Logaritmo e Exponencial

Ana Maria Xavier

Pesquisadora Titular

Comissão Nacional de Energia Nuclear

A função f(x) = bx

é denominada função exponencial de base b, positiva, sendo definida para todo número x real.

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617), motivado pela necessidade de simplificar cálculos, tendo sido

aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630).

Por meio dos logaritmos, podem-se transformar as operações de multiplicação em soma e de divisão em

subtração, entre outras transformações.

Na realidade, logaritmo é uma nova denominação para expoente.

Quando se diz que 3 é o logaritmo de 8 na base 2, é o mesmo que dizer que 23 = 8, ou seja,

log2 8 = 3 ⇒ 8 = 23

Assim, o logaritmo de um número real e positivo N, na base b, positiva e diferente de 1, é o número x ao qual se deve

elevar b para se obter N.

logb N = x ⇒⇒⇒⇒ N = bx

x – logaritmo de N na base b

Pela definição de logaritmo, infere-se que somente os números reais positivos possuem logaritmo.

Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada

característica e a parte decimal é denominada mantissa.

A característica dos logaritmos decimais de números entre 1 e 10 é 0 (zero); para números entre 10 e 100 é 1 (um);

para números entre 100 e 1000 é 2 (dois) e assim sucessivamente.

1 = 100

10 = 101

100 = 102

1000 =103

As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

As seguintes propriedades decorrem da própria definição de logaritmo:

P1: O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:

logb 1 = 0 porque b0 = 1.

P2: O logaritmo da própria base é sempre igual a 1, ou seja:

logb b = 1 , porque b1 = b.

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

As seguintes propriedades decorrem da própria definição de logaritmo:

P3: O logaritmo da própria base elevada a uma potência é igual ao valor dessa potência, ou seja,

logb bk= k , porque bk = bk .

P4: Se logaritmos na mesma base de dois números reais são iguais, esses números são também iguais, ou seja:

Se logb M = logb N então M = N.

P5: Quando o valor da base, b, é elevado ao logaritmo de M na base b, o resultado é igual a M.

logbM

b = M

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

PO1 - Logaritmo de um Produto

O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:

logb(M.N) = logb M + logb N

Exemplo: log 20 = log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010.

Observe que como a base não foi especificada, éestipulado que ela seja igual a 10.

PO2 - Logaritmo de um Quociente

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da

fração e do denominador, ou seja:

logb (M/N) = logb M - logb N

Exemplo: log 0,02 = log (2/100) = log 2 – log 100

= 0,3010 – 2,0000 = - 1,6990.

Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log 0,02 = –1,6990, então

10-1,6990 = 0,02.

PO3 - Logaritmo de uma Potencia

O logaritmo de uma potência pode facilmente ser demonstrável como sendo:

logb Mk = k . logb M.

uma vez que Mk = M.M.M.......k vezes, e o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos fatores.

Exemplo: log 34 = log (3 . 3 . 3 . 3) = log 3 + log 3+ log 3 + log 3 = = log 3 . ( 1 + 1 + 1+ 1) = 4 . log 3

PO4 - Mudança de Base

Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja,

conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o

logaritmo de N numa base a

Exemplo: log2 3 = log 3/log 2 = 0,4771/0,3010 = 1,5850

O logaritmo é a função inversa da função exponencial.

Os gráficos acima mostram que para a > 1, as funções

exponencial e logarítmica são crescentes e para

0 < a < 1, são decrescentes.

LOGARITMOS DECIMAIS

log(1)= 0log(0) não existe

log(10) = log(101) = 1log(1/10) = log(10-1) = -1

log(100) = log(102) = 2log(1/100) = log(10-2) = -2

log(1000) = log(103) = 3log(1/1000) = log(10-3) = -3

log(10n) = n

log(10-n)= -n

LOGARITMO NEPERIANO OU LOGARITMO NATURAL

O logaritmo natural ou neperiano tem por base o número irracional εεεε, o qual é definido como:

εεεε = lim n →∞→∞→∞→∞ (1 + 1/n)n = 2,7182818......

A notação empregada para o logaritmo neperiano de um número N, é ln N e significa

o logaritmo, na base εεεε, de N, ou seja:

log εεεε N = ln N

Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada hipérbole eqüilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante. Esta curva tem importantes aplicações em ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, estudos em economia, etc.

O logaritmo natural (ou neperiano) de um dado número real u, ln(u), pode ser definido do ponto de vista

geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y = 1/x, acima do eixo y = 0, entre as

retas x = 1 e x = u, que está no desenho colorido de vermelho.

A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por ln (u) .

ln (u) = área (1,u)

Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u = 1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não possui área ou seja, possui área nula) e neste

caso tomaremos ln(1)=área(1,1). Assim:

ln (1) = 0

Quando os valores de u aumentam, esta função de u, f(u), também tem seus valores aumentados, o que

significa que esta função é crescente para valores de u > 0.

Os logaritmos neperiano têm as mesmas propriedades operacionais que os demais logaritmos.

ln(1) = 0

ln(x.y) = ln(x) + ln(y)

ln(xk) = k ln(x)

ln(x/y) = ln(x) - ln(y)

Exemplos:

ln (5) + 4 . ln (3) = ln (5) + ln (34 ) = ln (5 . 34) = ln(405)

ln (a) + ln (b) - ln (c) + ln (10) = ln (10a.b/c)