Lógica dos predicados: resolução

7/24/2019 Lgica dos predicados: resoluo

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Lgica dos predicados: resoluoDavid Dharbe Documento elaborado a partir da

apostila Logique pour lIntelligenceArticielle, do Prof. Pascal Gribomont.UFRN DIM05052012

Sumrio

1 Introduo 1

2 Formais normais 2

Forma prenex 2

Forma de Skolem 3

Forma clausal 5

3 Teoria de Herbrand 5

Domnio de Herbrand 5

Interpretaes, bases e modelos de Herbrand 6

Simplificao de Herbrand 7

Teoremas de Herbrand 7

4 Anlise de formas clausais 8

Exemplos de anlise de formas clausais 8

Um semi-procedimento de deciso 9

Aplicao anlise de regras de inferncia 9

5 Resoluo fundamental 10

Procedimento de resoluo fundamental 11

6 Exercite-se 11

1 Introduo

A tcnica de anlisepor resoluo, estudada no quadro da l-

gica proposicional, tambm uma tcnica poderosa para analizar a

lgica dos predicados. Embora a tcnica dos tableaux talvez seja a

mais simples para um ser humano mostrar a (in)satisfatibilidade de

um conjunto de frmulas, no a nica usada em aplicaes compu-tacionais. Uma outra tcnica utilizada a anlise por resoluoque j

foi apresentada no caso proposicional.

Na prtica, a resoluo a base da linguagem de programao

lgica PROLOG1, a qual permite programar com um tipo restrito de 1J. Wielemaker, T. Schrijvers, M. Triska,and T. Lager. SWI-Prolog. Theory andPractice of Logic Programming,12(1-2):6796,2012

frmulas de lgica dos predicados chamado de clusulas de Horn.


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lgica dos predicados: resoluo 2

No caso da lgica dos predicados geral, h vrias ferramentas de de-

duo automtica, tais como Otter2, Spass3 e Vampire4, que utilizam 2 W. McCune. Otter3.0ReferenceManual and Guide. Technical ReportANL-94/6, Argonne National Labora-tory, Argonne, USA,19943 C. Weidenbach. Spass: Combiningsuperposition, sorts and splitting, 19994 A. Riazanov and A. Voronkov. Vam-pire1.1 (system description). InIJCAR01: Proceedings of the First International

Joint Conference on Automated Reasoning,pages376380, London, UK, 2001.Springer-Verlag

resoluo.

A tcnica de resoluo, no caso da lgica dos predicados, tam-

bm apoia-se em formas normais. A motivao de introduzir formasnormais poder se apoiar sobre hipteses adicionais (as proprieda-

des que caracterizam as formas normais) para poder provar teoremas

especficos e, sobretudo, tcnicas de anlise dedicadas.

2 Formais normais

Na lgica proposicional, a resoluo apoia-se na transformao

da frmulao do problema em forma normal conjuntiva. Na lgica

dos predicados, similarmente, deve-se formular o problema inicial

emforma clausal. Ultimamente, o objetivo desta seo introduzir aforma clausal para formulas da lgica de predicados. Duas formas

intermedirias teis so a forma prenex e a forma de Skolem. A

figura1 ilustra a relao entre as diferentes formas normais.

frmula qualquer

frmula em forma prenex

frmula em forma de Skolem

frmula em forma clausal

Figura1: As diferentes formas normaisusadas para aplicar resoluo em lgicados predicados.

Forma prenex

Def1. Uma frmula temforma prenexquando tem a forma:

Q1x1Q2x2. . .Qnxn

prefixo

M

matriz

ondeQi ou para todoi = 1 . . . ne M uma frmula sem quan-

tificador.

Adicionalmente, podemos assumir que as variveis quantificadas

x1. . .xn aparecem na frmula M.

Teorema 1. Para qualquer frmula do clculo dos predicados, existe uma

frmula em forma prenex equivalente.


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A provadeste teorema construtiva, ou seja so fornecidas regras A aplicao destas regras ser ilus-trada com a seguinte frmula exem-plo: x(p(x) yx(q(x,y) z r(a, x,y))).

que, aplicadas a uma forma qualquer, resultam em uma frmula

equivalente em forma prenex.

Eliminar todos os conectores lgicos diferentes de, e . Ex. x(p(x) yx(q(x,y) z r(a, x,y))).

A B A B,

A B (A B) (A B).

Se necessrio, renomear as variveis ligadas de tal forma que Ex. x(p(x) yu(q(u,y) z r(a, u,y))).nenhuma varivel tenha ocorrncias livres e ligadas na frmula, ou

em alguma das suas sub-frmulas.

Eliminar as quantificaes cuja varivel no aparece no corpo. Ex. x(p(x) yu(q(u,y) r(a, u,y))).

Mover as negaes em direo s folhas da rvore sinttica, elimi-Ex. x(p(x) yu(q(u,y) r(a, u,y))).

nando duplas negaes.

A A,

A A,

(A B) A B,

(A B) A B,

A A

Mover as quantificaes em direo raiz da rvore sinttica, Ex. xyy(p(x) (q(u,y) r(a, u,y))).renomeando as variveis se necessrio.

x A x B x(A B),

x A x B x(A B)

Se x no ocorre emB:

Qx A B Qx(A B), ondeQ ou ,

Qx A B Qx(A B), ondeQ ou .

Forma de SkolemThoralf Skolem (18871963) foi ummatemtico noruegus principalementereconhecido por seus trabalhos em l-

gica matemtica e teoria dos conjuntos.

Def2. Uma frmula temforma de Skolem quando tem forma prenex e

no possui quantificador existencial.

A partir de uma frmula em forma prenex Q1x1 Qn xnM, passa-

se a uma frmula em forma de Skolem da seguinte maneira.

Se todos osQ i so , ento a frmula j est em forma prenex.


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Seno, sejako menor ndice tal queQi . Existek 1 quan-

tificadores a esquerda de Qk. A varivelxk substituda por Os smbolos introduzidos so chama-dossmbolos de Skolem.f(x1. . .xk1), onde f um novo smbolo de funo, em M e a

quantificaoxk eliminada. f uma constante quandok= 1.

A operao repetida para eliminar at que todas as quantifica-

es existenciais estejam eliminadas.

Alguns exemplospermitem ilutrar esta operao:

1. xyu(p(x,y) q(a, x,y, u): A nica quantificao existencial

aplicado varivelu. H duas quantificaes universais aplicando-

se a ela, logo criado um novo smbolo de funo de aridade dois,

digamos f, e o resultado da Skolemizao obtido eliminando

a quantificaoue substituindou por f(x,y): xy(p(x,y)

q(a, x,y, f(x,y)).

2. xuvwxyz M(x,y,z, u, v, w) primeiro simplificada em

uvwxyz M(x,y,z, u, v, w), pois a primeira quantificaox intil.

A primeira quantificao existencial, ento criado um novo

smbolo de constante, digamos a que substitui a varivel quantifi-

cadau: vwxyz M(x,y,z, a, v, w).

Agora, o primeiro quantificador existencialwest no escopo de

uma nica quantificao universal; criado um novo smbolo de

funo de aridade um, digamos f, e a varivelw substituda por

f(v): vxyz M(x,y,z, a, v,f(v)).

Ainda h uma quantificao existencial, no escopo de trs quan-

tificadores universais; criado um smbolo de funo de ari-dade trs, digamos g, e a varivelz substituda por g(v, x,y):

vxy M(x,y,g(v, x,y), a, v,f(v)). Esta frmula uma forma de

Skolem.

Intuitivamente, na frmulaxyu(p(x,y) q(a, x,y, u), a

substituio da varivel existencialmente quantificadau pelo termo

f(x,y) uma forma de indicar que o valor de u depende dos valores

dex e y, e esta dependncia codificada atravs da nova funo f.

Def3. Duas frmulas so A e B so equisatisfatveisquando A

satisfatvel se e somente se B satisfatvel.

Teorema 2. Se A uma forma prenex, a forma de Skolem SAassociada

satisfatvel se e somente se A satisfatvel.

Note que as duas formas no so equivalentes semanticamente,

j que a forma de Skolem possui smbolos que no existem em A,


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e necessariamente as interpretaes de Ae SA so diferentes. Mais

precisamente, um modelo de Apode ser estendido em um modelo

deSA, e um modelo de SA pode ser restringido a um modelo de A.

Forma clausal

Def4. Uma frmula da lgica dos predicados est em forma clausal

se est em forma de Skolem e a sua matriz est em forma normal

conjuntiva.

Dada uma frmula A, para encontrar uma forma equisatisfatvel,

primeiro calcula-se a forma de Skolem e segundo calcula se uma

forma normal conjuntiva da matriz.

xy p(x,y) yx p(x,y)

xy p(x,y) yx p(x,y)

xyp(x,y) yx p(x,y)

xyp(x,y) uv p(u, v)

xyuv(p(x,y) p(u, v))

xu(p(x,f(x)) p(u,g(x, u)))

Quando uma frmula est em forma clausal, se existe uma con-

veno de notao que diferencia smbolos de variveis e smbolos

de constantes, pode-se omitir os quantificadores. Neste caso, a forma

clausal simplesmente um conjunto de clausulas. Assim, a frmula

xyz((p(x,y) q(a)) (q(x) r(b,z))) pode ser representada

pelo conjunto: {p(x,y) q(a); q(x) r(b,z)}5. 5 Note que este conjunto equivalente a{p(x,y) q(a); q(u) r(b, v)}.

3 Teoria de Herbrand

Jacques Herbrand (1903-1931) foi ummatemtico e lgico francs.

O objetivo sistematizar a construo de interpretaes cannicas

tais que se uma frmula A em forma de Skolem satisfatvel, en-

to ela possui um modelo cannico. Tais interpretaes, chamadas

interpretaes de Herbrand, so baseadas em um domnio chamado

domnio de Herbrand. Este domnio simplesmente constitudo por

todos os termos fechados construdos sobre o lxico da frmula A.

Portanto, nas interpretaes de Herbrand, os objetos semnticos so

os prprios objetos sintticos.

Domnio de Herbrand

Def5. SejaS uma forma de Skolem cujas constantes e funes for-

mam os conjuntosA e F. Se S no conter constante, entoA = {a},

ondea um novo smbolo.


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Odomnio de Herbrand HS deS definido recursivamente por:

Se a Aento a HS.

Se f F, e f tem aridadem, et1, . . . tm HS, ento f(t1, . . . tm)

HS.

Alguns exemplos

ParaS1 = (p(a) p(b) q(z)) (q(z) p(b) q(z)), temos

HS1 ={a, b}.

ParaS2= (p(x, f(y)) p(w,g(w))), temos

HS2 ={a,f(a),g(a),f(f(a)),f(g(a),g(f(a)),g(g(a)), . . .}.

ParaS3= (p(x) q(x)) q(x), temos HS3 ={a}.

ParaS4=p(a,f(x,y)) p(b, f(x,y)), temos

HS4 ={a, b, f(a, a), f(a, b),f(b, b),f(b, a), f(a,f(a, a)), . . .}.

Dizemos que um termo (tomo, literal, clusula, ou matriz de uma

forma de Skolem) fechado quando no contem varivel. Os elemen-

tos do domnio HS so os termos fechados.

Interpretaes, bases e modelos de Herbrand

Def6. SejaS uma forma de Skolem. Uma interpretao de HerbrandH

deS uma interpretao tal que:

O domnio deH HS, o domnio de Herbrand deS.

Se a uma constante de S, ento HC(

a) =

a. Se f um smbolo de funo de aridadem de S ento, et1, . . . tm

so termos, ento Hc(f(t1, . . . tm) = f(Hc(t1), . . .Hc(tm)).

No h restrio acerca da interpretao das variveis e dos smbo-

los de predicados.

Os termos fechados que constituem o domnio de Herbrand, assim

como os tomos, literais, e clusulas construdos a partir deles so

chamados defundamentais.

Def7. Abase de Herbrand Bs o conjuntos dos tomos fundamentais

deS.

Alguns exemplos

ParaS1 = (p(a) p(b) q(z)) (q(z) p(b) q(z)), temos

BS1 ={p(a);p(b); q(a); q(b)}.


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ParaS2=p(x,f(y) p(w,g(w)), temos

BS2 ={p(a, a);p(a, f(a));p(a,g(a));p(f(a), a); . . .}.

ParaS3= (p(x) q(x)) q(x), temos BS3 ={p(a); q(a)}.

Observe que qualquer interpretao de Herbrand atribui um valor

de verdade a todos os tomos fundamentais.

Def8. Ummodelo de Herbrandde uma frmula em forma de Skolem

S uma interpretao de Herbrand que satisfazS.

Por exemplo, paraS2 = p(x,f(y)) p(w,g(w)), um modelo

de Herbrand deve associar F a todos os tomos fundamentais que

seguem o padro p(t1,f(t2)) , e V a todos os tomos fundamentais

que seguem o padro p(t,g(t)) (ondet,t1 e t2 so termos fechados

quaisquer de HS2 ).

Simplificao de Herbrand

Teorema 3. SejaH uma interpretao de Herbrand, com domnio H, para

a matriz A(x1, . . .xn). EntoH(x1, . . . xnA(x1, . . .xn)) = Vse e

somente seH(A(h1, . . . hn)) = Vpara todos os h1, . . . hn de H.

Def9 (Instncias fundamentais). As frmulas A(h1, . . . hn)so cha-

madas deinstncias fundamentaisda matriz A(x1, . . .xn)ou da forma

de Skolem correspondente.

Corolrio1. Uma forma de Skolem satisfeita por uma interpretao

de Herbrand se e somente se todas as suas instncias fundamentais so

satisfeitas nesta interpretao.

Uma simplificao consiste em identificar as interpretaes de

Herbrand de uma forma de Skolem S com as funes totais de BS, a

base de Herbrand de S, para o conjunto{V, F}. Em outros termos,

uma interpretao de Herbrand uma valorao dos tomos funda-

mentais deS.

A teoria de Herbrand permite ento analizar problemas da lgica

dos predicados usando tcnicas de anlise da lgica proposicional. A

nica diferena, e importante, que o lxico proposicional, formado

pela base de Herbrand, geralmente infinito.

Teoremas de HerbrandTeorema 4 (Primeiro teorema de Herbrand). Uma frmula S, em forma

de Skolem, satistatvel se, e somente se, tem um modelo de Herbrand.

Note queeste teorema apenas se aplica a formas de Skolem. Por

exemplo, a frmula p(a) xp(x) satisfatvel, mas no admite


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modelo de Herbrand. De fato, o domnio de Herbrand seria{a}, e

os modelos desta frmula tem domnios de interpretao com pelo

menos dois elementos. Em compensao, a forma de Skolem que

corresponde a esta frmula p(a) p(b), e tem como modelo de

Herbrand a interpretao{p(a)V,p(b)F}.

Teorema 5 (Segundo teorema de Herbrand). Uma frmula S em forma

de Skolem insatisfatvel se, e somente se, possui uma conjuno finita

insatisfatvel de instncias fundamentais da sua matriz M.

Este segundo teorema a base de uma segunda tcnica para ana-

lizar a consistncia de frmulas. As instncias fundamentais de uma

frmula so frmulas fechadas6 e podem ser analizadas com tcnicas 6 Sem variveis.

puramente proposicionais. Para mostrar que uma frmula em forma

clausal insatisfatvel basta achar um nmero finito de instncias

fundamentais cuja conjuno insatisfatvel. A prova da insatis-

fatibilidade de uma frmula em lgica dos predicados portanto

composta por1) o clculo de uma forma clausal equisatisfatvel, 2)um conjunto finito de instncias fundamentais da forma clausal, 3)

uma prova que a conjuno destas instncias insatisfatvel na lgica

proposicional.

4 Anlise de formas clausais

As formas clausais so um caso particular das formas de Skolem, e

do teorema5 podemos deduzir o seguinte corolrio.

Corolrio2. Uma frmula em forma clausal S insatisfatvel, se e somente

se existe uma conjuno finita insatisfatvel de clusulas fundamentais.Por exemplo, considere a forma clausal xyz(C1(x,y) C2(y,z))

ondeC1 e C2 so clusulas. Seja Ho domnio de Herbrand associado.

O conjunto das instncias fundamentais da matriz : {C1(h, h)

C2(h, h ) | h, h, h H}. Este conjunto equivalente logicamente a

{C1(h, h) | h, h H} {C2(h

, h ) | h, h H}que equivalente

a{C1(h, h); C2(h, h

) | h, h H}, o qual o conjunto das clusulas

fundamentais.

Exemplos de anlise de formas clausais

O primeiro exemplo a frmula A =def (x(p(x) q(x))

(x p(x) x q(x))).

A forma de Skolem SA = x((p(x) q(x)) p(x) q(a)),

e a forma clausal {p(x) q(x);p(x); q(a)}. As clusulas funda-

mentais so{p(a) q(a);p(a); q(a)}. Podemos aplicar qualquer


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procedimento de anlise de satisfatibilidade da lgica proposicio-

nal para verificar que um conjunto de frmula fechadas (como este

conjunto) insatisfatvel. Logo A insatisfatvel.

O segundo exemplo a forma clausalS = {p(f(x), a) p(y,g(a)); p(f(f(a)),z)}.

Como o lxico tem smbolos de funes de aridade positiva, o dom-nio de Herbrand infinito, e h uma infinidade de clusulas funda-

mentais. Dentre elas, trs so particularmente interessantes:

C1 =def p(f(f(a)), a) p(f(f(a)),g(a)),

C2 =def p(f(f(a)), a),

C3 =def p(f(f(a)),g(a)).

O conjunto{C1, C2, C3} insatisfatvel, logoS insatisfatvel.

Um semi-procedimento de deciso

O teorema de Herbrand permite justificar o seguinte semi-procedimentode deciso da validade de frmulas da lgica dos predicados:

1. Negar a frmula dada;

2. Calcular uma forma clausal desta negao;

3. Gerar um conjunto finito de clusulas fundamentais;

4. Verificar se este conjunto de clusulas fundamentais insatisfat-

vel.

Os dois primeiros passos so altamente automticas. O ltimo passo

pode ser realizado com procedimentos de deciso da lgica propo-sicional. A dificuldade reside principalmente no terceiro passo, que

necessita gerar as instncias fundamentais adequadas.

Aplicao anlise de regras de inferncia

Seja H1 : x(p(x) q(x)), H2 : x(q(x) r(x)), eC : x(p(x)

r(x)). Queremos mostrar que a regra de inferncia seguinte:

H1 H2C

uma regra correta, ou seja H1,H2 |= C, ou ainda A =def H1H2 C insatisfatvel. A primeira etapa transformar A em forma

clausal:

A =def x(p(x) q(x)) x(q(x) r(x)) x(p(x) r(x))

= x(p(x) q(x)) x(q(x) r(x)) x(p(x) r(x))


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= x(p(x) q(x)) x(q(x) r(x)) (p(c) r(c))

= x( (p(x) q(x)) (q(x) r(x)) p(c) r(c) )(forma de Skolem)

{ p(x) q(x); q(x) r(x);p(c); r(c) }(forma clausal)

O domnio de Herbrand desta forma clausa {c}e as quatro clu-

sulas fundamentais so{p(c) q(c); q(c) r(c);p(c); r(c)}. Este

conjunto insatisfatvel7, e a regra de inferncia inicial correta. 7 A insatisfatibilidade pode ser derivadautilizando o algoritmo de resoluofundamental apresentado em 5.

Seja H1 : p(a), H2 : x(p(x) p(f(x))), eC : x p(x). Queremos

verificar se correta a regra de inferncia seguinte: Um exemplo que mostra que estaregra de inferncia incorreta ainterpretao cujo domnio N, p opredicado que testa se um nmero par, e a 0 e f(x) = x+2.

H1 H2C

.

Segue a anlise de A=defH1 H2 C.

A =def p(a) x(p(x) p(f(x))) x p(x)

= p(a) x(p(x) p(f(x))) x p(x)

= p(a) x(p(x) p(f(x))) xp(x)

= p(a) x(p(x) p(f(x))) p(c)

= x(p(a) (p(x) p(f(x))) p(c)) (forma de Skolem)

{p(a); p(x) p(f(x)); p(c) }(forma clausal)

O domnio de Herbrand infinito:

{a, b,f(a),f(b),f(f(a)), f(f(b)), . . .}= {fn(a), fn(b)| n N},

e a base de Herbrand :

{p(fn(a)),p(fn(b))| n N}.

Considere a interpretao{p(fn(a)) V,p(fn(b)) F | n N}.

Ela satisfaz p(a),p(b)e tambmp(x) p(f(x)). Portanto um

modelo (com domnio infinito) do conjunto das clusulas fundamen-

tais. Logo A uma frmula consistente, e a regra de inferncia

incorreta

5 Resoluo fundamental

A resoluo fundamental aplicao da resoluo tal como apresen-

tado para a lgica proposicional a conjuntos de instncias fundamen-

tais de formas clausais.

SejaS um conjunto de clusulas fundamentais; C1 e C2 so duas

clusulas deS tais queC1 = C1 e C2 = C

2 . A regra de O literal e seu complementar apare-

cem emC1 e C2 respectivamente.resoluo a seguinte:

S res(C1, C2) =defC1 C

2


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Procedimento de resoluo fundamental

O algoritmode resoluo fundamental similar ao da resoluo

na lgica proposicional:

Enquanto S fazerescolherC1, C2 S tais queC1=C

1 e C2 = C

2

S:=S {C1 C2}

Por exemplo, considere o primeiro exemplo da seo anterior:

S= {p(c) q(c); q(c) r(c);p(c); r(c)}.

1. p(c) q(c) elemento deS

2. q(c) r(c) elemento deS

3. p(c) elemento deS

4. r(c) elemento deS

5. q(c) =res(1, 3)6. r(c) =res(2, 4)

7. =res(4, 6)

6 Exercite-se

Exerccios elaborados por Pascal Fon-taine.

Calculara forma prenex da frmula seguinte:

(x p(x) x q(x)) x(p(x) q(x))

Calcularas formas prenex, de Skolem e clausal das frmulas se-

guintes:

p(a) xp(x)

x (p(x) y(z q(x,y) z r(y, x)))

x p(x) x(z q(x,z) z r(x,y,z))

x p(x,z) z(y p(x,z) xy p(x,y))

Seja a frmula A =def p(a) xp(x)e B uma forma de Skolem

de A.

CalcularB.


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As frmulasA et B so vlidas, inconsistentes ou simplesmente

consistentes? Sera que B consequncia lgica de A? Se existirem,

dar para Ae para B um modelo de Herbrand e um modelo que

no seja de Herbrand.

Determinese a regra de inferncia seguinte correta, usando o

mtodo de Herbrand:

x(p(x) q(x)) x(p(x) q(x))

x p(x) x q(x)

O quepode dizer dos objetos seguintes?

P(a) x(P(x) P(f(x)))

xP(x)

P(a) Q(b) x(P(x) P(f(x))) x(Q(x) Q(f(x)))

x(P(f(x)) Q(f(x)))

xP(x, x) xy(P(x,y) P(x, f(x)))

xyP(x,y)

H xA(x) H x(A(x) yB(x,y))

H xyB(x,y)

H xA(x) H x(A(x) yB(x,y))

H xyB(x,y)

Determinese as regras seguintes so corretas:

x(P(x) R(x)) x(Q(x) P(x))

x(P(x) (Q(x) R(x)))

x(Q(x) R(x)) x(Q(x) P(x))

x(P(x) R(x))

xy(Q(x) R(x,y)) x(Q(x) P(x))

xy(P(x) R(x,y))


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x(R(x) Q(x)) x(P(x) Q(x))

x(P(x) R(x))

x

(R

(x

) Q

(x

)) x

(P

(x

)Q

(x

))

x(P(x) R(x))

x(P(x) Q(x)) x(P(x) Q(x))

xP(x) Q(x)

x(Q(x) R(x)) x(Q(x) P(x))

x(R(x) P(x))

Referncias

[1] W. McCune. Otter3.0Reference Manual and Guide. Technical

Report ANL-94/6, Argonne National Laboratory, Argonne, USA,

1994.

[2] A. Riazanov and A. Voronkov. Vampire1.1(system descrip-

tion). InIJCAR 01: Proceedings of the First International Joint Con-

ference on Automated Reasoning, pages376380, London, UK, 2001.

Springer-Verlag.

[3] C. Weidenbach. Spass: Combining superposition, sorts and

splitting,1999.

[4] J. Wielemaker, T. Schrijvers, M. Triska, and T. Lager. SWI-Prolog.

Theory and Practice of Logic Programming,12(1-2):6796,2012.

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