INSTITUTO BAIANO DE EDUCAO SUPERIOR IBES CURSO: CINCIA DA COMPUTAO DISCIPLINA: LGICA MATEMTICA PROFESSOR: ATAUALPA MAGNO FERRAZ DE NOVAES PRIMEIRO SEMESTRE DE 2006 Prezados Alunos, sejam bem-vindos ao nosso curso de Lgica Matemtica.Desejo que vocs possam desfrutar destas notas de aula. O sabor coloquial com que procurei temperar estas anotaes certamente facilitar a aprendizagem da matria. Um agradecimento muito especial aos autores de livros, excelentes mestres Edgard de Alencar Filho e Lenidas Hegenberg. Desde que desejamos aprimorar este trabalho ao longo do tempo, sugestes e crticas sero bem vindas. Email: amferraznovaes@ig.com.br ou ataualpa@im.ufba.br. Pgina na Internet: http:// geocities.yahoo Telefones: 3353-4784 ou 9179-1925

Primeiramente apresentarei a vocs a EMENTA do nosso curso e o CONTEDO PROGRAMTICO

UNIVERSIDADE PAULISTA UNIPEMENTA E CONTEDO PROGRAMTICO INSTITUTO: Instituto de Cincias Exatas e Tecnologia CURSO: Cincia de Computao DISCIPLINA: Lgica Matemtica I CARGA HORRIA SEMANAL: 2 horas/aula-semanais

I EMENTACincia e razo. Razo e linguagem. Linguagens naturais. Linguagens artificiais. Linguagem e metalinguagem. Linguagem proposicional. Conectivos lgicos. Paradoxos semnticos e lgicos: Anlise da tabela verdade de uma proposio qualquer. Tautologia e contradio. Regras de eliminao de parnteses. rvore de refutao de frmulas. Forma disjuntiva normal. Forma conjuntiva normal. A noo de teoria axiomatizada. O conceito de frmula. O conceito de demonstrao. Metateoremas. A questo de consistncia do clculo proposicional. Linguagem quantificacional. lgebras Booleanas e clculo proposicional. Noes sobre lgicas no-clssicas: lgicas multivaloradas, modais, nebulosas ( Fuzzy ) e paraconsistentes.

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II OBJETIVOS GERAISCapacitar o aluno a familiarizar com raciocnios abstratos, permitindo ver os conceitos de forma orgnica e ordenada.

III OBJETIVOS ESPECFICOSIntroduzir o aluno aos conceitos bsicos da moderna Lgica Matemtica, desenvolvendo o raciocnio proposicional, lgica de quantificadores ( predicados ), estruturas. Discutir-se- tambm como a Lgica Clssica embasa as teorias usuais em Matemtica, Cincia da Computao e outras cincias, fornecendo uma viso de sua importncia no sistema de conhecimento cientfico como um todo. A disciplina possui carter formativo e constitui uma das matrias bsicas na formao de profissionais da rea de Cincia da Computao

IV CONTEDO PROGRAMTICOLgica e linguagem: - Cincia e lgica - Lgica e razo; Lgica e linguagem:- Linguagens naturais; Lgica e linguagem:- Linguagens artificiais; Paradoxos semnticos e lgicos: - Introduo; - Linguagens artificiais; linguagem e meta-linguagem. O clculo proposicional - Introduo - Conectivos lgicos - Conectivos da negao, conjuno, disjuno, implicao e bi-implicao, tabelas verdade dos conectivos. O clculo proposicional: - rvore de formao de frmulas - rvore de decomposio de frmulas. O clculo proposicional: - Anlise de valores-verdade de frmulas. O clculo proposicional: - Forma normal disjuntiva e conjuntiva - Regra de eliminao de parntesis - Notao polonesa de frmulas O clculo proposicional: - Tautologias e contradies O clculo proposicional rvore de refutao de frmulas Hipteses (ou premissas) e dedues A regra de Modus Ponens Apresentao axiomtica O clculo de predicados A linguagem quantificacional: a noo de predicado A linguagem quantificacional: quantificadores universal e existencial. A noo de estrutura e modelo A linguagem quantificacional: comeando a programar em linguagem quantificacional

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1 AVALIAO DO PRIMEIRO SEMESTRE DE 2006 TRABALHO EM DUPLA VALOR 5,0 PESQUISAR SOBRECincia e razo. Razo e linguagem. Linguagens naturais. Linguagens. A noo de teoria axiomatizada. O conceito de frmula. O conceito de demonstrao. Meta-teoremas. A questo de consistncia do clculo proposicional. Linguagem quantificacional. lgebras Booleanas e clculo proposicional. Linguagem e metalinguagem. Linguagem proposicional. Regras de eliminao de parnteses. rvore de refutao de frmulas. A noo de teoria axiomatizada. O conceito de frmula. A questo de consistncia do clculo proposicional. Noes sobre lgicas no-clssicas: lgicas multivaloradas, modais, nebulosas ( Fuzzy ) e paraconsistentes.

DATA DE ENTREGA: A DETERMINAR EM SALA.FONTES DE PESQUISAABE, JAIR MINORO, et al. Introduo Lgica Matemtica Para a Cincia da Computao. Ed. Arte Cincia, 2001. JUDITH GERSTING, Fundamentos Matemticos para a Cincia da Computao, Pesquisar na INTERNET

ATENO: OS DOIS PRIMEIROS LIVROS DA LISTA ACIMA PODEM SERENCONTRADOS NA BIBLIOTECA DA IBES.

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CONJUNTOS NUMRICOS FUNDAMENTAISCONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS O conjunto dos nmeros naturais representado por = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }. Observao: * = { 1, 2, 3, 4, ... }. Isto , o asterisco exclui o zero do conjunto . e definido como:

Note que nem sempre a subtrao de dois nmeros naturais, tem como resultado um nmero de modo que, a operao de subtrao possa ser natural. Portanto, vamos ampliar definida para quaisquer nmeros do novo conjunto. Obteremos assim, o conjunto dos nmeros inteiros: CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS O conjunto dos nmeros inteiros representado por = {... , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } Observao: *= { 0 } = {... , 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, ... } e definido como:

Note que nem sempre a diviso de dois nmeros inteiros, tem como resultado um nmero de modo que, a operao de diviso possa ser definida inteiro. Portanto, vamos ampliar para quaisquer nmeros do novo conjunto, exceto quando o divisor for zero. Obteremos assim, o conjunto dos nmeros racionais: CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS = { x; x = p/q com p } ,q e q 0 }, ou seja: = { x; x = p/q com p ,q

*

Temos ento que nmero racional aquele que pode ser escrito na forma de uma frao p/q onde p e q so nmeros inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que NO EXISTE DIVISO POR ZERO! Note que 0/3 = 0/7 = 0, mas no existem, por exemplo: 3/0, 7/0, nem tambm 0/0. So exemplos de nmeros racionais: 2/3; 3/7; 0,001 = 1/1000; 0,75 = 3/4; 0,333... = 1/3; 7 = 7/1, etc... Nota: fcil ver que

.

Observou-se que h nmeros, como, por exemplo, 2 = 1,414213562... que no pertencem a , isto , que no podem ser escritos como quociente de dois nmeros inteiros. Os matemticos ento definiram o conjunto dos nmeros irracionais:

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CONJUNTO DOS NMEROS IRRACIONAIS ( Smbolos: I ou

)

= I = { x; x um nmero que pode ser expresso como decimal infinito e no peridico }. Exemplos de nmeros irracionais:a) = 3,1415926535897932... ( pi = razo entre o comprimento de uma circunferncia e o seu dimetro ); b) e = 2,71828... (e chamado nmero de Euler ); c) 2 = 1,414213562... ; d) 3 = 1,732050807... ; e) 2,01001000100001... ( decimal infinito e no peridico ); f) ; g) 4e ; h) 3 2 ; i) 7e + 5 2 6 3 + .

CONJUNTO DOS NMEROS REAIS (

)

= { x; x racional ou x irracional }.Notas: a) bvio que ; b) I R; =I ( isto significa que um nmero real ou racional ou irracional; no tem outra c) chance! ).

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NOES DE LGICA MATEMTICA BIVALENTE1. PROPOSIO Denominamos proposio ( ou proposio lgica ou ainda sentena ) a toda orao declarativa afirmativa que pode ser classificada como verdadeira ou falsa ( ou verdadeira ou falsa ). Da o nome lgica bivalente. Exemplos : a) 9 5 b) 7 < 3 c) 2 Z d) 3.5 + 1 e) 3x 1 = 11

Naturalmente, as expresses d) e e) no so proposies. Terminologia: Os valores lgicos de uma proposio so verdadeiro ( V ) ou falso ( F ). Por exemplo: O valor lgico da proposio a) acima verdadeiro, enquanto que o valor lgico da proposio b) acima falso. OBSERVAO: Alguns livros de Lgica usam a seguinte conveno: valor lgico V = 1 (isto , valor lgico verdadeiro igual a um) e valor lgico F = 0 (isto , valor lgico falso igual a zero). 2. PROPOSIO SIMPLES

toda sentena que contm uma nica afirmativa. So representadas por letras minsculas do alfabeto, preferencialmente p, q, r e t.EXEMPLOS:

a) p: 2 1 = 2 b) q: 3 . 4 > 10 c) r: O Brasil uma monarquia.2.1 - Negao de uma Proposio Simples

Dada uma proposio p, sempre possvel obtermos outra proposio cujo sentido seja contrrio ao de p. Esta proposio chamada negao de p e representada por ~ p ( costuma-se ler no p ou no verdade que p ). EXEMPLOS: a) p: 7 2 = 5 tem como negao: ~ p: 7 2 5 b) q: 3 1 2 1 tem como negao: ~ q: 3 1 < 2 1

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OBSERVAES:

(1) Pode-se verificar, pelos exemplos acima, que uma proposio e a sua negao tm valores lgicos contrrios. Este fato pode ser resumido na tabela abaixo: p ~p V F F V (2) A negao de ~ p ( chamada lei da dupla negao ) equivale prpria proposio p, isto : ~ (~ p) o mesmo que pEXERCCIOS: 1. Quais das expresses abaixo so proposies? No caso das proposies, quais so as verdadeiras? a) 5 . 4 = 20 e) 3 + 4 > 0 b) 5 4 = 3 f) 11 4 . 2 c) 1 + 3 1 + 6 d) ( 2)5 ( 2)3

2. Qual a negao de cada uma das seguintes proposies? Quais negaes so verdadeiras? a) 3 . 7 = 21 b) 3 . (11 7) 5 c) 3 . 2 + 1 > 4 d) 5 . 7 2 5 . 6

OBSERVAO IMPORTANTE: s vezes, trabalhamos no s com proposies ( no sentido que foi definido acima, isto , que podem ser classificadas de maneira inequvoca como verdadeiras ou falsas ), mas tambm com o que chamamos de funes proposicionais, veja alguns exemplos: Exemplo 1:

Sabemos, que a rigor, 3x 1 = 11 no uma proposio, ms fcil observar que, a depender do valor de x, a expresso 3x 1 = 11 pode ser verdadeira ou falsa ( mais especificamente, para x = 4 a expresso dada: 3x 1 = 11 se torna uma proposio verdadeira e para qualquer x 4 a expresso dada: 3x 1 = 11 se torna uma proposio falsa ). Independentemente do valor lgico de 3x 1 = 11 podemos neg-la. Assim se quisermos negar a funo proposicional 3x 1 = 11 ( que por um abuso de linguagem, alguns autores denominam tambm de proposio ), teremos: 3x 1 11.Exemplo 2:

Usando a mesma linha de raciocnio do exemplo 1 acima, pode-se falar em negao da proposio: a > b. Sua negao a b. 7

Exemplo 3:

A frase o cachorro fugiu no , a rigor, uma proposio, pois no sabemos a qual cachorro especificamente a frase se refere, se identificarmos o tal cachorro podemos determinar a veracidade ou falsidade da afirmao o cachorro fugiu. Como havamos comentado antes, alguns ( na verdade muitos ) autores por um abuso de linguagem, denominam afirmaes como essa ( o cachorro fugiu ) de proposio ( ou seja, estendem a definio de proposio ). Deste modo, independentemente do valor lgico de o cachorro fugiu podemos neg-la. Sua negao ; o cachorro no fugiu ou no verdade que o cachorro fugiu.Seguiremos nos nossos estudos essa conveno, isto , expresses como as dos exemplos 1, 2 e 3 sero chamadas de proposies. 3. PROPOSIES COMPOSTAS

A partir de proposies simples, podemos construir novas proposies, mediante o emprego de smbolos ( conectivos ) lgicos como conjuno, disjuno ( inclusiva e exclusiva ), condicional, bicondicional.OBSERVAO IMPORTANTE: Na verdade ao utilizarmos os conectivos entre as proposies simples estaremos realizando operaes entre essas proposies, isto , entre os valores lgicos ( verdadeiro ou falso ) correspondentes a essas proposies. Portanto deveremos explicitar para vocs, prezados alunos, qual o resultado de cada operao lgica. 3.1 - CONJUNO

Colocando o conectivo e entre duas proposies p e q, obtemos uma proposio composta, p q, denominada conjuno das proposies p e q.ATENO: p q l-se: p e q.

p V V F F

q V F V F

p q V F F F

Definio: A conjuno entre duas proposies s verdadeira, apenas se ambas as proposies que a compem so verdadeiras. Em qualquer outra situao a proposio composta falsa.

OBSERVE OS EXEMPLOS ABAIXO:

1) p : 2 > 0 ( cujo valor lgico verdadeiro = V ) q : 5 5 ( cujo valor lgico falso = F ) p q : 2 > 0 e 5 5 ( uma proposio composta falsa, pois V e F, pela tabela acima, tem falso como resultado ). 2) p : 2 > 0 ( V ) q:25(V) 8

p q : 2 > 0 e 2 5 ( uma proposio composta verdadeira, pois V e V, pela tabela acima, tem verdadeiro como resultado ).3.2 DISJUNO

Colocando-se o conectivo ou entre duas proposies, p e q, obtemos uma proposio composta, p q, denominada disjuno ( disjuno inclusiva ) das proposies p e q.ATENO: p q l-se: p ou q.

p V V F F

q V F V F

p q V V V F

Definio: A disjuno entre duas proposies falsa, apenas se ambas as proposies que a compem so falsas. Em qualquer outra situao a proposio composta verdadeira.

OBSERVE OS EXEMPLOS ABAIXO:

1) p : 34 < 26 ( F ) q : 22 > ( 3 )5 ( V ) p q : 34 < 26 ou 22 < ( 3 )5 ( V ). 2) p : 34 < 26 ( F ) q : 22 < ( 3 )5 ( F ) p q : 34 < 26 ou 22 < ( 3 )5 ( F ).H OUTRO TIPO DE DISJUNO CHAMADA DE DISJUNO EXCLUSIVA.

Dadas duas proposies p e q, podemos obter uma proposio composta, denominada disjuno ( disjuno exclusiva ) das proposies p e q.ATENO: p q l-se: ou p ou q.

p q,

Observe a tabela abaixo: p V V F F q V F V F p q F V V F A disjuno entre duas proposies verdadeira, apenas se as proposies que a compem tiverem valores lgicos diferentes.

Por exemplo, considere que:

p:2>0(V) q:55 (F) p q : ou 2 > 0 ou 5 5 ( V )

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3.3 - CONDICIONAL

Colocando-se o conectivo se antes das afirmativas e a palavra ento entre elas, obtemos uma proposio composta, p q, denominada condicional das sentenas p e q.ATENO: p q l-se: Se p ento q.

p V V F F

q V F V F

pq V F V V

Propriedade: A condicional somente falsa se a primeira das proposies verdadeira e a segunda falsa.

Por exemplo, considere que: p:5 1 e 4 > 2 d) 16 = 6 ou m.d.c (4,7) = 2 b) 1/2 < 3/4 ou 5 < 11 e) 2 1 = 1 5 + 7 = 3 . 4 c) ( 1)6 = 1 e 25 < ( 2)7 f) 22 = 4 ( 2)2 = 4

2. Admitindo que p e q so verdadeiras, r falsa e t uma proposio cujo valor lgico no conhecido, determine o valor (V ou F), de cada proposio abaixo: a) p r d) (p r) q g) ~ p ~ q b) p q e) p (q r) h) (~ p r ) t c) r q f) p (q r) i) r (q t )

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4 - TAUTOLOGIAS E CONTRADIES Dizemos que uma proposio composta uma tautologia, quando seu valor lgico sempre verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies simples que a compem.

Exemplo: Verificar os valores lgicos da proposio p ~ p. p ~p p ~p V F V F V V Portanto, a proposio p ~ p um exemplo de tautologia. Dizemos que uma proposio composta uma contradio, quando seu valor lgico sempre falso, quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies simples que a compem. Exemplo: Verificar os valores lgicos da proposio p ~ p. p V F ~p F V p ~p F F

Portanto, a proposio p ~ p um exemplo de contradio..5 IMPLICAO E EQUIVALNCIA 5.1 - IMPLICAO

Sejam p e q duas proposies. Dizemos que p implica q (p q), se a condicional p q for uma tautologia, ou seja, nunca ocorrer o caso V F, nico em que a condicional falsa. Exemplo: Verificar os valores lgicos de: (p q) (p q )p V V F F q p q p q (p q) (p q) V V V V F F V V V F V V F F F V

Como a proposio condicional (p q) (p q ) uma tautologia e uma, dizemos ento que uma implicao e passamos a represent-la assim: (p q) (p q).

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5.2 - EQUIVALNCIA DEFINIO: Dizemos que duas proposies p e q so equivalentes ( ou segundo alguns autores, por abuso de linguagem, iguais ) se elas tm o mesmo valor lgico. Representa-se p q e l-se: p equivalente a q ( p igual a q ). EXEMPLO 1: p: O sol emite calor ( que uma proposio verdadeira ) q: 7 > 4 ( que tambm uma proposio verdadeira )

As proposies p e q acima so equivalentes ( ou iguais ) pois ambas tm o mesmo valor lgico ( no caso, ambas so verdadeiras ).EXEMPLO 2: p: A lua maior que o sol ( que uma proposio falsa ) q: 7 < 4 ( que tambm uma proposio falsa )

As proposies p e q acima so equivalentes ( ou iguais ) pois ambas tm o mesmo valor lgico ( no caso, ambas so falsas ). Voc observou que para que duas proposies sejam equivalente, basta que elas tenham os mesmos valores lgicos, independentemente do contedo das afirmaes. Naturalmente, podemos tambm definir a equivalncia entre duas proposies, do seguinte modo:DEFINIO: Sejam p e q duas proposies. Dizemos que p equivale a q ( p q ), se a bicondicional p q for uma tautologia, isto , se as proposies p e q tm sempre os mesmos valores lgicos. EXEMPLO: Provar voc mesmo, a seguinte equivalncia: ( p q ) ( ~ p q ) 6. VARIANTES DA CONDICIONAL

A condicional p q possui, entre outras, duas proposies que lhe so equivalentes: 1) ~ p q 2) ~ q ~ p Vamos verificar essas equivalncias:p V V F F q V F V F ~p F F V V ~q p q ~p q ~q F V V V F F F V V V V V ~p V F V V

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RESUMINDO O QUE ACABAMOS DE DEMONSTRAR: A proposio p q equivalente proposio ~ q ~ p ( a proposio ~ q ~ p chamada de contrapositiva da aplicao p q ) e tambm proposio ~ p q. Assim, podemos afirmar que: Se o pssaro canta ento est vivo ( p q ) SIGNIFICA O MESMO QUE: Se o pssaro no est vivo ento no canta ( ~ q ~ p ) E TAMBM SIGNIFICA O MESMO QUE: O pssaro no canta ou est vivo ( ~ p q )

Mesmo frases malucas ( risos! ), dentro da lgica, podem ser reescritas como foi indicado acima, por exemplo: Se o macaco voa ento Joo uma pedra ( p q ) SIGNIFICA O MESMO QUE: Se Joo no uma pedra ento o macaco no voa ( ~ q ~ p ) E TAMBM SIGNIFICA O MESMO QUE: O macaco no voa ou Joo uma pedra ( ~ p q ) De um modo mais geral, a condicional p q tem trs variantes ( CUIDADO! Eu no disse que todas so equivalentes! ) que so denominadas por: 1) Contrapositiva: ~ q ~ p 2) Recproca: q p 3) Contrria: ~ p ~ qEXERCCIOS

1) Dada a proposio "Se 2 < 1 ento 7 = 7 ( observe que esta proposio verdadeira pois temos o caso F V ) determine: a) Recproca ( que falsa, pois agora trata-se do caso V F ): b) Contrria ( que falsa, pois trata-se do caso V F ): c) Contrapositiva ( que verdadeira pois temos o caso F V, isto era de se esperar pois j demonstramos que a contrapositiva ~ q ~ p equivalente condicional p q ): 2) Dada a proposio "Se o pssaro canta ento est vivo determine: a) Recproca: b) Contrria: c) Contrapositiva: 3) Considere a proposio "Se o tringulo eqiltero, ento issceles" determine: a) Recproca: b) Contrria: 14

c) Contrapositiva: 4) D a recproca da contrapositiva da condicional "se x = 2, ento x2 = 4".7. TABELA VERDADE

Podemos construir muitos raciocnios que podem se deduzidos das convenes e definies estabelecidas anteriormente. Vamos demonstrar algumas equivalncias e propriedades usando as tabelas de verdade ( ou tabelas verdade ).EXERCCIOS:

1) Verificar se as proposies abaixo so tautologias ou contradies ou contingncias ( nem tautologia nem contradio ): 1) 2) 3) 4) 5) 6) s: (p ~ p) (p q) r: [ p ( p q ) ] q t: ( p q ) ( p q ) c: ~ p ( p ~ q ) u: ~ (p q ) ( p q ) v: ( p q ) p

2) Demonstre as propriedades da conjuno usando a tabela verdade: a) Idempotncia: p p p p ( significa qualquer que seja ou ainda para todo ) b) Comutatividade: p q q p p, q c) Associatividade: ( p q ) r p ( q r ) p, q, r d) Elemento Neutro: p 1 1 p p p e) Elemento Absorvente: p 0 0 p 0 p 3) Demonstre as propriedades da disjuno usando a tabela verdade: a) b) c) d) e) Idempotncia: p p p p Comutatividade: p q q p p, q Associatividade: ( p q ) r p ( q r ) Elemento Neutro: p 0 0 p p p Elemento Absorvente: p 1 1 p 1 p

p, q, r

4) Demonstre as propriedades mistas usando a tabela verdade, p, q, r: a) Distributividade da conjuno em relao disjuno: ( p q ) r ( p r ) ( q r) b) Distributividade da disjuno em relao conjuno: ( p q ) r ( p r ) ( q r) 5) Demonstre as negaes abaixo usando a tabela verdade:

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a) b) c) d)

~(p ~(p ~(p ~(p

q)=~p ~q q)=~p ~q q)=p ~q q ) = ~ p q ( ou p ~ q )

7. NEGAO DE PROPOSIES COMPOSTAS

Retomando exatamente o que fizemos no exerccio 5), acima:7.1 - Conjuno

~(p q) ~p ~qExemplo: A negao de "o carro preto e a pedra dura" " o carro no preto ou a pedra no dura ". 7.2 - Disjuno

~(p q) ~p ~qExemplo: A negao de "estudo ou trabalho" "no estudo e no trabalho". OBSERVAO: As duas leis acima: ~ ( p q ) = ~ p ~ q e ~ ( p q ) = ~ p ~ q so chamadas primeiras leis de De Morgan em homenagem ao matemtico Augustus de Morgan.. 7.3 Condicional

~(p q) p ~qExemplo: A negao de "se sou baiano, ento sou brasileiro" "sou baiano e no sou brasileiro". 7.4 Bicondicional

A bicondicional pode ser negada de duas maneiras: ~ ( p q ) ~ p q ou ~ ( p q ) p ~ qExemplo: A negao de "3 > 2, se e somente se 2 N" pode ser feita de duas formas:

a) 3 2, se e somente se 2 N b) 3 > 2 , se e somente se 2 NEXERCCIOS

1) Negar as proposies: a) 3 impar e dois primo; 16

b) Magno Bahia ou Nelson vitorinha ; c) Se x2 = 4, ento x = 2 ; d) x 2 = x , se e somente se x 0. 2) Na linguagem C, usada na programao de computadores, sabe-se que:fabs ( x ) o valor absoluto de x, sqrt ( x ) a raiz quadrada de x, * o operador multiplicao e + o operador adio. Pede-se calcular o valor da expresso: fabs ( 3 ) * sqrt ( 25 ) + fabs ( 4 ) * sqrt ( 49 )

a) 33

b) 0

c) 34

d) 20

e) 43

3) A proposio composta (p q) proposio p: a) b) c) d) e)

~ q tem valor lgico V; ento o valor lgico da

s pode ser V pode ser V ou F s pode ser F depende do valor de q no pode ser determinado a partir dessa proposio.

4) Se p uma proposio verdadeira, ento: a) b) c) d) e) p q verdadeira, qualquer que seja q p q verdadeira, qualquer que seja q p q verdadeira, s se q for falsa p q falsa, qualquer que seja q p q falsa, qualquer que seja q

8. SENTENAS ABERTAS, QUANTIFICADORES

J vimos que expresses como x + 1 = 7, x > 2 e x3 = 2x2, no podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas, pois para isso dependem do valor assumido pela varivel x. Sendo assim, estas expresses, no sentido formal no constituem proposies. No entanto, vamos mostrar a vocs que podemos transform-las em proposies, juntando-lhes os chamados quantificadores. OBSERVAES: 1) Salvo meno em contrrio os valores numricos de x podero ser quaisquer nmeros reais. Em outras palavras, costuma-se dizer que o nosso universo lgico, normalmente simbolizado por U, ser, salvo meno em contrrio, o conjunto R; 2) Nas sentenas matemticas abaixo, a expresso tal que ser abreviada por um ponto e vrgula.

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QUANTIFICADORES: Universal : x ( L-se: Todo x ou Para todo x ou Qualquer que seja x ) Exemplo: ( x ) ( x + 1 = 7 ), que se l: Para qualquer valor de x, x + 1 = 7 ( proposio falsa ). Existencial : x ( L-se: Existe pelo menos um x ou Existe x ou Existe algum x ) Exemplo: ( x ); ( x + 1 = 7 ), que se l: Existe algum x tal que x + 1 = 7 ( proposio verdadeira ). Existencial Particular : ! x ( L-se: Existe um nico x ou Existe apenas um x ) Exemplo: ( ! x ); ( x + 1 = 7 ), que se l: Existe apenas um x tal que x + 1 = 7 ( que uma proposio verdadeira ). NEGAES DE PROPOSIES COM QUANTIFICADORES:

Nas explicaes que se seguem, considere U um universo lgico e p ( x ) uma proposio: 1) ~ ( x U, p ( x )) = x U; ~ p ( x )EXEMPLOS:

a) ~ ( x R, x2 > 4 ) = x R; x2 4 b) ~ ( x R, x2 0 ) = x R; x2 < 0 c) ~ ( Todo homem mortal ) = Existe pelo menos um homem que no mortal ( ou, o que o mesmo: Existe pelo menos um homem imortal ).RESUMINDO: Negao do quantificador Universal: Troca-se x por x e nega-se a proposio.

2) ~ ( x U, p ( x )) = x U; ~ p ( x )EXEMPLOS:

a) ~ ( x R, x2 > 16 ) = x R; x2 16 b) ~ ( x R, x2 0 ) = x R; x2 < 0 c) ~ ( Existe homem que mortal ) = Todo homem no mortal ( ou, o que o mesmo: Todo homem imortal ).RESUMINDO: Negao do quantificador Existencial: Troca-se x por x e nega-se a proposio. EXERCCIOS:

1) D o valor lgico de cada proposio abaixo: a) ! x N; x2 = 9 b) x N; x2 = 9

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c) d) e) f) g) h) i) j)

x N, x2 = 9 x R, x x x R; x x ! x R; x x x R; x2 = 4 ! x R; x2 = 4 x R, x2 = 4 x R, y R; y = 1/x

2) Negar as proposies abaixo: a) b) c) d) e) f) g) h) i) x R, x + 2 = 7 x R; x2 2x 4 x R, y R; y = 1/x x R; y R, y > x x R; y R, y > x 2x = 5y x R; y R, y + x = 7 x = 5y > 0, > 0; x X, | x a | < | f( x ) f( a ) | < > 0, > 0; x X, 0 < | x a | < | f( x ) L | < x R; y Z, > 0; | x y |

3) Dar a negao de "Todo homem bom justo e existe torcedor do vitorinha que bom da bola".9. PRINCPIO DA DUALIDADE

Dualidade no conjunto das proposies lgicas: Dada uma expresso E, contendo apenas os smbolos: =, , , ~, 0 e 1, define-se a dual de E, como a expresso E, obtida de E, trocando-se por ; por ; 0 por 1; 1 por 0 e conservando-se os demais elementos. O mais importante resultado sobre a dualidade que, se a expresso E for uma tautologia, ento sua expresso dual E, tambm uma tautologia.EXEMPLOS:

1) E: p q q p p, q E: p q q p p, q 2) E: ( p q ) r p ( q r ) E: ( p q ) r p ( q r ) 3) E: p 0 0 p E: p 1 1 p 4) E: p ~ p = 0 p E: p ~ p = 1 p

p, q, r p, q, r

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EXERCCIO:

Usando a tabela verdade demonstre as proposies abaixo: 1) p q = ~ p q; 2) p q = ( p ~ q ) ( ~ p q ); 3) p q = ( ~ p q ) ( p ~ q ). Voc sabe o que acabou de fazer? Voc provou que a condicional, a disjuno exclusiva e a bicondicional podem ser escritas em funo apenas dos smbolos ~, e . Isso muito importante para o que segue.10. DEMONSTRAES DE PROPOSIES SEM O USO DA TABELA VERDADE

Usaremos as propriedades abaixo, que voc j conhece, para simplificar proposies e demonstrar alguns resultados ( observe a jia da dualidade embelezando da propriedade 1) at a 16) ) : 1) p ~ p = 0 p 2) p ~ p = 1 p 3) p q q p p, q 4) p q q p p, q 5) p 1 = p p 6) p 0 = p p 7) p 0 = 0 p 8) p 1 = 1 p 9) p p = p p 10) p p = p p 11) ( p q ) r = p ( q r ) p, q, r 12) ( p q ) r = p ( q r ) p, q, r 13) ( p q ) r ( p r ) ( q r ) p, q, r 14) ( p q ) r ( p r ) ( q r ) p, q, r 15) ~ ( p q ) = ~ p ~ q p, q 16) ~ ( p q ) = ~ p ~ q p, q 17) ~ ( p q ) = p ~ q p, q 18) ~ ( p q ) = ~ p q p, q 19) p q = ~ p q p, q 20) p q = ( p ~ q ) ( ~ p q ) p, q p, q 21) p q = ( ~ p q ) ( p ~ q )EXERCCIOS DE CLASSE:

1) Demonstre a propriedade 17) acima usando a 19) e a 16); 2) Usando propriedades das operaes lgicas, simplificar o mximo possvel as expresses e em seguida classificlas em tautologia, contradio ou contingncia: a) ~ ( ~ p ~ q ); 20

b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

~ ( p ~ q ); ~ ( ~ p q ); ~ ( p ~ q ); ~ ( ~ p ~ q ); [ ( p q ) ~ q ] ~ p; [ ( p q ) ~ ( p q ) ] p; ~ ( ~ p q ) ~ ( ~ p q ); ( p q ) ( p ~ q ) ( ~ p q ) ( ~ p ~ q ); [ ~ ( p q ) ~ ( p q ) ] ( r q ); [(q p) ~(q p)] {q [~p ~(~p)]}

1 LISTA DE EXERCCIOS DE LGICA MATEMTICAI) Usando a tabela verdade, verificar se as proposies abaixo so tautologias, contradies ou contingncias: a) b) c) d) e) f) s: ( p ~ p ) ( p q ) r: [ p ( p q ) ] q t: ( p q ) ( p q ) c: ~ p ( p ~ q ) u: ~ ( p q ) ( p q ) v: ( p q ) p

II) Demonstre as propriedades da conjuno usando a tabela verdade: a) b) c) d) e) f) Idempotncia: p p = p p Comutatividade: p q = q p p, q Associatividade: ( p q ) r = p ( q r ) Elemento Neutro: p 1 = 1 p = p p Elemento Absorvente: p 0 = 0 p = 0 p p ~p=0 p

p, q, r

III) Demonstre as propriedades da disjuno usando a tabela verdade: a) b) c) d) e) f) Idempotncia: p p = p p Comutatividade: p q = q p p, q Associatividade: ( p q ) r = p ( q r ) Elemento Neutro: p 0 = 0 p = p p Elemento Absorvente: p 1 = 1 p = 1 p p ~p =1 p

p, q, r

IV) Demonstre as propriedades mistas usando a tabela verdade, p, q, r: a) Distributividade da conjuno em relao disjuno: ( p q ) r = ( p r ) ( q r) b) Distributividade da disjuno em relao conjuno: ( p q ) r = ( p r ) ( q r) 21

p, q c) p q = ~ p q d) p q = ( p ~ q ) ( ~ p q ) p, q e) p q = ( ~ p q ) ( p ~ q ) p, q

V) Demonstre as negaes abaixo usando a tabela verdade: a) b) c) d) e) ~(p ~(p ~(p ~(p ~(p

q)=~p ~q q)=~p ~q q)=p ~q q)=~p q q)=p ~q

VI) A proposio composta ( p q ) ~ q tem valor lgico V; ento o valor lgico da proposio p: a) b) c) d) e) s pode ser V pode ser V ou F s pode ser F depende do valor de q no pode ser determinado a partir dessa proposio.

VII) Se p uma proposio verdadeira, ento: a) b) c) d) e) p p p p p q verdadeira, qualquer que seja q q verdadeira, qualquer que seja q q verdadeira, s se q for falsa q falsa, qualquer que seja q q falsa, qualquer que seja q

VIII) Considere ao proposies: p: 2,4333... Q q: 32 = 9 r:

( 5 )

2

= 5

Assinale V ou F nas proposies a seguir: a) p q b) p r c) q r d) p r e) ~ p ~ q IX) Sendo: p: 6,143143... Q q: todo racional possui inverso ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) f) ~ q r g) ( p ~ q ) r h) ~ q ( p r ) i) ( ~ p ~ r ) ( p q ) j) ~ ( ~ q p ) ( r p ) ( ( ( ( ( ) ) ) ) )

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A nica proposio falsa : a) p q b) p ~ q c) p q

d) ( p q ) p e) ~ ( ~ p )

X) Construir a tabela verdade da proposio s e dizer se a proposio s tautologia, contradio ou contingncia: s: ( ~ p q ) ( p ~ q ). XI) Quais das implicaes abaixo so verdadeiras, se x R ? (01) x2 = 9 x = 3 (02) x2 > 9 x > 3 (04) 0 < x < 1 x2 < x x2 (08) x 0 =1 x2 (16) x < y x < y (32) x > y x2 > y2 XII) D o valor lgico de cada proposio abaixo: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) ! x N; x2 = 9 x N; x2 = 9 x N, x2 = 9 x R, x x x R; x x ! x R; x x x R; x2 = 4 ! x R; x2 = 4 x R, x2 = 4 x R, y R; y = 1/x

XIII) Negar as proposies abaixo: a) b) c) d) e) f) g) h) i) x R, x + 2 = 7 x R; x2 2x 4 x R, y R; y = 1/x x R; y R, y > x x R; y R, y > x 2x = 5y x R; y R, y + x = 7 x = 5y > 0, > 0; x X, | x a | < | f( x ) f( a ) | < > 0, > 0; x X, 0 < | x a | < | f( x ) L | < x R; y Z, > 0; | x y |

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XIV) Utilizando propriedades das operaes lgicas, isto , sem utilizar a tabela verdade, simplificar o mximo possvel as expresses abaixo e em seguida classificlas em tautologia, contradio ou contingncia: ( use as propriedades da pgina 18 ) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) ~ ( ~ p ~ q ); ~ ( p ~ q ); ~ ( ~ p q ); ~ ( p ~ q ); ~ ( ~ p ~ q ); [ ( p q ) ~ q ] ~ p; [ ( p q ) ~ ( p q ) ] p; ~ ( ~ p q ) ~ ( ~ p q ); ( p q ) ( p ~ q ) ( ~ p q ) ( ~ p ~ q ); [ ~ ( p q ) ~ ( p q ) ] ( r q ); [(q p) ~(q p)] {q [~p ~(~p)]}2 Q 4 (RQ)

XV) Considere as seguintes proposies: p: q: 5 Z 3 um nmero primo r: ( 3 N ) ( 6 divisor de 12 ) Determinar o valor lgico da proposio: (a)(p ~r) ~q (b)(p r) (p q)

XVI) Apenas para o item ( a ) abaixo voc pode usar a tabela verdade ( a ) Sendo p e q proposies lgicas, demonstrar a propriedade: ( p q ) = ( ~ p q ) ( b ) Usando propriedades das operaes lgicas, simplificar o mximo possvel a expresso: [ ( q p ) ~ ( q p ) ] { q [ ~ p ~ ( ~ p ) ] } e em seguida classificla em tautologia, contradio ou nem tautologia nem contradio. XVII) Negar as proposies: a) x R; y Z, > 0; | x y | b) x R, y Q; > 0, | y x | < XVIII) Apenas para resolver o item ( a ) abaixo voc pode usar a tabela verdade ( a ) Sendo p e q proposies lgicas, demonstrar a propriedade: ~ ( p q ) = ( ~ p ~ q ) ( b ) Usando propriedades das operaes lgicas, simplificar o mximo possvel a expresso: { [ ( p p ) ( p q ) ] ~ r } { [ ~ ( ~ q ) r ] ~ ( q ~ r ) } e em seguida classificla em tautologia, contradio ou nem tautologia nem contradio.

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( c ) Dada a proposio condicional 5 ( R Q ) 5 R determinar sua recproca, sua inversa, sua contrapositiva, e encontrar os valores lgicos destas 4 condicionais. XIX) A proposio [ ( p q ) ~ q ] tem valor lgico F; qual o valor lgico da proposio p? a) b) c) d) e) s pode ser V pode ser V ou F s pode ser F depende do valor de q no pode ser determinado a partir dessa proposio.

XX) Jair est machucado ou no quer jogar. Mas Jair quer jogar. Logo, a) b) c) d) e) Jair no est machucado nem quer jogar. Jair no quer jogar nem est machucado. Jair no est machucado e quer jogar. Jair est machucado e no quer jogar. Jair est machucado e quer jogar.

XXI) H trs suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido pr um ou mais de um deles, j que podem ter agido individualmente ou no. Sabe-se, ainda, que: A) se o cozinheiro inocente, ento a governanta culpada, B) ou o mordomo culpado ou a governanta culpada, mas no os dois, C) o mordomo no inocente. Logo: a) b) c) d) e) a governanta e o mordomo so os culpados somente o cozinheiro inocente somente a governanta culpada somente o mordomo culpado o cozinheiro e o mordomo so os culpados

XXII) Jos quer ir ao cinema assistir ao filme Fogo contra Fogo, mas no tem certeza se o mesmo est sendo exibido. Seus amigos, Maria, Lus e Jlio tm opinies discordantes sobre se o filme est ou no em cartaz. Se Maria estiver certa, ento Jlio est enganado. Se Jlio estiver enganado, ento Lus est enganado. Se Lus estiver enganado, ento o filme no est sendo exibido. Ora, ou o filme Fogo contra Fogo est sendo exibido ou Jos no ir ao cinema. Verificou-se que Maria est certa. Logo: a) O filme Fogo contra Fogo est sendo exibido b) Lus e Jlio no esto enganados c) Jlio est enganado, mas no Lus d) Lus est enganado, mas no Jlio e) Jos no ir ao cinema XXIII) Se Nestor disse a verdade, Jlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, h um leo feroz nesta sala. Ora, no h um leo feroz nesta sala. Logo:

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a) Nestor e Jlia disseram a verdade b) Nestor e Lauro mentiram c) Raul e Lauro mentiram d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade e) Raul e Jlia mentiram XXIV) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla no foi ao casamento, Vanderlia viajou. Se Vanderlia viajou, o navio afundou. Ora, o navio no afundou. Logo, a) b) c) d) e) Vera no viajou e Carla no foi ao casamento Camile e Carla no foram ao casamento Carla no foi ao casamento e Vanderlia no viajou Carla no foi ao casamento ou Vanderlia viajou Vera e Vanderlia no viajaram

XXV) Se X Y, ento Z > P ou Q R. Se Z > P, ento S T. Se S T, ento Q R. Ora, Q > R, logo: a) b) c) d) e) S>TeZ P S TeZ>P X YeZ P X>YeZ P X1) ________________________ y=z e) ~ p q p _________ ~q f) Se 8 par, ento 3 no divide 7 Ou 5 no primo ou 3 divide 7 5 primo __________________________ 8 no par g) Se trabalho, ento no posso estudar Trabalho ou passo em Fsica Trabalho __________________________ Passo em Fsica h) p q ~q p ( r s ) _________ s r i) ( r ~ t ) ~ s ps p q _________ t ~r j) t ( p s ) q ~p r ~s q r _________ t

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l) p ~ q p ~r q ~s _________ ~s ~r m) ( r s ) t r ~p t (q u) ~q ~u _________ ~p n) ( r s ) p q ~p t ~p q t _________ ~s ~r o) x > y x < 6 x>y x>4 x>4 (x=5 x