

3.1. O TEOREMA DA COMPLETUDE 99

(a) A relao t ~ s definida por Tm b i s p a ra , s i um a relao de equivalncia. Pelo lem a 2.10.1, I \ , I 2 , I3 so teorem as de Tm , logo Tm b Vx(x x), e p o rtan to (por (VA) Tm b t t, ou t ~ t. S im etria e transitiv idade seguem d a m esm a m aneira.

(b) / i ~ (1 d p) e (j \ . . . , tp)P f (1) * * * 1 sp} G P.ti ~ Sj(i < A*) / ( i , . . . , i^) ~ / ( s i , . . . , s/.) p ara todos os smbolos P e / .

A dem onstrao

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